AULA 3 – O Modelo de Regressão Simples DISCIPLINA: Econometria PROFESSOR: Bruno Moreira CURSO: Tecnólogo em Gestão Financeira

AULA 3 – O Modelo de Regressão Simples

DISCIPLINA: EconometriaPROFESSOR: Bruno MoreiraCURSO: Tecnólogo em Gestão Financeira

Introdução

Cross-section (corte trasnversal) consiste em uma amostra de dados coletados em um determinado ponto no tempo.

Regressão : Conceitos

O que é uma regressão?

Regressão pode ser entendida como o estudo da dependência de uma variável em relação a uma ou mais variáveis com o objetivo de estimar e/ou prever a média ou o valor médio da dependente em termos dos valores

fixos das variáveis que a explica.


Relações Estatísticas X Relações Determinísticas

Qual a diferença entre variáveis estatísticas e variáveis determinísticas?


Relações Estatísticas X Relações Determinísticas

Nas relações estatísticas lidamos com variáveis aleatórias ou estocásticas, ou seja, aquelas que têm

distribuições de probabilidades.

Nas relações de dependência funcional, as variáveis são determinísticas.


Regressão X Causação

Toda relação estatística sugere uma causação implícita?


Regressão X Causação

Uma relação estatística, por si só, não pode logicamente implicar em uma causação.

Para atribuir causalidade, deve-se recorrer a considerações teóricas.


Regressão X Correlação

Correlação e regressão são sinônimos?



São intimamente relacionados mas conceitualmente distintos.

O objetivo da correlação é medir o grau ou intensidade de associação linear entre as variáveis.

Na regressão objetivamos prever o valor médio de uma variável com base em valores fixados de outras variáveis.



Exe: Avaliar o grau de correlação entre as notas de uma prova de matemática e outra de estatística.

Tentar prever a nota da prova de estatística dado a nota da prova de matemática.


Surgimento: Lei Universal de GaltonPais altos X pais baixos


Galton estava interessado em descobrir por que havia uma estabilidade na distribuição

de alturas em uma população.

Para pais muito altos ou muito baixos a altura dos filhos vão regredindo para a

altura média da população.


Entretanto, a moderna econometria está interessada em como varia a altura média

dos filhos dada a altura dos pais.

Em outras palavras, estamos interessados em prever a altura média dos filhos dada a

altura dos pais.


Assim, na análise econométrica estamos interessados em explicar Y em termos de X,

ou, estudar como Y varia dado variações em X.


Entretanto, isto implica em 3 problemas:

1.Como não há uma relação exata entre duas variáveis, como consideramos outros fatores?

2.Qual a relação funcional entre y e x?

3.Como podemos estar certos de capturar uma relação ceteris paribus entre y e x?


Para resolvermos este problema iniciamos escrevendo uma equação que relacione y a x.

Esta equação define o Modelo de Regressão Linear Simples

𝑦= 𝛽0 + 𝛽1𝑥+ 𝑢


Em que:

𝑦= 𝛽0 + 𝛽1𝑥+ 𝑢

Y XVariável dependente Variável independenteVariável explicada Variável explicativaRegressando Regressor


Em que:u = Termo de erro ou termo estocástico é: - uma variável estocástica ou aleatória mas não observável ; - representa todos os fatores desconhecidos que possam influenciar uma relação económica.

𝑦= 𝛽0 + 𝛽1𝑥+ 𝑢


Razões principais que justificam a presença do termo de erro nos modelos econométricos:

(a) no termo de erro incluímos fatores desconhecidos;

(b) no termo de erro incluímos fatores conhecidos mas não quantificáveis (gostos, preferências, risco, incerteza);


(c) no termo de erro incluímos os chamados erros de especificação - especificação matemática imprópria- inclusão de variáveis irrelevantes - exclusão de variáveis relevantes

(d) no termo de erro incluímos erros de medição ou erros nas observações devido as simplificações, arredondamentos e transformações dos dados.


Seremos capazes de obter estimadores confiáveis de β0 e β1 de uma amostra aleatória de dados somente se

fizermos algumas hipóteses que restrinjam a maneira como o termo de erro estocástico está relacionada à

variável explicativa X.


Hipótese 1

E(u) = 0

Se o modelo estiver corretamente especificado,podemos supor que o erro, em média, será zero. Em

outras palavras, a probabilidade do erro ser x unidadesacima da reta é a mesma de ser x unidades abaixo.


Hipótese 2

E(u/x) = 0

O valor médio de u não depende do valor de x.


Assim, considerando o valor esperado da equação define o Modelo de Regressão Linear Simples

condicionado a x, e levando em consideração a hipótese 2 temos:

𝐸(𝑦/𝑥) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥


Função de Regressão Populacional

a

𝐸(𝑦/𝑥) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥


Revisando!!!

Relações Estatísticas X Relações DeterminísticasRegressão X Causação

Regressão X CorrelaçãoO Modelo de Regressão Linear Simples

Função de Regressão Populacional

a


Função de Regressão Amostral (FRA)

Na maioria das situações práticas não temos conhecimento do total da população a que

iremos analisar, apenas uma pequena parcela deste total, a amostra.



Lê-se: y chapéu, beta chapéu ...Em que:

𝛽2 = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛽2

𝛽1 = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛽1

𝑌 = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐸ሺ𝑌 𝑋Τ ሻ



O desafio é, portanto, estimar a FRP a partir da FRA.

Aqui enfrentaremos alguns problemas!!!

Suponha as seguintes amostras:




As duas amostras apresentam os gastos semanais de consumo (Y) referentes à certos

montantes de renda (X).

Mas qual das amostras me conduzirá a uma previsão mais acertada do consumo semanal

(Y)?



De outra forma, qual das duas linhas de regressão representa a “verdadeira” linha de

regressão da população?

Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada.

Para n amostras é possível termos n FRAs.


De outra forma, qual das duas linhas de regressão representa a “verdadeira” linha de

regressão da população?

Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada.

Para n amostras é possível termos n FRAs.


No entanto, ainda queremos estimar a FRP

Com base na FRA.


Resgatando:

Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada. Em outras palavras, nossa estimativa da FRP baseada na

FRA é, na melhor das hipóteses, uma estimativa aproximada.


Pois para X = Xi temos uma observação da amostra Y = Yi .

Em termos da FRA o Yi observado pode ser expresso como:


Graficamente nosso exemplo fica:


A questão crítica passa a ser:

Considerando que a FRA seja apenas uma aproximação da FRP, poderemos criar uma regra ou um método que

a fará tão próxima quanto o possível?OU SEJA,

Como construir a FRA de modo que os estimadores se tornem o mais próximos possíveis dos verdadeiros

coeficientes βs?

Mínimos Quadrados Ordinários

O Método dos Mínimos Quadrados Ordinários


Sob certas hipóteses restritivas, o MQO tem algumas propriedades estatísticas muito atraentes,

fazendo com que seja um dos métodos mais utilizados de regressão.


Relembrando:

FRP

Como não é diretamente observável, a estimamos a partir da FRA:


Relembrando:

FRP

Como não é diretamente observável, a estimamos a partir da FRA:


Mas como estimamos a FRA propriamente dita?

Primeiro vamos expressar

Da seguinte forma:

Que mostra apenas que os resíduos são simplesmente as diferenças entre os valores reais e estimados.


Então, para n pares de observação Y e X, queremos determinar a FRA de tal modo que seja tão próxima

quanto possível do Y real.

Para tanto podemos adotar o seguinte critério:


Escolher a FRA para que a soma dos resíduos

Seja a menor possível.

A ideia é interessante mas apresenta problemas.


Se adotarmos como critério minimizarTodas as observações terão o mesmo peso e

poderemos correr o risco de, mesmo em amostras com grandes dispersões, encontrar valores pequenos ou

mesmo nulos para este somatório.

Exe:



Podemos evitar este problema adotando o critério de se minimizar o quadrado dos erros.

Ao elevarmos os erros ao quadrados implicitamente estaremos dando maior peso aos

que se encontram mais afastados do centro.



Assim, como foi visto,

A soma dos resíduos ao quadrado é uma função dos estimadores


O método MQO escolheDe tal maneira que, para uma dada amostra,

É o mínimo possível.

Em outras palavras, para uma dada amostra, o método MQO nos fornece estimativas únicas de

que dão menor valor possível de


Sendo assim é possível calcular

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