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La Integral definida y sus aplicaciones
Integral definida: definición
La integral definida se define como:
Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b].
a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
Área como límite de una sumaConsidere la región definida por la gráfica de la
función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo[a; b].
Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos
Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la
región cuya área se desea calcular
El área de una región podrá
plantearse por una integral
definida:
A = f(b) – f(a)
Dividiremos dicha región en
rectángulos verticales. Por ejemplo ...
n = 3 rectángulos
n = 6 rectángulos
n = 12 rectángulos
n = 24 rectángulos
n = 48 rectángulos
n = 99 rectángulos
La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.
Interpretación geométrica de la integral definida
b
a
dxxfÁrea )(
altura
ancho
Suma desde “a”
hasta “b”
Ejemplo 2
¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”?
2222
0
2
2
0
402)2( uxdxx
f(x) = 2x
0 2
R
Forma 1: Base*altura/2
2*4/2=4 u2
Forma 2: integral definida
Como acaba de verse, el área de una región
podrá plantearse como el límite de una suma
de áreas. Este límite está dado por la integral
definida:a
bdxxfA )(
Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y
positiva en ese intervalo.
¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos?
Analicemos los siguientes ejemplos…….
Ejemplo 3: área debajo del eje X
La altura no puede ser
negativa
b
a
dxxf )(Respuesta:
Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X
c
a
dxxf )(La altura no puede ser
negativa
b
c
dxxf )(
Respuesta:
Ejemplo 5: área entre dos curvas
¿Cómo podemos aplicar los conocimientos
previos a este gráfico?
Si se sabe que: )()( xgxf bax ,
Ejemplo 5 (recordando..)El área bajo
la curva f(x)
es…
El área bajo
la curva g(x)
es…
Ejemplo 5
b
a
dxxgxf )()(Respuesta:
Aplicaciones de laIntegral Definida
1. Excedente del Consumidor
2. El Excedente del Productor
3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de
cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la
utilidad, ingresos y costos de una empresa
Aplicaciones de la Integral Definida
4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de
inversión, respecto de otro
ANÁLISIS 1:
Recordando el concepto de la demanda
Una curva de demanda
resume la relación inversa existente entre precios y cantidades.
Una curva de demanda
refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los
consumidores, ante determinados precios.
Una curva de demanda
representa la disponibilidad marginal de gastar de
parte del consumidor.
Alimentos (unidades
mensuales)
Precio de
los alimentos
G
E
F
2,00$
4 12 20
1,00$
0,50$
ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores
0
0)(
q
dqqD
PS
/. p
or
un
idad
0 1 2 3 4 5 6 ……. q
6
0)( dqqD
Generalizando:
En el ejemplo….DTG
La disponibilidad total a gastar de los consumidores
refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.
La disponibilidad total a gastar de los consumidores
está representada por toda el área de la región que está por
debajo de la curva de demanda
ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores
E
q0 1 2 3 4 5 6 …….
PS
/. p
or
un
idad
4
3
2
Si se define al gasto
como p.q....
¿Cuál sería el gasto efectuado por los
consumidores en este ejemplo?
RTA: S/. 8
¿Cuál sería el área respectiva?
Gasto
RTA….
ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores
4
0)( dqqD
q0 1 2 3 4 5 6 …….
PS
/. p
or
un
idad
4
3
2
q0 1 2 3 4 5 6 …….
PS
/. p
or
un
idad
4
3
2
Análisis 2La disponibilidad a gastar en este
caso es….
Gasto
Análisis 3El gasto efectivo (lo que realmente
gastan) en este caso es…. = 8u2
Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron
dispuestos a pagar un precio mayor que el del
mercado (S/.2 por unidad), se benefician
El área que representa dicho “excedente” es el
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :
Área de Disponibilidad total – Área de Gasto
4
0)4)(2()( dqqDEC
0
000)(
q
qpdqqDEC
Resultado del ejemplo
En este ejemplo…
Generalizando:
p = D(q)
2
0 4 q
p
EC
Ejercicio Matemático La ecuación de demanda para un producto es p =
D(q) = -q2+25, para
0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas.
(a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9?
(b) ¿Cuál es el EC?
50 p
Ejercicios del libro
Problemas de texto : Haeussler, Jr; “Matemáticas para administración y economía”; páginas 672-674
