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1 中公教育学员专用资料 报名专线:400-6300-999
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第一章 计算问题
第一节 等差数列
二、能力训练
1.【答案】33。解析: 7a = 1a +(7-1)×5=33。
2.【答案】18。解析:由连续偶数可知,数列的公差为 2,由 15a = 8a +(15-8)×2,
可得8a =18。
3.【答案】3,22。解析: 8a = 3a +(8-3)×d,即 22=7+5d,则 d=3;该数列前 15
项的中项为 15+1
2
a= 8a =22。
4.【答案】10,22,27。解析: na = 1a +(n-1)×d,即 47=2+(n-1)×5,解得 n=10;
该数列的中间两项分别为 10
2
a= 5a =2+(5-1)×5=22, 10
+12
a= 6a =22+5=27。
1.【答案】255。解析:根据 nS =2
1 )( naan ,可得 15S =
15 31
2
(3 )=255。
2.【答案】230。解析:根据 nS =n1a +
2
1)( nnd,则 10S =10×5+
2
11010 )( ×4=230。
3.【答案】132。解析:根据等差数列中项求和公式,可得 11S =11× 11 1
2
a =11× 6a
=11×12=132。
4.【答案】175。解析:根据等差数列中项求和公式,可得 14S =14× 7 8
2
a a=175。
利用等差数列通项公式求解
利用等差数列求和公式求解
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三、解题训练
1.【答案】B。解析:方法一,由题可知 d=2,n=25, 25a =80,根据 25a =1a +(25-1)
×2,得1a =32,再根据 nS =
2
1 )( naan ,可得 25S =
2
803225 )( =1400。
方法二,根据 25a = 13a +(25-13)×2,得 13a =56,根据中项求和公式可得 25S =25×
13a =25×56=1400。
2.【答案】B。解析:每天的营业额组成公差为 100 的等差数列,10 月共有 31 天,
即该等差数列项数为 31,第 15 项为 5000,16 日的营业额为中项,则 16 日的营业额为
5000+100=5100 元,根据等差数列中项求和公式,则该商店 10 月份的总营业额为
5100×31=158100 元,选 B。
3.【答案】D。解析:第 2 层到第 17 层每层缴纳的电梯费构成公差为 10 的等差数
列,第 2 层到第 17 层共有 16 层,中间两层为第 9 层和第 10 层。根据等差数列中项求
和公式,这两层缴费之和为 1904÷8=238 元,则第 9 层交费为(238-10)÷2=114 元,则
第 7 层交费为 114-20=94 元,选择 D。
第二节 比例计算
二、能力训练
1.【答案】3∶2。
2.【答案】9∶8。
3.【答案】3∶8。
请将下列表述转化为最简比例
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1.【答案】2∶3∶6。解析:题干中比例关系如下表:
甲 乙 丙
2 3
1 2
按照乙统一比例,将乙统一为 3 份,
甲 乙 丙
2 3
1×3=3 2×3=6
因此甲、乙、丙三组人数之比为 2∶3∶6。
2.【答案】4∶5。解析:题干中比例关系如下表:
技术类 非技术类
原来 2 5
现在 1 2
加入技术类人才前后,非技术类员工人数不变,因此根据非技术类员工统一比例,
统一为 10 份,
技术类 非技术类
原来 2×2=4 5×2=10
现在 1×5=5 2×5=10
因此原来和现在的技术类员工人数之比为 4∶5。
3.【答案】4∶3∶3。解析:分析可得题干中比例关系如下表:
甲 乙 丙 总
2 3 5
3 10
根据总数统一比例,将其统一为 10 份,如下
甲 乙 丙 总
2×2=4 3×2=6 5×2=10
3 10
请根据题干表述寻找不变量,并据此统一比例
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因此甲、乙、丙三个社区的人数之比为 4∶3∶(6-3)=4∶3∶3。
1.【答案】160,480。解析:根据题干比例关系,将甲、乙、丙分别设为 3 份、4
份和 5 份,3 份对应 120 个零件,即 1 份对应 120÷3=40 个零件,则乙有 4 份,共 4×40=160
个零件,三人共加工了 3+4+5=12 份,共加工了 12×40=480 个零件。
2.【答案】10,14。解析:根据题意可设男、女职工人数分别为 5 份和 2 份,两者
相差 3 份,对应 6 人,即 1 份对应 2 人,因此男职工有 5×2=10 人,共有(5+2)×2=14
人。
3.【答案】20 千米/小时。解析:根据题意可设甲、乙的速度分别为 3 份和 4 份,
两者和为 7 份,对应 140,即 1 份对应 20,甲、乙的速度差为 1 份,对应 20。
三、解题训练
1.【答案】C。解析:由题得,2
1橘子=
3
1苹果,则橘子∶苹果=2∶3,如下
橘子 苹果 香蕉
2 3
5 2
两个比例中均存在苹果,据此统一比例,将苹果统一为 3×5=15 份,则可得
橘子 苹果 香蕉
2×5=10 3×5=15
5×3=15 2×3=6
即橘子、苹果、香蕉的重量之比为 10∶15∶6,共 10+15+6=31 份,对应 620 千克,
即 1 份对应 20 千克,苹果比香蕉多 15-6=9 份,共多 9×20=180 千克。
通过份数与实际量对应,计算下列各题
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2.【答案】B。解析:根据“某车间女员工人数占员工总数的7
3”,可知原先女∶
总=3∶7,则女∶男=3∶(7-3)=3∶4;调走男员工后,女∶男=6∶5。如下
女 男
调走男员工前 3 4
调走男员工后 6 5
男员工调走前后,女员工的数量并未改变,据此统一比例,将其统一为 6 份,则可
得
女 男
调走男员工前 3×2=6 4×2=8
调走男员工后 6 5
由此可得男员工变化前后的数量比为 8∶5,相差 8-5=3 份,对应 21 名,即 1 份对
应 7 名,则车间现在有男员工 5×7=35 名。
3.【答案】B。解析:由题可得甲∶总=1∶5,乙∶总=1∶4,丙∶总=1∶3,根据
总量统一比例,将总量统一为 60 份,则甲∶乙∶丙∶丁=12∶15∶20∶(60-12-15-20)
=12∶15∶20∶13,则丁造林 13 份,对应 3900 亩,即 1 份对应 3900÷13=300 亩,因此
甲队造林亩数为 12×300=3600 亩。
4.【答案】C。解析:根据题干可知,比例关系如下:
甲 乙 丙 总
1 2 3
2 1
分析发现,可根据乙和丙的投资和统一比例,将其统一为 6,如下:
甲 乙 丙 总
1×3=3 2×3=6 3×3=9
2×2=4 1×2=2
因此甲∶乙∶丙=3∶4∶2,又知按投资额分配收益,则收益之比与投资额之比相
同,甲与丙相差 1 份,对应 2 万元,故乙应得收益为 4×2=8 万元。
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第三节 鸡兔同笼
二、解题训练
1.【答案】D。解析:
问题一:如下表,题干给出两个主体:鸡、兔,两种属性:头和脚,已知指标数和
指标总数,求鸡和兔的各自数量。
鸡 兔 指标总数
头的数量 1 1 35
脚的数量 2 4 94
问题二:设全是鸡,则有 35×2=70 只脚,故实际有(94-70)÷(4-2)=12 只兔子,
有 35-12=23 只鸡。
2.【答案】B。解析:
问题一:如下表,题干给出两个主体:大瓶、小瓶,两种属性:瓶子个数和可装水
量,已知指标数和指标总数,求大瓶和小瓶的数量差,即需要求出大瓶和小瓶的各自数
量,是鸡兔同笼问题。
大瓶 小瓶 指标总数
瓶子个数 1 1 52
可装水量 5 1 100
问题二:设都是 1 千克的瓶子,将装水 52 千克,现在多装了 100-52=48 千克,每
个大瓶比小瓶多装 4 千克,所以大瓶有 48÷4=12 个,小瓶有 52-12=40 个,相差 28 个。
3.【答案】C。解析:
问题一:如下表,题干给出两个主体:答对的题和答错的题,两种属性:题数和得
分,已知指标数和指标总数,求答对的题的数目,是鸡兔同笼问题。
对 错 指标总数
题数 1 1 18
得分 6 -1 94
问题二:对比第 1、2 题,区别在于此题中答错的得分为负值。
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问题三:设 18 题全部答对,应得 18×6=108 分,每答错一题比答对一题少得 6+1=7
分,则答错了(108-94)÷7=2 道,故他答对了 18-2=16 道。
4.【答案】A。解析:做出一个合格零件得 10 元,做出一个不合格零件损失 10+5=15
元,若 12 个零件都合格,那么这个人可以得到 12×10=120 元,可现在只得了 90 元,
说明做了(120-90)÷15=2 个不合格的零件。
第四节 不定方程
二、能力训练
1.【答案】5x+4y=98。
2.【答案】37x+20y=271。
3.【答案】3x+7y+z=32,4x+10y+z=43。
1.【答案】B。解析:3x 和 33 都能被 3 整除,则 7y 能被 3 整除,即 y 能被 3 整除,
结合选项,选择 B。
2.【答案】C。解析:2x 为偶数、21 为奇数,则 5y 是奇数,故 5y 尾数只能为 5,
2x 尾数为 6,结合选项只能选 C。
3.【答案】C。解析:方法一,第一个方程×3-第二个方程×2,可得 x+y+z=10。
方法二,令 y=0,则有
434
323
zx
zx,解得
1
11
z
x,故 x+y+z=11+0-1=10,选 C。
三、解题训练
1.【答案】D。解析:设大盒数量为 x,小盒数量为 y,则 23x+16y=500,由于 16、
500 均是 4 的倍数,则 23x 也是 4 的倍数,即 x 是 4 的倍数,排除 A、C,代入 B、D
可得,x=12、y=14 符合题意,故选择 D。
求解下列各题
根据下列各题表述找到并列出等量关系式
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2.【答案】D。解析:设需要红色文件袋 x 个、蓝色 y 个,则有 7x+4y=29,4y 为
偶数,29 为奇数,则 7x 为奇数,x 为奇数。排除 B、C,代入 A、D 可得,x=1,y 不
是整数;x=3,y=2,满足题意,故选 D。
3.【答案】D。解析:设大包装盒有 x 个,小包装盒有 y 个,则 12x+5y=99,其中
x、y 之和为十多个。5y 的尾数只能是 5、0,对应的 12x 的尾数只能为 4 或者 9,而 12x
为偶数,故尾数只能为 4。此时,只有 x=2 或者 x=7 时满足这一条件。
当 x=2 时,y=15,x+y=17,正好满足条件,y-x=13;
当 x=7 时,y=3,x+y=10,不符合条件。
综上所述,只能选择 D。
4.【答案】C。解析:方法一,设木匠加工 1 张桌子、1 张椅子、1 张凳子所用时间
分别为 x、y、 z 小时,根据题意,有
②2284
①1042
yx
zx,①×2+②,得
4x+8z+4x+8y=10×2+22,即 8x+8y+8z=42,则所求为 42÷8×10=52.5 小时。
方法二,假设木匠加工 1 张桌子的用时为 0,则加工 1 张凳子用 10÷4=2.5 小时,
加工 1 张椅子用 22÷8=2.75 小时,则所求为 10×(0+2.5+2.75)=52.5 小时。
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第二章 行程问题
第一节 普通行程
二、能力训练
1.【答案】50 秒。解析:在火车头上找一个质点 M,火车全车经过大桥实际走过
的距离为车长与桥长的和,所求为(800+150)÷19=50 秒。
2.【答案】59 米。解析:因为甲乙的速度是相同的,所以甲乙之间的距离始终保持
不变。设甲乙之间的距离是 x 米,则现在甲距离起点的距离是(20+x)米。当乙行驶
到甲现在的位置时,甲乙都向前行进了 x 米,这时候甲距离起点(20+2x)米。20+2x=98,
解得 x=39。所以甲现在距离起点 20+39=59 米。
起点 乙 x米
AC D B
A D B
甲20米
乙x米
甲
98米
3.【答案】(1)V甲>V丙 >V乙;(2)甲丙所在跑道直径的另一端;(3)30。解
析:
(1)经过 20 分钟,甲超过乙一圈,说明 V甲>V乙,又过 10 分钟,甲超过丙一圈,
说明 V甲>V丙 ,用时比甲超过乙长,说明 V丙 >V乙,故 V甲>V丙 >V乙;
A B
M M
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(2)甲 20 分钟可超过乙一圈,所以又跑 10 分钟之后,甲此时可再超过乙半圈即
共超了 1 圈半,此时甲超过丙一圈,故乙与甲丙此时分别位于跑道直径的两端;
(3)结合(1)、(2)可知,经过 30 分钟丙超过乙半圈,故再过 30 分钟,丙将
超过乙一圈。
三、解题训练
☆例题 1☆
【答案】7:52。解析:
问题一:行程图略。
问题二:t,S 和 v。
问题三:求甲从 A 到 B 的时间,应该用 AB 距离除以甲增加后的速度。AB 距离是
知道的,所以关键在于甲的速度。甲原先速度等于 480÷20=24 米/分钟。甲增速之后的
速度是 24+16=40 米/分钟。所以甲增速之后从 A 到 B 的时间是 480÷40=12 分钟。所以
甲在 7:52 到达 B 地。
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随堂练习
【答案】B。解析:
问题一:行程图略。
问题二:S,v 和 t。
问题三:设骑车原速度为每分钟 v 米。由题意得,30v=10(v+50)+2000,解得 v=125,
则所求为 125×30×2=7500 米=7.5 千米。
☆例题 2☆
【答案】A。解析:
问题一:S 不变;反比关系。
问题二:列车的速度比为 3∶5,时间比为 5∶3。
问题三:运行速度提升前后时间差 2 份,对应 48 分钟,即每份 24 分钟。提速后用
时 24×3=72 分钟(1.2 小时),A、B 距离为 250×1.2=300 千米。
随堂练习
【答案】C。解析:
问题一:S 不变;反比关系。
问题二:提速9
1后,提速前后速度比为 9∶10,用时比为 10∶9;准点抵达用时为
10 份,则提速后用 9 份时间,提前 1 份的时间到达,对应 20 分钟。所以原速行驶要
10×20=200 分钟。
问题三:同理,提速3
1后,提速前后速度比为 3∶4,用时比为 4∶3。提前 200÷4=50
分钟到达。
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第二节 相遇追及
二、能力训练
(1)甲、乙同时出发,相向而行,经过一段时间同时到达同一地点,即甲、乙相
遇,此过程属于相遇问题,AB 即甲 30 分钟行驶的路程,为 10 千米;BC 即乙 30 分钟
行驶的路程,为 7 千米;AC 为甲、乙相遇走的路程和,为 10+7=(20+14)×0.5=17 千
米。
(2)甲、乙同时出发同向而行,甲的出发地在乙之后,经过一段时间甲、乙同时
到达同一地点,即甲追上了乙,此过程属于追及问题,AC 即甲 1 小时行驶的路程,为
20 千米;BC 即乙 1 小时行驶的路程,为 14 千米;AB 为甲、乙的路程差即相同时间内
甲比乙多走的距离,也是甲乙开始时相距的距离,为 20-14=(20-14)×1=6 千米。
三、解题训练
☆例题☆
【答案】500,50。解析:
问题一:行程图略。
问题二:S,v 与 t;t,S 与 v。
问题三:两人用 5 分钟共走了 A、B 两地的距离,则有(55+45)×5=500 米;若两
人同时同向而行,甲需要追乙 500 米,追及的时间为 500÷(55-45)=50 分钟。
随堂练习
乙 甲
A B C
乙 甲
A B C
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1.【答案】D。解析:
问题一:行程图略。
问题二:S,v与 t。
问题三:求相遇时行驶的距离,已知各自的速度,需求出相遇时间,从客车出发到
两车相遇,路程和为 530-50×1=480千米。
问题四:480÷(70+50)=4小时,客车相遇时行驶了 4×70=280千米,货车行驶了
530-280=250千米。
2.【答案】A。解析:
问题一:
问题二:当甲返回 A 地再去追乙的时候,乙已经跑了 1 小时,所以追及的路程是
45×1=45千米,甲追乙所花时间为 45÷(60-45)=3小时。
问题三:A、B两地的路程为 3×60=180千米。
3.【答案】C。解析:此题所求是路程差,需要知道速度差和时间,本质上是追及问题。
甲、乙的速度差为 1-0.6=0.4米/秒,故 5分钟(300秒)内甲比乙多游了 0.4×300=120米。
实战演练
1.【答案】B。解析:去时所用时间为 40÷60=3
2小时,回程速度为去时的
3
2,则
回程所用时间为去时的2
3,为
3
2×
2
3=1小时,则行驶时间为 1
3
2小时,总时间为 4小
时,则装运货物时间为 23
1小时,则本题所求为 2
3
1÷1
3
2=1.4倍,选择 B。
2.【答案】B。解析:方法一,从 A 到 C所用时间为 1 小时,则从 C 到 B 也为 1
小时,即 8点到达 B,则从 B到 C为 2小时。由从 C到 B和从 B到 C所需时间可知,
下坡速度是上坡速度的 2倍,分别设为 2x和 x,则从 C到 A 速度为 x+1,时间为 1.5
乙
30分钟
甲
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小时。根据路程相等可知 2×x=1.5×(x+1),得 x=3 米/秒,则 A、B 之间距离为
2×60×60×6=43200 米,即 43.2 千米,故本题答案为 B。
方法二,由方法一可知,小周上坡时从 B 到 C 所需时间为 2 小时,从 C 到 A 所需
时间为 1.5 小时,故 BC 和 CA 两段的速度比为 1.5∶2=3∶4,1 份对应 1 米/秒,故 A、
B 两地距离为 4×3600×1.5×2=43200 米,即 43.2 千米,选 B。
3.【答案】A。解析:设 A 车速度为 x 米/秒,B 车速度为 y 米/秒,则有
6120
300420
2430
300420
=y=x
=x+y=
,解得 x=15。15 米/秒=15×3.6 千米/小时=54 千米/小时。
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第三章 工程问题
第一节 普通工程
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】C。解析:
问题一:根据题意可知,生产相同的产品时,甲工厂所需时间比乙工厂少 10 天。
问题二:设甲工厂每天加工产品 x 件,则甲完成任务需要x
480天,乙需要
4
480
x天,
所以x
480+10=
4
480
x,选择 C。
随堂练习
【答案】C。解析:
问题一:题目中存在两个等量关系,第一个是原计划生产零件所需天数比实际多 4
天;第二个是原计划生产的零件个数比实际少 80 个;
问题二:设工厂原计划生产零件 x 个,则有100
x-
120
80x=4,解得 x=2800。
问题三:设原计划生产天数为 x,则原计划的生产量为 100x,可列出下列式子:
100x+80=120(x-4),解得 x=28,即原计划要生产 28 天,故原计划生产零件
100x=100×28=2800 个。选 C。
☆例题 2☆
【答案】C。解析:题目要求工作总量,需要知道工作效率和时间。工作总量不变,
时间和效率成反比;已知时间和效率差,可用比例法求解。前后时间之比=18∶12=3∶
2,可得前后效率之比=2∶3,则由题意可得 1 份对应 8 个零件,2 份就是 16 个零件,
所以零件总数=16×18=288 个。
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随堂练习
【答案】A。解析:
问题一:根据题意可知,按原效率工作 30 天后剩余的工作量是不变量,时间与效
率成反比;
问题二:工作效率提高 20%,原效率与现在的效率比为 5︰6;
问题三:根据问题一、二可知,剩下的工作原定时间与现在的时间之比为 6∶5;
问题四:剩下的工作原定 150-30=120 天完成,对应 6 份,则 1 份对应 20 天,现在
所需时间比原定少 1 份,即节省 1 份的时间,为 20 天。
第二节 多者合作
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】B。解析:所求为时间,时间=工作效率工作量
,需要知道工作总量和甲、乙
的工作效率,均未知。时间为定值,若工作量改变则效率随之改变,即工作量的值不影
响计算结果,可设特值求解。设工作量为 30,则甲、乙的效率分别为 3 和 2,则甲乙合
作,需要 30÷(3+2)=6 天。
随堂练习
【答案】C。解析:设工作总量为 30,则甲的工作效率为 1,乙、丙效率和为 2,
三人效率和是 1+2=3。故三人共同完成需要 30÷3=10 天。
☆例题 2☆
【答案】C。解析:所求为时间,时间=工作效率工作量
,需要知道工作总量和三个工
程队的工作效率,均未知。题干已知效率比,据此设甲、乙、丙的工作效率分别为 3、
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4、5,则 A 工程的工作量为 3×25=75,B 工程的工作量为 5×9=45,完成这两项工程共
需要(75+45)÷(3+4+5)=10 天。
随堂练习
【答案】A。解析:设甲、乙、丙的效率分别为 2、3、4,则甲、丙合作 3 天完成
(2+4)×3=18,完成总工作量的3
2,则工作量的
3
1为 18÷2=9,因此乙用时 9÷3=3 天,
故共用 3+3=6 天。
☆例题 3☆
【答案】A。解析:要求后来增加的机器数,已知开始使用的机器台数,即求 2 天
后 剩 余 的 工 作 量 需 要 的 机 器 台 数 , 因 为 投 入 的 机 器 数 =
每台机器的工作效率工作时间工作量
,需要知道工作量和每台机器的效率,均未知。
根据题意可知,每台机器的效率都相同,即任意两台机器的效率比为 1∶1,因此可设
每台机器的效率为 1,3 台机器工作 2 天后,剩余工作量为 3×1×(10-2)=24,剩余用
时 10-2-2=6 天,因此剩余工作量的总工作效率为 24÷6=4,即相当于 4 台机器,需要再
投入 4-3=1 台机器。
随堂练习
【答案】D。解析:设原来每台机器的效率是 1,则改造后为 1.05。剩余 7 天剩余
的工程量为 36×7,此时的效率为 40×1.05,所以还需要05.140
736
=6 天。
实战演练
1.【答案】D。解析:工作效率提高后,原工作效率与现在的工作效率之比为 1∶
1.4=5∶7,则所需时间比为效率的反比 7∶5,节省 2 份时间,对应 30 分钟,则 1 份时
间对应 15 分钟,则原计划抄完剩下的5
3需要 15×7=105 分钟,则原计划抄完这份报告
共需 105÷3×5=175 分钟,这份报告共有 175×30=5250 字。
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2.【答案】A。解析:设工作总量为 240(40、48、60 的最小公倍数),则甲、乙、
丙的工作效率分别为 6、5、4,甲工作 4 个小时完成 4×6=24,剩余都是由乙、丙合作
完成需要(240-24)÷(5+4)=24 小时,即乙一共投入了 24 小时。
3.【答案】A。解析:设 B 工程队的效率为 1,A 工程队的效率为 2,则总工作量
为(1+2)×6=18。按原来的时间完成,B 工程队完成了 1×2×(6-1)=10,则 A 工程队
需要工作(18-10)÷(2×2)=2 天,所求为 6-2=4 天。
4.【答案】B。解析:记三个工作组每天的效率分别为甲、乙、丙,根据题意可知,
3(甲+乙)+7(乙+丙)=7(甲+乙+丙),即 3 乙=4 甲,又 2 乙=甲+丙。设乙每天的
效率为 4,则甲、丙每天的效率分别为 3、5。B 工程总量为 10×5=50,若由甲、乙合作,
所需时间为 50÷(3+4)=7……1,即需要 7 天多。故本题选 B。
5.【答案】B。解析:设每台挖掘机每小时的工作量为 1,则工期还剩 8 天时,工
程剩余量为 80×(10+8)×10=14400。要想按期完成,平均每天需工作 14400÷(80+70)
÷8=12 小时,平均每天需要多工作 12-10=2 小时。
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第四章 利润问题
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】A。解析:根据题意可知,这款时装的进价为 240÷(1+20%)=200 元,
售价 300 元时,利润为 300-200=100 元,则利润率为 100÷200×100%=50%。故本题选 A。
随堂练习
1.【答案】C。解析:根据题意可知,该葛粉的售价为 20×(1+52%)=30.4 元,则
定价为 30.4÷(1-20%)=38 元,故本题选 C。
2.【答案】A。解析:由题可知每台电冰箱的获利是 210 元,即售价-进价=210 元;
设这种冰箱的进价是 x 元,则有 x(1+15%)×0.9-x=210,解得 x=6000。
☆例题 2☆
【答案】D。解析:所求为利润率=(售价-进价)÷进价×100%,而进价未知,售
价可用进价表示,则进价的具体值对结果没影响,可设任意值;为方便计算,设进价为
100,则打折前的售价为 100×(1+200%)=300,打折后的售价为 300×0.6=180,所求利
润率为(180-100)÷100×100%=80%。
随堂练习
【答案】A。解析:要求两件商品各出售一件时的利润率,需要知道两件商品各自
的售价和成本,而售价又可以用成本表示,则成本的具体值对最终的结果没有影响,可
设为任意值。为方便计算,设每件成本为 100,则两件商品各售出一件时售价分别为 125、
87,和为 125+87=212,成本为 200,利润率为(212÷200-1)×100%=6%。
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实战演练
1.【答案】B。解析:该批汉堡包总成本为 4.5×200×10=9000 元。全卖完的 6 天销
售额为 10.5×200×6=12600 元;其余 4 天的销售额为 10.5×(200-25)×4=7350 元。共赚
了 12600+7350-9000=10950 元。
2.【答案】C。解析:根据题意,8 月赚的钱正好与 9 月亏的钱抵消。设这批夏装
的单件进价为 x 元,则有(1.6-1)x×200=15000,解得 x=125。故本题选 C。
3.【答案】B。解析:设成本为 x 万元,则有 x(1+50%)×0.8×(1-5%)=x+7,解
得 x=50,即该艺术品的成本为 50 万元。答案选 B。
4.【答案】A。解析:设收购价为 100 元,则第一次以 100×(1+30%)=130 元卖出,
后以 130×90%=117 元回收,最后又以 100 元卖出。则此过程中一共获利 13 元,利润率
为 13%。
5.【答案】C。解析:设去年成本为 100,则今年成本为 100×(1-15%)=85。设去
年的利润率为 x%,则今年的利润率为(x+24)%,根据售价不变,得 100×(1+x%)
=85×[1+(x+24)%],解得 x=36,可知去年利润率为 36%。
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第五章 排列组合问题
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】8 种。解析:抽到质数的情况分别为 2、3、5、7、11、13、17、19。
题干特征:问法明确,有多少种不同的方法/方式/情况……
考查本质:是一种计数问题。
随堂练习 【答案】是;是;否;是。
☆例题 2☆
(1)【答案】13。解析:根据不同交通方式分类讨论:共有 4+6+3=13 种不同的
方法。
(2)【答案】10。解析:从 5 元的个数入手分类讨论:
第一类:2 张 5 元、0 张 2 元、0 张 1 元,1 种方法;
第二类:1 张 5 元,2 元可能有 2、1、0 张,3 种方法;
第三类:没有 5 元,2 元可能有 5、4、3、2、1、0 张,6 种方法。
所以共有 10 种支付方法。
(3)【答案】6。解析:先从 3 件上衣中选一件有 3 种选法,再从 2 条裤子中选一
条有 2 种选法,分步用乘法原理,共有 3×2=6 种选法。
(4)【答案】1024。解析:每名同学在四个课外活动小组中可任报一个,即每一
步有 4 种方法,根据分步计数原理,不同的报名方法共有 4×4×4×4×4= 54 =1024 种。
随堂练习 1.【答案】B。解析:
问题一:小王需要在可供选择的宾馆中选一家住宿;能解决。
问题二:每一类选法都可完成这件事情,故需分类。
问题三:共有 7+5+3=15 种。
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2.【答案】D。解析:
问题一:此题需确定身份证号码的后 4 个数字,若只确定其中 1 个数并不能完成这
件事。
问题二:分步,先选出倒数第二位的数字,再依次选出倒数第三位和倒数第四位的
数字。
问题三:先选出倒数第二位的数字,不能是 1,有 4 个数可选;倒数第三位不能和
倒数第二位一样,也有 4 个数可选;倒数第四位不能和倒数第三位一样,也有 4 个数可
选。
问题四:共有 4×4×4=64 种可能。
3.【答案】D。解析:设置一个由 0 到 9 这 10 个数字组成的 4~6 位密码,有 3 类办
法:第一类办法是设置 4 位密码;第二类办法是设置 5 位密码;第三类办法是设置 6
位密码。
第一类:设置 4 位密码,每一位上都可以从 0 到 9 这 10 个数字中任取一个,有 10
种取法。根据分步乘法计数原理,四位密码的个数是 10×10×10×10= 410 ;
同理,第二、三类办法可以设置 5、6 位密码的个数分别为 510 、 610 。
根据加法原理,设置由数字 0 到 9 组成的 4~6 位密码的个数是 410 + 510 + 610 。
☆例题 3☆
(1)a.【答案】 4
10A 。解析:选出这 4 人有顺序要求,要排跑第几棒,改变顺序对
结果有影响,是排列,则共有 4
10A 种不同的安排方法。
b.【答案】 3
5A 。解析:选出这 3 人有顺序要求,站队位置不同,顺序对结果有影
响,是排列,因此结果数为 3
5A 。
c.【答案】 58C 。解析:选这 5 人没有顺序要求,先选后选对参加培训这一结果无
影响,是组合,则共有 5
8C 种不同的选法。
d.【答案】 3
5C 。解析:5 盆红花是不相同的,选出的 3 盆没有顺序要求,顺序对
结果无影响,是组合,因此结果数为 3
5C 。
23 中公教育学员专用资料 报名专线:400-6300-999
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(2)解析: 3
6A 6×5×4=120; 4
4A 4×3×2×1=24;3
3
3
63
6A
AC =20; 2
2C 1;
2112
672
7
C ; 21
12
672
7
5
7
CC 。
随堂练习 1.【答案】C。解析:
问题一:分步,可先选肉类,再选蔬菜,最后选点心。
问题二:组合。
问题三:分步相乘,所求为 1
4
2
4
1
3 CCC =72。
2.【答案】C。解析:
问题一:分类,按照灯的数量可分为一盏、两盏、三盏和四盏四类。
问题二:有影响,排列数。
问题三:一盏时为 1
4A 种,两盏时为 2
4A 种,三盏时为 3
4A 种,四盏时为 44A 种。共
有 1
4A +2
4A +3
4A +4
4A =64 种不同的信号。
3.【答案】D。解析:根据题意,情况有两类,分别是做对 3 道选择题 1 道证明题
和做对 1 道选择题 2 道证明题。因此一共有 242
3
1
4
1
3
3
4 CCCC 。
☆例题 4☆
【答案】48;48;72;108。解析:
(1)数字 1 有特殊要求,则先排数字 1,有 2 种,再排其余数字,有 4
4A =24 种,
因此所求为 2×24=48 种。
(2)2 个偶数必须相邻,则将 2 个偶数捆绑在一起看成 1 个数,与剩余的 3 个数
进行排列,有 4
4A =24 种,2 个偶数可以互换顺序,有 2
2A =2 种,故所求为 24×2=48 种。
(3)先排 3 个奇数,有 3
3A =6 种,再从奇数形成的 4 个空位里选 2 个将偶数放入,
有 2
4A =12 种,因此所求为 6×12=72 种。
(4)数字 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位数共有 5
5A =120 个,万位和千位
没有奇数的五位数有 3
3
2
2 ×AA =12 个,因此所求为 120-12=108 个。
随堂练习
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1.【答案】B。解析:
问题一:优限法;科技书有限制条件。
问题二:先排科技书,有 1
2C 种排法,再排其他书,有 5
5A 种排法,根据乘法原理,
共有 2×120=240 种不同的摆放顺序。
2.【答案】D。解析:
问题一:捆绑法;女生必须相邻。
问题二:有影响。
问题三:3 名女生必须站在一起,将其作为一个整体。女生这个整体与其余 5 个男
生一起排列,一共有 43203
3
6
6 AA 种站法。可根据能被 3 和 4 整除直接选 D。
3.【答案】D。解析:
问题一:捆绑法;所有数学书相邻,所有外语书也相邻。
问题二:有影响。
问题三:数学书和外语书都必须排在一起,所以将 4 本数学书和 3 本外语书分别看
作为一个整体。这两个整体与其余 3 本语文书一起排列,一共有 17280AAA 3
3
4
4
5
5 种
排法。
问题四:因为 4 本数学书相同,3 本外语书相同,总的方法数为 5
5A =120。
4.【答案】D。解析:
问题一:插空法,题干要求 2 名男员工不能坐在一起。
问题二:先将女员工排好,有 3
3A 种排法;再将 2 名男员工插空,且 2 名男员工之
间有顺序,有 2
4A 种选法。所以不同的座次安排共有 3
3A ×2
4A =72 种。
5.【答案】C。解析:
方法一:
①包含:甲参加乙不参加、甲不参加乙参加、甲乙都不参加。
②甲乙中有一人参加,有 3
6
1
2CC 种选法;甲乙都不参加,有 4
6C 种选法。
③所求为 3
6
1
2CC +4
6C =55 种。
方法二:
①甲乙同时参加。
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②甲、乙两人同时参加,共有 C2
6 =15 种。
③总共的选派方法有 C4
8 =70 种,本题所求为 70-15=55 种。
实战演练
1.【答案】C。解析:满足题意的组合共计 6 种,如下:
5升 2升 1升
1 2 0
1 1 2
1 0 4
0 3 3
0 2 5
0 1 7
2.【答案】B。解析:首先考虑三个部门的出场顺序,有 3
3A =6 种;其次考虑每个
部门选手的出场顺序,分别有 3
3A =6 种, 2
2A =2 种, 4
4A =24 种。则不同参赛顺序的种
数为 6×6×2×24=72×24,计算结果显然大于 1000,小于 5000,故此题答案为 B。
3.【答案】B。解析:要求最后播放奥运广告,则奥运广告有位置要求,需用优限
法,且两个奥运广告不相邻,需用插空法。先从奥运广告中选择 1 个,放在最后播放,
有 2 种选择,再将 3 个商业广告进行排序, 3
3A =6 种播放方式,最后在 3 个商业广告形
成的 3 个空中放入另一个奥运广告,有 3 种放法。综上,不同的播放方式共有 2×6×3=36
种。
4.【答案】D。解析:根据题意,政治理论课需要选择 5 门,一共有 565
8 C 种情
况。专业技能课选择一共有 101505014
5
3
5
2
5
4
5
5
5 CCCCC 种情况,因此
一共有 56×101=5656 种选择。选择 D 项。
5.【答案】D。解析:选取 3 颗棋子,至少有一颗黑子的对立面是全部都为白子。
全部都为白子的情况共有 3
8C 种,任选 3 颗棋子的情况共有 3
12C 种, 3
12C -3
8C =220-56=164
种。
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第六章 概率问题
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】5
2;
5
2;
10
3;
5
3;
10
9。解析:
(1)任取 1 本书,取到每本书的可能性是相同的,为等可能事件。书的总数为 5
本,即为总事件数;编号为偶数的有 2 本,即为满足条件的方法数,故所求为5
2;
(2)任意取 2 本书,总事件数为 2
5C 种。编号恰好相邻有 4 种,即为(1、2)、
(2、3)、(3、4)、(4、5),所求为 2
5
4
C=
5
2;
(3)任意取 2 本书,总事件数为 2
5C 种。编号均为奇数有 2
3C 种,所求为2
5
2
3
C
C=
10
3;
(4)任意取 2 本书,总事件数为 2
5C 种。编号是一个奇数一个偶数的有 1
3C ×1
2C 种,
所求为2
5
1
2
1
3
C
CC =
5
3;
(5)方法一,任意取 2 本书,总事件数为 2
5C 种。所求事件为两本书至少有一本
的编号为奇数,有两种情况,其中一本编号为奇数一本编号为偶数或者两本的编号均为
奇数,所求事件数为 1
3C ×1
2C +2
3C 。所求为2
5
2
3
1
2
1
3
C
CCC =
10
9。
方法二,任意取 2 本书,总事件数为 2
5C 种。所求事件为至少有 1 本书编号为奇数,
其对立事件为 2本书的编号均为偶数,对立事件数为 2
2C =1种。故所求概率为1- 2
5
1
C=
10
9。
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随堂练习 1.【答案】B。解析:员工周一至周日选择连续两天参加联谊会共有 6 种情况,员
工周五至周日选择连续两天参加联谊会共有 2 种情况,则所求概率为6
2=
3
1。
2.【答案】B。解析:从 5+3=8 人中任选 2 人,没有顺序要求,总事件数是 2
8C 种。
所求事件为选的 2 人恰有 1 人会唱歌,有 1
5C ×1
3C 种。因此所求概率为2
8
1
3
1
5
C
CC=
28
15。
3.【答案】D。解析:总事件是从 5 个人中选 3 个录取,没有顺序要求,总事件数
为 3
5C =10。所求事件为甲、乙两人至少有 1 人被录用,其对立事件是甲、乙两人都未
被录用,录取了其余 3 人,对立事件数为 1。则所求概率为 1-10
1=
10
9。
☆例题 2☆
【答案】C。解析:小明每次抛币之间相互没有影响,且每次字面向上的概率是2
1,
所求概率为 )()(2
1-1
2
1 22
3 C =8
3。
随堂练习 1.【答案】C。解析:每天是否下雨之间相互没有影响,且每天下雨的概率是相同
的,属于独立重复试验,所求概率为 31
4 4.06.0 C =0.1536,故选 C。
2.【答案】C。解析:甲赢得比赛有两种情况:一是前两局连胜,概率为 0.8 2 =0.64;
二是前两局一胜一负、第三局获胜,概率为 C1
2×0.8×0.2×0.8=0.256,故甲获胜概率为
0.64+0.256=0.896。
实战演练
1.【答案】C。解析:掷 3 颗骰子,出现的点数情况共有 6×6×6=216 种,三个点数
之和为 4,只能是 1+1+2,有 3 种情况,即(1、1、2)、(1、2、1)、(2、1、1),
故所求概率为216
3=
72
1,选择 C。
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2.【答案】C。解析:设原有职员 x 人,则有x
14-
2
12
x=3%,解得 x=50。则选派
的两人都是女职员的概率为2
48
2
12
C
C=
188
11≈
17
1≈6%,故本题答案为 C。
3.【答案】D。解析:从 8 个球中选取 4 个球,有 4
8C =70 种不同的可能。选取的 4
个球颜色相同,只有同为红球和同为白球 2 种,其他情况下都会有两种颜色,则选取的
4 个球包含两种颜色的概率为 1-70
2=
35
34。
4.【答案】B。解析:方法一,若小张固定了座位,剩下 39 个座位小李可以选,小
李要和小张坐在同一排,只能在小张坐的那一排剩余的 7 个位置上选,故两人坐在同一
排的概率都是39
7,不到 18%,选择 B。
方法二,小张、小李随机入座共有 2
40A 种不同的方式,每排 40÷5=8 个座位,他们
两人坐在同一排有( 1
5C ×2
8A )种可能,则所求概率为2
40
2
8
1
5
A
AC =
39
7=17.X%。故本题
选 B。
5.【答案】B。解析:第七局甲队获胜,前六局甲队胜三局,因此所求概率为
6.04.06.0 333
6 C ≈0.166,在 10%~20%之间。
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第七章 极值问题
第一节 和定最值
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】(1)19;(2)3。解析:存在和,和为 29。(1)要使分得最多的部门
分得电脑最多,且每个部门分的数量互不相同,则其他部门分得的数量应尽可能少,依
次为 1、2、3、4,故分得电脑最多的部门最多分得 29-1-2-3-4=19 台。(2)要使分得
最少的部门分得最少,且每个部门分的数量互不相同,则其他部门分得的数量应尽可能
多,从大到小依次为 8、7、6、5,故分得电脑最少的部门最少分得 29-8-7-6-5=3 台。
随堂练习
1.【答案】B。解析:存在和,和为 14×7=98,求 7 个正整数中最大的数最大,则
其他数尽可能的小,最小四个数分别为 1、2、3、4,第二、三大数依次为 19、18,所
以最大数的最大值是 98-1-2-3-4-19-18=51。
2.【答案】A。解析:和为 183,求效率最慢的工人一小时最少完成多少个零件,
则让其他 7 名工人一小时完成的零件数尽可能多,依次为 27、26、25、24、23、22、
21,所以所求为 183-24×7=15。
☆例题 2☆
【答案】(1)7;(2)6;(3)7。解析:
(1)已知技术部分得的数量最多,要使技术部分得最少,且每个部门分的数量互
不相同,则其他部门分得的数量应尽可能多,即 5 个部门分得的数量尽可能接近。
21÷5=4……1,则 5 个部门分别分得 6、5、4、3、2,剩余的 1 台只能分给技术部,故
技术部最少分 7 台。
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(2)要使技术部分得最少,且每个部门分的数量互不相同,则其他部门分得的数
量应尽可能多,即 6 个部门分得的数量尽可能接近。21÷6=3.5,则 6 个部门分别分得 6、
5、4、3、2、1,故技术部最少分 6 台。
(3)要使技术部分得最少,且每个部门分的数量互不相同,则其他部门分得的数
量应尽可能多,即 4 个部门分得的数量尽可能接近。21÷4=5……1,则 4 个部门分别分
得 7、6、4、3,剩余的 1 台分给分得数量第三多的部门,即 4 个部门分别分得 7、6、5、
3,故技术部最少分 7 台。
随堂练习
1.【答案】B。解析:要想抽调人数最多的专业抽调人数最少,则其他专业抽调的
人数要尽可能的多,也就是人数均分。256÷7=36……4,利用平均数构造数列为 39、38、
37、36、35、34、33,剩余的 4 人依次分给第一~四多的专业各 1 人,所以抽调人数最
多的专业最少抽调了 39+1=40 人。
2.【答案】A。解析:要想分数最低的得分最多,则其他同学的得分应尽可能的少,
513÷6=85.5,成绩从高到低依次为 88、87、86、85、84、83,所以分数最低的最多得
了 83 分。
3.【答案】B。解析:方法一,若要体重最重的女生体重最少,则需让其他女生体
重尽可能重,又体重最轻的重 54 公斤,故设体重最重的女生体重最少为 x 公斤,则其
余 3 名女生体重最重依次为 x-1,x-2,x-3,即 x+(x-1)+(x-2)+(x-3)+54=58×5,
解得 x=60.5,因 x 为整数,故体重最重的最少为 61 公斤。
方法二,要想体重最重的女生体重尽量少,则让其余 4 名女生的体重尽量重,则这
5 名女生的体重应尽可能接近,因互不相等,则可构成等差数列,根据 5 名女生的平均
体重 58 公斤构造等差数列,从重到轻依次为 60、59、58、57、56,最轻的理论上是 56
公斤,实际上是 54 公斤,理论比实际多了 2 公斤,多的 2 公斤只能给最重的两人,因
此最重的最轻为 60+1=61 公斤。
4.【答案】C。解析:要求数量最多的最少分得的数量,则其他部门分得的数量尽
可能的多,即数量构成等差数列,结合平均值,8 个部门分得的笔记本数量依次为 254、
253、252、251、249、248、247、246,数量最少的部门最多分 245 本,比数列中对应
数字少 1 本,则第五多的部门多 1 本,所以数量最多的技术部最少分了 254 本。
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☆例题 3☆
【答案】5。解析:
问题一:存在和,和为 21,求第三大的最大值。
问题二:若要分得电脑第三多的部门分得的电脑数量最多,则其他部门分得的电脑
数量应尽可能少。
问题三:分得电脑第五和第四的最少依次为 1 和 2 台,此时剩余 21-1-2=18 台,剩
余部门分得的电脑数量尽可能接近,构成等差数列。18÷3=6,由此可得第一、二、三
多的分得电脑依次为 7、6、5 台,因此所求为 5 台。
随堂练习
1.【答案】D。解析:为使排名第三的同学得分最少,就应使其他同学得分多。即
令前两名同学分别得 100 分和 99 分,则剩下的三名同学的总分为 95×6-100-99-86=285
分;第四、五名的同学和第三名的同学的分数差距应该尽可能小,即均相差 1 分,
285÷3=95 分,当第三、四、五名同学分别得 96、95、94 分时满足条件。应选择 D。
2.【答案】B。解析:20 人的总分是 20×88=1760 分,不及格的人数为 20×(1-95%)
=1 人,则他的分数最高为 59 分;前 9 名的总分最多是 100+99+……+92=864 分,所以
剩下 10 人的分数之和是 1760-59-864=837 分。第 11 名到第 19 名的成绩应该与第 10 名
的成绩相差尽可能少,即均相差 1 分,837÷10=83……7,可构造数列为 88、87、86、
85、84、82、81、80、79、78,剩余的 7 分依次分给第 10、11、15~19 名,即第 10 名
到第 19 名的成绩分别为 89、88、86、85、84、83、82、81、80、79,故排名第十的人
最低考了 89 分。
第二节 最不利原则
二、能力训练
1.解析:
问题一:至少从中取出 3 个球,同黑或者同白可使 3 个球颜色相同;
问题二:至少从中取出 2×2+1=5 个球才能保证有 3 个球的颜色相同。
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2.解析:
问题一:至少从中取出 5 个球,同黑或者同白可使 5 个球颜色相同;
问题二:至少从中取出 3+2×4+1=12 个球才能保证有 5 个球的颜色相同。
三、解题训练
1.【答案】A。解析:最不利情况是每个颜色的球都取出 5 个,此时再任取一个球
即可,则所求为 3×5+1=16。
2.【答案】C。解析:{4,30},{6,28},{8,26},{10,24},{12,22},{14,
20},{16,18},这 7 组的和均为 34,此时还剩{2},最不利情况是从和为 34 的每组中
任取 1 个,再取出未凑成对的 2,此时再任取 1 个即可满足题意,故所求为 7+1+1=9
个数。
3.【答案】C。解析:四项培训中选两项参加,共有 2
4C =6 种选法,要保证至少有
5 名党员参加的培训完全相同,根据最不利原则至少需要有 4×6+1=25 名党员。
实战演练
1.【答案】C。解析:100 块糖分给 10 名小朋友,平均每人分 10 块。要想数量最
多的小朋友分的最少,则其他小朋友分得数量尽量多,即数量均分。利用平均数 10 构
造等差数列,这列数依次为 15、14、13、12、11、9、8、7、6、5,所以分得数量最多
的小朋友至少分得 15 块糖。
2.【答案】D。解析:要使第二多的小组的人数尽量多,则其他小组的人数应尽可
能少,人数最少的四个小组的人数和最少为 10+11+12+13=46,剩余两个小组的人数为
120-46=74,则第二多的小组的人数最多为 74÷2-1=36 人。
3.【答案】B。解析:运用最不利原则,考虑最坏情况。当拿出中兴公司的 2109
项专利、松下公司的 2109 项专利、华为公司的 1831 项专利之后,再任取一项专利,能
保证拿出的专利一定有 2110 项是同一公司申请的专利。2109+2109+1831+1=6050,即
为本题所求。
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4.【答案】C。解析:取 1 个文件夹的情况有 4 种,取 2 个文件夹的情况有 4+C2
4=10
种,共有 14 种情况。考虑最不利原则,每种情况都有 2 人取到,再多一人就能保证有
3 人取到完全一样的文件夹,则至少应该有 2×14+1=29 人去取。
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第八章 容斥问题
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】A。解析:文氏图略。设既通过理论考试又通过上机考试的人数为 x,根
据两者容斥公式有 34+32-x+4=40,解得 x=30,有 30 人通过考试。
随堂练习 1.【答案】B。解析:根据容斥原理可知,这天至少有 150+90-20=220 位病人,选
择 B。
2.【答案】D。解析:如下图,88 人有手机,15 人有手机没电脑,则 88-15=73 人
既有手机又有电脑,已知 76 人有电脑,所以有电脑没手机的有 76-73=3 人。
☆例题 2☆
【答案】B。解析:设三个项目都没有参加的有 x 名,利用三者容斥公式得
18=8+10+12-4-6-5+2+x,解得 x=1。
随堂练习 1.【答案】B。解析:设 A、B、C 三者重叠的面积为 x,根据容斥原理可得
36×3-7-6-9+x=88,解得 x=2。
2.【答案】A。解析:设三项全合格的建筑防水卷材产品有 x 种,根据容斥原理可
得,8+10+9-7-2×1+x=52,解得 x=34。
3. 【 答 案 】 A 。 解 析 : 设 三 种 上 网 方 式 都 使 用 的 人 数 有 x , 则
1258+1852+932-352-x=3542,解得 x=148。
手机 电脑
88 15 76
?
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☆例题 3☆
【答案】40,9。解析:
问题一:若要两种课程同时都选的人数最多,则选修文学的 40 人同时也选择了数
学,此时两科都选的人数最多,最多为 40 人;
问题二:根据容斥极值公式可得,两种课程都选的学生至少有 69+40-100=9 人。
随堂练习 1.【答案】D。解析:根据容斥极值公式,所求为 580+575+604-2×620=519。
2.【答案】C。解析:若想全勤人数占全厂最多,则第一季度的 80%的人,在第二
季度、第三季度、第四季度都全勤,此时全年全勤的人最多,占 80%。根据容斥极值
公式,最少占全厂的 80%+85%+95%+90%-100%×3=50%。
实战演练
1.【答案】C。解析:参加开幕式(3 的倍数)有[100÷3]=33 人,参加闭幕式(5
的倍数)有[100÷5]=20 人,既参加开幕式又参加闭幕式(既是 3 的倍数又是 5 的倍数)
有[100÷3÷5]=6 人,设既不参加开幕式又不参加闭幕式的有 x 人,由容斥原理可得,
33+20-6+x=100,解得 x=53。
2.【答案】C。解析:根据题干,设两天活动都报名参加的人数为 1 份,则只参加
周日活动的人数为 2 份,报名参加周日活动的共有 1+2=3 份,从而报名参加周六活动
的人数为 3×2=6 份,只参加周六活动的人数为 6-1=5 份,报名参加活动的总人数为只参
加周六+只参加周日+两天都参加=5+1+2=8 份。根据有 80%的职工报名参加,即参加的
人数∶未参加的人数=80%∶(1-80%)=8∶2,则未报名参加活动的人数为 2 份,是只
报名参加周六活动的人数的 2÷5×100%=40%。
3.【答案】C。解析:如图,会且只会一种语言的有 2+2+1=5 人。
1
1
2 3
英语
2 1 法语 德语
2
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4. 【 答 案 】 D 。 解 析 : 根 据 容 斥 原 理 可 得 , 回 收 的 问 卷 共 有
179+146+246-24-2×115+52=369 份,因此这次调查共发出 369÷90%=410 份问卷。
5.【答案】A。解析:任务绩效考核达到良好且群众满意度指标及格的至多有 35
人,所以任务绩效考核达到良好而群众满意度指标不及格的至少有 40-35=5 人。任务绩
效考核达到良好且群众满意度指标及格的至少有 40+35-50=25 人,则任务绩效考核达到
良好而群众满意度指标不及格的至多有 40-25=15 人。综上,选择 A。
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第九章 几何问题
第一节 平面几何
二、能力训练
1.【答案】9。解析:
不等边三角形:只有 1 种。
等边三角形:有 3 种。
等腰不等边三角形:如果以 7 为腰,则可以 3 或者 5 为底;如果以 5 为腰,则可以
3 或者 7 为底;如果以 3 为腰,那么只可以 5 为底。所以共有 5 种。
综上一共是 9 种。
2.【答案】(1)5,12,6;(2)12;(3)1∶ 3 ∶2;(4)1∶1∶ 2 。
3.【答案】(1)3,6π,9π;(2)等边,4
39 ;(3)直角,2
39 ;(4)6+2π,
3π;(5)36,18。
三、解题训练
☆例题 1☆
【答案】B。解析:根据题意,老王风筝的高度为 60×sin6
=60×
2
1=30 米,老侯为
50×sin4
=50×
2
2≈35.35 米,老黄为 40×sin
3
=40×
2
3≈34.64 米,故老侯的风筝放的
最高。
随堂练习
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1.【答案】B。解析:分析题干可知,DE 垂直于 AB 并平分 AB,如下图。根据有
一个角为 30°的直角三角形的三边关系,可得 AB=6÷2
3=4 3 ,AD=
2
1AB=2 3 ,
△ADE 也是有一个角为 30°的直角三角形,则 DE=AD×3
3=2 3 ×
3
3=2。
2.【答案】D。解析:摩天轮匀速旋转一周需要 2 分钟,则 40 秒可以旋转3
1圆周,
对应圆心角 120°,如下图所示,其中直角三角形的一个角为 30°,小浩所在位置比圆
心高 5 米,圆心距离地面的高度为 10.1 米,小浩与地面距离为 15.1 米,选择 D。
☆例题 2☆
【答案】C。解析:如下左图所示,甲某身高及其影子构成直角三角形1A 1B 1C ,
其中1A 1C =1.8, 1A 1B =0.9。如下右图所示,电线杆及其影子构成直角梯形 ABED,其
中,AB=7,BE=1,BC∥DE,故 CD=BE=1。
△ABC∽△1A 1B 1C ,所以
AB
AC
BA
CA
11
11 ,得 AC=14。所以电线杆的高度为
AD=AC+CD=14+1=15 米。
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随堂练习
1.【答案】D。解析:在梯形中,上底与下底平行,可得△AOB∽△COD,其面积
之比等于对应边 AO、CO 之比的平方,为 1∶4。△AOB 与△BOC 可看成两个等高的
三角形,面积之比等于底 AO、CO 之比,为 1∶2。显然△AOD 与△BOC 面积相等。
设△AOB 面积为 1,则梯形面积为 1+2+2+4=9。故所求为 9∶1。
2.【答案】C。解析:设池塘的边长为 2x 米,则 DH 的长度为 x 米,AC 的长度为
3+2x+4=2x+7。因为 DG∥BC,则△ADH 与△ABC 相似,则有BC
DH=AC
AH,即
90
x=
7x2
3
,解得 x=10,则池塘的边长为 2×10=20 米。
第二节 立体几何
二、解题训练
☆例题☆
【答案】D。解析:假设原正方体的棱长为 1,则原正方体的表面积为 6。截去 20%
后,得到的长方体的高为 1×(1-20%)=0.8,则长方体的表面积为 1×1×2+1×0.8×4=5.2,
则所求为6
25.=
15
13。
随堂练习
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1.【答案】B。解析:圆锥形铝块的体积为3
1×π× 220 ×27=3600π,原来圆柱形铝块
的体积为 π× 230 ×20=18000π,因此新的圆柱形铝块的体积为 3600π+18000π=21600π,
其高为 21600π÷(π× 215 )=96 厘米。
2.【答案】C。解析:正八面体的体积公式没有学过,但由图中可以看出,将正八
面体拆解为两个完全相同的四棱锥,而每个棱锥的体积 V=3
1Sh,高度 h 正好为正方体
边长的一半,即 3 厘米,现在只需要求棱锥的底面积 S。
将棱锥的底面单独拿出来看,如下图所示:
棱锥底面积正好等于正方体底面积的一半,即为 6×6÷2=18 平方厘米。因此每个棱
锥的体积为3
1×18×3=18 立方厘米,正八面体体积为 18×2=36 立方厘米。因此选择 C。
实战演练
1.【答案】A。解析:显然切割的正方形面积越大,弃去不用的部分面积越小,如
图所示,切一个边长为 16 厘米的正方形,剩下的长方形长为 16 厘米,宽为 8 厘米,可
切出两个半径为 4 厘米的圆,故本题选 A。
2.【答案】B。解析:5 2 +12 2 =13 2 ,则三角形是直角三角形。如图所示,设最大
的正方形边长为 x,最大的圆半径为 y。则有(5-x)∶x=5∶12,解得 x=17
60;5-y+12-y=13,
解得 y=2,则圆的直径为 4。故本题选 B。
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3.【答案】D。解析:如下图,M 为无人机所在位置,过 A、B、C 三点的圆的圆
心为 O,则 MO⊥平面 ABC,MO 即为无人机的空中高度,也即所求。因为△ABC 为
直角三角形,则 O 为斜边也即最长边 BC 的中点。在直角△MOC 中,MC=500,OC=300,
根据勾股定理 MO=400,选择 D。
4.【答案】D。解析:正四面体的 4 个面均为等边三角形,且每个棱长均相等,其
表面积等于其中一个等边三角形面积的 4 倍。△GHM 与△DEF 的面积比为 1∶4,同理
△DEF 与△ABC 的面积比为 1∶4,则△GHM 与△ABC 的面积比为 1∶16。正四面体
P-ABC 的表面积是三角形 ABC 面积的 4 倍,故所求比例为 1∶(16×4)=1∶64。
5.【答案】D。解析:该正方体每个面面积为 18÷6=3 平方厘米,按题干要求切割,
截面面积是每个面的 2 倍,增加了 2×3 2 =6 2 平方厘米。要使拼完后的大三棱柱
表面积最大,则重合的面应该最小,可知重合面为切割形成的等腰三角形时减少的表面
积最少。所求为 18+6 2 -3=15+6 2 ,选 D。
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第十章 函数图像问题
二、解题训练
☆例题 1☆
【答案】A。解析:
问题一:将 P 的运动分为两段,B 为拐点,AB 是一段,BC 是一段。
问题二:当 P 在 AB 上运动,即 0≤x≤2时,△ADP 的面积 y=2
1×AD×AP=x。
问题三:当 P 在 BC 上运动,即 2<x≤4 时,△ADP 以 AD 为底,此时的高相当于
AD 与 BC 的两线段的距离,为 2,因此△ADP 的面积 y =2
1×2×2=2。
问题四:由问题二、三可知,当 P 在 AB 上运动,即 0≤x≤2时,△ADP 的面积 y=x,
图像是过原点,斜率为 1 的线段;当 P 在 BC 上运动,即 2<x≤4时,△ADP 的面积 y=2,
是个常数,图像是水平线段。
☆例题 2☆
【答案】B。解析:
问题一:根据面包车可乘坐 10 人,可知当人数为整 10 的倍数时,函数图像出现跳
跃。
问题二:设参加人数为 x,平均每名学生的春游费用支出为 y,因此
当 1≤x≤10时,y=x
250+40,
当 10<x≤20时,y=x
500+40,
当 20<x≤30时,y=x
750+40,
……
问题三:由问题二可知,每段区间上的函数为反比例函数,单调递减,故选 B。
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实战演练
1.【答案】A。解析:设甲生产线 1 小时的产量为 5,则乙生产线 1 小时的产量为 1。
根据甲、乙每小时的产量及产量差整理表格如下:
T(总生产时间) 1 2 3 4 5 ……
甲产量 5 5 5 5 10 ……
乙产量 1 2 3 4 5 ……
L(产量之差) 4 3 2 1 5 ……
根据题意可知,每 4 个小时为一个循环,每个循环的前 1 个小时,甲、乙产量的差
距均会扩大 4,即 L 的斜率应为 4;后 3 个小时,甲、乙产量的差距以每小时减少 1 变
化,即 L 的斜率应为-1。结合选项可知,只有 A 项符合。
2.【答案】D。解析:由于甲的速度为乙的 2 倍,根据正三角形特点,则甲走到顶
点时,乙正好走到底边中点,且在此之前甲乙连线始终垂直于底边,距离= 3 vt,其
中 v 为乙的速度,可知距离随时间按一次函数呈直线变化。甲从顶点到底边的过程,甲
乙距离则逐渐减小。两人将同时到达底边右侧点,此后的过程与从 A 点出发情况相同,
出现循环。根据“先增大后减小,按直线变化、出现循环”这些特点确定本题答案为 D。
3.【答案】C。解析:所有获奖的人可以是来自于同一个分公司,即 Y 的上限等于
X,由此排除 A;获奖人数最多的分公司获奖人数不应小于获奖总人数的3
1,且为整数,
下表列出了 X 为部分确定值时,Y 的下限值:
由上表可知,Y 的下限的取值呈阶梯形分布,排除 B、D,确定本题答案为 C。
4.【答案】B。解析:当 0≤x≤2时,AD=PD=x,这个范围内△ADP的面积y=2
1×AD×PD=
2
12x ,是开口向上的一元二次函数,排除 A、D;当 2<x≤4 时,AD=x,DP=DB=4-x,
此时△ADP 的面积 y=2
1×AD×PD=
2
1x×(4-x)=-
2
12x +2x,是开口向下的一元二次函
数,排除 C,选择 B。