第三章 行列式

3.1 行列式的定义

3.2 行列式的性质及应用

3.3 克莱姆（Cramer）法则

3.4 行列式的计算

3.5 应用实例

3.6 习题

3.1 行列式的定义

3.1.1 二、三阶行列式的定义

引入记号： ，称它为二阶行列式

其值规定为：

2221

1211

aaaa

211222112221

1211 aaaaaaaa

−=

把 的连线称为二阶行列式的主对角线，

把 的连线称为二阶行列式的副对角线，

那么二阶行列式的值就等于主对角线上元素

的乘积减去副对角线上元素的乘积。

例3.2 在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为： 、 ，如图

3.1所示，求平行四边形OACB的面积。

2211, aa

2112 , aa

( )11 ,ba ( )22 ,ba

图3.1 二阶行列式等价于平行四边形面积

解：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于

点D。显然可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，则有：

（3-2）

1221 babaSSSSSSS AEDCOEDBAEDCAEOCDBOEDBOACB −=−=−−+=

根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面

积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列

式：

例3.3 求下面三元线性方程组的解：

22

11

baba

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

解：利用消元法可以得到：

（3-3）

当 之前的系数不为零时，可以解出 的值

但这个结果很难记忆，为此引进三阶行列式

的定义，我们称：

是一个三阶行列式

( ) 1322311332112312213322113312312332211 xaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++

322313321232213322133231233221 aabababaaababaaaab −−−++=

1x 1x

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

其值规定为：

（3-4）

图3.2给出了它的图示计算规则（称为沙路

法）。

图3.2 三阶行列式的计算规则

322311332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−++=

有了三阶行列式的定义，我们可以把式（3-3）写为：

当方程组（3-2）的系数行列式

时，可以得到它的解。

33323

23222

13121

1

333231

232221

131211

aabaabaab

xaaaaaaaaa

=

0

333231

232221

131211

≠=aaaaaaaaa

D

3.1.2 n阶行列式的定义

把三阶行列式定义式（3-4）改写为如下形

式：

则有：

（3-5）

( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

−+−−−=

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

+−=

定义3.1 在n阶行列式中，划去元素 所在的

第i行和第j列元素后，余下的元素按原来次序

构成的n-1阶行列式，称为元素 的余子式

记作 ，称为元素 的代数余子式。

根据定义3.1，可以把式（3-5）变为：

jia

jia

jiM jia

131312121111

333231

232221

131211

AaAaAaaaaaaaaaa

++=

定义3.2 由 个数组成的 阶行列式

是一个算式，当 时，

；当 时，

（3-6）

2n n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

D

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

= 1=n

11aD = 2≥n

∑=

=+++=n

kkknn AaAaAaAaD

1111112121111 L

3.1.3 行列式定义的进一步讨论

定义3.3 由n个自然数1、2、3、…、n组成

的一个有序数组，称为一个n元排列。

例如，1 2 3、132、213、231、312、321都是3元排列。

在n元排列的n！个排列中，123…n是唯一一

个按从小到大排列的n元排列，称为标准排列

（或自然排列）

定义3.4 一个排列中任两个数，如果排在前

面的数大于排在后面的数，则称这两个数构

成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为

这个排列的逆序数。

排列的逆序数记为

例如，五元排列25341，1和2、5、3、4有四

个逆序，4和5有一个逆序，3和5有一个逆

序，则排列25341的逆序数为4＋1＋1＝6。

( )niii L,, 21=τ

定义3.5 （行列式的另一种定义方法）：

由 个数组成的 阶行列式：

(3-7)

其中 是一个n元排列， 表示对

所有n元排列（n！个）求和。

2n n

( ) ( )∑ −=n

n

n

pppnppp

ppp

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaaaaa

L

LL

L

LLLL

L

L

21

21

2121

21

22221

11211

1 τ

nppp L21∑

nppp L21

例3.4 写出四阶行列式中含有 的项。

解：四阶行列式共有24项，其中含有 的项

为： ，我们只要分析列标排列

1x2y的各种情况，显然有1324和1423两种

情况，1324逆序数为1，1423逆序数为2，则四阶行列式中含有 的项为：

和 。

3211aa

3211aa

yx aaaa 432211

3211aa

44322311 aaaa− 43322411 aaaa

3.1.4 矩阵与行列式的关系

矩阵是一个数表，而行列式是一个算式，即

它是一个值。

在比较两个矩阵是否相等时，不仅要求两个

矩阵同型，而且要求两个矩阵所有对应元素

相等。

而两个行列式是否相等，只需分析其值是否

相等。

矩阵是由一对方括号（或圆括号）括起，而

行列式是由一对竖线括起。

矩阵的行数和列数不做任何限制，而行列式

的行数与列数必须相等。

当讨论的矩阵A是方阵时，把A的一对方括号

去掉，加上一对竖线，就变成了行列式，我

们把这个行列式称为方阵A的行列式，

记作： 或 。A ( )det A

例3.5证明n阶下三角矩阵

的行列式 。

证明：用数学归纳法证明，当 、

时，结论显然成立。

假设结论对 阶下三角行列式成立，则由定义3.2得：

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn aaa

aaa

L

LLL

21

2221

11

nA

( ) nnaaa L2211det =nA

1=n 2=n

1−n

右端行列式是 阶下三角行列式，根据归

纳假设得：

同理可证，n阶对角矩阵的行列式（也称n阶对角行列式）

1−n

( ) ( )

nnnnnnnn aaa

aaa

a

aaa

aaa

L

LLL

L

LLL

32

3332

22

1111

21

2221

11

1det +−==nA

( ) nnaaa L2211det =nA

nn

nn

aaa

a

aa

LO 2211

22

11

=

3.1.5 行列式按行（列）展开

定理3.1 n阶行列式D等于它的任一行（列）

的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，

即：

或：∑=

=+++=n

kikikininiiii AaAaAaAaD

12211 L ( )ni ,,2,1 L=

∑=

=+++=n

kkjkjnjnjjjjj AaAaAaAaD

12211 L ( )nj ,,2,1 L=

例3.6 计算行列式

解：此行列式第3列只有一个非零元素，故应

把行列式按第三列展开。得到的三阶行列式

中的第3列又只有一个非零元素，再得：

0011153200236012

−

=D

( ) ( ) ( )( ) 1501213301123

165011023612

15 3133 =−×−××=−

−××=−

−×= ++D

3.2 行列式的性质及应用

3.2.1 行列式的性质

性质1 行列式 与它的转置行列式 相等。

行列式的转置和矩阵的转置概念相同。

如：

D TD

862540321

853642201

−=

− T

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变

号。

如：

推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，

则此行列式为零。

推论2 n阶行列式D的任一行（列）的各元素

与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积

之和等于零，即：

∑=

==+++n

kjkikjninjiji AaAaAaAa

12211 0L ( )ji ≠

或：

例3.7 已知四阶行列式 ，

求 ，（其中 为行列式D的代数余子式）。

解：可以先求出行列式D的第四行各元素的代

数余子式，然后再进一步求得题目的答案。

也可以利用代数余子式的性质来分析此题。

01

2211 ==+++ ∑=

n

kkjkinjnijiji AaAaAaAa L ( )ji ≠

44434241 432 AAAA +++ ijA

构造行列式 ，行列式 按第四

行的展开式，刚好就是

1D

44434241 432 AAAA +++

43210200006120102

1

−

== D

( ) ( ) 9661202

1242000612102

14 3344 34−=

−−××

−−× ++

＝＝展按展按 rc

性质3 用数k乘以行列式D，等于D中某一行

（列）的所有元素同乘以数k。如下等式中，把数3乘到了行列式的第二列

中：

推论1 行列式某一行（列）中所有元素的公

因子可以提到行列式的外面。

推论2 如果行列式的任意两行（列）对应元

素成比例，则行列式为零。

下列行列式的第一行和第三行所有对应元素

成比例，故知：

性质4 行列式可以按某一行（列）拆分成两

个行列式之和。

0

0197129153672286102

=

具体拆分方法用4阶行列式说明如下：

性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘

以同一数后加到另一行（列）对应的元素上

去，行列式值不变。如：

3.2.2 方阵行列式的性质

设A、B为n阶方阵，k是数，根据行列式的性

质可以得到方阵的行列式有如下性质：

（1）（2）（3）（4）（5）

AA T =

AA nkk =

BAAB =kkA = A

11 −− = AA

3.2.3 方阵可逆的充要条件

定义3.6 设矩阵 ,且 的代数

余子式为 ，则称矩 为 的伴

随矩阵。记为 ，或 。

ija

ijA A

adj(A) *A

伴随矩阵的重要性质：

定理3.2 n阶方阵 为可逆矩阵的充要条件

是 。当 可逆时， 。

证：充分性，当 时，

知 故结论成立；

必要性， 设 可逆，有 ，两边同取

行列式 ，故

= =A adj(A) adj(A) A A I

A0≠A A − =1

1A adj(A)A

0≠A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1A adj(A) adj(A) A IA A

A − =1AA I1− = =1A A I 0≠A

推论 若 和 为同阶方阵，且满足 ，

则 ，即矩阵 和矩阵 互逆。

例3.8 判断三阶方阵 ，是否可逆；

若可逆，求

解：因为 ，所以 可逆。 中各元

素的代数余子式分别为

AA

BB

AB = IBA = I

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1228206638

A1−A

A A

411 −=A

5612 −=A1213 =A 2421 −=A 4822 =A

823 =A 631 =A 2032 =A 1833 −=A

128 0= − ≠A

则：

例3.9 设 为n阶可逆方阵，

证明（1） 也是可逆矩阵且

（2）证：（1）因为矩阵 为可逆方阵，则

又根据伴随矩阵的性质

1

4 24 61 1 56 48 20

12812 8 18

−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

A adj(A)Α

Aadj(A) ( )− =1

1adj(A) AA1n−=adj(A) A

A 0≠A

A adj(A) = adj(A) A = A I

知 ，故 是可逆矩

阵且

（2）对等式 两边取行列式，

有

又因为矩阵 为可逆方阵，则

故有

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A Aadj(A) adj(A) IA A

adj(A)

( )− =11adj(A) AA

=A adj(A) A I

= = = =n nA O

A adj(A) A I A I AO A

O

A 0≠A

1n−=adj(A) A

3.3 克莱姆（Cramer）法则

讨论用行列式来求解含有n个方程n个变量的

线性方程组（3-7）

方程组（3-7）也可以写成矩阵形式：

（3-8）

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

L

L

L

L

2211

22222121

11212111

=Ax b

其中：

行列式 ，称为方程组（3-7）的系数行

列式。

定理3.3（克莱姆法则） 若方程组（3-7）的

系数行列式 ，则该方程组有唯一解：

， ，… ， （3-9）

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

L

L

L L L L

L⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nb

bb

M2

1

b

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x

D = A

0≠D

DDx 1

1 =DD

x 22 = D

Dx n

n =

其中 是把 中第 列的元素用

方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列

式，即：

第 列

定理3.3的逆否定理为：如果线性方程组（3-7）无解或有超过一个以上的解，则它的系数

行列式必为零。

( )njD j ,,2,1 L= D j

j

把常数项全为零的线性方程组

称为齐次线性方程组；

把常数项不全为零的线性方程组

称为非齐次线性方程组。

推论1 对于n×n齐次线性方程组 ，当

系数行列式 时， 只有一个零解。

推论2 若n×n齐次线性方程组 ，有

非零解，则必有 。

0Ax =

bAx =

0Ax =0≠A 0Ax =

0Ax =0=A

例3.10 已知齐次线性方程组

有非零解，问 应取何值？

解：根据推论2，知方程组系数行列式必为

零，故有：

得： 或

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=−−−+=++−−

0)1(2202)2(4024)2(

321

321

121

xxxxxxxxx

λλ

λ

λ

λλ

λ

λλλ

λ

λλ

λ

−−−−

−−+

−−+−−

−−−

−−−−−

−−=

3220201042

2

1222420

2422

122224

2422332 ccrr

D

2r按 展开( )( ) ( )( )( )2 ( 2 )( 3 ) 20 2 2 0λ λ λ λ λ λ− − − − − = =- - - +7

2＝λ 7＝－λ

3.4 行列式的计算

3.4.1 行列式的笔算技巧

主要的方法是把矩阵变换为行阶梯形（三角

形），然后计算其主对角线元素的连乘积；

其次是充分利用含零元素较多的行或列进行

展开；

其他还有加边法、公式法、递推法、数学归

纳法等等。

例3.12 计算四阶行列式

解：利用行列式性质把行列式化为三角行列

式（性质法、三角化法）

42111223921656281066

=D

420062000

36104211

6)1(

42002416603610

4211

696

28106612239216564211

23

2

14

13

12

41

−−+

−×

−−−−−−−

−−

−−

−↔

rrr

rrrrrr

rrD

68

34000420036104211

10

62000420036104211

3443 =−

−+

−−

−↔ rrrr

例3.13 证明：

证：利用行列式性质及行列式按列展开（性

质法、展开法）

( )( )( )( )( )( )342423141312

34

33

32

31

24

23

22

21

43214

1111

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

D −−−−−−==

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )14

2413

2312

22

144133122

141312

112

213

314

34

33

32

31

24

23

22

21

43214

000

11111111

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaa

rarrarrar

aaaaaaaaaaaa

D

−−−−−−−−−

−

−−

=

( )( )( )24

23

22

432141312

111

aaaaaaaaaaaa −−−

并提取公因子

按第一列展开

此例中的四阶行列式，称为四阶范德蒙

（Vander Monde）行列式, n阶范德蒙行列

式为：

( )( )( )( ) ( )234233

2423141312122

223

00

111

aaaaaaaaaaaaaaaa

rarrar

−−−−−−−

−

−

( )( )( )( )( )43

2423141312

11aa

aaaaaaaaaa −−−−−并提取公因子

按第一列展开

( )( )( )( )( )( )342423141312 aaaaaaaaaaaa −−−−−−=

( )∏≤<≤

−−−

−=nij

ji

nn

nn

n

n

aa

aaa

aaaaaa

1

112

11

222

21

21

111

L

LLLL

L

L

L

例3.14 计算n阶行列式（空白处都为零） ：

解：其中只有n个非0元素，这n个元素之积正

是行列式唯一的非零项，再由列下标全排

列（n-1,n-2,…,2,1,n）的逆序数确定该项的

正负。

nn

D n

1

21

−

=N

N

( ) !1 2)2)(1(nD

nn

n

−−

−=

例3.15 计算5阶行列式：

解：由分块矩阵行列式公式：

则得

00010900087654000320000100

5 =D

( ) BAOB

AO nm

nn

mm ×

×

× −= 1

( ) 3610987

654032001

1 235 −=−= ×D

例3.16 计算5阶行列式：

解：该行列式称为三对角行列式，通常可以

用递推法来求解

4100034100034100034100034

5 =D

345 34

4100341003410003

4100341003410034

41

DDDc

−=−展开按

( ) ( ) ( ) 512

323

23445 3333 =−=−=−=− DDDDDDDD

5432

543

545 333333 +++=++=+= DDDD

3643333 54321 =++++= D

例3.17 设 ， 均为n阶方阵，

求：

解：由于 ，

则有：

A B 3=A 5=B

AA nkk = BAAB =

1n* −= AAAA =T

1n21nnTnT 353*3*3 −− ⋅=== BABABA

TΒ*3A

例3.18 设矩阵 ， 矩阵 满

足： ，其中 为单位矩阵， 是

的伴随矩阵，求 。

解：由于 ，则存在 ，且有

即有：

两边取行列式，有：

而

则

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

101210021

A B

BAIBAA 34* −= I *AA B

03 ≠=A 1−A IAAA =*

ABIB 343 −= ( ) IBAI 43 =+33 43 =+ BAI

=+AI 4001200020=

2716

=B

例3.19 设 ， 为三阶方阵且

， ，求 。

解：根据分块矩阵的乘法概念，有：

则

),,( 321 aaaA= A 5=A),2,3( 133221 aaaaaaB −++= B

),2,3( 133221 aaaaaaB −++=

),,( 321 aaa=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

120013101

25)5(5120013101

−=−×=−

=Β A

3.4.2 用MATLAB计算行列式

考虑的问题主要是计算速度和计算精度问题

一．初等矩阵的行列式

对于第一类初等矩阵E1，即行交换变换，它

的行列式等于-1。 det(E1)=-1 (3-11)

对于第二类初等矩阵E2，即行数乘变换，它

的行列式等于k。 det(E2)=k (3-12）

对于第三类初等矩阵E3，即行的乘加变换，

它的行列式仍等于1。det(E3)=1 (3-13）

二．把方阵变换为上三角矩阵——LU分解

如果不考虑出现基准元素为零或很小的情况

时，连第一类初等变换都用不到。这样，通

过N=(n-1)2/2次使用第三类初等矩阵E3，就

可以把主对角线左下方的N个元素全变为零。

写成

(3-14）

其中U是一个上三角矩阵，所有的E3矩阵也

是上三角矩阵。

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∏N

ii=1

E3 A = U

由于初等变换矩阵都是可逆的，其乘积也是

可逆的，设其逆矩阵为L，它应该是一个下三

角矩阵，于是此式可写成

(3-15）

这种把矩阵A通过第三种初等矩阵左乘分解为

一个下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积的变

换称为LU变换。

其中下三角矩阵L的行列式为1，因而上三角

矩阵的行列式就等于原矩阵的行列式，即

det(A)= det(L)*det(U)= det(U)

A = L*U

在实际工程中为了保证计算结果的精度，计

算软件在做行阶梯变换时还是要把基准元素

取为每列的绝对值 大项，所以还是使用了

行交换变换。因为其行列式等于-1，每多一

次交换，就改变一次符号。它并不影响行列

式的绝对值，但影响其正负号。

另外在(3-14）式左端的连乘积中，多了若干

个交换矩阵。会使得 后的下三角矩阵L不那

末标准，各行有些颠倒，常常称之为准下三

角矩阵。

MATLAB提供了矩阵的三角分解函数lu.m，

其调用格式为： [L,U]=lu(A) 它返回的结果就是一个准下三角矩阵L和一个

上三角矩阵U。因为这个函数并不专为行列式

计算之用，有一定的普遍性，所以它不限定A为方阵。

另一种调用格式能同时给出真正的下三角矩

阵L和交换矩阵P,其形式为：

[L,U,P] = lu(A) 此时，它满足 P*A = L*U （3-16）

三．求出上三角方阵的行列式

由(3-15）式知道，det(U)决定了det(A)的绝

对值。因U是一个上三角矩阵，它的行列式为

其对角元素的连乘积。

在不计正负号的时候，可以写出：

用MATLAB语句表示为

D=prod(diag(U))

∏n

iii = 1

A = d e t(U ) = u

在必须知道行列式的正负号时，必须知道lu分解过程中进行了多少次交换，每一次交换就

改变一次正负号。

lu子程序没有给出这个数据，所以解决不了问

题。其实MATLAB已经把上述过程集成在一

起，给出了直接计算方阵行列式的函数det.m其调用格式为： D=det(A)这个函数要求输入变元必须是方阵

3.5 应用实例

3.5.1 用LU分解计算行列式

例3.14 用化简为三角矩阵的方法求下列矩阵

的行列式

解：列出程序：A=[10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1];

[L,U]=lu(A), % 分解为上三角矩阵U和准下三角矩阵L

dU = diag(U); % 取上三角矩阵U主对角线上元素向量

10 8 6 4 12 5 8 9 46 0 9 9 85 8 7 4 09 4 2 9 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D=prod(dU) % 求主对角元素的连乘积

程序运行的结果如下：

dU = 10 –4.8 10.625 9.4824 −1.2349D = 5.9720e+003 = 5972

1.0000 0 0 0 0 0.2000 0.7083 1.0000 0 0

= 0.6000 1.0000 0 0 0 0.5000 0.8333 0.8000 0.2953 1.000

−

− −L

0 0.9000 0.6667 0.6588 1.0000 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

10.0000 8.0000 6.0000 4.0000 1.0000 0 4.8000 5.4000 6.6000 7.4000 0 0 10.6250 12.8750 9.0417 0 0 0 9.4824 1.1235

−=U

0 0 0 0 1.2349

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3.5.2 行列式奇异性对计算精度的影响

例3.15 设线性方程组 中， 是一个6阶的hilbert矩阵，就是说它的下标为(i,j)的元素

值为1/(i+j-1)，系数A,b1及其增量b2=b1+Δb如下：

计算解x1,x2，分析两个解的差与系数差

之间的关系。

Ax = b A

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/4 1/5 1/6 1/7 1/

=A

1 12 21 1

, ,8 1/9 1.732 1.7321

1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1 1 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b1 b2

解：用MATLAB写出程序ea344如下：A=hilb(6),b1=[1;2;1;1.732;1;2]; b2=[1;2;1;1.7321;1;2];x1=inv(A)*b1, x2= inv(A)*b2dx=x2-x1, db=b2-b1

程序运行的结果为：

6 6

-0.0089 -0.0089 -0.75 0 0.2530 0.2530 21 0-1.7050 -1.7051 -141 0

10 , 10 , , 4.4253 4.4257 363 0.0001-4.8785 -4.8789 -397 1.9208 1.9209 155

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= × = × = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x1 x2 dx db

00

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

由于系数b的万分之一的变化，引起解x的误

差dx 大可达近400。主要因为行列式D=det(A)很接近于零。本题

中的矩阵系数是hilbert矩阵，它的主要特点就

是行列式很接近于零。这样的矩阵方程，我

们就称之为病态的，或很接近于奇异的，对

它的解是否正确，要保持一定的怀疑。

为了定量地分析解的误差和可信度，应该用

相对误差做标准。b的相对误差是

x的相对误差是

db/ bdx/ x

两者之间是以条件数(Condition Number)相关

联的，条件数与行列式有关，它随着行列式

的减小而减小：

（3-17）

例3.16 设 ，求其逆阵V=

解：输入A的数据后，键入V=inv(A)，程序

为：A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9], V=inv(A)

15( ) ( ) 10cond cond −= ⋅ = ⋅dx/ x A db/ b A

16 4 615 3 918 0 9

A− − −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1−A

运行后得到警告信息：Warning: Matrix is close to singular or badly scaledResults may be inaccurate. RCOND = 6.042030e−018.

det(A)=0，故它是一个奇异矩阵，其逆不存

在。在用数值方法求矩阵的逆时，由于计算

中存在方法和截断误差，故矩阵是否奇异，

结果不是绝对的。为了评价矩阵接近“奇异”的程度MATLAB用了“逆条件数”作为衡量指标。

0.4222 0.5629 0.84441.0 15 0.4222 0.5629 0.8444

0.8444 1.1259 1.6888V e

−⎡ ⎤⎢ ⎥= + − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

3.5.3 用逆阵进行保密编译码

把消息中的英文字母用一个整数来表示。然

后传送这组整数。

例如“SEND MONEY”这九个字母就用下面九

个数来表示；

[5,8,10,21,7,2,10,8,3]。5代表S，8代表

E，…等等。

这种方法是很容易被破译的。在一个很长的

消息中，根据数字出现的频率，往往可以大

体估计出它所代表的字母。

用矩阵乘法来对这个消息进一步加密。

如A是一个行列式等于±1的整数矩阵，则

A−1的元素也必定是整数。可以用这样的一个

矩阵来对消息进行变换。

设 可得

把编了码的消息

也组成一个矩阵

1 2 12 5 32 3 2

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

，1

1 1 12 0 14 1 1

A −

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

5 21 108 7 810 2 3

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

乘积

所以发出的消息为 [31,80,54,37,83,67,29,69,50]

通过以下的变换可以解出原来的消息：

1 2 1 5 21 10 31 37 292 5 3 8 7 8 80 83 692 3 2 10 2 3 54 67 50

AB⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 1 31 37 29 5 21 102 0 1 80 83 69 8 7 84 1 1 54 67 50 10 2 3

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3.5.4 用行列式计算面积

例3.17 设一个三角形的三个顶点的坐标为(x1;y1), (x2;y2), (x3;y3)，

（1）试求此三角形的面积。

（2）利用此结果计算四个顶点坐标为

(0,1),(3,5),(4,3),(2,0)任意四边形的面积。

（3）将此结果推广至任意多边形。

解：（1）三角形面积为对应的平行四边形面

积之半，利用行列式等于两向量所构成的平

行四边形面积的关系，可求出三角形面积与

顶点坐标之间的关系。

将三角形一个顶点(x1;y1)移到原点，则其余两

顶点坐标分别为(x2-x1,y2-y1),(x3-x1,y3-y1)，根据（3.2）式，此两个顶点所对应的向量构

成的平行四边形面积为

三角形面积为

（3-18）

（2）画出此四边形所对应的图形如下图，别

计算其面积再相加即可。

1 2 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1( )( ) ( )( )pS a b a b x x y y x x y y= − = − − − − −

2 1 3 1 3 1 2 10.5 0.5 ( )( ) ( )( )s pS S x x y y x x y y= = − − − − −

图3.5 题3.5.2的四边形

三角形ABD的面积为：S1=0.5|(2-0)(5-1)-(3-0)(0-1)|=0.5(8+3)=5.5

三角形CBD的面积为：S2=0.5|(4-2)(5-0)-(3-2)(3-0)|=0.5(10-3)=3.5

此四边形的面积为：S=S1+S2=9

（3）此问题留作为作业。