Evidencia de aprendizaje 1. Funciones

1. Investiga tres ejemplos de la vida cotidiana donde se apliquen las funciones.

*Ejemplo 1

Una agencia de renta de autos cobra $0.25 por milla, si el total de millas recorridas no excede de 100. Si el total de millas recorridas excede a 100, la agencia carga $0.25 por milla para las primeras 100 millas, mas $0.15 por cada milla adicional recorrida, si x representa el número de millas recorrido por un vehículo rentado, expresarle cargo por millas recorridas C(X) como una función de x. Encontrar también C (50) y C (150), haciendo la gráfica correspondiente.

Solución:

Si 0≤ x ≤ 100, entonces

C(x)=0.25x

Si x>100, entonces

Cargo para las cargo para el

Primeras 100 millas millaje adicional

C(x) = 0.25 (100) + 0.15(x-100)

= 25 + 0.15x - 15

= 10 + 0.15x

Quedando determinado con los cálculos anteriores que C es una función definida en partes

Recordemos que las funciones definidas por secciones se evalúan determinando primero cual regla se va a aplicar (una de las dos ecuaciones), y después usando la regla apropiada para hallar el valor de la función. Por ejemplo para evaluar c (50), se usa la primera regla y se obtiene:

C (50) = 0.25 (50) = $12.50 x= 50 satisface 0≤ x ≤ 100

Para evaluar C (150), se usa la segunda regla y se obtiene

C (150) = 10 + 0.15 (150) = $32.50 x= 150 satisface x>100

Para graficar C, se grafica cada regla en la definición para los valores indicados de x:

*Ejemplo 2

Crecimiento demográfico

México tiene una población aproximada de 100 millones de personas y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿cuál será la población:

(A) En 15 años a partir de ahora? (B) en 30 años a partir de ahora?

Para poder resolver este problema investigaremos el concepto de crecimiento de poblaciones, de personas, animales, insectos y bacterias. Las poblaciones tienden a crecer exponencialmente y a tasas diferentes. Una manera conveniente y fácil de entender la medida de la tasa de crecimiento es el tiempo de duplicación (este es el tiempo que le toma a una población duplicarse). En periodos cortos, se usa a menudo el modelo del crecimiento del tiempo de duplicación para modelar al crecimiento demográfico:

P = P˳2^ (t/d)

Donde P = población en el tiempo

P˳=población en el tiempo t=0

D = tiempo de duplicación

Observen que cuando t=d,

P = P˳2^ (d/d) = P˳2

Y la población es el doble de la original como se espera.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA

Se usa el modelo de crecimiento del tiempo de duplicación

P = P˳2^ (t/d)

Sustituyendo P˳ = 100 y d = 21, se obtiene

P = 100(2) ^ (t/21)

Obsérvese la gráfica, nomás considérese por motivos de ejecución de gráfica: t=x

(A) encuéntrese P cuando t = 15 años:

P = 100(2) ^ (15/21)

Ejecutando operaciones tenemos:

1.640670696 x 100 = 164067069 ≈ 164 millones de personas

(B) Encuéntrese P cuando t = 30 años:

P = 100(2) ^ (30/21)

P = 100 X 2.691800332 = 269.1800332 ≈ 269 millones de personas

*Ejemplo 3

MEDICINA

Un adulto normal sentado aspira y exhala cerca de 0.82 litros de aire cada 4 segundos. El volumen de aire en los pulmones t segundos despues de exhalar es aproximadamente

V(t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2 con 0 ≤ t ≤ 8

Grafique la funcion en el intervalo indicado y describa lo que muestra la grafica

En la grafica anterior, el lugar geometrico de la funcion coseno, esta caracterizada por la linea azul tenue, mientras que la grafica de la funcion:

V(t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2, se presenta en color rojo.

Esta misma nos indica el volumen de aire en los pulmones t segundos despues de exhalar.

Para cuestiones de trabajo sobre la grafica, consideraremos y = V, que representa el volumen en los pulmones y la variable x = t, que representa el intervalo de tiempo a considerar.

Con estos datos, nos damos cuenta que en este espacio de tiempo, la funcion en color rojo denota la cantidad de aire que queda retenida en los pulmones, por lo que el area bajo esa curva, intersectada con la funcion que denota el lugar geometrico del coseno, nos indican por comparacion de volumenes el aire retenido en terminos de superficie debajo de la curva roja. Es necesario aclarar que el volumen a considerar debera ser unicamente el que queda dentro de la interseccion de el lugar geometrico antes especificado y la funcion que nos proporcionan como determinanante.

2. En cada ejemplo, haz lo siguiente:

Clasifica las funciones que se presentan en la vida cotidiana en: algebraicas, trigonométricas y trascendentes, mediante una expresión funcional.

*En el ejemplo 1 tenemos una función definida por sección, ya que está definida por formulas diferentes para las diversas partes de su dominio, a este grupo pertenecen todas las funciones cuyas definiciones implican más de una formula; estas ocurren de forma natural en muchas aplicaciones.

Atendiendo a la naturaleza de las funciones aplicadas, pudiéramos decir que en este ejemplo se utilizan funciones algebraicas, ya que las funciones algebraicas son aquellas que se obtienen al realizar un número finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con las funciones en la constante e identidad.

La expresión funcional quedaría determinada por:

*En el ejemplo 2…

En el ejemplo 2 tenemos una función trascendental del tipo exponencial, ya que posee las características enumeradas a continuación, denotándose por simple inspección la naturaleza de la función.

1. x Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1)

2. Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos

3. El eje x es una asíntota horizontal

4. Si b>1, entonces b^x aumenta conforme aumenta x

5. Si 0<b<1 entonces b^x disminuye conforme aumenta

La expresión funcional quedaría determinada por:

P = P˳2^ (t/d)

*En el ejemplo 3 tenemos una función trigonométrica, ya que involucra al coseno, estando tipificado este, dentro de las funciones mencionadas.

Nuestra expresión funcional seria:

V (t) = 0.45 – 0.37 cos πt/2 con 0 ≤ t ≤ 8

Se aclara que en el caso 3, utilizamos una sustitución de variables, únicamente con la intención de generar adecuadamente la gráfica con el uso de un software en particular, siendo el cambio “y” por “U”, además de “x” por “t”

Elabora las gráficas de los diferentes tipos de funciones

*Para el ejemplo 1, considerando los datos proporcionados, su grafica seria:

Que nos hablaria de una funcion definida por secciones, siendo a la vez un conjunto de funciones algebraicas las que definen el lugar geometrico de la grafica con las condiciones proporcionadas en el problema despues del respectivo analisis matematico.

*Para el ejemplo 2, considerando los datos proporcionados su grafica seria:

La cual representa una funcion de tipo exponencial, conservando las caracteristicas tipicas que son:

1. x Todas las graficas que pasan por el punto (0,1)

2. Todas las graficas son continuas, sin huecos ni saltos

3. El eje x es una asintota horizontal

4. Si b>1, entonces b^x aumenta conforme aumenta x

5. Si 0<b<1 entonces b^x disminuye conforme aumenta

Para el ejemplo 3, considerando los datos proporcionados su grafica seria:

Se observa inmediatamente que estamos hablando de una función trigonométrica, específicamente hablando, seria el coseno. En este caso tratado, aclarando a la vez que se especifican los rangos considerados ya que es una función a la vez periódica.

Identifica las características de las funciones donde se incluya el dominio y el contradominio de cada tipo de función.

Una función es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de elementos, tales que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto, siendo esto lo que llamamos correspondencia biunívoca. El primer conjunto se llama dominio y el conjunto de

todos los elementos que corresponden al segundo conjunto se conoce como rango, contradominio, imagen o codominio.

El dominio de una función se define como el conjunto de todos los elementos de "x" para los cuales se encuentra definida la función. Por ejemplo, sea f(x)= 1/x, el dominio de la función son todos los números reales, excepto el cero, ya que 1/0 no existe.Ahora, el rango, contradominio, imagen o codominio de una función, son todos los elementos a los cuales te manda la función cuando aplicas la regla de correspondencia. Por ejemplo, sea f(x)= x², el dominio son todos los #s reales, y el contradominio de f(x), son todos los reales positivos incluyendo al cero, porque para cualquier número "x", positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, siempre resultará un número positivo.

*Para el ejemplo 1

los valores del dominio y el contradominio se ajustan a los determinados en las funciones que se proporcionan en las secciones definidas previamente, ya que al ser una función definida por secciones, se deduce que:

“Si una función está definida por una ecuación y el dominio no está indicado, entonces se debe suponer, que el dominio está en el conjunto de todos los números reales de reemplazo de la variable dependiente. El rango es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente que correspondan a esos valores del dominio”

*Para el ejemplo 2

La graficacion para una función exponencial es bastante específica, ya que hacia sus dos extremos se abre desde el - ∞ hasta el +∞, pasando por el valor 1 en “y”. Para su representación gráfica en forma manual, se selecciona un rango de -3 a 3 en equis (por ejemplo), para construir una tabla de valores para y = (1/2) (4) ^ x, y después se grafica la función, uniendo los puntos de forma manual.

*Para el ejemplo 3

La graficacion para la una función trigonométrica, debe especificarse en un rango proporcionado, ya que la función al ser periódica es infinita en el dominio, desde el - ∞ hasta el +∞ en el eje de las x, por lo que al especificar un rango característico para lo que se estudia en el momento, conoceremos los resultados del experimento plasmado sobre la gráfica. Hay que considerar los valores de 0 a 1 que el lugar geométrico de la función coseno denota al momento de analizar la gráfica en el contradominio de la función.