偏微分方程引论 - gitee.com微分方程引论... · 目录 7 偏微分方程( 方程组) 是指未知函数和未知函数的偏导数满足的一个 ( 一组) 关系式. 人类社会工业化时代的到来，近代物理学（特别是相对论

偏微分方程引论

翟健

2013 年 3 月

2

目目目录录录

第第第 1章章章波波波动动动方方方程程程 13

1.1 弦微振动方程的导出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 一维波动方程的初值问题 (Cauchy 问题) . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 齐次方程的 Cauchy 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 非齐次方程 Cauchy 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3 波动方程 Cauchy 问题的能量不等式 . . . . . . . . . . 21

1.2.4 反射法求解半无界空间的初边值问题 . . . . . . . . . . 26

1.3 二维与三维波动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 三维球对称解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2 三维非球对称解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.3 三维非齐次波动方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.4 降维法求解二维波动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4 分离变量法与初边值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.1 分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

第第第 2章章章热热热方方方程程程 41

2.1 Fourier 变换解 Cauchy 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.1 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.2 Fourier 变换的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.3 用 Fourier 变换解热传导方程 Cauchy 问题 . . . . . . . 48

2.2 分离变量法解初边值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.1 齐次热传导方程的初边值问题 . . . . . . . . . . . . . . 51

3

4 目录

2.2.2 非齐次热传导方程的初边值问题 . . . . . . . . . . . . 53

第第第 3章章章位位位势势势方方方程程程 55

3.1 基本解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Green 函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Laplace 方程与调和函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

第第第 4章章章一一一阶阶阶偏偏偏微微微分分分方方方程程程组组组与与与二二二阶阶阶线线线性性性偏偏偏微微微分分分方方方程程程分分分类类类 65

4.1 二阶偏微分方程的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 特征流形与 Cauchy 问题局部唯一可解性 (在实解析函数类中) 68

第第第 5章章章 Sobolev 空空空间间间与与与广广广义义义函函函数数数 73

5.1 Sobolev 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 广义函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.1 广义函数及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.2 广义函数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3 弱解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

第第第 6章章章二二二阶阶阶线线线性性性椭椭椭圆圆圆型型型方方方程程程 87

6.1 极值原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.1 极值原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.2 应用极值原理估计解的上、下界 . . . . . . . . . . . . 91

6.2 变分方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.1 变分方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.2 变分方法的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3 解的存在性与唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4 Sturm-Liouville 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

第第第 7章章章二二二阶阶阶线线线性性性抛抛抛物物物型型型方方方程程程 109

7.1 极值原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1.1 极值原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1.2 第一初边值问题解的上、下界估计 . . . . . . . . . . . 111

目录 5

7.1.3 第二、第三初边值问题解的上、下界估计 . . . . . . . 111

7.1.4 Cauchy 问题解的上、下界估计 . . . . . . . . . . . . . 114

7.2 能量不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.3 解的存在性与唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

第第第 8章章章二二二阶阶阶线线线性性性双双双曲曲曲型型型方方方程程程 117

8.0.1 能量不等式 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.1 解的存在性与唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 目录

目录 7

偏微分方程 ( 方程组) 是指未知函数和未知函数的偏导数满足的一个

( 一组) 关系式. 人类社会工业化时代的到来，近代物理学（特别是相对论

和量子力学以及材料科学）的创立，二次大战期间及其后流体力学以及空

间飞行器的研究进展等极大地丰富了偏微分方程的应用领域，推动了现代

偏微分方程理论的发展。迄今为止，包含一阶和（或）二阶偏导数的偏微

分方程（组）中研究得最多最完善的有三类：双曲方程（组）、椭圆方程

（组）和抛物方程（组）. 它们的典型代表分别是波动方程、位势方程和热

方程. 即未知函数 u 分别满足

∂ttu−∆xu = f, (0.1)

∆xu = f, (0.2)

∂tu−∆xu = f. (0.3)

根据不同的情况, 我们再给未知函数附加初始条件和 ( 或) 边界条件. 最典型

的条件有三类.

一、初始条件 –ϕ(x) 和（或）ψ(x) 为已知. 见图 1.

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡¡

6

t = C 0 x ∈ Rn

Rn

t

图 1. 初始条件

例如波动方程的 Cauchy 问题如下.

∂ttu(x, t)−∆xu(x, t) = f(x, t), ∀x ∈ Rn,∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ Rn,

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ Rn.

(0.4)

8 目录

热方程的 Cauchy 问题如下.

∂tu(x, t)−∆xu(x, t) = f(x, t),∀x ∈ Rn, ∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ Rn.(0.5)

二、初边值条件 –ϕ(x) 和 (或) ψ(x), h(x, t), α, β (α2 + β2 6= 0) 为已知. 见

图 2.

图 2. 初边值条件

例如波动方程的初边值问题

∂ttu(x, t)−∆xu(x, t) = f(x, t), ∀x ∈ Ω,∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω,

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ Ω,

αu(x, t) + β∂u(x, t)

∂~n= h(x, t), ∀x ∈ ∂Ω,∀t > 0.

(0.6)

热方程的初边值问题

∂tu(x, t)−∆xu(x, t) = f(x, t), ∀x ∈ Ω,∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω,

αu(x, t) + β∂u(x, t)

∂~n= h(x, t), ∀x ∈ ∂Ω,∀t > 0.

(0.7)

其中∂

∂~n是沿区域 Ω 的边界 ∂Ω 上单位外法方向的偏导数.

目录 9

三、边值条件 –h(x), α, β 为已知. 见图 3.

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

x ∈ Ω

~nRn¡¡µÂ ¿

Á À

图 3. 边值条件

∆u(x) = f(x), ∀x ∈ Ω,

αu(x) + β∂u(x)∂~n

= h(x), ∀x ∈ ∂Ω.(0.8)

特别当 (α, β) = (1, 0) 时, 称 (0.8) 为位势方程的 Dirichlet 问题. 当 (α, β) =

(0, 1) 时, 称 (0.8) 为位势方程的 Neumann 问题.

例 0.1. Maxwell 方程. 电场 E(x, t) 与磁场 H(x, t)，

∂tE = curlH, ∂tH = −curlE, divE = divH = 0, ∀x ∈ R3 ∀t > 0. (0.9)

例 0.2. Schrodinger 方程. 质量为 m 的单个粒子的波函数 u(x, t) 在势

函数为 V (x, t) 的场中

i~∂tu + ~22m∆u + V u = 0, ∀x ∈ R3 ∀t > 0, (0.10)

其中 h = 2π~ 为 Planck 常数.

例 0.3. Navier-Stokes 方程. 流体的速度 u(x, t) 与压力 p(x, t)

∂tu = ∆u− (u · ∇)u−∇p, ∀x ∈ R3 ∀t > 0.

divu = 0, ∀x ∈ R3 ∀t > 0.(0.11)

10 目录

例 0.4. Black-Scholes 期权理论. 设资产 S 满足几何 Brownian 运动

dS = µ(t)Sdt + σ(t)SdW

其中，µ(t) 为漂移系数（S 随时间 t 的瞬时变化率），σ(t) 为瞬时标准方

差（描述不确定因素对 S 的可能影响). 由无套利条件和 Ito 公式可以导出 t

时刻 S 可能的期权价值 F (S, t) 满足方程

∂tF +12σ2S2∂SSF + rS∂SF − rF = 0.

例 0.5. 平均曲率曲面方程. 三维欧氏空间中光滑曲面的共形表示

x : (u, v) ∈ R2tox(u, v) ∈ R3 是指以下共形条件处处满足

xu · xv = 0, |xu| = |xv|.

此时，曲面 x 处的平均曲率 H(x) 满足方程

∆u,vx = 2H(x)xu × xv.

常用记号与定义

Ω: Rn 中的有界开集；

Cm(Ω) (其中m ∈ N): 在区域 Ω 内连续且一直到m 次的偏导数都连续

的函数集合；

Cm0 (Ω) (其中m ∈ N):Cm(Ω) 中有紧支集的函数集合；

Cm(Ω) (其中m ∈ N): 在区域 Ω 上连续且一直到m 次的偏导数都连续

目录 11

的函数集合；

Lp([0, T ];Lq(Ω))(其中 p ≥ 1, q ≥ 1): 满足 (∫ T0 (

∫Ω |u(x, t)|qdx)p/qdt)1/p <

∞ 的函数 u 的全体组成的集合，可以证明按此赋范数的集合是 Banach 空

间；

C([0, T ];Lq(Ω))(其中 q ≥ 1): 满足 sup0≤t≤T (∫Ω |u(x, t)|qdx)1/q < ∞ 的

函数 u 的全体组成的集合，可以证明按此赋范数的集合是 Banach 空间；

Wm,p(Rn): Sobolev 空间; 当 p = 2 时，记

Hm(Rn) := Wm,2(Rn).

QT := Ω× (0, T ], ST := ∂Ω× [0, T ], ΓT := ST⋃

(Ω× 0).

习题：[7] 2(pp.85); 16(pp.88).

12 目录

第第第 1章章章

波波波动动动方方方程程程

1.1 弦弦弦微微微振振振动动动方方方程程程的的的导导导出出出

设弦为柔软 (不抗弯, 因此不考虑弯曲应力) 的细线 (一维空间), ρ > 0 为弦

的线密度 (即单位长度上弦的质量). 易知，时刻 t 弦的动能为

T (t) =12

∫ l

0ρ(∂tu(x, t))2dx.

又根据 Hook 定定定律律律（拉伸后所具有的应力与应变成正比），参见

[3]p.372(3.9)，单位长度上弦的纵向位移 (应变) 为∂u

∂x, 应力为

τ

2∂u

∂x, 单位

长度弹性能为τ

2

(∂u

∂x

)2

，其中 τ > 0 是弹性系数. 因此形变产生的弹性势

能为

U1(t) =τ

2

∫ l

0

[∂u(x, t)

∂x(x, t)

]2

dx.

13

14 第 1章波动方程

-

6

l60 x

u(x, t)

F (x, t)

图 4. Hook 定律

另一方面，设在弦 x 处时刻 t 单位长度上受到的外力为 F (x, t), 方向与

u 相同, 则其位能为

U2(t) =∫ l

0F (x, t)u(x, t)dx.

当 Fu > 0 时, U2 与 U1 的效果相反 (使弦伸长);

当 Fu < 0 时, U2 与 U1 的效果相同 (使弦缩短).

用 Hamilton 变分原理可以导出运动方程. 将从初始时刻到 t0 时刻所有

动能与势能的差作为可能运动的泛函

J(u) =∫ t0

0dt

∫ l

0

[ρ

2

(∂u(x, t)

∂t

)2

− τ

2

(∂u(x, t)

∂x

)2

+ F (x, t)u(x, t)

]dx.

Hamilton 原原原理理理(具体可参考文献 [6](I, pp.188)) 在所有的可能运动状

态中, 真实的运动 u 使泛函 J 的一阶变分为零. 即

δJ(u) = 0.

∀ε ∈ [−1, 1], ∀η(x, t) ∈ C10 ([0, l]× [0, t0]), vε(x, t) := u(x, t) + εη(x, t)

是可能的运动状态: 在初始时刻 (t = 0), 终止时刻 (t = t0), 边界 (x = 0, x =

l) 处与真实运动一致. 由 Hamilton 原理, 有

d

dε

∣∣∣∣ε=0

J(vε) = 0.

1.2 一维波动方程的初值问题 (CAUCHY 问题) 15

所以我们有

0 =d

dε

∣∣∣∣ε=0

J(u + εη)

=∫ t0

0dt

∫ l

0

[ρ∂u

∂t

∂η

∂t− τ

∂u

∂x

∂η

∂x+ Fη

]dx

=[∫ l

0ρ∂u(x, t)

∂tη(x, t)dx

]t0

t=0

−[∫ t0

0τ∂u(x, t)

∂xη(x, t)dt

]l

x=0

−∫ t0

0dt

∫ l

0

[ρ∂2u(x, t)

∂t2− τ

∂2u(x, t)∂x2

− F (x, t)]

η(x, t)dx.

由 η 的任意性知, 真实运动 u(x, t)必须是下述弦振动方程 (即一维波动方程)

初边值问题的解:

∂ttu− τ

ρ∂xxu =

F (x, t)ρ

, 0 < ∀x < l,∀t > 0,

u(0, t) = u(l, t) = 0, ∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∂tu(x, 0) = ψ(x), 0 < ∀x < l.

与此相关, n 维 (n ≥ 2) 波动方程为

∂ttu = a24xu + f, ∀x ∈ Rn,∀t > 0

其中4xu := ∂x1x1u + ∂x2x2u + · · · ∂xnxnu 为 Laplace 算子. 当 f ≡ 0 时, 该

方程为齐次方程; 当 f 6= 0 时, 则为非齐次方程.

1.2 一一一维维维波波波动动动方方方程程程的的的初初初值值值问问问题题题 (Cauchy 问问问题题题)

1.2.1 齐齐齐次次次方方方程程程的的的 Cauchy 问问问题题题

2au ≡ ∂ttu(x, t)− a2∂xxu(x, t) = 0, ∀x ∈ R,∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ R,

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ R.

(2.1)


其中 2a 称为 D’Alembert 算子。作如下变换

ξ = x− at,

η = x + at,

把它代入 (2.1) 的第一式, 于是有

−4a2 ∂2u

∂ξ∂η= 0,

由此可以解得

u(ξ, η) = F (ξ) + G(η).

其中 F (ξ) 和 G(η) 是两个任意函数. 再把 ξ 和 η 以 x 和 t 代入, 则有

u(x, t) = F (x− at) + G(x + at).

根据初始条件, 当 t = 0 时, 有

ϕ(x) = F (x) + G(x),

ψ(x) = −aF′(x) + aG

′(x).

即

ϕ(x) = F (x) + G(x),1a

∫ x

x0

ψ(y)dy = −F (x) + G(x) + F (x0)−G(x0).

由此可以确定函数 F 和 G 分别为

F (x) =12ϕ(x)− 1

2a

∫ x

x0

ψ(y)dy − [G(x0)− F (x0)]2

,

G(x) =12ϕ(x) +

12a

∫ x

x0

ψ(y)dy +[G(x0)− F (x0)]

2.

于是我们得到齐次方程 Cauchy 问题 (2.1) 解的 D’Alembert 公式,

u(x, t) =ϕ(x− at) + ϕ(x + at)

2+

12a

∫ x+at

x−atψ(y)dy. (2.2)


1.2.2 非非非齐齐齐次次次方方方程程程 Cauchy 问问问题题题

2au ≡ ∂ttu− a2∂xxu = f(x, t), ∀x ∈ R,∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ R,

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ R.

(2.3)

根据线性方程解的叠加原理, 若 u1, u2 分别为

2au = 0, ∀x ∈ R,∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ R,

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ R,

(2.4)

与

2au = f, ∀x ∈ R,∀t > 0,

u(x, 0) = 0, ∀x ∈ R,

∂tu(x, 0) = 0, ∀x ∈ R.

(2.5)

的解, 则 u1 + u2 为 (2.3) 的解. (2.4) 是齐次方程的 Cauchy 问题, 可以用

D’Alembert 公式求解. 因此只要解 (2.5) 即可. 为此, 我们先介绍 Duhamel

齐次化原理.

定定定理理理 2.1. (Duhamel 齐齐齐次次次化化化原原原理理理) 见图 5. 对任意给定的 τ > 0, 设

ω = ω(x, t, τ) 是 Cauchy 问题

∂ttω − a2∂xxω = 0, ∀x ∈ R,∀t > τ,

ω(x, t, τ)|t=τ = 0, ∀x ∈ R,

∂tω(x, t, τ)|t=τ = f(x, τ), ∀x ∈ R,

(2.6)

的光滑解, 则

u(x, t) :=∫ t

0ω(x, t, τ)dτ


为 (2.5) 的解.

6

0

τ

t

图 5. Duhamel 齐次化原理证明: 因为

∂tu(x, t) = ω(x, t, t) +∫ t

0∂tω(x, t, τ)dτ =

∫ t

0∂tω(x, t, τ)dτ

∂ttu(x, t) = ∂tω(x, t, t) +∫ t

0∂ttω(x, t, τ)dτ

= f(x, t) + a2∂xxu(x, t).

u(x, 0) = 0,

∂tu(x, 0) = 0,

其中运算需要 ω 的光滑性。所以, u(x, t) 为 (2.5) 的解. Q.E.D

在 Cauchy 问题 (2.6) 中, 作时间变换, 用 t− τ 代替 t. 由 D’Alembert 公式

ω(x, t, τ) =12a

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)f(y, τ)dy.

由齐次化原理

u2(x, t) =12a

∫ t

0dτ

∫ x+a(t−τ)


所以 (2.3) 的形式解为

u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t)

=ϕ(x− at) + ϕ(x + at)

2+

12a

∫ x+at

x−atψ(y)dy (2.7)

+12a

∫ t

0dτ

∫ x+a(t−τ)


利用求导与积分可交换定理, 可以证明下述定理.

定定定理理理 2.2. 若 ϕ ∈ C2(R), ψ ∈ C1(R), f ∈ C1(R× [0,∞)), 则由 (2.7) 给


出的 u ∈ C2(R× [0,∞)), 且为 (2.3) 的解. 进一步, 若 ϕ,ψ, f 为 x 的偶 (奇,

周期) 函数, 则 u 为 x 的偶 (奇, 周期) 函数.

证明：参考 [7]pp.68 Theorem 1.Q.E.D

由 D’Alembert 公式 (2.2), 我们可以进一步研究一维波的传播特性.

附附附注注注 1. 波沿特征线以速度 a 传播.

注意到 2au = (∂t + a∂x)(∂t − a∂x)u, 若令 v = (∂t − a∂x)u, 则方程 2au = 0

等价于 (∂t − a∂x)u = v,

(∂t + a∂x)v = 0.

用沿特征线 x = c± at 的全导数表示为 (见图 6 和图 7)

dv(c + at, t)dt

= 0,du(c− at, t)

dt= v(c− at, t).

-

6

¡¡

¡¡¡

c x

t

x = c + at

图 6. 特征线

另一方面, 我们已经知道 u(x, t) = F (x − at) + G(x + at). 由图可以看

出 G(x + at) 为左行波，F (x− at) 为右行波。


-

6

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

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¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

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¡¡

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@@

@@

@@@

c x

t

x = c− at x = c + at

u = F (x− at)u = G(x + at)

图 7. 特征线与左（右）行波

-

6

0¢¢¢¢¢¢¢¢¢

AA

AA

AA

AAA

x0 − at0 x0 − at0

HHHj ©©©¼x = x0 − a(t0 − t) x = x0 + a(t0 − t)

(x0, t0)

x

t

K

图 8. 解在 (x0, t0) 处取值所依赖的初值区间

-

6

¡¡¡ª

@@@R

x = x2 + at

@@

@@@

¡¡

¡¡¡

````````

```````````

``````````````

x

t

x1 x2

x = x1 − at

图 9. [x1, x2] 中初值能够影响解的区域


-

6

0¢¢¢¢¢¢¢¢¢

AA

AA

AA

AAA

x1 x2

HHHj ©©©¼x = x1 + at x = x2 − at

x

HHHH

HHHHHHH

HHHHH

HHH

t

图 10. [x1, x2] 中初值能够决定解的区域

附附附注注注 2. 依赖区间，影响区域与决定区域（见图 8- 图 10）.

附附附注注注 3. 设 ϕ ≡ f ≡ 0, 由 D’Alembert 公式 (2.2), 有

u(x, t) =12a

∫ x+at

x−atψ(y)dy.

若 ψ′(x) 在 x = c 处不连续, 则

utt(x, t) =a

2[ψ′(x + at)− ψ′(x− at)]

在 x± at = c 的两侧不连续. 即初值的奇性沿特征线传播.

1.2.3 波波波动动动方方方程程程 Cauchy 问问问题题题的的的能能能量量量不不不等等等式式式

能能能量量量不不不等等等式式式设 u ∈ C1(Q) ∩ C2(Q), Qt0 := R× (0, t0] 为 (2.3) 的解,

则 ∀τ ∈ (0, t0], 有

∫

Ωτ

[u2

t (x, τ) + a2u2x(x, τ)

]dx

≤ et0

∫

Ω0

[ψ2(x) + a2ϕ2

x(x)]dx +

∫ ∫

Kτ

f2(x, t)dxdt

, (2.8)

∫ ∫

Kτ

[u2

t (x, t) + a2u2x(x, t)

]dxdt

≤ et0

∫

Ω0

[ψ2(x) + a2ϕ2

x(x)]dx +

∫ ∫

Kτ

f2(x, t)dxdt

. (2.9)


其中 Ωτ = K ∩ t = τ,Ω0 = K ∩ t = 0,Kτ = K ∩ 0 ≤ t ≤ τ,K 为特征锥. 见图 11.

-

6

0¢¢¢¢¢¢¢¢¢

AA

AA

AA

AAA

x0 − at0 x0 − at0

x = x0 − a(t0 − t) x = x0 + a(t0 − t)

Γτ1 Γτ2

(x0, t0)

Ω0

Ωτ

x

t

图 11. 特征锥K

由方程 (2.3)× ∂tu 可得-AA

AAAK

¾¡

¡¡

¡¡ª

图 12. Green 公式中边的积分方向

∫ ∫

Kτ

∂tu(∂2t u− a2∂2

xu)dxdt =∫ ∫

Kτ

∂tufdxdt.

根据 Green 公式, 见图 12, 有

左边 =∫ ∫

Kτ

12∂t

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]− a2∂x(∂tu∂xu)

dxdt

= (−1)∫ ∫

Kτ

∂x

[a2∂tu∂xu

]− ∂t

(12

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

])dxdt

=12

∫−→Ωτ

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dx− 1

2

∫←−Ω0

(ψ2 + a2ϕ2

x

)dx

+∫←−Γτ1∪

←−Γτ2

a2(∂tu∂xu)dt +

12

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dx

= J1 + J2 + J3.

其中，−−−−−→Omega0 表示顺时针方向积分，

←−−−−−Omega0 表示逆时针积分. 在逆时

针方向←−Γτ1 上有 dx = adt 且 dt > 0, 在逆时针方向←−Γτ2 上有 dx = −adt 且

dt < 0. 所以


J3 = (−1)∫←−Γτ1∪

←−Γτ2

a2(∂tu∂xu)dt +

12

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dx

=∫−→Γτ1

a2(∂tu∂xu) +

a

2[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dt

−∫←−Γτ2

a2(∂tu∂xu)− a

2[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dt

=a

2

∫−→Γτ1

(∂tu + a∂xu)2dt− a

2

∫←−Γτ2

(∂tu− a∂xu)2]dt

≥ 0.

于是有

∫−→Ωτ

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dx

≤∫←−Ω0

(ψ2 + a2ϕ2

x

)dx + 2

∫ ∫

Kτ

∂tufdxdt

≤∫←−Ω0

(ψ2 + a2ϕ2

x

)dx +

∫ ∫

Kτ

(∂tu)2dxdt +∫ ∫

Kτ

f2dxdt.

令

G(τ) : =∫ ∫

Kτ

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dxdt

=∫ τ

0dt

∫ x2−at

x1+at

[(∂tu)2 + a2(∂xu)2

]dx,

则dG(τ)

dτ≤ G(τ) + F (τ),

其中

F (τ) =∫←−Ω0

(ψ2 + a2ϕ2

x

)dx +

∫ ∫

Kτ

f2dxdt.


引引引理理理 2.4. (Gronwall 不不不等等等式式式) 若存在常数 C 使得

dG(τ)dτ

≤ CG(τ) + F (τ), ∀τ ∈ (0, T ),

则

G(τ) ≤ eCτG(0) + eCτ

∫ τ

0e−CtF (t)dt, ∀τ ∈ (0, T ).

证明: 令dG

dτ= CG(τ) + F (τ)− E(τ),

其中 E(τ) ≥ 0. 则有

d

dτ[G(τ)e−Cτ ] = e−Cτ [F (τ)− E(τ)],

所以

G(τ)e−Cτ −G(0) =∫ τ

0e−Ct[F (t)− E(t)]dt

≤∫ τ

0e−CtF (t)dt. Q.E.D

应用Gronwall 不等式于前述由 Cauchy 问题 (2.3) 导出的微分不等式，

因为 G(0) = 0, F (t) 为 t 的增函数, 所以

G(τ) ≤ eτF (τ)(1− e−τ ) = (eτ − 1)F (τ),dG(τ)

dτ≤ (eτ − 1)F (τ) + F (τ) = eτF (τ).

由此, 我们证明了能量不等式 (2.8) 和 (2.9) 成立. 注意到能量不等式 (2.8)

和 (2.9) 给出了未知函数 u 的一阶偏导数的先验估计. 进一步, 我们还可以有

关于 u 的先验估计. 注意到 Ωτ ⊂ Ω0, (∀τ ∈ [0, t0]), 则有


∫

Ωτ

u2(x, τ)dx−∫

Ω0

u2(x, 0)dx

≤∫

Ωτ

u2(x, τ)− u2(x, 0)dx

=∫

Ωτ

∫ τ

0∂tu

2(x, t)dtdx

≤∫

Ωτ

∫ τ

0(u(x, t))2 + (∂tu(x, t))2dxdt

≤∫ ∫

Kτ

u2(x, t)dxdt +∫ ∫

Kτ

(∂tu(x, t))2dxdt.

令

G(τ) =∫ ∫

Kτ

u2(x, t)dxdt,

则dG(τ)

dτ=

∫

Ωτ

u2(x, τ)dx,

并且dG(τ)

dτ≤ G(τ) +

∫

Ω0

ϕ2(x)dx +∫ ∫

Kτ

(∂tu(x, t))2dxdt. (1.1)

由 Gronwall 不等式和 (2.9), 可得

∫ ∫

Kτ

u2(x, t)dxdt

≤ et0

∫

Ω0

ϕ2(x)dx +∫ ∫

Kτ

(∂tu(x, t))2dxdt

≤ e2t0

∫

Ω0

[ϕ2 + ψ2 + a2ϕ2x]dx +

∫ ∫

Kτ

f2(x, t)dxdt

. (2.10)

代入 (1.1), 因此, 我们得到关于未知函数 u 的先验估计

∫

Ωτ

u2(x, τ)dx


≤ et0

∫

Ω0

ϕ2(x)dx +∫ ∫

Kτ

(∂tu(x, t))2dxdt

≤ e2t0

∫

Ω0

[ϕ2 + ψ2 + a2ϕ2

x

]dx +

∫ ∫

Kτ

f2(x, t)dxdt

. (2.11)

1.2.4 反反反射射射法法法求求求解解解半半半无无无界界界空空空间间间的的的初初初边边边值值值问问问题题题

一端固定（在固定端 x = 0 处，弦可自由旋转，但不能上下位移，因此

u(0, t) ≡ 0) 的半无限长的弦自由振动 (因此外力 f ≡ 0) 可归结为

∂ttu(x, t)− a2∂xxu(x, t) = 0, x > 0, t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), x > 0,

∂tu(x, 0) = ψ(x), x > 0,

u(0, t) = 0, t ≥ 0.

(2.12)

关于 x 作如下奇延拓,

U(x, t) :=

u(x, t), x ≥ 0,

−u(−x, t), x < 0,

Φ(x) :=

ϕ(x), x ≥ 0,

−ϕ(−x), x < 0,

Ψ(x) :=

ψ(x), x ≥ 0,

−ψ(−x), x < 0.

于是有

∂ttU(x, t)− a2∂xxU(x, t) = 0, x ∈ R, t > 0,

U(x, 0) = Φ(x), x ∈ R,

∂tU(x, 0) = Ψ(x), x ∈ R.

1.3 二维与三维波动方程 27

所以

u(x, t) =

12[ϕ(x + at) + ϕ(x− at)]

+12a

∫ x+at

x−atψ(y)dy, x− at ≥ 0,

12[ϕ(x + at)− ϕ(at− x)]

+12a

∫ x+at

at−xψ(y)dy, x− at < 0.

(2.13)

此外, 一端自由（在自由端 x = 0 处，弦可上下位移但不能自由旋转，因此

∂xu(0, t) ≡ 0) 的半无限弦的自由振动可归结为

∂ttu(x, t)− a2∂xxu(x, t) = 0, x > 0, t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), x > 0,

∂tu(x, 0) = ψ(x), x > 0,

∂xu(0, t) = 0, t ≥ 0.

(2.14)

关于 x 作偶延拓, 类似地, 可以归纳为 Cauchy 问题并可得到解表达式.

1.3 二二二维维维与与与三三三维维维波波波动动动方方方程程程

波在空间的传播可归结为三维波动方程 Cauchy 问题

∂ttu(x, y, z, t) = a2∆u(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ R3, t > 0,

u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3,

∂tu(x, y, z, 0) = ψ(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3.

(3.1)

1.3.1 三三三维维维球球球对对对称称称解解解

在球坐标系 (r, θ, ζ) 中, 令

x = r sin ζ cos θ,

y = r sin ζ sin θ,

z = r cos ζ.


若 ϕ = ϕ(r), ψ = ψ(r) 仅是 r 的函数, 则称 ϕ,ψ 是球对称函数. 此时 (3.1)

的解 u = u(r) 也将是球对称的. 可以证明在球坐标系下,

∆u =∂2u

∂r2+

2r

∂u

∂r+

1r2

∆(θ,ζ)u.

其中 ∆(θ,ζ) 是仅与 θ, ζ 有关的偏导算子. 因此球对称 Cauchy 问题 (3.1) 可

以归结为下述关于新的未知函数 v(r, t) := ru(r, t) 的半无界空间上的初边值

问题

∂ttv − a2∂rrv = 0, r > 0, t > 0,

v(r, 0) = rϕ(r), r > 0,

∂tv(r, 0)) = rψ(r), r > 0,

v0, t = 0, t > 0.

(3.2)

于是由 (2.13) 有

u(r, t) =

12r

[(r + at)ϕ(r + at) + (r − at)ϕ(r − at)]

+1

2ar

∫ r+at

r−atρψ(ρ)dρ, r − at > 0,

12r

[(r + at)ϕ(r + at)− (at− r)ϕ(at− r)]

+1

2ar

∫ r+at

at−rρψ(ρ)dρ, r − at ≤ 0.

(3.3)

1.3.2 三三三维维维非非非球球球对对对称称称解解解

以M = (x, y, z) 为球心, r 为半径的球体记为 B(M)r , 而球面记为 S

(M)r . u 的

球面平均值

u(M, r, t)

=1

4πr2

∫ ∫

S(M)r

u(X, Y, Z, t)dS(X, Y, Z)

=14π

∫ ∫

S(M)1

u(x + r sin ζ cos θ, y + r sin ζ sin θ, z + r cos ζ)dω(ζ, θ), (3.4)


其中 dS 为球面 S(M)r 的面积元, dω 为单位球面 S

(M)1 的面积元.

则当 u 连续时, 有

limr→0

u(M, r, t) = u(M, t). (3.5)

∂u

∂r=

14π

∫ ∫

S(M)1

∂u

∂rdω

=1

4πr2

∫ ∫

S(M)r

∂u

∂~ndS (~n为球面上单位外法方向向量)

=1

4πr2

∫ ∫ ∫

B(M)r

∆udV (由 Gauss 公式)

=1

4πa2r2

∫ ∫ ∫

B(M)r

∂2u

∂t2dV (由方程 (3.1))

=1

4πa2r2

∫ r

0dρ

∫ ∫

S(M)ρ

∂2u

∂t2dS,

两边同乘 r2, 然后关于 r 再求导，有

∂

∂r[r2 ∂u

∂r] =

14πa2

∂2

∂t2

∫ ∫

S(M)r

udS =r2

a2

∂2u

∂t2.

由此可知, 若 u 满足 (3.1) 则 v(r, t) := ru(M, r, t) 满足定解问题

∂ttv − a2∂rrv = 0, ∀r > 0,∀t > 0

v(r, 0) = rϕ(r), ∂tv(r, 0) = rψ(r), ∀r > 0,

v(0, t) = 0, ∀t > 0.

(3.6)

其中

ϕ(r) :=1

4πr2

∫ ∫

S(M)r

ϕ(X, Y, Z)dS,

ψ(r) :=1

4πr2

∫ ∫

S(M)r

ψ(X, Y, Z)dS.


分别是初值的球平均函数。由 (3.3)− (3.5) 可得, 对任意 t > 0

u(M, t) = limr→0

u(r, t)

= limr→0

12r

[(r + at)ϕ(r + at)− (at− r)ϕ(at− r)]

+ limr→0

12ar

∫ at+r

at−rρψ(ρ)dρ

=12[ϕ(at) + ϕ(at) + (at)ϕ

′(at) + (at)ϕ

′(at)]

+12a

[(at)ψ(at) + (at)ψ(at)]

=1a

∂

∂t[atϕ(at)] +

1a[atψ(at)].

其中，由于对于充分小 r 有 r − at < 0, 故仅用到 (3.3) 中 r − at < 0 部分。

所以, 我们有 Cauchy 问题 (3.1) 的解表达式,

u(x, y, z, t) =1

4πa2

∂

∂t

(1t

∫ ∫

S(M)at

ϕ(X, Y, Z)dS

)

+1

4πa2t

∫ ∫

S(M)at

ψ(X, Y, Z)dS. (3.7)

1.3.3 三三三维维维非非非齐齐齐次次次波波波动动动方方方程程程的的的解解解

考虑下述具有非齐次项 f 的 Cauchy 问题.

∂ttu(x, y, z, t) = a2∆(x,y,z)u(x, y, z) + f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ R3, t > 0,

u(x, y, z, 0) = 0, (x, y, z) ∈ R3,

∂tu(x, y, z, 0) = 0, (x, y, z) ∈ R3.

(3.8)

我们将采用齐次化原理, 首先令

u(x, y, z, t) =∫ t

0ω(x, y, z, t, τ)dτ, (3.9)


其中 ω(x, y, z, t, τ) 是下述定解问题的解,

∂ttω(x, y, z, t, τ) = a2∆(x,y,z)ω(x, y, z, t, τ), (x, y, z) ∈ R3, t > τ,

ω(x, y, z, t, τ)|t=τ = 0, (x, y, z) ∈ R3,

∂tω(x, y, z, t, τ)|t=τ = f(x, y, z, τ), (x, y, z) ∈ R3.

(3.10)

由 (3.7) 知,

ω(x, y, z, t, τ) =1

4πa

∫ ∫

S(M)a(t−τ)

f(ξ, η, ζ, τ)a(t− τ)

dS,

所以,

u(x, y, z, t) =1

4πa

∫ t

0dτ

∫ ∫

S(M)a(t−τ)

f(ξ, η, ζ, τ)a(t− τ)

dS. (3.11)

进一步, 用线性迭加原理, 可以求解下述定解问题

∂ttu(x, y, z, t) = a2∆(x,y,z)u(x, y, z, t) + f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ R3, t > 0,

u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3,

∂tu(x, y, z, 0) = ψ(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3.

(3.12)

(3.12) 的解表达式 (Kirchhoff 公式)

u(x, t) =∂

∂t

[1

4πa2t

∫ ∫

Sat(x)ϕ(y)dS

]

+

[1

4πa2t

∫ ∫

Sat(x)ψ(y)dS

]

+∫ t

0

[1

4πa2(t− τ)

∫ ∫

Sa(t−τ)(x)f(y, τ)dS

]dτ.


1.3.4 降降降维维维法法法求求求解解解二二二维维维波波波动动动方方方程程程

考虑下述二维波动方程的 Cauchy 问题

∂ttu− a2(∂x1x1u + ∂x2x2u) = f(x1, x2, t), (x1, x2, t) ∈ R2 × (0,∞),

u(x, 0) = ϕ(x), (x1, x2) ∈ R2,

∂tu(x, 0) = ψ(x), (x1, x2) ∈ R2.

(3.13)

令

u(x1, x2, x3, t) = u(x, t) = u(x1, x2, t),

则有

u(x, t) =∂

∂t

[1

4πa2t

∫ ∫

S(x)at

ϕ(y)dS(y)

]+

14πa2t

∫ ∫

S(x)at

ψ(y)dS(y)

+∫ t

0

[1

4πa2(t− τ)

∫ ∫

S(x)a(t−τ)

f(y, τ)dS(y)

]dτ.

因为在球面 S(x)at 上有积分元

dS(y) = (at)2 sin ζdθdζ =1

cos ζdy1dy2,

y1 = at sin ζ cos θ,

y2 = at sin ζ sin θ,

y3 = at cos ζ.

所以

dy1dy2 =

∣∣∣∣∣cos ζ cos θ − sin ζ sin θ

cos ζ sin θ cos ζ cos θ

∣∣∣∣∣ (at)2dζdθ

= (at)2 sin ζ cos ζdζdθ.

其中

cos ζ =

√(at)2 − y2

1 − y22

at.


所以

∫ ∫

S(x)at

ϕ(y1, y2)dS(y)

=∫ π

0

∫ 2π

0ϕ(x1 + y1, x2 + y2)(at)2 sin ζdθdζ

= 2∫ ∫

y21+y2

2≤(at)2

ϕ(x1 + y1, ϕ(x2 + y2)(at)√(at)2 − y2

1 − y22

dy1dy2

= 2at

∫ ∫∑(x)

at

ϕ(y1, y2)√(at)2 − (y1 − x1)2 − (y2 − x2)2

dy1dy2,

其中∑(x)

at 是以 x 为圆心, at 为半径的圆. 同样可处理后两项积分 ψ, f , 故有

二维波动方程 Cauchy 问题的解表达式 (Poisson 公式)

u(x1, x2, t) =∂

∂t

[1

2πa

∫ ∫∑(x)

at

ϕ(y)√(at)2 − (y1 − x1)2 − (y2 − x2)2

dy

]

+1

2πa

∫ ∫∑(x)

at

ψ(y)√(at)2 − |y − x|2 dy

+1

2πa

∫ t

0dτ

∫ ∫∑(x)

a(t−τ)

f(y, τ)√a2(t− τ)2 − |y − x|2 dy.

由 Poisson 公式知 u(x0, y0, t0) 仅由 ϕ,ψ 在依赖区域中的值以及 f 在特征锥

K 中的值决定. P0 的依赖区域以外的波, 在 t0 时刻内传播不到 (x0, y0) 处.

例如 (x1, y1) 处的波. D 中的初值 ϕ,ψ 会对且仅会对影响区域 JD 内的任意

点产生影响. FD 中任意点处的 u 由D 内的初值完全确定. 称其为D 的决定

区域.

下面介绍 Huygens 原理. 考虑 n = 2(3.13) 或 n = 3(3.12), 其中 f ≡ 0, 且

ϕ,ψ 仅在 D 内非零.

当 n = 3 时,

u(x, t) =

0, 0 < at < dmin,

非零, dmin ≤ at ≤ dmax,

0, at > dmax.


波传播有前阵面和后阵面, 称为 Huygens 原理. 见图 13.

图 13. Huygens 原理 n = 3

当 n = 2 时,

u(x, t) =

0, 0 < at < dmin,

非零, at > dmin.

有前阵面, 无后阵面. 见图 14.

1.4 分离变量法与初边值问题 35

图 14. n = 2

1.4 分分分离离离变变变量量量法法法与与与初初初边边边值值值问问问题题题

本节将介绍用分离变量法解下述波动方程初边值问题

∂ttu = a2∂xxu, ∀x ∈ (0, l),∀t > 0,

u(0, t) = u(l, t) = 0, ∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ [0, l],

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ [0, l].

(4.1)

1.4.1 分分分离离离变变变量量量法法法

令 u(x, t) = X(x)T (t). 把它代入方程组 (4.1) 的第一式并化简, 有

T′′(t)

a2T (t)=

X′′(x)

X(x)= −λ, (其中 λ 是与x, t无关的常数).


又由 (4.1) 的第二式知, u(0, t) = X(0)T (t) = 0, u(l, t) = X(l)T (t) = 0, 而

T (t) 6≡ 0, 故有

X′′(x) + λX(x) = 0, ∀x ∈ (0, l)

X(0) = X(l) = 0.(4.2)

同样可以得到

T′′(t) + λa2T (t) = 0, ∀t > 0. (4.3)

先求解 (4.2). 它有两个未知量, 特征值 λ 和特征函数 X(x). 而且 X(x) 6≡ 0,

因为 X(x) ≡ 0 是平凡解. (4.2) 为 Sturm-Liouville 问题的一个特例.

当 λ < 0 时, X(x) = C1e√−λx + C2e

−√−λx. 由 X(0) = X(l) = 0 知,

C1 = C2 = 0;

当 λ = 0 时, X(x) = C1x + C2. 由 X(0) = X(l) = 0 知, C1 = C2 = 0;

当 λ > 0 时, X(x) = C1 cos√

λx + C2 sin√

λx. 由 X(0) = X(l) = 0 知,

C1 = 0, C2 sin√

λl = 0.

为了使 C2 6= 0, 必须使√

λl = nπ, n = ±1,±2, · · ·. 于是得到特征值为

λn =n2π

l2, n = 1, 2, 3, · · · ,

特征函数为

Xn(x) = C sinnπ

lx, n = 1, 2, · · · .

对于 n = −1,−2, · · · 的情况, 由于

sinnπ

lx = (−1) sin

|n|πl

x,

所以可以归结为 n > 0 的情况, 只需以 −C 代替 C 即可.

下面求解 (4.3). 由刚才的求解可以知道 λ 只能取特征值 λn, 故

Tn(t) = An sinnπa

lt + Bn cos

nπa

lt,


其中 An, Bn 为任意常数.

于是我们得到无数个满足方程组 (4.1) 的第一式和第二式的解:

un(x, t) =(An sin

nπa

lt + Bn cos

nπa

lt)

sinnπ

lx. n = 1, 2, 3, · · · . (4.4)

为了使这个解满足方程组 (4.1) 的第三式和第四式, 对 un(x, t) 进行线性叠

加, 然后选择 An, Bn, 使 (4.1) 的第三式和第四式也满足. 因此, 有

u(x, t) =∞∑

n=1

(An sin

nπa

lt + Bn cos

nπa

lt)

sinnπ

lx,

u(x, 0) =∞∑

n=1

Bn sinnπ

lx,

∂tu(x, 0) =∞∑

n=1

nπa

lAn sin

nπ

lx.

附附附注注注: sin nπ

lx∞n=1 是 L2[0, l] 中的完备正交系. 故若 ϕ,ψ ∈ L2[0, l], 那么它

们就有展开

ϕ(x) =∞∑

n=1

ϕn sinnπ

lx,

ψ(x) =∞∑

n=1

ψn(x) sinnπ

lx,

其中

ϕn =2l

∫ l

0ϕ(x) sin

nπ

lxdx,

ψn =2l

∫ l

0ψ(x) sin

nπ

lxdx.

所以只需取

Bn =2l

∫ l

0ϕ(x) sin

nπ

lxdx,


An =2

anπ

∫ l

0ψ(x) sin

nπ

lxdx,

那么 (4.1) 的第三式和第四式也就满足了. 由此, 我们便得到了混合问题

(4.1) 的形式解. 进一步, 若 ϕ,ψ 满足一定的条件, 我们可以证明它确实是

(4.1) 的解.

定定定理理理 4.1. 若 ϕ ∈ C3[0, l], ψ ∈ C2[0, l], 而且它们有相容性, 即

ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ′′(0) = ϕ

′′(l) = ψ(0) = ψ(l) = 0.

那么 (4.4) 给出的 u ∈ C2([0, l]× [0, T ]) 是 (4.1) 的解.

附附附注注注: 由 (4.1) 的第二式, 第三式和第四式可以看出 ϕ,ψ 具有相容性的必要

性.

证明: Step 1. 为了证明形式解 (4.4) 确实是解, 关键在于证明所求微商和取

极限的过程可以与和号交换. 具体说来, 即需要证明:

2

∞∑

n=1

un =∞∑

n=1

2un,

limx→0,l

∞∑

n=1

un =∞∑

n=1

limx→0,l

un,

limt→0

∂m

∂tm(∞∑

n=1

un) =∞∑

n=1

limt→0

(∂mun

∂tm), (m = 0, 1).

根据数学分析课程中的熟知结论, 为了证实上述运算是合法的, 只需要证明

级数 ∞∑

n=1

un,∞∑

n=1

Dun,∞∑

n=1

D2un

(D 表示对 x, t 的一阶微商) 在区域 Q = 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T (T 任意)

上一致收敛.

Step 2. 由定理的假设以及分部积分公式, 有

An =2

anπ

∫ l

0ψ(x) sin

nπ

lxdx = − l3

a(nπ)3an,


其中

an =2l

∫ l

0ψ′′(x) sin

nπ

lxdx.

同理

Bn = − l3

(nπ)3bn,

其中

bn =2l

∫ l

0ϕ′′′

(x) sinnπ

lxdx.

从而在 Q = 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T 上, 我们有估计

|un(x, t)| ≤ |An|+ |Bn| = O(1n3

),

|Dun(x, t)| = O(1n2

),∑

n

|D2un(x, t)| ≈∑

n

an1n

+ bn1n

≤ (∑

n

a2n + b2

n)1/2(∑

n

1n2

)1/2,

这里”O” 依赖于 l, a 和∫ l0 |ϕ

′′′ |dx,∫ l0 |ψ

′′ |dx.

从 Fourier 级数的 Bessel 不等式知

∞∑

n=1

a2n ≤

2l

∫ l

0|ψ′′

(x)|2dx,

∞∑

n=1

b2n ≤

2l

∫ l

0|ϕ′′′(x)|2dx.

因此我们证明了前面列举的所有级数在 Q 上一致收敛. 从而得到: 由表达式

(4.4) 给出的函数 u =∑∞

n=1 un 属于 C2(Q), 这就是” 相容性条件” 的必要

性, 可以将 u 逐项对 x, t 微分两次, 并适合方程组 (4.1) 的边界条件. Q.E.D


习题：

1. 证明定理 2.2.

2.[7] 15(pp.88),17(pp.88), 18(pp.89).


热热热方方方程程程

下列热传导方程是典型的抛物型方程

∂tu = a2∆u + f.

下面我们介绍三维热传导方程的导出. 室内 D 一点 (x, y, z) 处时刻 t 的

温度为 u(x, y, z, t). 内部 ∆V 体积的区域内, 温度从 u(x, y, z, t1) 升高到

u(x, y, z, t2) 所需的热量为

c[u(x, y, z, t2)− u(x, y, z, t1)]ρ∆V,

其中 c 为比热, 即单位质量温度升高 1 度所需的热量, ρ 为体密度.

δt 时间内经表面 ∆S 流入室内的热量为 k ∂u∂~n∆S∆t. 由 Gauss 公式,

∫ t2

t1

dt

∫ ∫

∂Dk

∂u

∂~nds =

∫ t2

t1

kdt

∫ ∫ ∫

D∆(x,y,z)u(x, y, z, t)dxdydz,

又由 Fourier 定律,

1|D|(t2 − t1)

∫ t2

t1

dt

∫ ∫

∂Dk

∂u

∂~nds

41

42 第 2章热方程

=1

|D|(t2 − t1)

∫ ∫ ∫

Dcρu(x, y, z, t2)− u(x, y, z, t1dxdydz

=1

|D|(t2 − t1)

∫ ∫ ∫

Dcρ

∫ t2

t1

∂u(x, y, z, t)∂t

dtdxdydz.

令 |D| → 0,t2 − t1 → 0, 则有

∂tu =k

cρ∆u = a2∆u.

2.1 Fourier 变变变换换换解解解 Cauchy 问问问题题题

2.1.1 Fourier 变变变换换换

设 f ∈ L1(R), 定义 f 的 Fourier 变换如下

F [f ](λ) = f(λ) :=1√2π

∫

Rf(x)e−iλxdx.

例例例 1.1.

f(x) =

1, |x| ≤ A,

0, |x| > A.

其中 A 为大于零的常数. 则其 Fourier 变换为

f(λ) =1√2π

∫ A

−Ae−iλxdx =

√2π

sin(λA)λ

.

Fourier 反反反演演演公公公式式式: 若 f ∈ L1(R) ∩ C1(R), 则

F−1[f ](x) := limN→∞

1√2π

∫ N

−Nf(λ)eiλxdλ = f(x).

上式左边是 f 的 Fourier 逆变换, 右边的积分表示取 Cauchy 主值.

证明: Step 1. 因为

f ∈ L1(R),

2.1 FOURIER 变换解 CAUCHY 问题 43

所以

f(λ) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−iλxdx 关于λ一致收敛.

又因为 f 关于 λ 连续, 所以对任意的 N > 0 和任意的 x ∈ R,

1√2π

∫ N

−Neiλxf(λ)dλ 存在,

且有

1√2π

∫ N

−Neiλxf(λ)dλ =

12π

∫ N

−Neiλx

∫ ∞

−∞f(ξ)e−iλξdξdλ

=12π

∫ ∞

−∞f(ξ)

∫ N

−Neiλ(x−ξ)dλdξ

=1π

∫ ∞

−∞f(ξ)

sinN(x− ξ)x− ξ

dξ

=1π

∫ ∞

−∞f(η + x)

sinNη

ηdη (η := ξ − x)

=1π

[∫ −M

−∞+

∫ M

−M+

∫ ∞

M]

= J1 + J2 + J3.

Step 2. 对任意的 ε > 0, 存在M0 > 0, 使得对任意的M > M0, 有

|J1| = | 1π

∫ −M

−∞f(η + x)

sinNη

ηdη| ≤ 1

πM

∫ ∞

−∞|f(x)|dx <

ε

4.

同理可得

|J3| ≤ 1πM

∫ ∞

−∞|f(x)|dx <

ε

4.

Step 3. 固定M(> M0) .

J2(x) =1π

∫ M

−M

f(x + η)− f(x)η

sin(Nη)dη +f(x)

π

∫ M

−M

sin(Nη)η

dη

=1π

∫ M

−M

∫ 1

0f′(x + τη)dτ sin(Nη)dη +

f(x)π

∫ NM

−NM

sin(η)η

dη.


令

g(x, η) :=∫ 1

0f′(x + τη)dτ,

由于 f ∈ C1(R), 所以 g 关于 (x, η) 连续. 因此存在 N0 > 0, 使得对任意的

N ≥ N0,

|J2(x)− f(x)| ≤ ε

4+ |f(x)|| 1

π

∫ NM

−NM

sin η

ηdη − 1| < ε

2. Q.E.D.

附附附注注注 1. ∫ ∞

−∞

sin η

ηdη = π.

附附附注注注 2. Riemann 引理: 设 ψ 在 [−M, M ] 上可积且绝对可积, 则

limN→∞

∫ M

−Mψ(η) sin(Nη)dη = lim

N→∞

∫ NM

−NMψ(

η

N)sin η

Ndη = 0.

2.1.2 Fourier 变变变换换换的的的性性性质质质

1. 线性: ∀a1, a2 ∈ C,∀f1, f2 ∈ L1(R),

F [a1f1 + a2f2] = a1F [f1] + a2F [f2].

2. 若 f, f′ ∈ L1(R), 则

F [f′(x)](λ) = iλF [f ](λ).

推广: 若 f(x), f′(x), · · · f (m)(x) ∈ L1(R), 则 ∀m ≥ 1

F [dmf

dxm](λ) = (iλ)mF [f ](λ).

因为

F [df

dx](λ) =

1√2π

∫

Rf′(x)e−iλxdx


=1√2π

[f(x)e−iλx]∞x=−∞ +iλ√2π

∫

Rf(x)e−iλxdx

= iλF [f ](λ).

例例例 1.2.

F [∂2u(·, t)

∂x2] = (iλ)2u(λ, t),

其中 u(λ, t) 为 u(x, t) 关于 x 的 Fourier 变换.

3. 若 f(x), xf(x) ∈ L1(R), 则

F [xf(x)](λ) = id

dλF [f ](λ).

因为

1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−iλxdx,

1√2π

∫ ∞

−∞xf(x)e−iλxdx 关于λ局部一致收敛.

所以 F [f ](λ) 关于 λ 可导, 且有

d

dλF [f ](λ) =

1√2π

∫ ∞

−∞

d

dλ[f(x)e−iλx]dx

=1√2π

∫ ∞

−∞−ixf(x)e−iλxdx

= −iF [xf(x)](λ).

4. 平移: 若 f ∈ L1(R), a ∈ R, 则 F [f(x− a)](λ) = e−iλaF [f ](λ).

因为

左边 =1√2π

∫ ∞

−∞f(x− a)e−iλxdx

=1√2π

∫ ∞

−∞f(x− a)e−iλ(x−a)e−iλadx

= 右边.


5. 伸缩: 若 f ∈ L1(R), 则对任意的 k 6= 0, 有

F [f(kx)](λ) =1|k|F [f ](

λ

k).

因为

左边 =1√2π

∫ +∞

−∞f(kx)e−i(λ

k)(kx)dx

=1

k√

2π

∫ +∞

−∞f(kx)e−i(λ

k)(kx)dkx (k > 0时)

=1kF [f ](

λ

k).

k < 0 时类似.

6. F−1[f(x)](λ) = F [f(x)](−λ).

左边 =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)eiλxdx =右边.

7. 卷积: 对任意的 f, g ∈ L1(R), 定义

(f ∗ g)(x) :=∫ ∞

−∞f(x− t)g(t)dt 为f与g的卷积.

则有

F [f ∗ g](λ) =√

2πF [f ](λ)F [g](λ).

证明: Step 1. 因为

‖f ∗ g‖L1(R) =∫ ∞

−∞|∫ ∞

−∞f(x− t)g(t)dt|dx

≤∫ ∞

−∞dx

∫ ∞

−∞|f(x− t)g(t)|dt,


又因为

∫ ∞

−∞dt

∫ ∞

−∞|f(x− t)g(t)|dx =

∫ ∞

−∞|g(t)|dt

∫ ∞

−∞|f(x− t)|dx

= ‖g‖L1(R)‖f‖L1(R)(< ∞),

所以

‖f ∗ g‖L1(R) ≤ ‖g‖L1(R) |f‖L1(R)(< ∞).

因此,

f ∗ g ∈ L1(R).

Step 2.

F [f ∗ g](λ) =1√2π

∫ ∞

−∞e−iλx(

∫ ∞

−∞f(x− t)g(t)dt)dx

=1√2π

∫ ∞

−∞g(t)e−iλt(

∫ ∞

−∞e−iλ(x−t)f(x− t)dx)dt

=√

2πF [g](λ)F [f ](λ). Q.E.D

例例例 1.3. f(x) = e−x2, 求 F [f ](λ).

解:

F [f ](λ) =1√2π

∫ ∞

−∞e−x2

e−iλxdx

=1√2π

[e−x2

−iλe−iλx]∞x=−∞ +

−2iλ√

2π

∫ ∞

−∞xe−x2

e−iλxdx

=−2iλ

id

dλF [f ](λ).

考虑 dF [f ]

dλ + λ2F [f ] = 0, ∀λ ∈ R,

F [f ](0) = 1√2π

∫∞−∞ e−x2

dx = 1√2,


其中

(∫ ∞

−∞e−x2

dx)2 =∫ ∞

−∞e−x2

dx

∫ ∞

−∞e−y2

dy

=∫ ∫

R2

e−(x2+y2)dxdy

= 2π

∫ ∞

0e−r2

rdr

= π

∫ ∞

0e−r2

dr2

= π.

由常微分方程理论知

F [f ](λ) = Ce−λ2

4 , C =1√2.

例例例 1.4. f(x) = e−Ax2, A > 0 为常数. 求 F [f ](λ).

F [f ](λ) =1√2π

∫ ∞

−∞e−Ax2

e−iλxdx

=1√2πA

∫ ∞

−∞ey2

e−i λ√

Aydy

=1√A

1√2e−

( λ√A

)2

4

=1√2A

e−λ2

4A .

2.1.3 用用用 Fourier 变变变换换换解解解热热热传传传导导导方方方程程程 Cauchy 问问问题题题

考虑热传导方程的 Cauchy 问题

∂tu = a2∂xxu + f(x, t), ∀x ∈ R,∀t > 0, (1.1)

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ R. (1.2)


如果 ϕ, f, u 关于 x 可求 Fourier 变换, 则有

ddt u(λ, t) = −a2λ2u(λ, t) + f(λ, t), ∀t > 0,

u(λ, 0) = ϕ(λ).

由此可以解得

u(λ, t) = ϕ(λ)e−a2λ2t +∫ t

0f(λ, τ)e−a2λ2(t−τ)dτ.

由例 1.4 知, 令 A = 14a2t

, 则有

F [1

a√

2te−

x2

4a2t ](λ) = e−a2λ2t.

由卷积性质知,

F−1[ϕ(λ)e−a2λ2t](x) =1√2π

∫ ∞

−∞ϕ(ξ)

e−(x−ξ)2

4a2t

a√

2tdξ

=1

2a√

πt

∫ ∞

−∞e−

(x−ξ)2

4a2t dξ.

同理可得,

F−1[f(λ, τ)e−a2λ2(t−τ)](x) =1

2a√

π(t− τ)

∫ ∞

−∞f(ξ, τ)e−

(x−ξ)2

4a2t dξ.

所以形式上有

u(x, t) =1

2a√

πt

∫ ∞

−∞ϕ(ξ)e−

(x−ξ)2

4a2t dξ

+∫ t

0

dτ

2a√

π(t− τ)

∫ ∞

−∞f(ξ, τ)e

− (x−ξ)2

4a2(t−τ) dξ (1.3)

=∫ ∞

−∞ϕ(ξ)G(x− ξ, t)dξ +

∫ t

0dτ

∫ ∞

−∞f(ξ, τ)G(x− ξ, t− τ)dξ.


令

G(x, t) =

12a√

πte−

x2

4a2t , t > 0,

0, t ≤ 0.

Γ(x, t; ξ, τ) = G(x− ξ, t− τ) 称为热传导方程的基本解.

定定定理理理 1.1. 设 f ≡ 0, ϕ ∈ C(R) ∩ L∞(R), 则上述公式 (1.3) 给出的是

(1.1)-(1.2) 的光滑有界解.

证明: Step 1. 此时由 (1.3) 可知,

u(x, t) =1

2a√

πt

∫ +∞

−∞ϕ(ξ)e−

(x−ξ)2

4a2t dξ =∫ ∞

−∞ϕ(ξ)G(x− ξ, t)dξ.

对任意的 x ∈ R, t > 0 (固定), 上述积分关于 (x, t) 局部一致收敛且

∫ +∞

−∞ϕ(ξ)Dα

xDβt G(x− ξ, t)dξ

仍然关于 (x, t) 局部一致收敛, 故求导与积分式可交换, 且 u(x, t) ∈ C∞(R×(0,∞)).

由于∂

∂tG(x− ξ, t)− a2 ∂2

∂x2G(x− ξ, t) = 0,

故∂u

∂t− a2 ∂2u

∂x2= 0, ∀x ∈ R,∀t > 0.

Step 2. 令

η =ξ − x

2a√

t,

u(x, t) =1√π

∫ +∞

−∞ϕ(x + 2a

√tη)e−η2

dη,

则有

limt→0

u(x, t) =1√π

∫ +∞

−∞limt→0

ϕ(x + 2a√

tη)e−η2dη

= ϕ(x). Q.E.D

2.2 分离变量法解初边值问题 51

附附附注注注 1. 由 (1.3) 知, 若 f, ϕ 为 x 的奇 (偶) 函数, 则由 (1.3) 得到的解 u 为 x

的奇 (偶) 函数.

附附附注注注 2. ∀t > 0,∀x ∈ R, 理论上” 热” 传播速度无限大 (不一定).

附附附注注注 3. 初始 ϕ(x) 的奇异点 ∈ C(R)∩L∞(R) 不会影响 u ∈ C∞(∀t > 0), 即

奇性不传播. 例如: ϕ′(x) 不连续.

2.2 分分分离离离变变变量量量法法法解解解初初初边边边值值值问问问题题题

2.2.1 齐齐齐次次次热热热传传传导导导方方方程程程的的的初初初边边边值值值问问问题题题

ut(x, t) = a2uxx(x, t), 0 < x < l, t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), 0 < x < l,

u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0.

(3.1)

令 u(x, t) = X(x)T (t), 并把它代入上面第一式和第三式, 可得

T′(t)

a2T (t)= X

′′(x)

X(x) = −λ, 0 < x < l, t > 0,

X(0)T (t) = X(l)T (t) = 0, t > 0.

其中 λ 为常数. 于是可以分别得到关于 t 和 x 的方程,

T′(t) + a2λT (t) = 0,∀t > 0, (3.2)

和 X′′(x) + λX(x) = 0, 0 < ∀x < l,

X(0) = X(l) = 0.(3.3)

我们知道 (3.3) 是特征值问题, 即 Sturm-Liouville 问题. 和波动方程类似,

(3.3) 有解

X(x) = C1 sin√

λx + C2 cos√

λx, λ ≥ 0.


由 X(0) = 0 得到, C2 = 0; 又由 X(l) = 0 得到, C1 sin√

λl = 0. 因此仅当

λn = (nπ

l)2, n = 1, 2, · · ·时, (3.3) 有非零解.

所以有

Xn(x) = sinnπ

lx.

由 (3.2) 可得

Tn(t) = exp(−a2λnt) = exp[−(nπa

l)2t].

所以, 我们有如下满足 (3.1) 的第一式和第三式的函数级数

u(x, t) =∞∑

n=1

CnTn(t)Xn(x) =∞∑

n=1

Cn exp[−(nπa

l)2t] sin(

nπ

lx).

此时

u(x, 0) =∞∑

n=1

Cn sin(nπ

lx).

若 ϕ 可依 sin(nπl x)n 展开, 例如 ϕ ∈ L2[0, l], 则有

ϕ(x) =∞∑

n=1

ϕn sinnπ

lx.

因此, 只要取

Cn = ϕn =2l

∫ l

0ϕ(x) sin

nπ

lxdx,

那么 (3.1) 的第二式也满足. 所以 (3.1) 的形式解是

u(x, t) =∞∑

n=1

ϕn exp[−(nπa

l)2t] sin(

nπ

lx).

2.2 分离变量法解初边值问题 53

2.2.2 非非非齐齐齐次次次热热热传传传导导导方方方程程程的的的初初初边边边值值值问问问题题题

ut = a2uxx + f(x, t), 0 < x < l, t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), 0 < x < l,

u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0.

(3.4)

设对任意的 t > 0, f(·, t) ∈ L2[0, l]. 则对任意固定的 t > 0 以下展开在 L2 中

收敛

f(x, t) =∞∑

n=1

fn(t) sinnπ

lx,

其中

fn(t) =2l

∫ l

0f(x, t) sin

nπ

lxdx.

把 u(x, t) =∞∑

n=1

Tn(t) sinnπx

l代入方程, 得到

T′n(t) + (nπa

l )2Tn(t) = fn(t),

Tn(0) = ϕn.(3.5)

由此可以解得

Tn(t) = ϕn exp[−(nπa

l)2t] +

∫ t

0fn(τ) exp[−(

nπa

l)2(t− τ)]dτ.

于是我们就得到了 (3.4) 的形式解,

u(x, t) =∞∑

n=1

ϕn exp[−(nπa

l)2t]

+∫ t

0fn(τ) exp[−(

nπa

l)2(t− τ)]dτ sin

nπx

lx. (3.6)

附附附注注注 1. 可以证明, 当 ϕ, f 满足一定的条件时, (3.6) 给出的解 u 是 (3.4) 的

解.


附附附注注注 2. 当 (3.4) 中的边界条件为非齐次时, 例如对任意的 t ≥ 0,

u(0, t) = g1(t), u(l, t) = g2(t).

可以先作如下变换

v(x, t) = u(x, t)− (1− x

l)g1(t)− x

lg2(t),

则 v 满足齐次边界条件

v(0, t) = v(l, t) = 0, ∀t ≥ 0,

从而归结为问题 (3.4) .


位位位势势势方方方程程程

我们考虑两类最典型的椭圆型方程. 它们是 Poisson 方程 (位势方程)

∆xu = f(x),

和 Laplace 方程

∆xu = 0.

当波动方程的解趋于平稳, 即 t → ∞ 时, 波动方程趋向于 Poisson 方程或

Laplace 方程. 同样对抛物型方程而言, 当温度趋于稳定时, 热方程趋向于

Poisson 方程或 Laplace 方程.

3.1 基基基本本本解解解

考虑下述广义函数的方程

∀x ∈ Rn, ∆xU = δ(x). (1.1)

命命命题题题 1.1. 当 n ≥ 3 时, (1.1) 的广义解是

U(x) =1

(n− 2)ωn· 1|x|n−2

,

55

56 第 3章位势方程

其中 ωn = 2πn2 /Γ(n

2 ) 为 n 维单位球面的面积.

当 n = 2 时, (1.1) 的广义解是

U(x) =12π

ln1|x| .

证明: 以 n = 3 为例. 对任意 ϕ ∈ D(R3), 有

(∆xU,ϕ(x))

= (U,∆xϕ(x))

=14π

(1|x| ,∆xϕ(x)

)

=14π

limε→0

∫ ∫ ∫

|x|≥ε

1|x|∆xϕ(x)dx

=14π

limε→0

∫ ∫ ∫

|x|≥εdivx

(1|x|∇xϕ(x)

)dx

−∫ ∫ ∫

|x|≥ε∇x

1|x| · ∇xϕ(x)dx

=14π

limε→0

∫ ∫

|x|=ε~n ·

(1|x|∇xϕ(x)

)dSε

−∫ ∫ ∫

|x|≥εdivx

(ϕ(x)∇x

1|x|

)dx

+∫ ∫ ∫

|x|≥εϕ(x)∆x

1|x|dx

=14π

limε→0

∫ ∫

∂Bε(0)

1r

∂ϕ

∂rdSε −

∫ ∫

∂Bε(0)ϕ

∂

∂r

1rdSε

+∫ ∫ ∫

|x|≥εϕ(x)∆x

1|x|dx

= ϕ(0)

= (δ(x), ϕ(x)). Q.E.D

3.1 基本解 57

附附附注注注: U(x) ∈ L1loc(R

n).

命命命题题题 1.2. 设 f(x) ∈ L1loc(R

n) ∩ D′(Rn), 且 suppf 紧, 则对任意的 x ∈ Rn,

∆xu = f(x) (1.2)

的解可表示为

(U ∗ f)(x) =∫

Rn

U(x− ξ)f(ξ)dξ.

记 Γ(x− ξ) := U(x− ξ) 为 Laplace 方程的基本解.

证明: 对任意的 ϕ ∈ D(Rn), 因为 supp f 紧, 故由广义函数卷积的定义知,

(U ∗ f, ϕ) = (Ux ⊗ fξ, ϕ(x + ξ))

= (fξ, (Ux, ϕ(x + ξ)))

= (fξ, (Ux−ξ, ϕ(x)))

=∫

Rn

f(ξ)∫

Rn

U(x− ξ)ϕ(x)dxdξ

=∫

Rn

ϕ(x)(∫

Rn

U(x− ξ)f(ξ)dξ)dx

= (∫

Rn

U(x− ξ)f(ξ)dξ, ϕ(x)).

因此, 当 U, f ∈ L1loc(R

n) 时, U ∗ f 与通常的定义相同.

∀ϕ ∈ D(Rn),

(∆x(U ∗ f), ϕ) = (U ∗ f,∆xϕ)

= (fξ, (Ux,∆xϕ(x + ξ)))

= (fξ, (∆xUx, ϕ(x + ξ)))

= (fξ, (δ(x), ϕ(x + ξ)))

= (f, ϕ). Q.E.D


3.2 Green 函函函数数数

考虑下述 Poisson 方程的 Dirichlet 问题

−∆xu = f(x), ∀x ∈ Ω,

u(x) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂Ω.(2.1)

其中 Ω ⊂ Rn.

以及 Poisson 方程的 Neumann 问题,

−∆xu = f(x), ∀x ∈ Ω,∂u∂~n(x) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂Ω.

(2.2)

其中 ~n(x) 为 x ∈ ∂Ω 处的单位外法向量.

第第第二二二 Green 公公公式式式: 设 Ω 为 Rn 中区域, ∂Ω 分段光滑, 则对任意的

u, v ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω), 有

∫

Ω(u∆v − v∆u)dx =

∫

∂Ω(u

∂v

∂~n− v

∂u

∂~n)dσ. (2.3)

证明:

∫

Ω(u∆xv − v∆xu)dx

=∫

Ωdiv(u∇xv)−∇xu · ∇xv − div(v∇xu) +∇xu · ∇xvdx

=∫

Ωdiv(u∇xv − v∇xu)dx

=∫

∂Ω~n · (u∇xv − v∇xu)dσ

=∫

∂Ω(u

∂v

∂~n− v

∂u

∂~n)dσ. Q.E.D

定定定理理理 2.1. 设 ∂Ω 光滑, u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) 为

−∆xu = f(x), ∀x ∈ Ω

3.2 GREEN 函数 59

的解, 则

u(x) =∫

ΩΓ(y − x)f(y)dy

+∫

∂Ω[Γ(y − x)

∂u(y)∂~n

− ∂Γ∂~n

(y − x)u(y)]dσ(y). (2.4)

证明: 因为对任意的 y 6= x, ∆yΓ(y − x) = 0, 所以

∫

Ω[−Γ(y − x)∆yu(y)]dy

= limε→0

∫

Ω\Bε(x)[u(y)∆yΓ(y − x)− Γ(y − x)∆yu(y)]dy

=∫

∂Ω[u(y)

∂Γ∂~n

(y − x)− Γ(y − x)∂u(y)∂~n

]dσ(y)

+ limε→0

∫

∂Bε(x)[u(y)

∂Γ∂~n

(y − x)− Γ(y − x)∂u(y)∂~n

]dσ(y).

又因为

∫

∂Bε(x)[u(y)

∂Γ∂~n

(y − x)]dσ(y) =1

(n− 2)ωn

∫

∂Bε(x)u(y)

∂

∂~n

1|y − x|n−2

dσ(y)

=1ωn

∫

∂Bε(x)u(y)

1|y − x|n−1

dσ(y)

=1ωn

∫

∂Bε(x)u(y)

1εn−1

dσ(y)

→ u(x), ε → 0.∫

∂Bε(x)[Γ(y − x)

∂u(y)∂~n

]dσ(y) =1

(n− 2)ωn

∫

∂Bε(x)

1|y − x|n−2

∂u(y)∂~n

dσ(y)

=1

(n− 2)ωn

∫

∂Bε(x)

1εn−2

∂u(y)∂~n

dσ(y)

→ 0. ε → 0.


所以

∫

Ω[−Γ(y − x)∆yu(y)]dy

=∫

∂Ω[u(y)

∂Γ∂~n

(y − x)− Γ(y − x)∂u(y)∂~n

]dσ(y) + u(x). Q.E.D

由于 (2.4) 并没有完全给出 (2.1) 的解, 我们对此作进一步的讨论.

设 g ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) 在 Ω 内满足

∆yg = 0. (2.5)

由 Green 第二公式, 有

∫

Ω(u∆g − g∆u)dy −

∫

∂Ω(u

∂g

∂~n− g

∂u

∂~n)dσ = 0. (2.6)

将 (2.4) 和 (2.6) 相加可以得到

u(x) = (−1)∫

Ω[Γ(y − x) + g(y)]∆yu(y)dy

+∫

∂Ω[Γ(y − x) + g(y)]

∂u(y)∂~n

− ∂

∂~n[Γ(y − x) + g(y)]u(y)dσ(y).

对任意固定的 x ∈ Ω, 取 g(y, x), 使得

G(y, x) = g(y, x) + Γ(y − x) = 0, ∀y ∈ ∂Ω.

显然, 由 (2.5) 式和对任意的 y ∈ Ω, 有

∆yG(y, x) = ∆yΓ(y − x) + ∆yg = ∆yU(y − x) = δ(y − x).

称 G(x, y) 为 Ω 的 (Dirichlet)Green 函数, 如果对任意的 y ∈ Ω 的内部, 有

∆xG(x, y) = δ(x− y), ∀x ∈ Ω,

G(x, y) = 0, ∀x ∈ ∂Ω.(2.7)

3.2 GREEN 函数 61

命命命题题题 2.2. 设 u 为 (2.1) 的解, G(x, y) 为 Ω 的 Green 函数, 则 u 可以表示为

u(x) =∫

ΩG(y, x)f(y)dy −

∫

∂Ω

∂

∂~nG(y, x)ϕ(y)dσ(y). (2.8)

命命命题题题 2.3.

G(x, y) = G(y, x).

证明: ∀x, z ∈ Ω, 记 Ωε := Ω \ (Bε(x) ∪Bε(z)), 则

0 =∫

Ωε

[G(y, x)∆yG(y, z)−G(y, z)∆yG(y, x)]dy

=∫

∂Ω[G(y, x)

∂G

∂~n(y, z)−G(y, z)

∂G

∂~n(y, x)]dσ(y)

+∫

∂Bε(x)[G(y, x)

∂G

∂~n(y, z)−G(y, z)

∂G

∂~n(y, x)]dσ(y)

+∫

∂Bε(z)[G(y, x)

∂G

∂~n(y, z)−G(y, z)

∂G

∂~n(y, x)]dσ(y)

=∫

∂Bε(x)[G(y, x)

∂G

∂~n(y, z)−G(y, z)

∂G

∂~n(y, x)]dσ(y)

+∫

∂Bε(z)[G(y, x)

∂G

∂~n(y, z)−G(y, z)

∂G

∂~n(y, x)]dσ(y).

类似定理 2.1 的证明, 我们有

∫

∂Bε(x)[G(y, x)

∂G

∂~n(y, z)−G(y, z)

∂G

∂~n(y, x)]dσ(y)

=∫

∂Bε(x)[Γ(y − x) + g(y, x)]

∂

∂~n[Γ(y − z) + g(y, z)]

− [Γ(y − z) + g(y, z)]∂

∂~n[Γ(y − x) + g(y, x)]dσ(y)

→ (−1)[Γ(x− z) + g(x, z)] = (−1)G(x, z), ε → 0.

同理可得

∫

∂Bε(z)[G(y, x)

∂G

∂~n(y, z)−G(y, z)

∂G

∂~n(y, x)]dσ(y)


→ Γ(z − x) + g(z, x) = G(z, x), ε → 0.

故

G(x, z) = G(z, x). Q.E.D

3.3 Laplace 方方方程程程与与与调调调和和和函函函数数数

设 Ω 是 Rn 中有界区域, 考虑下述 Ω 中的 Laplace 方程

∀x ∈ Ω, ∆u(x) = 0. (4.1)

(4.1) 的解称为 Ω 中的调和函数 (≥ 0: 下调和函数; ≤ 0: 上调和函数).

由定理 2.1 中的式 (2.4)

∀x ∈ Ω, u(x) =∫

∂Ω[Γ(y − x)

∂u(y)∂n

− ∂

∂nΓ(y − x)u(y)]dσ(y). (2.4)

以及 Γ(y − x) 在 x 6= y 时无穷次可导知, u 在 Ω 内可无穷次求导. 又由方程

(4.1) 知 u 的任意阶导数也是 (4.1) 的解.

平平平均均均值值值定定定理理理: 设 u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) 为 Ω 中的调和函数, 则对任意的球

BR(y) ⊂ Ω, 有

u(y) =1

nωnRn−1

∫

∂BR(y)u(x)dSR(x)

=1

ωnRn

∫

BR(y)u(x)dx,

其中 ωn 为 n 维单位球的体积, nωn 为 n 维单位球面的面积.

证明: 对任意的 ρ ∈ (0, R], 由散度定理 (即 Green 公式) 可得

∫

∂Bρ(y)

∂u

∂~n(x, dS(x)) =

∫

Bρ(y)∆u(x)dx = 0. (4.2)

3.3 LAPLACE 方程与调和函数 63

又因为

0 =∫

∂Bρ(y)

∂u(x)∂n

dSρ(x)

=∫

∂Bρ(y)

∂u

∂ρ(y + ρω)dSρ(x)

=∫

∂B1(0)

∂u

∂ρ(y + ρω)ρn−1dS(ω)

= ρn−1 ∂

∂ρ

∫

∂B1(0)u(y + ρω)dS(ω)

= ρn−1 ∂

∂ρ[ρ1−n

∫

∂Bρ(y)u(x)dSρ(x)].

其中 ω := x−y|x−y| ∈ ∂B1(0), dS(ω) 为单位球面上的面积元,

故对任意的 ρ ∈ (0, R], 有

ρ1−n

∫

∂Bρ(y)u(x)dSρ(x) = R1−n

∫

∂BR(y)u(x)dSR(x).

令 ρ → 0, 则 ∫

∂B1(0)u(y + ρω)dS(ω) = u(y)nωn.

故

u(y) =1

nωnRn−1

∫

∂BR(y)u(x)dSR(x).

又对任意的 ρ ∈ (0, R], 有

∫ R

0nωnρn−1u(y)dρ =

∫ R

0dρ

∫

∂Bρ(y)u(x)dSρ(x) =

∫

BR(x)u(x)dx. Q.E.D

Liouville 定定定理理理: 设 u 是全空间 Rn 上的有界调和函数, 则 u ≡ 常数.

证明: 由于 u 是调和函数, 故 u 满足

∀x ∈ Rn, ∆u(x) = 0.


由命题 4.1, 对任意的 i, ∂xiu(x) 也满足 Laplace 方程

∀x ∈ Rn, ∆(∂u(x)∂xi

) = 0.

故对任意的 y ∈ Rn, 有

∂u(y)∂x1

=1

ωnRn

∫

BR(y)

∂u(x)∂x1

dx

=1

ωnRn

∫

0≤n∑

i=2

(xi − yi)2 ≤ R2dx2 · · · dxn

∫ y1−√

R2−∑ni=2(xi−yi)2

y1−√

R2−∑ni=2(xi−yi)2

∂u(x)∂x1

dx1

→ 0, 当R →∞时.

同理有∂u(y)∂xi

= 0, i = 1, 2, · · · , n.

由 y 的任意性知, u ≡ 常数. Q.E.D

附附附注注注: 上述定理中的条件可以减弱为 u 有上界 (或下界).


一一一阶阶阶偏偏偏微微微分分分方方方程程程组组组与与与二二二阶阶阶线线线性性性偏偏偏

微微微分分分方方方程程程分分分类类类

4.1 二二二阶阶阶偏偏偏微微微分分分方方方程程程的的的分分分类类类

考虑一般的关于未知函数 u(x, y) 的线性二阶偏微分方程

auxx + 2buxy + cuyy = d, (5.1)

其中 a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y) 为已知函数.

设 γ 为 x− y 平面中的曲线

γ :

x = f(s),

y = g(s).(5.2)

其中 s ∈ R 为参变量. 在 γ 上给定 Cauchy 初值

u = h(s), ux = φ(s), uy = ψ(s).

65

66 第 4章一阶偏微分方程组与二阶线性偏微分方程分类

(5.2) 中给定的函数必须满足如下相容性条件,

du(f(s), g(s))ds

= ux(f(s), g(s))f′(s) + uy(f(s), g(s))g

′(s),

即

h′(s) = φ(s)f

′(s) + ψ(s)g

′(s). (5.3)

故 h, φ, ψ 中至多两个可任意取. 同样对 ux(f(s), g(s)), uy(f(s), g(s)) 也有相

应的条件,dux(f, g)

ds= uxx(f, g)f

′(s) + uxy(f, g)g

′(s),

duy(f, g)ds

= uyx(f, g)f′(s) + uyy(f, g)g

′(s),

即

φ′(s) = uxxf

′(s) + uxyg

′(s) on γ, (5.4)

ψ′(s) = uyxf

′(s) + uyyg

′(s) on γ. (5.5)

由 (5.1),(5.4),(5.5) 可唯一确定 uxx, uxy, uyy 在 γ 上值的充要条件是

D(s) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣

f′(s) g

′(s) 0

0 f′(s) g

′(s)

a(f, g) 2b(f, g) c(f, g)

∣∣∣∣∣∣∣∣= a(g

′)2− 2bf

′g′+ c(f

′)2 6= 0 on γ.

若在 γ 上 D(s) = 0, 则称 γ 为特征线. 此时, 要解出 γ 上的 uxx, uxy, uyy, 需

要

g′(s) =

dy

ds,

f′(s) =

dx

ds.

于是有

a(dy)2 − 2bdydx + c(dx)2 = 0 on γ.

所以dy

dx=

b±√b2 − ac

a. (5.6)

4.1 二阶偏微分方程的分类 67

考虑

aux1x1 + 2bux1x2 + cux2x2 = d, (5.7)

为简便计, 设 a > 0, b, c 为常数, d = d(x1, x2, ux1 , ux2) 为 x1, x2, ux1 , ux2 的

已知函数.

Case 1. ac− b2 > 0.

(∂

∂x1

∂∂x2

) (a b

b c

)(∂

∂x1

∂∂x2

)u = d

A =

(a b

b c

)= T

(λ1 0

0 λ2

)T tr

此时 A 正定. 其中 T 是正交阵, T tr 是 T 的转置, λ1, λ2 > 0 是 A 的特征值.

令 (y1

y2

)= T tr

(x1

x2

),

则

λ1∂2u

∂y21

+ λ2∂2u

∂y22

= d.

令

x1 =1√λ1

y1, x2 =1√λ2

y2,

则∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

= ∆xu = d.

于是 (5.7) 为椭圆型方程.

Case 2. ac− b2 = 0.

(5.7) 为抛物型方程. 例如 λ1 6= 0, λ2 = 0,

λ1∂2u

∂y21

= d(y, uy1 , uy2).

Case 3. ac− b2 < 0, λ1 > 0, λ2 < 0.


令

t :=1√λ1

y1, x :=1√−λ2

y2,

则∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= d.

于是 (5.7) 为双曲型.

4.2 特特特征征征流流流形形形与与与 Cauchy 问问问题题题局局局部部部唯唯唯一一一可可可解解解性性性 (在在在实实实解解解

析析析函函函数数数类类类中中中)

设未知函数向量 u(x) =

u1(x)...

uN (x)

, x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn 满足m 阶拟线

性方程组

∑

|α|=m

AαDαu + C = 0, (6.1)

其中 Aα = Aα(x,Dβu) 是 N ×N 阶矩阵, C = C(x,Dβu) 是 N × 1 向量，

其元素都是 x,Dβu, (|β| ≤ m− 1) 的已知函数,

Dαu :=∂αu

∂xα11 · · · ∂xαn

n,

α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn 称为多重指标,

|α| := α1 + · · ·+ αn.

设 S = x ∈ Rn : φ(x) = 0 是 Rn 中超曲面，由函数 φ 的 0- 等高面定

义。假设 φ 是正则的: Dφ 6= 0。不妨设在 S 上 ∂xnφ 6= 0.

4.2 特征流形与 CAUCHY 问题局部唯一可解性 (在实解析函数类中) 69

对任意的 x ∈ S 和任意的 β : |β| ≤ m− 1, 给定 S 上 Cauchy 初值

Dβu(x), (6.2)

要想得到在 S 某邻域内唯一的解, 就必须且只需从 (6.1) 及相容性条件组

成的线性方程组 (其中 Dβu, |β| ≤ m − 1 由 (6.2) 给出) 在 S 上唯一解出

Dαu(|α| = m). 此时称 S 是非特征的.

定定定义义义 6.1. S 是特征流形, 若 S 的任一部分都不是非特征的.

Case 1. S = xn = 0.α∗ := (0, 0, · · · , 0,m), ∀α: |α| = m, α 6= α∗, Dαu(x) 在 S 上都可以由 (6.2)

计算得到. 由于

Aα∗Dα∗u(x) = (−1)

∑|α|=m∀α6=α∗

AαDαu(x) + C

,

Dα∗u 在 S 上可唯一解的充分必要条件是行列式 |Aα∗ | 6= 0。

设 α = (α1, α2, . . . , αn) 是多重指标。∀ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ Rn, 记

ξα = ξα11 ξα2

2 · · · ξαnn ,

其中规定 00 = 1。则 Dα∗u 在 S 上可唯一解的充分必要条件可写成

det

∑

|α|=m

Aα(Dφ)α

6= 0.

令 U = (u, ∂x1u, . . . , ∂xnu, . . . , ∂m−1x1

u, . . . , ∂m−1xn

u)tr. U 是

N ′ = N × n× (m− 1) + N


维列向量。

若 S = xn = 0 是非特征的, 则 Aα∗ 在 S 上可逆. 因此, 在 S 上 (6.1)

可以写成如下标准型

∂

∂xnU =

n−1∑

i=1

ai(x,U)∂

∂xiU + b(x,U). (6.3)

Case 2. 一般情况下, 因为 φ 是正则的: Dφ 6= 0, 不妨设对任意的 x ∈ S,

∂xnφ(x) 6= 0. 作如下坐标变换

yi = xi, i = 1, · · · , n− 1,

yn = φ(x)

可归结为 Case 1. 作变量代换，在 S 上 (6.1) 也可以写成标准型 (6.3)。由以

下 Cauchy-Kowalevski 定理，我们有 (6.1) 在非特征流形上给定 Cauchy 初

值问题局部解的存在和唯一性。

Cauchy-Kowalevski 定定定理理理. 设 ai, b 是变量 z = (x1, · · · , xn−1, U) ∈RN ′+n−1 在 z = 0 处的实解析函数, 那么方程 (6.3) 在给定 Cauchy 初值

U = 0, xn = 0, (6.4)

后，(在实解析函数类中) 有且仅有唯一的解 U(x), 且 U(x) 在原点 x = 0 处

实解析.

定理证明参考 [9] （P.75-76）.

定定定义义义 6.2. Lu :=∑|α|=m AαDαu 是椭圆型算子, 当且仅当

det

∑

|α|=m

Aαξα

6= 0, ∀ξ ∈ Rn\0.

4.2 特征流形与 CAUCHY 问题局部唯一可解性 (在实解析函数类中) 71



Sobolev 空空空间间间与与与广广广义义义函函函数数数

5.1 Sobolev 空空空间间间

Sobolev 空间与弱解是现代偏微分方程理论最基本的概念。我们以 Cauchy

问题 (2.3) 为例来解释它们的重要性。∀η(x, t) ∈ C∞0 (R × (0, T ]), 方程

（2.3）×η 后积分得到 (其中假设 a = 1)

∫ T

0dt

∫

Rx

u(x, t)(∂tt − ∂xx)η(x, t)dx−∫

Rx

η(x, 0)∂tu(x, 0)dx +∫

Rn

∂tη(x, 0)u(x, 0)dx

=∫ T

0dt

∫

Rf(x, t)η(x, t)dx

所以若 u 是 (2.3) 的解，则下式 ∀η ∈ C∞0 (R× (0, T ]) 都成立。

∫ T

0dt

∫

Rη(x, t)f(x, t)dx =

∫ T

0

∫

Ru(x, t)2η(x, t)dx−

∫

Rη(x, 0)ψ(x)dx+

∫

R∂tη(x, 0)ϕ(x)dx

反之，∀η ∈ C∞0 (R× (0, T ])，若 u 都满足上式, 则称 u 为 (2.3) 在 (0, T ) 内

的弱解. 注意到上式只要求弱解可积，我们需要在 Lp 空间和 Sobolev 空间

中研究弱解。

73

74 第 5章 SOBOLEV 空间与广义函数

首先定义可积函数弱导数的概念。记

Dαϕ :=∂αϕ

∂xα11 · · · ∂xαn

n,

α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn 称为多重指标,

|α| := α1 + · · ·+ αn.

假设给定 Rn 上局部可积函数 f 与 g，若

∫

Rn

f(x)Dαϕ(x)dx = (−1)|α|∫

Rn

g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (Rn),

那么就说 g 是 f 的 α 阶弱导数, Dαf = g.

下面介绍 Sobolev 空间Wm,p(Rn), 其中m，p ∈ N, p ≥ 1.

当m = 0 时, W 0,p(Rn) := Lp(Rn) = f :∫Rn |f |p < ∞. 其上定义范数

‖f‖Lp(Rn) = (∫

Rn

|f |p)1/p.

当m = 1 时, W 1,p(Rn) := f(x) : f ∈ Lp(Rn), ∂f∂xi

∈ Lp(Rn), 1 ≤ i ≤ n, 其中的导数理解为弱导数，范数如下定义

‖f‖W 1,p(Rn) := ‖f‖Lp(Rn) +n∑

i=1

∥∥∥∥∂f

∂xi

∥∥∥∥Lp(Rn)

.

类似地, 我们可以给出当 m ≥ 2 的定义. 可以证明Wm,p(Rn) 是 Banach 空

间, 而Wm,2(Rn) 是 Hilbert 空间 (例如，参见 [11])。当 p = 2 时记

Hm(Rn) = Wm,2(Rn).

Sobolev 不不不等等等式式式.[8] 设 1 ≤ p < q ≤ ∞, m ∈ N,

1p− 1

q=

m

n.

5.1 SOBOLEV 空间 75

则存在常数 C = C(p, q, m, n) > 0，使得

‖f‖Lq(Rn) ≤ C∑

|α|=m

‖Dαxf‖Lp(Rn), ∀f ∈ C∞

0 (Rn).

进一步，如果 p > n/m，则

‖f‖L∞(Rn) ≤ C∑

|α|≤m

‖Dαxf‖Lp(Rn), ∀f ∈ Wm,p(Rn).

定义Wm,p0 [0, l] 为 C∞

0 [0, l] 在空间Wm,p(R) 中的闭包，继承Wm,p(R)

的范数

‖u‖W m,p0 [0,l] = ‖u‖Lp[0,l] +

∑

1≤k≤m

‖∂kxu‖Lp[0,l].

命命命题题题 2.5.[11] W 1,20 [0, l] 是 Hilbert 空间, 其中内积定义为

(u, v)W 1,2

0:=

∫ l

0u′v′ + uvdx.

由 (2.8)-(2.11) 知，

命命命题题题 2.6. 若 f ∈ L2(Rx × R+t ), ϕ ∈ H1(R), ψ ∈ L2(R), 则波动方程

Cauchy 问题 (2.3) 的解在 H1(Rx × R+t ) 中唯一存在, 并且解 u 连续依赖于

初值 ϕ,ψ 及右端项 f .

同样，我们有

命命命题题题 2.7. 若 ψ ∈ L2(R), ϕ ∈ H1(R), f ∈ L1([0, τ ];L2(Rx)), 那么 (2.3)

的解 u(x, t) 若存在则唯一, 且

u ∈ C([0, τ ];H1(Rx)) ∩ C1([0, τ ];L2(Rx)).


证明：若 u ∈ C2, 且对于足够大的 x, u = 0,

d

dt

∫

R

|∂tu(x, t)|2 + |∂xu(x, t)|2 dx

=∫

R2∂ttu(x, t)∂tu(x, t) + 2∂xu(x, t)∂x∂tu(x, t)dx

= 2∫

R∂tu(x, t)∂ttu(x, t)− ∂xxu(x, t)dx

≤ 2(∫

R|∂tu(x, t)|2

) 12(∫

R|f(x, t)|2dx

) 12

,

因此

d

dt

(∫

R|∂tu(x, t)|2 + |∂xu(x, t)|2dx

) 12

≤(∫

R|f(x, t)|2dx

) 12

,

我们有

(∫

R|∂tu(x, τ)|2 + |∂xu(x, τ)|2dx

) 12

≤(∫

R|ψ(x)|2 + |ϕ′(x)|2dx

) 12

+∫ τ

0

(∫

R|f(x, t)|2dx

) 12

dt.

又因为

d

dt

∫

R|u(x, t)|2dx = 2

∫

Ru(x, t)∂tu(x, t)dx

≤ 2(∫

R|u(x, t)|2dx

) 12(∫

R|∂tu(x, t)|2dx

) 12

,

d

dt

(∫

R|u(x, t)|2dx

) 12

≤(∫

R|∂tu(x, t)|2dx

) 12

,

5.2 广义函数 77

我们有

(∫

R|u(x, τ)|2dx

) 12

≤(∫

R|ϕ(x)|2dx

) 12

+∫ τ

0dt

(∫

R|∂tu(x, t)|2dx

) 12

.

此时，结论成立。一般地，由于当 |x| → ∞ 时，f , ϕ 和 ψ 趋于零，以及由

1.2 节波传播速度的有限性，在有限时刻 t, u(x, t) → 0 (|x| → ∞), 结论依

然成立。Q.E.D

5.2 广广广义义义函函函数数数

5.2.1 广广广义义义函函函数数数及及及其其其性性性质质质

定义函数空间 D(Rn) = ϕ ∈ C∞(Rn) : ϕ 具有紧支集 , 其中ϕ : Rn → R, ϕ 的支集 supp ϕ 定义为 x ∈ Rn : ϕ(x) 6= 0 的闭包.

∀α = (α1, α2, · · · , αn), α1, · · ·αn ∈ N, 下面给出 D(Rn) 中收敛的定义. 记

Dαϕ(x) = ∂α1x1· · · ∂αn

xnϕ(x).

序列 ϕmm ⊂ D(Rn) 收敛于 ϕ ∈ D(Rn), 记为 ϕm → ϕ, 当且仅当

(i) 存在 Rn 的紧子集K, 使得对任意的m, supp ϕm ⊂ K,

(ii) 对任意的 α, 当m →∞ 时, sup∀x∈Rn |Dαϕm(x)−Dαϕ(x)| → 0.

例例例 2.1.

η(x) =

C exp [ 1

|x|2−1], |x| < 1,

0, |x| ≥ 1.

注意到当 r → 1− 时,

∂

∂re

1r2−1 = e

1r2−1

−2r

(r2 − 1)2→ 0,

以及关于高阶导数的类似结果, 可以证明 η ∈ C∞(Rn), supp η = B1(0).

所以 η ∈ D(Rn).


令

ηε(x) := η(x

ε),

可以证明 supp ηε ⊂ Bε(0).

定定定义义义 2.1. D(Rn) 上的连续线性泛函 f 称为广义函数, 记为 f(ϕ) = (f, ϕ).

D(Rn) 上广义函数的全体记为 D′(Rn).

D′(Rn) 是线性空间, D′(Rn) 中的序列 fnn 收敛于 f ∈ D′, 记为 fn → f .

当且仅当对任意的 ϕ ∈ D(Rn), 有 fn(ϕ) → f(ϕ).

例例例 2.2. 对每一个给定的 f ∈ L1loc(R

n), 都对应一个 f∗ ∈ D′(Rn).

因为线性泛函

f∗(ϕ) :=∫

Rn

f(x)ϕ(x)dx = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ D(Rn)

关于 D(Rn) 中收敛拓扑连续, 故 f∗ ∈ D′(Rn). 以下简记 f∗ 为 f .

例例例 2.3. δ- 函数.

∀a ∈ Rn, δa(ϕ) := ϕ(a).

当 a = 0 时, δ0 := δ. 可以验证 δa ∈ D′(Rn). 进一步, 我们还可以证明不存

在 f ∈ L1loc(R

n), 使得

δ(ϕ) =∫

Rn

f(x)ϕ(x)dx.

因为对任意的 ε > 0,

δ(ηε) = e−1.

另一方面由 Lebesgue 控制收敛定理

limε→0

∫

Rn

f(x)ηε(x)dx =∫

Rn

f(x) limε→0

ηε(x)dx = 0.

5.2 广义函数 79

定定定义义义 2.2. 对任意的广义函数 f ∈ D′(Rn), 它的偏导数 ∂xjf 定义为

∀ϕ ∈ D(Rn),∂

∂xjf(ϕ) := (−1)f(

∂ϕ

∂xj).

附附附注注注 1. ∂xjf 为 D(Rn) 上线性泛函.

附附附注注注 2. ∂xjf 连续. 因为若在 D 内

ϕm → ϕ,

则在 D 内, 有∂

∂xjϕm → ∂

∂xjϕ.

于是有

∂

∂xjf(ϕm) = (−1)f(

∂ϕm

∂xj) → (−1)f(

∂ϕ

∂xj) =

∂

∂xjf(ϕ).

所以∂

∂xjf ∈ D′(Rn), (亦为广义函数).

命命命题题题 2.1. 广义函数的任意阶偏导数仍为广义函数.

例例例 2.4. ∀f ∈ L1loc(R

n),∀ϕ ∈ D(Rn), 有

(∂

∂xjf, ϕ) = (−1)

∫

Rn

f(x)∂

∂xjϕ(x)dx,

即与分部积分公式一致. 由此可见，1.2.4 节中定义的弱导数是广义导数的

特例。

例例例 2.5. 考虑 Heaviside 函数

h(x) :=

0, ∀x ∈ (−∞, 0),

1, ∀x ∈ [0,∞).


因为

(h, ϕ) =∫

Rh(x)ϕ(x)dx =

∫

[0,∞)ϕ(x)dx,

故 h ∈ D′(R). 又因为

(d

dxh, ϕ) = (−1)

∫

Rh(x)

dϕ

dxdx = (−1)

∫

[0,∞)

dϕ

dxdx = ϕ(0) = (δ, ϕ).

所以dh

dx= δ.

定定定义义义 2.3. 对任意的 ψ ∈ C∞(Rn) 和任意的 f ∈ D′(Rn), 因为

∀ϕ ∈ D(Rn), ψϕ ∈ D(Rn),

又因为在 D 内ϕm → ϕ,

则在 D 内, 有

ψϕm → ψϕ.

所以 (f, ψϕ) 是关于 ϕ 的广义函数. 记为 ψ 与 f 的乘积 ψf ,

∀ϕ ∈ D(Rn), (ψf, ϕ) := (f, ψϕ).

命命命题题题 2.2. ∀ψ ∈ C∞(Rn),∀f ∈ D′(Rn), 有

∂

∂xj(ψf) = ψ

∂

∂xjf + (

∂

∂xjψ)f.

证明: ∀ϕ ∈ D(Rn),

(∂

∂xj(ψf), ϕ) = (−1)(ψf,

∂ϕ

∂xj)

= (−1)(f, ψ∂ϕ

∂xj)

5.2 广义函数 81

= (−1)(f,∂

∂xj(ψϕ)) + (f, (

∂

∂xjψ)ϕ). Q.E.D

定定定义义义 2.4. 设 f ∈ D′(Rn),Ω ⊂ Rn, 则 f 在 Ω 上等于零的充要条件是

∀ϕ ∈ D(Rn), 若 supp ϕ ⊂ Ω, 则 (f, ϕ) = 0.

定义 f 的支集 suppf := Rn \ 使f等于零的最大开集. 使 f 等于零的最大

开集的存在性证明可参考文献 [11].

例例例 2.6. δa 的支集为 suppδa = a.定定定义义义 2.5. 广义函数的平移: 设 fx = f(x) ∈ D(Rn), 对任意的 y ∈ Rn, 有

(f(x− y), ϕ(x)) := (fx, ϕ(x + y)).

显然 fx−y ∈ D′(Rn), 且当 f ∈ L1loc 时, 与 L1

loc 中平移一致.

例例例 2.7.

δa(x) = δ(x− a).

命命命题题题 2.3. ∀x ∈ Rn, y ∈ Rm,∀ϕ(x, y) ∈ D(Rn+m), 存在 x 与 y 变量分离的函

数列

ϕk(x, y) =jk∑

j=1

νkj(x)wkj

(y),

使得在 D 内, 有 ϕk → ϕ.

证明参考文献 [11]. Q.E.D.

命命命题题题 2.4. 设

x ∈ Rnx, y ∈ Rm

y , ϕ(x, y) ∈ D(Rn+m), fx ∈ D′(Rnx),

则

(fx, ϕ(x, y)) ∈ D(Rmy ).

证明: 我们仅证明 n = m = 1 的情况. 一般情况下的证明可参考 [11]. 因为

d

dy(fx, ϕ(x, y)) = lim

h→0

1h(fx, ϕ(x, y + h))− (fx, ϕ(x, y))


= limh→0

(fx,ϕ(x, y + h)− ϕ(x, y)

h) (由fx的线性)

= (fx,∂ϕ

∂y(x, y)) (由fx的连续性),

故可证明

(fx, ϕ(x, y)) ∈ C∞(Rmy ).

又因为 ϕ(x, y) 关于 y 在 Rmy 中有紧支集, 对任意固定的 x, Mx = Rm

y \ y :

ϕ(x, y) = 0 是 Rmy 中的紧子集. 则对任意的 y /∈ Mx, 有

(fx, ϕ(x, y)) = 0,

故

(fx, ϕ(x, y)) ∈ D(Rmy ). Q.E.D

定定定义义义 2.6. ∀fx ∈ D′(Rn),∀gy ∈ D′

(Rm), (gy, (fx, ϕ(x, y))),∀ϕ ∈ D(Rn+m)为

D(Rn+m) 上的连续线性泛函. 记为 fx 与 gy 的张量积 fx ⊗ gy.

由命题 2.3,

(fx ⊗ gy, ϕ) = limk

(fx ⊗ gy, ϕk) = limk

jk∑

j=1

(fx ⊗ gy, vkj(x)wkj

(y))

= limk

jk∑

j=1

(gy, (fx, vkj(x))wkj

(y))) = limk

jk∑

j=1

(gy, wkj(y))(fx, vkj

(x))

= (gy ⊗ fx, ϕ).

命命命题题题 2.5. fx ⊗ gy = gy ⊗ fx, 且 supp (fx ⊗ gy) = suppfx × suppgy, 其中 ×为笛卡儿乘积.

例例例 2.8.

δ(x, y) = δ(x)⊗ δ(y),

因为对任意的 ϕ ∈ D(Rnx × Rm

y ),

(δ(x, y), ϕ(x, y)) = ϕ(0, 0)(δ(x), (δ(y), ϕ(x, y)))

5.2 广义函数 83

= (δ(x), ϕ(x, 0))

= ϕ(0, 0).

命命命题题题 2.6. ∀f,∀g ∈ D′(Rn),∀ϕ ∈ D(Rn), 设 supp f 为 Rn 中紧子集, 则

(suppf×suppg)∩(x, y) : ϕ(x+y) 6= 0 ⊂ (suppf×Rn)∩(x, y) : ϕ(x+y) 6= 0

为 Rn × Rn 中紧子集.

定定定义义义 2.6. 设 f, g ∈ D′(Rn), f 有紧支集, 定义 f 与 g 的卷积 f ∗ g 为

∀ϕ ∈ D(Rn), (f ∗ g, ϕ) := (fx ⊗ gy, α(x, y)ϕ(x + y)).

其中 α ∈ D(Rn+m) 满足

∀(x, y) ∈ (suppf × suppg) ∩ suppϕ(x + y), α(x, y) ≡ 1.

显然上述定义与 α 的选取无关, 且 f ∗ g ∈ D′(Rn), f ∗ g = g ∗ f ∈ D′(Rn).

附附附注注注. 当 f, g ∈ L1loc(R

n) 时, (f ∗ g, ϕ) = (fx, (gy, ϕ(x + y))) 与 §(2.1) 中卷

积的定义一致.

5.2.2 广广广义义义函函函数数数的的的应应应用用用

下面考虑关于广义函数的下述热方程的解K(x, t).

ut − a2uxx = δ(x, t), ∀x ∈ R,∀t ∈ R. (2.1)

命命命题题题 2.7. ∀f(x, t) ∈ D′(R2), 若 K(x, t) 为 (2.1) 的解, 则 K ∗ f 为下述方程

的解,

ut − a2uxx = f(x, t),∀x ∈ R,∀t ∈ R. (2.2)

证明: ∀ϕ(x, t) ∈ D(R2), 有

((∂t − a2∂xx)(K ∗ f), ϕ) = (K ∗ f, (−1)(∂t + a2∂xx)ϕ(x, t))


= (−1)(fx,t,(Ky,s,(∂t + a2∂xx)ϕ(x + y, t + s)))

= (f, ((∂s − a2∂yy)K, ϕ(x + y, t + s)))

= (f, ϕ(x, t)). Q.E.D

附附附注注注. ∂t + a2∂xx 称为 ∂t − a2∂xx 的形式共轭算子.

命命命题题题 2.8.

K(x, t) =

12a√

πte−

|x|24a2t , ∀t > 0,

0, ∀t ≤ 0.

证明: ∀ϕ(x, t) ∈ D(R2), 有

((∂t − a2∂xx)K, ϕ)

= (K, (−1)(∂t + a2∂xx)ϕ)

=∫ ∞

0

∫ ∞

−∞

e−x2

4a2t

2a√

πt(L∗ϕ)(x, t)dxdt 其中(L∗ϕ)(x, t) := (−1)(∂t + a2∂xx)ϕ

= limε→0

∫ ∞

εdt

∫ ∞

−∞

e−x2

4a2t

2a√

πt(L∗ϕ)(x, t)dxdt

= limε→0

(−1)∫ ∞

ε[∂

∂t

∫ ∞

−∞

e−x2

4a2t

2a√

πtϕ(x, t)dx]dt

+ limε→0

∫ ∞

εdt

∫ ∞

−∞[(∂t − a2∂xx)

e−x2

4a2t

2a√

πt]ϕ(x, t)dx

= limε→0

∫ ∞

−∞

e−x2

4a2ε

2a√

πεϕ(x, ε)dx + 0

= limε→0

∫ ∞

−∞

1√π

e−η2ϕ(2a

√εη, ε)dη

(其中η :=x

2a√

ε)

= ϕ(0, 0) = (δ, ϕ).

又因为 (2.1) 在 D′ 中解唯一, 故命题得证. Q.E.D.

5.2 广义函数 85

根据命题 2.7-2.8, 我们有 (1.1)-(1.2) 的解表达式

u(x, t) = (K(·, t) ∗ ϕ)(x) + (K ∗ f)(x, t)

=∫

RK(x− ξ, t)ϕ(ξ)dξ +

∫ +∞

−∞dτ

∫

RK(x− ξ, t− τ)f(ξ, τ)dξ

=∫

RK(x− ξ, t)ϕ(ξ)dξ +

∫ t

0dτ

∫

RK(x− ξ, t− τ)f(ξ, τ)dξ.

令 Γ(x, t; ξ, τ) := K(x− ξ, t− τ), 我们称 Γ 为 Cauchy 问题的基本解.

考虑下述半无界的初边值问题

ut(x, t) = a2uxx(x, t) + f(x, t), ∀x > 0,∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ≥ 0,

u(0, t) = 0, ∀t > 0.

(2.3)

设 ϕ(0) = 0, 即满足相容性条件 (使得以下定义的 φ ∈ D(R)), 用延拓法将

(2.3) 转化为 (1.1)-(1.2) 的形式. 令

U(x, t) :=

u(x, t), ∀x ≥ 0,

−u(−x, t), ∀x < 0,

φ(x) :=

ϕ(x), ∀x ≥ 0,

−ϕ(−x), ∀x < 0,

F (x, t) :=

f(x, t), ∀x ≥ 0,

−f(−x, t), ∀x < 0.

现考虑下述 Cauchy 问题

∂tU = a2∂xxU + F, ∀x ∈ R,∀t > 0,

U(x, 0) = φ(x), ∀x ∈ R.(2.4)

由 (1.3) 解表达式知, F, φ 是 x 的奇函数, 所以 (2.4) 的 (1.3) 形式的解 U 关


于 x 为奇函数. 因此对任意的 t > 0,

U(0, t) = 0,

且 U(x, t) 满足 (2.3) 的第二式,

U(x, 0) = ϕ(x),∀x ≥ 0,

故 ∀x ≥ 0,∀t ≥ 0, u(x, t) := U(x, t) 为 (2.3) 的解, 且有下述解表达式

u(x, t) =∫

RK(x− ξ, t)φ(ξ)dξ +

∫ t

0dτ

∫

RK(x− ξ, t− τ)F (ξ, τ)dξ

=∫ ∞

0[K(x− ξ, t)−K(x + ξ, t)]ϕ(ξ)dξ

+∫ t

0dτ

∫ ∞

0[K(x− ξ, t− τ)−K(x + ξ, t− τ)]f(ξ, τ)dξ.

称 Γ(x, t; ξ, τ) = K(x− ξ, t)−K(x + ξ, t) 为半无界问题 (2.3) 的基本解.

5.3 弱弱弱解解解


二二二阶阶阶线线线性性性椭椭椭圆圆圆型型型方方方程程程

6.1 极极极值值值原原原理理理

6.1.1 极极极值值值原原原理理理

设 Ω 是 Rn 中有界开区域, 记

Lu := −∆u + c(x)u, u+(x) := maxu(x), 0, u−(x) := minu(x), 0.

命命命题题题 3.1. 设对任意的 x ∈ Ω, c(x) ≥ 0, u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω). 若对任意的

x ∈ Ω, Lu(x) < 0, 且

u+(x0) = maxΩ

u(x) (或u−(x0) = minΩ

u(x)),

则 x0 ∈ ∂Ω.

证明:(用反证法) 如若不然, 设 x0 ∈ Ω 的内部, 且 u+(x0) = maxΩ

u(x), 则有

∆u(x0) ≤ 0, Lu(x0) ≥ 0.

这与 ∀x ∈ Ω, Lu(x) < 0 矛盾.

类似地, 若 u−(x0) = minΩ

u(x).

令 v(x) = −u(x), 由上述结论可知 x0 ∈ ∂Ω. Q.E.D

87

88 第 6章二阶线性椭圆型方程

弱弱弱极极极值值值原原原理理理: 设 c(x) ≥ 0, 且 c = maxΩ

c(x)(< ∞), u ∈ C2(Ω)∩C(Ω). 若

对任意的 x ∈ Ω, Lu(x) ≤ 0(≥ 0). 则

supx∈Ω

u+(x) = supx∈∂Ω

u+(x), ( infx∈Ω

u−(x) = infx∈∂Ω

u−(x)).

证明: 对任意的 ε > 0, 令

w(x) = u(x) + εeax1 ,

其中 a 待定. 则对任意的 x ∈ Ω, 有

Lw(x) = Lu(x) + εeax1(−a2 + c(x))

≤ εeax1(−a2 + c) < 0, (取a2 > c).

由命题 3.1 知,

supΩ

u(x) ≤ supΩ

w(x) = supΩ

w+(x)

= sup∂Ω

w+(x) ≤ sup∂Ω

u+(x) + ε sup∂Ω

eax1

→ sup∂Ω

u+(x), ε → 0.

类似地可证下确界的结论. Q.E.D

强强强极极极值值值原原原理理理: 设 Ω 为有界连通开区域, 对任意的 x ∈ Ω, c(x) ≥ 0, 且

c = maxΩ

c(x)(< ∞), u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω). 若对任意的 x ∈ Ω, 有

Lu(x) ≤ 0. 若存在 x ∈ Ω 的内部, 使得 u(x) = supΩ

u(x), 且

u(x) ≥ 0, (或 u(x) = infΩ

u(x), 且 u(x) ≤ 0), 则对任意的 x ∈ Ω, u(x) ≡ 常数.

证明: Step 1. 令

M = supΩ

u(x) = supΩ

u+(x)(≥ 0), E := x ∈ Ω|u(x) = M.

由 u ∈ C(Ω) 知, E 在 Ω 中相对闭. 且由 x ∈ E 知 E 6= ∅. 若 E $ Ω, 则

6.1 极值原理 89

存在 x0 ∈ ∂E \ ∂Ω 和 r > 0, 使得 B2r(x0) ⊂ Ω, 又存在 Bd(x) ⊂ B2r(x0), 使

得

d = dist(x, E) = dist(x, y), y ∈ ∂E

∂Ω.

且对任意的 x ∈ Bd(x) 的内部, 有

u(x) < u(y) = M.

Step 2. 设 Bd(x) 为 Rn 中的球, 对任意的 x ∈ Bd(x), c(x) ≥ 0, 且 c(x) 有界.

若 u(x) ∈ C2(Bd(x)) ∩ C(Bd(x)) 满足

(1) ∀x ∈ Bd(x), Lu(x) ≤ 0;

(2) 存在 y ∈ ∂Bd(x), 使得 u(y) ≥ 0 且

∀x ∈ Bd(x)/y, u(x) < u(y).

则对任意的方向 ν, ν · u(y) > 0, 有

∂u

∂ν(y) > 0.

证明: 令

v(x) = e−a|x|2 − e−ad2, (a > 0待定), ρ = |x|.

∀x ∈ Bd(x)/B d2(x), 有

Lv(x) = (−1)[∂2

∂ρ2v +

n− 1ρ

∂v

∂ρ] + c(x)v

= (−1)[4a2ρ2 − 2a +n− 1

ρ(−2aρ)]e−aρ2

+ c(x)[e−aρ2 − e−ad2]

≤ (−1)[4a2(d

2)2 − 2a− 2a(n− 1)]e−aρ2

+ c(x)[e−ad2 − e−ad2]

< 0, (取 a 充分大).


故 ∀x ∈ Bd(x) \B d2(x),∀ε > 0, 有

L(u(x)− u(y) + εv(x)) < −c(x)u(y) ≤ 0.

∀x ∈ ∂B d2(x), 当 ε 充分小时, 有

u(x)− u(y) + εv(x) ≤ sup∂B d

2(x)

u(x)− u(y) + ε(e−ad2

4 − e−ad2) < 0.

又 ∀x ∈ ∂Bd(x),

u(x)− u(y) + εv(x) = u(x)− u(y) ≤ 0.

由弱极值原理, ∀x ∈ Bd(x) \B d2(x), 有

u(x)− u(y) + εv(x) ≤ 0.

所以u(y)− u(y − t~n)

t≥ (−1)ε

v(y)− v(y − t~n)t

.

令 t → 0, 我们有

∂u(y)∂~n

≥ (−1)ε∂v(y)∂~n

= (−1)ε(−2ad)e−ad2.

又对任意的方向 ν 满足 ν · ~n(y) > 0, 所以

∂ν(y)∂ν

=∂ν(y)∂~n

cos(ν, ~n(y)) > 0.

Step 3. 一方面由 Step 2,∂u(y)∂~n

> 0;

另一方面由于 y ∈ E, E 是闭集, 有

∂u(y)∂~n

= 0.

6.1 极值原理 91

矛盾! 故 E = Ω. Q.E.D

6.1.2 应应应用用用极极极值值值原原原理理理估估估计计计解解解的的的上上上、、、下下下界界界

考虑 Dirichlet 问题

−∆u(x) = f(x), ∀x ∈ Ω,

u(x) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂Ω.(3.1)

定定定理理理 3.1. 设 Ω 是 Rn 中的有界区域, u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) 为 (3.1) 的解, 则存

在常数 C > 0, 使得

maxΩ|u(x)| ≤ max

∂Ω|ϕ(x)|+ C sup

Ω|f(x)|. (3.2)

证明: 不妨设 0 ∈ Ω 的内部, 记 d = dim(Ω), 令

z(x) =F

2n(d2 − |x|2) + Φ,

其中

F = supΩ|f(x)|, Φ = max

∂Ω|ϕ(x)|.

显然有

∆z(x) = (∂

∂r2+

n− 1r

∂

∂r)(− F

2n)r2

= −F

n+

n− 1n

(−F )

= −F.

于是有

−∆(−z(x)) = −F ≤ −∆u(x) = f(x) ≤ F = −∆z(x), ∀x ∈ Ω,

(−1)z(x) ≤ (−1)Φ ≤ ϕ(x) = u(x) ≤ Φ = z(x), ∀x ∈ ∂Ω.


由弱极值原理,

∀x ∈ Ω, −z(x) ≤ u(x) ≤ z(x). Q.E.D

附附附注注注: 定理 3.1 的一个直接推论是 Dirichlet 问题 (3.1) 在 C2(Ω) ∩ C(Ω) 中

解惟一.

命命命题题题 3.2. 对任意的 x ∈ Ω\y, 有

0 < G(x, y) ≤

C

|x− y|n−2, n ≥ 3,

C ln1

|x− y| , n = 2.

6.2 变变变分分分方方方法法法

6.2.1 变变变分分分方方方法法法

设 Ω 是 Rn 中有界区域. 定义如下 Sobolev 空间W k,p(Ω), k ∈ N, p ≥ 1,

当 k = 0 时, W 0,p(Ω) = Lp(Ω);

当 k = 1 时, W 1,p(Ω) := f : f, ∂f∂xi

∈ Lp(Ω), i = 1, · · · , n, ‖f‖W 1,p(Ω) :=

‖f‖L2(Ω) +n∑

i=1

‖ ∂f

∂xi‖L2(Ω),

其中导数理解为弱导数。k ≥ 2 时可类推.

命命命题题题 5.1. W k,p(Ω) 是 Banach 空间. 当 p = 2 时, W k,p(Ω) 是 Hilbert 空间.

定义W k,p0 (Ω) = Ck

0 (Ω) 为在W k,p(Ω) 中的闭包. u 的能量泛函为

E(u) :=∫

Ω[12|∇u(x)|2 − uf ]dx.

命命命题题题 5.2. E(u) 在W 1,2(Ω) 中的临界点在弱导数意义下满足下列

Euler-Leagarge 方程

(−1)∆u = f, in Ω,∂u∂~n = 0, on ∂Ω.

6.2 变分方法 93

证明: 记 uε(x) := u(x) + εϕ(x), 对任意的 ϕ ∈ W 1,2(Ω),

d

dε|ε=0E(uε) = 0. Q.E.D

能能能量量量不不不等等等式式式: 设 u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) 是如下 Poisson 方程 Dirichlet 问题的解

−∆u = f(x), ∀x ∈ Ω,

u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω.(5.1)

由于

∫

Ω(−∆u)(u− ϕ)dx =

∫

Ωf(u− ϕ)dx,

∫

Ω∇u · ∇udx−

∫

Ω∇u · ∇ϕ ≤ cε

2

∫

Ωf2 +

ε

2

∫

Ωu2 +

12

∫

Ωϕ2.

我们有估计

∫

Ω|∇u|2dx− ε

∫

Ωu2dx ≤

∫

Ω|∇ϕ|2 + cε|f |2 + ϕ2.

类似地, 对 Poisson 方程 Neumann 问题

−∆u = f, in Ω,∂u∂~n = 0, on ∂Ω.

(5.2)

由于

∫

Ω|∇u|2dx =

∫

Ω(−∆u)udx =

∫

Ωfudx ≤ ε

∫

Ωu2dx + cε

∫

Ωf2dx,

我们有估计

∫

Ω|∇u|2dx− ε

∫

Ωu2dx ≤ cε

∫

Ω|f |2dx. (5.3)

Poincare 不不不等等等式式式: 对任意的 u ∈ W 1,20 (Ω), 存在只与区间 Ω 有关的常数


C > 0, 使得 ∫

Ω|u|2dx ≤ C

∫

Ω|∇u|2dx. (5.4)

证明: 对任意的 x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Ω, 存在 x = (x1, x2, · · ·xn) ∈ ∂Ω, 使

得 u(x) = 0 以及

u(x)− u(x) =∫ x1

x1

∂u(y)∂x1

dy.

故

∫

Ω|u(x)|2dx

=∫

Ω(∫ x1

x1

∂u

∂x1(y1, x2, · · · , xn)dyi)2dx

≤ C

∫

Ω

∫ x1

x1

| ∂u

∂x1(y1, x2, · · · , xn)|2dy1dx2 · · · dxn

≤ C

∫

Ω|∂u(x)

∂x|2dx. Q.E.D

存存存在在在性性性定定定理理理: 设 H 是 Hilbert 空间, M 是 H 中弱闭子集. 设

E(u) : u ∈ M 7→ R ∪ +∞ 满足(1) ∀um ⊂ M , 若 ‖um‖ → ∞, 则 E(um) →∞;

(2) ∀u ∈ M, ∀um ⊂ M ,若um u weakly in H,则E(u) ≤ lim infm→∞ E(um).

那么 E(u) 在M 中有下界, 并且存在 u ∈ M , 使得

E(u) = infv∈M

E(v).

证明: 令 α0 = infv∈M

E(v). 不妨设 α0 6= ∞, 由下确界定义知, 存在

umm ⊂ M , 使得

limm→∞E(um) = α0.

由 (1) 以及 α0 6= ∞ 知, umm 在 H 中有界.

故由M 弱闭知: 存在子序列 umii 和 u ∈ M , 使得当 i →∞ 时, umi u.

由 (2),

E(u) ≤ lim infi

E(umi) = α0.

6.2 变分方法 95

由 α0 定义知,

E(u) = α0 = infM

E(v).

若 α0 = ∞, 则任意取 u ∈ M , 定理结论都成立. Q.E.D

6.2.2 变变变分分分方方方法法法的的的应应应用用用

应应应用用用之之之一一一: 在W 1,20 (Ω) 中考虑 Dirichlet 问题 (5.1) 在 ϕ ≡ 0 的情况下的解.

设 Ω 为 Rn 中有界区域, f ∈ L2(Ω), 记

E(u) :=∫

Ω[12|∇u(x)|2 − f(x)u(x)]dx.

命命命题题题 5.3. 设M 为W 1,2(Ω) 中的闭集, 则 E(u) 在M 中满足存在性定理的

(1)-(2). 因此由存在性定理知, 存在 u ∈ M , 使得 E(u) = infM

E(v).

证明: Step 1. 因为对任意的 ε > 0, 存在 Cε > 0, 使得

E(u) ≥ 12

∫

Ω|∇u|2dx− ε

∫

Ω|u(x)|2dx− cε

2

∫

Ω|f |2dx.

由 Poincare 不等式知, 存在常数 C0 > 0, 使得

E(u) ≥ C0

∫

Ω|∇u|2dx− Cε

2

∫

Ω|f |2dx.

故对任意的 um ⊂ M , 当 ‖um‖W 1,20 (Ω)

→∞ 时, E(um) →∞.

Step 2. 设 um u weakly in M . 例如

um u, weakly in L2(Ω),

∂xkum ∂xk

u, k = 1, 2, · · · , n.

则对任意的 f ∈ L2(Ω), 有

∫

Ωumfdx →

∫

Ωufdx.


由共鸣定理,

‖u‖L2(Ω) ≤ lim infm

‖um‖L2(Ω),

‖∂xku‖L2(Ω) ≤ lim inf

m‖∂xk

um‖L2(Ω), ∀k = 1, 2, · · · , n.

故

E(u) ≤ lim infm

E(um). Q.E.D

应应应用用用之之之二二二: 在W 1,2(Ω) 中考虑 Dirichlet 问题在 ϕ 6≡ 0 的情况下的解.

设 ϕ ∈ W 1,2(Ω), 记

M := v ∈ W 1,2(Ω) : v − ϕ ∈ W 1,20 (Ω).

命命命题题题 5.4. M 在W 1,2(Ω) 中弱闭, 且 E(u) 在M 上满足存在性定理的 (1)-

(2). 故由存在性定理可知, 存在 u ∈ M , 使得 E(u) = infM

E(v).

证明: 由泛函分析可知, M 弱闭.

Step 1.

E(u) =12

∫

Ω|∇u|2dx−

∫

Ωf(x)(u(x)− ϕ(x))dx−

∫

Ωf(x)ϕ(x)dx

≥ 12

∫

Ω|∇u|2dx− ε

∫

Ω|u− ϕ|2dx− cε

∫

Ω|f |2dx−

∫

Ωfϕdx

≥ 14

∫

Ω|∇(u− ϕ)|2dx− 1

2

∫

Ω|∇ϕ|2dx− ε

∫

Ω|u− ϕ|2dx− cε

∫

Ω|f |2dx

−∫

Ωfϕdx

≥ C0

∫

Ω|∇(u− ϕ)|2dx− Cε

∫

Ω|f |2dx−

∫

Ωfϕdx− 1

2

∫

Ω|∇ϕ|2dx.

Step 2. 与命题 5.3 同. Q.E.D

6.3 解的存在性与唯一性 97

6.3 解解解的的的存存存在在在性性性与与与唯唯唯一一一性性性

6.4 Sturm-Liouville 问问问题题题

考虑 Sturm-Liouville 问题:

(p(x)v′(x))′ − q(x)v(x) + λr(x)v(x) = 0, a < x < b

α1v′(a)− β1v(a) = 0

α2v′(b) + β2v(b) = 0

其中 p(x), q(x), r(x) 满足条件：存在 p0 ≥ 0, r0 > 0, 使得 p(x) ≥ p0,

r(x) ≥ r0, q(x) ≥ 0. 注意若 p0 = 0, 那么上述问题是奇异 Sturm-Liouville

问题.

下述特征值问题为 Sturm-Liouville 问题的一个简单的例子,

V′′(x) + λV (x) = 0, 0 < x < l,

−α1V′(0) + β1V (0) = 0,

α2V′(l) + β2V (l) = 0,

其中 αi ≥ 0, βi ≥ 0, αi + βi 6= 0, i = 1, 2.

为简便，首先考虑 α1 = α2 = 0, β1 = β2 = 1 的情形. 此时,

V ′′(x) + λV ′(x) = 0, 0 < x < l,

V (0) = V (l) = 0.(4.4)

令 Lσ0V = (−1)V ′′(x) + σ0V (x), 则

Lσ0V − σ0V = λV,

对 ∀u, V ∈ W 1,20 [0, l], 令

Hσ0(u, V ) :=∫ l

0u′(x)V ′(x)dx + σ0

∫ l

0u(x)V (x)dx,


我们称任意一个两自变量函数 H(u, v) 为双线性形式，如果 H(u, v) 关

于第一变量 u 线性，关于第二变量 v 共扼线性。H 是有界和强迫的，若存在常数 C > 0, C0 > 0 满足

|H(u, v)| ≤ C‖u‖H‖v‖H , (有界)

H(u, u) ≥ C0‖u‖2H . (强迫)

显然，Hσ0(u, V ) 为定义在 W 1,20 [0, l] 上的双线性形式, 而且存在常数

C > 0, 满足

|Hσ0(u, V )| ≤ C‖u‖W 1,2

0‖V ‖

W 1,20

, (有界)

Hσ0(u, u) ≥ min1, σ0‖u‖2W 1,2

0

. (强迫)

Lax-Milgram 定定定理理理: 设 H(·, ·) 是 Hilbert 空间 H 上的有界, 强迫的双

线性形式, 则对任意的有界线性泛函 F ∈ H∗, 存在唯一的 v ∈ H, 使得对任

意的 u ∈ H

H(u, v) = F (u)

成立.

证明: 对任意的 v ∈ H, 有H(·, v) ∈ H∗, 且

‖H(·, v)‖H∗ ≤ C‖v‖H .

那么根据 Reisz 表示定理, 可以得到存在唯一的 w ∈ H, 使得对任意的

u ∈ H, 有

H(u, v) = (u,w)H .

定义函数 T : v ∈ H → w = Tv ∈ H.

Claim 1. T 线性, 有界且一一对应, 并且 T−1 也是有界的.

根据H 的有界性, 有

‖Tv‖H = ‖w‖H = ‖H(·, v)‖H∗ ≤ C‖v‖H .

6.4 STURM-LIOUVILLE 问题 99

再根据H 的强迫性, 有

(v, Tv) = H(u, v) ≥ C0‖v‖2H , (∃C0 > 0),

即

‖Tv‖H ≥ C0‖v‖H .

Claim 2.

D(T−1) = H.

根据 Claim 1 可知, D(T−1) 是 H 中的闭子集. 若 D(T−1) $ H, 那么存在

z 6= 0 ∈ H, 使得对任意的 v ∈ H, 有

(z, Tv) = 0.

特别地, 有

C0‖z‖2H ≤ H(z, z) = (z, Tz) = 0,

与 z 6= 0 矛盾.

对任意 F ∈ H∗, 根据 Riesz 表示定理, 存在唯一的 y ∈ H, 使得对任意

的 u ∈ H, 有

F (u) = (u, y)H .

根据 Claim 1 和 Claim 2, 存在唯一的 v ∈ H, 使得

Tv = y,

且

‖v‖H ≤ ‖T−1‖‖y‖H = ‖T−1‖‖F‖H∗ . Q.E.D.

对任意的 u, v ∈ W 1,20 [0, l], 令

(Lσ0v)(u) := Hσ0(u, v) =∫ l

0u′(x)v′(x) + σ0u(x)v(x)dx.


对固定的 v, Lσ0v 是W 1,20 [0, l]上的有界线性泛函。Lσ0 : W 1,2

0 → (W 1,20 )∗ 是

Lσ0 的延拓：因为，若 v ∈ W 1,20 [0, l] 且 v′′ ∈ L2[0, l], 则 ∀u ∈ W 1,2

0 [0, l]

∫ l

0(Lσ0v)udx =

∫ l

0u(x)[−v′′(x) + σ0v(x)]dx

=∫ l

0u′(x)v′(x) + σ0u(x)v(x)dx

= Hσ0(u, v) = Lσ0(v)(u).

而且由 Lax-Milgram 定理以及 Riesz 表示定理，Lσ0 : W 1,20 → (W 1,2

0 )∗ 线

性, 有界且一一对应, 并且 L−1σ0也是有界的, D(L−1

σ0) = (W 1,2

0 )∗. 因此以下

W 1,20 [0, l] 空间的算子方程是 Sturm-Liouville 问题 (4.4) 的弱形式

Lσ0v − σ0E1Ev = λE1Ev.

其中 E : v ∈ W 1,20 [0, l] 7→ v ∈ L2[0, l]，E1 : w ∈ L2[0, l] 7→ w ∈ (W 1,2

0 [0, l])∗

是嵌入映射。

同样我们可以考虑更一般的 Sturm-Liouville 问题:

(p(x)v′(x))′ − q(x)v(x) + λr(x)v(x) = 0, a < x < b

α1v′(a)− β1v(a) = 0

α2v′(b) + β2v(b) = 0

其中 p(x), q(x), r(x) 满足条件：存在 p0 ≥ 0, r0 > 0, 使得 p(x) ≥ p0,

r(x) ≥ r0, q(x) ≥ 0.

记

Lσ0v := (−1)(p(x)v′(x))′ + q(x)v(x) + σ0v(x),

则

(Lσ0 − σ0)v = λv.

可以证明以下算子方程是上述 Sturm-Liouville 问题的弱形式

Lσ0v − σ0E1Ev = λE1Ev,


其中 Lσ0 为 Lσ0 在适当函数空间中的延拓。

命命命题题题 4.2. Lσ0 : W 1,20 → (W 1,2

0 )∗ 线性, 有界且一一对应, 并且 D(L−1σ0

) =

(W 1,20 )∗, L−1

σ0: (W 1,2

0 )∗ → W 1,20 有界.

Rellich 定定定理理理. 嵌入映射 E : v ∈ W 1,20 [0, l] 7→ v ∈ L2[0, l] 是紧算子.

证明: Step 1. N 等分 [0, l], ωi 为第 i 等分.

∀x′, x ∈ ωi,

u(x′)− u(x) =∫ x′

xu′(x)dx.

因此

u2(x′)− 2u(x′)u(x) + u2(x) =

(∫ x′

xu′(x)dx

)2

≤ |x′ − x|(∫ x′

x|u′(x)|2dx

).

又

2|ωi|∫

ωi

u2(x)dx− 2(∫

ωi

u(x)dx

)2

≤(∫

ωi

dx′∫

ωi

|x′ − x|dx

)∫

ωi

|u′(x)|2dx

≤ |ωi|3∫

ωi

|u′(x)|2dx,

所以

∫

ωi

u2(x)dx ≤ 1|ωi|

(∫

ωi

u(x)dx

)2

+|ωi|2

2

∫

ωi

|u′(x)|2dx.

求和

∫ l

0u2(x)dx ≤

N∑

i=1

1|ωi|

(∫

ωi

u(x)dx

)2

+l2

2N2

∫ l

0|u′(x)|2dx.

Step 2. 设 uk(x)k ⊂ W 1,20 [0, l] 中有界序列, 存在常数M , 使得 ‖uk‖W 1,2

0≤

M . 那么可以推出 ukk 在 L2[0, l] 中有界. 因此, 存在 L2 中 w− 收敛的子


序列, 不妨仍记为 ukk, 有

∫ l

0[uk(x)− uj(x)]2dx ≤

N∑

i=1

1|ωi|

(∫

ωi

[uk(x)− uj(x)]dx

)2

+l2

2N2

∫ l

0|u′k(x)− u′j(x)|2dx

≤N∑

i=1

1|ωi|

(∫

ωi

[uk(x)− uj(x)]dx

)2

+2l2M2

N2.

故对任意的 ε > 0, 先选择 N0, 使得

2l2

N2M2 <

ε

2,

再选择K > 0, 使得对任意的 k, j > K, 有

N∑

i=1

1|ωi|

(∫

ωi

[uk − uj ]dx

)2

≤ N2

l

(∫ l

0[uk − uj ]dx

)2

<ε

2.

因此, ukk 是 L2[0, l] 中的 Cauchy 序列, 故收敛.

所以, E 是紧算子. Q.E.D.

因为对任意的 w ∈ L2 和任意的 u ∈ W 1,20 , 记 Fw(u) :=

∫ l0 wudx, 有

Fw(u) ≤ ‖w‖L2‖u‖W 1,20

.

所以有

命命命题题题 4.3. 嵌入映射 E1 : w ∈ L2 7→ w(= Fw) ∈ (W 1,20 )∗ 连续.

推推推论论论 4.4. L−1σ0

E1E : W 1,20 → W 1,2

0 是紧算子.

定定定理理理 4.5. (i) 算子 Lσ0 − σ0 的特征值为非负实数, 特征值序列 λ1 < λ2 <

· · · < λn < · · · 仅可能以∞ 为聚点, 当 β1 + β2 > 0 时, λ1 > 0;

(ii) 设 ∀λn 6= λm, 相应的特征函数为 Xn(x), Xm(x), 那么 Xn 与 Xm 正交,


即 ∫ l

0Xn(x)Xm(x)dx = 0,

且 Xn(x)∞n=1 是 L2[0, l] 中完备的直交系. 令

Cn =

∫ l0 f(x)Xn(x)dx

‖Xn(x)‖2L2[0,l]

, ∀f ∈ L2[0, l],

那么

limN→∞

‖f −N∑

n=1

CnXn(x)‖L2[0,l] = 0.

证明: 以下仅考虑 Sturm-Liouville 问题 (4.2), 可以推广到一般问题。

Step 1. 证明 λ 非负. 以 α1 = α2 = 0, β1 = β2 = 1 为例. 因为

λX = (Lσ0 − σ0)X = −X′′,

所以

λ

∫ l

0(X(x))2dx = −

∫ l

0X′′(x)X(x)dx =

∫ l

0(X

′(x))2dx.

若 λ = 0, 则 X′(x) ≡ 0, X(x) ≡ 0. 因此, λ > 0.

Step 2. 现在考虑更一般的特征值问题

L−1σ0

E1Ev = µv.

由推论 4.4, L−1σ0

E1E 是紧算子. 由泛函分析 Riesz-Schauder 理论知: 紧

算子的特征值 µnn 至多是可数集且仅可能以零为聚点, 并且对应不同特征

值的特征函数正交. 若

µnXn = (L−1σ0

E1E)Xn,

由

µn‖Xn‖2L2[0,l] = (L−1

σ0E1E(Xn))(Xn) = Hσ0(Xn, Xn) ≥ C0‖Xn‖W 1,2

0 [0,l],


以及关于 X ′n 的类似估计（只要将特征方程关于 x 求导数），若 Xn 是

L−1σ0

E1E 的特征函数，则 Xn ∈ W 1,20 [0, l] 且 X ′′

n ∈ L2[0, l], 因此也是算子

Lσ0 的特征函数。当 µn 6= 0 时, 有

Lσ0Xn =1µn

Xn = (λn + σ0)Xn,

所以 λn 仅可能以无穷为聚点.Q.E.D

例例例1. 考虑下述波动方程的混合问题.

∂ttu = a2∂2xxu, ∀x ∈ (0, l),∀t > 0,

(−1)∂xu + α1u = 0, x = 0, t > 0,

∂xu + α2u = 0, x = l, t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (0, l),

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ (0, l).

解: Step 1. 令 u(x, t) = X(x)T (t), 代入方程定出 X(x) 所适合的特征值问

题以及 T (t) 适合的常微分方程分别为

X′′

+ λX = 0, 0 < x < l,

X′(0)− α1X(0) = 0,

X′(l) + α2X(l) = 0.

(4.5)

和

T′′

+ a2λT = 0, ∀t > 0. (4.6)

Step 2. 求解特征值问题 (4.5). 首先由定理 4.2 知特征值 λ > 0, 于是令

λ = β2(β > 0), 则常微分方程 (4.5) 的通解为

X(x) = C cos βx + D sinβx, (4.7)


再由边界条件知常数 C, D 满足条件

−α1C + βD = 0,

(α2 cos βl − β sinβl)C + (β cos βl + α2 sinβl)D = 0.

消去 D, 得到

[β(α2 cos βl − β sinβl) + α1(β cos βl + α2 sinβl)]C = 0.

为了使 C 6= 0, 即为了得到非平凡解, 令

β(α2 cos βl − β sinβl) + α1(β cos βl + α2 sinβl) = 0. (4.8)

如果 cos βl = 0, 则 β = (kπ + π2 )/l, k = 0, 1, 2, · · ·. 将 cos βl = 0 代入 (4.8)

得到 β =√

α1α2(此时将不会有形如 (4.7) 的无穷多特征函数序列), 于是我

们假定√

α1α2 6=kπ + π

2

l, k = 0, 1, 2, · · · ,

得到 cos βl 6= 0, 在 (4.8) 两边同除 cos βl, 则有

tanβl =(α1 + α2)ββ2 − α1α2

.

该方程有无穷多个正根 βn∞n=1, 令 λn = β2n, 则

(n− 1)2π2

l2< λn < n2 π2

l2.

由 (4.7) 有特征值问题解序列 (其中令 D = Cα1/βn )

Xn(x) = cos βnx +α1

βnsinβnx, n = 1, 2, 3, ...

由 (4.6) 有对应的特征值问题解序列

Tn(t) = An sin(aβnt) + Bn cos(aβnt), n = 1, 2, 3, ... Q.E.D.


现在我们来看具有如下形式的非齐次波动方程的混合问题.

∂ttv = a2∂xxv + f(x, t), ∀x ∈ (0, l),∀t > 0,

v(0, t) = g1(t), ∀t > 0,

v(l, t) = g2(t), ∀t > 0,

v(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (0, l),

∂tv(x, 0) = ψ(x). ∀x ∈ (0, l).

对于这类问题, 由于它的边界条件非齐次. 令

u(x, t) = v(x, t)− x

lg2(t)− l − x

lg1(t),

于是化成如下关于 u 的边界条件齐次的方程

∂ttu = a2∂xxu + f(x, t), ∀x ∈ (0, l),∀t > 0,

u(0, t) = u(l, t) = 0, ∀t > 0,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (0, l),

∂tu(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ (0, l).

(4.9)

对这类问题有两种解法, 其中一种是齐次化原理. 本书不给出详细的讨论, 读

者可参阅 [4]. 第二种方法是 Fourier 解法. 下面给出它的主要思路.

令

u(x, t) =∞∑

n=1

Tn(t) sinnπ

lx, (满足边界条件).

设 f, ϕ, ψ ∈ L2[0, l]. 因为 sin nπl x∞n=1 在 L2[0, l] 中完备, 作展开

f(x, t) =∞∑

n=1

fn(t) sinnπ

lx,

ϕ(x) =∞∑

n=1

ϕn sinnπ

lx,

ψ(x) =∞∑

n=1

ψn sinnπ

lx.


把上面各式代入 (4.9) 有

T′′n (t) + (anπ

l )2Tn(t) = fn(t),

Tn(0) = ϕn,

T′n(0) = ψn.

由此可以解得

Tn(t) = ϕn cosanπ

lt +

1anπ

ψn sinanπ

lt +

1anπ

∫ t

0fn(τ) sin

anπ

l(t− τ)dτ.



二二二阶阶阶线线线性性性抛抛抛物物物型型型方方方程程程

7.1 极极极值值值原原原理理理

7.1.1 极极极值值值原原原理理理

考虑 Lu := ut − a2uxx 在区域 QT := (x, t) : 0 < x < l, 0 < t ≤ T 上的求解问题, 该区域的边界为

ΓT := (x, 0) : 0 ≤ x ≤ l ∪ (0, t) : 0 ≤ t ≤ T ∪ (l, t) : 0 ≤ t ≤ T.

弱弱弱极极极值值值原原原理理理: 设 u ∈ C2,1(QT ) ∩C(QT ) 在 QT 内满足 Lu ≤ 0(或 ≥ 0). 则有

maxQT

u = maxΓT

u (或minQT

u = minΓT

u).

证明: Step 1. 若在 QT 内 Lu < 0, 则 u 不能在 QT 内达到最大值.

如若不然, 设 u 在 (x0, t0) ∈ QT 处达到最大值, 则

∂tu(x0, t0) = 0, t0 < T时,

∂tu(x0, t0) ≥ 0, t0 = T时,

∂xu(x0, t0) = 0,

∂xxu(x0, t0) ≤ 0.

109

110 第 7章二阶线性抛物型方程

由此可以得到

∂tu(x0, t0)− a2∂xxu(x0, t0) ≥ 0.

这与在 QT 内 Lu < 0 矛盾.

Step 2. 对任意的 ε > 0, 令

vε(x, t) = u(x, t)− εt,

则在 QT 内 Lvε = Lu− ε < 0. 由 Step 1 知,

maxQT

u− εT ≤ maxQT

vε = maxΓT

vε ≤ maxΓT

u + εT

令 ε → 0, 得到

maxQT

u = maxΓT

u.

Step 3. 若在 QT 内 Lu ≥ 0. 令 v = −u, 则在 QT 内 Lv = −Lu ≤ 0.

由 Step 2 的结果可以证明

minQT

u = minΓT

u. Q.E.D

比比比较较较原原原理理理: 设 u, v ∈ C2,1(QT ) ∩ C(QT ) 在 QT 内满足 Lu ≤ Lv. 若在 ΓT 上

有 u ≤ v, 则在 QT 上 u ≤ v.

证明: 因为 L(u− v) ≤ 0, in QT ,

(u− v) ≤ 0, on ΓT .

所以由弱极值原理, 在 QT 上, 有

u− v ≤ 0. Q.E.D

7.1 极值原理 111

7.1.2 第第第一一一初初初边边边值值值问问问题题题解解解的的的上上上、、、下下下界界界估估估计计计

Lu := ut − a2uxx = f, (x, t) ∈ QT = (0, l)× (0, T ],

u(x, 0) = ϕ(x), 0 x l,

u(0, t) = g1(t), 0 t ≤ T,

u(l, t) = g2(t), 0 t ≤ T.

(4.1)

记

F := supQT

|f |, B := max sup0xl

|ϕ|, sup0t≤T

|g1|, sup0t≤T

|g2|,

令

W+(x, t) = Ft + B, W−(x, t) = −Ft−B,

则 LW+ = F ≥ Lu ≥ −F = LW−, on QT ,

W+ ≥ u ≥ W−, on ΓT .

利用比较原理, 在 QT 上有W+ ≥ u ≥ W−.

命命命题题题 4.1. 设 u ∈ C2,1(QT ) ∩ C(QT ) 为 (4.1) 的解, 则

maxQT

|u(x, t)| ≤ FT + B.

7.1.3 第第第二二二、、、第第第三三三初初初边边边值值值问问问题题题解解解的的的上上上、、、下下下界界界估估估计计计

考虑第三类初边值问题

Lu := ut − a2uxx = f, ∀(x, t) ∈ QT ,

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (0, l),

−∂xu(0, t) + α(t)u(0, t) = g1(t), ∀t ∈ (0, T ],

∂xu(l, t) + β(t)u(l, t) = g2(t), ∀t ∈ (0, T ].

(4.2)


其中 α(t) ≥ 0, β(t) ≥ 0. 当 α(t) = β(t) ≡ 0 时, (4.2) 为第二初边值问题.

命命命题题题 4.2. 若

Lu ≥ 0, ∀(x, t) ∈ QT ,

u(x, 0) ≥ 0, ∀x ∈ (0, l),

−∂xu(0, t) + α(t)u(0, t) ≥ 0, ∀t ∈ (0, T ],

∂xu(l, t) + β(t)u(l, t) ≥ 0, ∀t ∈ (0, T ].

的解 u ∈ C2,1(QT ) ∩ C(QT ) , 则在 QT 上有 u ≥ 0 .

证明: Step 1. 首先假设边界条件中等号处处不成立. 由弱极值原理, 有

minQT

u = minΓT

u.

设 u 在 (x0, t0) ∈ Γ 处达到最小值. 若 u(x0, t0) < 0, 则只可能是 x0 = 0 或

x0 = l, 0 t0 ≤ T .

当 x0 = 0 时, 由于 u 在 (x0, t0) 处达到最小值, 有

−∂xu(0, t0) + α(t0)u(0, t0) ≤ 0,

这与 x = 0 处的边值条件矛盾.

当 x0 = l 时, 由于 u 在 (x0, t0) 处达到最小值, 有

∂xu(l, t0) + β(t0)u(l, t0) ≤ 0,

7.1 极值原理 113

这与 x = l 处的边界条件矛盾.

Step 2. 对任意的 ε > 0, 令 vε(x, t) = u(x, t) + ε[2a2t + (x− l2)2], 则

Lvε = Lu ≥ 0, ∀(x, t) ∈ QT ,

vε(x, 0) ≥ u(x, 0) ≥ 0, ∀x ∈ (0, l),

−∂xvε(0, t) + αvε(0, t) =

−∂xu(0, t) + αu(0, t) + 2ε( l2) + αε[2a2t + ( l

2)2] > 0,∀t ∈ (0, T ],

∂xvε(l, t) + βvε(l, t) =

∂xu(l, t) + βu(l, t) + 2ε( l2) + βε[2a2t + ( l

2)2] > 0,∀t ∈ (0, T ].

由 Step 1 可知在 QT 上 vε ≥ 0. 令 ε → 0, 则在 QT 上 u ≥ 0. Q.E.D

记

F := supQT

|f |, B := maxsup |ϕ|, sup |g1|, sup |g2|,

令

W±(x, t) = ±Ft±B1 +1l[2a2t + (x− l

2)2],

那么

∂tW+ = F +B

l2a2,

∂xW+ =2B

l

(x− l

2

),

因此

LW+ = F ≥ Lu, ∀(x, t) ∈ QT ,

W+(x, 0) ≥ B ≥ u(x, t), ∀x ∈ (0, l),

−∂xW+(0, t) + αW+(0, t) ≥ B ≥ −∂xu(0, t) + αu(0, t), ∀t ∈ (0, T ],

−∂xW+(l, t) + αW+(l, t) ≥ B ≥ ∂xu(l, t) + βu(l, t), ∀t ∈ (0, T ].

由命题 4.2 可以知道在 QT 上有

W+ − u ≥ 0, u−W− ≥ 0.


命命命题题题 4.3. 若 u ∈ C2,1(QT ) ∩ C(QT ) 为 (4.2) 的解, 则存在常数 C , 使得

maxQT

|u(x, t)| ≤ FT + CB.

初初初边边边值值值问问问题题题解解解的的的唯唯唯一一一性性性定定定理理理: (4.1) 和 (4.2) 在 C2,1(QT ) ∩ C(QT ) 中的解唯

一.

证明: 由命题 4.1 和命题 4.2 可知, 当 f ≡ ϕ ≡ g1 ≡ g2 时, u ≡ 0. 故若有 u, v

同时为 (4.1) 和 (4.2) 的解, 则有 u− v ≡ 0. Q.E.D

7.1.4 Cauchy 问问问题题题解解解的的的上上上、、、下下下界界界估估估计计计

考虑热方程的 Cauchy 问题

ut − a2uxx = f, ∀(x, t) ∈ QT := R× (0, T ],

u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ R.(4.3)

命命命题题题 4.4. 若 u ∈ C2,1(QT ) ∩ C(QT ) 为 (4.3) 的有界解, 则

supQT

|u| ≤ T supQT

|f |+ supR|ϕ|.

证明方法与命题 (4.1) 和命题 (4.3) 类似.

7.2 能能能量量量不不不等等等式式式

热热热传传传导导导方方方程程程初初初边边边值值值问问问题题题的的的能能能量量量不不不等等等式式式设 u ∈ C1,0(QT ) ∩ C2,1(QT ), 其中

QT = (0, l)× (0, T ]. 将 (3.4) 的第一式两边乘以 u(x, τ), 并在 Qt 上积分, 得

到

12

∫ t

0

∫ l

0

∂u2(x, τ)∂τ

dxdτ − a2

∫ t

0

∫ l

0u

∂2u

∂x2dxdτ =

∫ t

0

∫ l

0fudxdτ.

7.2 能量不等式 115

因为对任意的 t > 0, u(0, t) = u(l, t) ≡ 0, 故

左边 =12

∫ l

0u2(x, t)dx + a2

∫ t

0

∫ l

0(∂u(x, τ)

∂x)2dxdτ − 1

2

∫ l

0u2(x, 0)dx.

又因为

右边 ≤ 12

∫ t

0

∫ l

0u2(x, τ)dxdτ +

12

∫ t

0

∫ l

0f2(x, τ)dxdτ,

于是可以得到

12

∫ l

0u2(x, t)dx + a2

∫ t

0

∫ l

0(∂u

∂x)2dxdτ

≤ 12

∫ t

0

∫ l

0u2(x, τ)dxdτ +

12

∫ l

0ϕ(x)2dx +

12

∫ t

0

∫ l

0f2(x, τ)dxdτ.

令

Ω(t) :=∫ t

0

∫ l

0u2(x, τ)dxdτ,

F (t) :=∫ l

0ϕ(x)2dx +

∫ t

0

∫ l

0f2dxdτ,

则有

dΩ(t)dt

:=∫ l

0u2(x, t)dx, Ω(0) = 0.

利用 Gronwall 不等式, 可以得到

Ω(t) ≤ etF (t).

因此对任意的 t ∈ [0, T ], 有

12

∫ l

0u2(x, t)dx + a2

∫ t

0

∫ l

0(∂u(x, τ)

∂x)2dxdτ


≤ 1 + et

2[∫ l

0ϕ2(x)dx +

∫ t

0

∫ l

0f2(x, τ)dxdτ ].

所以我们得到热方程初边值问题 (3.4) 的能量不等式

sup0≤t≤T

12

∫ l

0u2(x, t)dx + a2

∫ T

0

∫ l

0(∂u(x, τ)

∂x)2dxdτ

≤ 1 + eT

2[∫ l

0ϕ2(x)dx +

∫ T

0

∫ l

0f2(x, τ)dxdτ ]. (3.7)

推推推论论论: (3.4) 在空间 L∞([0, T ];L2[0, l]) ∩ L2([0, T ];H1[0, l]) 中的解的如果存

在，则一定是唯一的.



二二二阶阶阶线线线性性性双双双曲曲曲型型型方方方程程程

8.0.1 能能能量量量不不不等等等式式式 2

由 (4.9)× ∂tu, 再在 Qτ = (0, l)× (0, τ) 上积分, 我们有

∫ ∫

Qτ

ut(utt − a2uxx)dxdt =∫ ∫

Qτ

utfdxdt.

左边 =∫ ∫

Qτ

∂t[12(ut)2 +

12a2(ux)2]− ∂x[a2utux]dxdt (由 Green 公式)

= (−1)∫

∂Qτ

[12(ut)2 +

a2

2(ux)2]dx + [a2utux]dt

= (−1)∫

~0l+

∫

Γl

+∫

~l0+

∫

Γ0

(由边界条件 ut(0, t) = ut(l, t) = 0)

=∫ l

0[12u2

t (x, τ) +a2

2u2

x(x, τ)]dx−∫ l

0[12u2

t (x, 0) +a2

2u2

x(x, 0)]dx,

右边 ≤ 12

∫ ∫

Qτ

u2t dxdt +

12

∫ ∫

Qτ

f2dxdt.

令

G(τ) =∫ τ

0dt

∫ l

0(u2

t + a2u2x)dx,

117

118 第 8章二阶线性双曲型方程

F (τ) =∫ ∫

Qτ

f2dxdt +∫ l

0[ψ2 + (∂xϕ)2]dx.

那么dG(τ)

dτ≤ G(τ) + F (τ).

由 Gronwall 不等式, 可以得到能量不等式. ∀τ ∈ [0, T ], 存在M = M(T ), 使

得

∫ l

0[u2

t (x, τ) + a2u2x(x, τ)]dx

≤ M∫ l

0[ψ2 + a2(∂xϕ)2]dx +

∫ ∫

Qτ

f2dxdt, (4.10)∫ ∫

Qτ

[u2t (x, t) + a2u2

x(x, t)]dxdt

≤ M∫ l

0[ψ2 + a2(∂xϕ)2]dx +

∫ ∫

Qτ

f2dxdt. (4.11)

有了能量模估计, 事实上就有了解 u 本身的 L2 范数估计, 可以得到

∀τ ∈ [0, T ], 存在M = M(T ), 使得

∫ ∫

Qτ

(u2 + u2t + a2u2

x)dxdt

≤ M [∫ l

0(ϕ2 + ψ2 + a2(∂xϕ)2)dx +

∫ ∫

Qτ

f2dxdt]. (4.12)

证明: ∀τ ∈ [0, t0],

∫ l

0[u2(x, τ)− u2(x, 0)]dx

=∫ τ

0

d

dt[∫ l

0u2(x, t)dx]dt

=∫ τ

0

∫ l

02u(x, t)ut(x, t)dxdt

≤∫ ∫

Qτ

u2(x, t)dxdt +∫ ∫

Qτ

u2t (x, t)dxdt.

8.1 解的存在性与唯一性 119

令

G(τ) =∫ ∫

Qτ

u2(x, t)dxdt,

则 G(0) = 0, 且dG(τ)

dτ≤ G(τ) + F (τ),

其中

F (τ) =∫ l

0ϕ2dx +

∫ ∫

Qτ

u2t dxdt.

由 Gronwall 不等式, 得到

∫ l

0u2(x, τ)dx ≤ et0(

∫ l

0ϕ2dx +

∫ ∫

Qτ

u2t dxdt),

∫ ∫

Qτ

u2(x, t)dxdt ≤ et0(∫ l

0ϕ2dx +

∫ ∫

Qτ

u2t dxdt).

再将 (4.11) 中的估计式代入, 并相加即得所需结论. 由此可以证明边值问题

(4.9) 的解的唯一性, 以及解对 ϕ,ψ, f 的连续依赖性.


120 第 8章二阶线性双曲型方程

参参参考考考文文文献献献

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121

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