C’e’ uno qui che

se stanotte LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari da Santa Lucia

tutti stanotte hanno ricevuto in regalo una Ferrari da Santa Lucia

492

17. Lezione Corso di Logica 2019/2020

13 dicembre 2019

Maria Emilia Maietti

ricevimento: martedı ore 17.30-19.30

email: maietti@math.unipd.it

493

Precisazione su uso variabile vincolata

nel formalizzare frasi in lingua corrente

il nome della variabile vincolata x e irrelevante

nel senso che

puo essere cambiato

a patto di usare una variabile NUOVA

494

Irrelevanza nome della variabile nel formalizzare

il nome della variabile nella semantica di un predicato atomico

e irrelevante

nel senso che ciascun enunciato formale

∀x A(x) ∀y A(y) ∀z A(z)

e una corretta formalizzazione di

“Tutti sono alti”

ponendo

A(x) =x e alto

indipendentemente dall’uso di x o y o z nel definire il significato di A(x)

(che abbiamo descritto usando x ma che potevamo scrivere con y o altra variabile...!)

495

Irrelevanza nome di una variabile vincolata

la variabile vincolata serve solo come puntatore

perche il nome della variabile vincolata x puo essere cambiato

a patto di usare una variabile NUOVA

Motivo: se z non compare in fr allora sono derivabili

⊢ ∀x fr↔∀z fr[x/z] ⊢ ∃x fr↔∃z fr[x/z]

e lo si vede anche nella sua semantica!!

496

Irrelevanza nome della variabile nella semantica di un predicato

il nome della variabile nella semantica di un predicato atomico

e irrelevante

nel senso che

A(x)D(−) : D −→ {0, 1}

e definita a meno del nome di x ovvero

conveniamo che

per ogni dεD

A(x)D(d) = A(y)D(d) = A(z)D(d)

497

testimoni e falsari...

Nell’interpretazione dei predicati nei modelli

conveniamo di usare questa terminologia

testimone = elemento che rende vera una quantificazione esistenziale ∃

falsario = elemento che rende falsa una quantificazione universale ∀

498

testimoni per verificare una quantificazione esistenziale

∃x fr(x) e vera nel modello D con dominio D

ovvero (∃x fr(x))D = 1

sse

ESISTE d ∈ D TESTIMONE

tale che fr(x)D(d) = 1

499

falsari per falsificare una quantificazione universale

un enunciato (senza variabili libere)

∀x fr(x) e FALSO in un modello D con dominio D

ovvero (∀x fr(x))D = 0

se e solo se

ESISTE almeno un dεD detto falsario

tale che fr(x)D(d) = 0

500

TUTTI falsari per falsificare una quantificazione esistenziale

un enunciato (senza variabili libere)

∃x fr(x) e FALSO in un modello D con dominio D

ovvero (∃x fr(x))D = 0

se e solo se

TUTTI i dεD sono falsari

tale che fr(x)D(d) = 0

501

Cosa vuol dire falsificare una formula con variabili libere?

una formula con variabili libere

fr(y1, . . . , yn) e FALSA in un modello D con dominio D

se e solo se

ESISTONO (d1, . . . , dn)εDn detti falsari

tale che fr(y1, . . . , yn)D(d1, . . . , dn) = 0

502

Formalizzare e Derivare

C’e’ uno qui che

se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari

tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari

usando

R(x)=”x ha ricevuto in regalo una Ferrari ”

503

Formalizzazione

C’e’ uno qui che

se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari

tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari

usando

R(x)=”x ha ricevuto in regalo una Ferrari”

si puo formalizzare in tal modo

∃x (R(x)→∀x R(x) )

504

Tautologia controintuitiva!!

∃x (R(x)→∀x R(x) ) e una TAUTOLOGIA molto controintuitiva!!

e la si provi a derivare in LC=.....!!!

insistendo e riprovando con regole sicure e NON veloci...

505

spiegazione della Tautologia controintuitiva!!

∃x (R(x)→∀x R(x) ) e una TAUTOLOGIA molto controintuitiva!!

ma se si ricorda che

l’implicazione classica

R(x)→∀x R(x) e equivalente a ¬R(x) ∨ ∀x R(x)

ne segue che l’enunciato di partenza e equivalente a

∃x ( ¬R(x) ∨ ∀x R(x) )

che e chiaramente una tautologia!!

506

spiegazione della Tautologia controintuitiva!!

“ C’e’ uno qui che se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari

tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”

tradotto in ∃x (R(x)→∀x R(x) )

e equivalente (!!!!) a dire che

“ C’e’ uno qui che o LUI NON ha ricevuto in regalo una Ferrari

oppure tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari ”

tradotto in ∃x ( ¬R(x) ∨ ∀x R(x) )

507

spiegazione della Tautologia controintuitiva!! con modelli

se ∃x (R(x)→∀x R(x) ) e una TAUTOLOGIA molto controintuitiva!!

deve essere vera in OGNI modello

e vediamo perche...

508

spiegazione della Tautologia controintuitiva!! con modelli

fissato un modello con dominio D (NON vuoto per def.!!!)

con R(x)D(−) : D −→ {0, 1}

distinguiamo 2 casi:

1. ( ∀x R(x) )D = 1 (= tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)

2. ( ∀x R(x) )D = 0 (= NON tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)

509

spiegazione della Tautologia controintuitiva!! I caso

fissato un modello con dominio D (NON vuoto per def.!!!)

con R(x)D(−) : D −→ {0, 1}

nel caso

1. ( ∀x R(x) )D = 1 (= tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)

possiamo prendere come TESTIMONE della quantificazione esistenziale

( ∃x (R(x)→∀x R(x) ) )D = 1

un qualsiasi d in D (visto che D NON e vuoto c’e di sicuro!!!)

per cui vale

(R(x)→∀x R(x) )D(d) = (R(x) )D(d)→ ( ∀x R(x) )D = 1 → 1 = 1

510

spiegazione della Tautologia controintuitiva!! II caso

fissato un modello con dominio D (NON vuoto per def.!!!)

con R(x)D(−) : D −→ {0, 1}

nel caso

2. ( ∀x R(x) )D = 0 (= NON tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)

quindi esiste un falsario d che NON ha ricevuto la Ferrari

ovvero per cui vale (R(x) )D(d) = 0

e che possiamo scegliere come TESTIMONE della quantificazione esistenziale

( ∃x (R(x)→∀x R(x) ) )D = 1

PERCHE vale

(R(x)→∀x R(x) )D(d) = (R(x) )D(d)→ ( ∀x R(x) )D = 0 → 0 = 1

511

spiegazione della Tautologia controintuitiva!!

“ C’e’ uno qui che se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari

tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”

tradotto in ∃x (R(x)→∀x R(x) )

NON e equivalente a dire che

“Se c’e’ uno qui che ha ricevuto in regalo una Ferrari

allora tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”

tradotto in ∃x R(x)→∀x R(x)

512

Procedura per classificare un sequente in LC=

Dato un sequente Γ ⊢ ∆ (senza variabili libere):

passo 1: si prova a derivare Γ ⊢ ∆ in LC= secondo vademecum

se si deriva ⇒ Γ ⊢ ∆ e tautologia

se NON riesci a derivare vai al passo 2

passo 2: costruisci un contromodello della foglia che NON riesci a derivare

e controlla che lo sia anche del sequente radice

quindi Γ ⊢ ∆ NON e tautologia e poi vai al passo 3

passo 3: prova a derivare ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) in LC= secondo vademecum

se ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) si deriva ⇒ Γ ⊢ ∆ e un PARADOSSO

se NON riesci a derivare ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) applica il passo 2 al sequente ⊢ ¬( Γ&

→ ∆∨ )

se hai un contromodello per ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) ⇒ hai un modello per Γ ⊢ ∆

⇒Γ ⊢ ∆ e OPINIONE

513

Classificare il sequente

∃x R(x)→∀x R(x)

che traduce

“Se c’e’ uno qui che ha ricevuto in regalo una Ferrari

allora tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”

ponendo

R(x)=”x ha ricevuto in regalo una Ferrari”

514

Applichiamo la procedura e andiamo a derivare

R(w) ⊢ R(z)

∃xR(x) ⊢ R(z)∃−D

∃xR(x)⊢∀xR(x)∀−D

⊢ ∃xR(x)→∀xR(x)→−D

ove la prima applicazione di ∀−D e corretta poiche z non compare nel sequente radice

e cosı pure l’ultima applicazione di ∃−D e pure corretta perche w NON compare proprio

e l’ultima foglia suggerisce di costruire

un contromodello con 2 elementi:

uno (al posto di w) che ha ricevuto la Ferrari!!!

uno (al posto di z) che NON ha ricevuto la Ferrari!!!

515

Contromodello

secondo i suggerimenti ricevuti nella ricerca di una derivazione alternativa

un contromodello Dcontra di ∃xR(x)→∀xR(x)

e ad esempio

Dcontra= { Topolino , Minni }

R(x)Dcontra (d)=1 sse d e femmina

e in tal modello (∀xR(x))Dcontra = 0 perche Topolino non e una femmina

(∃xR(x))Dcontra = 1 perche R(x)D1 (Minni) = 1

quindi ( ∃xR(x)→∀xR(x) )Dcontra = 1 → 0 = 0

516

opinione o paradosso?

il contromodello Dcontra ci dice che ∃x R(x)→∀x R(x) NON e tautologia

e secondo la procedura per stabilire se e opinione o paradosso

proviamo a derivare la sua negazione in tal modo

⊢ R(x),∃x R(x)

⊢ ∃x R(x)∃−D

∀xR(x) ⊢

∃x R(x)→∀x R(x) ⊢→ −S

⊢ ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )¬−D

e concentrandosi sul ramo di sx si vede che si va avanti all’infinito con ∃−D SENZA riuscire a derivarlo

⇒ conviene fermarsi a falsificare ⊢ R(x),∃x R(x)

e basta un solo elemento per x che NON ha ricevuto la Ferrari!!

che rende falso R(x) e quindi ∃x R(x)

517

Un Contromodello della negazione dell’enunciato di partenza

un contromodello Dcontraneg di ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )

e un modello di ∃x R(x)→∀x R(x)

e seguendo i suggerimenti ottenuti dalla ricerca della derivazione precedente

si puo costruire in tal modo:

Dcontraneg= { Minni }

R(x)Dcontraneg (d)=1 sse d e maschio

e in tal modello (∀xR(x))Dcontraneg = 0

perche Minni NON e un maschio

siccome c’e solo Lei (∃xR(x))Dcontraneg = 0

quindi ( ∃x R(x)→∀x R(x) )Dcontraneg = 0 → 0 = 1

ovvero ( ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) ) )Dcontraneg = 0

518

contromodello della negazione alternativo

in alternativa nella derivazione

⊢ ∃x R(x)

∀x R(x) , R(x) ⊢

∀x R(x) ⊢∀−S

∃x R(x)→∀x R(x) ⊢→ −S

⊢ ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )¬−D

possiamo concentrarci sul ramo di dx dove si vede che si va avanti all’infinito con ∀−S SENZA riuscire a derivarlo

⇒ conviene fermarsi a falsificare ∀x R(x), R(x) ⊢

e basta un contromodello con un solo elemento per x che ha ricevuto la Ferrari!!

che rende vero R(x) e quindi ∀x R(x)

519

Un Contromodello della negazione dell’enunciato di partenza

secondo i suggerimenti ricevuti nella ricerca di una derivazione alternativa

un altro contromodello Dcontraneg2 di ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )

che e un modello di ∃x R(x)→∀x R(x)

e quindi ad esempio

Dcontraneg2= { Minni }

R(x)Dcontraneg2(d)=1 sse d e femmina

e in tal modello (∀xR(x))Dcontraneg2 = 1

perche Minni e una femmina e c’e solo lei nel modello!!

e a maggior ragione (∃xR(x))Dcontraneg2 = 1

quindi ( ∃xR(x)→∀xR(x) )Dcontraneg2 = 1 → 1 = 1

ovvero ( ¬( ∃xR(x)→∀xR(x) ) )Dcontraneg2 = 0

520

quindi

grazie al contromodello Dcontra

e al modello DcontraNeg (oppure al modello DcontraNeg2!!)

concludiamo che

∃x R(x)→∀x R(x)

e un’ OPINIONE

521

Esempio di formalizzazione

Ciascuno possiede cio che non ha perduto.

Nessuno ha perduto un miliardo.

Tutti possiedono un miliardo.

usando

P (x, y)=”x possiede y”

E(x, y)= “x ha perduto y”

m=”un miliardo”

si puo formalizzare in tal modo

∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ ∀x P (x,m)

522

Esempio di applicazione regole derivate + indebolimento in LC=

derivazione con uso di regole veloci e derivate:

¬-axdx2

⊢ ¬E(w,m) , E(w,m) , P (w,m)

ax-id

P (w,m) ⊢ E(w,m) , P (w,m)

¬E(w,m)→ P (w,m) ) ⊢ E(w,m) , P (w,m)→−S

¬E(w,m)→ P (w,m) ) ⊢ ∃x E(x,m) , P (w,m)∃−Dv

∀y ( ¬E(w, y)→ P (w, y) ) ⊢ ∃x E(x,m) , P (w,m)∀−Sv

∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) ⊢ ∃x E(x,m) , P (w,m)∀−Sv

∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ P (w,m)¬−S

∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ ∀x P (x,m)∀−D

ove ∀−D e corretta perche w non compare libera nel sequente radice.

523

Esempio di tautologia controintuitiva

Ciascuno possiede cio che non ha perduto.

Nessuno ha perduto un miliardo.

Tutti possiedono un miliardo.

usando

P (x, y)=”x possiede y”

E(x, y)= “x ha perduto y”

m=”un miliardo”

si puo formalizzare in tal modo

∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ ∀x P (x,m)

e siccome si deriva in LC= e una tautologia !!!

524

Formalizzare e classificare il sequente ottenuto...

Ciascuno possiede solo cio che non ha perduto.

Simone non ha perduto una Ferrari

Simone possiede una Ferrari

usando

P (x, y)=”x possiede y”

E(x, y)= “x ha perduto y”

s=”Simone”

f=”auto Ferrari”

forse e questo che volevamo dire...

525