複素エノン写像の力学系にあらわれるStokes的現象

平出　耕一 (愛媛大学)∗1

松岡　千博 (大阪市立大学)∗2

エノン写像 f : C2 → C2 は次で定まる２次写像である；

f :

(x

y

)7→

(1 + y − ax2

bx

).

ここで，a, b ∈ C はパラメータで a = 0, b = 0 であるとする．　P = (xf , yf ) を f の不動点のうちの１つとし，α1, α2 は微分 DPf の固有値とする．

|α1| = 1, α1 = α2

を仮定し，α = α1 とおく．　α に対する固有空間を Eα とする．以下において， 0 <

|α| < 1 の場合について述べる （|α| > 1 場合についても同様のことが成立する）．正則な写像P : C → C2 で，

f P(t) = P(αt) (∀t ∈ C)

と P(0) = P , P ′(0) = 0 を満たすものが存在し，与えられた v ∈ Eα, v = 0 に対しP ′(0) = v を満たすものは唯一つである．このとき，P : C → C2 は単射となり，すべての t ∈ C に対し P ′(t) = 0 を満たす．曲線 Wα(P ) = P(C) は f で不変である．この曲線を α に付随する不変曲線と呼ぶことにする． 0 < |α1| < 1 < |α2| の場合，Wα1(P ) と Wα2(P ) はそれぞれ自分自身に集積し，閉包の交わり Wα1(P )∩Wα2(P ) はf の Julia 集合であり，複雑な構造を持つ．この講演では，P を原点に移す平行移動により f の共役をとり，それを改めて f で

表し，次の条件式を満たす正則な写像 L : C → C2 について述べる；

f L(t) = L(t+ 1)

L(t) = (x(t), y(t)) とおく．このとき2階差分方程式が定まる;

x(t+ 1)− λx(t)− bx(t− 1) = −a[x(t)]2,　　 y(t) = bx(t− 1)

ここで，λ = −2axf . この差分方程式は，Borel-Laplace変換の方法により摂動論を用いず解くことができる． ζ1 = − logα = | logα|eiθ1 とおく．　 θ1 ∈ R は一つ選んで固定する．　解 x(t) はLaplace積分

x(t) =∞∑

N=0

∫ ∞eiθ1

ζN

e−ζtXR(ζ)dζ

本研究は科研費 (課題番号:17K05371, 18K03418)の助成を受けたものである。2010 Mathematics Subject Classification: 44A10, 37D45キーワード：Henon map, Borel-Laplace transform, asymptotic expansion∗1 e-mail: hiraide.koichi.mu@ehime-u.ac.jp∗2 e-mail: cmatsuoka@osaka-cu.ac.jp

1

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により求められる．　ここで，ζN = Nζ1，XR は次の積分方程式を満たすリーマン面X を原点と ζ1 を結ぶ直線の近傍で一意化した関数である；

AX = −aX ∗X + C, A(ζ) = e−ζ − λ− beζ

ここで，X∗X は畳み込みであり，C は定数である．上のLaplace積分は領域　ℜ(ζ1t) ≥1 + ε(ε > 0 は十分大) において正則関数の和として一様収束する． この x(t) は上の差分方程式の関係式により自然に全平面 C に解析接続される．このとき

L(C) = Wα(P ) \ P

である．　さらに，P と L の間に次の関係が成り立つ；

L(t) = P(C1e−ζ1t) (∀t ∈ C)

ここで，C1 = C1(θ1) = 0 は定数である．　このC1は次の様に定まる．

定理 1 P ′(0) = (1, α−1b) により P を定めると, 上の定数C1 は次の数に一致する；

limm→+∞

α−m

∫ ∞eiθ1

0

e−ζmXR(ζ)ζ

また，θ1 の取り方に依存しない定数K > 1が存在し

K−1 < |C1| < K

が成り立つ．

P は C から Wα(P ) の上への単射なので，逆写像P−1を持つ．　 従って，θ1 を取り換えたとき，L 達の間の関係式が定まり，L 達全体は一つの接続構造を持つことが分る．Wα(P ) の複雑な構造を見るためには，人工的パラメータ M を導入し、次に述べる

Poincareの意味の様な漸近展開が有効に働く．

定理 2 　M ∈ C とし，R > 0 とする．　このとき，領域 |e−ζ1(t+M)| ≤ R において

x(t+M) =b1,0te−ζ1(t+M) +

N∑n=2

(n− 1)!

tn

n∑ℓ=0

bℓ,n−1e−ζℓ(t+M) +RN

が成り立ち，剰余項 RN は次を満たす；

RN =N !

tN+1O(eζ1t/2)

．

　

参考文献[1] C.Matsuoka and K.Hiraide, Special functions created by Borel-Laplace transform of

Henon map, Electron. Res. Announc. Math. Sci. 18 (2011), 1–11

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平面離散弾性曲線の明示公式

松浦望 (久留米工業大学)

概 要ユークリッド平面内の離散弾性曲線を, 楕円テータ関数を用いて明示的に構成する.

楕円テータ関数 虚部が正の複素数ωを固定し e (k, z) = exp(π√−1ωk2 + 2π

√−1kz

)とお

く. 準周期的な正則関数たち θ1 (z) = −∑∞

k=−∞ e (k + 1/2, z + 1/2), θ3 (z) =∑∞

k=−∞ e (k, z),

θ2 (z) =∑∞

k=−∞ e (k + 1/2, z), θ4 (z) =∑∞

k=−∞ e (k, z + 1/2)を楕円テータ関数といい, 集合Ω = Z+ ωZをその周期格子という.

平面弾性曲線 弾性曲線は弾性エネルギーの臨界点として定義される曲線である. 円と直線は自明な平面弾性曲線だから以下の議論では除外する. 速さ1の非自明な平面弾性曲線γは, 回転と平行移動の差を除いて

γ (s) =1

a

[−cs+

∫ s0 κ (σ)2dσ

−2κ (s)

](1)

と積分表示される. ただし aは正の定数, cは実定数であり, 関数 κは γの曲率で微分方程式4 (κ′ (s))2 = −

(κ (s)2 − c

)2+ a2の解である. この微分方程式が実数値の解κをもつためには定

数 a, c, κ (0)が連立不等式 c + a > 0かつmax 0, c− a ≤ κ (0)2 ≤ c + aをみたさなければならない. 平面弾性曲線の形状は比 c/aの値に応じて変化するが, 特に c = aのときは初等関数で簡単に積分することができ, これをボーダーライン弾性曲線と呼ぶ.

表現公式 (1)のような積分表示ではなく, 座標成分をすべて具体的な関数で書いたものを明示公式という. 平面弾性曲線の明示公式として複数のものが知られているが, マンフォード [1]は次の定理のように楕円テータ関数を用いた. 以下R∗ = x ∈ R | x 6= 0, R∗∗ = x ∈ R | x > 0と書く. また複素数 zの共役複素数を zと書く.

定理 1 ([1]で述べられている平面弾性曲線の明示公式を具体的に書き下したもの) 楕円テータ関数の周期格子Ω = Z+ ωZがΩ = Ωをみたすとする. すなわち定数 y ∈ R∗∗をひとつ固定して複素数ωを

ω =

ω1 =

√−1y,

ω2 = 1/2 +√−1y

(2)

とおく. 定数の組 (p, x) ∈ R∗ × Rに対して, 関数γ : R → C ∼= R2, s 7→ γ (s)を

γ (s) =∂

∂r

∣∣∣∣r=0

log τ (s) , τ (s) = exp (−Asr) θ3 (ps+Br − C)

と定める. ただし実定数A, Bと複素定数Cは

(A,B,C) =

(θ′′3 (0)

θ3 (0)

θ4 (0)2

θ′1 (0)2 +

θ2 (0)2

θ3 (0)2 ,

θ4 (0)2

θ′1 (0)2p

, x+√−1

y

4

)ω = ω1,(

θ′′3 (0)

θ3 (0)

θ2 (0)2

θ′1 (0)2 − θ4 (0)

2

θ3 (0)2 ,

θ2 (0)2

θ′1 (0)2p

, x

)ω = ω2

とする. このときγは速さ1の平面弾性曲線で, その曲率は

κ (s) =

2πp

√−1θ4 (0)

2 θ1 (ps− C) θ4 (ps− C)

θ3 (ps− C) θ2 (ps− C)ω = ω1,

−2πp√−1θ2 (0)

2 θ1 (ps− C) θ2 (ps− C)

θ3 (ps− C) θ4 (ps− C)ω = ω2

2

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で与えられる. 逆に, 円と直線とボーダーライン弾性曲線を除くすべての平面弾性曲線は, 回転と平行移動の差を除いてこのように表示できる.

平面離散弾性曲線 写像 γ : Z → R2に対して ln = |γn+1 − γn|とおく. 以下では lnがnによらない正の定数 lであるような場合を考え, このときγを平面離散曲線と呼ぶ. 平面離散曲線 γ

に対してϕn = ∠ (γn+1 − γn, γn − γn−1)とおき, 数列κn = (2/l) tan (ϕn/2)を γの離散曲率という.

ボベンコとスリス [2]は離散曲線に対して適当な離散弾性エネルギーを導入し, その臨界点として離散弾性曲線を定義した. 離散円と離散直線は自明な平面離散弾性曲線だから以下の議論では除外する. 非自明な平面離散弾性曲線γは, 回転と平行移動の差を除いて

γn =1

a

[−lcn+ l

∑n−1k=0 κk+1κk

−2κn

](3)

と和分表示される. ただしaは正の定数, cは実定数であり, 数列κはγの離散曲率で差分方程式4l−2 (κn+1 − κn)

2 = − (κn+1κn − c)2 + a2の解である. この差分方程式が実数値の解κをもつためには, 定数a, c, κ0が連立不等式 c+ a > 0かつmax 0, c− a ≤ κ0

2 ≤ c+ aをみたさなければならない. ただし

c = c+l2a2

8, a = a

√1 +

l2c

4+

l4a2

64

である. 平面離散弾性曲線の形状は比 c/aの値に応じて変化するが, 特に c = a, すなわち c = a

のときは初等関数で簡単に和分することができ, これを離散ボーダーライン弾性曲線と呼ぶ.

定理 2 (平面離散弾性曲線の明示公式) 楕円テータ関数の周期格子Ω = Z+ωZを (2)のように選ぶ. 定数の組 (p, l, x) ∈ (R \ (1/2)Z)× R∗∗ × Rに対して, 関数γ : Z → C ∼= R2, n 7→ γnを

γn =∂

∂r

∣∣∣∣r=0

log τn, τn = exp (−Anr) θ3 (pn+Br − C)

と定める. ただし実定数A, Bと複素定数Cは

(A,B,C) =

((

θ′3 (p)

θ3 (p)

θ4 (0) θ4 (p)

θ′1 (0) θ1 (p)+

θ2 (0) θ2 (p)

θ3 (0) θ3 (p)

)l,

θ4 (0) θ4 (p)

θ′1 (0) θ1 (p)l, x+

√−1

y

4

)ω = ω1,((

θ′3 (p)

θ3 (p)

θ2 (0) θ2 (p)

θ′1 (0) θ1 (p)− θ4 (0) θ4 (p)

θ3 (0) θ3 (p)

)l,

θ2 (0) θ2 (p)

θ′1 (0) θ1 (p)l, x

)ω = ω2

とする. このときγは任意の整数nに対して |γn+1 − γn| = lをみたす平面離散弾性曲線で, その離散曲率は

κn =

2√−1

l

θ1 (p) θ4 (p)

θ3 (p) θ2 (p)

θ1 (pn− C) θ4 (pn− C)

θ3 (pn− C) θ2 (pn− C)ω = ω1,

−2√−1

l

θ1 (p) θ2 (p)

θ3 (p) θ4 (p)

θ1 (pn− C) θ2 (pn− C)

θ3 (pn− C) θ4 (pn− C)ω = ω2

で与えられる. 逆に, 離散円と離散直線と離散ボーダーライン弾性曲線を除くすべての平面離散弾性曲線は, 回転と平行移動の差を除いてこのように表示できる.

参考文献[1] David Mumford, Elastica and computer vision, Algebraic geometry and its applications (West

Lafayette, IN, 1990), Springer, New York, 1994, pp. 491–506.

[2] A. I. Bobenko and Yu. B. Suris, Discrete time Lagrangian mechanics on Lie groups, with anapplication to the Lagrange top, Comm. Math. Phys. 204 (1999), no. 1, 147–188.

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Nonlinear O(3) sigma modelin discrete complex analysis

関口　昌由，田所　勇樹 (国立木更津工業高等専門学校基礎学系)∗1

鎌田　勝 (国立木更津工業高等専門学校　名誉教授)

1. 序2つのRiemann多様体間のなめらかな写像ϕ : X → Mに対するシグマ模型を汎関数

E(ϕ) :=

∫X

|dϕ|2dvX

で定める．ただし，vXはXの体積形式とする．Mercat[3]は閉曲面上のセル分割とその双対に離散複素構造を導入し，離散Riemann面を定義し，周期行列を導出するアルゴリズムを与えた．通常の複素構造と類似性があり，セル分割を細かくしていくと，閉曲面の複素構造に近づいていくものである．さらに，BobenkoとGunther[1]は，Mercat

の離散Riemann面をより精密に扱い，新たな離散複素構造を定義した．非線形O(3)シグマ模型を，この新しく定義された平面の離散Riemann面上で計算し，不等式を導出した．

2. 非線形O(3)シグマ模型R2, 球面S2をユークリッド計量，球面計量が与えられたRiemann多様体とし，dvS2をS2の体積形式とする．なめらかな写像ϕ : R2 → S2に対する写像度Nを

N :=

∫R2

ϕ∗dvS2 ∈ Z ∼= π2(S2)

と定める．これはトポロジカル数とも呼ばれる．写像ϕと立体射影St : S2 → R2の合成を無限遠点まで広げた合成写像

f := St ϕ : R2 ∪ ∞ → S2 → R2 ∪ ∞

に対して定義されるシグマ模型を，非線形O(3)シグマ模型と呼ぶ．BelavinとPolyakov[2]

は，この模型に対する不等式

E =1

2

∫R2

|dϕ|2dvR2 =

∥∥∥∥df ∓ i ∗ df1 + |f |2

∥∥∥∥2

± 4πN ≥ 4π|N | (1)

を示した．等号成立条件は，fが (反)正則になる，つまり df = ±i ∗ df を満たすときである．

3. 離散Riemann面離散複素解析は 1950年代頃から研究され，Smirnovらが研究し，Mercat, Bobenkoにより離散Riemann面の研究が始まった．連結な有向閉曲面Σgにおいて，2部グラフの構造をもった4角形分割をΛと記す (図1)．

本研究は科研費基盤研究 (C)(課題番号:17K05234)の助成を受けたものである。2010 Mathematics Subject Classification: 30F10, 30G25キーワード：離散Riemann面，非線形O(3)シグマ模型，離散複素解析∗1 292-0041　千葉県木更津市清見台東 2-11-1e-mail: tado＠ nebula.n.kisarazu.ac.jp

3

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Q

b−

w−

b+w+

図 1: 4角形分割Λ

FQ

vFv

図 2: 中間グラフX

各辺の端点は，白黒の頂点を1つずつ持つ．各4角形を複素平面Cに埋め込むことにより，離散複素構造を定義する．1つの4角形Qに対して，反時計回りに頂点b−, w−, b+, w+

と呼ぶ．頂点全体V (Λ)上の関数fがQ上離散正則であるとは，離散Cauchy-Riemann

方程式f(b+)− f(b−)

b+ − b−=

f(w+)− f(w−)

w+ − w−(2)

を満たすものと定義する．図 2のように，各 4角形の辺の中点を結んだ中間グラフX

から，平行4辺形FQと頂点v周りの多角形Fvを得る．これより，正則1形式などを定義することができ，離散Riemann面上でHodge理論が展開される．我々は，種数g = 0のある離散Riemann面に関して計算を行った．非線形O(3)シグマ模型に関する次の不等式を得た．

Theorem 1.

EW (f) =

∥∥∥∥∥df ∓ i ∗ df1 + |f |2

∥∥∥∥∥2

±AW (f) ≥ |AW

(f)|. (3)

ただし，EW (f),AW

(f)はBelavinとPolyakovの不等式 (1)の各項における離散版である．可能ならば，EW

(f)の変分に関する研究についても報告したい．

参考文献[1] Alexander I. Bobenko and Felix Gunther. Discrete Riemann surfaces based on quadri-

lateral cellular decompositions. Adv. Math., Vol. 311, pp. 885–932, 2017.

[2] A. A. Belavin and A. M. Polyakov. Metastable states of two-dimensional isotropicferromagnets. Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters, Vol. 22,p. 245, 1975.

[3] Christian Mercat. Discrete Riemann surfaces. Papadopoulos, Athanase (ed.), Handbookof Teichmuller theory. Volume I. Zurich: European Mathematical Society (EMS). IRMALectures in Mathematics and Theoretical Physics 11, 541-575 (2007)., 2007.

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中心力場におけるルンゲ・レンツ様ベクトル

鈴鹿医療科学大学 桑野泰宏 ∗ quanoy@suzuka-u.ac.jp

本講演では, 中心力場における二体問題について考察する. なお, ここでは非相対論的古典力学における二体問題のみを扱うが, 相対論的古典力学に拡張するのは容易である. また, 量子論についてはここでは論じない.

中心力とは, 質点に働く力の作用線が常に定点Oを通り, その大きさがその定点と質点の距離にのみ依存する力である. すなわち, F (r) = F (r)r と表せる力のことである.

ここで, rは位置ベクトルを表し, r = |r|, r = r/Rである. 以下, 他のベクトルaについてもaや aなどを同様の意味で用いる.

中心力場においては, よく知られているようにエネルギーEと角運動量L = r×p が保存量となっている. ここで, p = mrは運動量, mは換算質量である. 惑星の公転運動については, これら以外にRunge-Lenzベクトルと呼ばれる保存量が存在する [1, 2, 3].

F (r) = −K/r2と書くとき,

e =p×L

mK− r (1)

は太陽から見て近日点に向かう向きをもち, その大きさは離心率 (E < 0ならば0 < e <

1)に等しい定ベクトルである.

ところで, 保存量はE, L, eで全部で 7成分あるが, これらすべてが独立ではない.

Runge-Lenzベクトルはその形からe ⊥ Lであり, さらに

e2 = 1 +2L2E

mK2(2)

の関係が成り立つから, 5成分だけが独立である. そしてこの 5成分で公転軌道が決定される. 二体問題は, r, p 6成分の初期条件を与えれば後の運動は運動方程式により決定されるが, 残りの 1つはある時刻における位置により与えられる. 位置を与えるには3成分の情報が必要かというとそうではなく, 軌道が決定している段階では位置とは軌道の曲線に沿って付与された1パラメーターに他ならないので, これで数勘定は合っている.

ケプラー問題におけるRunge-Lenzベクトルは, 量子力学の (ポテンシャルの形が同じ)水素型原子のエネルギー準位を代数的に決定したPauliの論文で重要な役割を演じ,

その結果はSchrodingerによるSchrodinger方程式を用いた結果より数ヶ月先んじたという [3].

本講演では, 一般の中心力場におけるRunge-Lenz様ベクトルについて考察する. 先行結果としては, たとえば [4]がある.

まず, 中心力ポテンシャルV (r)(F (r) = −V ′(r))のとき, 運動方程式から軌道を決定する. r ⊥ Lより, 質点は原点を通り, Lに垂直な平面上を運動する. この平面を公転軌道面と呼び, 公転軌道面における極座標を (r, θ)とおく. ここで, θはRunge-Lenz様ベクトル (もし存在すれば)の向きから測った偏角とする.

∗ http://www015.upp.so-net.ne.jp/quano/quano.htm

4

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角運動量保存則L = mr2θ等を用いて, 動径方向の運動方程式を書き換えると,

d2u

dθ2+ u +

m

L2

dV

du= 0 (3)

となる. ここで, u = 1/rである. (3)の両辺にdu/dθを掛けて θで積分することにより(

du

dθ

)2

=2m(E − V (u))

L2− u2 (4)

を得る. Eは積分定数で, ここではエネルギーを与える保存量である.

ケプラー問題と同じく, Runge-Lenz様ベクトルk が公転軌道面上のベクトルとすると, 偏角 θの定義より,

k = r cos θ + r × L sin θ (5)

と書ける. ここで, r ⊥ Lより, r ×L = r × Lとなることを用いた.

(5)で, f(u, L2, E) = cos θとおくと,

∂f

∂u= − sin θ

dθ

du, =⇒ sin θ = −∂f

∂u

du

dθ=

∂f

∂u

r · pL

(6)

となる. これらを (5)に代入して, その時間微分を計算すると

dk

dt=

u2

mL

(L2u2 − 2m(E − V )

) ∂2f

∂u2+

(m

dV

du+ L2u

)∂f

∂u− L2f

r × L (7)

となる. よって, fは次の偏微分方程式をみたす [4].

(L2u2 − 2m(E − V )

) ∂2f

∂u2+

(m

dV

du+ L2u

)∂f

∂u− L2f = 0. (8)

さらに, cos2 θ + sin2 θ = 1より, 次の正規化条件もみたす [4].

f 2 +

(∂f

∂u

)2(r · p)2

L2= 1. (9)

実は, (8), (9)は (3), (4)より成り立つことを示す. つまり, (8), (9)は運動方程式を解く以上の新しい条件ではないことを明らかにする.

本講演では, 調和振動子ポテンシャルV (u) = mω2/2u2, および1/r, 1/r2 混在型ポテンシャルV (u) = −K1u−K2u

2を例にとって, fの存在や形, ひいてはRunge-Lenz様ベクトルkの存在や形について論ずる.

参考文献[1] H. Goldstein，C. Poole，J. Safko,「古典力学」(原書第 3版) 2006(上巻), 2009(下巻), 吉岡書店.

[2] 山内恭彦, 武田暁編著, 武田暁, 岩本文明, 上村洸, 和田靖執筆「大学演習 量子物理学」(復刊第 4版), 2002, 裳華房.

[3] 国場敦夫, ラプラス–ルンゲ–レンツベクトル, Gruppen Pestの始祖的例題, 数理科学 2007年 7月号, 50–55.

[4] D. M. Fradkin, Existence of dynamic symmetries O4 and SU3 for all classical centralpotential problems, Prog. Theo. Phys. 37 798–812, 1967.

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非定常Ruijsenaars関数

白石 潤一 (東京大学 大学院数理科学研究科)∗

1. 非定常Ruijsenaars関数の定義論文 [S]で導入された特殊関数「非定常Ruijsenaars関数」について, 幾つかの定理と予想を述べる.

N ∈ Z≥2とし, 次のような変数の組を用意する: (x, p) = (x1, x2, . . . , xN , p), (s, κ) =

(s1, s2, . . . , sN , κ). 簡単のため,変数の添え字はN -周期的であるとする: 即ちxi+N = xi,

si+N = si. また, q, tをMacdonald多項式のパラメータとする. λ = (λ1, λ2, . . .)が分割であるとは, それが有限個の非負整数の非増加列であることとする: 即ち, λi ∈Z≥0, λ1 ≥ λ2 ≥ · · · , また |λ| :=

∑i λi < ∞. 全ての分割から成る集合を P と

書く. q-階乗などの標準的な記号は次の通り: (u; q)∞ =∏∞

i=0(1 − qiu), (u; q)n =

(u; q)∞/(qnu; q)∞, (u; q, p)∞ =∏∞

i,j=0(1− qipju).

Definition 1.1 (合同条件付きNekrasov因子). k ∈ Z/NZ, λ, µ ∈ Pに対して, 合同条件付き付きNekrasov因子N

(k|N)λ,µ (u|q, κ)を次のように定める:

N(k|N)λ,µ (u|q, κ) = N

(k)λ,µ(u|q, κ)

=∏j≥i≥1

j−i≡k (modN)

(uq−µi+λj+1κ−i+j; q)λj−λj+1·

∏β≥α≥1

β−α≡−k−1 (modN)

(uqλα−µβκα−β−1; q)µβ−µβ+1.

Definition 1.2 (非定常Ruijsenaars関数). 非定常Ruijsenaars関数 f glN (x, p|s, κ|q, t)∈ Q(s, κ, q, t)[[px2/x1, . . . , pxN/xN−1, px1/xN ]] を次のような形式級数と定める:

f glN (x, p|s, κ|q, t) =∑

λ(1),...,λ(N)∈P

N∏i,j=1

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(tsj/si|q, κ)

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(sj/si|q, κ)·

N∏β=1

∏α≥1

(pxα+β/txα+β−1)λ(β)α .

Proposition 1.3. κ = 0とおけば, 次の因子化公式を得る:

f glN (x, p|s, 0|q, t) =∏

1≤i<j≤N

(pj−iqxj/xi; q, pN)∞

(pj−itxj/xi; q, pN)∞·

∏1≤i≤j≤N

(pN−j+iqxi/xj; q, pN)∞

(pN−j+itxi/xj; q, pN)∞.

Definition 1.4 (正規化非定常Ruijsenaars関数). f glN (x, p|s, κ|q, t)を上の無限乗積で割って得られる級数φglN (x, p|s, κ|q, t)を導入する:

φglN (x, p|s, κ|q, t) ∈ Q(q, t)[[px2/x1, . . . , pxN/xN−1, px1/xN , κs2/s1, . . . , κsN/sN−1, κs1/sN ]],

φglN (x, p|s, κ|q, t)

=∏

1≤i<j≤N

(pj−itxj/xi; q, pN)∞

(pj−iqxj/xi; q, pN)∞·

∏1≤i≤j≤N

(pN−j+itxi/xj; q, pN)∞

(pN−j+iqxi/xj; q, pN)∞· f glN (x, p|s, κ|q, t).

即ち, f glN (x, p|s, κ|q, t)の中の因子∏N

i,j=1 N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(tsj/si|q, κ)/N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(sj/si|q, κ) は, κ

に関してκ = 0でTaylor展開されたものとする.

本研究は科研費 (15K04808, 16K05186, 19K03512)の助成を受けたものである。∗ 153-8914 東京都目黒区駒場 3-8-1 東京大学 大学院数理科学研究科e-mail: shiraish@ms.u-tokyo.ac.jp

5

-9-

2. 主張Conjecture 2.1 (双対性予想). 次が成り立つ:

φglN (x, p|s, κ|q, t) = φglN (s, κ|x, p|q, t) (bispectral duality),

φglN (x, p|s, κ|q, t) = φglN (x, p|s, κ|q, q/t) (Poincare duality).

Kを非負整数 (level)とし, 分割µ = (µ1, . . . , µN)が条件K + µN − µ1 ≥ 0を満たすとする. このK, µには, affine Lie代数 slNのdominant integrable weight Λ(K,µ) = (K+

µN−µ1)Λ0+∑N−1

i=1 (µi−µi+1)Λi と,その既約表現L(Λ(K,µ))が対応する (Λ0, . . . ,ΛN−1

は fundamental weight.). chslNL(Λ(K,µ))をprincipal gradationによる指標とする. パラメー

タ s, κを次のように特殊化する:

s = (κt)δqµ = q−Kδ/N+µ, κ = q−K/N t−1.

ここに, δ = (N−1, N−2, . . . , 1, 0)は階段状の分割,また, tδs = (tN−1s1, tN−2s2, . . . , tsN−1, sN)

と記した.

Theorem 2.2 (affine既約指標への退化). K,µ, s, κを上の通りとする. このとき次が成り立つ:

limt→q

xµf glN (x, p|q−Kδ/N+µ, q−K/N t−1|q, q/t) = 1

(pN ; pN)∞· chslN

L(Λ(K,µ)).

Remark 2.3. 証明には, affine Gelfand-Tsetlin pattern [FFNR], ないしTingleyの slN -

crystal [T]を用いる. 右辺の因子 1/(pN ; pN)∞は gl1の指標と見做すことができる. また, この極限は qに依存しないことに注意する.

Proposition 2.4 (level零の場合). K = 0, µ = ∅とする. 即ち, si = 1 (1 ≤ i ≤ N),

κ = t−1と特殊化する. このとき, 任意の q, tに対して (つまり極限 t → qを取らなくとも)次が成立する:

f glN (x, p|1, . . . , 1, t−1|q, q/t) = 1

(pN ; pN)∞.

Conjecture 2.5 (特殊値予想). x = (1, . . . , 1), p = 1/tと特殊化すれば,

Q(q)[s2/s1, s3/s2, . . . , s1/sN ][[1/t, κ]] における次の恒等式が成り立つ:

f glN (1, . . . , 1, 1/t|s, κ|q, q/t) = 1

(κN ;κN)∞

((q/t; q)∞

)N

×((κNq/t; q, κN)∞(κNq; q, κN)∞

)N ∏1≤i<j≤N

(κj−iqsj/tsi; q, κN)∞

(κj−iqsj/si; q, κN)∞

(κN−j+iqsi/tsj; q, κN)∞

(κN−j+iqsi/sj; q, κN)∞.

参考文献[FFNR] B. Feigin, M. Finkelberg, A. Negut and L. Rybnikov, Yangians and cohomology ring

of Laumon spaces, Sel. Math. New. Ser. (2011) 17:573-607, DOI 10.1007/s00029-011-0059-x.

[T] P. Tingley, Three Combinatorial Models for sln Crystals, with Applications to Cylin-dric Plane Partitions, Int. Math. Res. Not. Article ID rnm 143, 41 pages, doi:10.1093/imrn/rnm143.

[S] J. Shiraishi, Affine Screening Operators, Affine Laumon Spaces, and Conjectures Con-cerning Non-Stationary Ruijsenaars Functions, Journal of Integrable Systems (2019) 3,1-30. doi: 10.1093/integr/xyz010.

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非定常及び定常Ruijsenaars関数とRuijsenaars作用素の固有値問題

白石 潤一 (東京大学 大学院数理科学研究科)∗

1. Ruijsenaars作用素論文 [S]で導入された特殊関数「非定常Ruijsenaars関数」を用いて, Ruijsenaars作用素の固有値問題に関する予想を述べる.

Definition 1.1 (非定常Ruijsenaars関数). 非定常Ruijsenaars関数 f glN (x, p|s, κ|q, t)∈ Q(s, κ, q, t)[[px2/x1, . . . , pxN/xN−1, px1/xN ]] を次のような形式級数と定める:

f glN (x, p|s, κ|q, t) =∑

λ(1),...,λ(N)∈P

N∏i,j=1

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(tsj/si|q, κ)

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(sj/si|q, κ)·

N∏β=1

∏α≥1

(pxα+β/txα+β−1)λ(β)α .

Definition 1.2. テータ関数をΘp(z) = (z; p)∞(p/z; p)∞(p; p)∞と記す. Ruijsenaars作用素 [R]Dx(p) = Dx(p|q, t)を次のように定める:

Dx(p) =N∑i=1

∏j =i

Θp(txi/xj)

Θp(xi/xj)Tq,xi

,

ここに, Tq,xiは q-差分作用素 qxi∂/∂xiを表す.

(背景にある状況を踏まえて)素朴に考えれば,「非定常Ruijsenaars関数f glN (x, p|s, κ|q, t)の定常極限κ → 1 はRuijsenaars作用素Dx(p)の固有関数を与える」と期待される. しかしながら, そのような極限は存在しない (発散する). 従って, 極限κ → 1を取る前にf glNを規格化しなければならない. その方法のひとつは, f glNのxに関する定数項で割ることであると思われる.

λ = (λ(1), . . . , λ(N))を分割のN -組とする. 簡単のため,次のような記号を用意する:

|λ| =∑N

i=1 |λ(i)|, また, mi = mi(λ) =∑N

β=1

∑α≥1

α+β≡i (modN)λ(β)α −λ

(β+1)α . このとき, 次が

成り立つ:∏N

β=1

∏α≥1(pxα+β/txα+β−1)

λ(β)α = (p/t)|λ|

∏Ni=1 x

mii . 条件m1 = · · · = mN =

0は, |λ| ≡ 0 (modN)を意味することに注意する.

Definition 1.3 (定数項). α(p|s, κ|q, t) =∑

d≥0 pNdαd(s, κ|q, t)を,級数f glN (x, p|s, κ|q, t)

のxiに関する定数項とする. 即ち,

α(p|s, κ|q, t) =∑

λ(1),...,λ(N)∈Pm1=···=mN=0

(p/t)|λ|N∏

i,j=1

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(tsj/si|q, κ)

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(sj/si|q, κ).

本研究は科研費 (15K04808, 16K05186, 19K03512)の助成を受けたものである。∗ 153-8914 東京都目黒区駒場 3-8-1 東京大学 大学院数理科学研究科e-mail: shiraish@ms.u-tokyo.ac.jp

6

-11-

2. 予想Conjecture 2.1. 次が成り立つ:

1. 級数 f glN (x, p|s, κ|q, t)はある領域で収束して解析関数を与える. 特に, 変数 κに関して, ある穴開き円板κ ∈ C||κ− 1| < r, κ = 1上で正則である.

2. κ = 1は, f glN (x, p|s, κ|q, t)及びα(p|s, κ|q, t)の真性特異点である. (係数αd(s, κ|q, t)は, κについてκ = 1でd位の極を持つので.)

3. 商f glN (x, p|s, κ|q, t)/α(p|s, κ|q, t)はκ = 1で正則である.

Definition 2.2. Conjecture 2.1に従い, 定常Ruijsenaars関数 f st.glN (x, p|s|q, t)を次のように定める:

f st.glN (x, p|s|q, t) = f glN (x, p|s, κ|q, t)α(p|s, κ|q, t)

∣∣∣∣∣κ=1

.

λi ∈ C (i = 1, . . . , N)とし,スペクトル変数s = (si)1≤i≤Nをs = tδqλ = (tN−iqλi)1≤i≤N

とおく. p冪によって補正された座標変数をpδ/Nx = (p(N−i)/Nxi)1≤i≤Nと定める. また,

xλ =∏N

i=1 xλii と記す.

Conjecture 2.3. 定常Ruijsenaars関数xλf st.glN (pδ/Nx, p1/N |s|q, q/t) はRuijsenaars作用素の固有関数を与える:

Dx(p)xλf st.glN (pδ/Nx, p1/N |s|q, q/t) = ε(p|s|q, t)xλf st.glN (pδ/Nx, p1/N |s|q, q/t),

ε(p|s|q, t) =N∑i=1

si +∑d>0

εd(s|q, t)pd.

Remark 2.4. HeCS(p|β)を,結合定数β, Weierstrassの楕円関数℘(u)(ただしpがelliptic

nome) を相互作用ポテンシャルに持つ楕円Calogero-Sutherland模型のハミルトニアンとする. q = eh, t = eβh, κ = qkhとおき, 非定常Ruijsenaars関数φglN (x, p|s, κ|q, t)( の微分極限をφeCS(x, p|λ, k|β) = limh→0 φ

glN (x, p|s, κ|q, q/t) と定める. このとき, 次が成り立つと予想される:(

k p∂

∂p+HeCS(p|β)

)xλφeCS(x, p|λ, k|β) = 1

2

N∑i=1

λ2i xλφeCS(x, p|λ, k|β).

微分項 p∂/∂p は非定常 Schrodinger方程式の時間微分項に対応することに注意する.

「非定常 (κ = 1, k = 0)」ないし「定常 (κ = 1, k = 0)」という表現は, このことに由来する.

参考文献[R] R.N.M. Ruijsenaars, Complete inegrability of relativistic Calogero-Moser systems and

elliptic function identities, Commun. Math. Phys. 110 (1987) 191-213.

[S] J. Shiraishi, Affine Screening Operators, Affine Laumon Spaces, and Conjectures Con-cerning Non-Stationary Ruijsenaars Functions, Journal of Integrable Systems (2019) 3,1-30. doi: 10.1093/integr/xyz010.

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非定常Ruijsenaars関数とDing-Iohara-Miki代数のintertwining作用素

大久保 勇輔 (東大数理)

白石 潤一 (東大数理)

福田 真之 (東大理)

[1]において, 非定常Ruijsenaars関数と呼ばれるMacdonald関数のある種のAffine類似が与

えられた. 本公演では, Ding-Iohara-Miki代数（DIM代数）の intertwining作用素を用いてこ

の関数の実現を与え, さらに intertwining作用素の双対公式を通して非定常Ruijsenaars関数の

いくつかの組み合わせ論的公式を与える.

まず, 非定常Ruijsenaars関数は以下のように定義される.

Definition 1. N ∈ Z≥2とし, s = (s1, . . . , sN), x = (x1, . . . , xN)を不定元の組とする.

非定常Ruijsenaars関数f glN (x, p|s, κ|q, t) ∈ Q(q, t, κ, s)[[px2/x1, . . . , pxN/xN−1, px1/xN ]]

を

f glN (x, p|s, κ|q, t) =∑

λ(1),...,λ(N)∈P

N∏i,j=1

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(tsj/si|q, κ)

N(j−i|N)

λ(i),λ(j)(sj/si|q, κ)·

N∏β=1

∏α≥1

(pxα+β/txα+β−1)λ(β)α

によって定義する. ここに, Pはパーティション全体の集合とし, 変数xiはxi+N = xiによって同一視する. さらに, 階乗積の記号 (a; q)n =

∏nk=1(1− qk−1a)を用いて,

N(k|N)λ,µ (u|q, κ) = N

(k)λ,µ(u|q, κ)

=∏j≥i≥1

j−i≡k (modN)

(uq−µi+λj+1κ−i+j; q)λj−λj+1·

∏β≥α≥1

β−α≡−k−1 (modN)

(uqλα−µβκα−β−1; q)µβ−µβ+1

と定義した.

この関数は Affine遮蔽作用素によって導出することができ, Affine Laumon空間のEuler指標に一致することが知られている. またこの関数の κ → 1極限はRuijsenaars

演算子の固有関数になっていることが予想されている [1].

図１ 図２

この関数を Ding-Iohara-Miki代数の inter-

twining 作用素 Φ : Fver ⊗ Fhor → Fhor とΦ∗ : Fhor → Fhor ⊗ Fver によって実現することができる. (Fhor と Fverはそれぞれ, DIM

代数の Vertical表現と Horizontal表現と呼ばれる加群構造が入ったFock空間である.) この作用素の合成Φ∗ Φを図１のような十字架の図式で表す. これらを網目状に合成し (図２),

Verical表現に関するトレースをとるとκ = t−1/Nの非定常Ruijisenaars関数が得られる.

このときトレースを取る向きを水平方向に変えると, 次のような θ関数によって書かれる関数が得られる.

Definition 2. 関数f ellipN (x; s|q, t, p) ∈ Q(q, t, p, s)[[x2/x1, . . . , xN/xN−1]]を

f ellipN (x; s|q, t, p) =

∑θ

cellipN (θ; s|q, q/t, p)∏

1≤i<j≤N

(xj/xi)θij

7

-13-

によって定義する. ここに, θ = (θi,j)は非負整数を成分に持つ上三角なN ×N行列（対角成分は全て0）全体を走る. また

cellipN (θ; s|q, t, p) =N∏k=2

∏1≤i<j≤k

Θ(q∑

a>k(θi,a−θj,a)tsj/si; q, p)θi,kΘ(q

∑a>k(θi,a−θj,a)qsj/si; q, p)θi,k

·N∏k=2

∏1≤i≤j<k

Θ(q−θj,k+∑

a>k(θi,a−θj,a)qsj/tsi; q, p)θi,kΘ(q−θj,k+

∑a>k(θi,a−θj,a)sj/si; q, p)θi,k

,

Θ(a; q, p)n :=

n−1∏ℓ=0

θp(qℓa), n ≥ 0;

n−1∏ℓ=0

θp(q−ℓ−1a)−1, n < 0,

θp(a) :=∞∏k=0

(1− pka)(1− pk+1a−1)

とした.

この関数の p → 0極限はMacdonald差分作用素の固有関数を与える. 上記２つのMacdonald関数のAffine類似あるいは楕円類似が本質的に同じものであるということを, intertwining作用素の双対公式 [2] を通して発見した [3].

Theorem 3. 以下の公式が成立する：

f glN (x′, p1N |s′, t−

1N |q, t) = C × f ellip

N (s;x|q, t, p).

ここに, s′ = (t1N s1, t

2N s2, . . . , t

NN sN), x

′ = (p−1N x1, p

− 2N x2, . . . , p

−NN xN)とし,

C =

((pq/t; q, p)∞

(p; p)∞(pt; q, p)∞

)N ∏1≤i<j≤N

Γ(txj/xi; q, p)

Γ(qxj/xi; q, p)·

∏1≤i<j≤N

(tsj/si; q)∞(qsj/si; q)∞

,

(a; q)∞ =∞∏k=1

(1− qk−1a), (a; q, p)∞ =∞∏

k,ℓ=1

(1− qk−1pℓ−1a), Γ(a; q, p) =(qp/a; q, p)∞(a; q, p)∞

.

上記の２つの関数はN ≥ 2の場合のみに定義される関数であるが, N = 1の場合に対応した関係式を得ることもできる. つまり以下の定理を得た [3].

Theorem 4. 以下の公式が成立する：

exp

(∑ 1

n

(1− qnκn)(1− κn/tn)κ−npn

(1− qn)(1− t−n)(1− pn)

)=

∑λ

(p/κ)|λ|∏

1≤i≤j(κq−λi+λj+1ti−j; q)λj−λj+1

(κqλi−λj t−i+j+1; q)λj−λj+1∏1≤i≤j(q

−λi+λj+1ti−j; q)λj−λj+1(qλi−λj t−i+j+1; q)λj−λj+1

.

参考文献[1] J. Shiraishi, “Affine Screening Operators, Affine Laumon Spaces, and Conjectures Con-

cerning Non-Stationary Ruijsenaars Functions,” arXiv:1903.07495 [math.QA].

[2] M. Fukuda, Y. Ohkubo, and J. Shiraishi, “Generalized Macdonald Functions on Fock Ten-sor Spaces and Duality Formula for Changing Preferred Direction,” arXiv:1903.05905

[math.QA].

[3] M. Fukuda, Y. Ohkubo, and J. Shiraishi, in preparation.

-14-

ıQUANTIZATIONS

渡邉 英也 (京都大学数理解析研究所)

1. 概要

本講演の目的は、近年盛んに研究されている ı量子群を ı量子化 (ıquantization; “ı”は 「アイ」と読む)という観点から紹介し、できるだけ多くの専門分野の方々に興味を持っていただくことである。「ı量子化」は「ı化」と「量子化」を合わせた、ここだけの用語である。「量子化」とは、ある対象をパラメータ q で変形したものであって、適当な意味で

q → 1 なる極限 (古典極限)をとると元の対象を復元するようなものを指す。例えば、正の整数 n ∈ Z>0 に対し、Laurent 多項式 [n] ∈ Z[q, q−1] を

[n] :=qn − q−n

q − q−1= qn−1 + qn−3 + · · ·+ q−n+1

で定義すれば、[n] → n (q → 1) となるため、[n] は n の量子化であると言える。古典的 (q → 1)な世界では qn−1 も qn−3 も等しく 1 でしかないが、量子的な世界ではこれらは明確に区別できる。つまり、量子的な対象は古典的な対象よりも多くの情報を持っているのである。従って、古典的な世界では見えない、量子的な世界に特有の現象を見ることができると期待される。そのような現象の古典極限は、古典的な世界での新発見となる。一方、「ı化」とは、Dynkin 図形を佐武図形に置き換えることを指す。Dynkin 図形

は、Lie 代数 (複素半単純 Lie 代数)の情報を全て持ったグラフであり、佐武図形は、Lie 代数の実形 (real form)の情報を全て持ったグラフである。Lie 代数の、対合 (自己同型写像で、自乗して 1になるもの)による固定部分 Lie 代数を、ここだけの用語として ıLie 代数と呼ぶ。“ı” は、対合を意味する involution の頭文字を表している。Lie代数の実形たちと、ıLie 代数たちの間には自然な一対一対応があるため、佐武図形はıLie 代数の情報を全て持っているとも言える。Lie 代数 g と ıLie 代数 k の組のことを対称対という。例えば、(g, k) = (sln, son), (sl2n, sp2n) は対称対である。Lie 代数の表現論は、物事の対称性を表す数学的対象として、自然科学において重

要な役割を果たす。Lie 代数 g の量子化としては、Drinfeld と Jimbo によって導入された量子群 Uq(g) がよく知られている。しかし、リー代数に関するあらゆる現象が、量子群に関する現象として量子化されるわけではない。例えば、対称対 (g, k) が定める包含関係 k ⊂ g は、量子群を用いては量子化できない。つまり、Uq(k) ⊂ Uq(g) という関係は成り立たない。対称対 (g, k) の量子化、すなわち量子対称対の例は [16, 12, 24] などで複数の方法で

構成され、[17] で一つの統一的な構成法が提示された。量子対称対の理論では、g の量子化は量子群 Uq(g) で、k の量子化は Uq(g) のある余イデアル部分代数 U ı(k) で与えられる。この U ı(k) を ı量子群と呼ぶ。ı量子群 U ı(k) と量子群 Uq(k) はどちらも kの量子化であるが、これらは全くの別物である。ı量子群は、その構成方法から量子対称対余イデアル部分代数 (quantum symmetric pair coideal subalgebra)とも呼ばれている。量子群の表現論は、それ自身が興味深く美しいだけでなく、リー代数の表現論、直

交多項式、結び目、可積分系など幅広い分野に応用されている。このような応用を可

特別講演

-15-

能にする理論の多くは ı量子群にまで自然に拡張され、ı量子群もこれらの分野へ応用されている。一方で、ı量子群の有限次元表現の分類・構造論については、まだ不明な点が多い。こういった基礎的な理論がきちんと整備されたとき、ı量子群はさらに活躍の場を広げることだろう。本講演では、量子群において重要な理論である標準基底と結晶基底の ı量子群版、す

なわち ı標準基底と ı結晶基底の理論を紹介する。見通しをよくするために、Dynkin図形から話を始める (従って、以下の話は Kac-Moody 代数にまで拡張され得るし、一部は既にされている [14, 7])。Lie 代数は Dynkin 図形から、Chevalley 生成元と Serre関係式で構成される。量子群は、Serre 関係式を量子化することによって得られる。一方、ıLie 代数は、Lie 代数を ı化することで得られる。つまり、Dynkin 図形の代わりに佐武図形から構成される。すると、ı量子群は、量子群の ı化であると同時に、ıLie代数の量子化であると見ることができる。「ı量子群」という名前は前者、「量子対称対余イデアル部分代数」は後者的な視点を強調している感じがするが、どちらか一方の見方に捕らわれるべきではない。事実、ı標準基底の理論では ıq-Chevalley 生成元をq-Chevalley 生成元の ı化と見るのがよく、ı結晶基底の理論では ıChevalley 生成元の量子化と見るのがよい。

Dynkin 図形 ILie 代数 g(I)

Chevalley 生成元Serre 関係式

ı 化

yyssssss

ssss 量子化

%%KKKKK

KKKKK

佐武図形 (I, I•, τ)ıLie 代数 k(I, I•, τ)ıChevalley 生成元ıSerre 関係式

量子化

%%KKKKK

KKKKK

Dynkin 図形 I量子群 Uq(g(I))

q-Chevalley 生成元q-Serre 関係式

ı 化

yyssssss

ssss

佐武図形 (I, I•, τ)

ı量子群 U ı(k(I, I•, τ))ıq-Chevalley 生成元ıq-Serre 関係式

ı標準基底、ı結晶基底の他にも重要な ı量子化の例はたくさんあるが、講演者の力不足のため、ほんの一部のキーワードを列挙するに留める：

【ı量子化の例】

• 対称空間 GL / SO, GL / Sp の座標環の量子化 ([24])• A型量子群の Beilinson-Lusztig-MacPherson 構成の ı化 ([4])• ADE型量子群の Hall 代数構成の ı化 ([20, 21, 22])• 箙多様体の ı化 ([19])• 組み紐群作用の ı化 ([15, 21])• Kazhdan-Lusztig 理論の ı化 ([11, 5, 3, 8, 9])• R行列の ı化 ([5, 2, 6])• A型 (量子)多項式関手の ı化 ([10])

-16-

本稿の末尾に連結な Dynkin 図形と印付き佐武図形のリストを載せた。「印付き」の意味は後で説明するが、印付き白丸 ⊗ をただの白丸 に置き換えたものが普通の佐武図形である。

2. Lie 代数

2.1. Dynkin 図形による構成. Dynkin 図形を参照する際には単に頂点集合 I のみを参照する。Dynkin 図形 I に対し、Lie 代数 g = g(I) を次の生成元と関係式で定義する：

【生成元】 ei, fi, hi, i ∈ I

【関係式】 [hi, hj] = 0,

[hi, ej] = ai,jej, [hi, fj] = −ai,jfj,[ei, fj] = δi,jhi,

(ad ei)1−ai,j(ej) = 0 = (ad fi)

1−ai,j(fj) if i = j.

ただし、A = (ai,j)i,j∈I ∈ MatI(Z) は I の Cartan 行列を表す。また、x ∈ g に対しadx : g → g は

(adx)(y) := [x, y] for all y ∈ g

で定義される線形写像である。ここに現れる生成元たちを Chevalley 生成元、関係式たちを Serre 関係式と呼ぶ (普通は ei, fi を Chevalley 生成元、(ad ei)

1−ai,j(ej) = 0 =(ad fi)

1−ai,j(fj) を Serre 関係式と呼ぶ)。U(g) を g の普遍包絡代数とする。すなわち、U(g) は g と同じ生成元と関係式で

定義される結合代数である (ただし、Lie 括弧 [·, ·] は交換子積に置き換える)。「gの表現」と「U(g)の表現」は同じものなので、本講演では特に区別しない。

2.2. 有限次元表現. ei | i ∈ I, fi | i ∈ I, hi | i ∈ I で生成される g の部分 Lie代数または U(g) の部分代数をそれぞれ n+, n−, h または U(n+), U(n−), U(h) と書く。すると、g, U(g) はそれぞれ

g = n− ⊕ h⊕ n+, U(g) = U(n−)⊗ U(h)⊗ U(n+)

と 3つのパートに分解される。これらを三角分解と呼ぶ。P+ := λ ∈ h∗ | λ(hi) ∈ Z≥0 for all i ∈ I とおき、P+ の元を優整ウェイト (domi-

nant integral weight)と呼ぶ。λ ∈ P+ に対し、U(g) の表現 V (λ) を

V (λ) := U(g)/(∑i∈I

U(g)ei +∑i∈I

U(g)(hi − λ(hi)))

で定義し、最高ウェイト λ の Verma 加群と呼ぶ。Verma 加群は唯一つの既約商を持つ。これを L(λ) と書き、最高ウェイト λ の既約最高ウェイト表現と呼ぶ。L(λ) はU(g) の有限次元既約表現であり、U(g) の有限次元既約表現は L(λ) たちで尽くされている。また、U(g) の有限次元表現は完全可約、つまり既約表現の直和に分解する。したがって、U(g) の有限次元表現論では、与えられた有限次元表現がどのように既約分解するか、各有限次元既約表現の構造はどう記述できるかが問題となる。既約分解すべき有限次元表現の例としては、既約表現のテンソル積が挙げられる。

代数準同型写像 ∆ : U(g) → U(g)⊗ U(g) を

∆(x) := x⊗ 1 + 1⊗ x

で定義すると、U(g) の表現 M,N のテンソル積 M ⊗N は、∆ を介して U(g) の表現になる：

x · (m⊗ n) := ∆(x)(m⊗ n) = xm⊗ n+m⊗ xn, x ∈ U(g),m ∈M,n ∈ N.

-17-

M と N が有限次元ならば、M ⊗N を既約分解するという問題は、M と N が共に既約の場合、すなわち M = L(λ), N = L(µ), λ, µ ∈ P+ の場合に帰着される。

3. 量子群

3.1. Dynkin 図形による構成. qを不定元とする。m,n ∈ Z≥0, a ∈ Z に対し

[n]qa :=qan − q−an

qa − q−a, [n]qa ! :=

n∏m=1

[m]qa ,

[m

n

]qa

:=[m]qa !

[m− n]qa ![n]qa !

とおく。これらはそれぞれ、整数 n、階乗 n!、二項係数(mn

)の量子化である。

前章に引き続き、I を Dynkin 図形とし、A = (ai,j)i,j∈I を Cartan 行列とする。各i ∈ I に対し、di ∈ Z>0 を、互いに素であって diai,j = djaj,i を満たすように選ぶ。Dynkin 図形 I に付随する量子群 Uq(g) = Uq(g(I)) とは、次の生成元と関係式で定義される C(q) 上の結合代数である：

【生成元】 Ei, Fi, K±1i , i ∈ I

【関係式】 KiK−1i = 1 = K−1

i Ki,

KiKj = KjKi,

KiEj = qai,ji EjKi, KiFj = q

−ai,ji FjKi,

[Ei, Fj] = δi,j[Ki; 0]qi ,

Si,j(Ei, Ej) = 0 = Si,j(Fi, Fj) if i = j.

ただし、i = j に対し

Si,j(x, y) :=

1−ai,j∑r=0

(−1)r[1− ai,j

r

]qi

x1−ai,j−ryxr

とおき、さらに qi := qdi , [Ki; 0]qi :=Ki−K−1

i

qi−q−1i

とおいた。また、[Ei, Fj] は交換子積

EiFj − FjEi である。この生成元と関係式たちを q-Chevalley 生成元、q-Serre 関係式と呼ぶ (普通は、単に Chevalley 生成元と呼び、Si,j(Ei, Ej) = 0 = Si,j(Fi, Fj) だけをq-Serre 関係式と呼ぶ)。

3.2. 古典極限. 量子群 Uq(g) が g の量子化 (より正確には U(g) の量子化)であるということの意味を明確にしよう。各 i ∈ I に対し、(Ki; 0)qi :=

Ki−1qi−1

とおく。さらに、A1 := f/g ∈ C(q) | g(1) = 0 とおき、Ei, Fi, (Ki; 0)qi , K

±1i で生成される Uq(g) の

A1-部分代数を Uq(g)A1 と書く。代数準同型写像 A1 → C; f(q) 7→ f(1)によって CをA1-代数とみなし、Uq(g) := Uq(g)A1 ⊗A1 C とおく。すると、Uq(g) は U(g) に同型なC-代数になる。具体的には、Ei, Fi, (Ki; 0)qi , K

±1i が ei, fi, hi, 1 にそれぞれ対応する。

ここで、x ∈ Uq(g) に対して x := x⊗ 1 ∈ U とおいた。この意味では、Ei, Fi, (Ki; 0)qを q-Chevalley 生成元と呼ぶべきなのかもしれない。以下、Uq(g) をこの対応で U(g)と同一視する。Uq(g) の部分空間 S に対し、S := (S ∩ Uq(g)A1)⊗A1 C とおき、U(g)の部分空間とみなす。

3.3. 有限次元表現. Ei | i ∈ I, Fi | i ∈ I, K±1i | i ∈ I で生成される Uq(g) の部

分代数をそれぞれ Uq(g)+, Uq(g)

−, Uq(g)0 と書く。すると、Uq(g) は

Uq(g) = Uq(g)− ⊗ Uq(g)

0 ⊗ Uq(g)+

-18-

と分解する。これを Uq(g) の三角分解と呼ぶ。明らかに、Uq(g)−, Uq(g)

0, Uq(g)+ は

U(n−), U(h), U(n+) の量子化であり、Uq(g) の三角分解は U(g) の三角分解の量子化である。U(g) の有限次元既約表現の構成には U(g) の三角分解しか用いていないため、容易

に量子化できる：λ ∈ P+ に対し

Vq(λ) := Uq(g)/(∑i∈I

Uq(g)Ei +∑i∈I

Uq(g)(Ki − qλ(hi)i ))

を最高ウェイト λ の Verma 加群と呼ぶ。Verma 加群は唯一つの既約商を持つ。これを Lq(λ) と書き、最高ウェイト λ の既約最高ウェイト表現と呼ぶ。Lq(λ) は Uq(g) の有限次元既約表現で、Uq(g) の有限次元既約表現は実質的に Lq(λ) たちで尽くされている。また、U(g) の場合と同様に、Uq(g) の有限次元表現も完全可約である。構成方法から、Lq(λ) は L(λ) の量子化であることが期待される。この意味を明確

にするために、Lq(λ)A1 := Uq(g)A1vλ とおき、U(g) の表現 Lq(λ) := Lq(λ)A1 ⊗A1 Cを考える。このとき、Lq(λ) は L(λ) に同型になる。従って、Lq(λ) は L(λ) の量子化であると言える。代数準同型写像 ∆ : Uq(g) → Uq(g)⊗ Uq(g) を

∆(Ei) := Ei ⊗ 1 +Ki ⊗ Ei,

∆(Fi) := 1⊗ Fi + Fi ⊗K−1i ,

∆(Ki) := Ki ⊗Ki

で定義すると、これは、U(g)の ∆の量子化である。従って、Uq(g)の有限次元既約表現のテンソル積 Lq(λ)⊗Lq(µ)は、gの有限次元既約表現のテンソル積 L(λ)⊗L(µ)の量子化である。よって、L(λ)⊗L(µ)を既約分解するという Lie代数の問題は、Lq(λ)⊗Lq(µ)を既約分解するという量子群の問題に移る。より難しくなっただけのような気がするが、結晶基底、標準基底といった量子群ならではの道具があるため、量子の世界で考えた方がわかりやすいこともある。

3.4. 結晶基底. M を Uq(g) の有限次元表現とする。M 上には、Ei, Fi の作用を変形した柏原作用素と呼ばれる線形写像 Ei, Fi : M → M が定義される。M の C[q−1]-格子 L であって、柏原作用素で閉じているものを結晶格子と呼ぶ。C-線形空間 L/q−1Lは M の q = ∞ における極限と見ることができ、柏原作用素 Ei, Fi は L/q−1L 上の線形写像を誘導する。C-線形空間 L/q−1L の基底 B で、様々な条件を満たすものをM の結晶基底と呼ぶ。結晶基底はあくまで q = ∞ における基底であって、M の本当の基底ではないのだが、表現の情報を全て持っている。以下では、組 (L,B) のことを結晶基底と呼ぶ。M が有限次元既約表現 Lq(λ), λ ∈ P+ であるとき、その結晶基底 (L(λ),B(λ)) が一

意的に定まる。また、M,N が結晶基底 (LM ,BM), (LN ,BN)を持てば、(LM⊗LN ,BM⊗BN) は M ⊗N の結晶基底になる。結晶基底は、結晶グラフという組合せ論的な道具で記述することができるため、表

現論だけでなく組合せ論的な議論で表現の構造を調べることができる。例えば、有限次元表現 M の既約分解の様子は、M の結晶グラフにおける特定の条件を満たす頂点を数え上げればわかる。特に、有限次元既約表現のテンソル積 Lq(λ)⊗ Lq(µ) がどのように既約分解するかは、純粋に組合せ論的な問題になる。

3.5. 標準基底. ψ : Uq(g) → Uq(g) を bar-involution とする。すなわち、ψ は C-代数同型写像であって、Ei, Fi, Ki, q をそれぞれ Ei, Fi, K

−1i , q−1 に送るものである。ψ は、

-19-

普通は · で表されるため bar-involution と呼ばれているが、添え字をつけたりして類似の対象を表したいので、本講演では別の記号を用いる。Uq(g)の表現 M の bar-involution ψM とは、M 上の C-線形自己同型写像であって、

ψM(xm) = ψ(x)ψM(m), ψ2M(m) = m for all x ∈ Uq(g),m ∈M

を満たすものである。M が bar-involution ψM と結晶基底 (LM ,BM)を持つとき、ψM

で不変な M の基底で、q = ∞ において BM に一致するものを M の標準基底と呼ぶ。既約最高ウェイト表現 Lq(λ) は、唯一の bar-involution ψλ と結晶基底 (L(λ),B(λ))

を持ち、これらに関する標準基底 B(λ) も唯一つ存在する。M,N を Uq(g)の有限次元表現で、bar-involution ψM , ψN を持つとする。このとき、

M ⊗N 上の bar-involutionとして ψM ⊗ψN を考えたくなるが、これは bar-involutionにはならない。そこで、準R行列 Θ を考える。Θ は Uq(g)

−⊗Uq(g)+ のある元 Θα た

ちの形式的な無限和∑

αΘαで、

Θ · (ψ ⊗ ψ)(∆(x)) = ∆(ψ(x)) ·Θ

を満たすものである。Θ は形式的な無限和であるから Uq(g)− ⊗ Uq(g)

+ の元としては意味を持たないが、Uq(g) の有限次元表現のテンソル積 M ⊗ N 上の作用素としては意味を持つ。そこで

ψM,N := Θ (ψM ⊗ ψN) :M ⊗N →M ⊗N

を考えると、これはM⊗N 上の bar-involutionになる。M,N が bar-involution ψM , ψN

と結晶基底 (LM ,BM), (LN ,BN) を持ち、これらに関する標準基底 BM , BN を持つならば、M ⊗N は bar-involution ψM,N と 結晶基底 (LM ⊗ LN ,BM ⊗ BN) に関して唯一つの標準基底 BMBN を持つ。

4. ıLie 代数

4.1. 佐武図形による構成. 佐武図形は、頂点 (白丸 、黒丸 • 両方の)集合 I、黒丸の集合 I•、矢印が定義する写像 τ : I → I の三つ組 (I, I•, τ) で表す。τ を忘れ、黒丸を白丸と見ることで I は Dynkin 図形になることに注意する。白丸の集合を I と書く;I = I \ I•.佐武図形 (I, I•, τ)に対し、Lie代数 k = k(I, I•, τ)を次の生成元と関係式で定義する：

【生成元】 ei, i ∈ I•, bi, hτi , i ∈ I

【関係式】 hτi = 0 if i ∈ I and τ(i) = i,

hτi + hττ(i) = 0 if i ∈ I and τ(i) = i,

[hτi , hτj ] = 0,

[hτi , ej] = aτi,jej, [hτi , bj] = −aτi,jbj,

[ei, bj] = δi,jhτi ,

(ad ei)1−ai,j(ej) = 0 if i = j,

(ad bi)1−ai,j(bj) = ci,j if i = j

ただし、ci,j は、0 とは限らない k の元である。ci,j を厳密に書くこともできるが、ここでは省略する。また、aτi,j は

aτi,j :=

ai,j if i ∈ I•,

ai,j − aτ(i),j if i ∈ I.

-20-

で定める。ここに現れる生成元と関係式たちを ıChevalley 生成元、ıSerre 関係式と呼ぶ (ここだけの用語である)。I は Dynkin 図形なので、Lie 代数 g = g(I) を考えることができる。このとき、

ei 7→ ei, bi 7→

fi if i ∈ I•,

fi + Tw•(eτ(i)) if i ∈ I,hτi 7→

hi if i ∈ I•,

hi − hτ(i) if i ∈ I.

という対応で kを gの部分 Lie代数とみなせる。すると、(g, k)は、佐武図形 (I, I•, τ)に対応する対称対になる。ただし、w• は I• に付随する Weyl 群の最長元で、Tw• は対応する組み紐群作用である。量子群を q → 1 にすると元の Lie 代数が復元されたように、ıLie 代数は佐武図形を

対角型にすると元の Lie 代数が得られる。対角型とは、Dynkin 図形のコピーを 2つ用意して、対応する頂点を矢印で繋いで得られる佐武図形のことである。すなわち、Iを Dynkin 図形、I1 = i1 | i ∈ I, I2 = i2 | i ∈ I をそのコピー、τ を

i1 ↔ i2, for all i ∈ I

としたとき、(I1 ⊔ I2, ∅, τ) で表される佐武図形である。このとき、

bi1 7→ ei, bi2 7→ fi, hτi1 7→ −hi, hτi2 7→ hi, for all i ∈ I

という対応で kは g(I)に同型になる (gは g(I1⊔I2) ≃ g(I)⊕g(I)であることに注意)。ıLie 代数 k は簡約 Lie 代数であることが知られている。簡約 Lie 代数は、だいた

い半単純 Lie 代数なので、簡単のため k は半単純 Lie 代数として話を進める。すると、k は、ある Dynkin 図形 I ′ から作られる Lie 代数 g(I ′) に同型になる。同型写像ı : g(I ′) → k を一つ固定する。g(I ′) の Chevalley 生成元 ei′ , fi′ , hi′ , i

′ ∈ I ′ の ı による像を k の Chevalley 生成元と呼ぶ。ここで注意すべきは、k の Chevalley 生成元とıChevalley生成元は本質的に異なるということである。従って、ı(ei′), ı(fi′), ı(hi′)たちを ei, bi, h

τi たちで書き下すというのは非自明な問題である。このことから、 ıChevalley

生成元を単に Chevalley 生成元と呼ぶことは避けるべきである。

5. ı量子群

5.1. 佐武図形による構成. 佐武図形 (I, I•, τ)に付随する ı量子群 U ı(k) = U ı(k(I, I•, τ))とは、次の生成元と関係式で定義される C(q) 上の結合代数である：

【生成元】 Ei, i ∈ I•, Bi, (Kτi )

±1, i ∈ I

【関係式】 Kτi (K

τi )

−1 = 1 = (Kτi )

−1Kτi ,

Kτi = 1 if i ∈ I and τ(i) = i,

Kτi K

ττ(i) = 1 if i ∈ I and τ(i) = i,

Kτi K

τj = Kτ

jKτi ,

Kτi Ej = q

aτi,ji EjK

τi , Kτ

i Bj = q−aτi,ji FjK

τi ,

[Ei, Fj] = δi,j[Kτi ; 0]qi ,

Si,j(Ei, Ej) = 0 if i = j,

Si,j(Bi, Bj) = Ci,j if i = j.

ただし、Ci,j は U ı(k) の元で、ci,j ∈ k の量子化である。本当は Ci,j はパラメータς = (ςi)i∈I ∈ (C(q)×)I に依存するのだが、テクニカルな話になるのでここでは無視する。

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ı量子群 U ı(k) は、量子群 Uq(g) に埋め込める。すなわち、

Ei 7→ Ei, Bi 7→

Fi if i ∈ I•,

Fi + ςiTw•(Eτ(i))K−1i if i ∈ I,

Kτi 7→

Ki if i ∈ I•,

KiK−1τ(i) if i ∈ I

という対応で U ı(k) は Uq(g) の部分代数とみなせる。ただし、Tw• は、Lusztig の T ′′i,1

に関する w• に対応する組み紐群作用である。さらに、この埋め込みによって U ı(k)は Uq(g) の右余イデアル部分代数になる：

∆(U ı(k)) ⊂ U ı(k)⊗ Uq(g).

従って、U ı(k) の表現のテンソル積は U ı(k) の表現にはならない。代わりに、U ı(k) の表現と Uq(g) の表現のテンソル積は考えることができる。古典的な世界では k の表現のテンソル積は k の表現になるので、あえて k の表現と g の表現のテンソル積を考える状況はないと思う。ı量子群の生成元と関係式たちを ıq-Chevalley 生成元、ıq-Serre 関係式と呼ぶ。ıq-

Chevalley 生成元は q-Chevalley 生成元の ı化とも、ıChevalley 生成元の量子化ともとれる。どちらが正しいということではなく、状況に応じて適切な見方をすればよい。例えば、これから説明する ı標準基底の理論では ıq-Chevalley 生成元を q-Chevalley生成元のように扱うのがよい。一方、埋め込み U ı(k) → Uq(g) は明らかに埋め込みk → g の量子化であるため、この場合は ıq-Chevalley 生成元は ıChevalley 生成元の量子化と見るべきである。

5.2. ı標準基底. ıq-Chevalley 生成元を q-Chevalley 生成元の ı化と思うことで、量子群における標準基底の理論を ı量子群に拡張することができる ([6, 9])。繰り返しになるが、ı化とみなすということは、対角型の佐武図形を考えると量子群の世界を復元するということである。そこで、まずは対角型のときに U ı(k), Uq(g) がどうなっているか見てみよう。Uq(g) = Uq(g(I1 ⊔ I2)) は Uq(g(I)) ⊗ Uq(g(I)) に同型である。この同型は、

Ei1 ↔ Fi ⊗ 1, Fi1 ↔ Ei ⊗ 1, Ki1 ↔ K−1i ⊗ 1,

Ei2 ↔ 1⊗ Ei, Fi2 ↔ 1⊗ Fi, Ki2 ↔ 1⊗Ki

で与えられる。従って、Uq(g)+ ≃ Uq(g(I))

− ⊗ Uq(g(I))+ であることに注意する。こ

のとき、埋め込み U ı(k) → Uq(g) は

Bi1 7→ Ei ⊗ 1 +Ki ⊗ Ei,

Bi2 7→ 1⊗ Fi + Fi ⊗K−1i ,

Kτi17→ K−1

i ⊗K−1i , Kτ

i27→ Ki ⊗Ki

で与えられる。一方、U ı(k) は

Bi1 7→ Ei, Bi2 7→ Fi, Kτi17→ K−1

i , Kτi27→ Ki

という対応で Uq(g(I)) に同型である。この同型の下では、埋め込み U ı(k) → Uq(g) は∆ : Uq(g(I)) → Uq(g(I))⊗ Uq(g(I)) に他ならない。一般の佐武図形に戻る。標準基底の理論には、まず bar-involution が必要であった。

今、ıq-Chevalley 生成元を q-Chevalley 生成元の代わりだと思っているので、自然な定義は

Ei 7→ Ei, Bi 7→ Bi, Kτi 7→ (Kτ

i )−1, q 7→ q−1

なる ψı : U ı(k) → U ı(k) である。このような写像の存在は ıq-Serre 関係式によって保証されている (本当は パラメータ ς の取り方に依存する [1, 6])。この ψı を U ı(k) の

-22-

ıbar-involution と呼ぶ。U ı(k) の表現の ıbar-involution も、量子群の場合と同様に定義できる。次に、結晶基底が必要であったが、ı量子群にはまだ結晶基底の理論がない。標準基

底の定義をよく見てみると、本当に必要なのは結晶基底ではなく、なんらかの C[q−1]-格子 L と、L/q−1L の基底 B である。従って、U ı(k) の表現 M が ıbar-involution と適当な (L,B) を持てば、M の ı標準基底が定義できる。問題は、量子群の場合の結晶格子、結晶基底のように、良い (L,B) がとれるかということである。試しに U ı(k)の有限次元既約表現の場合を考察してみたいが、U ı(k)の表現論につい

てはまだ何も議論していないので、これはできない。そこで、Uq(g)の有限次元既約表現 Lq(λ) を考えてみよう。U ı(k) は Uq(g) の部分代数であるから、Lq(λ) は U ı(k) の表現とも見れる。Lq(λ) は結晶基底 (L(λ),B(λ)) を持つため、あとは ıbar-involution を自然に定めればよい。ıbar-involution の候補はもちろん Lq(λ) の bar-involution ψλ であるが、これは ıbar-involutionではない。この状況は、量子群において bar-involutionのテンソル積が、テンソル積の bar-involution ではないことに似ている。実際、佐武図形が対角型のときは、2つの問題は全く同じことである。量子群の場合は、この問題は準R行列 Θ によって解決されたため、Θ を ı化すればよい。準R行列 Θ の ı化 Υ は、準K行列と呼ばれ、Uq(g)

+ の形式的な元として定義される。すなわち、Υ =

∑β Υβ, Υβ ∈ Uq(g)

+ は

Θı · ψ(x) = ψı(x) ·Θı for all x ∈ U ı(k)

を満たす。Υ は Uq(g)+ の元としては意味を持たないが、Uq(g) の有限次元表現 M へ

の作用素としては意味を持つ。M が bar-involution ψM を持つとき、

ψıM := Υ ψM :M →M

は M の ıbar-involution になる。特に、ψıλ := Υ ψλ は Lq(λ) の ıbar-involution で

ある。以上の議論から、Uq(g)の有限次元表現M が bar-involution ψM と結晶基底 (LM ,BM)

を持てば、M の ıbar-involution ψıM と (LM ,BM) に関する ı標準基底を定義するこ

とができる。Lq(λ) の ψıλ, (L(λ),B(λ)) に関する ı 標準基底 B(λ)ıは唯一つ存在し、

Lq(λ) の ı標準基底と呼ばれている。M を、U ı(k) の表現で、ψı

M , (LM ,BM) に関する ı標準基底 BıM を持つものとし、

N を、Uq(g) の表現で、ψN , (LN ,BN) に関する標準基底 BN を持つものとする。このとき、

ψıM,N := ∆(Υ) Θ (Υ−1 ⊗ 1) (ψı

M ⊗ ψN)

とおけば、これはM⊗N 上の ıbar-involutionとなる。さらに、ψıM,N , (LM⊗LN ,BM⊗

BN) に関する M ⊗N の ı標準基底 BıMıBN が一意に定まる。これを M ⊗N の ı標

準基底と呼ぶ。M,N が共に Uq(g) の表現で、標準基底 BM , BN を持つとき、M ⊗N の ı標準基底

として、M ⊗N の標準基底 BMBN から得られるもの (BMBN)ı と、Bı

MıBN が考えられるが、これらは一致する。

5.3. ı結晶基底. 結晶基底の理論の ı量子群版、すなわち ı結晶基底の理論は、ı標準基底の理論や他の ı量子化に比べてかなり遅れてしまっている。ここでは、ı結晶基底が遅れている原因と最近の進展、そして今後の展望を述べる。結晶基底は、量子群の有限次元表現論から来る概念であったので、まずは ı量子群

の有限次元表現について考えよう。[13, 23, 25] ではそれぞれ AI型、AII型、AIII型の佐武図形に付随する ı量子群の有限次元既約表現の分類について論じられている。Lie代数や量子群の場合は、(q-)Chevalley 生成元を軸に、ほとんど型に依らない議論が可能であったが、ここに挙げた先行研究の手法は型毎に大きく異なっている。そのため、

-23-

このままでは一般の佐武図形に対して ı量子群の有限次元表現を論ずることなど到底できない。ıq-Chevalley 生成元を q-Chevalley 生成元の ı化と思うことで標準基底を ı化できた

ので、ıq-Chevalley 生成元は q-Chevalley 生成元と同じ働きをすると思われるかもしれないが、それは幻想である。もしそうだとすれば、q-Chevalley 生成元が Chevalley生成元と同じ働きをすることから、ıq-Chevalley 生成元は Chevalley 生成元と同じ働きをするはずである。一方で、ıq-Chevalley 生成元は ı-Chevalley 生成元の量子化でもあるため、 ı-Chevalley 生成元のようにも振る舞い、その表現論的な役割は Chevalley生成元とは本質的に異なるはずである。現に、Uq(g) の有限次元既約表現 Lq(λ) を考えれば、これは L(λ) の量子化であるため、ıq-Cheavalley 生成元の Lq(λ) における役割は、ıChevalley 生成元の L(λ) における役割と同じでなければならない。従って、ı量子群の表現論を展開するには ıLie 代数の Chevalley 生成元 (ıChevalley 生成元ではない)を量子化するべきなのである。ıLie 代数の Chevalley 生成元を量子化する最初の試みは [18] でなされた。そこで

は、Chevalley 生成元の一部である h に対応するものが量子化された。h たちの重要な性質としては、互いに可換で、個数が十分多いということがある。[18] では、量子化された h たちはこの性質を維持しているため、非常に良い量子化であると言える。さらに、量子化された h たちを Chevalley 生成元の一部のように扱うことによって、AI型の ı量子群の有限次元既約表現の分類が再定式化された [27]。これによって、ı量子群の表現論で型に依らない議論が可能になるかという期待が高まったが、そう簡単な話ではなかった。量子化された h たちは、確かに上に挙げた良い性質を満たすのだが、それ以上のことが (少なくとも講演者には)何もわからないという欠点がある。やはり、Chevalley 生成元全部を量子化しなくては意味がなさそうである。残念ながら Chevalley 生成元全部を U ı(k) の中で量子化することは不可能で、U ı(k)

を少し膨らまさなければならない ([26])。佐武図形の代わりに印付き佐武図形を考え、印付き白丸 ⊗ 毎に l±1 という新しい元を追加し、B = l−l−1

q−q−1 という関係式を加えることで、新しい代数 U ı(k) を構成する。U ı(k) は U ı(k) を部分代数として含み、古典極限をとると U(k) になる。包含関係 U ı(k) ⊂ U ı(k) があるので、U ı(k) の表現は U ı(k) の表現とみなせる。逆に、特別な U ı(k) の表現 (古典ウェイト表現と呼ぶ)は U ı(k) の表現に持ち上げることができる。つまり、U ı(k) の古典ウェイト表現論は、U ı(k) の表現論に含まれるのである。さらに、AI,AII,AIII,AIV型 (他の型でも、頂点が少ない場合には同様のことが確認されているため、以下で述べることは一般の佐武図形で正しいと思われる)の U ı(k) には Chevalley 生成元の量子化が存在するので、その有限次元表現論は量子群の場合と同様に展開できる。特に、U ı(k) の有限次元既約表現で、U ı(k)の古典ウェイト表現から来るものは、k の有限次元既約表現の量子化であることがわかる。このことから、有限次元古典ウェイト表現は、ıLie 代数の有限次元表現の量子化であると言える。また、対角型の場合にこの構成を行うことで、有限次元古典ウェイト表現は、量子群の有限次元表現の ı化であるとも言える。ここで、古典ウェイト表現はどれくらい特別な表現かという疑問が湧いてくる。古

典ウェイト表現でない有限次元既約表現の存在が知られているため、「古典ウェイト表現というクラスは十分広い」とは言い難い。しかし、Uq(g) の有限次元表現を U ı(k) の表現とみなしたものや、U ı(k) の古典ウェイト表現と Uq(g) の有限次元表現のテンソル積は古典ウェイト表現になるし、ıLie 代数の有限次元表現の量子化を完全に含んでいることから、「とんでもなく狭い」というわけではなさそうである。さて、Chevalley 生成元が手に入ったので、結晶基底を ı化することができる。結晶

基底によって、有限次元表現の既約分解が組合せ論の問題に帰着されたように、ı結晶基底が完成すれば、有限次元古典ウェイト表現の既約分解が組合せ論的な議論で解決できるようになる。これは、g の有限次元既約表現を k の表現として既約分解すると

-24-

どうなるかという、古典的な世界における非常に重要な問題 (分岐則)を含んでいる。また、結晶基底と関連した組合せ論的な構造を持つため、組合せ論的表現論における新たな一分野を築くことになると思われる。実際、ı結晶基底のテンソル積に付随するグラフは以下のようになり、通常の結晶基底のテンソル積の結晶グラフとは異なる：【対角型 U ı(sl2)】

• // • • // •

•

•

•oo •

•

•

•

•

•

•

...

...

...

...

...

•

•

•

•

•

• • • • // •

.

【AI 型 U ı(so2)】

+ 0 −

va

• // •

•

Y va

•

•

•

Y 2va

•

•

•

...

...

...

...

Y

a−32 va

•

•

•

Ya−12 va

•

•

•

Ya+12 va

•

55kkkkkkkkkkkkkkkk •

−•

Ya+32 va

−•

•

−•

...

...

...

...

Y a−2va

−•

•

−•

Y a−1va

−•

•

−•

Y ava −• • // •

+ 0 −

va

• // •

•

Y va

•

•

•

Y 2va

•

•

•

...

...

...

...

Y

a2−2va

•

•

•

Ya2−1va

•

•

12•

Y

a2 va

•

55kkkkkkkkkkkkkkkk •

−•

Y

a2+1va

−12•

•

−•

Y

a2+2va

−•

•

−•

...

...

...

...

Y a−2va

−•

•

−•

Y a−1va

−•

•

−•

Y ava −• • // •

-25-

Dynkin 図形

A.

1 2 · · · n−1 n

B.

1 2 · · · +3n−1 n

C.

1 2 · · · ksn−1 n

D.

n−1

1 2 · · · n−3

n−2 ttt

JJJ

n

E.

2

1

3

4

5

6

F.

1 2 +3 3 4

G.

1 2ks

-26-

印付き佐武図形

AI-1.

⊗1 2 · · · ⊗

2r−1 2r

AI-2.

⊗1 2 · · · ⊗

2r−3 2r−2⊗

2r−1

AII.

•1 2 · · · •2r−3 2r−2 •2r−1

AIII. AIV.

1EE

· · · rEE

•r+1

r+s−1

· · · s

•s−1

1CC

· · · r−1

JJJCC

⊗

tttr

2r−1

· · · r+1

BI-1. BI-2.

⊗1 2 · · · ⊗

2r−3 2r−2⊗ +32r−1 2r ⊗

1 2 · · · ⊗2r−3 2r−2 +3 ⊗

2r−1

BII-1.

⊗1 2 · · · ⊗

2r−1 2r •2r+1 •2r+2 · · · • +3 •2r+s

BII-2.

⊗1 2 · · · ⊗

2r−3 2r−2 2r−1 •2r •2r+1 · · · • +3 •2r+s

CI.

1 · · · n−1ks ⊗n

CII.

•1 2 · · · •2r−3 2r−2 •2r−1 2r •2r+1 • · · · • ks •2r+s

DI-1.

⊗ 2r

1 ⊗2 · · ·

2r−3⊗

2r−2

2r−1 tttJJJ

⊗2r+1

DI-2.

⊗2r−1

⊗1 2 · · · ⊗

2r−3

2r−2 tttJJJ

⊗ 2r

-27-

DI-3.

•2r+s−1

1 ⊗2 · · ·

2r−3⊗

2r−2 • · · · •

2r−1 tttJJJ

•2r+s

DI-4.

•2r+s−1

⊗1 2 · · · ⊗

2r−12r • · · · •

2r−1 tttJJJ

•2r+s

DII-1. DII-2.

•2r−1

•1 2 · · · •2r−3

2r−2 sss

JJJ

⊗ 2r

2r−2\\

•1 2 · · · •

2r−5

2r−4•

2r−3 tttJJJ

2r−1

DIII-1 DIII-2.

2r−1[[

1 ⊗

2 · · · 2r−3

⊗2r−2 ttt

JJJ

2r

2r−2[[

⊗1 2 · · · ⊗

2r−5

2r−4⊗

2r−3 tttJJJ

2r−1

EI. EII.

⊗ 2

1

⊗3

4

⊗5

6

2

1cc ;;

3 `` >>⊗4

5

6

EIII. EIV.

2

1cc ;;•

3•4

•5

6

• 2

1

•3

•4

•5

6

EV. EVI.

⊗ 2

1

⊗3

4

⊗5

6

⊗7

• 2

1

⊗3

4

•5

6

•7

EVII. EVIII.

• 2

1

•3

•4

•5

6

⊗7

⊗ 2

1

⊗3

4

⊗5

6

⊗7

8

EIX.

• 2

1

•3

•4

•5

6

⊗7

8

FI. FII. G.

1

⊗2 +3

34 •1 •2 +3 •3 4

1⊗2ks

-28-

References

[1] M. Balagovic and S. Kolb, The bar involution for quantum symmetric pairs, Represent. Theory19 (2015), 186–210.

[2] M. Balagovic and S. Kolb, Universal K-matrix for quantum symmetric pairs, J. Reine Angew.Math. 747 (2019), 299–353.

[3] H. Bao, Kazhdan-Lusztig theory of super type D and quantum symmetric pairs, Represent.Theory 21 (2017), 247–276.

[4] H. Bao, J. Kujawa, Y. Li, and W. Wang, Geometric Schur duality of classical type, Transform.Groups 23 (2018), no. 2, 329–389.

[5] H. Bao and W. Wang, A New Approach to Kazhdan-Lusztig Theory of Type B via QuantumSymmetric Pairs, Asterisque 2018, no. 402, vii+134 pp.

[6] H. Bao and W. Wang, Canonical bases arising from quantum symmetric pairs, Invent. Math.213 (2018), no. 3, 1099–1177.

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[8] H. Bao, W. Wang, and H. Watanabe, Multiparameter quantum Schur duality of type B, Proc.Amer. Math. Soc. 146 (2018), no. 8, 3203–3216.

[9] H. Bao, W. Wang, and H. Watanabe, Canonical bases for tensor products and super Kazhdan-Lusztig theory, to appear in the Journal of Pure and Applied Algebra, arXiv:1808.09388v4.

[10] V. Buciumas and H. Ko, Polynomial functors and two-parameter quantum symmetric pairs,arXiv:1904.12851v4.

[11] M. Ehrig and C. Stroppel, Nazarov-Wenzl algebras, coideal subalgebras and categorified skewHowe duality, Adv. Math. 331 (2018), 58–142.

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[13] N. Z. Iorgov and A. U. Klimyk, Classification theorem on irreducible representations of theq-deformed algebra U ′

q(son), Int. J. Math. Math. Sci. 2005, no. 2, 225–262.[14] S. Kolb, Quantum symmetric Kac-Moody pairs, Adv. Math. 267 (2014), 395–469.[15] S. Kolb and J. Pellegrini, Braid group actions on coideal subalgebras of quantized enveloping

algebras, J. Algebra 336 (2011), 395–416.[16] T. H. Koornwinder, Orthogonal polynomials in connection with quantum groups, Orthogonal

polynomials (Columbus, OH, 1989), 257–292, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci.,294, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1990.

[17] G. Letzter, Symmetric pairs for quantized enveloping algebras, J. Algebra 220 (1999), no. 2,729–767.

[18] G. Letzter, Cartan subalgebras for quantum symmetric pair coideals, Represent. Theory 23(2019), 88–153.

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arXiv:1901.11446.[21] M. Lu and W. Wang, Hall algebras and quantum symmetric pairs II: Reflection functors,

arXiv:1904.01621.[22] M. Lu and W. Wang, Hall algebras and quantum symmetric pairs III: Quiver varieties,

arXiv:1910.01263.[23] A. Molev, Representations of the twisted quantized enveloping algebra of type Cn, Mosc. Math.

J. 6 (2006), no. 3, 531–551, 588.[24] M. Noumi, Macdonald’s symmetric polynomials as zonal spherical functions on some quantum

homogeneous spaces, Adv. Math. 123 (1996), no. 1, 16–77.[25] H. Watanabe, Crystal basis theory for a quantum symmetric pair (U,Uȷ), to appear in Int.

Math. Res. Not., arXiv:1704.01277v2.[26] H. Watanabe, Classical weight modules over ıquantum groups, arXiv:1912.11157.[27] H. Wenzl, On representations of U ′

qson, arXiv:1805.06268v2.

-29-

(H. Watanabe) Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University,Kyoto 606-8502, Japan

Email address: hideya@kurims.kyoto-u.ac.jp

-30-

量子曲線とワイル群森山翔文（大阪市立大学）

ABJM行列模型とは多重積分

Zk(N1|N2) =

∫

RN1+N2

dN1µ

N1!(2π)N1

dN2ν

N2!(2π)N2e

ik4π

(∑N1

m=1 µ2m−∑N2

n=1 ν2n)

×∏N1

m<m′(2 sinhµm−µm′

2)2∏N2

n<n′(2 sinhνn−νn′

2)2

∏N1

m=1

∏N2

n=1(2 coshµm−νn

2)2

(1)

である．（この行列模型は，M理論におけるM2ブレーンの世界体積理論を記述するABJM理論の 3次元球面上の分配関数であるが，ここでは詳しい説明を省略する．）N1, N2は行列のランクに由来する積分の次元で整数であり，kはチャーン-サイモンズレベルに由来し場の理論では整数に量子化されているが，行列模型を考察する範囲では実数と考えても差し支えない．多重積分はすべて実軸に沿って実行されている．簡単のため等ランクN2 = N1 = N の場合を考える．ランクN を粒子数とみなし，大正準分配関数

Ξk(z) =∞∑

N=0

zNZk(N |N) (2)

を導入すると，大正準分配関数はフレドホルム行列式を用いて

Ξk(z) = Det(1 + zH−1) (3)

と書き換えられ，スペクトラル演算子は

H = (Q12 + Q− 1

2 )(P12 + P− 1

2 ) (4)

により与えられる．ここで，(Q, P )は正準交換関係 [q, p] = iℏに従う正準変数の指数関数

(Q, P ) = (eq, ep) (5)

であり，プランク定数は行列模型のレベルと ℏ = 2πkにより同定される．スペクトラル演算子は再定義によりP1×P1に帰着され，また行列模型の解析を通じて，同じくP1×P1上の位相的弦理論の自由エネルギーという関数を用いて記述される．これから行列模型の役割を外して，『量子曲線のフレドホルム行列式⇔局所代数曲線上の位相的弦理論の自由エネルギー』

という対応関係が予想された．これを ST/TS（Spectral Theories/Topological Strings）対応という．例えば種数 1の場合に限って解析を進めるには，デルペッツォ幾何の量子曲線の明示的な表示が必要である．デルペッツォ幾何は qパンルヴェ方程式の解析においても重要な役割を果たしている [1]．古典的な場合を参照しながら，量子化された場合の代数曲線を書き下したい．以下，量子曲線を対称型で指定する．

1

8

-31-

D5曲線の場合は∏8

i=1 ei = (h1h2)2を満たす変数 (h1, h2, e1, e2, · · · , e7, e8, E, α)を用いて，

H/α = QP + (e3 + e4)P + e3e4Q−1P

+ (e−11 + e−1

2 )Q+ E/α + h−12 e3e4(e5 + e6)Q

−1

+ (e1e2)−1QP−1 + h1(e1e2)

−1(e−17 + e−1

8 )P−1 + h21(e1e2e7e8)

−1Q−1P−1 (6)

により媒介変数表示される [2, 3]．このとき，量子曲線は相似変換

(Q′, P ′) =(Q, (Q+ e3)P (Q+ h1e

−17 )−1

), (Q′, P ′) =

((P + h−1

2 e5)−1Q(P + e−1

1 ), P)

(7)

を通じて変換される．ここで，8個の漸近的な点配置に対する 10個の媒介変数表示と，相似変換 (Q′, P ′) = (AQ,BP )により，2 + 2 = 4個の余分な自由度があるため，ゲージ固定条件e2 = e4 = e6 = e8 = 1を課せる．すると，曲線の対称性として（q = eiℏ）

s3/s4 : (h1, h2, e1, e3, e5) 7→(h1,

qe1e5h1h2

, e1,qe1e3e5h1h2

2

, e5

)/(h1h2

qe1e5, h2,

h2

qe5, e3,

h2

qe1

)(8)

などが得られ，D5ワイル群と同型の対称性である．このワイル群の作用に対して

(h1, h2) = (qh1, q−1h2) (9)

と再定義すると，量子効果 qが完全に取り込まれる．

E6曲線はトーリック表示できる最大次数であるので，同様に進められる．ではより高次の量子曲線，E7曲線やE8曲線の定義式はどのように書き下せるか．本講演ではこれを説明し，時間があればその応用について議論したい．また [4]との関連も議論したい．

References

[1] K. Kajiwara, M. Noumi, Y. Yamada, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical,

50(7), 073001 (2017).

[2] N. Kubo, S. Moriyama and T. Nosaka, JHEP 1901, 210 (2019).

[3] K. Hasegawa, Exploring new structures and natural constructions in mathematical

physics, Mathematical Society of Japan, 2011.

[4] K. Takemura, Journal of Integrable Systems 2.1 (2017): xyx008.

2

-32-

CP1の同変Gromov-Witten理論と同変戸田階層高崎金久 (近畿大学理工学部)

同変戸田階層はリーマン球面 CP1の同変Gromov-Witten (GW) 不変量の母函数を特徴付けるための可積分階層としてGetzkerによって導入された [1]．Getzler自身は母函数の種数 0

部分が同変戸田階層の無分散極限の特殊解であることを示すにとどまったが [2]，Okounkov

と Pandharipandeは全種数の母函数に対して同変戸田階層との関係を確かめた [3]．彼らはKontsevichの局所化計算の方法によって同変GW不変量をグラフ展開し，それをフェルミオンの言葉に翻訳してGetzlerの主張を確認した．その後，MilanovはGiventalの全種数GW不変量再構成法によってGetzlerの主張を再確認し [4]，Tsengとともにその結果をCP1のオービフォルドに拡張した [5]．本講演では，OkounkovとPandharipandeの方法を振り返り，彼らが“dressing operator” と呼んだものに新たな役割が見出せることを報告する．同変戸田階層は2次元（2D）戸田階層の簡約系として捉えられる（MilanovとTsengの論文

[5]の付録を参照されたい）．t = (tk)k≥1と t = (tk)k≥1 を時間変数，sを空間変数，Λをシフト作用素Λ = e∂s (∂s = ∂/∂s）とするとき，2D戸田階層のLax形式は2つの差分型Lax作用素

L = Λ+

∞∑n=1

unΛ1−n, L−1 =

∞∑n=0

unΛn−1

を用いて定式化される．同変戸田階層は

L− ν logL = L−1 − ν log L− ν logQ (1)

という簡約条件で特徴付けられる．ここで ν, Qは同変GW理論のパラメータで，νは 1次元トーラス T のCP1への作用を定める重みである（H∗

T (CP1) ≃ C[h]/(h(h − ν))が成立する）．logLと log LはL = WΛW−1, L = WΛW−1を満たすdressing operator

W = 1 +∞∑n=1

wnΛ−n, W =

∞∑n=0

wnΛn

を用いてlogL = W log ΛW−1, log L = W log ΛW−1, log Λ = ∂s

と定義される．OkounkovとPandharipandeのdressing operator V, V 1は同変GW不変量のフェルミオン表

示の中に登場する．彼らはそれを用いて同不変量の母函数を2D戸田階層のτ函数

τ = ⟨s| exp

( ∞∑k=1

tkJk

)g exp

( ∞∑k=1

tkJ−k

)|s⟩,

g = V −1eJ1QL0eJ−1 V −1

(2)

に書き直した．ここで Jnn∈Zと Lnn∈Zは複素自由フェルミ場に付随するいつもながらのHeisenberg代数とVirasoro代数の基底である．これをW, Wの言葉に翻訳すれば

exp

( ∞∑k=1

tkΛk

)U exp

(−

∞∑k=1

tkΛ−k

)= W−1W (3)

科学研究費No. 18K033501彼らはW,W ∗という記号を用いたが，ここでは前述のW, W と区別するためにV, V と表す．

9

-33-

という因子分解問題の解になる．ここで U は

U = V −1eΛQHeΛ−1V −1, H = s− 1/2

という差分作用素である．差分作用素に翻訳されたV, V （紛らわしいが，同じ記号で表す）は

V = 1 +∞∑n=1

vnΛ−n, V = 1 +

∞∑n=1

vnΛn

という（それぞれ下三角型・上三角型の∞×∞行列に相当する）形をしている．OkounkovとPandharipandeの論文はかなり間接的なやり方でV, V を導入し，それを用いて

同変GW不変量の母函数を (2)の形に書き直している．このτ函数が同変戸田階層の特殊解を与えることは別の論理（同変GW理論に基づく）で説明している．結局V, V の正体はOkounkov

とPandharipandeの論文からはよくわからない 2．ここでは改めて (2)から出発し，V, V を

V (Λ− ν log Λ)V −1 = Λ+H − ν log Λ,

V −1(Λ−1 − ν log Λ)V = Λ−1 +H − ν log Λ(4)

という条件（OkounkovとPandharipandeの考察や最近の論文 [6]から読み取れる）を満たす差分作用素として捉え直す．このような差分作用素（一意的ではない）はνに関するべき級数展開V =

∑∞k=0 ν

kV (k), V =∑∞

k=0 νkV (k) の形で直接的に構成できる．これに基づいて次のこと

が証明できる．定理 因子分解問題 (3)によってW, Wを定めれば，

W (Λ− ν log Λ)W−1 = W (Λ−1 − ν log Λ)W−1 − ν logQ (5)

という等式が成立し，対応するL, Lは同変戸田階層への簡約条件 (1)を満たす．証明の方針 簡約条件 (1)は時間発展で保たれるので，初期時刻 t = t = 0で成立することを示せば十分である．それを示すには (5)が初期時刻において成立することを確かめればよい．W, W の初期値は因子分解問題 (3) （初期時刻では具体的に解ける）から読み取れる．それを用いて計算すれば，初期時刻で (5) が成立することがわかる．

参考文献[1] E. Getzler, The equivariant Toda latice, Publ. RIMS, Kyoto University, 40 (2004), 507–534.

[2] E. Getzler, The equivariant Toda conjecture, arXiv:math/0207025.

[3] A. Okounkov and R. Pandharipande, The equivariant Gromov-Witten theory of P1, Ann. Math.163, (2006), 561–605.

[4] T. E. Milanov, The equivariant Gromov-Witten theory of CP 1 and integrable hierarchies, Int.Math. Res. Not. (2008), rnn 073, 21 pp.

[5] T. E. Milanov and H. H. Tseng, Equivariant orbifold structures on the projective line and inte-grable hierarchies, Adv. Math. 226 (2011), 641–672. arXiv:0707.3172.

[6] A. Oblomkov, A. Okounkov and R. Pandharipande, GW/PT descendent correspondence viavertex operators, arXiv:1806.0071.

2そもそもこの論文にはいくつかのつじつまの合わない記述が目に付く．例えば，論文はV を上三角型，V を下三角型に選ぶと言っているが，これは論文が要求するもう一組の条件 ⟨s|V = ⟨s|, V |s⟩ = |s⟩ と矛盾するように思われる．後の論文 [6]にも同様の記述がある．ことによると，上三角・下三角の定義が我々と違うのかもしれない．

-34-

一般化された量子群の典型的既約指標について

山根　宏之　（富山大学学術研究部理学系）

Kを標数０の体とする。K× := K\0とおく。Iを空でない集合としAを αi|i ∈Iを基とする自由Z加群とする（Aの階数は |I|である）。写像 χ : A×A → K×をχ(λ + µ, ν) = χ(λ, ν)χ(µ, ν), χ(λ, µ + ν) = χ(λ, µ)χ(λ, ν) (λ, µ, ν ∈ A) を満たすものとする。このような χに対して次の公理 (U1)-(U6)を満たす単位元 1をもつ結合的K-代数 U が一意的に存在する。[X,Y ] := XY − Y X (X,Y ∈ U)である。

(U1) U は，生成元Kλ, Lλ (λ ∈ A), Ei, Fi (i ∈ I)をもつ。

(U2) 次の等式が成り立つ。K0 = L0 = 1, KλKµ = Kλ+µ, LλLµ = Lλ+µ, KλLµ =LµKλ, KλEi = χ(λ, αi)EiKλ, KλFi = χ(λ,−αi)FiKλ, LλEi = χ(−αi, λ)EiLλ,LλFi = χ(αi, λ)FiLλ, EiFj − FjEi = δij(−Kαi

+ Lαi).

(U3) 写像 ς1 : A× A → U , (λ, µ) 7→ KλLµ, は単射であり，ς1(A× A)はK上一次独立である。

(U4) U0 := SpanKς1(A × A) とおき，U+ (resp. U−)を 1および Ei (resp. Fi)(i ∈ I)で生成されるU のK-部分代数とする。K-線形写像 ς2 : U

− ⊗ U0 ⊗ U+ → U ,Y ⊗ Z ⊗X 7→ Y ZX, はK-線形同型写像である。

(U5) 次の性質を満たすK-部分空間 Uλ (λ ∈ A)が存在する。U0 ⊂ U0, Ei ∈ Uαi,

Fi ∈ U−αi(i ∈ I), U = ⊕λ∈AUλ, UµUν ⊂ Uµ+ν (µ, ν ∈ A).

(U6) U±λ := Uλ ∩ U± (λ ∈ A)とおく。A+ := ⊕i∈IZ≥0αi (⊂ A)とする。任意

の λ ∈ A+ \ 0に対して X ∈ U+λ |∀i ∈ I, [X,Fi] = 0かつ Y ∈ U−

−λ|∀i ∈I, [Ei, Y ] = 0である。

dimU+λ = dimU−

−λ (λ ∈ A+)が成り立つ。qλ := χ(λ, λ) (λ ∈ A)とおく。写像ord : A → N ∪ ∞を ord(λ) := |∑k

r=0 qrλ|k ∈ Z≥0|により定義する。U+,′ :=

(∑

λ∈A+\0 U+λ ) \ 0とおく。写像 deg : U+,′ → A+ \ 0を deg(X) := λ (X ∈

U+λ ∩ U+,′, λ ∈ A+ \ 0)により定義する。

KharchenkoのPBW定理 ([1, Theorem 2])　 U+,′の部分集合 Sと S上の全順序≤で次の (∗)を満たすものが存在し，R+

χ := deg(S)(⊂ A+ \ 0)は，Sによらずに定まる。

10

-35-

(∗) Xn11 Xn2

2 · · ·Xnkk |Xt ∈ S, 0 ≤ nt < ord(deg(Xt)) (1 ≤ t ≤ k), X1 < X2 < . . . <

Xkは U+のK-基底である。

（明らかに αi ∈ R+χ (i ∈ I)である。）以後，|R+

χ | < ∞と仮定する。このとき deg|Sは単射であり，任意の β ∈ R+

χ に対して β を含む Aの Z-基が存在する。R+,finχ :=

β ∈ R+χ |ord(β) < ∞とおき，R+,inf

χ := β ∈ R+χ |ord(β) = ∞とおく。明らかに

R+χ = R+,fin

χ ∪R+,infχ である。I := i ∈ I|qαi

= 1および R+,infχ := β ∈ R+,inf

χ |qβ = 1とおく。R+,inf

χ = R+,infχ ∪ αi|i ∈ Iが成り立つ。A := ⊕i∈I\IZαi (⊂ A)とおく。G

を Aから Aへの Z-加群の同型写像全体のなす群とする。β ∈ R+,infχ と λ ∈ Aに対

して，χ(β, λ)χ(λ, β) = qkβλβ となる kβ

λ ∈ Zがある。β ∈ R+,infχ に対して sβ ∈ Gを

sβ(λ) := λ− kβλβ (λ ∈ A)により定義する。s2β = eが成り立つ。W を sβ (β ∈ R+,inf

χ )により生成される Gの部分群とする。群の準同型写像 sgn : W → ±1(⊂ Z)でsgn(sβ) = −1となるものが存在する。Z-加群の準同型写像 ρ : A → K×を ρ(αi) := qαi

(i ∈ I)により定義する。β ∈ R+,infχ に対して ρ(β) = q

rββ となる rβ ∈ Zが存在する。

Λ : U0 → KをK-代数の準同型写像とする。U -左加群L(Λ)を，ある vΛ ∈ L(Λ)\0が存在して，EivΛ = 0 (i ∈ I), ZvΛ = Λ(Z)vΛ (Z ∈ U0)であり，L(Λ)λ := UλvΛ(λ ∈ A)とおいて，L(Λ) = ⊕λ∈A+L(Λ)−λであり（µ ∈ A\A+ならばL(Λ)−µ = 0），任意の λ ∈ A+ \ 0に対して，Y ∈ L(Λ)−λ|∀i ∈ I, FiY = 0 = 0を満たすものとする。L(Λ)は U -既約左加群である。以後，dimL(Λ) < ∞を仮定する。このとき，µ ∈ A \ Aに対して dimL(Λ)µ = 0

が成り立つ。β ∈ R+,infχ に対してΛ(KβL−β) = q

nΛβ

β となる nΛβ ∈ Z≥0が存在する。W

のAへの群としての左作用 ·で sβ · λ := sβ(λ) − (rβ + nΛβ )β (β ∈ R+,inf

χ , λ ∈ A)となるものが存在する。

主定理 ([2, Theorem 3.13])　任意の β ∈ R+,finχ に対して ρ(β)Λ(KβL−β) /∈ qtβ|1 ≤

t ∈ ord(β) − 1を仮定する。このとき，任意の λ ∈ Aに対して，次の等式が成り立つ。

dimL(Λ)λ =∑

w∈Wsgn(w) dimU−

λ−w·0.

謝辞：本研究は科研費基盤研究 (C) (課題番号:19K03420) の助成を受けたものである．

References

[1] V. Kharchenko, A quantum analogue of the Poincare-Birkhoff-Witt theorem,Algebra and Logic 38 (1999), no. 4, 259-276.

[2] H. Yamane, Typical Irreducible Characters of Generalized Quantum Groups,preprint, arXiv:1909.08881v2.

-36-

ADE型アフィン量子群の基本表現の間の正規化されたR行列の特異性について

藤田 遼 (京都大学大学院 理学研究科)∗

1. イントロダクション有限次元複素単純Lie代数gに付随する（非捩型）アフィン量子群Uq(g)は体k := Q(q)上のHopf代数であって，包絡環U(g)の由緒正しい量子アフィン化と見なされる．その有限次元表現の圏C := Uq(g)-modの構造はU(g)-modの構造よりずっと複雑で，特にアーベル圏として半単純でない上にモノイダル圏として対称でない（一般にM⊗N ∼= N⊗M）．ここでは，圏 Cの 2つの既約対象のテンソル積の間の絡作用素として実現されるR行列について考える．これらはスペクトル変数付きYang-Baxter方程式を満たす行列値有理関数と見なされる．その特異性はテンソル積表現の可約性を強く反映し，圏 Cのモノイダル構造に関する本質的な情報を含んでいる．

2. ADE型統一分母公式本稿ではADE型Lie代数 gに付随するアフィン量子群Uq(g)の基本表現の間のR行列について述べる．IをgのDynkin図形の頂点集合，(cij)i,j∈IをCartan行列とする．各i ∈ Iに対し，Uq(g)の i次基本表現Vi(z)はスペクトル変数 z ∈ k×に依存する圏Cの既約対象であり，最高ウェイトベクトル vi ∈ Vi(z)を持つ．組 (i, j) ∈ I2に対し，（正規化された）R行列Rij(u)は，スペクトル変数を形式的にとった上で，Uq(g)上の同型

Rij(z2/z1) : Vi(z1)⊗ Vj(z2) → Vj(z2)⊗ Vi(z1),

であって条件Rij(z2/z1)(vi⊗ vj) = vj ⊗ vi を満たすものとして定義される．Rij(u)はスペクトル変数の比u = z2/z1に有理的に依存し，その分母dij(u) ∈ k[u] を考えることに意味がある．分母dij(u)の明示的計算は既に伊達-尾角 [1]（A型），Kang-柏原-Kim [4]

（D型），Oh-Scrimshaw [7]（E型）によってそれぞれ個別に得られている．これに対し，本稿の主定理は分母dij(u)が統一的に記述できることを主張するものである．

定理 1 ([2]). 各 (i, j) ∈ I2に対しR行列Rij(u)の分母dij(u)は次のように書ける：

dij(u) =h−1∏ℓ=1

(u− qℓ+1)cij(ℓ). (1)

ここで，hは gのCoxeter数であり，cij(ℓ)は量子Cartan行列C(z) :=(

zcij−z−cij

z−z−1

)i,j∈I

の逆行列C(z)−1の (i, j)成分を z = 0の周りで級数展開したときの zℓの係数を表す．

3. Dynkin箙の表現論による解釈公式 (1)のひとつの利点は，gと同じADE型のDynkin箙Qの表現論を用いた解釈を持つことである．まず，それを述べるために記号の準備を行う．パリティ関数(ϵi) ∈ 0, 1I

∗ 606-8502 京都市左京区北白川追分町 京都大学 理学研究科 数学教室e-mail: rfujita@math.kyoto-u.ac.jp

11

-37-

を，cij = −1のとき ϵi = ϵjなるように選んでおく．このとき以下の頂点集合∆0と矢集合∆1からなる箙∆ = (∆0,∆1)を考える：

∆0 := (i, p) ∈ I × Z | p ≡ ϵi mod 2,∆1 := (i, p) → (j, p+ 1) | (i, p), (j, p+ 1) ∈ ∆0, cij = −1.

例えばgがD5型のとき，箙∆は次のような形をしている：

··· 55lll %%LLL BB··· 99rrr %%LLL ) )RRR 99rrr

:::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB 99rrr %%LLL ))RRR :::

: %%LLL 99rrr

55lll BB ··· 99rrr··· . %%LLL ))RRR :

:::

Happel [3]によって，箙∆はDynkin箙Qの表現圏の有界導来圏DQ := Db(CQ-mod)

のAuslander-Reiten箙と同型であることが知られている．この同型は，特に集合∆0と圏DQの直既約対象の同型類集合 indDQの間の全単射HQ : ∆0 ≃ indDQ を導く．以上の記号のもとで，次の定理 2は定理 1 と同値である．

定理 2 ([2]). 各 (i, p), (j, r) ∈ ∆0, に対して，R行列Rij(u)のu = qr/qpにおける極の位数はdimC Ext

1DQ

(HQ(j, r), HQ(i, p)) に等しい．

系. 各 (i, p), (j, r) ∈ ∆0に対し，次の3条件は互いに同値である：

• テンソル積表現Vi(qp)⊗ Vj(q

r)は既約である；• Uq(g)加群としての同型Vi(q

p)⊗ Vj(qr) ∼= Vj(q

r)⊗ Vi(qp)が存在する；

• Ext1DQ(HQ(i, p), HQ(j, r)) = 0かつExt1DQ

(HQ(j, r), HQ(i, p)) = 0.

4. 証明と応用について定理 2（ゆえに定理 1）は，既知の個別計算とは独立に，次数付き箙多様体の幾何を用いて証明することができる．このときKeller-Scherotzke [6]による次数付き箙多様体の構造と導来圏DQを結びつける結果が本質的に用いられる．また応用として，Kang-柏原-Kim [5]による量子アフィン型Schur-Weyl双対性の一般化について，それが基本表現の族から生じる場合には次数付き箙多様体の同変K理論を用いた幾何学的な解釈を与えることができる．

参考文献[1] E. Date and M. Okado, Calculation of excitation spectra of the spin model related with

the vector representation of the quantized affine algebra of type A(1)n , Internat. J. Modern

Phys. A 9 (1994), no. 3, 399–417.

[2] R. Fujita, Graded quiver varieties and singularities of normalized R-matrices for funda-mental modules, preprint.

[3] D. Happel, On the derived category of a finite-dimensional algebra, Comment. Math.Helv. 62 (1987), no. 3, 339–389.

[4] S.-J. Kang, M. Kashiwara, and M. Kim, Symmetric quiver Hecke algebras and R-matricesof quantum affine algebras, II, Duke Math. J. 164 (2015), no. 8, 1549–1602.

[5] S.-J. Kang, M. Kashiwara, and M. Kim, Symmetric quiver Hecke algebras and R-matricesof quantum affine algebras, Invent. Math. 211 (2018), no. 2, 591–685.

[6] B. Keller and S. Scherotzke, Graded quiver varieties and derived categories, J. ReineAngew. Math. 713 (2016), 85–127.

[7] S.-j. Oh and T. Scrimshaw, Categorical relations between Langlands dual quantum affinealgebras: Exceptional cases, Comm. Math. Phys. 368 (2019), no. 1, 295–367.

-38-

有限型団代数・階数2の団代数におけるdベクトルとfベクトルの関係式

行田　康晃 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)

1. dベクトルとfベクトル団x = (x1, . . . , xn)，係数y = (y1, . . . yn)，交換行列B = (bij)の組（シード）の変換

b′ij =

−bij if i = ℓ or j = ℓ;

bij + [−biℓ]+bℓj + biℓ[bℓj]+ otherwise.

y′j =

y−1ℓ 　　　 if j = ℓ;

yjy[bℓj ]+ℓ (yℓ ⊕ 1)−bℓj otherwise.

x′j =

xj if j = ℓ;

yℓn∏

i=1

x[biℓ]+i +

n∏i=1

x[−biℓ]+i

(yℓ ⊕ 1)xℓ

if j = ℓ

は ℓに関する変異と呼ばれる [FZ07]．ただし，[x]+ = max(x, 0)とする．この変換を，ℓ

を任意にとりながら，初期条件(xt0 = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . yn), B = (bij))から次々と作用させることを考える．変異は対合であるため，この操作を介して得られるシードはn正則木Tnの頂点と同一視することができる．これを団パターンという，また，団の元xi達のことを団変数という．団パターンに含まれるの団の1つをxt = (x1;t, . . . , xn;t)

とする．係数としてy1 = · · · = yn = 1, 係数間の演算⊕を1⊕1 = 1と定めると，任意の団変数xj;tはx1, . . . , xnの有理関数となるが，このとき特に分母が単項式となる（ローラン現象）．xj;tの分母が x

d1j;t1 · xdnj;t

n であるとき，団 xtに関する j番目の dベクトルdj;tを次で定義する：

dj;t = (d1j;t, . . . , dnj;t)T .

一方，各xj;tについて，y変数y1, . . . , ynの和⊕としてn∏

i=1

yaii ⊕n∏

i=1

ybii =n∏

i=1

ymin(ai,bi)i .

で定まるものを導入し，xj;tに関するF多項式FB;t0j;t (y)を次のように定義する：

FB;t0j;t (y) = xj;t |x1=···=xn=1 .

さらに，FB;t0j;t (y)のyiに関する最大次数をfij;tとしたとき，団xtに関する j番目のfベ

クトル fj;tを次で定義する：

fj;t = (f1j;t, . . . , fnj;t)T .

2010 Mathematics Subject Classification: 13F60

12

-39-

2. 主結果本講演における主結果は次の定理である：

定理 2.1 ([Gyo19, Theorem 1.7]). ランクn（1つの団に含まれる団の個数）が2，または団パターンに含まれる団変数が有限個（有限型）であるような団パターンについて，以下の等式が成立する：任意の i ∈ 1, . . . , n, t ∈ Tnに対して，

[di;t]+ = fj;t. (1)

この定理はfベクトルとdベクトルがランク2や有限型の団代数においては本質的に同等なベクトルであることを示している．また，これは [FZ07, Conjecture 7.17]の部分的解決であり（予想そのものは否定的に解決されている），二部ベルトに付随する頂点 tに付随する団変数に関して (1)を示した [FZ07], 交換行列が歪対象行列であるような有限型について示した [Rin11,GP12]，Cn型について示した [FGL18]の結果の拡張である．

3. fベクトルによる団の一意性予想についての部分的解決次の予想を考える：

予想 3.1 ([GY19, Conjecture 4.4]). 任意の交換行列Bを固定し，そこから定まる団パターンを考える．任意の頂点 t, s ∈ Tnについて，f1;t, . . . , fn;t = f1;s, . . . , fn;sならばx1;t, . . . , xn;t = x1;s, . . . , xn;s.

この予想を fベクトルによる団の一意性予想と呼ぶ．この予想により団に付随するn個の fベクトルを横に並べた行列，F 行列から元のF 多項式が一意的に定まることがわかる．団と係数は [FZ07]によりC行列，G行列と呼ばれる 2つの行列族と，F 多項式で決定されることがわかっているので，この予想が解決されることによって団と係数はC行列，G行列，F 行列の 3つの行列族で決定されることが示される．本講演の主結果を応用することで，この予想の部分的解決を得た：

定理 3.2 ([Gyo19, Theorem 1.10]). 任意のランク2または有限型の団パターンを考える．任意の頂点 t, s ∈ Tnについて，f1;t, . . . , fn;t = f1;s, . . . , fn;sならば x1;t, . . . , xn;t =

x1;s, . . . , xn;s.

参考文献[FGL18] C. Fu, S. Geng, and P. Liu, Cluster algebras arising from cluster tubes I: integer vectors,

2018. preprint, arXiv:1801.00709 [math.RA].

[FZ07] S. Fomin and A. Zelevinsky, Cluster Algebra IV: Coefficients, Comp. Math. 143 (2007),112–164.

[GP12] S. Geng and L. Peng, The dimension vectors of indecomposable modules of cluster-tiltedalgebras and the Fomin-Zelevinsky denominators conjecture, Acta. Math. 28 (2012), no. 3,581–586.

[GY19] Y. Gyoda and T. Yurikusa, F -matrices of cluster algebras from triangulated surfaces, 2019.preprint, arXiv:1902.09317 [math.CO].

[Gyo19] Y. Gyoda, Relation between f -vectors and d-vectors in cluster algebras of finite type or rank2, 2019. preprint, arXiv:1904.00779 [math.RA].

[Rin11] C. M. Ringel, Cluster-concealed algebras, Adv. Math. 226 (2011), no. 2, 1513–1537.

-40-

団代数を用いた A(1)7 型 q-パンルヴェ系の高階化

増田哲 (青山学院大学)大久保直人 (青山学院大学)津田照久 (一橋大学)

概 要

団代数において箙を不変に保つ変異列から様々な離散ソリトン系や q-パンルヴェ系が得られることが知られている [1]．特にBershtein–Gavrylenko–Marshakov[2]は 2階の全ての q-パンルヴェ系について，背景のワイル群対称性を団代数から導出した．我々は「閉路グラフに付随する鏡映」を考えることにより様々なワイル群の双有理的実現を統一的に構成する枠組みを与えた [3]．一方，2階の q-パンルヴェ系のリストに限ってもワイル群の作用が「閉路グラフに付随する鏡映」の形で表されないものが存在する 1．本講演では A

(1)7 型

q-パンルヴェ系とその高階化の例を紹介する．

頂点集合を V = 1, 2, . . . , 2N + 2とし，符号付き隣接行列を

B = (bi,j) = (辺 i → jの本数)

= E2,1 − E1,2 + E2N+2,2N+1 − E2N+1,2N+2 + 22N∑i=2

(Ei+1,i − Ei,i+1) +2N∑i=1

(Ei,i+2 − Ei+2,i)

+ E1,2N+1 − E1,2N+2 − E2,2N+1 + E2,2N+2 − E2N+1,1 + E2N+2,1 + E2N+1,2 − E2N+2,2

とする箙 Qを考える．但し Ei,j は行列単位である．N = 1, 2, 3の場合は下図の通りである．N = 1の場合が A

(1)7 型 q-パンルヴェ系に対応する [2]．

頂点 k ∈ V における箙の変異 Q′ = µk(Q) をある組み合わせ的操作で定め 2，変数y = (yi)i∈V の変異を

y′i = µk(yi) =

yk

−1 (i = k)

yi(1 + yk)

maxbi,k,0

(1 + yk−1)maxbk,i,0(i = k)

と定める [4]．このとき µk2 = id（対合性）および µi µj = µj µi (bi,j = 0)が成り立

つ．一般に変異は箙 Qの形を変えることに注意しておく．

1実際， A(1)7 型および A

(1)6 型曲面に付随する q-パンルヴェ系がそのような例である．

2Q′ = µk(Q)は Qに対して次の手順で定める．(1) i → k → j という部分グラフごとに辺 i → j を加え，(2) kを含むすべての辺の向きを反転し，(3)現れた 2-閉路を消す．

13

-41-

定理 1 組 (Q,y)の変換

t0 = (2N + 2, 2N + 1, . . . , 2, 1) µ1,

t1 = (1, 2, . . . , 2N + 1, 2N + 2) µ2N+2,

π = (1, 2N + 2) (2, 2N + 1) · · · (N + 1, N + 2) ι

を考える．但し (i1, i2, . . . , ik)は箙 Qの頂点の巡回置換とし，辺の向きを一斉に反転する操作 ιは ι(yi) = 1/yi (∀i)と作用する．

(1)変換 t0, t1, πは箙 Qを不変に保つ．(2)双有理変換群 G = ⟨t0, t1, π⟩は次の基本関係を満たす．

t0t1 = t1t0 = π2 = id, t0 = πt1π

証明 (1)は箙の変異の定義から容易に確かめられる．また，頂点の互換 (i, j)に対し(i, j) µi = µj (i, j)が成り立つことと変異の対合性から (2)は分かる．

上記の双有理変換群は A(1)1 型の拡大アフィン・ワイル群と同型である．符号付き隣

接行列 B はあるユニモジュラー行列 U = (u1, . . . ,u2N+2) ∈ GL2N+2(Z)によって

TUBU =

(0 1

−1 0

)⊕N

⊕

(0 0

0 0

)と標準化できる．そこで

fi = yu2i−1 , gi = yu2i (i = 1, . . . , N), b0 = yu2N+1 , b1 = yu2N+2

とおくと [3, 5]と同様の議論により次が従う．

定理 2 双有理変換群 G = ⟨t0, t1, π⟩は 2-形式 ω =N∑i=1

dfi ∧ dgifigi

を保つ．

即ち b0, b1は離散力学系のパラメタと看做せる．実際，これらの変数への t0の作用は

t0 : b0 7→ q−1b0, b1 7→ qb1 （q =∏

i∈V yi：定数）

となる．N = 1の場合，t0の作用は A(1)7 型 q-パンルヴェ系の時間発展そのものである．

尚，離散KdV方程式に対応する無限グラフの簡約化からも同じ箙 Qが得られる [6]．

参考文献[1] N. Okubo, Bilinear equations andq-discrete Painleve equations satisfied by variables and coeffi-

cients in cluster algebras, J. Phys. A48 (2015) 355201.

[2] M. Bershtein, P. Gavrylenko and A. Marshakov, Cluster integrable systems,q-Painleve equationsand their quantization, J. High Energy Phys.2018, 077.

[3] 増田哲, 大久保直人, 津田照久, Birational Weyl group actions via mutation combinatorics incluster algebras, RIMS講究録 2127(2019)に所収；津田照久，日本数学会 2019年度秋季総合分科会・無限可積分系セッション特別講演．

[4] S. Fomin and A. Zelevinsky, Cluster algebras. IV. Coefficients, Compos. Math.143(2007) 112–164.

[5] A. P. Fordy and A. Hone, Discrete integrable systems and Poisson algebras from cluster maps.Comm. Math. Phys.325(2014) 527–584.

[6] N. Okubo, Co-primeness preserving higher dimensional extension ofq-discrete Painleve I, IIequations, arXiv:1704.05403.

-42-

Another proof of difference equations for interpolationJack polynomials

渋川 元樹 (神戸大学・理)∗

概 要

Knop-Sahiにより与えられた補間Jack多項式の高階差分方程式の, 構成的な別証明を述べる.

r, k ∈ Z>0, d, α ∈ Rとし, Pを長さ r以下のpartitionsの集合

P := m := (m1, . . . ,mr) ∈ Zr≥0 | m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr

とする. 以下断らない限り, m,n,k,x ∈ P , z ∈ Crとし,

er,k(z) :=∑

1≤i1<···<ij≤r

zj1 · · · zjr , |z| := er,1(z), ∆(z) :=∏

1≤i<j≤r

(zi − zj),

H(J)r,k (z) :=

k∑l=0

(2

d

)k−l ∑I⊂[r]|I|=l

1

∆(z)

(∏i∈I

zi∂zi

)∆(z)

∑J⊂[r]\I|J |=k−l

(∏j∈J

zj∂zj

),

S(d)r (u; z) :=

r∑l=0

H(J)r,l (z)u

r−l, I(d)r (u;x) :=

(2

d

)r r∏k=1

(xk +

d

2(u+ r − k)

)とする. 任意のk ∈ Pに対し, Pk

(z; d

2

)= Pk

(z1, . . . , zr;

d2

)を r変数のJack多項式とす

る. 更に補間Jack多項式P ipk

(z; d

2

)を, (1)ip vanishing property

P ipk

(m+

d

2δ;

d

2

)= 0 unless k ⊂ m ∈ P

と, (2)ip 正規化条件

P ipk

(z;

d

2

)= Pk

(z;

d

2

)+ (lower terms) (1)

の2条件を満たすものとして定義する (一意に定まる). また便宜の為に

Φ(d)k (z) :=

Pk

(z; d

2

)Pk

(1; d

2

) , Ψ(d)k (z) :=

Pk

(1; d

2

)P ipk

(k+ d

2δ; d

2

)Φ(d)k (z) =

Pk

(z; d

2

)P ipk

(k+ d

2δ; d

2

)とおく.

補題 1.

e|z|Ψ(d)k (z) =

∑k⊂n

(n

k

)(d)

Ψ(d)n (z). (2)

キーワード：Jack polynomials, interpolation (shifted) Jack polynomials, difference equations∗ 657-8501　兵庫県神戸市灘区六甲台町 1-1　神戸大学大学院理学科学研究科e-mail: g-shibukawa@math.kobe-u.ac.jp

14

-43-

補題 2. 任意の0 ≤ p ≤ rについて,[(ad |z|)p

p!S(d)r (u; z)

]Ψ

(d)k (z) =

∑J⊂[r]|J |=p

Ψ(d)

kJ (z)h(d)−,J(k

J)I(d)Jc (u;k). (3)

ただし, Jc := [r] \ J , ϵj := (δij)1≤i≤r ∈ Zr, kJ = k+∑

j∈J ϵj

h(d)±,J(x) :=

∏j∈J,k∈Jc

xj − xk − d2(j − k)± d

2

xj − xk − d2(j − k)

, I(d)Jc (u;k) :=

(2

d

)r ∏k∈Jc

(xk +

d

2(u+ r − k)

)とする.

補題 1.と補題 2.より次を得る.

定理 3 (Knop-Sahi [2]). 後退差分作用素を

Txjf(x) := f(x− ϵj), T J

x :=∏j∈J

Txj

とし,

D(d) ipr (u;x) :=

∑J⊂[r]

(−1)|J |I(d)Jc (u;x)h

(d)−,J(x)

∏j∈J

(xj +

d

2(r − j)

)T Jx ,

D(d) ipr,p (x) :=

∑J⊂[r]

0≤|J |≤p

(−1)|J |er−|J |,p−|J |

((x+

d

2δ

)Jc

)h(d)−,J(x)

∏j∈J

(xj +

d

2(r − j)

)T Jx

とおく. 任意のx ∈ Cr, k ∈ Pに対し,

D(d) ipr (u;x)P ip

k

(x+

d

2δ;

d

2

)= P ip

k

(x+

d

2δ;

d

2

)I(d)r (u;k),

D(d) ipr,p (x)P ip

k

(x+

d

2δ;

d

2

)= P ip

k

(x+

d

2δ;

d

2

)er,p

(k+

d

2δ

).

また任意のu, v ∈ Cに対し,

[D(d) ipr (u;x), D(d) ip

r (v;x)] = 0.

特に i, j ∈ [r]について[D

(d) ipr,i (x), D

(d) ipr,j (x)] = 0.

参考文献[1] T. H. Koornwinder : Okounkov’s BC-type interpolation Macdonald polynomials and their

q = 1 limit, Sem. Lothar. Combin, 72 (2014/15), 27pp.

[2] F. Knop and S. Sahi : Difference equations and symmetric polynomials defined by theirzeros, Internat. Math. Res. Notices, 10 (1996), 473–486.

[3] I. G.Macdonald : Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford UniversityPress, 1995. 　

-44-

Variants of confluent q-hypergeometric

equations

松縄 竜弥 (中央大学大学院 理工学研究科)

佐藤 智輝 (中央大学大学院 理工学研究科)

竹村 剛一 (お茶の水女子大学 基幹研究院)

初等関数に続く重要な関数たちとして様々な特殊関数が知られている。代表的

な特殊関数として超幾何関数があり、これはリーマン球面上で3点 0, 1,∞ に

確定特異点をもつ超幾何微分方程式をみたす。そして、特異点の合流操作により、

クンマーの合流型超幾何関数、放物柱関数などの特殊関数が現れる。

超幾何関数の q-変形として、q超幾何級数は

2φ1(a, b; c; x) =

∞∑

n=0

(a; q)n(b; q)n(q; q)n(c; q)n

xn, (λ, q)n =

n−1∏

i=0

(1− λqi).

により定められる。これは、q超幾何方程式

(x− q)f(x/q)− ((a+ b)x− q − c)f(x) + (abx − c)f(qx) = 0.

の解となっている。q → 1 の極限において、通常の超幾何級数と超幾何微分方程

式に移行する。q超幾何級数や q超幾何方程式においても、合流操作で得られる

関数や q差分方程式がいくつか知られている ([3])。

[1]において、特異点が t1, t2, ∞ (0 6= t1 6= t2 6= 0)となる超幾何微分方程式の q

変形 (2次の変異版 q超幾何方程式, the variant of the q-hypergeometric equation

of degree 2) が導入された。2次の変異版 q超幾何方程式は

(x− qh1+1/2t1)(x− qh2+1/2t2)g(x/q) + qα1+α2(x− ql1−1/2t1)(x− ql2−1/2t2)g(qx)

− [(qα1 + qα2)x2 + Ex+ p(q1/2 + q−1/2)t1t2]g(x) = 0, (1)

p = q(h1+h2+l1+l2+α1+α2)/2, E = −p(q−h2 + q−l2)t1 + (q−h1 + q−l1)t2

という形で与えられ、これは q ホイン方程式でパラメーターを特殊化したものと

なっている。

この差分方程式の解は、[1] でいくつか求められている。λ = (h1 + h2 − l1 −

l2 − α1 − α2 + 1)/2 とおくことで、

g1(x) =x−α1

∞∑

ℓ=0

∞∑

k=0

(qλ+α1 ; q)k+ℓ

(qα1−α2+1; q)k+ℓ

(qλ+α1−h2+l2 ; q)k(qλ+α1−h1+l1 ; q)ℓ

(q; q)k(q; q)ℓ· (2)

(ql1+1/2t1x−1)k(ql2+1/2t2x

−1)ℓ

本研究は科研費 (課題番号:18K03378)の助成を受けたものである。

15

-45-

は一つの解となっており、他の解として次のものがある。

g2(x) = xλ

∞∑

n=0

(x/(ql1−1/2t1); q)nqn (qλ+α1 ; q)n(q

λ+α2 ; q)n(qh1−l1+1; q)n(qh2−l1+1t2/t1; q)n(q; q)n

.

本講演においては、2次の変異版 q超幾何方程式とその解について、合流操作

を考察する ([2])。

第一の合流は、式 (1) において qα2+l2 = qh1+h2−l1−α1+1−2λ を固定したうえで

qα2 → 0 という極限で得られるものであり、次式で与えられる。

qh1+h2−l1−2λ+1/2t2(ql1−

1

2 t1 − x)g(qx) + (x− qh1+1

2 t1)(x− qh2+1

2 t2)g(x/q) (3)

− [qα1x2 − qh1+h2−λ+1/2(q−h2t1 + q−h1t2 + q−l1t2)x

+ qh1+h2−λ(q + 1)t1t2]g(x) = 0.

式 (2) の関数から極限操作で得られる

x−α1

∞∑

ℓ=0

∞∑

k=0

(qλ+α1 ; q)k+ℓ(qλ+α1−h1+l1 ; q)ℓ

(q; q)k(q; q)ℓq−ℓ(ℓ+2k−1)/2 (4)

(q−λ−α1+h1+1/2t1x−1)k(−q−2λ−2α1−l1+h1+h2+1/2t2x

−1)ℓ

は、q-差分方程式 (3) の一つの解となっている。

第二の合流は、式 (3) において q−l1 → 0 として得られ、次式で与えられる。

qh1+h2−2λt1t2g(qx) + (x− qh1+1/2t1)(x− qh2+1/2t2)g(x/q) (5)

− [qα1x2 − qh1+h2−λ+1/2(q−h2t1 + q−h1t2)x+ qh1+h2−λ(q + 1)t1t2]g(x) = 0.

式 (4) の関数から極限操作で得られる

x−α1

∞∑

ℓ=0

∞∑

k=0

(qλ+α1 ; q)k+ℓ

(q; q)k(q; q)ℓq−kℓ(q−λ−α1+h1+1/2t1x

−1)k(q−λ−α1+h2+1/2t2x−1)ℓ (6)

は、q-差分方程式 (5) の一つの解となっている。

参考文献

[1] N. Hatano, R. Matsunawa, T. Sato, K. Takemura, Variants of q-hypergeometricequation, arXiv:1910.12560.

[2] R. Matsunawa, T. Sato, K. Takemura, Variants of confluent q-hypergeometric equa-tions, in preparation.

[3] Y. Ohyama, A unified approach to q-special functions of the Laplace type,arXiv:1103.5232.

-46-

4次元Painleve型差分方程式について

川上 拓志 (青山学院大学)∗

最近，講演者は坂井秀隆氏，中村あかね氏との共同研究 [3]及び [1]において，相空間が 4次元であるPainleve型微分方程式の分類を行った．具体的には，大島利雄氏によるアクセサリーパラメータが4つのFuchs型微分方程式の分類 [4]

特異点の数 = 5 11,11,11,11,11

4 21,21,111,111 31,22,22,1111 22,22,22,211

3 211,1111,1111 221,221,11111 32,11111,11111

222,222,2211 33,2211,111111 44,2222,22211

44,332,11111111 55,3331,22222 66,444,2222211

の中で，連続的なモノドロミー保存変形を許容する特異点が4点・5点のFuchs型方程式からスタートし，「特異点の合流」及び「不確定特異点における形式的標準形の退化」を可能な限り行い，その結果得られた線型方程式のモノドロミー保存変形を考えることで40個のPainleve型微分方程式のなす退化図式を得た．この研究により，特に相空間が 4次元の場合についてはPainleve型微分方程式の全貌がつかめたと言ってよい状況である．

注. 上の表の 11,11,11,11,11などの数字は Fuchs型微分方程式のスペクトル型である．Fuchs型方程式系

dY

dx=

n∑j=1

Aj

x− uj

Y (Aj ∈ M(m,C), 簡単のため対角化可能とする) (1)

に対し，Aj (j = 1, . . . , n,∞,ただしA∞ := −∑n

j=1Aj) の固有値が θj1, . . . , θjljでそれ

ぞれの重複度が mj1, . . . ,m

jljであるとき，m の分割 Pj = mj

1 . . .mjljの (n+ 1) 個の組

P1, . . . ,Pn,P∞ を方程式 (1)のスペクトル型と呼ぶ．スペクトル型はFuchs型でない微分方程式に対しても定義されるが，ここでは省略する．

一方，相空間が 2次元の場合は離散 Painleve方程式を基本とした枠組みが存在し，Painleve（微分）方程式もその中に自然に位置づけられることが知られている（坂井理論 [5]）．従って，4次元（あるいはさらに高次元）の場合にも2次元の場合と同様，離散方程式を基本とした枠組みを構築したい．そのために，講演者は上の表の特異点を3つしか持たない9つのFuchs型方程式に着目する．特異点3点のFuchs型方程式は（非自明な）連続的モノドロミー保存変形を持たないが，離散的モノドロミー保存変形（Schlesinger変換と呼ばれる）は可能である．従ってその9つのFuchs型方程式からは相空間が4次元のPainleve型加法的差分方程式が得られる．本講演では，スペクトル型の間にある同値関係を定義することでそれら 9つの間に木構造が成り立ち，それがPainleve型差分方程式の退化図式を与えることが期待されるということを指摘したい．∗ 252-5258 神奈川県相模原市中央区淵野辺 5-10-1　青山学院大学 理工学部e-mail: kawakami@gem.aoyama.ac.jp

16

-47-

S1, S2 を（Fuchs型とは限らない）線型常微分方程式のスペクトル型としたとき，これらの間に同値関係を次のように定義する．

定義. S1 ∼ S2def⇐⇒ スペクトル型 S1を持つ線型方程式から，Mobius変換，（逆）Laplace

変換，additionの有限回の合成で，スペクトル型 S2 を持つ線型方程式が得られる．

ここで additionとは，係数行列をスカラー行列でずらす変換で，スカラーゲージ変換で実現できる．スペクトル型 S の同値類を [S] と書くことにする．

定義. [S1] → [S2]def⇐⇒ S1, S2 と同値なスペクトル型を持つ線型方程式 E1, E2 が存在

して，E1 から特異点の合流または形式的標準形の退化で E2 が得られる．

なぜこのような定義をするかというと，

予想. 離散的モノドロミー保存変形方程式はLaplace変換で不変．

が成り立つと予想されるからである（Mobius変換，additionで不変なことは明らかである）．すなわち，直観的には変形方程式が同じ線型方程式を同値と見なすということである．このとき次が成り立つ．

定理. 上の表の特異点3点のスペクトル型の同値類の間に下のような図式が成り立つ．

[44, 332, 18] //

888

8888

8888

8888

//

AA[66, 444, 2511]

[32, 15, 15]

[33, 2211, 16]

[55, 3331, 25]

[44, 24, 22211]

//

//

BB

//

[211, 14, 14]

[221, 221, 15]

[222, 222, 2211]

::uuuuuuuuuuu

%%JJJJJ

JJJJJJ

::uuuuuuuuuu

$$III

IIII

III

//

[11,11,11,11,11] · · ·

[21,21,111,111] · · ·

[31,22,22,1111] · · ·

[22,22,22,211] · · ·

離散的変形も共に考えると，退化図式が2つの流れに統合されることが見て取れる．議論の詳細については，[2]を参照していただければ幸いである．

参考文献[1] H. Kawakami, Four-dimensional Painleve-type equations associated with ramified linear

equations I: Matrix Painleve systems, to appear in Funkcial. Ekvac., arXiv:1608.03927,II: Sasano systems, Journal of Integrable Systems, Volume 3, Issue 1 (2018), xyy013, III:Garnier systems and Fuji-Suzuki systems, SIGMA 13 (2017), 096, 50 pages.

[2] H. Kawakami, Four-dimensional Painleve-type difference equations, arXiv:1802.00116.

[3] H. Kawakami, A. Nakamura, and H. Sakai, Degeneration scheme of 4-dimensionalPainleve-type equations, MSJ Memoirs 37 (2018), 25–111.

[4] T. Oshima, Fractional calculus of Weyl algebra and Fuchsian differential equations, MSJMemoirs 28 (2012).

[5] H. Sakai, Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of thePainleve equations, Comm. Math. Phys. 220 (2001), 165–229.

-48-

行列第六Painleve系の q-類似

川上 拓志 (青山学院大学)∗

近年，Painleve方程式の一般化に関する研究が活発になされているが，Painleve方程式の（特に第六Painleve方程式の）拡張としては次の4つが代表的であると思われる：Garnier系（多変数拡張），Fuji-Suzuki-Tsuda系（A 型 affine Weyl群対称性を持つ拡張），Sasano系（D 型affine Weyl群対称性を持つ拡張），行列第六Painleve系（非可換拡張）．この中で行列Painleve系以外についてはその q-類似が知られているが，今回，行列第六Painleve系の q-類似を構成したので報告する．方法としては，ある種の線型 q-差分方程式の接続保存変形を考えるのであるが，その線型方程式はスペクトル型により特徴づけられる．次のような 2m× 2m の線型 q-差分方程式系

Y (qx, t) = A(x, t)Y (x, t), A(x, t) = A2x2 + A1(t)x+ A0(t) (1)

を考える．ここで

A2 = diag(m︷ ︸︸ ︷

κ1, . . . , κ1,

m−1︷ ︸︸ ︷κ2, . . . , κ2, κ3), A0(t)

相似∼ diag(

m︷ ︸︸ ︷θ1t, . . . , θ1t,

m︷ ︸︸ ︷θ2t, . . . , θ2t).

また，A(x, t) は（x の多項式行列として）次のSmith標準形を持つとする：

A(x, t)対等∼

(Im O

O∏4

i=1(x− αi)Im

), αi =

ait (i = 1, 2),

ai (i = 3, 4).

従ってこの方程式のスペクトル型は (m,m;m,m− 1, 1;m,m,m,m) である（線型 q-差分方程式のスペクトル型については [3]を参照されたい）．このとき線型 q-差分方程式(1)は（genericには）次のように書けることがわかる：

A(x, t) =

(WKκ1(xIm − F )(xIm −α) + κ1G1K−1W−1 WK(xIm − F )

κ1(γx+ δ)W−1 K(xIm − β)(xIm − F ) +KG2

).

ただし G1 = q−1κ−11 (F − a1tIm)(F − a2tIm)G

−1, G2 = qκ1G(F − a3Im)(F − a4Im) であり，F , G, W は m×m 行列である．α, . . . , δ も m×m 行列で F , G で書ける．さらに F と G は次の交換関係を満たす：

F−1GFG−1 = ρK, ρ =a1a2a3a4κ1

θ1θ2, K = diag(

m−1︷ ︸︸ ︷κ2, . . . , κ2, κ3). (2)

この関係式により，F と G が（gaugeの自由度を除くと）2m 個のアクセサリーパラメータで書けることがわかる．t は変形パラメータである．この線型 q-差分方程式 (1)の接続保存変形は，ある t 方向の方程式

Y (x, qt) = B(x, t)Y (x, t)

と (1)が両立することと同値になるが，その両立条件は次の F , G, W についての非線型 q-差分方程式（神保-坂井の q-PVI [1] の非可換拡張とも見なせる）で記述される．∗ 252-5258 神奈川県相模原市中央区淵野辺 5-10-1　青山学院大学 理工学部e-mail: kawakami@gem.aoyama.ac.jp

17

-49-

定理. (1)の接続保存変形は次の非線型 q-差分方程式系と同値（バーは t に関する q-

シフトを表す）：

FKF =θ1θ2

κ1a1a2

(G− t

a1a2θ1

)(G− t

a1a2θ2

)(G− q−1κ−1

1

)−1 (G− ρ

)−1, (3)

GKG = q−1κ−11 (F − a1t)(F − a2t)(F − a3)

−1(F − a4)−1, (4)

W−1W = qκ1(G−K−1)−1(G− q−1κ−1

1

)K−1, (5)

及び交換関係 (2)．

方程式系 (3), (4)は連続極限 q → 1により行列第六Painleve系を導く．実際，q = e−ε

とおき，新しいパラメータ σi, ζi, µi を次で定める：

θi = e−εσi (i = 1, 2), ai = eεζi (i = 1, . . . , 4), κi = eεµi (i = 1, 2, 3).

さらに新しい従属変数 Q, P を次で定める：

F = Q, G = eε(ζ2+ζ4+σ2)eε(QP+I)(Q− eεζ1tI)(Q− eεζ4I)−1

かつ

Q = (Q− I)−1(Q− tI),

P =1

t− 1(Q− I)

P (Q− I) + ζ1 + ζ4 + µ1 + σ1 − (ζ1 − ζ2)Q

−1 + (σ1 − σ2)(t− 1)(Q− tI)−1.

このとき，ε → 0 により，Q, P は次の行列第六Painleve系を満たすことがわかる：

t(t− 1)dQ

dt= (Q− t)PQ(Q− 1) +Q(Q− 1)P (Q− t)

+ (σ1 − σ2 + 1)Q(Q− 1) + (ζ + 2µ1 + σ1 + σ2 − 1)Q(Q− t) + (ζ1 − ζ2)(Q− 1)(Q− t),

t(t− 1)dP

dt= −(Q− 1)P (Q− t)P − P (Q− t)PQ− PQ(Q− 1)P

− [(σ1 − σ2 + 1)P (Q− 1) +QP+ (ζ + 2µ1 + σ1 + σ2 − 1)P (Q− t) +QP+(ζ1 − ζ2)P (Q− t) + (Q− 1)P]

− (ζ1 + ζ3 + σ1 + µ1)(ζ1 + ζ4 + σ1 + µ1).

ここで ζ := ζ1 + · · · + ζ4．F と G の交換関係 (2)を ε に関して展開して ε1 の係数を見るとP , Q の交換関係

PQ−QP = (ζ1 + · · ·+ ζ4 + σ1 + σ2 + µ1)Im +M, M = diag(m−1︷ ︸︸ ︷

µ2, . . . , µ2, µ3)

を得る．議論の詳細については，現在準備中の論文 [2]を参照していただければ幸いである．

参考文献[1] M. Jimbo and H. Sakai, A q-analog of the sixth Painleve equation, Lett. Math. Phys. 38

(1996), 145–154.

[2] H. Kawakami, A q-analogue of the matrix sixth Painleve system, in preparation.

[3] H. Sakai and M. Yamaguchi, Spectral types of linear q-difference equations and q-analogof middle convolution, Int. Math. Res. Not., Volume 2017, Issue 7 (2017), 1975–2013.

-50-

6パラメータのG2型楕円超幾何積分が満たすq差分方程式系について

伊藤 雅彦 (琉球大学・理)

野海 正俊 (神戸大学・理)

以下 |p| < 1であるp ∈ C∗を固定し, 記号

θ(x; p) = (x; p)∞(px−1; p)∞, (x; p)∞ =∏∞

i=0(1− pix)

を用いる. また, θ(x1, . . . , xk; p) = θ(x1; p) · · · θ(xk; p)とする. Ruijsenaars の楕円ガンマ函数は

Γ(x; p, q) =(pqx−1; p, q)∞(x; p, q)∞

, (x; p, q)∞ =∞∏

i,j=0

(1− piqjx) (|p| < 1, |q| < 1)

により定義される. 記号Γ(x1, . . . , xk; p, q) = Γ(x1; p, q) · · ·Γ(xk; p, q)を用いる.

ここ数年, 講演者らはG2型ルート系に付随する q超幾何積分や楕円超幾何積分に関する性質を研究している ([1], [2]). 2018年度の日本数学会で以下の公式が成立することを紹介した.

定理.([2, 3]) ak ∈ C∗ (1 ≤ k ≤ 5)は |ak| < 1を満たすとする. z1z2z3 = 1とし, 平衡条件

a21a22a

23a

24a

25 = pq

の下で以下が成立する:

(p; p)2∞(q; q)2∞12 (2π

√−1)2

∫∫T2

∏3i=1

∏5k=1 Γ(akzi, akz

−1i ; p, q)∏

1≤i<j≤3 Γ(zizj, z−1i zj, ziz

−1j , z−1

i z−1j ; p, q)

dz1z1

dz2z2

=5∏

i=1

Γ(a2i ; p, q)

Γ(ai; p, q)

∏1≤i<j≤5

Γ(aiaj; p, q)∏

1≤i<j<k≤5

Γ(aiajak; p, q)∏

1≤i<j<k<l≤5

Γ(aiajakal; p, q).

(1)

ただし積分路T2は単位円の直積(z1, z2) ∈ C2 | |zi| = 1 (i = 1, 2) を表す.

本講演では, (1)の左辺の積分に含まれるパラメータ aiを 5個から 6個に拡張した場合を考察する。

G2型楕円超幾何積分.

ak ∈ C∗ (1 ≤ k ≤ 6)は |ak| < 1を満たすとする. z1z2z3 = 1とし

I(a1, a2, a3, a4, a5, a6)

=(p; p)2∞(q; q)2∞12 (2π

√−1)2

∫∫T2

∏3i=1

∏6k=1 Γ(akzi, akz

−1i ; p, q)∏

1≤i<j≤3 Γ(zizj, z−1i zj, ziz

−1j , z−1

i z−1j ; p, q)

dz1z1

dz2z2

(2)

とおく. I(a1, a2, a3, a4, a5, a6)は以下の三項間の q差分方程式を満たす.

本研究は科研費 [課題番号:(B)15H03626, (C)18K03339]の助成を受けたものである.

18

-51-

定理1. 平衡条件 a1a2a3a4a5a6 = −p の下で以下の三項間関係式が成立する:

c1I(qa1, a2, a3, a4, a5, a6) + c2I(a1, qa2, a3, a4, a5, a6) + c3I(a1, a2, qa3, a4, a5, a6) = 0.

ただし, 係数 c1, c2, c3は, i, j, k = 1, 2, 3とするとき, 以下で与えられる.

ci =θ(−aka

−1j ; p)

akθ(−ai, aiaj, aia−1j , aiak, aia

−1k ; p)

6∏l=4

θ(alajak; p)

θ(alai; p). (3)

定理2. 平衡条件 a1a2a3a4a5a6 = −pq−1の下で以下の三項間関係式が成立する:

c23I(a1, qa2, qa3, a4, a5, a6)+c13I(qa1, a2, qa3, a4, a5, a6)+c12I(qa1, qa2, a3, a4, a5, a6) = 0.

ただし係数 c23, c13, c12は, i, j, k = 1, 2, 3とするとき, 以下で与えられる.

cjk =a4i θ(a

2i , qa

2i , qaiaj, qaiak; p)

θ(ai, aia−1j ,−aia

−1j , aia

−1k ,−aia

−1k ; p)

6∏l=4

θ(aial; p)∏

4≤m<n≤6

θ(aiaman; p). (4)

Tq,uで変数uに関する qシフト作用素を表すことにする; Tq,uf(u) = f(qu). 定理 1と2を組み合わせることで, 平衡条件a1a2a3a4a5a6 = −pqの下で, 積分 (2)が満たす1階連立のq差分方程式系が得られる. つまり, a6 = −pq(a1a2a3a4a5)

−1をI(a1, a2, a3, a4, a5, a6)

に代入した関数を I = I(a1, a2, a3, a4, a5)と書いてa1, a2, . . . , a5の関数とみなすと, Iが満たす階数2の q差分方程式系が以下で与えられる.

Tq,a1(I , Tq,a2 I ) = (I , Tq,a2 I )A, ただし A =

(c6 0

c2 c26

)(c1 c160 c12

)−1

.

ここで行列成分の ciは (3)でa3 ↔ a6の入れ替えの後a6 → q−1a6に置き換えたもの. また cijは (4)で a3 ↔ a6の入れ替えの後 a6 → q−2a6に置き換えたもの. 特に係数行列A

の行列式はdetA =

c6c26c1c12

で与えられる.

講演では, 定理1, 2の導出方法, 途中の計算に使ったテータ関数の関係式を紹介する.

また, 定理 2で a3 = ±p12 q−

12 のようにパラメータを特殊化すると (4)で c12 = 0となり,

三項間関係式が二項間関係式に退化する. そのことを応用して公式 (1)の別証明が得られることも紹介する.

参考文献[1] 伊藤,宮永,野海:G2型Weyl群不変な q超幾何積分の行列式公式,日本数学会 2018年度年会 無限可積分系セッション（東大）講演アブストラクト, 6–7.

[2] 伊藤,野海:G2型Gustafson q-ベータ積分の楕円化とその無限積表示について,日本数学会 2018年度秋季総合分科会 無限可積分系セッション（岡山大）講演アブストラクト, 11–12.

[3] M. Ito and M.Noumi: Elliptic extension of Gustafson’s q-integral of type G2, arXiv:1902.04858.

-52-

パデ法とq-quadratic差分ガルニエ系たち

長尾秀人（明石工業高等専門学校・一般科目）

山田泰彦（神戸大学大学院・理学研究科）

パデ補間を応用して， q-quadratic差分ガルニエ系に対する，時間発展方程式，ラックス形式および超幾何関数型特殊解の行列式表示を構成した．本講演では，その結果について報告する．

1. q差分ガルニエ系 (q-GN)の線形方程式 L1(z) = 0　

L1(x) ∝ AN+1(x)FN(x/q)y(qx) + qc1c2BN+1(x/q)FN(x) − R2N+1(x)y(x) = 0. (1)

ここで∏N+1

i=1 ai/bi = q∏2

i=1 ci/di, A(x) =∏N+1

i=1 (x − ai), B(x) =∏N+1

i=1 (x − bi), FN(x) =∑N

i=0 fixi,R2N+1(x) =

∑2N+1i=0 rixi.

R2N+1(z)の特徴付け • 特性指数 d1, d2 at x = 0, c1, c2 at x = ∞.

• 2N個の見かけの特異点 i.e. FN(x)FN(x/q)の零点 q-GNは [4]で定義された系と等価である．2. q-quadratic差分ガルニエ系 (qq-GN)の線形方程式 L1(z) = 0　

L1(z) ∝ AN+1(z)BN+1(k/z)w1(z/q)FN−1(z/q)y(qz)+AN+1(qk/z)BN+1(z/q)w1(z)FN−1(z)−R2N+1(z)y(z) = 0.(2)

ここで∏N+1

i=1 ai/bi = qc1c2, A(z) =∏N+1

i=1 (z − ai), B(z) =∏N+1

i=1 (z − bi),w1(z) = z − k/z, FN−1(z) =

∑N−1i=0 fi(z + k/z)i, R2N+1(z) =

∑2N+1i=−2N−1 rizi.

R2N+1(z)の特徴付け • qk-antisymmetry対称性 i.e. R2N+1(qk/z) = −R2N+1(z)

• 特性指数 1/c1, 1/c2 at z = 0, c1, c2 at z = ∞.

• 2N個の見かけの特異点 i.e. w(z)FN−1(z)の零点 N = 2の場合は E7型パンルヴェ方程式になる．

3. 合流型 q-quadratic差分ガルニエ系 (qq-GcN)の線形方程式 L1(z) = 0　

L1(z) ∝ AN+1(z)BN+1(k/z)w1(z/q)FN−2(z/q)y(qz)+AN+1(qk/z)BN+1(z/q)w1(z)FN−2(z)−R2N(z)y(z) = 0.(3)

ここで∏N+1

i=1 ai/bi = qc21.

19

-53-

R2N(z)の特徴付け • qk-antisymmetry対称性 i.e. R2N(qk/z) = −R2N(z)

• 特性指数 1/c1, q/c1 at z = 0, c1, c1/q at z = ∞.

• 2N − 2個の見かけの特異点 i.e. w(z)FN−2(z)の零点 N = 3の場合は E8型パンルヴェ方程式になる．qq-Gc

Nは [3]で定義された系と等価である．

4. パデ法　適当な特殊多項式の母関数 ψ(x)を与え,パデ補間の問題

ψs =Pm(xs)Qn(xs)

(s = 0, 1, . . .m + n) (4)

(Pm, Qnはそれぞれ xのm次, n次多項式)を設定して，y(x) = Pm(x), ψ(x)Qn(x)を解に持つ 3項間線形差分方程式を構成してパンルヴェ方程式,ラックス形式,特殊解の 3つを同時に求める．

5. パデ法の応用　

• q-GNの場合: 母関数

ψ(x) = clogq xN∏

i=1

(aix, , bi)∞(ai, bix)∞

(5)

を与え，パデ問題 (4)を設定すれば，q-GN の線形方程式 (1)が構成できる．ここで，(α1, α2, · · · , αi) j =

∏ j−1k=0(1 − α1qk)(1 − α2qk) · · · (1 − αiqk)とする．

• qq-GNの場合 [1][2]: 母関数

ψ(z) =N∏

i=1

(aiz,qkai

z , bi, qkbi)∞

(ai, qkai, biz,qkbi

z )∞(6)

(x = z+ qkz )を与え，パデ問題 (4)を設定すれば，qq-GNの線形方程式 (2)が構成できる．

• qq-GcNの場合: 母関数 (6)に拘束条件 q−m+n∏N

i=1 bi/aiを課して同様の計算を行うと，qq-Gc

Nの線形方程式 (3)を得る．

• 母関数 (5)(6)と拘束条件の有無を加味して比較すれば，q-GN , qq-GN , qq-GcN の関係図

式が与えられる．この関係図式は講演時に提示説明する．

参考文献[1] Nagao H., and Yamada Y., Variations of the q-Garnier system, J.Phys. A: Math. Theor., 51

(2018), 135204–135222, arXiv:1710.03998 [nlin.SI].

[2] Nagao H., and Yamada Y., Study of q-Garnier system by Pade method, Funkcialaj Ekvacioj,61 (2018),109–133, arXiv:1601.01099 [nlin.SI].

[3] Ormerod, C.M., and Rains E.M., Commutation Relations and Discrete Garnier Systems,SIGMA, 12 (2016), 110, 50 pages.

[4] Sakai H., A q-analog of the Garnier system, Funkcialaj Ekvacioj 48 (2005), 273–297.

-54-

楕円Artin群について

斉藤　義久 (立教大学理学部)∗

1. Introduction

本講演では，与えられた楕円ルート系に対して対応する楕円Artin群を定義し，その基本的な性質を紹介する．まず用語の説明から始めたい．

1.1. 楕円ルート系とは？

楕円ルート系は，特異点理論の研究に端を発し，1980年代半ばに齋藤恭司氏によって導入されたルート系の拡張概念である ([8])．まず，定義を正確に述べよう．

定義１. (1) 有限次元実ベクトル空間F とその上の対称線形形式 I : F × F → Rが与えられた時，F の non-isotropic1なベクトルからなる集合Rが以下の条件を満たす時，(F, I)に属する一般化されたルート系（generalized root system）という．

1. Rが生成するZ-加群をQ(R)と書く時，Q(R)⊗Z R ∼= F．

2. 任意のα ∈ Rに対して，rα(R) = R．ただし，α∨ := 2α/I(α, α)として，

rα(u) := u− I(u, α∨)α (u ∈ F ).

3. 任意のα, β ∈ Rに対して，I(β, α∨) ∈ Z．(2) 特に Iが半正定値で，かつ Iの radical rad(I)の次元が２であるとき，(R, I)に属する一般化されたルート系を楕円ルート系（elliptic root system）という．

(3) Rを (F, I)に属する楕円ルート系とするとき，rα (α ∈ R)が生成するGL(F )の部分群をW (R)と書き，楕円Weyl群（elliptic Weyl group）と呼ぶ．

既存のルート系の場合をご存知の方は，この定義が，Iの（２次形式としての）符号を除けば，既存の場合のそれと全く同じであることに気が付かれることと思う．実際，Iが正定値であれば，得られるRは有限ルート系であり，Iが半正定値かつdimR(rad(I)) = 1

であれば，得られるRはアフィンルート系となる 2．すなわち，楕円ルート系は既存の理論の自然な拡張になっている．

Remark. 以下，楕円ルート系Rに対して，断りなしに被約性と既約性を仮定する．

4. 任意のα ∈ Rに対して，Rα ∩R = ±α （被約性）．5. R = R1 ⊔ R2なるRの分割であって，I(α, β) = 0 (α ∈ R1, β ∈ R2)となるものは存在しない（既約性）．

本研究は齋藤恭司氏（京都大学数理解析研究所）との共同研究に基づく．また，本研究は科研費 (課題番号:16K05055)の助成を受けたものである．∗ 110-0016 東京都豊島区西池袋 1-34-8　立教大学 理学部e-mail: yoshihisa@rikkyo.ac.jp, yosihisa@ms.u-tokyo.ac.jp

1α ∈ F が non-isotropicであるとは，I(α, α) = 0であることを言う．2正確には『アフィンルート系の実ルートの全体』と言うべき．この定義だと，虚ルートはRに含まれない．

特別講演

-55-

例（X(1,1)l 型ルート系）. Rfを (Ff , If )に属するXl型有限ルート系（X = A ∼ G）と

する．この時，Ffは l次元実ベクトル空間であることに注意しよう．さて，l + 2次元実ベクトル空間Fを

F := Ff ⊕ (Rδb ⊕ Rδa)

とし，F上の対称双線型形式 I : F × F → Rを

I|Ff×Ff= If , rad(I) = Rδb ⊕ Rδa

で定める．このとき，Iは半正定値でdim(rad(I)) = 2となる．Fの部分集合Rを

R := αf +mδb + nδa |αf ∈ Rf ,m, n ∈ Z

とおくと，Rは (F, I)に属する一般化されたルート系（楕円ルート系）になる．こうして定まる楕円ルート系RをX

(1,1)l 型ルート系と呼ぶ．

X(1,1)l 型ルート系は，楕円ルート系の中で最も基本的なクラスであり，アフィンルー

ト系におけるuntwised typeの楕円アナロジーである．このことはWeyl群の構造を見るとより明確になる．実際，簡単な計算から次がわかる：

W (R) ∼= W (Rf )⋉Q(R∨f )

⊕2.

ただし，R∨f := α∨

f ∈ F |α ∈ Rf（Rfのdual root system），Q(R∨f )はそのroot lattice．

1.2. 楕円ルート系の性質

初めて定義を見た方は

単に radicalの次元がちょっと増えただけで，何がそんなに違うのか？

という疑問を持たれることだろう．ところが，少し真面目に考えようとすると，

radicalの次元が0, 1の場合と，2（以上）の場合では，話が全く異なる

ということに気づく．以下，このことをもう少し詳しく見ていこう．

(a) 楕円ルート系はKac-Moody理論に由来しない

Kac-Moody理論では，一般化Cartan行列A = (ai,j)を与えることから全てが出発する．ご存知の方も多いと思うので詳細は省略するが，ルート全体が張る実ベクトル空間をFと書くとき，F上にAから定まる対称双線型性形式 Iが構成される．Iが半正定値と仮定すると，対応するルート系は有限型（dimR rad(I) = 0の場合）か，アフィン型（dimR rad(I) = 1の場合）に限られてしまう．他方，楕円ルート系が属する (F, I)においては，dimR rad(I) = 2であり，こういう状

況はKac-Moody理論では絶対に実現出来ない．すなわち，楕円ルート系はKac-Moody

理論の範疇の外側に生息しているのである．

(b) 自己同型群の構造が異なる

有限型ルート系Rfでは，ルート系の自己同型群Aut(Rf )は対応するWeyl群W (Rf )

にほぼ等しい．より正確には，Dynkin図形のdiagram automorphismから生成される有限群を除いて，両者は等しい．事情はアフィンルート系Raでも同様である．

W (Rf ) ≒ Aut(Rf ), W (Ra) ≒ Aut(Ra) (up to 有限群).

言い換えれば，

-56-

有限型・アフィン型のルート系においては，ルート系の対称性はWeyl群によって（ほぼ）記述される

ということになっている．他方，楕円ルート系においては，事情が全く異なる．例えば上に紹介したX

(1,1)l 型

ルート系の場合，ルート系Rは

R = αf +mδb + nδa |αf ∈ Rf ,m, n ∈ Z

と定義されているであった．g :=

(p q

r s

)∈ SL2(Z)に対して，

ϕg : αf +mδb + nδa 7→ αf + (pm+ qn)δb + (rm+ sn)δa

とおけば，これはFの１次変換に自然に拡張され，Aut(R)の元を定める．しかしながら，このような変換は楕円Weyl群W (R)の元によって作り出すことは出来ない．一般の楕円ルート系では対称性がもう少し崩れているために，modular群SL2(Z)は

フルに作用出来ないが，SL2(Z)の指数有限の部分群（合同部分群）が作用することになる．いずれにせよ，

楕円ルート系Rの対称性はWeyl群だけでは記述することが出来ず，Rは合同部分群という無限離散群の作用も同時に持っている

ということになっている．この事実の帰結として，楕円ルート系の理論には，楕円曲線や保型形式の理論が自然に現れる．これは有限型・アフィン型のルート系にはない，楕円ルート系に特有の著しい性質である．

1.3. Marked elliptic root systemと楕円図形

既に述べたように，楕円ルート系とは

null rootの方向が２つ（= radicalが２次元）あるようなルート系

であると言って良い．ただし，このままでは理論をコントロールするのが難しいので，既存の理論（アフィンルート系の理論）に帰着させる方法を考える必要がある．そのために用いられるのが，markingと呼ばれる概念である．

定義３． rad(I)の１次元部分空間Gであって，G∩Q(R) = 0となるものをmarking

と呼ぶ．さらに，組 (R,G)をmarked elliptic root system (MERSと略記)と呼ぶ．

marking Gが指定されると，canonicalな射影 πG : F → F/Gが定まる．この時，Ra := πG(R)はアフィンルート系になる．アフィンルート系はその構造が詳しく調べられており，既存の理論が適用出来る．つまり，

marking Gの指定 =既存の理論（アフィンルート系の理論）への

“落し方”の指定

というわけである．さらに，MERS (R,G)に対して，楕円図形（elliptic diagram）と呼ばれる有限グラフΓ(R,G)を定めることが出来る．詳しい構成法は原論文 [8]に譲ることにするが，大雑把に言えば

-57-

• １階部分と２階部分から成る“２階建て”のグラフである．

• １階部分は，商アフィンルート系Ra = πG(R)のDynkin図形Γ(Ra)．

• ２階部分には，ある方法で作った“Γ(Ra)の subgraphのコピー”を貼り付ける．

• １階の頂点と２階の頂点の間は，その内積値に応じて辺を結ぶ．ただし，『２重点線』という新しい辺が現れる．

というものである．頂点を結ぶ辺を書き込むルールは次の通り．楕円図形Γ(R,G)の頂点α, βに対し，eα eβ if I(α, β) = I(β, α) = 0,eα eβ if I(α, β∨) = I(β, α∨) = −1,eα eβ-µ if I(α, β∨) = −µ and I(β, α∨) = −1 for µ = 2, 3, 4,eα eβ∞

if I(α, β∨) = I(β, α∨) = −2,eα eβ if I(α, β∨) = I(β, α∨) = 2.

１∼４番目のルールは（記法は異なるが）通常のDynkin図形の場合のそれと同じである．他方，５番目のルールが新しいもので『２重点戦の引き方』を指定している．

Remark. (1) 上の説明には，２階部分に相当する『Γ(Ra)の subgraph のコピーの作り方』が欠落しているが，記述が長くなりすぎるので省略した．出来上がるグラフの具体形はAppendixに書いたので，そちらを参照して頂きたい．

(2) 通常の場合と異なり，楕円図形Γ(R,G)の頂点集合は “単純ルート” に対応しているわけではない．実際，Appendixの実例を見て頂ければ分かる通り，Γ(R,G)の頂点の数は，(R,G)が属するベクトル空間Fの次元より一般には大きい 3．

この時．次の定理が知られている．

定理４ (MERSの分類定理 [8]). 『商アフィンルート系Raが reducedである』との仮定の下に，MERSの同型類はその楕円図形で完全に分類される．

1.4. ルート系に関連する代数系

古典的な意味でのルート系が与えられると，それに付随して種々の関連する代数系が生み出される．典型的な例としては，

1. Weyl群やHecke algebra，あるいはBraid群（or Artin群）．

2. Lie群や代数群 4．

3. (Kac-Moody) Lie algebraとQuantum universal enveloping algbera．

などが挙げられよう．さらに，これら代数系の表現論は微分方程式や数理物理，あるいは代数幾何学とも深く関連し，豊かで芳醇な世界を形成している．

3そもそも，楕円ルート系は既存の意味でのルート系ではないので，（Kac-Moody理論で言うところの）単純ルートは存在しない．

4この系列は，単純にルート系だけで決まるわけではないので，『ルート系から生み出される』というのには，少々無理がある．

-58-

他方，出発点を楕円ルート系（もしくはMERS）に取り替えた場合でも，同様の代数系が（部分的に）構成できる．中でも，今回は 1の系列に属する代数系に着目する．特に，Artin群の楕円アナロジーである，楕円Artin群（elliptic Artin group）について詳しく紹介させて頂きたい 5．

Remark. ３の系列に属するものとして，toroidal Lie algebra (TLA)，quantum

toroidal algebra（QTA）と呼ばれる代数系がある 6．特に，A型のQTAは理論物理学との関連から，近年盛んに研究されている．他方，２の系列に属する代数系（elliptic

Lie groups？）については，組織的な研究はまだ行われていないように思う．

2. 楕円Artin群の定義（その１）2.1. プロトタイプ（有限ルート系の場合）

Rf を (Ff , If )に属する有限ルート系とし，W (Rf )をそのWeyl群とする．よく知られているように，単純ルートの集合Πf = α1, · · · , αl ⊂ Rfを１つ選ぶと，W (Rf )は単純鏡映 ri := rαi

(1 ≤ i ≤ l) で生成され，その基本関係式は

(1) r2i = 1 (1 ≤ i ≤ l)

(2) braid relations （対応するDynkin図形で決まる）

から成る．付随するArtin群（Artin group）をA(Rf )と書く 7．すなわち，A(Rf )とは，Dynkin図形の頂点に対応する元ai (1 ≤ i ≤ l)たちで生成され，braid relationsのみ（生成元2

=1は課さない）を基本関係式とする群をいう．

以上はArtin群A(Rf )の代数的な定義であり，多くの表現論の教科書には大抵このように書かれている．他方，我々にとって重要なのは，

Artin群 A(Rf )とは，ある空間（正則軌道空間）の基本群である

という理解である．以下，このことを復習しよう．実ベクトル空間Ffに対し，複素化された双対空間

F ∗f,C := HomR(Ff ,C)

を考える．W (Rf )のFfへの作用は，contragradient action W (Rf ) F ∗f,Cを誘導する

が，各鏡映 rαf(αf ∈ Rf )の固定点集合は，F ∗

f,C内の複素超平面

Hαf:= hf ∈ F ∗

f,C | ⟨hf , αf⟩ = 0

によって与えられる．ただし，Ff,C := Ff ⊗R Cとして，⟨·, ·⟩ : F ∗f,C × Ff,C → Cは

canonical pairing．この時，差集合

F ∗f,C \

∪αf∈Rf

Hαf

51の系列の代数系うち，Weyl群（elliptic Weyl group）については次節以降で詳しく述べる．また，Hecke algebra（elliptic Hecke algebra）については，今回は詳しく述べないが，double affine Heckealgebra (DAHA)のことと思ってほぼ良く (see [13])，直交多項式や可積分系の理論と関連が深い．

6これらについては，今回は説明しない．7『braid群』と呼ばれることの方が多い気もするが，今回は楕円の場合の呼称に合わせて『Artin群』と呼ぶことにする．このノートでは，『braid群』と『Artin群』は同じものを指す．

-59-

にはW (Rf )が自然に作用するが，作り方からこの作用は固定点を持たない．このW (Rf )

のfixed free actionに関する商集合(W (Rf )\F ∗

f,C)reg

:= W (Rf )\(

F ∗f,C \

∪αf∈Rf

Hαf

)を正則軌道空間（regular orbit space）という．

定理５ ([3],[4]). 正則軌道空間の基本群はArtin群と同型である．すなわち，

π1

((W (Rf )\F ∗

f,C)reg

) ∼= A(Rf ).

以上より，Artin群 A(Rf )は２つの“定義”を持つことが示されたことになる．

(A) 生成元と基本関係式による代数的な定義.

(G) 正則軌道空間の基本群という幾何学的な定義.

(A)のメリットは，その扱い易さにある．多くの表現論の文献で，A(Rf )の定義として (A)を採用しているのも，そのためであろう．また，A(Rf )の群としての性質を調べる際にも，(A)を採用した方が良い場合がある．次の定理はその典型であろう．

定理６ ([4]). A(Rf )の中心はZと同型である 8．

この定理の証明自体は，純代数的なものである．しかしながら，このような定理が成り立つ（あるいは『成り立ちそうだ』と考える）背景に，『A(Rf )とは正則軌道空間の基本群である』という幾何学的理解 (G)があることは言うまでも無い．歴史的な経緯を考えても，やはり (G)の方が先である．この手の問題を最初に考え

たのは，Artin ([1], 1925)であるが，彼は Cの点の配置空間（configuration space of

points）の基本群を考えて，braid群（= A型Artin群）の概念に到達している．決して，対称群の基本関係式から『生成元2

= 1』を外した訳ではない．上に紹介した定理５にしても，（説明の都合上 (A)を先に書いたが）考察の本当の順

序は逆である．すなわち，まず正則軌道空間の基本群という理解 (G)があり ([3])，その後で生成元と基本関係式からなる代数的な理解 (A)がある ([4])，というのが正しい．

次節以降，我々はこの settingの楕円ルート系版を議論していくが，(A)と (G)の両方を同時に考えることがポイントになる．

2.2. 代数的な定義

楕円Artin群の代数的な定義を与えるにあたり，まず楕円Weyl群の生成元と関係式による表示を復習する．Fを l + 2次元の実ベクトル空間，I : F × F → RをF上の対称双線型形式であって，dimR rad(I) = 2であるものとする．この時，l+ 4次元の実ベクトル空間FΛと，その上の非退化双線型形式 IΛ : FΛ×FΛ → Rの組 (FΛ, IΛ)が２条件

• FはFΛの部分ベクトル空間である．

• IΛ|F×F = I．8中心の生成元は，Coxeter元のCoxeter数乗である．

-60-

を満たす時，(F, I)の full extensionであるという．Rを (F, I)に属する楕円ルート系とする．α ∈ Rに対して，鏡映 sα ∈ O(FΛ, IΛ)を

sα(u) := u− IΛ(u, α∨)α (u ∈ FΛ)

と定める．次は構成から明らかであろう．

sα|F = rα.

sα (α ∈ R)で生成されるO(FΛ, IΛ)の部分群をWΛ(R)と書き，楕円Weyl群W (R)のfull extensionと呼ぶ．WΛ(R)については，以下のような生成元と基本関係式による表示が知られている．

定理７([12],[11]). (R,G)を(F, I)に属するMERS，Γ(R,G)をその楕円図形，Π(R,G) ⊂Rをその頂点集合とする．この時，full extension WΛ(R)は sα (α ∈ Π(R,G))によって生成される．また，その基本関係式は次のように記述される．

(1) l ≥ 2の時：以下のリストにある subdiagramがΓ(R,G)の中に現れる毎に，右の関係式を仮定する．

(W0) s2α = 1,eα

(W1)0 sαsβ = sβsα,eα eβ(W1)1 sαsβsα = sβsαsβ,eα eβ(W1)2 sαsβsαsβ = sβsαsβsα,eα eβ-2

±1

(W1)3 sαsβsαsβsαsβ = sβsαsβsαsβsα,eα eβ-3±1

以下のdiagramsにおいては，α, β, γはΓaの頂点集合Πaに属すると仮定する.

(W2)1 sβsαsα∗sβsαsα∗ = sαsα∗sβsαsα∗sβ.

eα∗

eα

eβHHHH

次の２つのdiagramsにおいては，αは辺 bα b β-µ においてb-sideと仮定する（ただしµ = 2±1, 3±1）.

(W2)2 sαsβsαsα∗sβ = sβsαsα∗sβsα,

eα∗

eα

eβHHHH

HHHj

*

2±1

(W2)3

sβsαsα∗sβsαsα∗ = sαsα∗sβsαsα∗sβ and

sβsαsα∗sβsα = sα∗sβsαsα∗sβ.

eα∗

eα

eβHHHH

HHHj

*

3±1

-61-

(W3)1 sβ∗sαsα∗ = sαsα∗sβ and sα∗sβsβ∗ = sβsβ∗sα.

eα∗ eβ∗

eα eβ@@

@@

次のdiagramにおいては, αは辺 bα b β.-2±1

においてb-sideと仮定する．

(W3)2 sβ∗sαsα∗ = sαsα∗sβ.

eα∗ eβ∗

eα eβ-

-

@@

@@

@@@R

2±1

次のdiagramにおいては，α, γは２重点線で繋がる頂点を持たず，かつΓ(R,G)の中で繋がっていないと仮定する.

(W4)sβsβ∗sαsγsβsβ∗sγ = sγsβsβ∗sγsαsβsβ∗ and

sβsβ∗sγsαsβsβ∗sα = sαsβsβ∗sαsγsβsβ∗ .eα

eβ∗

eβ

eγ

HHHH

*

HHHj

HHHH

HHHj

*

µµ′

(2) l ≥ 1の時：(1)に現れた (W0)，および以下のリストにある subdiagramに対して右の関係式を仮定する．

(W2)4

sβsαsα∗sβsαsα∗ = sαsα∗sβsαsα∗sβ

= sα∗sβsαsα∗sβsα,

eα∗

eα

eβHHHH

HHHj

*

4±1

(W2)∞

sβsαsα∗sβsαsα∗ = sαsα∗sβsαsα∗sβ

= sα∗sβsαsα∗sβsα,

eα∗

eα

eβHHHH

∞

(W3)4 sβsβ∗sαsα∗ = sβ∗sαsα∗sβ = sαsα∗sβsβ∗ = sα∗sβsβ∗sα,

eα∗ eβ∗

eα eβ-

-

@@

@@

@@@R

4±1

(W3)∞ sβsβ∗sαsα∗ = sβ∗sαsα∗sβ = sαsα∗sβsβ∗ = sα∗sβsβ∗sα.

eα∗ eβ∗

eα eβ@@

@@

∞

関係式 (W1)µ (µ = 0, 1, 2, 3) は，古典的によく知られたCoxeter relationsに他ならない．他方，(W2)µ, (W3)µ (µ = 1, 2, 3, 4,∞)と (W4)は既存の理論には現れない関係式でelliptic Coxeter relationsと呼ばれる．

Remark. (1) l = 1 の場合，通常のCoxeter relationsは仮定しない．

(2) (W3)4 (resp. (W3)∞)のdiagramを考える場合，この中には (W2)4 (resp. (W2)∞)

-62-

と同型な subdiagramが複数含まれているが，これらに対応する関係式は仮定しない（(W3)4 (resp. (W3)∞)の関係式のみ仮定する）．

楕円Artin群の代数的な定義を与えよう．考え方は有限型（プロトタイプ）の場合と同じで『Weyl群の定義関係式から，生成元の２乗=1を外せ』というものである．

定義８. aα (α ∈ Π(R,G))を生成元とし，Coxeter relations とelliptic Coxeter relations

のみ（２乗=1は仮定しない）を基本関係式とする群をAa(R,G)と書き，代数的楕円Artin群 (algebraic elliptic Artin group)と呼ぶ．

これで，楕円Artin群の定義を与えることが，“一応”出来た．ただし，これだけではいささか不十分である．なぜなら，

• 『Weyl群の定義関係式から「生成元の２乗=１」という関係式を外す』というアイデアは，有限型の時には確かに上手く行ったが，楕円ルート系の場合にも有効である保証は何処にもない

からである．代数的定義のみで止まってしまっては，楕円Artin群は単にアナロジーとして導入されただけのものに過ぎず．実体を伴わないものになってしまう．『空間の基本群として定義出来る』という設定まで込めて拡張出来て初めて，楕円Artin群は『Artin群の概念の楕円ルート系の場合への拡張』と呼ぶことが出来る．楕円Artin群の幾何学的定義については次節にまとめる．

他方，代数的な定義のメリットは，（プロトタイプであるA(Rf )の場合と同様に）群としての性質を調べ易い点にある．例として，Coxeter元と呼ばれるA(R,G)の元とその性質について紹介する．

定義９. 以下のように定まるAa(R,G)の元 c(A(R,G))をCoxeter元 (Coxeter ele-

ment)という：c(A(R,G)) :=

∏α∈Π(R,G)

aα.

ただし，積の順序は次のルールに従うものとする．

ルール：１階部分の頂点αに対し，２階部分の頂点α∗（αと２重点線で結ばれる頂点）が存在する時は，aαaα∗の順に続けて積を取る．

定義から明らかなように，Coxeter元は一意的には決まらず，積の順序に依存する．

命題&定義１０. Γ(R,G)から２重点線とその両端に現れる２頂点を取り除くと，必ずいくつかのA型Dynkin図形の disjoint unionになる（ここまでが命題）．この時，現れるA型Dynkin図形の rankの最大値に 1を加えた非負整数を (R,G)のCoxeter数(Coxeter number)と呼び，m(R,G)と書く．

以上の言葉の準備の下に，次が成り立つ．

-63-

命題１１ ([11]). (1) Aa(R,G)の中でCoxeter元を含む共役類は一意に定まる．

(2) Coxeter元のCoxeter数乗 c(A(R,G))m(R,G) ∈ Aa(R,G)は，Coxeter元の積の順序の取り方に依らず，一意に定まる．

(3) c(A(R,G))m(R,G)はAa(R,G)の中心に属する．

これらの性質は，有限ルート系の場合のCoxeter元・Coxeter数が満たす性質の，楕円ルート系の場合への自然な拡張になっている 9．

3. 楕円Artin群の定義（その２）まず空間の設定を整えた後，楕円Artin群を楕円正則軌道空間の基本群として，幾何学的に導入する．

3.1. 楕円ルート系に由来するcomplex domainの family

(R,G)を (F, I)に属するMERSとする．この時，G∩Q(R)は rank 1の free Z-module

になるが，その生成元 δaを１つ選ぶ：

G ∩Q(R) = Zδa.

自然な射影 πG : F → F/G，および商アフィンルート系Ra = πG(R)を思い出そう．Rの部分集合Πa = α0, α1, · · · , αlを次の条件を満たすように取る．

• πG(Πa) = πG(α0), πG(α1), · · · , πG(αl)はRaの単純ルートの集合である．

• πG(α0)は，RaのDynkin図形Γ(Ra)の中で“０番目の頂点”に対応する 10．

この時，Raのprimitiveなpositive null root δ(Ra)はπG(αi) (0 ≤ i ≤ l)の１次結合で

δ(Ra) =l∑

i=0

niπG(αi) (ni ∈ Z>0, n0 = 1)

と書くことが出来る．そこで，

δb :=l∑

i=0

niαi ∈ Q(R)

とおくと，δb, δaは rad(I)の基底になる．さらに，Lf := ⊕li=1Rαiとおくと，分解

F = Lf ⊕ (Rδb ⊕ Rδa) (3.1.1)

が指定される．(FΛ, IΛ)を (F, I)の full extensionとする．λb, λa ∈ FΛを

IΛ(Lf , λ) = 0, IΛ(δ♯, λ) = δ♯,, IΛ(λ♯, λ) = 0 (, ♯ = b, a)

9そもそも，齋藤恭司氏が楕円ルート系の理論を作る際に楕円図形のを導入した目的は『Coxeter元の理論の楕円版を作るため』であり，これらの概念は楕円ルート系の理論の核心とも言える．

10いい加減な言い方ではあるが，正確に述べようとするといたずらに記述が長くなるので，この程度に留めた．アフィンルート系の理論をご存知の方ならば，この程度で通じると思う．

-64-

によって定義する時，(3.1.1)は分解

FΛ = (Rλb ⊕ Rλa)⊕ F

= (Rλb ⊕ Rλa)⊕ Lf ⊕ (Rδb ⊕ Rδa)(3.1.2)

に拡張される．以後，常にこの分解を固定して議論することにする．

さて，実ベクトル空間の埋め込みの列

FΛιF← F ι0← rad(I) (3.1.3)

を考える．各実ベクトル空間に対して複素化された双対空間

F ∗Λ,C := HomR(FΛ,C), F ∗

C := HomR(F,C), rad(I)∗C := HomR(rad(I),C)

を取ると，埋め込みの列 (3.1.3)から双対空間の全射列

F ∗Λ,C

ι∗F−→ F ∗C

ι∗0−→ rad(I)∗C (3.1.4)

が誘導される．FΛ上の対称双線型形式 IΛは非退化なので，複素ベクトル空間の同型ν : FΛ,C := FΛ ⊗R C ∼−→ F ∗

Λ,Cが

⟨ν(uΛ), vΛ⟩ := IΛ,C(uΛ, vΛ) for uΛ, vΛ ∈ FΛ,C

により定まる．ここに ⟨·, ·⟩ : F ∗Λ,C × FΛ,C → Cは canonical pairing, IΛ,Cは IΛの複素化

である．F ∗Λ,C上の対称双線型形式 I∗Λ,Cを

I∗Λ,C(hΛ, h′Λ) := IΛ,C(ν

−1(hΛ), ν−1(h′

Λ)) for hΛ, h′Λ ∈ F ∗

Λ,C,

で定め，

c♯ := ν(δ♯), d♯ := ν(λ♯) for ♯ = b, a and hf := ν(Lf ⊗R C)

とおく．この時，(3.1.2)は複素ベクトル空間の分解

F ∗Λ,C = (Ccb ⊕ Cca)⊕ hf ⊕ (Cdb ⊕ Cda) (3.1.5)

を誘導する．

Note. (1) 構成から, 複素化された双対空間 F ∗C (resp. rad(I)∗C) は F ∗

Λ,C の部分空間hf ⊕ (Cdb ⊕ Cda) (resp. Cdb ⊕ Cda) と自然に同一視される：

F ∗C = hf ⊕ (Cdb ⊕ Cda), rad(I)∗C = Cdb ⊕ Cda.

(2) 分解 (3.1.5)の下に, hΛ ∈ F ∗Λ,Cを

hΛ = tbcb + taca + z + ωbdb + ωada (z ∈ hf , tb, ta, ωb, ωa ∈ C). (3.1.6)

と書く．この時，次が成り立つ．

I∗Λ,C(hΛ, hΛ) = I∗Λ,C(z, z) + 2tbωb + 2taωa. (3.1.7)

-65-

H := ω = ωbdb + ωada ∈ rad(I)∗C |ωb = 0, ωa = 0, I(ωb/ωa) > 0,

E := (ι∗0 ι∗F )−1(H)∩ Z, E := (ι∗F )

−1(H)

とおく．ただし，Zは次式で定義されるF ∗Λ,Cの２次超曲面とする：

Z :=hΛ ∈ F ∗

Λ,C∣∣ I∗Λ,C(hΛ, hΛ) = 0

.

簡単のため，ϖ = ι∗F |E : E→ Eをφ = ι∗0|E : E→ Hと書く．この時，今後の話の主要な舞台となる complex domainの family

Eϖ−→ E

ϖ−→ H (3.1.8)

が得られる．

3.2. 楕円Artin群の幾何学的な定義

Rの（FΛの部分集合としての）自己同型群を

AutΛ(R) := φ ∈ O(FΛ, IΛ) |φ(R) = R

と定義する．自然な左作用AutΛ(R) FΛは，複素化された双対空間F ∗Λ,CへのAutΛ(R)

の左作用を誘導するが，この作用は family (3.1.8)と両立する，つまりAutΛ(R)が family

(3.1.8)に equivariantに作用することがわかる．

特に，作用をAutΛ(R)の部分群であるWΛ(R) に制限してみよう．鏡映 sα ∈ WΛ(R)

は radial rad(I)に自明に作用するので，family (3.1.8)の底空間Hにも自明に作用する．言い換えると，WΛ(R)の family (3.1.8)への作用はfiberを不変に保つ．この事実は

すぐに重要な意味を持つことになる．

各α ∈ Rに対し，Hα :=

hΛ ∈ E

∣∣ ⟨hΛ, α⟩ = 0

とおくと，差集合E \

∪α∈R

Hα

にはWΛ(R)がfixed point freeに作用する．

定義１２. この作用に関する商集合(WΛ(R)\E

)reg

:= WΛ(R)\(

E \∪α∈R

Hα

)を楕円正則軌道空間（elliptic regular orbit space）という．

上の２重下線を引いた事実より，family (3.1.8)からfiber bundle

p :(WΛ(R)\E

)reg→ H (3.2.1)

-66-

が得られる．この時，次の定理が成り立つ．これは我々の主結果の一つである．

定義&定理１３ ([7],[11]). fiber bundle p :(WΛ(R)\E

)reg→ H のfiberの基本群

π1

(p−1(ω)

)(ω ∈ H)

をAg(R,G)と書き幾何学的楕円Artin群 (geometric elliptic Artin group)という．この時，代数的楕円Artin群Aa(R,G)と幾何学的楕円Artin群Ag(R,G)は群として同型である．

この定理によって，楕円ルート系に付随するArtin群に対しても

(A) 生成元と基本関係式による代数的定義

(G) 空間の基本群による幾何学的定義

が一致することが示された．以後，我々はこの群を単に楕円Artin群 (elliptic Artin

group)と呼び，A(R,G)と書く．

4. Modular group action

4.1. 楕円ルート系への合同部分群の作用

1.2節で述べたように，最も典型的な例であるX(1,1)l 型のルート系では，modular群

SL2(Z)がRに（markingの取り替えとして）作用する．一般の楕円ルート系では対称性が崩れているために，SL2(Z)の指数有限の部分群（合同部分群）が作用することになる．定義を正確に述べよう．

φ ∈ AutΛ(R)とすると，簡単な計算からφは rad(I)を不変に保つことがわかる．そこで，

radZ(I) := Zδb ⊕ Zδa

とし，Aut+Λ(R) := φ ∈ AutΛ(R) |φ|rad(I) ∈ SL(radZ(I))

と定める．他方，

Osp(FΛ, IΛ) :=FΛの isometryであって，分解 (3.1.2)を保つもの全体のなすO(FΛ, IΛ)の部分群

とし，Γ+sp := res0

(Aut+Λ(R) ∩Osp(FΛ, IΛ)

)とおく．ここに res0 : Aut+Λ(R) → SL(radZ(I))はφ 7→ φ|rad(I)で定まる写像．この時，具体的な計算によって次がわかる．

-67-

命題１４ ([11]). Γ+spはΓ0(n) (n = 1, 2, 3)のいずれかに同型である 11．ここに

Γ0(n) :=

(p q

r s

)∈ SL2(Z)

∣∣∣∣∣ r ≡ 0 (modn)

.

Remark. 言うまでもないが，Γ0(1) = SL2(Z) である．

4.2. 楕円Artin群への作用

Γ+spはAutΛ(R)の部分群であり，(3.2.1)の fiber bundle p :

(WΛ(R)\E

)reg→ H に

equivariant，かつfixed point freeに作用する．そこで，quotient bundle

Γ+sp\p : Γ+

sp\(WΛ(R)\E

)reg→ Γ+

sp\H (4.2.1)

を考えよう．fiber bundleの long homotopy exact sequenceの一般論から，完全系列

1→ π1(fiber)→ π1

(Γ+sp\(WΛ(R)\E

)reg

)→ π1

(Γ+sp\H

)→ 1 (4.2.2)

を得る．以下，この完全系列を詳しく調べよう．まず，次の命題が成り立つことに注意する．

命題１５ ([11]). (4.2.1)のfiber bundleはglobal sectionを持つ．したがって，homotopy

完全系列 (4.2.2)は splitする．

次に，左端の基本群π1(fiber)であるが，(3.2.1)の元のfiber bundleと (4.2.1)の quo-

tient bundleでfiberは同型であり，その基本群は楕円Artin群 A(R,G)に等しい．これに命題１５を併せると，

π1

(Γ+sp\(WΛ(R)\E

)reg

)∼= A(R,G)⋊ π1

(Γ+sp\H

)が従う．つまり，

楕円Artin群A(R,G)はπ1

(Γ+sp\H

)の作用を持つ

ということがわかった．

最後はπ1

(Γ+sp\H

)の構造であるが，これについては次が成り立つ．

命題１６ ([11],[10]).

π1

(Γ+sp\H

) ∼=A(A2) if Γ+

sp∼= Γ0(1),

A(B2) if Γ+sp∼= Γ0(2),

A(G2)⋊ (Z/2Z) if Γ+sp∼= Γ0(3).

(4.2.3)

11この言い方は本当は正確ではない．(R,G)がBC(2,4)l 型のMERSの場合には，Γ+

sp∼= Γ0(4) となる．

ただし，この場合にはFΛの spritting (3.1.2)を別のものに取り替えることで，『Γ0(n) (n = 1, 2, 3)のいずれかがルート系に作用する』という状況を作り出すことが出来る．詳しくは原論文 [11]を参照されたい．

-68-

右辺に現れるA(X2) (X = A,B,G)は rank 2の有限型Artin群であり，これらが rank

2のもの全てである．比較的易しいので，証明の概略を書いておく．

概略） π1

(Γ+sp\H

)が，Γ+

sp∼= Γ0(n)のπ1(H) ∼= Zによる中心拡大と同型であることは，

すぐにわかる．実際に計算してみると，n = 1, 2, 3の場合には，その中心拡大が (4.2.3)

の右辺の現れる群になっていることがわかる．

Remark. (1) 証明の概略を見てもお分かり頂けると思うが，この命題では『Γ+sp が

Γ0(n) (n = 1, 2, 3)のいずれかに同型になる』という事実が非常に効いている 12．

(2) 話の中に直接登場してはいないが，ここに現れる人物たちは保形形式の理論に非常に深い関係がある．Hが

H = ω = ωbdb + ωada ∈ rad(I)∗C |ωb = 0, ωa = 0,I(ωb/ωa) > 0∼= (ωb, ωa) ∈ (C∗)2 | I(ωb/ωa) > 0

で与えられていたことを思いだそう．座標の比を取る写像

πH : (ωb, ωa) 7→ τ :=ωb

ωa

を考えることで，Poincare上半平面への全射（C∗-bundle）

πH : H→ H := τ ∈ C | I(τ) > 0

が得られる．保形形式の理論ではHではなく，Hを考えるのが普通であるが，今回は敢えてそうしなかった．理由は以下の通りである．合同部分群Γ+

spは，Poincare上半平面Hに１次分数変換で作用するわけだが，この作用は固定点 (cusp)を持つ．したがって，そのままではhomotopy long exact sequenceの一般論を適用することが出来ない 13．他方，比を取らずにHのままで考えると，合同部分群Γ+

spの作用は linearであり，固定点を持たない．したがってhomotopy long exact

sequenceの一般論を適用することが出来て，上に述べた結果を（より簡単に）得ることが出来る，というカラクリになっている．

(3) 前項でも述べたように，この話は保型形式や楕円積分の理論と密接な関わりがある．実際，楕円積分にはいくつかの標準形が知られているが，

Γ+sp∼= Γ0(1)の場合 ↔ Weierstrassの標準形

Γ+sp∼= Γ0(2)の場合 ↔ Legendreの標準形

Γ+sp∼= Γ0(3)の場合 ↔ Hesseの標準形

という綺麗な対応になっている（see [10]）．

以上の結果を全て併せると，

12n ≥ 4だとしても商空間Γ0(n)\Hを考えることはもちろん可能であるが，その基本群はArtin群ではなくなってしまう．

13 orbifold fundamental groupの一般論を使えばこの問題は回避出来るはずであろうと思っているが，今回はそうした formulationは採用しなかった．

-69-

• 楕円Artin群A(R,G)は rank 2 Artin群の作用をの作用を持つ

• この rank 2 Artin群の作用は，楕円ルート系への合同部分群の作用に由来する

ということがわかったことになる．

楕円ルート系の特徴の一つに，

合同部分群の作用を持つ

という事実があることは最初にも述べた．この事実の帰結として，楕円Weyl群は合同部分群Γ+

spの作用を持つ．しかしながら，この作用を（純代数的なレベルで）楕円Weyl

群の q-変形である楕円Hecke代数（≒ double affine Hecke algebra）に拡張しようとすると，“何故か”そのまま拡張することが出来ず，Γ+

spのZによる中心拡大 (= rank 2のArtin群)が現れてしまう．筆者にとって

なぜ q-変形すると，modular group actionがZによる中心拡大を受けるのか？

は，ずっと気になっていた問題だったのだが，今回の話でそれなりに納得のいく解答が得られたように思う．

5. Further problems

最後に今回の話題と関連する問題をいくつか挙げておく．

(1) 楕円Artin群の中心の決定問題

これは『今後の課題』というより『やり残した問題』というべき話である．予想として次を挙げておく．

予想. A(R,G)の中心はZと同型で，c(A(R,G))m(R,G)で生成される．

今のところ，

• c(A(R,G))m(R,G)が中心に含まれる（命題１１）

ということはOKだが『それだけで生成されるかどうか？』がわからない．以下に，予想が正しそうだと思われる，いくつかの状況証拠を挙げておく．

1)有限ルート系に付随するArtin群の場合，中心はZと同型で，Coxeter元のCoxeter

数乗で生成される（定理６）．

2) 楕円Hecke代数 14の場合，中心はCoxeter元のCoxeter数乗で生成される 15．

3) 楕円Weyl群の場合もそうなっている 16．

14適当な Laurent多項式環を係数とするA(R,G)の群環を考えて，それを “Hecke relations”と呼ばれる 2次の関係式で割ったもの．正確な定義は [13]を参照．

15楕円Hecke代数≒DAHAが直交多項式の理論において重要な役割を果たすことは，よく知られている．直交多項式業界では，ここに現れた『中心の生成元=Coxeter元のCoxeter数乗』のことを qと書く習慣になっている．このqは『Macdonald型q-差分作用素』という時の “q”に他ならない．

16これは上の 2からすぐに従うので，『状況証拠』と言うべきでは無いかも知れない．

-70-

1)がBrieskorn-Saito [4]によることは既に述べた．彼らは，その証明の中で『Coxeter

群ではword problemが解ける』という事実を本質的に使っており，その論法を我々の場合に適用することは出来ない．“elliptic caseでword problemを解く”ことが本筋かも知れないが，現状では『elliptic caseにおけるword problemとは何か？』を正しく定式化することすら出来ていないので，どうしたら良いか見当が付かない．

(2) 楕円正則軌道空間はK(π, 1) spaceか？

有限ルート系に付随する正則軌道空間の場合には，1次以外のhomotopy群は自明であることが知られている ([5])．このような性質を持つ空間をK(π, 1) spaceと呼ぶ．すなわち，ここで問題にしているのは『楕円正則軌道空間の2次以上のhomotopyは消えるか？』ということに他ならない．楕円正則軌道空間のトポロジカルな性質を知る上で重要な問題であるのは間違いな

いが，今のところ『正しそう』とも『正しくなさそう』とも言えない．

(3) なぜ q-変形するとmodular group actionがZによる中心拡大を受けるのか？楕円Weyl群の q-変形である楕円Hecke環に関して，この問題が解決済みであること

は既に述べた通りである．他方，今回は割愛したが，実は同じことはLie algebra side

(1.4節で述べた3の系列) でも起こる．よく知られているように，affine Lie algebra (of untwisted type)は，simple Lie algebra

に１変数Laurent多項式環を tensorして得られるLie algebra（loop Lie algebra）の中心拡大として得られる．この構成において，tensorするLaurent多項式環の変数の個数を１から２に増やすと，toroidal Lie algebra (TLA)と呼ばれるLie algebraが得られるが，このLie algebraはX

(1,1)l 型の楕円ルート系をルート系に持つ．そして，『modular

群 SL2(Z)がX(1,1)l 型の楕円ルート系に作用する』という事実の帰結として，SL2(Z)

がTLAに作用することがわかる 17．TLAにはその q-変形である quantum toroidal

algebra (QTA)が知られているが，TLAに対するSL2(Z)-actionをQTAの場合に（純代数的なレベルで）拡張しようとすると，やはりSL2(Z)の範囲に収まらず，Zによる中心拡大 (= rank 2のArtin群)が現れてしまう．今回の話の経験からして『基本群を考えているから』というのが答えなのだろうが，

こちらの問題に関しては，今のところ満足のいく解答は得られていない．

参考文献[1] E. Artin, “The theory of braids”, in collected papers, 491-498.

[2] N. Bourbaki, “Groupes et algebres de Lie, Chapitres 4,5 et 6”, Elements deMathematique, Hermann Paris, 1968.

[3] E. Brieskorn, “Die Fundamentalgruppe des Raumes der regularen Orbits einer endlichenkomplexen Spiegelungsgruppe”, Invent. Math., 12, 57-61(1971).

[4] E. Brieskorn and K. Saito, “Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen”, Invent. Math., 17,245-271, (1972).

17正確に言うと次のようになっている．今回の話の中に登場した複素ベクトル空間 F ∗Λ,C は，TLAの

Cartan subalgebraと同一視される．F ∗Λ,Cは楕円ルート系由来のSL2(Z)-actionを持つが，それがLie

algebra全体の自己同型に自然に延びる．

-71-

[5] P. Deligne, “Les immeubles des groupes de tresses generalises”, Invent. Math. 17, 273-302(1972).

[6] V. G. Kac, “Infinite dimensional Lie algebras, 3rd ed.”, Cambridge University Press.

[7] Van der Lek, “The homotopy type of complex hyperplane complements”, Doctor Thesis,Nijmegen (1983).

[8] K. Saito, “Extended affine root systems I”, Publ. RIMS 21, No.1 (1985), 75–179.

[9] K. Saito, “Extended affine root systems II”, Publ. RIMS 26, No.1 (1990), 15–78.

[10] K. Saito, “A view on elliptic integrals from primitive forms (period integrals of type A2,B2 and G2 )”, to appear in Journal of Pure and Applied Mathematics.

[11] K. Saito and Y. Saito, “Elliptic Artin groups”, in preparation.

[12] K. Saito and T. Takebayashi, “Extended affine root systems III”, Publ. RIMS 33 (1997),301–329.

[13] Y. Saito and M. Shiota, “On Hecke algebras associated with elliptic root systems andthe double affine Hecke algebras”, Publ. RIMS. 45 (2009), 845-905.

A. Appendix

List of elliptic diagrams

(1) “untwisted” case

A(1,1)l

(l ≥ 2) dd

dd

dd

ddd

d

@

@@

@#####

#####

cc

ccc XXXXX

cc

ccc

\\

\\

\\

A(1,1)1

(l = 1) dd

dd

@

@

∞

B(1,1)1 d

ddd

dd

dd d

@

@@

@*

HHHHj

2

C(1,1)n d

ddd

dd

dd

dd

-

-

@@@@R

@

@

@@I@

@

2 2

D(1,1)n d

ddd

dd

dd

dd

@

@@

@@

@

E(1,1)6 d d d

ddd

dd

HH

@

@ E(1,1)7

d dd

dd

dd

dd

HH

@

@

E(1,1)8

d dd

dd

dd d d d

HH

@

@

F(1,1)4

d d dd d d

HH

HH*

HHj

2

G(1,1)2

d dd d

HH

HH*

HHj

3

-72-

(2) “twisted” case

A(1,1)∗1

d dd

HH

∞

B(1,2)l d

ddd

dd

dd

dd

@

@@

@-

-

@@@@R

2

B(2,1)l

d dd

dd

dd d

HHHHY

@

@*

HHHHj

2 2

B(2,2)l d

ddd

dd

dd

dd

@@I@

@ @

@-

-

@@@@R

2 2

C(1,2)l

d dd

dd

dd d

HHHHj*

@

@HHHHY

2 2C

(2,1)l d

ddd

dd

dd

dd

@

@@

@

@@I@

@2

C(2,2)l d

ddd

dd

dd d

@

@@

@HHHHY

2

B(2,2)∗l

d dd

dd

dd

dd

HHHHY

@

@-

-

@@@@R

22

C(1,1)∗l

d dd

dd

dd

dd

HHHHj*

@

@

@@I@

@2

2

BC(2,1)l d

d d (l = 1)HHHHj

*4 dd

dd

dd

dd d

-

-

@@@@R

@

@HHHHj

*2

2

(l ≥ 2)

BC(2,4)l

d dd

(l = 1)HHHHj*

4

d dd

dd

dd

dd

HHHHj*

@

@-

-

@@@@R

22

(l ≥ 2)

BC(2,2)l (1) d d

ddd

dd d

HHHHj*

@

@HHHHj

*2 2

BC(2,2)l (2) d

ddd

(l = 1)-

-

@@@@R4

dd

dd

dd

dd

dd

-

-

@@@@R

@

@-

-

@@@@R

2 2

(l ≥ 2)

F(1,2)4

d d d dd d

HH

HH*

HHj2

F(2,1)4

d d d dd d

HH

HH

HHY

2

F(2,2)4

d d dd d d

HH HH

HHY2

G(1,3)2

d d dd

HHHHj*

3G

(3,1)2

d d dd

HH

HHY3

G(3,3)2

d dd d

HH

HHHHY3

-73-