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予定・シラバス
• 1回目 10月10日(水)
• 2回目 10月12日(金)
• 3回目 10月19日(金)
• 4回目 10月26日(金)
• 5回目 11月2日(金)
• 6回目 11月9日(金)
• 7回目 11月16日(金)
• 8回目 11月22日(木)
• 9回目 11月30日(金)
• 10回目 12月7日(金)
• 11回目 12月14日(金)
• 12回目 12月21日(金)
• 13回目 1月11日(金)
• 14回目 1月25日(金)
• 15回目 2月1日(金)
織田
川越
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講義資料 lecture material
• http://epp.phys.kyushu-u.ac.jp/~oda/lecture2018/
•今日のスライドなどをここに置きます。
• I put the presentation file shown today and will put other material.
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アンケートに答えて下さい。Please fill in the questionnaire
•受講者の素粒子実験に関わる知識がどの程度か良くわからないので、アンケートに答えて下さい。
•授業の最後に回収します。
• Since I don’t know your knowledge level related to experimental particle physics, please fill in the questionnaire.
• I will collect filled questionnaires at the end of this class.
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相対論的運動力学Relativistic kinematics
素粒子実験
2018年10月19日(金) 2限
担当教員織田勧
電子メール: [email protected]
居室: B-809号室
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There are many tables and reviews.
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You can ask free copy of book(let).
• The reviews and tables are updated every year.
• Printed versions are made every two years.• Book and booklet
• In this year (2018), printed versions are made.
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Kinematics
• http://pdg.lbl.gov/2018/reviews/contents_sports.html• http://pdg.lbl.gov/2018/reviews/rpp2018-rev-kinematics.pdf
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ローレンツ変換
•自然単位系 (natural units) ℏ = 𝑐 = 1
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横運動量はローレンツ変換の下で不変Transverse momentum is conserved under Lorentz transformation.
𝛽𝑓
𝒑
𝑝∥
𝑝𝑇𝒑∗
𝑝𝑇∗ = 𝑝𝑇
𝑝∥∗
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不変質量invariant mass
• 質量はローレンツスカラーだから
ローレンツ不変 (Lorentz invariant)
• 𝑍0 → 𝑒+𝑒−の崩壊の場合
• 𝑚𝑍 = 𝑚𝑒𝑒 = 𝑝1 + 𝑝22
• 𝑝𝑖 = 𝐸𝑖 , 𝑝𝑥,𝑖 , 𝑝𝑦,𝑖 , 𝑝𝑧,𝑖 =
𝑚𝑒2 + 𝑝𝑥,𝑖
2 + 𝑝𝑦,𝑖2 + 𝑝𝑧,1
2 , 𝑝𝑥,𝑖 , 𝑝𝑦,𝑖 , 𝑝𝑧,𝑖
• 𝑝1 + 𝑝2 = 𝐸1 + 𝐸2, 𝑝𝑥,1 + 𝑝𝑥,2, 𝑝𝑦,1 + 𝑝𝑦,2, 𝑝𝑧,1 + 𝑝𝑧,2
• 𝑝1 + 𝑝22 = 𝐸1 + 𝐸2
2
− 𝑝𝑥,1 + 𝑝𝑥,22− 𝑝𝑦,1 + 𝑝𝑦,2
2− 𝑝𝑧,1 + 𝑝𝑧,2
2
• 崩壊して出来た粒子の4元運動量から、親の粒子の4元運動量が決まって、親の粒子の質量が決まる。
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𝑚𝑍 = 91.1876 ± 0.0021 GeVΓ𝑍 = 2.4952 ± 0.0023 GeV
重心系エネルギー
• Center-of-mass energy (Ecm, 𝑠) is also Lorentz scalar and thus Lorentz invariant.
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固定標的実験と衝突型加速器実験Fixed target experiments and collider experiments
• 𝑚1 = 𝑚2 = 1 GeV/𝑐2、𝐸1 = 100 GeVとすると、
• 𝐸2 = 𝑚2 = 1 GeV (固定標的, fixed target)とすると、
𝐸cm = 202 GeV~14.2 GeV
• 𝐸2 = 100 GeV (衝突型加速器, collider)とすると、
𝐸cm = 40000 GeV = 200 GeV
• If we conduct experiment at high energy, we need to use collider accelerators.
LHC accelerator周長27 km
𝐸cm = 13 TeV
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重心系運動量center-of-mass momentum
𝐸cm2 = 𝑚1
2 +𝑚22 + 2𝐸1lab𝑚2
• 2つの粒子からなる系の、重心系での、2つの粒子の持つ運動量(=重心系運動量)の大きさは等しく、反対向き。
• 運動量0.80 GeV/cのK中間子ビームが陽子ターゲットに入射する時の重心系エネルギーは1.699 GeVで、重心系運動量は0.442 GeV/c。
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エネルギー・運動量保存
𝑝1
𝑝2
𝑝1′
𝑝2′𝑡
散乱行列
不変振幅がわかれば、散乱や崩壊の行列要素がわかる。
𝑇𝑖→𝑓 = 2𝜋 𝑓 𝐻 𝑖 2𝜌
行列要素と状態密度で遷移確率が計算できる。Fermi’s Golden Rule
ローレンツ不変振幅 (1)17/62
ローレンツ不変振幅 (2)
1
2
1′
2′
𝑡
3′
4′
5′
6′散乱・生成
崩壊 散乱・生成と崩壊を含む過程の不変振幅も、個々の過程の積として書ける。
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Feynmann Rulesファインマン則 (1)
•ラグランジアンℒを書く。
•ラグランジアンから可能なダイアグラムが決まる。
•ファインマン則を使って、あるダイアグラムに対する、不変振幅−𝑖ℳを求める。
•不変振幅を使って、行列要素を求める。
•行列要素とフェルミの黄金律を使って、遷移確率を求める。
•自然のラグランジアンℒを決める≒素粒子物理の目的
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Feynmann Rulesファインマン則 (2)
1. 散乱過程に関するファインマン図を描く。
2. 始状態と終状態に運動量表示の波動関数をあてがう。
3. 各頂点に相互作用定数を含む因子をあてがう。
4. 各内線に伝播関数をあてがう。
5. 閉線(ループ)に関して、閉線を回る4元運動量に関する4重積分を行う。
6. フェルミ粒子に関する閉線には-1を掛ける。
7. 同種のフェルミ粒子に対して、入れ換えを行ったグラフに関しては-1を掛ける。
8. 2.から7.の各因子を掛け合わせると、不変振幅が得られる。 𝑡
Møller scattering
https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B8ller_scattering
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QUARKS & LEPTONS,
F. Halzen and A.D. Martin
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粒子の崩壊
ローレンツ不変な位相空間
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残存確率
•寿命(lifetime) tだけ固有時間(proper time)が経つと、残存確率(survival probability)は Τ1 𝑒になる。
•崩壊幅(decay width) G = 1/t
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𝜇+ → 𝑒+ + 𝜈𝑒 + ҧ𝜈𝜇 decay 崩壊
https://arxiv.org/abs/1211.0960
指数関数的減少
背景事象の寄与
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2体崩壊 (1)
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2体崩壊 (2)
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• 𝑀 = 𝑚𝐻 ≅ 125 GeV
• 𝑚1 = 𝑚𝑍 ≅ 91 GeV
• 𝑚2 = 𝑚𝛾 = 0 GeV
• 𝐸1 = 𝐸𝑍 =𝑚𝐻2 −𝑚𝛾
2+𝑚𝑍2
2𝑚𝐻=
𝑚𝐻2 +𝑚𝑍
2
2𝑚𝐻= 96 GeV
• 𝐸2 = 𝐸𝛾 =𝑚𝐻2 +𝑚𝛾
2−𝑚𝑍2𝛾
2𝑚𝐻=
𝑚𝐻2 −𝑚𝑍
2
2𝑚𝐻= 29 GeV
• 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝𝑍 = 𝑝𝛾 =
𝑚𝐻2 − 𝑚𝑍+𝑚𝛾
2𝑚𝐻2 − 𝑚𝑍−𝑚𝛾
212
2𝑚𝐻=
𝑚𝐻2 −𝑚𝑍
2
2𝑚𝐻= 29 GeV
𝐻0 → 𝑍0𝛾0 decay 崩壊
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3体崩壊 (1)• 重心系での崩壊粒子の運動量は一意に決まらない。
• 2個の自由度が残る
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3体崩壊 (2)• 粒子1と2の系で、1がどれだけの運動量を持つか。
• 粒子1と2と3の系で、3がどれだけの運動量を持つか。
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3体崩壊 (3)• 粒子1と2の系で、1がどれだけの運動量を持つか。
• 粒子2と3の系で、3がどれだけの運動量を持つか。
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ダリッツプロット (1)
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ダリッツプロット (2)
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𝐷𝑠+ → 𝜋+𝜋−𝜋+
•一部は𝑓0 980 → 𝜋+𝜋−を経て崩壊している。
https://arxiv.org/abs/0808.0971
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http://pdg.lbl.gov/2018/tables/contents_tables.html
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運動学的限界 (1)
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運動学的限界 (2)
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超対称性粒子 SUSY particles
•
Phys. Rev. D 62, 015009 (2000)
スクォーク(squark)の質量をllqの不変質量から推定できる。
𝑞𝐿
𝑞 𝑙+ 𝑙−
𝜒10
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多体崩壊
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断面積 (1)
始状態2粒子
終状態n粒子
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断面積 (2)
𝑠: 重心系エネルギー
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2体反応
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マンデルスタム変数 (1)
• s is the square of the center of mass energy.
• 𝑠 = 𝐸cm重心系エネルギー
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𝑒− + 𝑒+ → 𝜇− + 𝜇+ reaction
• ℳ 2 =2𝑒4
𝑠2𝑢2 + 𝑡2 + 4 𝑚𝑒
2 +𝑚𝜇2 𝑠 − 2 𝑚𝑒
2 +𝑚𝜇2 2
•𝑑𝜎
𝑑Ω=
𝛼2
4𝜋𝑠1 + cos2𝜃
• 𝜎 =4𝜋𝛼2
3𝑠
• 𝛼 =𝑒2
4𝜋~
1
137fine structure constant
𝑝1
𝑝2
𝑝3
𝑝4
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弾性散乱 elastic scattering
• TOTEM experiment at the LHC
• 𝑝𝑝 → 𝑝𝑝 elastic scattering
• Data are better fitted with prediction including a colourless three-gluon bound state (Odderon).
http://cds.cern.ch/record/2298154
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マンデルスタム変数 (2)
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マンデルスタム変数 (3)
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包括反応・横質量、ラピディティ
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ローレンツ不変断面積
•式(47.12)参照
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ファインマンx (エックス)
• There is also Bjorken’s x different from Feynmann’s x.
• These variables are used in scattering experiments and in discussion of parton (=quark and gluon) distribution in a proton or neutron.
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横エネルギー、擬ラピディティ
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角度・(擬)ラピディティ
•同じ角度、同じ運動量、質量が異なればラピディティは異なる。
• 𝑦 =1
2ln
𝐸+𝑝𝑧
𝐸−𝑝𝑧, 𝐸 = 𝑚2 + 𝑝𝑥
2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧
2
•擬ラピディティは質量がゼロの場合のラピディティ。
Pseudorapidity h Polar angle q [degree]
0.0 90.00
0.5 62.48
1.0 40.40
1.5 25.16
2.0 15.41
2.5 9.39
3.0 5.70https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorapidity
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横方向の変数
http://www.pd.infn.it/%7Edorigo/missing%20energy.jpg
• ニュートリノ• 直接は捉えられない
• 運動量・エネルギーのアンバランス(消失横エネルギー, missing transverse energy, ET miss)として捉える
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• The largest volume detector ever constructed for a particle collider.
• Diameter 25 m, length 44 m, weight 7000 tons• About 100 million electronics channels, about 3000 km of cables• Solenoid magnet (2.0 T) and toroid magnets
アトラス検出器 ATLAS detector 53/62
アトラス検出器 ATLAS detector • Muon Spectrometer
• Muons• Hadron Calorimeter
• Hadrons• Protons• Neutrons• Charged pions• Kaons
• Electro magnetic calorimeter• Electrons• Photons• Neutral pions (𝜋0 → 𝛾𝛾)
• Inner tracker• Charged particles
• Missing transverse momentum• Neutrinos• Momenta
• Obtained from radii in magnetic fields• Superconducting magnets, inner tracker, muon spectrometer
• Energies• Obtained from pulse heights of calorimeter signals
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アトラス内部飛跡検出器ATLAS Inner Detector
|h|=1.0
|h|=2.5
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崩壊の終状態の一部の粒子が見えないような粒子の単一生成
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𝑊+ → 𝜇+𝜈𝜇の生成と崩壊
消失横エネルギーmissing transverse energy～ニュートリノの横運動量transverse momentum of a neutrino
ニュートリノのビーム方向の運動量がわからないので、幅広いピークになる。Broad peak due to unknown neutrino momentum in the beam direction
𝑚𝑊 = 80.379 ± 0.012 GeVΓ𝑊 = 2.085 ± 0.042 GeV
ミューオンの横運動量Transverse momentum of a muon
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崩壊の終状態の一部の粒子が見えないような粒子の対生成
見えない
見える
見えない
見える
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参考文献
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まとめ
•ローレンツ変換が重要。
•質量などのローレンツ不変量が重要。
•ローレンツ不変振幅がわかれば、断面積や崩壊幅が計算できる。
•ローレンツ変換で不変な横運動量や、良い性質を持つラピディティや、擬ラピディティが重要。
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TLorentzVector class
• In ROOT, very widely used software in high energy physics, TLorenzVector class is available for 4-momentum calculation.
• https://root.cern.ch/doc/v608/classTLorentzVector.html
const double mEle = 0.5109989461; // MeV
double ptEle, etaEle, phiEle, ptPos, etaPos, phiPos;
// Set these variables
TLorentzVector p4Ele, p4Pos, p4Z;
p4Ele.SetPtEtaPhiM(ptEle, etaEle, phiEle, mEle);
p4Pos.SetPtEtaPhiM(ptPos, etaPos, phiPos, mEle);
p4Z = p4Ele + p4Pos;
p4Z.M(); // You can get invariant mass of e+e-
p4Z.Pt(); // You can get pT of e+e-
p4Z.Eta(); // You can get pseudo-rapidity of e+e-
p4Z.Rapidity(); // You can get rapidity of e+e-
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