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学员专用 请勿外泄
《笔试高分攻略》——浙江宁波教师招聘联考数学备考篇
前言
听说你要去远行
我们会为你准备最好的装备
和最耐用的拐杖
助你风里雨里，跋山涉水，到达心中的圣地
听说你要去远航
我们会为你准备最好的航船
和最精确的指南针
助你千里万里，乘风破浪，到达理想的彼岸
听说你想把文明的圣火
传到那些稚嫩的小手中
于是，我们把这本《笔试高分攻略——数学备考篇》
卷成一支精美的火炬
只等你用信念和勤奋
点燃——
那些我们精心为你准备的
教师所需要的知识的火种
学员专用 请勿外泄
目 录
第一部分 考情分析...............................................................................................................3
一、考题分析....................................................................................................................3
二、报考条件....................................................................................................................5
三、考试周期..................................................................................................................10
第二部分 数学专业知识.....................................................................................................11
第一章 小学数学..........................................................................................................11
第二章 初中数学..........................................................................................................15
第三章 高中数学..........................................................................................................20
第四章 大学数学..........................................................................................................31
第三部分 数学教材教法.....................................................................................................38
第四部分 精选题库.............................................................................................................44
第五部分 2020 年宁波教师招聘联考模拟卷....................................................................53
2020 年浙江宁波教师招聘考试模拟卷一.....................................................................53
2020 年浙江宁波教师招聘考试模拟卷二.....................................................................59
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第一部分 考情分析一、考题分析
（一）考试科目及题型题量
浙江省宁波教师招聘考试
《教育综合理论+小学数学》
总分值：100 分 总时限：9：00-11：00，120 分钟
总题量：57 题
一、判断（共 20 题，每题 1分，共 20分）1-10 教育理论
二、单选（共 25 题，每题 1分，共 25分）1-10 教育理论
三、填空题（共 5题，每题 2分，共 10 分）
四、计算题（共 5题，每题 5分，共 25 分）
五、综合题（共 2题，每题 10 分，共 20分）
总结：总分 100 分，其中数学专业知识共 37 题，分值为 80 分．
（二）各模块分值比重
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（三）各模块考点分值对比
模块名称 具体内容 分值（分） 比重（%）
模块 1：小学知识
数的认识：整数的分类、合数的概念、真分数
假分数的概念
数的运算：比和比例
空间与图形：圆的周长
应用题：储蓄问题
9 分 11.25%
模块 2：初中知识
函数：平面直角坐标系
方程与不等式：一元二次方程、方程的应用、
解一元二次不等式
三角形：等腰三角形的性质
函数：一次函数、二次函数
统计与概率：随机事件概率计算、统计图表
18 分 22.5%
模块 3：高中知识函数：复合函数单调性、函数周期性、函数定
义域30 分 37.5%
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三角函数：正余弦定理、解三角形
集合：集合的运算
统计与概率：概率计算
立体几何：空间线面关系判定、立体几何综合
问题
数列：求数列通项公式、前 n 项和、等比数列
的相关性质
模块 4：大学知识
极限与连续：间断点的判断
导数与微分：微分
级数：幂级数收敛域
积分：定积分、不定积分计算、分部积分的应
用
线性变换：线性相关性判定
13 分 16.25%
模块 5：教材教法 数学案例分析 10 分 12.5%（四）试题难度
浙江省宁波 2018 年教师招聘考试——《教育综合理论+小学数学》中，数学专业知识小学
知识点的考查较为零散，相对比较简单，初中知识难度与中考难度相当，高中知识难度与高考
难度相比较简单，大学知识难度为基础的计算．
教材教法：试题在对教材教法部分的考查较少，考查数学教材教法基础知识．
二、报考条件海曙区招聘对象及资格条件
（一）招聘岗位
1．初中数学：鄞江镇：1 人；
2．小学数学：海曙外国语学校：1人；区直属：1 人；古林镇：2人．
（二）招聘对象
面向 2019 年全日制普通高等院校应届毕业生
应聘人员应同时具备以下：
1．2019 年普通高等院校本科及以上学历学位应届毕业生，本科须为师范类．报考特殊教
育岗位为专科及以上学历，须师范类．
2．应聘人员须在 2019 年 8 月 31 日前取得毕业证书、学位证书；2018 年 9 月 1 日至 2019年 8 月 31 日毕业的国（境）外留学回国（境）人员也可等同于国内 2019 届普通高等院校应届
毕业生，且须在 2019 年 9 月 30 日前取得教育部中国留学服务中心出具的国（境）外学历、学
位认证书．
3．宁波市生源或户籍．部属师范院校毕业生及报考特殊教育岗位的应聘人员，其生源和户
籍放宽至全国．生源是指高校入学前户籍所在地，户籍以 2019 年 3 月 14 日的户口所在地为准
（不含高校就学落户）．
4．年龄在 28 周岁以下，即 1991 年 3 月 14 日及以后出生．
面向社会人员
应聘人员应同时具备以下资格条件：
1．本科及以上学历．报考特殊教育岗位为专科及以上学历．
2．宁波市户籍．
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3．目前在宁波市义务段学校任教，且连续任教满 1 年及以上，任教年限统一计算至 2019
年 3 月 14 日．
4．年龄在 30 周岁以下，即 1989 年 3 月 14 日及以后出生．如具备以下条件之一的，年龄
可以放宽至 35 周岁，即 1984 年 3 月 14 日及以后出生：①具有一级教师专业技术职称．②获得
县（市、区）教坛新秀二等奖及以上．③获得县（市、区）单项教学业务类比赛一等奖及以
上．④获得县（市、区）优秀教师、优秀班主任等荣誉称号．
5．具有相应教师资格证书或有效期内的相应教师资格考试合格证明．
（三）招聘条件
1．遵纪守法、爱岗敬业、品行端正、诚信廉洁,具备良好的职业素质．
2．具有适应岗位要求的身体条件．
3．符合招聘岗位所需的资格条件．
4．符合招聘岗位所需的专业要求．
（四）报考专业要求
本科专业：数学与应用数学、信息与计算科学、小学教育（数学方向）；
研究生专业：课程与教学论（数学方向）、学科教学（数学方向）、基础数学、计算数
学、应用数学、概率论与数理统计．
余姚市报考条件、招聘范围及对象
（一）招聘岗位
1．初中数学：黄家埠镇：1 人；牟山镇：1 人；陆埠镇：1 人；三七市镇：1 人．
2．小学数学：定向 1：明伟：1 人；富巷：1 人；新建：1 人；丰北：1 人；老方桥：1人；新桥：1 人；低塘教辅室所属：1 人；朗霞教辅室所属：1 人；
定向 2：丈亭教辅室所属：1 人；三七市教辅室所属：1 人；马渚教辅室所属：1 人；牟山
教辅室所属：1 人；小曹娥教辅室所属：1 人；泗门教辅室所属：1 人；临山教辅室所属：1人；黄家埠教辅室所属：1 人；
定向 3：低塘教辅室所属：1 人；朗霞教辅室所属：1 人；陆埠教辅室所属：1 人；三七市
教辅室所属：1 人；河姆渡教辅室所属：1 人；牟山教辅室所属：1 人；泗门教辅室所属：1人；定向学校：1 人．（仅限男性报考）
（二）招聘范围、对象
1．宁波市户籍（或高考时宁波市生源）的 2019 年全日制普通高校应届毕业生．
2．宁波市户籍（或高考时宁波市生源）的具有相应教师资格证书的社会人员．
3．音乐大学、体育大学、美术大学及学院（专指独立设置的普通高等院校，不包括二级学
院）音乐、体育、美术专业全日制普通高校毕业生，以及信息技术专业全日制普通高校毕业生,生源和户籍不限．
4．部属师范院校（北京师范大学、东北师范大学、华东师范大学、华中师范大学、西南大
学和陕西师范大学）的毕业生、浙江省省级优秀毕业生、浙江师范大学学子英才毕业生、各类
高校研究生学历毕业生，生源和户籍不限．
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（三）报考条件
1．政治条件：拥护党的基本路线，热爱并安心教育事业，具备良好的教师职业素养，服从
组织工作安排，遵纪守法，品行端正，无惩处记录．
2．年龄条件：年龄要求在 30 周岁以下（1989 年 3 月 1 日及以后出生）．
3．学历条件：报考学前教育相关职位者要求大专及以上学历；报考小学、初中、高中相关
职位者要求本科及以上学历．社会人员在报名截止前须已取得国家认可的学历证书．
4．户籍条件：户籍入户时间截止 2019 年 2 月 28 日．
5．教师资格条件：具有相应任职资格的教师资格证书；或已通过国家教师资格考试的笔试
和面试，且普通话等级达到二级乙等及以上（其中语文学科要求二级甲等及以上）．招聘对象
中第（三）和第（四）类人员报名时可不受教师资格证书限制．
6．专业条件：要求所持教师资格证（或国家教师资格考试笔试和面试成绩单）中的任教学
科须同报考职位对口；不受教师资格证书限制的报考人员，所学专业须同报考职位对口．
7．其他条件：详见招聘职位分布表备注栏要求．公务员、非教育系统事业单位在编人员、
现役军人、非 2019 年应届毕业的全日制普通高校在读学生（包括研究生）、在相应国家考试中
因违纪违规按有关规定不能报考的人员，不得报考，余姚市外教育系统事业单位在编人员经本
人所在单位及上级主管部门同意并出具书面证明后报考．
奉化区招聘对象及资格条件
（一）招聘岗位
1．初中数学：2 人；
2．小学数学 1：5 人；小学数学 2（男）：3 人；小学数学 3（定向跸驻小学）：1 人；小
学数学 4（定向东岙小学）：1 人．
（二）招聘对象基本条件
1．遵守国家法律、法规，无违纪处分及违法记录．
2．遵守纪律,品行端正,热爱教育事业,具备良好的职业道德素养．
3．具有招聘岗位所需的学历、专业、任职资格及技能要求．
4．具备适应岗位要求的身体、心理条件．
5．奉化区在编事业单位工作人员需与原单位解聘后才能报考．
（二）招聘职位范围及资格条件
招聘范围：宁波
资格条件：符合以下二个条件之一：
1．宁波大市生源的全日制普通高校相应专业大学本科及以上学历且已取得相应的教师资格
证书或教师资格证书“国考”笔试、面试和普通话合格证书的 2019 年应届毕业生．
2．1989 年 3 月 14 日以后出生的具有宁波大市常住户口（以 2019 年 3 月 14 日的户口所在
地为准），并持有本学科相应的教师资格证书或符合对应学科专业要求已取得教师资格证书“国考”笔试、面试和普通话合格证书的全日制普通高校大学本科及以上学历者；其中对具有全日制
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研究生及以上学历学位的（要求本科、研究生专业一致）或具有高级教师职称的，年龄适当放
宽到 1984 年 3 月 14 日以后出生．
专业要求：
小学数学：数学、数学与应用数学、信息与计算科学、数学教育、计算数学、数学基础科
学．
初中数学：数学、数学与应用数学、信息与计算科学、数学教育、计算数学、数学基础科
学、小学教育．
宁海区报考条件、招聘范围及对象
（一）招聘岗位
小学教师计划招聘人数：9 人；
分配定向：胡陈、东仓、望海、双湖、大里、大蔡、强蛟、马岙、大佳何．
（二）招聘范围、对象
1．小学教师：浙江省生源或户籍（生源指经高考、被高校录取时户口在浙江，户籍以报名
当日的户口所在地为准，下同），全日制普通高校本科及以上学历，具有相应教师资格证书，
还须具备下列条件之一：A．所学专业须与招聘学科相一致；B．教师资格证的任教学科与招聘
学科相一致．
具有宁波大市生源或户籍，在高中、大学期间已达到国家二级及以上运动员称号的，国家
承认的本科及以上学历，具有体育教师资格证书的，允许报考体育学科．
（三）报考条件
1．拥护党的基本路线，遵纪守法，品行端正，作风正派，热爱教育事业，立志从事宁海县
教育工作．服从分配，愿意为农村教育事业作贡献；
2．身心健康，符合从事教育工作所需要的身体、心理条件；
3．具备从事教师工作的专业技能、组织协调管理和口头表达能力等综合素质；
4．年龄在 30 周岁及以下，即 1989 年 3 月 21 日以后出生；
5．具有招聘岗位所需的学历、资历、专业、任职资格、职业（执业）资格及技能要求；
6．具有相应教师资格证书，其中 2019 年全日制普通高校应届毕业生提供普通话二级乙等
及以上（语文学科须二甲及以上）证书和用 PDF 格式打印的网页版中小学教师资格考试合格证
明；
7．具备招聘职位所需要的其它条件．
（四）招聘专业要求
小学教师报考专业要求：数学类、学科教学（数学）、课程与教学论（数学）、小学教育
（数学）、小学教育（综合）；
慈溪市招聘条件、招聘范围及对象
（一）招聘岗位
1．高中数学：杭州湾中等职业学校（定向）：1 人；
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2．初中数学：龙山镇（定向）：1 人；掌起镇（定向）：1 人；庵东镇（定向）：1 人；
统招 A（不限）：2 人；统招 B（男）：1 人．
3．小学数学：龙山镇（定向）：2 人；掌起镇（定向）：2 人；特殊学校（定向）：1人；统招 A（不限）：5 人；统招 B（男）：2 人．招聘后流动到慈吉小学：1 人．
（二）报考范围、对象
1．2019 年浙江生源全日制普通高校师范类省级应届优秀毕业生；
2．2019 年浙江生源全日制普通高校应届毕业硕士及以上学位研究生；
3．2019 年宁波生源全日制普通高校师范类应届毕业生（其中音乐教师岗位放宽到浙江生
源）；
4．具有报考岗位要求的学历（研究生同时需具有硕士及以上学位）且具有相应教师资格的
宁波市行政区域内户籍（以 2019 年 2 月 25 日的户籍所在地为准）非事业编制人员．
上述对象报考学历要求为：报考幼儿园教师岗位限大专及以上学历，报考小学教师岗位限
本科及以上学历，报考高中和初中教师岗位须具有全日制普通高校本科及以上学历。
（三）招聘条件
1．遵守中华人民共和国宪法、法律、法规；
2．遵守纪律，品行端正；
3．热爱教育事业，志愿从事教师工作；
4．具有教师职业所需要的综合素质和专业技能，口头表达能力强，有一定的组织管理能
力；
5．年龄 30 周岁以下（1989 年 2 月 25 日以后出生）；
6．身体健康；
7．报考高中文化课、初中、小学和幼儿园教师岗位还要满足以下要求：2019 届师范类毕
业生按已经明确的专业要求报考相应岗位。历届生报考高中文化课和初中教师岗位的，所学专
业须与报考学科对口且教师资格认定学科与报考学科一致；报考小学、幼儿园教师岗位的，按
教师资格认定的学科报考相应岗位（教师资格认定学科为“其他”的，不予报考）。初中语文统
招 B、初中数学统招 B、小学语文统招 B、小学数学统招 B 岗位限招男生；
8．在全日制普通高校就读的非 2019 年应届毕业生不能报考，在全日制普通高校就读的非
2019 年应届毕业的专升本人员、研究生也不能以原已取得的学历、学位证书报考．
（四）招聘专业要求
数学、数学与应用数学、信息与计算科学、数学教育、课程与教学论（数学）、学科教学
（数学）、基础数学、计算数学、应用数学、小学教育、初等教育、教育学（初等教育方向）
象山区报考条件、招聘范围及对象
（一）报考范围和对象
1．符合下列情形之一的，列入招聘范围：
（1）具有宁波市户籍或生源（生源指全日制普通高校入学前户籍所在地，户籍以 3 月 13日的户口所在地为准）；
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（2）经高考被全国范围内重点师范院校（专指北师大、华东师大、华中师大、陕西师大、
东北师大、浙师大）全日制师范类录取的本科生，以及以上院校毕业的研究生（具有硕士及以
上学位，且本硕专业一致），户籍、生源不限；
上述人员中属于 2019 年应届毕业的，须在 2019 年 7 月 31 日前提供相应的学历证书（研究
生还应提供相应的学位证书）．
2．截止 2019 年 3 月 13 日，现役军人不能报考，在全日制普通高校就读的非 2019 年应届
毕业生不能报考，在全日制普通高校脱产就读的非 2019 年应届毕业的专升本人员、研究生也不
能以原已取得的学历、学位证书报考．
3．曾因犯罪受过刑事处罚的人员，曾被开除公职的人员，在公务员招考和事业单位招考中
被认定实施了考试作弊、弄虚作假行为且仍在不得报考期限内的人员，以及具有法律法规规定
不得录用为事业人员的其他情形的人员，不得报考．
（二）其他条件
1．年龄在 35 周岁以下，即 1984 年 3 月 13 日（含）以后出生．
2．毕业证书（学历学位认证书）上的专业与报考岗位所要求的专业相一致，且具有相应任
教学科的教师资格证书．其中 2019 年全日制普通高校应届毕业生提供普通话二乙及以上（语文
学科须二甲及以上）证书、用 PDF 格式打印的网页版的中小学教师资格考试合格证明．
3．须具有国家承认的学历；国（境）外留学回国（境）人员报名时须提供教育部中国留学
服务中心出具的国（境）外学历、学位认证书．
4．在 2019 年 3 月 13 日（含）前通过高等教育自学考试或成人高等教育学历考试等非全日
制普通高校学历考试并取得毕业证书的人员，符合招聘职位资格条件的可以报考．
三、考试周期一般发布公告在 2 月底或 3 月初，报名时间在 3 月份左右，考试时间在 4 月份左右，备考
周期为一个月到一个半月左右．
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第二部分 数学专业知识第一章 小学数学
考点·数的有关概念
1．四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比 5 小就舍去，是 5 或大于 5 舍去
尾数向前一位进 1．
2．因数和倍数：如果数 a 能被数 b（b≠0）整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数
（或 a 的约数）；倍数和因数是相互依存的；一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数
是 1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身．
3．奇数和偶数：自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数；能被 2 整除的数叫做偶
数；0 也是偶数；不能被 2 整除的数叫做奇数．
4．质数与合数：一个数，如果只有 1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），
100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、
61、67、71、73、79、83、89、97；一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫
做合数；1 不是质数也不是合数，非零自然数除了 1 外，不是质数就是合数．
5．倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数；求一个数（0 除外）的倒数，只要把这个数的分
子、分母调换位置；1 的倒数是 1，0 没有倒数．
【例题】在 1-100 的全部自然数中，既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有_________个．
【答案】53．解析：1-100 的全部自然数有 100 个，其中是 3 的倍数的有100[ ] 33
3 个，是 5
的倍数的有100[ ] 20
5 个，既是 3 的倍数又是 5 的倍数（是 15 的倍数）的有
100[ ] 615
个，因此在
这 100 个自然数中，是 3 的倍数或 5 的倍数的个数共有 33+20-6=47 个，则既不是 3 的倍数又不
是 5 的倍数的个数共有 100-47=53 个．
考点·比与比例
1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项
相当于除数，比值相当于商．
2．比例尺：（1）数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺；（2）线段比例尺：在图上
附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离．
3．比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
4．正比例和反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做
正比例关系．用字母表示 y/x=k（一定）；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量
就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．用字母表示 x×y=k（一定）．
【例题】10：12=x：30，则 x 的值是（ ）．
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A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】B．解析：根据比例的性质，内项之积等于外项之积，所以 12x=300，得 x=25，故选 B．
考点·面积和体积
1．平面图形
（1）长方形：S=ab．
（2）正方形：S=a²．
（3）三角形：2
ahS ．
（4）平行四边形：S=ah．
（5）梯形：
2a b h
S
．
（6）圆：S=πr2．
（7）扇形：2π
360n rS ．
（8）环形：S=π（R²-r²）．
（9）弓形：一般来说，弓形面积 扇形面积－三角形面积（除了半圆）．
（10）“弯角”：如图： “弯角”的面积 正方形面积－扇形面积．
（11）“谷子”：如图： “谷子”的面积 弓形面积×2．
2．立体图形
（1）长方体：S=2（ab+ah+bh），V=Sh，V=abh．
（2）正方体：S 表=6a²，V=a³．
（3）圆柱：S 侧=ch，S 表=S 侧+S 底×2，V=Sh．
（4）圆锥：3
ShV ．
3．常用的思想方法
转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）；等积变形（割补、平移、旋转
等）；借来还去（加减法）；外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分
之间的“关系”）．
【例题】在一个直角三角形中有一个内接正方形，阴影部分的面积是多少平方厘米？
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【答案】40 平方厘米．
解析：三角形 AEF 绕点 F 顺时针旋转 90 度，与三角形 FDC 组成一个直角三角形，两直角
边分别是 10 厘米、8 厘米，其面积是：1 110 8 80 402 2
（平方厘米）．
考点·应用题
1．相遇问题
数量关系：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式．
2．追及问题
数量关系：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
3．植树问题
数量关系：线形植树棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树棵数＝距离÷棵距
方形植树棵数＝距离÷棵距－4（注：端点不植树）
三角形植树棵数＝距离÷棵距－3（注：端点不植树）
面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）
解题思路和方法：先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式．
4．年龄问题
数量关系：年龄问题往往与和差，和倍，差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题
思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点．
解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法．
5．行船问题
数量关系：（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式．
6．列车问题
（1）列车过桥（隧道）
列车车长＋桥（隧道）长度（总路程）＝列车速度×通过的时间
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（2）列车＋树（电线杆）
列车车长（总路程）＝列车速度×通过时间
（3）列车＋列车
错车问题：相当于相遇问题
快车车长＋慢车车长（总路程）＝（快车速度＋慢车速度）×错车时间
超车问题：相当于追及问题
快车车长＋慢车车长（总路程）＝（快车速度—慢车速度）×错车时间
7．时钟问题
数量关系：分针的速度是时针的 12 倍，
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算．
解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式．
8．工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式．
9．鸡兔同笼问题
数量关系：第一鸡兔同笼问题
假设全都是鸡，则有：兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有：鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题
假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
解题思路和方法：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是
兔．如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔．这类问题也叫置
换问题．通过先假设，再置换，使问题得到解决．
10．商品利润问题
数量关系：利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
解题思路和方法：简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式．
11．存款利率问题
数量关系：年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%
利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
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【例题】个税法规定，公民全月工资，薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过 800
元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进算：
全月应纳税所得额 税率
不超过 500元的部分 5%超过 500元的部分至 2000 元的部分 10%超过 2000 元的部分至 5000 元的部分 15%
（1）某公民 2013 年 5 月份总收入 1350 元，他应纳所得税多少钱？
（2）某企业高级职员 2013 年 6 月份交所得税 145 元，则他 6 月份的工资收入多少钱？
（用方程解答）
【答案】（1）30 元．（2）2500．
解析：（1）1350-800=550（元），500×5%+50×10%=30（元）．
（2）设 6 月份工资收入为 x 元钱．
500 5% ( 500 800) 10% 145x ，解得 2500x ．
第二章 初中数学考点·整式的运算
1．幂的运算性质： m n m na a a ； ( )m n mna a ； m n m na a a ； ( )n n nab a b ．
2．乘法公式
（1） 2( )( ) ( )x p x q x p q x pq ．
（2） 2 2( )( )a b a b a b ．
（3） 2 2 2( ) 2a b a ab b ．
（4） 2 2 2( ) 2a b a ab b ．
3．整式的除法
（1）单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被
除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商
相加．
【例题】下列运算正确的是（ ）．
A． 2 2 2 2 2 2( 2 ) 2( ) 3a b a b a b B．2 1 21
1 1a aaa a
C． 3 2( ) ( 1)m m m ma a a D． 26 5 1 (2 1)(3 1)x x x x
【答案】C．解析：A 项应等于 23a ；B 项应等于2
1a ；D 项应等于 ( )(6 1 1)x x ．
考点·一元二次方程
1．一般形式： 2 0( 0)ax bx c a ．
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2．解法：直接开平方法；配方法；公式法 2
24 4 02
b b acx b aca
；因式分解法．
3．根的判别式：通常用“ ”来表示，即 2 4b ac ．
4．根与系数的关系：如果方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是 1x ， 2x ，那么
1 2bx xa
， 1 2cx xa
．
【例题】若 ,a b 是方程 2 2 2006 0x x 的两根，则 2 3a a b （ ）．
A．2006 B．2005 C．2004 D．2002
【答案】C．解析：∵a，b 是方程 2 2 2006 0x x 的两根， 2 2 2006x x ， 2a b ，所
以有 2 23 2 2006 2 2004a a b a a a b ．
考点·函数
1．一次函数 y kx b 的图象与性质
2．反比例函数kyx
的图象与性质
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象与性质
a 的符号 a＞0 a＜0
图象
k、b 的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0
图象的大致位
置
经过象限第一、二、三象
限
第一、三、四象
限
第一、二、四象
限
第二、三、四象
限
性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
k 的符号 k＞0 k＜0
图象的大致位置
经过象限 第一、第三象限 第二、第四象限
性质在每一象限内 y 随 x 的增大而减
小在每一象限内 y 随 x 的增大而增大
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开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线2bxa
直线2bxa
顶点坐标24,
2 4b ac ba a
24,2 4b ac ba a
增减性
当2bxa
时，y 随 x 的增大而减小；
当2bxa
时，y 随 x 的增大而增大
当2bxa
时，y 随 x 的增大而增大；
当2bxa
时，y 随 x 的增大而减小
最值 当2bxa
时，y 有最小值24
4ac b
a
当2bxa
时，y 有最大值24
4ac b
a
【例题】直线3 3
3y x 与 x y、 轴分别交于点 A、B，与反比例函数 ( 0)ky k
x 图像交于
点 C、D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图像于点 E，
（1）求点 A 的坐标；
（2）若 AE=AC；①求 k 的值；②试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称并说明理
由．
【答案】(1) (3,0)A ；（2）① 6 3k ；②D 和 E 关于坐标原点中心对称．
解析：（1）将 0y 代入一次方程，解得： 3x ，因此 A 的坐标为 (3,0) ．
（2）①如图所示：E 的坐标为 (3, )3k
，因此3kAE AC ，作 CF 垂直于 x 轴，
由3 3
3y x ，可知 30oCAF ，
2 6AC kCF ，
3 32 6
AF AC k ，因此 C 的坐标为
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3( 3, )6 6
kk ．又因为 C 在反比例函数曲线上，则 C 的坐标满足 6 3 36
k k
k
，即 6 3k ．
②令3 6 33
3x
x ，解得 6x 或 3 ，则 D 的坐标为 ( 3, 2 3) ，而 E 的坐标为 (3,2 3) ，因
此 D 和 E 关于坐标原点中心对称．
考点·等腰三角形
1．等腰三角形的性质与判定
（1）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）．
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合
一”）．
③等腰三角形是轴对称图形．
（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简称为“等角对等边”）．
2．等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的性质
①等边三角形的内角相等，且都等于 60°．
②等边三角形的三条边都相等．
③等边三角形同样具有“三线合一”的性质．
④等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．
（2）等边三角形的判定
①三条边相等的三角形是等边三角形．
②三个角相等的三角形是等边三角形．
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．
【例题】如图，已知△ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在 BC，AC 边上，且 AE＝CD，
AD 与 BE 相交于点 F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD 的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）60°．
解析：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA．在△ABE 与△CAD
中，AB＝CA，∠BAE＝∠C，AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，且△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD．
∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°．
考点·直角三角形
1．直角三角形性质�
b
�
a
�
c
�
h
�
E
�
D
�
B
�
A
�
C
（1）角的关系： A B 90°．
（2）边的关系： 2 2 2a b c （勾股定理）．
（3）边角关系：90 130 2
CBC AB
A
（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的
一半）（另外还有三角函数关系）．
（4）90 1
2C
CE ABAE BE
（直角三角形斜边上的中线 CE 等于斜边 AB 的一半）．
（5） 2ch ab S （如图， S 是 Rt△ABC 的面积， h 是斜边上的高）．
（6）外接圆半径2cR ；内切圆半径
2a b cr
．
2．直角三角形的判定
（1）有一个角等于 90°的三角形是直角三角形．
（2）有两角互余的三角形是直角三角形．
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．
（4）勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三
角形是直角三角形．
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【例题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，ED 垂直平分 AB 于 D，若
AC=9，则 AE 的值是（ ）．
A． 6 3 B． 4 3 C．6 D．4【答案】C．解析：因为 BE 平分∠ABC，所以 DE=CE，∠CBE=∠DBE，因为 ED 垂直平
分 AB 于 D，所以∠DBE=∠A，所以∠CBE=∠DBE=∠A，又∠C=90°，所以∠A=30°，则在
直角三角形 ADE 中，有 AE=2DE=2CE，又 AC=9，所以 AE=6．
考点·常见统计图的特点
名称 特点
条形图 能清楚地表示每个项目的具体数据
扇形图 能直观地反映部分占总体的百分比
折线图 能清楚地反映数据的变化趋势
直方图 能直观、清楚地反映数据在各小组的分布情况
【例题】某校 40 名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直
方图如图所示，成绩的中位数落在（ ）．
A．50.5～60.5 分 B．60.5～70.5 分
C．70.5～80.5 分 D．80.5～90.5 分
【答案】C．解析：由频数分布直方图知，这组数据共有 3+6+8+8+9+6=40 个，则其中位数
为第 20、21 个数据的平均数，而第 20、21 个数据均落在 70.5～80.5 分这一分组内，所以中位
数落在 70.5～80.5 分．故选 C．
第三章 高中数学考点·集合
1．集合的运算
（1）交集：A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．
（2）并集：A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．
（3）补集：∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}．
2．集合的运算性质
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
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（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
（3）补集的性质：A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A．
（4）摩根定律：∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）．
【例题】若集合1 2| 1 1 3 , | 02
xA x x B xx
，则 A B （ ）．
A． | 4 0x x B． | 0 4x x
C． | 0 2x x D． | 2 4x x
【答案】C．解析：由已知得： 1 1| 1 1 3 | 2 2 | 4 42 2
A x x x x x x
，
2| 0 | 0 2xB x x xx
| 0 2A B x x ，故 C 正确．
考点·函数基础知识
1．函数的定义
设 A， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A中的任意一个数
x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 :f A B 为从集合 A到集合 B 的一
个函数，记作 ,y f x x A ．
2．函数的单调性
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f x 的定义域为 I ，
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 1 2,x x
当 1 2x x＜ 时，都有 1 2f x f x＜ ，
那么就说函数 f x 在区间 D 上是增函数
当 1 2x x＜ 时，都有 1 2f x f x＞ ，
那么就说函数 f x 在区间 D 上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
3．函数的奇偶性
（1）奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，那么函数 f x 就
叫做偶函数．
一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，那么函数 f x
就叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
（2）奇、偶函数的性质
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①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调
性相反．
②在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的
和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
③复合函数的奇偶性可以概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
4．函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的任
何值时，都有 f x T f x ，那么就称函数 y f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函数 f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最
小正数就叫做 f x 的最小正周期．
（3）由周期函数的定义，采用迭代法可得结论
①函数 f x 满足 f x a f x ，则 f x 是周期为 2a 的函数．
②若 1 0f x a af x
恒成立，则 2T a ．
③若 f x a f x a ，则 2T a ．
④若
11
f xf x a
f x
，则 4T a ．
5．函数的图象变换
（1）平移变换： 0y f x a a ＞ 的图象，可由 y f x 的图象沿 x 轴方向向左或向右平
移 a 个单位得到； 0y f x b b ＞ 的图象，可由 y f x 的图象沿 y 轴方向向上或向下平移 b
个单位得到．即“左加右减，上加下减”．
（2）对称变换： y f x 与 y f x 的图象关于 y 轴对称； y f x 与 y f x 的图象关
于 x 轴对称； y f x 与 y f x 的图象关于原点对称； 1y f x 与 y f x 的图象关于直线
y x 对称．
（3）伸缩变换： 0y kf x k ＞ 的图象，可由 y f x 的图象上每一个点的纵坐标伸长
1k＞ 或缩短 1k＜ 到原来的 k 倍而得到； 0y f kx k ＞ 的图象，可由 y f x 的图象上每一个
点的横坐标伸长 1k＜ 或缩短 1k＞ 到原来的1k倍而得到．
（4）翻折变换：要得到 y f x 的图象，可先画出 y f x 的图象，然后“上不动，下翻
上”即可得到；由于 y f x 是偶函数，要得到 y f x 的图象，可先画出 y f x 的图象，
然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．
6．函数图象的对称性
（1）若对函数 y f x 的定义域内的任一自变量 x 的值都有 2 2f x b f a x ，则
y f x 的图象关于点 ,a b 成中心对称．
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（2）若对函数 y f x 的定义域内的任一自变量 x 的值都有 2f x f a x ，则 y f x
的图象关于直线 x a 成轴对称．
（3）函数 y f x 的图象与函数 2 2y b f a x 的图象关于点 ,a b 对称．
（4）函数 y f x 的图象与函数 2y f a x 的图象关于直线 x a 对称．
7．反函数
（1）只有满足 x y唯一
，函数 ( )y f x 才有反函数．例： 2y x 无反函数．
（2）函数 ( )y f x 的反函数记为 1( )x f y ，习惯上记为 1( )y f x ．在同一坐标系，函数
( )y f x 与它的反函数 1( )y f x 的图象关于 y x 对称．
（3）单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的．因此，所有偶函数不存在
反函数．
（4）如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数．
（5）设函数 ( )y f x 定义域，值域分别为 X 、 Y ．如果 ( )y f x 在 X 上是增（减）函数，
那么反函数 1( )y f x 在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同．
（6）一般地，如果函数 ( )y f x 有反函数，且 ( )f a b ，那么 1( )f b a ．这就是说点
（ ,a b ）在函数 ( )y f x 图象上，那么点（ ,b a ）在函数 1( )y f x 的图象上．
【例题】已知函数 �쩀괊ﾀ是定义在区间� 图 象上象�上的偶函数，当 괊 � �Ͳ上象�，�쩀괊ﾀ是减函数，如
果不等式 1f m f m 成立，则实数 � 的取值范围是（ ）．
A． 图 1上 1象
B．� 图 1上象� C．쩀 图 ∞上Ͳﾀ D．쩀 图 ∞上1ﾀ
【答案】A．解析：偶函数 f x（ ）在 0,2 上是减函数，∴其在 2,0 上是增函数，由此可以
得出，自变量的绝对值越小，函数值越大，∴不等式 (1 ) ( )f m f m 可以变为
12 22 1 2
m mm
m
，解
得11,2
m ，故选 A．
考点·指对幂函数
1．指数函数的图象与性质
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，＋∞）
性质 过定点（0，1）
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当 x＞0 时，y＞1；当 x＜0 时，0＜y＜1 当 x＞0 时，0＜y＜1；当 x＜0 时，y＞1
在（－∞，＋∞）上是增函数 在（－∞，＋∞）上是减函数
2．对数函数的图象与性质
y=logax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 （0，＋∞）
值域 R
性质
过定点（1，0）
当 x＞1 时，y＞0；当 0＜x＜1 时，y＜0 当 x＞1 时，y＜0；当 0＜x＜1 时，y＞0
在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
3．幂函数的图象与性质
y＝xα α＝1 α＝2 α＝3 α＝ 12
α＝－1
定义域 R R R [0，＋∞） {x|x∈R 且 x≠0}值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y|y∈R 且 y≠0}奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 增
x∈[0，＋∞）时，
增；
x∈（－∞，0]时，
减
增 增
x∈（0，＋∞）时，
减；
x∈（－∞，0）时，
减
【例题】函数 f（x）＝x·2x，则下列结论正确的是（ ）．
A．当 x＝ 1ln 2
时，f（x）取最大值 B．当 x＝ 1ln 2
时，f（x）取最小值
C．当 x＝－1
ln 2时，f（x）取最大值 D．当 x＝－
1ln 2
时，f（x）取最小值
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【答案】D．解析： =2 2 =2 2 2x x x xf x x x ln ．令 f′（x）＝0，得1
ln 2x ．当
1,ln 2
x
时， 0f x ；当1 ,
ln 2x
时， 0f x ＞ ，故函数在
1ln 2
x 处取极小值，
也是最小值．
考点·正余弦定理
1．正弦定理：a
sin A＝
bsin B
＝c
sin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：（1）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；（2）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c
＝2RsinC；（3）sinA＝ a2R
，sinB＝ b2R
，sinC＝ c2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．余弦定
理可以变形：cosA＝b2＋c2－a2
2bc，cosB＝a2＋c2－b2
2ac，cosC＝a2＋b2－c2
2ab．
3．S△ABC＝12absinC＝1
2bcsinA＝1
2acsinB＝abc
4R＝
12（a＋b＋c）·r（r 是三角形内切圆的半
径），并可由此计算 R、r．
4．在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 sina b A＝ sinb A a b a b a b解的个数 一解 两解 一解 一解
【例题】△ABC 中，若cos cos
a bB A ，则该三角形一定是（ ）．
A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D．解析：由cos cos
a bB A ，得
cos sincos sin
a B Ab A B ，得
sin cos sin cos sin 2 sin 2A A B B A B A B 或 =2
A B ，故选 D．
考点·数列
1．等差数列
（1）基本公式： 1 ( 1)na a n d＝ ＋ ； 11
( ) ( 1)2 2
nn
n a a n nS na d ．
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（2）等差数列的常用性质
①通项公式的推广： ,n ma a n m d n m N ．
②若 na 为等差数列，且 k l m n （ , , ,k l m n N ），则 k l m na a a a ．
③若 na 是等差数列，公差为d，则 2 na 也是等差数列，公差为 2d ．
④若 na ， nb 是等差数列，则 n npa qb 也是等差数列．
⑤若 na 是等差数列，公差为d，则 2, , ,k k m k ma a a （ ,k m N ）是公差为md的等差数列．
（3）等差数列各项和的性质
①若 na 是等差数列，则 nSn
也是等差数列，其首项与 na 的首项相同，公差是 na 的
公差的12．
② 2 3, ,m m mS S S 分别为 na 的前 m 项，前 2m项，前3m项的和，则 2 3 2, ,m m m m mS S S S S 成等差
数列．
③关于非零等差数列奇数项与偶数项和的性质
a．若项数为 2n，则+1
, n
n
S aS S ndS a
奇奇偶
偶
．
b．若项数为 2 1n ，则 1 , , ,1n n n
S nS n a S na S S aS n
奇奇 奇偶 偶
偶
．
④若两个等差数列 na ， nb 的前 n 项和分别为 ,n nS T ，则2 1
2 1
n n
n n
a Sb T
．
2．等比数列
（1）基本公式：1
1n
na a q （ 0q ）；1 1(1 )1 1
nn
na q a a qS
q q
（ 1q ）； 1 nS n a
（ 1q ）．
（2）等比数列的常用性质
①通项公式的推广：n m
n ma a q ,n m N ．
②若 na 为等比数列，且 k l m n （ , , ,k l m n N ），则 k l m na a a a ．
③若 na ， nb 是等比数列，则 0na ，1
na
， 2na ， n na b 仍是等比数列．
（3）等比数列前 n 项和的性质
①有公比不为 1 的等比数列 na （或公比为 1 且 m 为奇数），则 2 3 2, ,m m m m mS S S S S 仍
成等比数列，其公比为 mq ．
②当项数是偶数时， S S q 奇偶 ；当项数是奇数时， 1S a S q 奇 偶 ．
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3．数列求和方法：（1）分组转化法；（2）错位相减法；（3）倒序相加法；（4）裂项相
消法．
【 例 题 】 已 知 1 2 31 1 1 1 1 1 1 1(1 ), ( ), ( ),...
10 3 10 3 5 10 5 7a a a ， 则
1 2 3 100...a a a a ________．
【答案】 20201
．解析：由已知得 1 1 1( )10 2 1 2 1na
n n
，
1 2 3 1001 1... (1 )
10 3a a a a
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 200 20( ) ( ) ... ( ) (1 )10 3 5 10 5 7 10 199 201 10 201 10 201 201
．
考点·不等式
1．不等式证明
（1）作差比较法
①理论依据： 0a b a b ； 0a b a b ； 0a b a b ．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与 0 的
大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据： 0b ， 1a a bb ， 1a a b
b ．
②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论．
（3）放缩法
①定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而
达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
②思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
2．几种不等式的解法
（1）一元二次不等式的解法
一化：化二次项前的系数为正数．
二判：判断对应方程的根的情况．
三求：求对应方程的根．
四画：画出对应函数的图象．
五解集：根据图象写出不等式的解集．
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．
（2）高次不等式的解法：穿根法
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方
向，写出不等式的解集．
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（3）分式不等式的解法
先移项通分标准化，则( ) 0 ( ) ( ) 0( )
f x f x g xg x
，( ) ( ) 0( ) 0( ) 0( )
f x g xf xg xg x
（ “ ”或“ ”
时同理）．
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解．
3．几个重要不等式
（1） 2 2 2a b ab a b R ， （当且仅当 a b 时取 " " 号）．变形公式：2 2
2a bab
．
（2）（基本不等式） 2a b ab
a b R， （当且仅当 a b 时取到等号）．
变形公式： 2a b ab ，2
2a bab
．
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二
定、三相等”．
（3）（三个正数的算术—几何平均不等式）3
3a b c abc
( )a b c R, , （当且仅当
a b c 时取到等号）．
（4） 2 2 2a b c ab bc ca a b R ， （当且仅当 a b c 时取到等号）．
（5）3 3 3 3 ( 0, 0, 0)a b c abc a b c （当且仅当 a b c 时取到等号）．
（6）若 0ab ，则 2b aa b （当仅当 a b 时取等号）；若 0ab ，则 2b a
a b （当仅当
a b 时取等号）．
（7） 1b b m a n aa a m b n b
( 0 0 0)a b m n ， ， ．
规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小．
（8）绝对值三角不等式： a b a b a b ．
（9）二维形式的三角不等式：2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y 1 1 2 2( , , , )x y x y R ．
（10）一般形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2
1 2 1 2( )( )n na a a b b b 21 1 2 2( )n na b a b a b ．
（11）排序不等式（排序原理）：设 1 2 1 2,n na a a b b b 为两组实数． 1 2, , , nc c c
是 1 2, , , nb b b 的任一排列，则 1 2 1 1 1 1 2 2n n n n na b a b a b a c a c a c 1 1 2 2 .n na b a b a b （反序
和 乱序和 顺序和）．
当且仅当 1 2 na a a 或 1 2 nb b b 时，反序和等于顺序和．
4．简单的线性规划
（1）一般地，二元一次不等式 0Ax By C 在平面直角坐标系中表示直线 0Ax By C 某
一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标
系中画不等式 0Ax By C 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成
实线．
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（2）由于对直线 0Ax By C 同一侧的所有点 ,x y ，把它的坐标 ,x y 代入 Ax By C 所
得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 0 0,x y ，由 0 0Ax By C 的
符号即可判断 0Ax By C 表示直线 0Ax By C 哪一侧的平面区域．
（3）利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
①在平面直角坐标系内作出可行域．
②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
③确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
④求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值
【例题】设关于 x 的不等式22 7x
x a
在 ,a 上恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）．
A．1 B． 32
C．2 D．52
【答案】B．解析： 2 22 2 2 4 2x x a a ax a x a
，由题意可知， 4 2 7a ，得
32
a ．故选择 B 选项．
考点·常用的距离公式
1．两点间距离公式：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 是平面直角坐标系中的两个点，则
2 21 2 1 2( ) ( )AB x x y y ．
2．点到直线距离公式：一点 0 0( , )P x y 到直线 : 0l Ax By C 的距离 0 0
2 2
Ax By Cd
A B
．
3．两平行线间的距离：设直线 1l ， 2l 的方程分别为 1 0Ax By C ， 2 0Ax By C ，则两
直线之间的距离 1 2
2 2
C Cd
A B
．
【例题】已知直线 1L 经过点 (0,1) ，直线 2L 经过点 (1,0) ，若 1 2L L ，则 1L 与 2L 这两条直线
之间的距离的取值范围是________（区间表示）．
【答案】 [1, 2] ．解析：若斜率不存在，则说明 1 2L L、 垂直于 x 轴，则距离为 1，若 1 2L L、
的斜率存在，则设为 k ，则直线 1L 的方程为 1y kx ，直线 2L 的方程为 y kx k ，设两直线的
距离为 d ， 2
|1 |
1
kdk
，当 1 2L L、 与经过 (1,0) (0,1)、 的直线垂直时 d 最大，此时 1k ，
2 22
d ，所以取值范围为 [1, 2] ．
考点·简单几何体的表面积与体积
1．柱、锥、台和球的面积和体积
面积 体积
圆柱 S 侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h
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圆锥 S 侧＝πrl V＝13
Sh＝13πr2h＝1
3πr2 l2－r2
圆台 S 侧＝π（r1＋r2）l
V＝13（S 上＋S 下＋ S 上S 下）
h
＝13
π（r21＋r22＋r1r2）h
直棱柱 S 侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S 侧＝12Ch′ V＝1
3Sh
正棱台 S 侧＝12（C＋C′）h′ V＝1
3（S 上＋S 下＋ S 上S 下）
h
球 S 球面＝4πR2 V＝43
πR3
2．几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形，它们的表面积等于侧面
积与底面面积之和．
【例题】已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积
为 2 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）．
A．3
2B．1 C． 2 1
2 D． 2
【答案】D．解析：如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1的俯视图为 ABCD，侧视图为
BB1D1D，满足条件：面积为 2 的矩形，故该正方体的正视图为 AA1C1C．又因 AC＝ 2，故
其面积为 2．
考点·直线、平面的平行与垂直
1．线面平行
（1）判定：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平
行．
（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这
条直线和交线平行．
2．面面平行
（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
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3．线面垂直
（1）判定：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．
（2）性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两平面平行．
4．面面垂直
（1）判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
（2）性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
【例题】已知两条直线 ,a b 与两个平面 , ，判断下列命题，正确的个数为（ ）．
①若 , ,a b ∥ ，则 a b∥ ；②若 , , ,a b a b ，则 ∥ ；
③若 , ,a b ，则 a b∥ ；④若 , ,a b ，则 a b∥ ；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．解析：若 , ,a b ∥ ，则 ,a b 可能平行或异面，故①错误；若, , ,a b a b ，则 ,a b 可能与 , 的交线平行，故②错误；若 , ,a b ，则
a ，所以 a b∥ ，故③正确；若 , ,a b ，则 ,a b 可能平行，相交或异面，故④错
误；故选 A．
第四章 大学数学考点·定积分的性质
1． ( ) 0a
af x dx ．
2．b
adx b a ．
3． ( ) ( )b a
a bf x dx f x dx ．
4． ( ) ( )b b
a akf x dx k f x dx ．
5． ( ) ( ) ( )b c b
a a cf x dx f x dx f x dx ．
6． ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx ．
7．在区间 ,a b 恒有 ( ) 0f x ，则 ( ) 0b
af x dx ．
8． ( ) ( ), ( ) ( )b b
a af x g x f x dx g x dx ．
9． ( ) ( )b b
a af x dx f x dx ．
10． ( ) , [ , ]m f x M x a b ，则 ( ) ( ) ( )b
am b a f x dx M b a ．
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11．定积分中值定理： ( )f x 在[ , ]a b 连续，至少存在一个 [ , ]a b ，使
( ) ( )( )b
af x dx f b a ．
12． ( )f x 为奇函数，则 ( ) 0a
af x dx
； ( )f x 为偶函数，则
0( ) 2 ( )
a a
af x dx f x dx
．
【例题】 (1 cos )x dx
（ ）．
A．1 B． 2 C． D．0
【答案】B．解析： (1 cos ) ( sin ) / ( sin ) ( sin( )) 2x dx x x
，故 B 正
确．
考点·级数的敛散性
1．定义
若数项级数1
ii
u
的部分和数列 nS 的极限存在，即 lim nn
S S
，则称级数1
ii
u
收敛，否则就
称级数1
ii
u
发散．当级数
1i
iu
收敛时，称极限值 lim nn
S S
为此级数和，
1 2 ...n n n nr S S u u 为级数的余项或余和．
2．几个重要级数
（1）几何级数（等比级数）
0
n
nq
当 1q 时收敛，当 1q 时发散．
（2） p 级数
0
1p
n n
当 1p 时收敛，当 1p 时发散．
3．数项级数的基本性质
（1）如果级数1
nn
u
收敛，其和为 S ， k 为常数，则级数
1n
nku
也收敛，其和为 kS ．
（2）若级数1
nn
u
与级数
1n
nv
分别收敛于 与 ，则级数
1( )n n
nu v
收敛于 ．
（3）添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变．
（4）两边夹定理： n n nu v w 而1
nn
u
与
1n
nw
都收敛，则级数
1n
nv
也收敛．
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（5）级数收敛的必要条件：若级数1
nn
u
收敛，则 lim 0nn
u
．
4．柯西收敛原理
级数1
nn
u
收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N，使得当
n N 时，对于任意的正整数 p ，都有 1 2 ...n n n pu u u 成立．
5．正项级数收敛判定
设级数1
nn
u
，若 0( 1,2,...)nu n ，则称
1n
nu
为正项级数．
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界．
（1）比较法
设1
nn
u
和
1n
nv
均为正项级数，且 ( 1,2,...)n nu v n ，
如果级数1
nn
v
收敛，则级数
1n
nu
也收敛；如果级数
1n
nu
发散，则级数
1n
nv
也发散．
（2）比值法
设1
nn
u
是一个正项级数，如果
1lim n
nn
uu
，则
当 1 时，级数收敛；当1 或
1lim n
nn
uu
时，级数发散；当 1 时，级数可能
收敛，也可能发散（不用此法判断）．
（3）根值法
如果 lim nnn
u p
，则1
11n
n
pu p
p
收敛，
发散，
不确定， =1
6．交错级数收敛判别
莱布尼茨定理：如果交错级数 1
1
( 1)nn
nu
满足条件：（1） 1( 1,2,3...)n nu u n ；（2）
lim 0nnu
，则级数收敛，且其和 1s u ，其余项和 nr 的绝对值 1n nr u ．
7．绝对收敛与条件收敛
定理：如果级数1
nn
u
收敛，则级数
1n
nu
也收敛．
定义：如果级数1
nn
u
收敛，则级数
1n
nu
也收敛，此时称
1n
nu
绝对收敛；
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如果1
nn
u
发散，而级数
1n
nu
收敛，此时称
1n
nu
条件收敛．
【例题】下列级数中发散的是（ ）．
A． 21
1( 1)n
n n
B．1
1n n n
C．1
2( )n
n n
D． 2
1
sin 1( )n
nan n
【答案】D．解析：A．交错级数，且 2
1lim 0n n
，故级数 21
1( 1)n
n n
收敛；
B．12
11
1 2 2dx xx x
，所以级数1
1n n n
收敛；
C． 2= lim lim 0 1n
n nnn n
an
，则1
2( )n
n n
收敛；
D． 21
sin 1( )n
nan n
， 2 2
sin 1nan n
收敛，因为1 1
nn ，所以
1
1n n
发散，所原级数极限
发散．
考点·变限积分( )
( )( ) ( )
b x
a xF x f t dt ， ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )F x f b x b x f a x a x ．
【例题】设2 2( ) 1x
f x t dt ，则 ( )f x =（ ）．
A． 21 x B． 21 12
x C． 21 t D． 21 x
【答案】A．解析：记 2( ) 1g t t ，则2 2( ) ( ) ( ) (2) ( )xx
f x g t dt g t g g x ，
则 2( ) ( ) 1f x g x x ．
考点·线性空间
1．线性空间的定义与简单性质．
（1）线性空间的定义
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设V 是一个非空集合， P 是一个数域，在集合V 的元素�，�，�之间的加法，在数域 P中任意数 �，� 与集合V 的元素之间的数量乘法，如果满足下述规则，那么V 称为数域 P 上的
线性空间．
①� + � = � + �．
② � + � + � = � + � + � ．
③� + � = �．
④� 图 � = �．
⑤1� = �．
⑥� �� = �� �．
⑦ � + � � = �� + ��．
⑧� � + � = �� + ��．
（2）线性空间的性质
①零元素是唯一的．
②负元素是唯一的．
③Ͳ� = �；�� = �； 图 1 � =图 �．
④如果 �� = �，那么 � = Ͳ 或� = �．
2．维数、基与坐标
（1）线性组合
设V 是数域 P 上的一个线性空间，�1，�象，…，�� � ≥ 1 是V 中的一组向量，�1，�象，…，��是数域 P 中的数，那么向量
� = �1�1 + �象�象 + … + ����
称为向量组�1，�象，…，��的一个线性组合．有时我们也说向量�可以用向量组�1，�象，…，��线性表示．
（2）线性相（无）关
线性空间V 中的向量�1，�象，…，�� � ≥ 1 称为线性相关，如果在数域 P 中的有 � 个不
全为零的数�1，�象，…，��，使�1�1 + �象�象 + … + ���� = �．当且仅当�1 = �象 = … = �� = Ͳ时，�1�1 + �象�象 + … + ���� = � 成立，则�1，�象，…，��称为线性无关．
（3）维数
如果在线性空间V 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么
V 就称为 n 维空间；如果在线性空间V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无
限维．
（4）基与坐标
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在 n 维线性空间V 中， n 个线性无关的向量 1 2 n， ， ，ε ε ε 称为一组基．设�是V 中任一向
量，于是�1，�象，…，��，�线性相关，因此�可以被基 1 2 n， ， ，ε ε ε 线性表示：
� = �1�1 + �象�象 + … + ����
其中系数�1，�象，…，��是被向量�和基�1，�象，…，��唯一确定的，这组数就称为�在基
�1，�象，…，��下的坐标，记为 �1，�象，…，�� ．
3．基变换和坐标变换的关系
设�1，�象，…，��与�1' ，�象
' ，…，��' 是 n 维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
�1' = �11�1 + �象1�象 + … + ��1���象' = �1象�1 + �象象�象 + … + ��象��
…………��' = �1��1 + �象��象 + … + �����
（1）．
设向量�在这两组基下的坐标分别为 괊1，괊象，…괊� 与 괊1' ，괊象
' ，…，괊�' ，即
向量� = 괊1�1 + 괊象�象 + … + 괊��� = 괊1' �1
' + 괊象' �象
' + … + 괊�' ��' （2）．
（1）式可写成 �1' ，�象
' ，…，��' = �1，�象，…，��
�11 �1象 … �1��象1 �象象 … �象�… … … …��1 ��象 … ���
（3）．
矩阵 � =
�11 �1象 … �1��象1 �象象 … �象�… … … …��1 ��象 … ���
称为由基�1，�象，…，��到基�1' ，�象
' ，…，��' 的过渡矩阵．它
是可逆矩阵．
（2）式写成� = �1，�象，…，��
괊1괊象…괊�
= �1' ，�象
' ，…，��'괊1'
괊象'
…괊�'
．将（3）式代入得
�1，�象，…，��
괊1괊象…괊�
= �1，�象，…，��
�11 �1象 … �1��象1 �象象 … �象�… … … …��1 ��象 … ���
괊1'
괊象'
…괊�'
．
由基向量的无关性得
괊1괊象…괊�
=
�11 �1象 … �1��象1 �象象 … �象�… … … …��1 ��象 … ���
괊1'
괊象'
…괊�'
，
或
괊1'
괊象'
…괊�'
=
�11 �1象 … �1��象1 �象象 … �象�… … … …��1 ��象 … ���
图� 괊1괊象…괊�
．
4．线性子空间及其判定．
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（1）线性子空间
数域 P 上线性空间V 的一个非空子集合W ，如果W 对于V 的两种运算也构成数域 P 上的
线性空间．那么非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（简称子空间）．
（2）线性子空间的判定
如果线性空间V 的非空子集合W 满足下面两个条件，那么W 就是一个子空间．
①对于W 中的任一向量�，数域 P 中的 � 与�的数量乘积 ��也在W 中．
②对于W 中的向量�与�，向量�与�的和� + �也在W 中．
【例题】设 1 2 3 4, , , 为数域 P 上 4 维线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换 在这
组基下的矩阵为
1 0 2 11 2 1 3
1 2 5 52 2 1 2
．求 的核1(0)
与 的秩．
【答案】详见解析．解析：设核1(0)
在 1 2 3 4, , , 下的坐标为 1 2 3 4, , , Tx x x x ，
0000
，所以
1 1
2 21 2 3 4 1 2 3 4
3 3
4 4
, , , , , ,
x xx xx xx x
，
所以
1
2
3
4
00
=00
xxxx
，得
1 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
= 2=2 2 2=2 5= 3 5 2
，求出 rank =2（ ） ，
所以 1 2 3 4, , , 得秩也是 2 且 1 2, 线性无关，故 1 2, 可组成 V 得一组基．
又因为 rank =2（ ） ，故由1 3 4
1 2 3 4
2 02 3 0
x x xx x x x
，解得 1 2
2 13 2
,20110
x x
，
若令 1 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 2= =x x ， ， ， ， ， ， ， ，故 1 2 ， 为1(0)
的一组
基，所以1
1 2(0)=L( , ) ．
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第三部分 数学教材教法考点·义务教育阶段课程基本理念
1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展
的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．
2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律．它不仅包括数学的
结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法．课程内容的选择要贴近学生的实
际，有利于学生体验与理解、思考与探索．课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的
关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验
的关系．课程内容的呈现应注意层次性和多样性．
3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程．有效的教学活动是学生学与教
师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者．
数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造
性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法．
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．除接受学习外，动手实践、
自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式．学生应当有足够的时间和空间经历观察、实
验、猜测、计算、推理、验证等活动过程．
教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和
因材施教．教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主
动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的
数学活动经验．
4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进
教师教学．应建立目标多元、方法多样的评价体系．评价既要关注学生学习的结果，也要重视
学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与
态度，帮助学生认识自我、建立信心．
5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响．数学
课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整
合，注重实效．要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的
学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方
式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去．
【例题】怎么理解学生主体地位和教师主导作用的关系，如何使学生成为学习的主体？
【参考答案】好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一．一方面，学
生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用
的标志，使学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展．
启发式教学是处理好学生主体地位和教师主导作用关系的有效途径．教师富有启发性的讲
授，创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提
出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体．
考点·教学目标制定
教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡
量教学质量的标准．教学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解、对教学内容精确分析的
基础上．
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制定合理教学目标的要求
1．反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质．
2．要有计划性，可评价性．
3．格式要规范，用词要考究．
数学课程的总目标是从知识和技能、数学思考、解决问题、情感态度价值观等方面来阐述
的．作为一节课的课时目标，虽不强求这些方面都必须达成，但其中的一个或几个方面的目标
是要达成的．
在表述对象上应该统一，不能以教师角度来描述的——“使学生……”，这种表述显然是
不正确的，另一条又是以学生角度来描述的——“经历……过程”．通常情况下，以学生为主
体来表述比较恰当，也能够充分体现学生的主体地位．
在用词上要慎重，既要有刻画知识技能的目标动词“了解、理解、掌握、灵活运用”，又
要有刻画数学活动水平的过程性目标"经历（感受）、体验（体会）和探索"等，只有明确了每
一个词的含义，才能结合自己的教学预设制定教学目标．否则容易"词不达意"，想的和写的不
统一．
4．要全面，不能“重知轻思”“重知轻情”等．
新课标将教学目标分为三个方面：知识与技能目标、过程与方法目标、情感、态度与价值
观目标．也就是说我们不仅要关注学生知识的获得，还要关注学生情感的变化．但在制定教学
目标时，有时往往会特别关注知识和技能方面的目标，而忽略其他方面的目标．
5．注意教学目标的层次性．
我们可从三个层次来制定教学目标
第一层次，以记忆为主要标志，培养以记忆为主的基本能力．测试基本事实、方法的记忆
水平，标准是：获得的知识量以及掌握的准确性．
第二层次，以理解为主要标志，培养以理解为主的基本能力，测试能否顺利地解决常规
性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题．测试标准是：运用知识的水平，如正确、
敏捷、灵活、深刻等．
第三层次，以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力，测试能否对解决问题的过程
进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣．标准是思维的深刻性、批判性、全面性、
独创性等．
6．要实在具体，不浮华．
要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚
设．例如，一堂课的目标中含有下列内容都是不合适的：
培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；
培养学生勇于探索、创新的个性品质；
体验数学的魅力，激发爱国主义热情，等等．
数学教学科学化，从制定教学目标上看，一要全面，二要具有可操作性，这是建立在对教
学内容、学生数学学习规律准确把握基础上的，需要有对细节的不断追求．制定目标的水平是
衡量教师专业化水平的重要标志．从当前的实际情况看，许多教师对自己所教的数学内容并没
有一个清晰的“目标分类细目结构图”，有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的．简言
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之，教师的数学素养和对数学教材的理解水平都有很大的提高空间，这是提高教师素质急需解
决的问题．
【例题】数学课程的总目标是从知识和技能、数学思考、解决问题、_________等方面来阐
述的．
【答案】情感态度价值观．
考点·教学设计
课题名称
一、教学目标
知识与技能：
过程与方法：
情感态度与价值观：
二、教学重难点
重点：
难点：
三、教学准备
（教具、学具、教法、学法）（可选）
四、教学过程
1．创设情境，导入新课
2．师生互动，探索新知
3．知识剖析，深化理解
1．根据新课改的要求，教学目标要从知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观三个维
度进行书写．
（1）知识与技能目标
知识与技能目标=行为主体+行为动词+行为条件（可选）+表现程度（可选）+学生行为所
对应的内容．
（2）过程与方法目标
所谓过程，其本质是以学生认知为基础的知、情、意、行的培养和发展过程，是以智育为
基础的德、智、体全面培养和发展的过程，是学生的兴趣、能力、性格、气质等个性品质全面
培养和发展的过程．所谓方法，是指学生在学习过程中采用并学会的方法、或问题探究的方
法、或问题的观察方法、或思维发散的方法、或合作交流的方法、或解决问题的方法等．
（3）情感、态度与价值观目标
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情感是指人的社会性需要是否得到满足时所产生的态度体验；态度这里不仅指学习态度和
对学习的责任，它还包括乐观的生活态度，求实的科学态度，宽容的人生态度等．价值观本指
对问题的价值取向的认识，这里也可指学生对教学中问题的价值取向或看法．
2．教学重、难点的确定
（1）重点：①课题分析法；②例题分析法；③地位作用分析法．
（2）难点：知识远离学生生活实际，学生缺乏相应的感性知识；知识较为抽象，学生难以
理解．
3．常见的课堂导入方法
（1）直接导入法
（2）复习导入法
（3）事例导入法
（4）趣味导入法
（5）悬念导入法
（6）类比导入法
（7）实验导入法
（8）数学史导入法
4．新课讲授：新授环节分为“生成新知⇒深化新知⇒应用新知”
新课程倡导独立探索、合作交流、动手实践等学习方式，既要求教师的“讲授”，也要求
师生的“对话”、生生的“合作”．探究环节的处理方法可以百花齐放，不拘一格，但其教学
的核心是“探究”而非“接受”．
5．课堂提问的原则
（1）目的性原则
（2）启发性原则
（3）适度性原则
（4）兴趣性原则
（5）循序渐进性原则
（6）全面性原则
（7）充分思考性原则
（8）及时评价性原则
6．巩固强化
练习是数学课堂教学的一个重要组成部分，它不仅有助于学生对知识的理解，巩固形成熟
练的技能、技巧，而且对学生智力发展和能力提高起着重要作用．巩固练习要遵循以下几点
（1）练习要有目的性，要围绕教学目标进行．
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（2）练习要及时，使学生对当堂所获得信息反复循环，实现记忆层次的转化（瞬时记忆——短时记忆——长时记忆）．
（3）练习要有层次性．
（4）练习要多样化，为巩固概念，选编基础变式题；为纠正差错选编判断、选择题；为拓
宽思路，选编多变、多解题等等．
（5）练习中要有反馈．
7．小结作业
（1）小结一般是回顾教学内容，紧扣教学重点．
（2）作业要满足不同学生，分层次留作业，低年级以“把知识应用到生活实际中”之类为
佳．
【例题】下面是《探索勾股定理》一课的教学片段：
【新课引入】听故事，想问题：相传 2500 多年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家
做客．宴席上，其他宾客在尽情欢乐时，毕达哥拉斯却盯着朋友家的地面砖发呆．原来，地砖
铺成了由许多等腰直角三角形组成的图案，黑白相间，非常美观．主人正纳闷时，毕达哥拉斯
突然恍然大悟，原来，他发现了图案中三个正方形的面积存在某种数量关系，从而通过此关系
还发现了等腰直角三角形三边之间的某种数量关系．同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关
系呢，让我们一起探索吧．
【后续教学环节】接下来，在老师的引导下，在小组合作中，同学们发现了以等腰直角三
角形两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的大正方形的面积，及直角三角形
三边的长之间有特殊关系：斜边长平方等于两直角边长平方之和．再接下来，在探索中得到其
他的直角三角形也有上述性质，由此猜想出勾股定理，其实我国早在三千多年前就知道直角三
角形的这个性质，而最早对勾股定理进行证明的是我国 3 世纪的三国时期的赵爽，这也从一个
侧面说明中国古代数学曾在世界数学上处于领先地位，这作为中国人应引以为豪．
根据以上材料，请你回答下列问题：
（1）从教学方法角度分析该课的新课引入的教学方法及合理性；
（2）从教材把握的角度分析《探索勾股定理》该课在初中数学教学的地位和作用；
（3）从三维课程目标的角度分析上述教学设计落实了哪些教学目标？
【参考答案】（1）新课程标准指出数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发
学生思考，注重采用启发式教学方法，以上材料中采用了讲故事的方法引入新课，该教学方法
表现出学生的认知发生水平和已有的经验，能较好地激发学生学习兴趣，通过地砖图案中蕴含
的数量关系的探索，体现古希腊注重启发式教学方法．
（2）《探索勾股定理》这一课在初中数学地位与作用如下：
《探索勾股定理》是在学生已掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，在初中数
学中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作好了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”莫定了基础．《探索勾股定理》的探索与证明蕴含着丰富的数学思想和科学研
究方法，是培养学生良好思维品质的载体，它在数学的发展过程中起着重要作用，是数与形结
合的典范．
（3）从上述教学设计来看落实如下教学目标：
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知识与技能：经历观察、猜想、验证的探索过程，掌握了勾股定理；
数学思考：在勾股定理探索中，体会数形结合思想，发展合情推理能力；
解决问题：通过活动，体验数学思维严谨性，发展了形象思维；
情感态度：在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神．
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第四部分 精选题库一、判断题
1．1 到 20 这 20 个数中，合数的个数占总个数的 55%．（ ）
2．假分数的倒数都比 1 小．（ ）
3．6.2 和 6.200 比较，它们的大小相等，但 6.2 的计数单位比较大．（ ）
4．分数单位是十分之一的最简分数有 4 个．（ ）
5．一个假分数除以 a ，得数大于这个数，那么 a 是真分数．（ ）
6． - - 3 和 - - 3 是互为相反数．（ ）
7．已知点 ( , )M a b 是直角坐标平面内的点，如果 0ab ，那么点 M 在第一、三象
限．（ ）
8．若点 A（2，0），点 B 在 y 轴上，且 AB 与坐标轴围成三角形的面积为 3，则点 B 的坐
标是（0，3）．（ ）
9．等差数列一定是单调数列．（ ）
10．等比数列 na 中， 3 18a ， 5 162a ，公比 q 3．（ ）
11． l m n、 、 是互不相同的空间直线， 、 是不重合的平面，若 / / l m ， ， ，
则 //l m ．（ ）
12．函数 ( ) 2 lg(2 )f x x x 的定义域为[ 2, 2) ．（ ）
13．函数2
0 5 6( ) (4 ) lg3
x xf x xx
的定义域是 (2,3) (3, ) ．（ ）
14．因为函数可导一定连续，那么函数不可导一定不连续．（ ）
15．设函数 f x 在 ,a b 上连续，则函数 x
aF x f t dt 在 ,a b 上也是连续函
数．（ ）
16． 2
1n
na
收敛，则
1n
na
收敛．（ ）
17． ( )f x ， ( )g x 在 I 上一致连续，则 ( ) ( )f x g x 在 I 上一致连续．（ ）
18．两向量 1 0 2 ，， 和 -1,0,1 线性无关．（ ）
19．不定积分1 ln xdxx 的计算结果为 21 ln
2x．（ ）
二、单项选择题
1．一个正方形面积是 44 平方厘米，在这个正方形中作的最大的圆的面积是（ ） 2cm ．
A．4π B．11π C．5π D．7π
2．甲车从 A 地到 B 地需行 6 时，乙车从 B 地到 A 地需行 10 时，现甲乙辆车分别从 AB 两
地出发相向而行，相遇时甲车比乙车多行驶 90 千米，A、B 两地相距（ ）千米．
A．900 B．540 C．360 D．180
3．现有一种糖水，它的糖和水的质量比为 4：1，另一种糖水，它的糖和水的质量比为 3：4，如果将这两种糖水等质量混合，则混合后的糖和水的质量比为（ ）．
A．43：27 B．28：15 C．20：7 D．27：43
4．把一包糖果分给小朋友们，如果每人分 10 粒，正好分完，如果每人分 16 粒，则 3 人分
不到，这包糖的粒数是（ ）．
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A．60 B．80 C．85 D．90
5．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A＝∠
ABE，AC＝5，BC＝3，则 BD 的长为（ ）．
A．1 B．1．5 C．2 D．2．5
6．函数 2 4 3y ln x x ﹣ 的单调减区间为（ ）．
A．（2，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，
1）
7．已知全集为 R ，集合1 12
x
A x
， 2 6 8 0B x x x ，则 RA C B 等于
（ ）．
A． 0x x B． 2 4x x
C．{ 0 2x x 或 4}x D．{ 0 2x x 或 4}x
8．设等差数列 na 满足： 2 7a ， 4 3a ， nS 是数列 na 的前 n 项和，则使得 0nS 成
立的最大的自然数 n 是（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
9．若存在函数 f x 使得 2 514
f x f x x ax x R ，则实数 a等于（ ）．
A．1 B．12
C．-2 D．-1
10．已知直线 1l ： 2 1 0x y ， 2l ： 2 5 0x ny ， 3l ： 3 1 0mx y ，若 1 2/ /l l且 1 3l l ，则m n 的值为（ ）．
A． 1 0 B．10 C． 2 D．2
11．某卫视的一档益智类节目共需录制 6 期，每期节目需要一位嘉宾主持人，在制片人聘
请的 6 位嘉宾中，甲、乙是夫妻，由于嘉宾的档期安排等原因，在安排 6 位嘉宾主持节目时，
嘉宾丙必须排在前 3 期主持节目，嘉宾甲、乙主持的两期节目必须是相连的，则该节目嘉宾主
持人的安排方案种数是（ ）．
A．120 B．84 C．72 D．48
12．已知∠A＋∠B＝90°，且 cosA＝2 5
5，则 cosB 的值为（ ）．
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A．45
B． 2 55
C． 55
D．35
13．设 1F ， 2F 是椭圆2 2
: 125 9x yC 的两个焦点，C 上的一点 P 满足 1 2PF PF ，则点 P
的横坐标为（ ）．
A．72或
72
B．3 74
或3 74
C． 3 或 3 D．5 74
或5 74
14．关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是
（ ）．
A．k≤43且 k≠1 B．k≤
43
C．k＜43且 k≠1 D．k＜
43
15．若点 P（1，−1）在圆 C： 2 2 0x y x y m＋ ＋ ＋ ＝ 的外部，则实数 m 的取值范围是
（ ）．
A．m＞0 B．m＜12
C．0≤m≤12
D．0＜m＜12
16．若 f（x）是定义在 R 上的连续函数，
2lim 2
2x
f xx
，则 f（2）等于（ ）．
A．2 B．1 C．0 D．－1
17． 1x 是函数1
1
1
1)(
xe
xf 的（ ）．
A．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．无穷间断
点
18．函数 f(x)在[a，b]上连续，则在 ba, 上有( )．
A． ( ) ( )b
a
d f x dx f xdx
B． ( ) ( )x
a
d f t dt f tdx
C． ( ) 0b
a
d f t dtdx
D． ( ) ( )b
x
d f t dt f xdx
19．函数 21
sin x的原函数是（ ）．
A． cot x B． tan x C
C． cot x C D． cot 1x C
20．设函数 sin , 0cos 2, 0
xe x xf x
a x x
，在 0x 处连续，那么实数 a 等于（ ）．
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A．0 B．1 C．-1 D．2
21．常数 >0，则级数
n
n 1-1 1-cos
n
（ ）（ ）为（ ）．
A．发散 B．条件收敛
C．绝对收敛 D．收敛性与 的取值有关
22．若向量组 1 2 r ， ， ， 可以由向量组 1 2 S ， ， ， 线性表出，则下列叙述正确的
是（ ）．
A．若向量组 1 2 r ， ， ， 线性无关，则 r s
B．若向量组 1 2 r ， ， ， 线性相关，则 r>s
C．若向量组 1 2 S ， ， ， 线性无关，则 r s
D．若向量组 1 2 S ， ， ， 线性相关，则 r>s
三．填空题
1．一个六位数 1992□□能同时被 3，4，5 整除，这样的六位数中最大的一个是_________．
2．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时
增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，_________队的施工速度快．
3．某商品原价为 a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是_____元．（用含字母 a 的代
数式表示）．
4．一个圆柱形容器，从里面量，底面直径为 4dm，高 5dm．容器中装有一些水，深
27cm，现在在容器中放入一个底面半径为 1dm，高 4dm 的圆柱体铁棒，把铁棒垂直于容器底
面，竖直放在容器中，容器中水面上升_________cm？
5．在等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，D 为 AC 上一点，若1tan4
DBC ，则
AD＝______．
6．若非零实数a b、 满足条件 a b ，则下列不等式一定成立的是_______．
①1 1a b ；② 2 2a b ；③ 2ab b ；④ 3 3a b ；⑤
1 13 3a b ．
7．sin（α－β）cosα－cos（α－β）sinα＝ 35，则 cos2β＝__________．
8．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，g（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 g（x）＝f（x－1），则 f（2009）＋f（2011）的值为________．
15．如图，△ABC 中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，DE⊥AB，则 cosA＝___________．
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9．已知两条不重合的直线m， n ，两个不重合的平面， ，有下列四个命题：
①若m n∥ ， m ，则 n ∥ ；
②若n ， m ，且 m n∥ ，则 ∥ ；
③若 m ，n ， ∥m ， n ∥ ，则 ∥ ；
④若 ， m ，且 n ，n m ，则n ．
其中所有正确命题的序号为_________．
10．如图，正四面体 O-ABC 中，D，E 分别是 BC，OC 的中点，则 OD 和 AE 所成角的余
弦值是_________．
11．已知数列 na 为等差数列，且 1 8 15a a a ， 4 12cos a a ，则
1
0
x dx ______；
12．计算
13 2
0
( 1)x x x dx __________．
13． )( xexd =___________．
14．计算定积分21
0xxcos dx _________．
四．计算题
1．已知关于 x ， y 的方程组5 3 31x y mx y
的解为非负数，求整数 m 的值．
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2．用棱长 5 厘米的正方体拼成一个正方体至少需要 8 个，拼成的大正方体比原来小正方体
的表面积之和减少了百分之几？
3．我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出
5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩如
图所示．
（1）根据图示填写下表；
平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
初中部 85
高中部 85 100
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
4．某学校为改善办学条件，计划采购 A、B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A 型空调和 2台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元．
（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的
一半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
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5．济南市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根
据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信
息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有_____人，扇形统计围中“基本了解”部分所对应扇形的圆心
角为______°；（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识
达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）从对食品安全知识达到“了解”的 3 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加食品安全知
识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率．
6．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，平面 PAC 平面
PBD ， AC 与 BD 交于点O．
（1）求证： PO BD ；
（2）若M 为 PD 的中点， AM 平面 PCD，求三棱锥 D ACM 的体积．
7．计算1
0 2
14x dx
x
．
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8．求 dxxx
xx ))1(
11(cos 22 ．
9．求幂函数1
2nn
n
xn
的收敛半径，并讨论收敛域．
五、综合题
1．已知定义在 R 上的奇函数 )(xf ，当 0x 时， xxxf 2)( 2 ．
（1）求函数 )(xf 在 R 上的解析式；
（2）若函数 )(xf 在区间 2,1 a 上单调递增，求实数a的取值范围．
2．已知数列 na 满足 1 1a ，2
1 ( 1) 1n nna n a n n ．求
（1） 3a ；（2） na 的通项公式；（3）数列的前 n项和 nS ．
3．设 ABC 的三内角 A 、 B 、C 的对边长分别为 a 、b 、 c，已知a、b 、c成等比数
列，且3sin sin4
A C ．
（I）求角 B 的大小；
（Ⅱ）设向量 cos cos2m A A（ ， ），
12 ,15
n
，当m n 取最小值时，判断 ABC 的
形状．
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4．练习设计应遵循哪些原则？
5．在学习除法估算的课堂上，有这样的一道题目，有 84 朵花，美 4 朵花扎 1 束，平均每
人送两束，这些话大约可以送给多少人？同学们的错误大致分为以下几种：
错误一：没有估算
错误二： 21484
错误三： 42284
请根据上述现象，分析学生错题的原因，并分析教师应该如何改进教学？
6．在某节数学课上，为了探究正比例关系，数学老师在课堂上开展活动，提出问题：某种
黑色水笔每支 2 元，购买一支，两支，三支……黑色水笔分别需要多少钱？请同学们合作交
流，完成下列问题：
（1）填一填
（2）将上述水笔的支数和价格对应的点描在坐标纸上，观察这些点是否在一条直线上？
……
课堂上，小明同学对这个问题非常感兴趣，积极加入与同学的合作交流中，并成为小组中
的组织者，很快完成任务．
下课前，老师为检查本节课学生学习情况，进行了一个小测验，结果小明成绩不太理想，
数学老师把小明叫到办公室进行了批评，认为小明没有认真对待这节课的学习，希望他好好反
省自己，小明觉得自己在课堂上非常认真，为何老师还是批评他呢？有点百思不得其解的感
觉，因此，对数学学习有点失去了兴趣．
问题 1：你认为该数学老师在课堂教学中开展这样的活动有必要吗？为什么？
问题 2：你认为该数学老师批评小明对吗？请你谈谈新课程下数学评价的理念．
问题 3：学生理解正比例关系的难点是什么？为帮助学生突破难点，请你设计一个解决难
点的教学片段，要体现以学生为主体的教学理念．
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第五部分 2020 年宁波教师招聘联考模拟卷
2020 年浙江宁波教师招聘考试模拟卷一
数学专业知识
一、判断题（共 10 题，每题 1 分，共 10 分．你认为正确的请在括号内打“√”，错误的
打“×”）
1．最小的合数和最小的质数这两个数的公因数只有 1．（ ）
2．0 可以看成正数，也可以看成负数．（ ）
3．因为 0.25 是小数，所以 0.25 没有倒数．（ ）
4．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，且 3 17S a ，则数列 na 的公比q的值为
3- ．（ ）
5．已知函数 y f x 的定义域为 2, 2 ，函数 1 3 2g x f x f x ．则函
数 g x 的定义域为 1,3 ．（ ）
6．函数 � = log象（4 图 괊象）的定义域是（ 图 象， 象）．（ ）
7．如果函数 f x 在 0x x 处可导，则函数 f x 在 0x x 处连续．（ ）
8．向量组 1, , n 与 1, , n 都线性无关，则 1 1, , , , ,n n 也线性无关
线性无关．（ ）
9．如果点 P（a，2）在第二象限，那么点 Q（﹣3，a﹣1）在第三象限．（ ）
10．已知 ln2xf x dx x C ，则函数 ( ) lnf x x C ．（ ）
二、单项选择题（共 15 题，每题 1 分，共 15 分．下列每小题的选答案中只有一个最符合
题意，请将所选答案的字母填入括号内）
1．计算下面的周长和面积：（ ）．
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A．2π，4cm2 B．2π，2cm2 C．1．5π，2cm2 D．3π，4cm2
2．一种钢材先涨价 10%，再降价 10%，现在价格与原来比较（ ）．
A．现在价格高 B．现在价格低 C．价格一样 D．无法确定
3．有 8 个人做零件，做出的甲乙零件数量比为 2：3，其中一个工人每天平均能做 12 个甲
零件或 18 个乙零件，问有多少人做甲？设有 x 人做甲零件，则正确的方程是（ ）．
A． ( )18 :12 8 2 : 3x x- = B． ( )12 8 :18 2 : 3x x- =
C． ( )12 :18 8 2 : 3x x- = D．12 :18 2 :3x x =
4．四年级学生体育达标有 100人，没有达标的有 25 人，达标率是（ ）．
A．25% B．125% C．75% D．80%
5．若函数 ( )f x 是偶函数，定义域为 R ，且 0x 时， 2( ) log ( 1)f x x ，则满足
( ) 1f m 的实数m的取值范围是（ ）．
A．[0，1） B．（-1，1） C．[0，2） D．（-2，2）
6．设
11 , 0( )
ln(1 ), 1 0
xe xf xx x
，则 1x 是函数 f x 的（ ）．
A．可去间断点 B．跳跃间断点
C．第二类间断点 D．连续点
7．在 ABC△ 中， A，8
B ，C 成等差数列， cosc a B ，则 ABC△ 的形状为
（ ）．
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
8．如果关于 ,x y 的方程组3
2 2x y
x y a
的解是正数，那 a 的取值范围是（ ）．
A． 4 5< a < B． 5a > C． 4a < D．无解
9．已知集合 2 4 3 0A x x x ， | 2 4B x x ，则 A B （ ）．
A． 1,3 B． 2, 4 C． 1, 4 D． 2,3
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10．已知 ,m n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题正确的是
（ ）．
A． / / , ,α β m α n β烫 ，则 //m n B． // , //m m n ，则 //n
C． , / / ,m n m ，则 / /n D． , / /m m n ，则 n
11．若 A B C D E、 、 、 、 五位同学站成一排照相，则 A B、两位同学至少有一人站在两端
的概率是（ ）．
A．15
B．3
10C．
35
D．7
10
12．下列等式中，正确的是（ ）．
A． ( ) ( )d f x dx f x B． ( ) ( )f x dx F x
C． ( ) ( )df x F x D． ( ) ( )d f x dx f xdx
13．长方体 ' ' ' 'ABCD A B C D 中， 2AB AD ， 2 2AA ，则直线 'BD 与平面
ABCD 所成角的大小（ ）．
A． 30° B． 45 C．60 D．90
14．已知函数 � 괊 是定义在 � 上的奇函数，且 � 괊 + 4 =图 � 괊 ，当 괊 � Ͳ，象 时，
� 괊 = 괊象 + 1，则 � 7 =（ ）．
A．2 B．图 象 C．1 D．图 1
15．当0 1p 时，级数1
1( 1)np
n n
的敛散性（ ）．
A．条件收敛 B．绝对收敛 C．发散 D．无法判断
三．填空题（共 5 题，每题 2 分，共 10 分）
1．2018 年 10 月 1 日，小明将一笔钱存入银行，定期 3 年，年利率是 5%，若到期后取
出，他可得本息和为 23000 元，则小明存入的本金是_____元．
2．已知 ， 是一元二次方程 2 2 0x x 的两个实数根，则 的值是
______．
3．如图，已知 ABC 、 DCE 、 FEG 、 HGI 是 4 个全等的等腰三角形，底边 BC 、
CE、 EG 、GI 在同一条直线上，且 2AB ， 1BC ．连结 AI，交 FG 于点Q，则
Q I ______．
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4．如图，菱形 ABCD 的边长为 8cm，∠B=45°，AE⊥BC 于点 E，则菱形 ABCD 的面积为
_____cm2．
5． 2( 1)dx
x x
___________．
四．计算题（要求写出计算过程，只有答案没有计算过程的不得分．共 5 题，每题 5 分，
共 25 分）．
1．解下列不等式：若不等式 22 2 2 4 0a x a x 对一切 x∈R 恒成立，试确定
实数 a 的取值范围．
2．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出
100 千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低 1 元，则平均每天的销售可增加 10 千克，
请回答：
（1）写出售价为 50 元时，每天能卖樱桃_____千克，每天获得利润_____元．
（2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利 2240 元，每千克樱桃应降价多少元？
（3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？
3．如图，在三棱锥 P ABD 中，平面 PAD 平面 ABD ， AP PD ，
2AP PD BD ， 2 3AB ．求：
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（Ⅰ）求三棱锥 P ABD 的体积；
（Ⅱ）求点 D 到平面 PAB 的距离．
4．求
2
2
11
x xe dxx
．
5．某校在以“青春心向觉，建功新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了 A合唱，
B 群舞，C 书法， D 演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小红随
机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答
下列问题：
（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“ D ”部分的圆心角度数是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有 1800 名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？
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五、综合题（共 5 题，每题 10 分，共 20 分）
1．已知等差数列 na 的前 n项和为 nA ， 3 5a ， 6 36A ．数列 nb 的前 n项和为
nB ，且 2 1n nB b ．
（1）求数列{ }na 和 nb 的通项公式；
（2）设 n n nc a b ，求数列 nc 的前 n项和 nS ．
2．在化简“10.5:3.5”时，学生出现下列几种不同的做法：
（1）10.5:3.5=105:35=3；
（2）10.5:3.5=105:35=3:1；
（3）10.5:3.5=105:35=10535
=13；
问题：哪一种做法是错误的?请分析导致错误的原因，并给出教学建议以避免类似的错误．
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2020 年浙江宁波教师招聘考试模拟卷二
数学专业知识
一、判断题（共 10 题，每题 1 分，共 10 分．你认为正确的请在括号内打“√”，错误的
打“×”）
1．所有的合数都是偶数，所有的质数都是奇数．（ ）
2．去掉小数点后面的 0，小数的大小不变．（ ）
3．甲比乙多 25%，则乙比甲少 20%．（ ）
4．已知 na 是以 15 为首项，2 为公差的等差数列， nS 是其前 n 项和，则数列 nS 的最
小项为第 8 项．（ ）
5．函数2xy2 x
的定义域为{ | 2}x x ．（ ）
6．函数1
| | 2y
x
的最大值是12
．（ ）
7．驻点一定是极值点．（ ）
8．若 1 2, , n 线性相关，则每一个 1, ,i i n 都是其余向量的线性组合．（ ）
9．在方格纸上有 A，B 两点，若以点 B 为原点建立直角坐标系，则点 A 的坐标为（2，5）．若以 A 点为原点建立直角坐标系，则 B 点坐标为(−2,−5)．（ ）
10．定积分2 2
41
1x dxx
的值为：
218．（ ）
二、单项选择题（共 15 题，每题 1 分，共 15 分．下列每小题的选答案中只有一个最符合
题意，请将所选答案的字母填入括号内）
1．一个正方形的周长与一个圆的周长相等，它们的面积大小是（ ）．
A．相等 B．圆的面积大 C．正方形的面积大 D．无法比较
2．某商店将两件商品均按 1200 元销售，其中一件赚了 20%，一件亏损 20%，那么该商店
在销售这两件商品的交易中共（ ）．
A．赚了 100 元 B．亏了 100 元 C．亏了 200 元 D．不赚不亏
3．一辆汽车从甲地开往乙地，4 小时到达，返回时 5 小时到达．这辆汽车从甲地到乙地的
速度和返回时的速度比是（ ）．
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A．4：5 B．5：4 C．1：5 D．1 1:5 4
4．一种盐水，盐与水的比是 1∶150，要配制这种盐水 755 克，需盐（ ）克，需水
（ ）克．
A．6；180 B．4；850 C．7；650 D．5；750
5．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（ ）．
A． 1 3 33
x xy B． 12
33
xy logx
C．y＝x﹣1 D．y＝tanx
6．设
1sin , 0( )
0, 0
xf x x
x
，则 0x 是函数 f x 的（ ）．
A．可去间断点 B．跳跃间断点
C．第二类间断点 D．连续点
7．在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．若 3 : 4 : 5a : b : c ，则 cosC的值为（ ）．
A．35
B．45
C．34
D．0
8．解关于 x 的不等式组0
7 2 1x a
x
的整数解有 5 个，则 a 的取值范围是（ ）．
A．7<a<8 B．7≤a<8 C．7<a≤8 D．7≤a≤8
9．设全集 1 3 0U x Z x x ，集合 0,1,2A ，则 UAð ＝（ ）．
A． 1,3 B． 1,0 C． 0,3 D． 1,0,3
10．设 , 为两个平面，则 / / 的充要条件是（ ）．
A．内有无数条直线与 平行 B． , 垂直于同一平面
C． ， 平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与 平行
11．从数字 1 到 9 中任取 3 个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三
位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ）．
A．420 B．840 C．140 D．70
12．下列等式中，正确的是（ ）．
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A． f x dx f x B． ( )d f x dx f x Cdx
C． ( ) ( )df x f x D． ( ) ( )d f x dx f x dx
13．在空间四边形 ABCD中， 2AD ， 2 3BC ， E ， F 分别是 AB ，CD 的中点，
7EF ，则异面直线 AD与 BC 所成角的大小为（ ）．
A．150 B． 60 C．120 D．30
14．已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且函数的图像关于直线 2x 对称．则函数
( )f x （ ）．
A．是周期函数，其一个周期为 2 B．是周期函数，其一个周期为 4
C．是周期函数，其一个周期为 8 D．不是周期函数
15．幂级数
1
5 n
n
xn
的收敛半径为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．12
三．填空题（共 5 题，每题 2 分，共 10 分）
1．张老师带学生乘车外出郊游，甲车主说：“不论师生，每人 8 折”，乙车主说：“学生
9 折，老师免费”，张老师算了一下，不论坐谁的车，费用一样，则张老师带的学生人数是
________．
2．已知一元二次方程 23 4 0x x k 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_____．
3．如图，在 ABC△ 中， AB AC＝ ，点 D 在 AC 上，且 BD BC AD＝ ＝ ，则
A ＝_____度．
4．将 2019 个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 1A ， 2A ， 2019A 分别
是正方形对角线的交点，则 2019 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______ 2cm ．
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5．2
41
1( )xe dxx
________．
四．计算题（要求写出计算过程，只有答案没有计算过程的不得分．共 5 题，每题 5 分，
共 25 分）．
1．解关于x的不等式： 2 (2 4 ) 8 0ax a x ．
2．某市正在创建“全国文明城市”，光明学校拟举办“创文知识”抢答案，欲购买 A B、两种奖
品以抢答者．如果购买 A 种 25 件， B 种 20 件，共需 480 元；如果购买 A 种 15 件， B 种 25
件，共需 340 元．
（1） A B、两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买 A B、两种奖品共 100 件，总费用不超过 1120 元，那么最多能购买 A 种奖
品多少件？
3．如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD ABCD 中，底面 ABCD为正方形，侧棱 1AA 底面
ABCD， E 为棱 1AA 的中点， 3AB ， 1 4AA ．
（Ⅰ）求证： 1BD AC ；
（Ⅱ）求三棱锥 A BDE 的体积．
4．求 2 2
cos 2cos sin
x dxx x ．
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5．为了解某中学学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》
四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 x 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选
出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）x____，a______，b______；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生 5000 名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节
目的学生有多少名．
五、综合题（共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
1．已知数列 n na b， 满足 1 1a ， 111
4nn
aa ，
22 1n
n
ba
，其中n N ．
（1）求证：数列 nb 是等差数列，并求出数列 na 的通项公式；
（2）设4
1n
nac
n
，求数列 2n nc c 的前 n 项和为 nT ．
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2．在学习过分数这节课后，遇到这样的一道题目，判断题：两条绳子同样长，第一条剪掉
它的27
，第二条剪掉27
米，两次剪掉的长度一定相等．（ ）学生总是错解：√，
请根据上述现象，分析学生错题的原因，并分析教师应该如何改进教学？
