/.

',' .

.. Volumon XII NÚl)1ero 4

ReVISTA CELA

, UNION, MATEMATI e A .' ARGENTIN A (MIEMBRO' DEL PATRpNATO DE .LA MATHEMATIC~L REVIEWS)

ORGANO DE LA

ASO el re 10 NFISI e A- ARG EN '1'1 N A 'REDAC'l'ADA por ,

,T. Bahini (Directol;), J. Rcy Pastor, L .. A. Sllntaló y E. Gaviola, (Delega'do de la A. F.A.) .

o MIEMBlWS TI'rULARES DE LA U. M. A.

;I. BABINI (Santa 11'e) (flll1Clado~') ~:LVI. BAI,ANZAT (San Luis).- J. BARRAl, RouTO (E. Aires) (fundador) . ...,-C. A. BULA (Rosario) (fundador).-E. Co-l:O~IINAS (Men~loza).-E. Cmo:mZQI,A (Eosurio).-C. DIEUr,E~'AIT (Rosario.) (fundador).- A. ,DUUAÑONA y VE~Ii\ (E. Aires).- ]!'AOULTAD DE. CIENOIAS BXAOTAS J!'ÍSIOAS Y NATURAÍ,ES (E. Aires) (fundador).~FAOUL'rAD DE CIEN-

~":~':

1'.

, I

! o

UNION MATEMATICA ARGENTINA

MIEMBROS HONORARIOS,

Tulio Lovi-Civita (t); Bcppo Lovi; Alejaudro ''l'erracini; George D. Bir- o khoff (t); Marshall H. Stone; Gcorgcs VaJiron.

JUNTA DIRECTIVA' PrósidClite, Alberto Gonz(t!oz DOlllíngucz, Paraguay 1327, Buenos Aires

Viccprcsiclentes, J. C. Vigllaux, .E. H. Zarantonello. Secretarip general, M. Va-lontinuzzi. 'resor.cra, CIotildo A. Bula. Pro tesorera, Juana M. Cardoso. Director de la Revista, J. Babini. Secretarios locales, .H. A.Ricn.barra· (La, Plata), P. Lo' Cltocchi (Córdoba). Elvim M. 'l'ula(Cuyo), F. Gaspar (Rosario), IIda C. Gu-b lie,~moJlo ('l.'ucUlulm}

REPRESENTANTES EN EL EXTRANJERO Ing. Rafael Laguardia (Uruguay). Ing. José Luis' Masse~a (Ui:uguay).,

Dr. Sergio ~ispúnov (Paraguay). Dr. Godofredo GarCÍa (Per!!). 'Dr. Leopoldo Nachbin, (Brasil). Di'. Roberto Frucht. (Chile). Dr. Peter Thullen (Ecuador). Dr. Mario GOllzález (Cuba). Dr. Alfonso Nápoles Gandal'a (México).

I 'Para ingresar como miembro titular de la Unión Matemátic'a Argentina, es necesaria la presentación del solicitante por dos socios fundadores, la admi-sión por la Junta, y el pago de una cuota de $ 5: - m/n .. mensuales o de $ 50.-

o anuales . . Para ingresar como miembro adherente (con derecho a la Reyista y a las.

Memorias en fascículos separados) es necesario el pago d'e una cuota de :ji 10.-;-anuales. Los pagos deberán efectuarse por cheque, giro u otro medio .. libre de gastos, a la orden de la T9sorem, Prof. Clotilde 'A. Bula, Lavalle 1115, Rosario.

Los señores miembros adherentes domiciliados. en la Ciudad de' Buenos Aires podrán, si lo prefieren, efectuar su pago en doce cuotas mensuales de :ji 1.00 m/n. cada. una, que serán eobradas a domicilio. "

. Por ser la U. M. A. miembro del patronato dé la Mathematical Review8 (sponsoring member), los socios de la U. M. A. tienen derecho a suscribirse ,[1 esa importante revista de bibliografía y crítica con 50' % de rebaja sobre el

. precio de. suscripción que es de 13 dólares por año; Los socios de.la U. M. A. pagarán por tan,to sólo 6.50 dÓ,Iares: por año. ,

Los trabajos originales enviados pam su pU,blicaciónserán previamente analizados por 'un ponente, quion emitirá dictamen acerca de la novedad .y corrección de sus resultados. /

La impresión de las tiradas o aparte, y las correcciones extraordinarias de': (miebas, son ,por cuenta de los autore~.

Abonilementannuel ji 1 'etranger: 4.00 dollars (Etats-Unis). Pri~re d 'adresser touto la correspondance scientifique et administrative

~ l'adresse ci-dessous:

S~. ,SEOltE'l'ARIO DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA Dr. Múaro VALÉNTINUZZI

Gascón 520, Buenos Aires (REP. ÁROEm.'INA)

ASOCIACION FISICA ARGENTINA Pa'ra ingresar a la Asociación Física Argentina debe abonar~e unac1Íota

mensual de $ 5.- ¡m/n'. Los estudiantes de física y de astronomía pagarán un.ª cuota, mensual de :ji 1.- m/n. ' . .

Presidente: Enrique Gaviola Tesorera: Estrella Mnzzolli de :Mathov, Buenos Aires, San Juan 1931. Secrctarios Locales: Ernesto E.· Galloni, Buenos Aires, Yerbal. 1763.

l!'idel Alsina Fuertes, La .Plata, calle '44, NQ 717. Guido Beck, CórdoJ:¡a, Laprida 922. José Würschmidt, Tucumán, Laprida 765, .. ,

':" .

",

¡: ': ,~

.. , i

\Ji

·¡i

J.' '¡ . :.'

. '

I '

/

IMPULSO ANGULAR DEL CAMPO PE RADIACION

Abstl'llct:

por JOSE A. BALSEIRO Observatorio Astronómico., - Córdoba (Entrogadoel 6 ,de "marzo de 1947)

,'l'he tl1(iory of elementary particles permits; to attribute a well defined angular moment'umexpression to a radiation fi~ld. Examples al'e' given fOl" the cletermination of total angular momentum of aú electromagnotic field oi' two pllOtons, and for 'the' interferences cha-racteHstic of the' Bose-Einstein s:tatistics. Consoryation of total angular momentuDl duxing ,an emissionprocess leaels to the expressi'ons of intensity distribution of the Zeemall effect iI~ the limit He::::. O. In j;he case of a vector meson fielel total angular momelltum can

,he split, inn relativistic invariant way, into orbital !lnd spin momentum. The spin thus elefinec1 results to be un integl·al~ of motion' for free pal'ticles.

,1. CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

§ 1. -1 ntroducción.

La ~eoríageneral del campo de las partículas element~les pel:"mite atribuir un impulso angular' total al campo cOl~siderado (1). En general, es posibl.e obtener, de éste, la división en impulso orbital e impulso, de «espín» (2). En particular, tra~

,tándose del' campo el,ectromagnético se obtiene para el impulso , angular tolal la expresión' conocida en la teoría clásica:'

" '

4 1 'J-+ -+ -+- 4, '4' ' J ~ - rx[E*xH -H*xE]d-r:.

8Ttc (1. 1)

Si el campo electromagnético se considera cuantificado, la (1.. 1) defiot), el operador de impulso angular total, cuya repte-

(1) w., PAULI" Rev. of, Mo(Z. Phys. 13, 203 (1941)~ (') F. J. BELI~JrANTE, Physiba, 6,887 (1939).'

-154-

I

sentación sobre ej1es principales conduce a combinaciones linea-les de las funciones propias del campo, similares a las que' se obtienen tratándose de partículas de Schrodinger' descriptas por funcioJ;les de onda simétricas. Esta. cir'cuIllStillficia hace .que apa-' rezcan analogías entre ambos casos, a pesar de la diferencia fun-damental queentr,e ambos' existe.

El formalismo da cuenta· de' la conservación del impulso angular total y es aplicado a ejemplos simp1es. del campo de dos fotones.

, § 2. - Impulso antJular del campo de u~ fotón. .

Si se considera que un solo fotón está presente en el cam-'po de radiación la (1. 1) permite atribuir al impulso angular tqtal la representación matricial: ' ' .

~ 1 J~ ~ ~, -r ~ J., =- rx[B·*xH, -H¡*xE-]d't ·(2.1:)

!,e . 81tc "e _ e ! ...

~. + donde E:;, y H'e son dos soluciones particulares· de las _ écua-ciones de Maxwell, normalizadas de modo a obtener para la energía el valol" hu. Las soluciones adecuadas para nuestro .objeto son las soluciíOnes esféricas, l8léctricas. (E) o magnéticas (M). - (Apéndice 1, (E) y (M) y.

P~ra un 'valor dado de le = ~icv, . la energía del campo se C

define por la matriz d~ dementos. (Apén. 1, fórins. (2) y sig.):

+ "* + H (¡e/ l,m H wl'w] d't. (2.2) Se consideran las soluciones ,estaciwarias. en una esfera

d~ conductividad infinita de ~adio R. La contin,uidad de las com-ponentes tangenCial,es del campo eléctrico, da. como condiciones de límite para CE) y (M) respectivamente:

(2.3)

De estas relaciones obtienen los valores discretos de' le

- -155-

que corresponden a las ondas propias teniéndose (Apén. 1, (3»:

(l', m', k'l Wll, m, l~) = hv '6lcTe' '6U' '6~m" (2.2') El cálculo 'para el espacio libre puede realizar~e establ'e-

ciendo que' .R -+ 00 y considerando las soluciones asintóticas de las ecuaciones de campo. El ,espectro discreto tiende al, espectrq continuo y' la normalización respecto a éste se hace como es habitual: .

le+Ale

1 f ' (l', m',le'l W,ll, m, k) = 2Mc' (l', m', le'IWll, m, le) die'. 7e-Ale'

De (2.1) se obtienen los' elementos de matriz del impulso an'gular total. (Apén. (4) Y sig.) para el ?ampo de un fotón:

. h (l', m'IJ.r:1 z.. m) ="2n" m '6¡,/. '6m1m (2.4)

(l', m'IJa; ± i Jyll, m) ~ ~;r ¡/ (l:¡: m) (l ± m + 1) '6/i,1 '6m'm::¡:~ ~2. 4') Los elementos de transición de energía e impulso 'entre (E)

y (M)' son nulos. Estas, matrices, fueron obtenidas porW. He i ti e r (B) por olro. método y son id~nticas a las matrices de impulsoan'grilar de una partícula de Schrodinger.

Los elementos diagonales de (2.1) fueron dados en la teo-ría clásica por M. AB r a h a m como valor del impulso an..,· guIar de úna onda dip91ar polarizada circularmente ¡

W Ja;=Jy=O J.r:=-.

'V

§ 3. -lmJY1ilso w1¡gular del' oampo de un número arbitrar:iQde de fotones. , .

Los operadores' de campo contenidos en (1. 1) son: i

+ 001 -+ oo!' E=.:E.:E .:Ea(Te/,mE(¡e)/,m H+ ,.:E.:E .:Eaoe)+I.mH(¡e)*I.m (3.11)

le 1-0 ",--1 .le t-O 1n--l

donde ,a(le)llm y a(¡e)+r,m son los operadores ,de' absor~ión y emi-sión respectivamente. Teniendo present-e que'

, ,

(3) \V.HEITLER, Proc. Camb, Phil. SOCo 32, 112 (1936)'.

-156-

do.hde 'ns -es el número de foto.nes de fase &s asociado.s JI es-I . .

tado' s, se o.btienen lo.s ,elemento.s de matriz del impulsó angular del campo:

(n'l n'2 .. ·IJlnl n2 ···) = r;t, n.' .... · J r n ¡ n ..... d&ld&2 : .. d~ + f + . siendo I'ntn!... las funciones propias del oper~dor Ns : . i

. " I' . 1 . n¡':n'" = V (2rc)N i~n,&,

e '

Sólamente no. se anulan lo.s elemento.s de matriz que Co.-rrespo.nden a un mismo. .valo.r de le y l.(según (2.4) Y (2.4/)) y, además, áqu~llo.s,que co.rrespo.nden, a la transición de un so.lo ' fotón de un estado. a o.tro.:

, , ,h N .

(ni 712'" l.1z l n1 11. 2 "') =-,I ni mi 2rc ;-1 . (ni ~ .. ni ... 11 k ... 1.1 x ± i J ~ In1 ... ni - 1 .. , nk" . ) =~!:;

{3.2)

[ni(ni + 1) (l:¡: mi) (l ± mi -~ 1) ]1/2. ' ':(3.'3) En esta repre~entació;l ei impulso. an~ulart0ta:l IJI2, no.

es diago.nal.

§ 4. - Com.posición del iTn.pulso angular de dos fotones.

Las matrices (3. 2) Y (3. 3) permiten co.mpo.ner el impulso angular de do.s fo.to.nes, que co.nsicl¡erar¡e¡mrOs so.n dipo.lares (l· ' 1); y ,de frecuencias' V1 .y V2• Las co.nfiguracio.nesqrieclan ·caracte'-rizadas po.r Vi y v2 y' por lo.s respe'ctivo.s números cuánticos m.l Y m2. Las funcio.nes propias co.rres.p.onclientes a estas con:" figuraciones so.n:

2

.:E nv;c m/c = 2. lc~l .

'.

1: , ".

r i ~ \,

~ .

. -1.57--'-

Transformando .el impulso total sobre ,ej'es principales se .obtien8;n nueVle estados dif.eroentes, caracterizados _por los nú.-·meros,· cuánticOs . del. impulso 'angular total L = 0, 1, 2 y. -~

'/'

'-158 ---:

'Esias 'eómbinaciones lineales son iguales a las de lns fun-ciones propias de dos partículas materiales, d~sCriptas por fun-ciones de onda simétricas s~ en vez de r se escribe la {unción de onda de Schrodinger. Como ,en el caso de partículas mate-riales de igual energía, y estadísticas Bose - Eis~ein, las fun-ciones correspondien~es a L = 1 desapal1eoen cuando' v 1 = V 2'

Las combinaciones lineale~ de la Tabla 1, permiten calcu-lar la distribución angular qe la intensidad del campo, consi-derando que, ésta es proporcional a:

que, para las distintas configuraciones posibles d~n los valores que figuran im la Tabla 2; y son idénticas a las que se obtienen de la teoría clásica superpon~endo las ondas dipplares y prome-diando sobre las fases relativas. Esta, observación permite de-terminar la polarización de. camp~ en cualquier direqción.

TABLA 2

: . Distribuci6n angula~ ele intensielael

2 -l., 1 , o 1,· -11 -2 \ "

L~ol I ' ,

I K ~ ~ (.,+,,) I I .

, "

L=l ' 1 K(l+ z sen' &) K(l+cos' &) K(l+i sen' &)

,

L=2 K(l+cos' &) K(l+~sen'&) 2 K(s+sen'&) K(l+i sen"&) K (l+cos' &)

§ 5. - Interfereiwias en el campo de dos fotones. '¡. I

Tratándose de dos partículas materiaLes idénticas sm ID-o teracción.

I

"-159~

da la probabilidad de eri~ontrar una' de las partículas en 'el lu-gar de coordenadas' rl Y otra en el de r2' Apar.ecen aquí, fe-nómenos deinterf'erencia, cuya naturalezad~pende del carácter de simetría o antisimetrÍa de la función \)1, además 'de la con-figuración que define el estado, de' las dos partículas. .

Nuestro propósito es averiguar 'si lasfUljciónes propias de la Tabla 1 conducen a fenóménos de interferencias análogos' a los que se presentan 'en el caso mencionado. Existe" sin (em-

. bargo, una diferenCia fundamerital ¡entre ambos' casos, y es que no se puede, en manera alguna, atribuir a los fotones de un campo coordenadas espaciales como en el caso de partículas. Pero, porótra parte, se puede 'hablar de la localizacü~nde un fotón si se enuncia explícitamente un método de determinación de las coordenadas de un punto ma1!etial sobre el cual actúa" por ejemplo, un átom,o en 'lel que produce efecto fotoeléctrico.

OLa en,ergía del fotO'electrón permite' individualizar al fotón ab-sorbido y I el o~igen de aquél, determinar las coordenadas del átomo.

Consideremos dos foianes de 'impulso, angular dado. La probabilidad que estos ~os farones produzcan simultánetamerite

, . . + '~

prooesos fotoeléctrioos en dos átomos de. coordenadas P1>Y r2' depende de la posición relativa de éstos últimos, y puede con-

, si,derarse como una medida de la posición de los dos fotones. La pr(jbabilida~ que el. fotón' . visea absorbido por lel áto-

mo (1) ,está dada por el cuadrado del elemento de matriz:

donde CP("l) es la, función de onda del átomo. (1) en el estado ~

inicial, y cp( ,,' 1) la correspondiente al estado fin'al. A es el ope-rador d~ campo análogo a (3.1). El elemento ,de matriz que da ,la probabilidad que Vi sea absorbido en (1) y v2 en (2) inde-

, pendiente' del orden de sucesión en que ésta s'e realice es:

-160-

. Si no se esp~cifica' por cu~l de los' átomos es absorbi~o cada fotón hay que completar este. elemento' de matriz con . los dos términos correspondientes a la absorción die v1 por el áto-mo (2) y '12 por el (1), en un caso, 'y v~ por' (1) y Vi por (2) en el otro. '

Consideraremos, como ejemplo; dos, fotones en la configu-ración L= 1 Y M =0. Se'tiene:

I HI 2 = [J 3/2(k1 r1) J 3/2(k2 r2) 11 1~.~ J s/2(k2 r1) J s/2(k1 r2) ~'11' 2)2 le " ' , ,'. , '

¡I' [sen2 &1 sen2 &2 sen2(Cf'2- (Pi) + cos2 &1 + cos2 &'2]' rl r 2 ' "

li son las integrales, de las funciones pr,opias de los áto-mos' en los distintos esta.dos. El primer factor ,muestra fenóme-. nos de interferencias análogos a los que se presentan -en el caso' de dos partfculas materi'ales que obedeoen a la -estadística' de Base -Eistein en la' misma 9on'figur~ción ponsideráda:' ,

. Cuando Vi = V 2 resulta' I H 1=0, debido a 'que la can ti-gurilCión L='l y M' ° desaparece, como en el caso de dos partículas de igual energía, k 1 =lc2• . La distribución angular, resuNa, en "'general, distinta a, la

de las partículas materiales, 'y esto se debe a que las soluciones esféricas de las ecuaciones de Maxwell son distintas de las 'de Schrodinger.

§ 6. - Vinculación con el efecto Z~eman, . ".

'E¡i un proceso de emisión tiene lugar' en .él espacio, libre de' un campo exterior es de esperar la conservación. del impulso

,angular total del si~tema el,ectrón fotón~ Si Sf) orienta un, átOglO mediante un campo. exterior, con el objet() de t!'lner un impul~o angular bien definido, y se retira este campo previamente al

-';:""

-161-

proceso de emISIon, para evitar la perturbación que produciría sobre. este prooeso,. el impulsQ an'gular- del sistema electróri-fotón debe ser igual al impulso angular del electrón en el estado inicial.

Si tP(r; fr, cp) 'es la función de Olida· del ¡electrón en su es-. tado final, el impulso angular qel sistenfa electrón-fotón es:

J ·fI~*{l'XP+ 8~C [rx (E+xH'-H+xE)]}~ded". ,h .h( n: ) i~n.f}. o/ = '1' 1', \r,.rp e. .

(6.1)

Si, .en partIcular, consideramos un fotón·. dipolar y un el,ectrón p' en su estado final, al transformar el )mpulso an'gular' sobJ.'le ejes principales, apar,ecen combinaciones 'lineales (j)L.M del mis-mo tipo que las que figuran en la Tabla 1, si se- considera". ahora, que ~ son las funciones propias del sistem~ electrón-fotQn.

El· cuadrado de los coeficientes de las~ombinaciones linea-les que apareoen son los mismos que lbs que se obtienen de las probabilidades de transición en ,el efecto Z,eemari con un campo exterior que tiende a cero. Consideraremos,· oo.mo ·ejemp~o, la transición p - s e'n un campo exterior que tiende a· anularse; en estas circunstancias, la transición es eX,presable por la super-posiCión de las transiciones· 1-:-1, m=l, 0,1 a 1 = O; m = O. La probabilidad de una transición que' produce una línea po-larizada en el sentido y dir,ección de los ejes z, x o y (z direc-ción del campo magnético) es proporcional al cuadrado de los' elementos de matriz: . , .

z'" lt1 >n = l' (1+1)2-m2) J'1/2 Rn' ltI n. 11~.· (21+3)(21+1) , n,

X ,¡.'.ltl . m+1 .....:. ~ [. (l+m+2) (l+m+!l] 1/2 R;'" 1+1 . , n >n .. 2, .(2l+~)(21+1) '~ ,1

n' ¡+1111+1 __ 1.[(1+m+2)(I+m-~1) ]1/2 R'" lt1 y,. 1 .'" - 2' (21+3)(21+1), ."

. x'" ltl >n-I ' _ ~ lr (1.-m+2)(I~~+1) 1. 1/2 R'" l+1 n . 1n. 2 (21+3)(21~1). j n . ¿

-162~

n' It1 ,,:-1_.i [( l-'-m+2)'( l-m+ 1) .] 1/2 HU' Ztl Yn .1""'- 2 (2l+3){2l+1)· U

,00 ,

donde R~' It1= ¡ Rn~l~lRnlr3 dr ,es la integral de' la parte ra-~ial de las funciones. propias del' átomo ele hidrógen:ü (4);

Las probabilid'ades' de transición que dan un~; línea pola-: rizada según las tres ,direcciones posibles, en el caso consideradO;" son proporcionales a:

Ixu'll12 + !X n '1-112_ ~ R u' 1 n 00 ' u o o - a n o

I·Y'~~'1112'+ lyn'1':'112_~ RU'l 11 o o ' n o O, - 3 n o

La probabilidad de transición cuando el ,campoexteriot tien:de a cero está dáda: por la' superposición de lal:! anteripres; Los, coe-ficientes que en ella aparecen 'son los ~uadradosde los que in-tervienen ~n la función propia, que describe el sistema electrón-fotón en la: configuración' L = 0, M = ° (Tabla· 1, donde se sustituye ·I'L.M por QlL.:M)'

por otra parte, "si el campo exterior, permanece finito, se , puede. determinar en 'el estado final, independientemente el im-pulso aI?-'gular del electrón y; del fotón, en tanto que el impulso 1!-rrgular total del sistema,. nO está sobr,e ejes principales, debido-a la influencia del campo exterior. El hecho es an,álogo al efec-to Paschen - Bacle, ,_ púdiéndose esperar que, en nuestro caso, se mantellga la conservaciÓn ,del impulso, angular con un ' campo suficientemente débil, cuya' intensidad puede estimarse por la energía de acopl~iento entre los impulsOs angular,es del electrón y del fotón. Esta ene~gía de acoplamiento puede calcularse me-diante la ener.e-Ía de perturbación de, se~undo orden ,E(2) que,

éste último ejeroe' sobre el prrmero,pudiéndose, aSÍ, hallar la,

(') Ver p. e. H. BETHE, Ha~él. -cierPhys~k, 24, 1 pág. 4S2. Berlín, '193S.

'~ ... -

"

"

-'163-

intensidad del campo magnético que produciría una p,erturba-, ción equivalente.

Sea 1 E 12 la intensidad del campo eléctrico, de mi ~ipolo , 1"

en la región r < 2n' Resulta:

"E,(2) 'e2

1c2 1 E 12'.'

" . hv ,

Para un fotón dipolar contenido en una esf.era de radi() R=c1: (1:, tiempo de transición),

La intensidad del campo magnético' que prod,!oe una per-turbación equivalen~e" dada por la relación:

I eh E(2)=Aw=--,J{a

'4mc

resulta del orden de Ha CY.:> 10-5 Gauss. Campos mayores destru- • yen el acoplamiento de los impulsos angulares,

§ 7. - Espí~ ¡atribuible cil fotón.

No existe inconveniente' formal de obtener para ·el campo electromagnético, siguiendo el for,malislmo general, la división del impulso angulár .total, en impulso orbital e impulso d~ es-pín (2):

+ lIS + . J=- .z,[E/(r X grad) As+conJld1:+ 8nc 8-1

, "

'1 J + + , + -' ~E* X A + oonj] d1:., 8nc, '

(7.1)

Hay que tener presente, sin embargo, que para el campo de radiación electromagnético no es posible, en :manera alguna" definir la densidad de cuantos de luz, por lo que tampoco es posible intr.o~ucir un opera'dor' que contenga las co

'. '

--164-

.locales de los cuan.tos. De ahí la dificultad de' definir el espín para fotones. Existe, además otro inconv,eniente destacado .por

·,L. R o s e n.! e 1 d (5) Y es Jel de no ser los términos de la se-paració'n (7.1) invariantes de medida. ,

Las razones aducidas en Parte 11, '§ 10 conduoen a la se-paración:

-+ 1 J 4. [0'A*. -+ . J . J=- I -o - (l'xgrad) As+cqnj d.+ . 81tc 8-1 Xo "

1 J -+ + + +- [E*xA.-H Ao+connd •. ,81tc. .

(7.2)

Mediante la transformaCión de medida:

-+ + A' " 4 +grad cp

A' 0= Ao _ c)cp , ,oxo

. el término, correspondiente al impulso de espín se tran~forma.

. La integral no se anu.la, en general, por 1.0 cual, e'n ,esta

'-+ representación, tampoco· S p'uede ser introducida, como una; m'agnitud inherente al campo de ra'diación eleytrOlmagnético.

ApÉNDICE 1

Las soluciones esféric~s ~ de las ecuaCiones de Max'Yell se expre~an (6):

21tv k--, --:- c . '. .

'(0) L. RoSENFELD, Aéad. Roy. BeZg. (01. Se.) 18, 562, (1942). (0) Yel': p. e. M. BORN, Opti7c" JUZillw/ipTiIn'geT, Berlín 19331 pág. 278.

"

-165;-

Ondas eléctricas,

. (E) , . '

. " [(l+1) ; ':' , \ Er.I,Til.=G1,n:. ' r

2 ,{p¡(lcr)Plm(cosfJ}eimfJ' HI.l,'~=O

• j

. 1 d d . . Eo.l,m= Gl' - -, ~i(kr) - p¡m(cos fJ·) ¿!mfJ'

\ ,m r dr d& .

v 1 im d )'" ¿ID ,m =C1,m - CfJ¡(/cr) p¡m( cos & ¡,e!mcp T r sen {'j. dI', ,

. . 1 ilc (') d '. lf .:m=_ GI - ~l ler - p¡m( cbS fJ') e!mfJ'. 'P ,m ,. d& "

Ondas magn~ticas,"

(M)

lcm .' ' Ef).l,m = Gl m-, - CfJ¡(/CI') Pt!( cos fJ') eunfJ' , ,. sen {J.

, ,

Ht}l,m~'C¡,m 5!.- CfJI(lO.') p¡m(cos &) eimcp r dr '

Con:

~1(lC,.) = JI le,. ht1/2(lcr)

". _ [Ice (21+1) (l-,-m) 1], 1/2: ,Cl .m - ikc l(l+l) (l+m) ! '

"

-166-

Para las :ondas (E) los elementos !le matriz de la energía (2.2) se calculan:

• ~J~ ~n R

(l'" ~ k' ¡ W¡l 1) -~ e e' fJJ{ l'(l'+l)l(l+l) ,m, ,m, 1: - 8' l',m' , 1m , A " n', r w , , U O O

, dPl,m' dPlm]}. + sen2 &--- X -- el(m-m')cp r 2 sen &dr d& dcp. " d& d& .'

(2)

La expresión entre corchetes se transforma, ni'ediante in-tegración por partes y empleando la eouación diferencial de las funciones P r( cos &) en: '

'con lo cual se tiene

Teniendo" presente la relación:

y ,la aproximación asintótica:,

'. ',1 ' ln , Jl+l/2(kR). --)- l/-sen (k R --)

, y kR, ,2

-167-

se obtiene, con' el :valor asignado a C1,m la (2. 2'). De, (2. 3) se calculan 'los !valores kn. Conocidos éstos se tiene:

Las 'oomponentes de (2; 1) son :

(l' m' IJzll,'m) = 8~cJ [rsen 3- ~/:mH f}*l;.~,+ - / + conj]]'2 sen 3- dr d3- dcp (4)

,'(l'm' IJ~±i;yl i,m}.=8~cJ [-irErl.:H~*I,.m',~ -:- reos 3- Ert•m Hf}*Z"m') e±iCP+,conj] di:. (5)

La primera, teniendo presente (E) da directamente ,(2.4). ' La (5) se calcula considerando larelacion:

y solo no' se anul3.n los elementos de matriz para los cuales l'=l y m', m'+:t.

El Cap. II. Oampo Qltesot,rónioo veotoriaZ apárecerá ,en el núm,ero próximo ..

.' l..

. LES' FONCTIONS ENTIÉRES D'ORDRE NUL(*)

par GEORGES V ALlRO'N

Professeul' a la Faculté des Sciences de Paris' \ "

.. . Les f0!1ctions e~ltieres d'ordre nul ont été d'abord peu étu- .

dieés, parce que les '«FIestions 'que l'onpourait se poser a teur, 'suj.et étaient immédiatement résolues, Si 'la fonction' est donnée' par son c1éveloppement taylorien.:

f(z)'=co + Cl z+ . . ,+cnzn+, ,,: pour qu'elle soit d'ordre nul, iI .:faut :et il suffit que

1, -log I en·1 . ' lm'--. --=+00.

1/,-"" 'n log In

. Dans ces conditions, fez). a une infin.ité .de zévos et sadé-compositibn en facteurs est de la forme

'ia série

est convergente. quel que soít E > O. Mais dés que la théorie des fonctions' d'ordrefini se pr'écisa,on chercha a rés¡oudredcs·

(*) , Seg~nd:1 clase' (30 de mayó ,de 1946) del cursillo Bobl'e Funciones en-t.eras dictado en el Instituto de Matemática de la Universidad de' Buenos Aires.

/

-169-

\

questions analogues pour les fonctions d'.ordre nul. ,On étudia des classes de ces fonctions en utilisant des fonctions de €ompa-

, raison. Par exemple, on' rencontre dans certaihes questions des 'fonctions pour lesquelles log M(r) est comparable a (log r)2 .. JI

est permls de supposer que

10gM(r) ",A (logr)2, A fixé.

L'e rangdu terme maXImum de la série de taylor sera don;né par

" J v(x;dx '" A (l~g r)2, o '

oecI se résout sous la forme,

ver) "" 2A log r;

,on,en déduit

R - (1+e)2:t n-e , " , E tendantvers zéro lorsque n croit indéfiniment. Autrement dit

Gn "1

lim e n' =8 4.11 •

C'est une condition nécessaire et suffisante. En passant aux Cn, on a f

- 1 1 1 1 l' np+l 1 liin '!clI !1i2 =,e - M; lim !Cnp ! "p' ~,e - M, avec 1m --= . n~ ex . , - p=oo p","'" np

Plus généraleinent, on pourrait transposer les résultats réla-. tifs aux fonctions d'ordre fini positif, en faisant la transforma-tion log r = X, et mtroduire un ordre, précisé. On atteindrait la ciasse des fonctions pour lesquelles

1 lag..lV1 (1') O

-170-

Si l'on veut donnerdes conditions permettant de détermmer log M (r) asymptotiquement, il semble bien qu'il soit nécessame d'introduire une infinité de classes, mais si ,.1'on cherche une

, ,précision moindre, on peut traiter simultanément toutes les fonc-tions (Voir Bul1etin des sciences math., octobre :1935).

J.e me borne aussi a signaler en passant que, 'si les coef-ficientscn sont différehts de zéros a partir d'une .valeur de n

, et si ron a alors '

on a poúr I z I = k Rn, Rn = Cn- 1 , ,et n. assezgrand~ , cn

fez) =cnzn [1 +fr(z) ll(k)J, /fr(z) /< 1, co

H(k) =2~ k-no. 1

Ii s'ensuit que, si H(k) < 1, les zéros de, fez) sont séparés par les cercles / z / = k Rn, dés que n est assez grand: Ce ré-suItat est a rappr,ocher.d;e propositions d'algébre de M. Rey Pas-tor et San Juan.

Avant de poursuivre, il convient de montrer que 1'0n ren-contre effectiv,ement des fonctions d' ordre nul dalli; certaines re-cherches~ Hadamard avait déja signalé la fonctiqn

00

.I qn" zn, /q/

-,171- '

qui vérifie l' équat~on fonctionnelle

cp(lcz) ~ (1- z) cp(z).

Une classe de fondions d' ordre nul voisines de oelles-ci est fournie par' certaines fonctions de Poinearé, dé:fIDi.~ dans son Mémoire sur une' classe nouvelle de fonetions :transQendante¡s. (J. de math., 1891). L'équation fonctionnelle

(1) f(laz) =P(f(z), z)

011 P est un polynomea deux variables P(x, y), et a une con-stante de module supérieure ii. 1, admet Ull!e solution -qui est úne fonetion'entil3re, pourvu que le caleul formel des 'eoeffieients soit possible. On devra avoir

, "iJP , ,Co:- P(co, O), I aq-;:-/=~ (co, O) q=l, 2, ...

, ux

Si le degré p de P par rapport a x .est supérie)JI a 1, on ob-" ;', logp ,

tient une fonction d ordre 1 I I ; si P , 1, on a une fonetion , og la d' ordre nul' et

m 10gM(1') '" 1 I I (logr)2,

2 og a , '

m étant le degré du polynome coefficient' de fez) dans le second membre de (1). ' \, '

Plus général,ement, la solution de

, p¡(z) f(az) +P2(Z) fez) + Ps(z) = O,

,011 les Pj(z) sont des polynomes, sera en général une fonetion méromorphe quoiient de deu.'C fonctions eritÍl3res d'ordres nuls.

A ces fonctio¡ns, on peut ajouter celles qui sont définies par l' équation différentielle fonctionIlelle

f'(zs) =P(z) fez) + Q(z), /s/>l,

! '

. -'-172-I

P ,et Q étant des polmómes. La'méthode des fo,nctions majo-rantes s' applique encqr,eet montre que ceUe équation admet des fonctions 'entieres pour solutions. Ce "Sont encoredes fonctions

. d'ordre nul du type analogue aux: pr.écédents .. . On doit observer a 'ce sujet que, dans le cas des équations différentielles ordinaires, il a été démontré que les solutions 'des équations linéaires a coefficients polynómiaux qui sont des fonc-tions entieres sónt d'ordre fini' positif 'et rationnel, et que les so-lutions des équations alg.ébriques du premier ordre, G( x, y, y') = O ou G est un polynóme a' trois 'Variables, qui sont .des fonc-tions entieres soní d'ordre fini. Geci avait conduit Polya a' penser qu'une fonclion el' ordve nul ne peul pas elre solutiol1 d'une équation différentieUe algébrique d' ordre quelcollque .. j' ai établi (Comptes Rendus, 1925) que la fonction

F(u)=S(z), 1

z+ -=u, z . +00

S(z) =~ qn' zlr, Iql< 1, -00

quiles! une foIiction entii~re d'ordre nul, ¡car , i '. " ..

00 ". q2n+1 00 ( uq2n+l ) S(z) .A~~l+zq,2n+1).~l+~)=A'~ 1, + 1+q4n+2 '

I . ,

, '

A 'et A' étant des constantes, est solutio,n d'une équation diffé-rentielle algébrique du 3e • . órdre. Car, si ron, pose

S'(z) Z(z) ': Z S(z)'

pez) vérifie l'équation

, e,' G2, G3 étant des constantes.

pez) =-.Z Z'(z) ,

Existe-t-il des. fonctiollS d' ordre nul qui sont .sólutions d':équations différenlielles du second ordrealgébriques. J'ai montré :qu'il n'y ena.pas pour lesquelles

I . .

1 Me; ) " log r . log2 r og f",',-r:::. I 4 ' . og"

( .

. , mais' ne peut-bri pas aller plus Íoin (Voir BuUetin Société Math., 1925); " :

, Si lafonction fez) vérifie l'équation différentieUe' algé-brique

P( z, f, f', /", 1"') =~,

la fonction iterée F ' f(f( z» vérifiera une équation diffl~rentielle algébrique elu sixieme orelre. Si l' on a

logM(r,f) ",H (log'r)2, H = constante,

on aura, comme cOlnséquence ele théorcmes généraux lSur le comportement des, fopctions entieres elan~ le voisinage eles points de m?elule maximum,

On pourra continuer ces opération's. J'ai ineliqué (Anuales de Toulouse, 1913),~'autres fonc-

tions entieres d'ordre nul, a croissanoe plus lente que les précé-dentes, qui. vérifient des équations, fonctionnellecs simples. La plus simple est

pour laquelle ,

cp(z2)=~(1- Z2)f(z)cp(_z). , a

, 011 pourra ·en eléduirc el'autres par des transformatio,ns cléja

utilisées. Ayant ~l1ontré que l' on rencontra des fonctions d' ordre nut

nous allons en indiquer des prppriétés assez suggestives, notf,lm-~ent pour. celles q~i vérifient la condition '

(2) --o log M(r) " hm (I rr )2 ~+oo. 1'="" 0b r

- ,

. -174-

.Si f(z) est d'ordre nul, f(O)=l pour simplifier l'exposé, et an le n-ieme' zéro, on a

Si n( x) -est le nombre des zéros de module inféríeur ou ég¡al a x, on a

DO

, DO· ( r) f m( x) log M (r) < Z log 1 + -1 -1 = (...L ) dx,

l' an x XI r .. o

et par· suite r ')O

. j'n(x) .. Jn(X)dx logM(r)'< ----;-dx+r x~,

o . r

cequi, joint aTinégaliié de Jensen, donne . 'r 011

(3) . logM(r) fn(x)dx+zrJn(X~dx, O

-175-

Pour étudierces foíictions, on' utilise un théoreme 'de Bou-troux sur les polynómes qui a été complété par Henri Cartan en 1928. Dans le cas actuel, le théoreine de Boutoo,ux suffirait. Voici le théoreme de Cartan: si P(z). est un polynome cano-mque de degré n:

et si H est donné positif, on a • I •

'1 pez) 1> (lel ) n, b di· 1 e, ase es ogarlt lIDes,

pourvu que l'on se place a l'extérleur d~ n cerdes dont la som~ me des rayons est 2H au plus¡. (VoirMémorial des Scie:nces math., nO. 89, p. 11).

Considérons alors une fonction d'ordre nul, donnonst-nous une fo¡nction ~ (x) décroissante tendant vers zéro mais supé-

1 rieure a -;;; et considérons les circonférences ,1 z 1 = Rm, R1 ~~ant donné et.

Oii supposera que le paint z est dans la couronne Dm:

et extérieur a des régions entourant, les zéros et on calculera une borne inférieure de If(z) l. Les tenUtes ,génants dans fez) sont ceux pour lesquels 1 z - an 1 est petit ou plutót relativ'ement pétit. Si ron pose " ,

le nombre des zéros dans la couronne

est m2 -ml' avec 111.2,=n(R"m)', ml=n(R'm). D'apres le théo-reme de Cartan, on aura

\

\"

-176-

(5) '1 m",( _~) l' 1 (H)11t.-11t

l =,(~)m,-ml n 1 la ' > (R" )",,-ml eR" ml+1 ,,/1 m e m a l'extérieur -de m2 - mil cer.cles contqtlant \ les zéros, dout ,la somine des rayons est au plus 2H. On prendra l

ce qui assurera que la région non exclue dans la couronne Dm contient des couronnes 'de centre origine puis11 --1 = 11 1-- . I mi ( Z ) I "'1 (r ) rm I . ?nI ( I an I ) 1 (ah - 1 lanl lal . .. am1 1 1 r" , 'dans le premier 'facteur on peut remplaoer ml par \ n(T') a la 'oondition de rilUltiplier par

dáns le sebond. fae::teur, on a

lan! < 1- ~ (Rm)" r ,de Isorte que le logarithme du premier membre de (6) ast supé-rieur 'a

r

j n(x)dx " , l' o, x -.(~2-ml) K log NRm) le étant indépendant de m.

'"

-177-

Enfin, dans le produit

on a.

. ,

le logaritl~me de oe produit est superieur a

et le dernier I est au' plus égal a

l'

En rassemblant ces résultats, et tenant compte de l'inégalité

o. cd

jnex)dx jneX)dx .. "eR II)_~ x > . 2 >n In R'" , ¡;' x . In

r R"m

on arrive a l'inégalité r 00

(7) log/fe z)/> fn~)dx~~e~:)Jne:~dx, [(II fixe, o l'

valable dans DIn, dans la reglOn dont ·,il a été' question. Pour les fonctions satisfaisant a la condition (2), n(x) ,est

inféri~ur a [{11og:xi et

¡(X>neX)dX' , . r . X2 < [(1 (log r+ 1). r

"

'/

-c-l:rS -

Le rapport de

tend vers zéro, 'on peut choisir ~(Rm) lPour,,:que, en dehors das petites régions exclues, on ait, eu égard a (3)

'1'

. (8) 'Jn(x)dx ' 10glf(z)l'" , xl! ' dx. ",log 1I1(r), r=lzl· , o

Donc

Si l~lg 111 ~)reste borné, on peut tracer \des cercles ¡contenant ogr, " , 'Les zéros, vus de l'origine sous un angle qui tend,vers zér.o ,lorsque le centre s'eloigne indéfiniment et tels que, a l'éxté!'ieur de ces cerc1es, on ait les égalités (8). Le dornaioe non exclu coptient des couronnes de centre origine.

Les points en, lesquels

(9) f(z)~Z , , -

sont ·dans les reglOns 'exclues des que' z est assez grand. Le p~obleme de la distribution' des points racines ¡de l'équati¡on, (9) ,cst résolu pour ces. fonctions el'une faQon tresprécise. L~ résultat contient un théoreme général donné plus ,tard par Julia. ' '

Lorsque la condition (2) n'est pas vérifieé, on neo peut plus affirrner q\le le rapport

co r

(10) rJ' n(x) dx :' J,(x)U dx . xl! X

'1', o

tenel vers zéro, mais on démontre aisément :que sa limite infé-, ,rieure pour r infini est nulle (Voir: Lectures on tha g,eneral theo-, ry 0:1) integral functions) et l'on obtient un théoreme de Little:..

wooel: ' Pour toute fonction entiere el' ordre nul, il existe une suibe

~ 179-"~

. de cerdes dé rliyons indéfiJiiment croissants sur checun' des-quels le logarithme du module de la fonction est «asymptotique-ment» ,egal a son maximum.

Par toutes les fo,nctions d'ordre nul a croissance assez .;¡:é-guliere, .le rapport (10) tend vers zéroet le' théoreme. relatif aux fopctions vérifiant (2) reste valable. .

Mais si la croissance est assez irréguliere, le théoreme n' est plus vrai. J'ai donné (Annales Fa.culté de Toulouse, '1913) l'e:úimple suivant

(11) ,

F(z) est bornée dans des cerdes qui ne sÓnt pas vus de l'originc sous u,n angle qui tend vers 'zéro ;lorsque le centre s'éloignc indéfiniment. Ce fait tient 1\ ce que la distribution I.des zéros' est ·assez particuliere, 'au point de vue des propriétés des pO,ints z en :lesquels fez) = Z, la valeur Z = O . apparait ',comme excep-tionnelle (Voir le mémoire cité).

, Les 10ncLions satisfaisant a la condition (2) jouissent d'une autre propriété qui est également suggestive et qu?on déduit de l' étude ,de la dérivée logarithmique

I'(z) ro 1 ---:-I fez) 1 Z-C!n

Dans celle étude il faut encore éliminer Je voisinage des poinl;S an qui sont des, poles; o¡n le fail encore de la memo fayon, len utilisant des inégalités obtenues au cours de" la demonstra... tion dO: théoreme de Cartan (Voir, Mémorial ides Sc. 'Math ... fase. 89, haut de la page 12). On trouve que pour toute fonc-tion vérifiant IR condiLion de croissance

(12) lim log(log M (r, f))· c:: O ~~cn V log r _'

il existe des circonférences I z I = cte de rayons indéfiniment crois-sants, ,sur chacune desquelles on a

"

(13)

(14)

-180-

f'(z) n(lzl) fez) '" -Z-

log If(z) I '" Io:g M( Izl, f)

(Voir Compositio math., vol. 3, 1936, p. 129). Considérons alors les domaines .1m dans lesquels If(z)I

LE THEOREME DE PICARD (*)

Les, mathéma'ticiens de lapr,emiere moitie du 1ge siecle et des anneés jusqu'a 1860 avai'ent elucidé les questions rela-tivesaux fonctions algébriques; les singularités polaires et al-gébriques ne renf.ermaient plus de mysteres. Ce fut "Veierstrass qui reconnut le premier .r aspeet completement différent pré,-sente par les, fonctions uniformes dans l,e voisinage de leura sin~

. gularités essentiel1es. On sait ce qu'on appelle singularite easell-,tieUe; une fonction F( z) holomorphe dan un cerele de centr,e Zo 'sauf au point Zo admet ce point pour singularite ess'entielle si ce n' est pas un pole. Le développement en série ae Laurenl

1 autour de ~o poss~de une infinito de termes en (z-zo) m , ni, > O. Si' 1'0n envoie le point Zo a l'infini par une transformation homographique, on ohtient une fonction F( z) holamorphe au-tour du point a l'infini qui est point essentioel, F(z) est la som-me d'une fonction entierle f(z) es d'une ,fonction holomorphe au point u l'infini et nuIle en oe point. Playons - nous dans ce cas.,

Weierstrass ~ montré que la fonction F(z)s'approche d' aussi pres que l'on veut de toute valeur finie ou infiriie lorsq!u'on donne u z des valeurs de module supérieur u un nombre arbitrai-rement grand, c'est-u-dire dans un voisinage aussi restreint que l' onveut du point u l'infini.

En 1879, Picard completa le theoreine, de Weierstrass en demontrant la, proposition célebre qui porte son nom: une fonc-tion holOrriorphe aullour d'une singularité essentieUe prend une infinité de fois toute valeur finij¡e, sauf au plus une seule valeur ~xceptionnene, dans un voisinage arbitrair,ement restreint de cette singularité. La ,démonstration de' Picardútilisait les ,pro~ prietés -des fonctions modulaires elliptiques. S'il s'agit seulemerit de demontrer qu'une fon~tion 'entiere prend toute valeur finie sauf au plus une seule val'eur exceptionnelle, la démonstratio~

(*) Tercera clase (3 de agosto de 1946) del cursillo sobre Funoiones ente· l'a8 dictado én el Instituto de Matemática de la Universidad de Buenós Aires.

1,'

-182-

est tres simple. Il existe une fonction cp(Z)/inverse d'une ,fonc-tions modulaire, qui n' admet comme singularités que les seuls; point~ O, 1,00 'et dont 'le coefficient de l, Jcp(Z), est toujou,rs positif.' Si une fon¡etion e~tier,e fez) ne prenait pas les valeurS' O et 1, la fonction cp[f(z)] (Olí plutot l' unequelconque de ces fonctions, car cp (Z) est multiforme) serait aussi une fonction entiere dont le, coefficient de i serait positif, ce serait une cons-taI?-te (Voir la 1ere conférence), f(z) serait une constante.

Le ',theoreme, de Picard resta comme un joyau isole dans la theorie des fonctions analytiques jusqu' en 1896: les recher-ches sur les fonctions entieres s'étaient eng,agées dans une ,autre voie, on etu,diait la décomposition en facteurs en la supposaut possible. Ce fut: Borel qui dans deux travaux, fondam{mtaux' établit le pont entre oes deux, voies de recherches. Dans le pre-mier de ces travaux, dont il sera seulement question aujourd' hni, Borel donna une démÓ'nstration élémentair,e du théoreme 'de Picard sur les fonctions entier,es sous l¡¡¡, forme simple don-nee ci-dessus: la démonstration est élémentaire paree qu' elLe ne fait pas' appel A la thébrie de la fonction modulaire. Par une analyse profonde des faits, Bor'e~ etablit l'impossibilite d'une identité ,de la forme

ou F(z) el G(t) ~eraient des fonctions entier'es. (Voir Borel. LeQons sur les fonctions entier,es)., Cette demonstratfon de Borel eut des consequences considérab1es: elle servit de bas'e aux pre-, mieres démonStrations, que Schottky et Landau dQll:l1erent de leurs théoremes; ene' provoqua des recherches précises sur la comparaison de deux fonctions reél1es qui s'introduisent' dans la théorie des fonctions 'enWmes: la fonction d~ r, M (r, f) = =max If(rép) I pour O

-183-

est une fonction holomorphe autour de l' origine, Co -=-/= O, co'=/= 1, il existe un cerde 1 z 1 < R dont le rayon R ne dépend que de Co et Cl qui contient une singularite de, F(z) prolongée radiale-ment, ou bien dans lequ,eIP(z) prend l'une du valeurs O ou 1.

En particulier, dans le cas d'un poiynome ..

il existe une fonctio¡l de Co etc!> R( co, Cl) telle que, dans le oercle Izl

\ '

, I

--:-184-

et finalment

A la voie' de démonstration élémentair,e se substitua bientót de nouveau l'emploi des fonctions modulaires, ce' qJli permit a Caratheodory de .donner des inégalités exactes (Voir Valiron, 1,' p. 456). En particulier, dans I'énoncé du théoremede Schottky, on peut, en. explicitant les constantes, donner a e (r, A) la valeur

e étant une constante' numérique. Le théoreme général· de Picard se déduit aisement du théo-

reme de Schottky. Une démonstration tres suggestive a été don-née par Goursat dans l'une des éditions de son traité d' Analyse (t. 11). Supposons .que la fonction fez) soit holomorphe pour 1 z 1 < 2 R sauf pour z = O quiest point essentiel et ne prennepas les valeurs O et 1 dans ce cerde. Prenons un point Zo de modu¡'e~\

R etsupposons ~e If(zol

.. - .

~ \ '

~18~-

- . ·On -peut continuer. Au bout d~ 5 Qpérations ()u aura cquy'ed

la' circonfér'ence Izl ' B; On aura sur toute ,oette circonfé,tellce

'If(z) 1< ljJ (A),

ou ~J. est une fonction déduiJede n ( ;, A). Or, d' apres . Je . thé~rem:e de Weierstrass, il existe' des poinis Zo ~ussi 'voisins de" l'origine quel'on ",eut en lesquels ~If(~o) 1:

·~ .... . ,',

;.',' .. ,'.

',:'

\, " ,'.'1'

.>: " , ',\, .

,{

"" ..

·',1 .

" ,

.. ::.... ,

-i~~=

tbr~~i~~!;; ~~ .. i~q~~l Jf(Ú)!f,;A:~,>'ét:~~t 'cl~O~r~, ,Eo~,itif arbÜ~~~re! supposons que f( i) nf) prenn.e pas dans le cercle I Z - Zo I < E Izo I! deu:..'\:' valeqrs a. et ~ satisfáisant aux conditions ,précédentes. Dans le cercle

j - ~ ,

(5) "

. ¡ , " .. ,.':.,'. J

'. / '

.) .

. /', .

.. ,',' .... . ,-:--'187 "-

" . ..,; .... \zu\, te.l~. que,dans. chaqu.e.tercÍló} Gn.' f( z) prend ,toute yalimr Z· demodule inférieur' á An sallÍ au plus des valeurs' Z que

1'ó¿ p'~~t ,éJ1fer~er aa~súfl cercle In derayon l', An c~ois-.' n ' '.

sarit indéfi~¡;:nent avec n. LÍi,suite de.cercles: Gnest ce que Milloux ,appelle. untlsqite

, de cm'eles .dé remplissage. En. prenant le thé~~me de Schottky sous ,Ia .. formeprécise (3) ,on peut déter'miner,: a un multiple {ini pr~s,' la, raypn ,minÍ'lnum des cerd~ cor~~spond~nt ii' An fiX:e~ ,c'.est::a-dire la' yaleur de En en foncHon, de fz,d. Onpeut,' dire qUe, aun facteur pres, En est de l'()rdre' de

/ l.

'i ..... \ ,-log' MC\zlí\)

. .

M(r};é,tan,t le maxünum de \f(reio/) \ (Voir,YalirOn; BuUetiú des .~ S'~ien(:és math.~' 1927). '

Le théoreme. 'sur. les oerelesde' remplissage contiel1t . .les. ,th~o~erries de, Julia relatifs IIUX fonctionsholpmorphes autour . d.'ún~~ sirigularité essenti'elle, tds qu'ilsont été complétéspar 'Ostrowski: Voici, .parexeinple; comment on lobtie~d¡'a l'un.des éno¡J.cés de· Ju1ia. Supposonsque les oercles' exoeptlonnels In

~xistent; In a pour 'équation \i - Zn.\ = ~ . S'i i-?'n.l tend vers " ' .' n

. l'infini; onse '¡'amene au cas oú eles I'n n"existent pas endimi- . nuant An,S'i les Zn ont un point,iimite Z' a distance. f¡ni'e, on peut extraire de la suite Gn tine,suHe G'n. 'pour~ laquelle les In tendront verr:; Z'" Dans l~ s{¡Üe (Jln. 'et daos toute suÍte qu'on en extrait, f(z) prencl toute v1;lleu,.r {inie une infinité, de

.. fois sauf la valeur. Z', Dans les e.as écartés, ~n a une 'suite a~alogue, Ihl!-is. il n'y a; pas v~IeurexóegtionneÍle Z'. ,Si G' es!. une valeur limÚe des arguments des centr~s desce,rcles G'1/.' f(z) Hre~d tóute.valeur. fin~e une ipfinité de fois, ,::¡atlf.au plus la valeur exceptionnelle Z', dans, tout angle, d'ouve.rture ar~itr~il'le,ment petite, admettant la ,demidrojté d'argument: _ G' po.ur~issectrice1 puiiSque oet angle contiendra une infinité de . cécles ' C' n .

.' C'est 'par la méthode eles familles normales de Montel qu~ Julia étail parv,enu á ses. T~uliats. Rappelons, que' Mantel,dit qu'une famille ,de fonctions f(z) méromo~phesdans un do-

. ., . ~. .

. "

'.,''\,

.- - /

. ,

, .

-188-

·mainié D est normale dans D .lorsque,.de. toute suite infiuie de fonctions de la famille, oupeut extraire une. aútre' suite ,qui conv.erge uniformément dans' D, c',est-a"':dire dúns toute'régio111 ferm.6e intérieul'le a D. Cetteeonv,ergence uniforme peut etre definie enutilisant la' l'Ieprésentation sphérique ,des nombres complexes. Pour. qu:une famil1e ~oit normale dans D,n faut' el' il suffit 'qu'elle soit nQ);,mal'e en' tout point Zo de' D,c'est-a-

,dire dans t01,1t cerde 'de rayqn arbitrai.rement' petit ,intérieur a D ayant Zo pour centre. Montel moritl'e que les fonctions ho-: lo~brphes dans un domaine D etqui sontbornées dans leur ensemble dans toute région intér·eure a D formént 'una famille normale dans D. , Car . elles sont! égiJ.l.ement continues dans tout oercla , apparte.pant a D ,et 'la démonslration ' donnée par Arzela

,pOl~r les fonctions réell~s .peut etre adaptée. Montel en déduit que lésfonctions holomlOrphes dansun domai~e D, qui ne p!,~11llentpas .dans. ,ce domaine .les 'valeurs o et 1, forment ,ufioe. -famille 'norÍnale. C,a:r si C estun oercle de" centre' ZiJ apÍHirte-. nant, a D et, G' un cercle conoentrique de rayqn plusgrand, , les .fonctions, de.la fámille pOUl' l'esquelles If(zo)J

" ,.

'. ~ '-';

-'-189-

qú'il é.~uc1ie dans une ·couro.nne '.: .':.

1< Izllsl.·

Juliautilise ces réSuItats de Mo.ntel. ,n faít la' remar:que essehtÍlme"suivante: si les fo.nctio.ns' f(z) "méro.mo.rphes: dans un ,elbmaine . D ne. fórment pas une fainille·. no.rniflle, il existe' un po.intzb ' ele' D au nio.ins o.U la' faÍnille ; n'est pas no.rmale ,et,

· d'apresle "théoreine généralele Montel; lesfo.nctio.ns f(z) pren-nent dQ.ns leur ensemble to.ute valeurelans 'un.cercle ele rayo.n arbitraireayant Zo pO(llr centre., sauí ,au plus9'eux valeurs ex-ceptio.nn~Ues. Appliquant ceci ir" l~ falnille" (6) 'et aux familles analogues, il obtient ses. théo.remes. Ostoowskl co~plete les ré-s~ltat§ ele Julia.·H ,appélle le po.int Zo un' point . de Julia. A Zo

.correspónel"un mo.imi unesuite 'fn(z) defo.nct~ons.de" la familfe ··elo.ut'on·'ne peut extrair.e . aucurie' suite unifo.rméni.e~t eluús un.

cercle.' Iz:-zol

/, "

'. ~",

-190'--

. autour de rorigine d'uri angle te~ que daQs. se nouvelle position' U elle j(>u~sse de la propriété suivarite: :si petit que' &oit E 'S@'>Wdi:):' maine balayé par le cerde I z - z' I < e .1 z'l lorisque z' decrit L', contient une infiriité" de 'cerdes 'dé remplissage. Dans ces conditions le thébreme de Picard s'appliquedans ce domaine:

'. f( z) yprend une infiriité de foís toute'valeur saúf ~ü pl~e, deux valem:sexceptiollnelles: Il peüt arfivrerqu'une {Íourbe ~;-tf'allant

. de l'origine a l'infini jouisse .de cette propriété, 'ci'esf":a-qiré ,que 'lethéoreme de Picárcl' s'appliqüe Cláns le domaine. haláyepar' :l~ cerclc '1 z '- z' 1

, cher 'una propriété caracfédstiqúedes co~heS ele Picard'-¿u.:d~s courbes . 'dé Picard' our'JuHa:: ,':.·r " ~ '.'. ; ""'"

, o" Ji existb . d'es fonctiO'ns eri tieres adm~ ttand des. directions de Picara, qui he s~nt p~s airecfioIÍs de Julia:.' " , . .,

.. 11 nous Eeste 'a parler 'd~ ~a secohdé voie' .o~verte par 'la démonstdltidn "élémenÚlÍre de Borel.' Cbiriplétantdes"réSultat¡:¡

" de 'WiÍnan, Tavais' établi q~e 'f(t) étanf' uh~ 'foncfion '(iritiefe .. ' . \, . . .~ (. .. .. ~ ," .-

. I

.¡ .'

I '. ". _ , .~ ,O', .,

:.1

','. '

-~~l-~.J --

... :...,

.~~ ~o~n: p'()i~t en le

. , . . ,

\ .. .. ,

• \1

, ...... '

-192-

:cblln~ (Vo.irValiro~. Co.ursd~Ana~yse, 11, p.'72):Sig(z) est ho.lo~ mo.rphe po.ur Izl< 1, g(O)~ 0, Ig'(O) 1....:..1, et sl Ig'(z) 1< M po.ur' . 1 z 1 < 1 ,g (z) prend une fo.is et une seule dans ,le cercle 1 tl < . lId dI' f:' , " 1 C,' I < l+M' to.ute va eur e mo. u 'e m"eneur a 2(M+1)' est ~

,théarenie sur les fonctio.ns ,inverses, unpeu precisé." .' "So.it ators Z.J(z)'que no.os suppo.seron ho.lo.lll0rphe po.l,lr Iz l:51" et 11'(0)1=1. Si Ml(r) estle maximum de If'(z) 1 p~~~ .I~I ' r

, I

\ .

·-193--.....:.

F(z) -:-log~(z) . . 2m

(o~l'on preJ)d l~ \valEl~r réduitepour z=O) .est encore holo-morphe ét' ne'prend 'Pas lesvaleurs·. éiitii3res~ p'o~iiives, négatives ou nu,lle~Lá fonction .

- : ~

G(z) = yF(z)~ VF(i)-1-

I est holomorphe et ne . prend pas les valeurs O et y'¡;-± y' p --1; p entier'>-)~ Alors.", ',' .. '

H(z) = lóg: G(z) 1," /

ne prend pas les valeurs" ;.,' :'.

'±log (Vp+yp"':'1) ~2i1Iq,.,~.:~ntier ..

La plus gr~~de distance de ¿es points·esr'·Ü~férieure. aB .. En appliquant le 'théoreme de Blocha H( z)'~'d~hs"le cerele de cen-tre z tangen~ intérieUl'lement el Ilzl,~ 1, onobtient

B'IH'(z») 11~zl.

, . ~ ,

l'

'.1.,." o'" •••••

ASOCIACION FISICA ARGENTINA :~;,~(,q."J 1:

,,'

'\ :'.'

¡ •

'-':""195-,

/'

, crosc6picÓ no-estacioÍlar~o, tal COrilO el ,ca:mpo emitido en un ,~~o~s~, ~e' COTY}:pto.n:, , , " , ,

.," . ElelemeÍitO,·cté matriz pa.ra 111- difusión de un' fotóli de di-o. " ..... o', ,,':'" _ • :\I.·'+~' 'I'~' ':;I"~¡';'~', '-'!: ,,:.' . ~'~"~}"l;·\: .. r.:· .

. " l'I6cción,'n y de polarizaciónaen una dil1e'cción . n'. con poI/!-",+ ',:,:. ','

r),Zacióna' 'resultil ser, en el sistema de gravedad . • .' .. ; : ' ". ~ f." . .,. .. " ~ .' :., ~ ...

++ ++ ++ ++ ++, ++' ll+.~ , E. const.{A (aa') (a~~ +C (cHt')(aa') (

~.

..

\ "

~196-

E~ MAzZOLI bE MATBOV (L, d~ Física, Univ. de .Buenos Ai:t,'es). El mesotrón en los rayos cósmicos.

En este infor~~ se r~um~n l~; trabajos. realizados por ,lo~ distintos investigadores desde' 1936 hasta la fecha, destinados 'a estudiar algunasprópiedades dd mesotrón, .partículade " masa' ' intermedia' enhie las del electrón y. el protón,: basándose en las observaciones de la radi~ción'cósmica. ,

'En la tabla de valores que l1ésume' las mediciones de la 'masa de esta .partícula, se óbserva que varíaeiltre 130 y 250 veces la masa' del dectrón.'Seestableoe, su relación' con 'la par-tícula hipótétic~ creada poi' Yukawá pará explicar las fuerzas imc1eares. La vida media. del mesotrón, sobre la base de 19s trabajos ,de'Hossi y la teoría de Hamilton, H,eitler y H." Peng sóbre su creacióñelJ, la parte supérior de la atmósfera, da cerea d~2.1O-6 segundos., , '

Se' destaca el, problema aCtual de 'la obtencÍón ,experimental 'del, lñesotrón en,dlaboratorio, oonveni~ntÉl pa~a consolidar la , 'teoría pero, sin solución hasta ,ahora a pesar de los trabajos en el betatr'ón.,

, ,

, B~RNHARb :ÉL DAwsoN(Observato~ioAstronó:mico, La PlaÚ). V!I- , ¡ riabilidad er¡,Brillo ,del Pequeño Planeta (216) K~eopatra.

Plac.as:eX:puest~ en 1945 para obs'er~ar la posición del pla-', neta, (216) Kleopatra, mostraron una marcada variación en su' brillo. Ya que las placas usadas eran algo viejas y veladas, tie-nen valor sólo cualitativo en cuanto a la amplitud de la varia-ción, 'que se estima -en ,de 0.8 a 1.0 magnitud. '

El período es del orden de dos horas, pero 'después de des": 'cubierta la variación no fué posible observar dos mínimos, ni dos m~ximos" en una 'lÍlismñ~noche. De tres placas, a interva-· los de ,5 y2 días, y' otras aisladas, un' illés áotes. y despúés, pudo deducirsc;J'que, . al intervalo, menor, de '2.03 ,díQS ,'aproximada-mente, corresponde un núIÍlero impar de períodos, probable-'

. Ínente 21; 23 o 25: ' ' " " Habiéndoªe empezado recientemente la, apariCión de 1946,

un intento de obserVar varIos períodos consecutivos no condujo

, "

;, '.

'.

.....

~ 197 ,,--'

a resultado concreto, -porque 'el planetl!- no varJa sensiblemente., Esta no sorprende~ pues si la. variación se debe, a la Tot~ción de un cuerpo irregular; es de esperar que se muestre solamente cuanc10la Tierra esté 'cerca 'del plano ecuatorial de dicha: rota-, ción', ' y para' datos precisos será neo~sario esperar qqe ocupe

, otra vez la regi6nde su óroita' donde estaba en 1945, o bien la' parte' opuesta; .

JosÉ A~vAREz (Agrupación Estudiantes de Físic3.¡ La Plata) . ..4.1».4-" lisis .metal6gráfico y anisotropía eléct1'ica ensemiconductore$. . . .' .

En un coritacto eléctrico formado por 'ur(metal y un s'emi-. conductor existe un proceso de rectific~ción .cuyaexislencia y cuyo' sentido no son predictiblescon ,las teo,rías existentes. Se' enuncia 'una regla empírica cuya apHcación. ha permitido, en más de cien casos ensayados, pI'everambos '.datos. La regla es la siguién te :.. . . '

1) Si enel diag¡,:ama de composición de ~a aleación binaria formada: 'por el.catión del: semiconductQr y' un' metal aparecen

.lírieas· de combiIiación quín':tica, existe rectificación solo en' el caso en que >las líneas 'estén del lado de lQs . altos :porcel~tajes .de, catión. '

2) La rectificación aparece 'en el senTido de los potencialeS electroquímicos decreden tes (Lange). .

3) El anión, del semiconductor. ilo .inflúyé cualitativain.ente. 4) El. desplazamiento de las líneas de c()mpinaciól1 hacia

los altos porc~nt.ajes del 'me.tal contactO. caracteriza, a un sem~-:. conductor por :exceso.· ,., ' .

. ~) Al invertir 'la ,corriente en, el. cOIl¡tacto aparece casi sieIÍ:l-:-pre U:n ef~do .de. inercia. .... ." . ': ..' .

. 6) El sentido' de la. rectificación es contrario al. dado'. por . el efe do túnel.

, J. M. GOLDSCHVAR'rZ (Agrup. Estudiantes de Física, La PIata). Un

manómetro de ionizaci6n simplificado; . -

. Las características esenciales ·aque debe 'responder un ni.a-nómetro de' ionización han 'sido puntualizadas por Morse ,y

, ' , '.

,'. ' , ,

,1

(.

'. ,,---

". -\

'" ..

.¡, -.

-1,99-: -,

v'aciü y r~gtii~da~ y ~ü~'~~t~d~s ~'~di~:~t~ ,~iI ~ni~~ equipo de control (2).' ,', , " .,,'~~S ,~e~~i,~p,es, ~pN,c.~da~' po.n'st~nt!3~ ,e igFale~ p~~a .-,~mbas

válvJ.llas, es decir, las n:ormale~',g,ela FP.,62., Ep estas condici9:' , J;l~S,. el ¡ fac~or .. pred,Qmin~nte f?ó~r~J~~~n.f?i~iiiCt,ad'es l~:c~rrie~te' \ d.e. grÜla,y. ~sta .t~mbié~~~tá. a~toniáÜ~~m'ente regulada por el equipo/de?,op.t~oL.: .; ;,,:,. ',;' ",-1"," '(.'"

De acuerdo con estas priiner~"Irl~;dicione~"p~recerí,aq~? ·l~.~;sep:~jhil~d~d.de 1/1': :yál~la.Jul3~¡\jlgo~~p~ri~r ,~.ll~ de

lA. F;P -6~; ,ew.p~~p, ~,l.lQ ,es· p().si~~e;, .d?pid4;.I,?: ,51~bi§o a, (}~s,' C()J;lqj:-cjRnes~,.~I!"que :'se ha realizádo la' experiencia sin desgasificar

.' peHect'amente :'las váivüi~s.· .

. ..,. ., .• ~ .•.. ,.¡ o" "::: ',:.'; • ,: .;' ,¡ .• 'í E. GA\T¡OLA y F. ,ALSINA FUERTES. Sobre formación de granizo y hielo

en alas y hélices .a,e aviones.

- ~ , .1.,'.

",".La fo!~ación de piedras ,d~ grani,zo :.c;l~, grf:l:rl: tagulñü, ~xige, según los puntos 'de v~~ta, acepta,.pos!' la .:ex.ist~n.c.ia de .. cpr:ri~li~~~' ascend~entes. de. ai~e~ d.e v~locidad1:!ufjcien.te·par!l, ,mante~er .en " f~otación" a Ja.p~ed~a mie»tra~ vapr~9i,endo. El (>rden de: y:elo.:-c~d~9'l,le,oesario resulta ser pODO proba~l~, y no ha s~do Jamás.:, obsi3rvado; ,

, ,Los auiore~ prop~~e~ explic~r ,la fo~m~ciÓn del g~a'~,i~,~,1:l . partir de agua I;\ubenfriada existente ~n forma' de muy pequeñas, gotas, que se. congelan por choques entre sí, y van creciendo -luego. a 'expensas .de nuevos choques con agria a temperatura, por debajo 'de .cero.· ."

.' Hadendo uso de vl:!lores 'aproximados 'sobre la cantidad de agu~ quep:ue4e ,existir en tales concliciones, y sobre la tempe-ratura . y- d(msidad ~é las capas ain:Io~f~~iéas. 'que debe' ir atra.,

. v t¡lsan,do 'e~ gr~niz9 en su. caída" s:e .. J,1luestra,qt;le, Ja hipó~esi¡;; de los,,~l{~q~~~ y,el. ~Q~gelamioe~tppaic.iill s~l:JsigQieni~aical~~~, 'pa;r~

'explicar la: formación ele granizo con' :crepimientodur'ante su caída', sin ,recurrir a corriel'ites que lo sosten¡gan en' flotáción ...

__ , .¡ •.•• _.,' :1/,,;.. ':.¡..~ .. r

(",) J. M. 'GoLDSCHVARTZ, E8t~taio 8obre. .. ·~.Z M;ftnqme.~'¡'o,i1e J07¡,iiq.oi6'i!r,..M,,(),7 " 'nog¡:¡lfía 'y Trabajo Experimental, Agrupaci6n de Estudiantes de Física. La PÍata, 1944 ..

, "'"

. ',1'

1,

: " '.' ,

;',"

~; ", ' '

'.

.. ';.

,'.,~' '

~ ! \ :.,

'!

::.

'.., .'

,'.

-200-

El mismo ~squema'. puede ap~icarse' a la formación de hielo en' los bordes ·de . ataque. de alas y 'h~lices de aviones.

Se publicaron in extenso· los trabajos~orr.esppndien~es .a : ,los. siguientes informes' pl'lesentaqos: .

, -E. G a v,i ola (Observatorio Astronómico', Córdoba). Em-pleo de energía atómica para fines induStrial~ y militares (Apa-re,cido en Revis6a. d.e' la Unión Maternática Argentina, VoL' XI,

· p. 220, Buenos ¡\ires, 1946). , .' ; · . J. B '8. ls,ei r () (Obs:ervatorio Astronóinioo, ,Cótdqba)~ . Ini-pulso aI;lgular ele campos. vectoriales (Apal(écido en" Revis,ta de la Unión Matemática Argentina. Vol. XII,p. 153, 'Buenos Ai-res, 1947). ."

. ¡ B. Le·vi· (Instituto de Matemática, Rosario).' Magnitudes y dimemliones físicas (Aparecido lén M alhematioaeN olcte ,: año' VI. p. 1, Rosario, 1946).

No 11an enviado resúmenes los ~ut~res de lóssiguientesiu:'" formes:.

C .. Pasqualini (Tnsti.tuto de Aeronáutica,. ~a Plata) . Estado actual de. la teoría de la. turbuLencia.

: R: PI at z e cl( (Observatorió Astronómico, Córdoba). Len": te correctora de Rbssp(ara el conli."allor de ·espejos parahólieos~

A. G'O n z á: 1 e zD ü mí n: g u e z (Instituto de M~tenlát.i:c.1J; Buenos Aires) .. Aplicaciones radiotécnicas de las transformadas

· de. Hilbert.

.~,

B lB LIOGRAFIA

CRISTÓBAL pE,LoSADA y PUGA: C1WSO de 'Análisis Matemático, 'l'o~/ mo n; Universidad Católica del Perú, Lim'a 1947 ... 700 páginas.

El !leño 1945, en el vql. X de esta· Rev:ista de la Unión MatemáticaA~gentilla (pág. 174) . dábamos cuenta de la aparición del tomo I' del Ourso de Aná-Zisis Mat~mático. del prestigioso. profesor peruano Dr. Losada y Puga. Cum-pliel!do . lo que" entonces anunciaba el Autor ~n . el .Prólogo, ha. aparecido el tomo Hde la misma· obra, con la misma excelente presentación y' cuidada' se-lecci6n del .contenido que entonees señalábamos. Las' matel'iastratildas en este segundo volumen son las siguientes:

Empieza con el Libro V de la obra total, que trata· de las séries. Comíen-

... .,.,~.

......

.'

- 201-.,.-:;.

zu. con las series :de términos positivos y sus Criterio~ de convergencia;' "sigue con las series de términos positivos y negativos,' ~peracion~B con' series, series de potencias,series ,dobles y 'pl'oductós infinitos. I:iltercáladas entre estos te-mas, contiene unas' interesántes púginas sobre el 'cálculo. numérfco' de números aproximados, en, particular de la suma de seri~s convergentes. ' "

,Se entra luego en 'el estudio de los desarrollos en' serie de l,as funciones' de Una vari~ble, con aplicaciones 'a 10B problemas' de múximos, y mínimos, al c{¡lculo de int~grajes por desal'l'oHo en serie", y a la definición y propiedades de las funCiones /hiperbólicas. A continuación se entr~ en el desarrollo en' se-rio, de las funciOnes de varias, variables y en el estudio de los máximos y, iñí~ nimos de las mismas.

El libro VI trata de las aplicaciones geométi'icas del cálculo diferencial: curvás planas (con todas sus' propiedades de curvatui:a, contaeto,puntos aut' guIares, evolutas, etc.)'; curvas de, doble curvatúra(triedro 'principal, fórmu-. l;'lS de ,:j!'renet; etc.); superficies (líneas: sobre' una superficie, teoremas de Meusnier y de Euler, sup,erficies regladas, coordenadas, curvilíneas).

El Libro VII' s,etitula "Cúestiones relativas:, á la in,tegración". En su primer capítulo 'trata de ,la integración, numérica, ,gráfica y mecánica,' cen mucho detalle y" mmierosos ,e interesant'es 'e'jemplos ,aclaratorios." Siguen lue-go doseapítulos sobre integrales impropias '(con aplicn,ci6n a las funciones Gamma y Beta de Euler) y sobre la ,diferenciación de una in.tegral definida.

1Jos -6.ltimos capítulos están dedicados .a las, diferenciales totales, integrá-' les curvilíneas e int,egrales múltiples, con aplicaciones al cáleulo. de áreas y, volúmenes.

Siguiendo el plilll que se trazó el Autor en el tomo I, este libro es sobre, todo un' libio "claro!', que no ahorra ejemplos ,aclaratorios cada ve,z 9.ue se introduce ,una cuestión o concepto nuevo y que contiene numerosos ejemplos y , cjerc~cios al final de cada capítulo, junto con excelentes y claras figuras, ' sobre todo en la' parte, geométrica (este' tomo contiene 146figui:as). S~guiendo

'la costumbre del tomo I; cada vez, que debe mencionar el nombre de un mate-mático, el Autor ha intercalado C011 acierto una breve' noticia,' biogr6.fica del mismo.

, En resuDIen" como dijimos al aparecer el tomo I, este Cur80 de Análisi~ Matemático' ha de' ser sin duda bien reeibido por el ,público matemático "de }tabla castellana y ha de dejar al lector con ganas para esperar el tomo nI' que. llnuncia el Autor en el prólogo.

\ '

, L. A. SANTAW

-- '

-;'".

1

i 1:

....

CHONICA /

Ing. EDUARDO CHICHIZOLA

(1900-1947)

Ha fallecido en Rosario, 'inesperada y prematuramente, el rng. E

l.; . ",

ÁSOCIACION,FISICA ARGENTINA

LA OCTAVA REUNION DE LA ASOCIACION FISICA ARGEÑTINA i

La Asociación Física Argentina realizó su Octava Reunión del 19 al 22 de setiembre de "1946, ~n el ObsCl;vatorio Astronómico de Córdoba, con motivo d~ la conmeinoración del 759 aniversario dél mismo.

La Octava Reunión ha sido la más grande l'ealizada hasta ah9ra por ,la AF A. 'Comprimdió tres informes y 27 comunicaciones, presentados por hombres, de ciencia de EE. UU., Brasil, Chile, Uruguay y Argentina.,

Los resultados científico!! justificaron los esfuerzos hechos para organizar la reunión. El P~of. W: J.Luyten iruformó sobre la búsqueda sistemática de

I • . .

enanas blancas, aprovechó. una noche para completar. su material con "un. espectro, que tomó personalmente, en Bosque Alegre y encontró en ,la comunicacióDl del Sr. J~ LandiDessy. una, contribución nueva o interesante. relativa a sus tra-bajos. El Dr. R. F. Saniord dió a conocer, por primerDl vez, el material com-pleto obtenido en Mt. Wilson sobre el desarrollo de la Nova T. Cotonae Borealis. Los· doctores .E. Gaviola y :R. Platzeck informaron sobre la última adquj.sición del instrumental de ,Córdoba: la cÍimára ,Schmidt f/2. de 20-32' cm, construída . . por ellos.

, Les doctores B: Gross y A. González Domínguez aprovecharon 'la reunión , para discutir problemas de matemática, aplicada" relacionados con ::a teoría do los dieléctricos .

.EL Dr. Mario ~ch¡¡nberg se reveló como una, fuente de imormación:Co-municó resultados do sus inves.tigaciones sobre la. reacción' de la radiación, hizQ un semiúaii~ flobre la: aplicacióh' d,e sus' métodos a la' teoría de las partí~ui.~s ,elementales y discutió, en muchas conversaciones privádas, sobre casi todos los' problemas actuales de la tooría cuántica' de los campos. J. Balseiro y :D .. Canals Fl'au comun~caron contribuciones'a la electrodinámica cuántica.

De "la escuela. del Ing. E. Galloni, salieron tres trabajos experimentales. Solan1l'nte eL tÍ-abajo sobre la estructura del cristal de berilio fué comunicado por su autora, la Sra . .c. Mossih Kotin. De los otros 'se leyó' el título, no ha-biendo' podido conéurrl.r sus autores por razones ajenas a su voluntad. ' ' ,. La discusión sobre fotones en medios materiales, originada p'or 'la eomimi-

e·,

. eación del Prof. J. Würcl1mldt a la Quinta, Reuni6n, progres6 notablemente, \' gracias a ímevos resultados, del ~ismo Prof. Würschmidt. En ellá pa~ticiparon el Prof. BeppoLévi 'y e!' Sr. A. Battig: '.' , .

El 'trabajo realizado por la AEFde La Plata comienza ya a producir .. resultados originales: la concimtraci6ndcl Plutonio en la Pitchble~da,fué pre-

. sentada por una simpátic~ estudiante del'tercer año, 11. 1.' Corvallin. ' Lqs r~sultados principales indirectos fuéron el establecimient9 dé 'unacola-

,boraci6n más 'estrecha con el Depurtume~to de Astronomía de la Universidad ,ile Minriesota, con el Observatorio de Mount ,Wilson Y' cori' el Instituto de/Física

'de SaoPaulo: El Prof. W. J .. Luyten decidi6vénir en 1947 a Córdoba, para' trabajar en la Estaci6ilAstrofísiea en Bosque Alegre y el Prof. M:lrio S.chOu;-berg concert6' planes de intercambio 'de est~dial).tes ádelautadós entl:e ,Buenos

, \

',1

.........

, , \

" ', .. \

,1' ,

, '. ~.

'¡ ..

,.-- 204;-

Aires, La Plat~,'Córdoba: y SaoPaulo. Se planearon también trabajos en eola-boraeión con los observat'orios' de Santiago de ,Chile y de Montevideo.

El día 20 de seti,embre se realizó la Asamblea de la AFA~ Aprobó los, 'informes ,bianuales del Presidente y del Tesorero, los reglamentos de reuniones, y de subsidios, la suscripción colectiva a "Ciencia e Investigación" y el pl'an de ,reuniones para,1947. Resolvi6 soineter a la votación de los socios el proyecto, de estatuto sometido por la C. D. y realizó el escrutinio de las ~lecdoi:J.(is -de. autoridades para 1946-1948. 'Resultaron reelectos el Presidente (E. Gaviola), el Tesorero (E. M. de Mathov) y lo~ Secretarios Locales de Buenos Aires' (E. Galloni), de La Plata (F. Alsina Fuertes) y de' Córdoba (G. B~ck). El ~eeretario Local electo pal'a Tucumán (A. Battig) renunció y una nueva' elec'--ción será re,alizada.

En la r'eunión de la 'C. D. efectuada el día 20, se ,aceptaron como, ~ocios, activos al Dr. Francisco P. de Luca Muro; como socios adherentes 'al Sr.' Alberto, Maiztegui y a la Srta. Próf; Juana María R. Cardo~o, y como socios estudian",."

'tes IV los ,señores Víctor Alberto Cajal y José Norb~rtó Aguirre. Otras solici", tudes fueron postergadas por no estar presentadas en la forma reglamentaria.,

Fuá resuelta la separación del- Dr. Desiderio Papp, como Bocio activo, por' haber presentado 'a un concurs~ ábierto por la Universidad de Tucumán como, antecedent'es personales,datosfalsos respecto de funciones, 'docentes que pre-'

'tendía haber desempeñado en la Universidad de Viena. A la parte, social del programa contribuyeron: ,el Observatorio de Córdoba,

con dos asados, uno, en laE~tación ,Astrofísica, otro en el parque delpbser-vatorio; el DÍ'. E~ 'Gaviola can una serie de invitaciones, en su casa; el Dr~ G. Beck con una recepción en honor de 'los dillegados y e,l Ing. Luis Soler ¡-Sra. 'con un 'copetín muy aII\ablemente ser"ido en su casa' de campo junto al'

,La,go San Roque. La cantidad de 'carne consumida iinpresionó fuertemen,te a los huéspedes deE!1l. UU. '

Siguen el programa de la reunión, el infol'me del Presidente y el balance-del Tesorero.

Guido BecM

PRO G,R A M A

Seswn inaug1tral. 19 do SetlÍembrc

a) Discurso' de S., E. el -señor Ministrada Justicia, e' Instrucción Pública" ,Doctor Belisal'Ío Gache Pirán, leído por el' Subsecretario de Instrucción. Pf¡blica,"profesor Jorge p, Arizaga.

b) Conferencia del dir,ectordel Olia'ervatorio, Doctor Enrique Gaviola, sobre, 01 tema:Laplace y ,Anti-Laplace.

Sesió?t del 180 de' Setiembll',e (Mañana)

Informes: ,

ERNESTO E. G.ALLONl (Instituto de Física, Bs. Aires): Momentos nucleares.

.\' . - ,

\ i'

: ,':

. ~_ .. ' .' ..••.. I .""';

, ,",

, 1',

:'--'

-'

..::......::205~

Sesíon d:el 180 de Setiembre (Ta?'de)

Oomunicaciones:

ROSOOE F. SANFORD (Mt. Wilson Observatory) : El espectro de Nova T' Coronae 'Bol'ealis. '

wiá~ J.LUYTEN (University of Minnesota) :'EJianas Blancas. CHARLES DILLON PERRINE (Córdoba): Dos efectos en la marcha de, relojes. CARLOS' A. BTOHEOOPAR (Observatorio de Montevideo): ,El Observatorio Astro-

n6mico de Montevideo. . ENRIQUE GAVIOLA y RICARDO' PLATZÉOK (Observatorio de Córdoba): ,Cámara

Schmidt f/2 de 20-32- cm. ' ~ORGE B9DONE (Observatorio de Córdoba): Estado actual de,la ,determinación

.de la ,órbita definitiva del cometa Halley en BU última aparición. JORGE ,S,AHADE (Observatorio de C6rdoba): Observ~ciones espeétrográficas de

estrellasval'Íables de' eclipse.

Sesi6n del 21, de Setif3mbre (Mañana)

'RóMuLO GRANDON: (Observatorio de la Universidad de ChUe): El Observatorio , Astron6mico de la Universidad de Chile. ,

ENRIQUE GAVi(lLA (Observatorio de Córdoba): Espectro de una estrella en ro-~ taci6n con una pro{¡¡inencia eruptiva. , '

GUIDoBEOK (9bservatorio de q6rdoba) : El estado d~ la,. materia a altó: presión. JORGE LANDIDESSY,(Observatorio de La Plata): Comunicaci6n preliminar so-

bre la binaria p :.Eridani .. JUAN,JAGSIOH (Univers~dad de C6rdoba): Delimitaci6n cliinatol6gica ,de la

'zona' radioactiva ,'en' nuestro país. ALFREDo A. VOLsoa (Observatorio de C6rdoba): Tablas de salidas,' puestas"

paso, • ael Bol y, astros, crepúsculo civil y astron6mico.

Sesi6n de/U de Setiembre (Tarde)

Informes:

FIJ?EL ALBINA FUERTES (Instituto de Física, La Plata).' Sobre el estado actual ,del estudiQ de la supraconductiviClad. II.' ,

Oomuni~aciones :

BrimNHARD GROSB (Instituto de Tecnología, Río, de ,Janeiro): Electretos. MARIO SOHONDERG (Departamento de, Física, Sio Paulo)': Campo ligado, ca,m-

po de radiaci6n y' reacci6n ~adiativa de una carga puntual. ,.TosÉ WÜRSCHMIDT' (Instituto de Físical Tucumán):, En' torno del fotón en, un

medio material. ~' AUGUSTO BATTIG (Instituto de Física, Tucumán):' 'So,bre ~l límite del concepto

de la trayectoria de una partícula.,' , VAJ,ENTíN D.GRANDONA (Rosario):, Un método "éinematico'! de restituci6n"

'aplicado a la fotogrametría. " FRANOISOO P. DE LUOA ¡MuRo (B's: Aires): Rad6n en el aire telúrico.,

'-" ..

, .

,',

-206-

, Sesión del ,'82 de Setiembre (Mañana)

Á.LBERTOGoNZÁLEZ DOMíNGUEZ (Instituto de Matemáticas, Bs, Aires): Un'pro-cedimiento general para' sintes~s de impedancias, "

,J'OSÉ BALSEIRo (Observatorio, de Córdoba): Interferenci~s en un campo de dos , ,

fotones. ' JOSÉ BALSEIRlO (Observatorio de Córdoba),: 'Aplicación de la teoría, de ,trans-

formaciones al ~ampo cuántico ,en un cáso restringido. DAMIÁN CANALS FRAU (Observatorio de Oórdoba): Un fenómeno de fluctua-,

ciones en la polarización de un rayo lum~oso. ' MEROEDESIsÁBEL OOIWALÁN (Instituto de Física, La Plata):, Concentración:

del Plutonio ,en la Pitchblenda.

Sesi6n del 22 ,ele Setiemb¡'c, (Ta¡'de) ,

Info¡''I1les:

RoseoE F. 8ANFORD (Mt. Wilson 'Obselivatory)-: Actividades Astronómicas en el Observatorio ,do Mount Wilson (California)~ ,

COrilu'llJicaoiones :,

OECILIA MOSSINKoTIN (Instituto de Física, Bs. Aires): Determ¡'nación' expe-'rimental del factor atómico del berilo.'

OLARA A. MASS.A. y JUAN A: Me MILLAN (Instituto de Física, "Bs. 'Aires): Sobre Ia estructui'a del NOfl Ag'. (Se leyó' el título). "

JUAN A. M.o MILLAN, (Instituto le Física? Bs. Aires): Sobre la eS,tructura del Ag.O. (S.o leyó el título).

INFORME BIANUAL J)EL PRESIDENTE

El 4 Y 5 el~ julio de 1942celebrqs,e' en el Observatol'io "El Pequeño Coií-, greso' de Astronomía y Física ". En la memoria del Director cbl'l'espondiente 'a ,ese año puede leerse: (RevistQ. Astronómica XV, p. 162 (-1943): "La realJza-' l'ióñ elel, Pequeño Congreso, ele Astr¿no¡llía y Física, con la concurrencia activa

, de Un' crecido número de hombres ,de ciencia. y de aficio'nados, ha de significar el' prin.cipio 'de una, colaboración más estrecha entre los investigadores de la 'Argentina y :de los países vecinos. Se tiene la esperanz:i. de poder reunir un segundo congreso en el verano de' 1943-44". ' , ,

. . . I ,". (

La perturbación del, trabajo universitario acaecida en 'la segunda mitad" de 1943 impidió que tal,esperanzn pudiern. concretnrse. Comenzal'on a i'ea-lizal'sej en cambio, baio el ~ombre de' 'Reuniones del, Núeleo :'de Fís'ica" a.ctos lÍl,ás

,modestos y limitados, organizados por el profesor doctor Guido Beck, con un clltusi!\smo y 'optimismo que loé lUlCllOS ,lIan justificado.'

,1

"

.' ,,,.

,1,'

1.

" ,

. f.

'. o·'

",

"

\

,'.','

La primera reunión del." Núcleo de Física" tuvo lugar t;)n, el, :Obse~yator,io " , el 27 y el 28 dQ noviembr~ de 1943. La concurrencia externa fué reducida' pero .selecta: Beppo Levi de' Rosario, Laguardia de" 'MimtevideoJ Cecilia' M?ssin Kottin de .Buenos Aires y Mario Bunge' de La Plata. ' , , , . ... . , , , ......

, El, 12 Y el,.13 de abril de 1944 se realizó ,la segundO. reunión del "Núcle~ de Física",' orguniza(la también por el doctor BecIc, en el Instituto de Física de la Universidad de Buenos Aires (Revista de la Unión Matemática Argen-tina 10, !l' 30 Y 42 (1944). ,

,Algunas dificultades encontradas mostraron que era conveniente que 'una autoridad del lugar e'n que se efectuaba la reunión se encargase oficia1mente' de su organiza'ción, con. la colaboración' d~l doctor BecIc y de los demá~'físico'B ' '

,y 'astrónomos del pllís y de los países vecinos. Por ello se proyectó crear la ," Asociación Física ArgeJ;¡tina"" e;1 ocasión de la tercera "reunión' a realizarse;' en el Instituto de :E:ísica de La Plata, del 27 al 29 de agosto de 1944., Y así fué.

La Asociación FísicÍl.' Argentina ,l1aeió 'el 27 de agosto de 1944 en' La Plata, ' adoptqndo forma visible para la existencia tácita que llevara a, partir, del "Pe-queño Congreso" de Qórdoba en 1942. '

Las l'euniones científicas de los días 28 y 29 .deagosto de 1944 mar!laron ~n paso adelante, por la calidad y por ·la cantidad de las co'il1UnicacJones y

l' " de los informes presentados (Reyista de la UMA 10,p. 130 y,137 (194:5): Reconoc¡'endo el hecho dé 'que la primera reunión ,nacio~afde física y astro-

nom'ía fué el 'pequeño congreso dé, 1942; se acordó considerarlo como la: primera reunión ,de' la' Asociación Física Argentina. Lastres reuniones del núcleo' de 'fí~ica pasal:on a ser, la 2~, la 3~ y la 4~ d,ela AF A. La próxima, ,a re~lizá~~ e11 Córdoba,'del 31 de m~rzo ,al 2de abril de' 1945. sería la 5~ reuni'ó~: (Re-

.'vist;¡, de la UMA 11, p.92:li1 (1946). '. " , ' La 6~ y 'la ',,7~ reuniones', efectu'adas" en Buenos Aires ,-setiembre 17~19,'

1945- Y en La Plata -abril 19-20, 1946- ha 'c~nsolidado en forma segura-mento' definitiva' la cooperación científica' de 'los físicos y astrónomos argen-tilios Ysiídamei.·,icanos. '

, I La. cordial y eficiente colaboración de los miembros de la C. D. y de los sQcios hn. hecho grata' la tarea de encausar a la Asociación Física' Argentina ¡ió.r, un 'eamÍiIO de seried:id científica y solidaridad profesionaL,

Córdoba, septiembre de 1946.

E •. GAVIOLA

'BALANCE PE TESO~ERIA ('

MOVIMIENTO DE CAJA DEL 1/91,944 AL 31/8/45

InUI',OSOS:

" Cüotas de socios de Bs. Aires , $ 1.042.- " , ,~ » » '» » La Plata » 376.":"-.» » » ».,' Córdoba '» 177.45

o 0't » » » » Santa Fe » 25.-'-' $ Ú2Ó.45,

.. ;. , ,1"'- .'

, '

;: -

. " 'J'~ ,~.~~:~

~~~~ ,:-

./ I .~. 1

, "

l

.. :'

"

:'

:¡-

1,.-'

" ",

:,"/

-:. '.

'/' ,

, '

. ~ ;

,.~ ~-'

Donación del Ini. Ernesto Galloni '> », Dr. Enrique GavioIa

'venta de ,Revistas . .

TOTAL

Egl'esos

Pagado ,a la Unión Matemática Argentina ,Imprenta. , . . . ... , 'yarro~ .... ' .. :

S.aIdo en Caja "

TOTAL , ,

- I

. "

$ 1.100.~ » 52."-» 2.50

MOVIMIENTO DE CAJA DEL 1/9/945 AL- 31/8/946

Ingresos

Cuotas 'de socios' de Bs. Aires $ 1.032.-» » » » La Plata » 307.- , » » » » Córdoba . - » 252.-» »' » » ,Santa Fe » 60.~ » » » » Tucunián » 31l,,-

Donación Maraspin y Cía. -

Saldo anterior o'

Too.'AL

.-;;.>,

Egres(!s

Pagado a la Unión Matem6.tica Argentina $ 1.300 . .;..,-Im,prenta' '» ,'118.:-Varios » 94.55 Becas » '100.~

Saldo en Caja.

TOTÁL

1,">

:',;::

», '50.-» 50 . ...:...,. » 4.~

$ '1.724.45

$ 1.154.50

» , 569,95

$ 1.724.45

"

$ 1.962.-:-

», 200.-

$ 2.162.-» 569.95

$ 2.7?1.95

:Ji 1.612.55

» 1.119.40

$ 2.731.95

, -'¡ . ' .. , .~ ...

[

"',;1'" 1', ,r... r,'

1,1, ,. -

, '

",

Jr

(.

PUBLICACIONES DE LA U. M. A . . ' , . . - .. " Vol. 1 (1936-1937). VoL II (1938-1939), Vol. vIi, (1940-1941), Vol. ,VIII

(1942), Vol. IX (1943), Vol. X (1944-1945), yol~,XI {1945-1~4(¡) Notas y memorias do J. BABINI, M., BALANZAT,J.'BARRAL'S,i:mTO, A: BAT'l'IG;

G. BEO!\:, C. BlqGERI; G. BIRKHOb'l', I C. A. BULA,' M. BUNGE;' H. E. CALoAGNÓ;, l!'. CERNUSCHI, A. W. - CONWAY, C. CRESPO, E. A. DE CESARE,' J. DE OICOO, J. A. DEL PERAL, J. FAVET, E. FERRARI, V. y A. FRAiLE,' Y. FRENKEL, R. FRUOIIT, E.GASPAR, E. GAVIOLA, A. GONZÁLEZ D

-- .' ~--~-...,...,............-~. ~ -~,. -~--~-_ .. _~ .. -. ..--.-----:---~':--.---~--;--.-.- -'~-~, 7:-:,~~""~~~-,<

.~.

'i'

.1

,)

l'

i3 UM ARlO' .~ I

Impulso nllgulár elol .ca!llpO c1e i'll.(liación. I. O:1.tnpo electro!l1ngutÍtico, por '., ,J. A./BALSEIR,O .... " ........... " ... ' ........ < ' ... Les' fOlictions· entjói;es ,el 'drelrc HuI: Í.JC théoreme ele Picn.rc1, pnr G. VALIRON

Asociación FíSic:i.·'Arg~Í1thla.· :¡:nfo!'n~es y comunicaciones (Íe la s6ptimú' .1;ounión .': .. ..,.:..... .. '.. .... .............. . '.. ' ..

BibUog1'af:ía. Cl'istóbal (10 Losada y Puga, Curso' ele· 4-ilálisis MittemÍl,-tico. ' Ton~o 'Í:I(r~: A. SANTAr.6)' ..... .'. ..: .. .. .. .. .. .. ..

',' -'. . .

e'¡:ónica: Ing.,EduarelciClrichiidla, por F. ·L. C¡ASPAR. La octiLvareunión . . (lc 'ln, As¿cl'acióll ]jifsiaa Argentinu, por G. BECTe. Pro·grnma. Informe

l;irlllulIl ,ele¡l pré,sic1eilfc, pór É. GAVIOLA. Balance ele 'l'csOl;cl'ía .. ..

'. r,'

',~

PÁG.

153

lÍ:iS

194

I 200

'202

::-:-::::-:-:-.::~.~-:--_-::-.-;.-==:-: .. -':"7,:"'--~-:-:-:··-:-:=:-:"r-:,~:,~~::=-:,=~,:::::::=,----=---=====--===::::--=,----:-::-::--~·---';::'::=,-.=-.- '---=:--:'..-::.-.~_._;:'

'1',\

Contribuyen especialmente al sos,tenimiento de las publicac.iones de la UNIÓN.MATEMATICA ARGENTINA los siguientes

~IEMBROSPROTEOTORES . CoMPAÑíA. INDUSTRIAL DEL N6R'l'E ríE SANTA FE: INGENIO .AZUCARERO "Alulo!' (Villa Ocu·mpo. F.O.l S. F.). ~JULIO RE:Y PASTOR. (Buenos Aires),,- 'T. G., BERLENGIERI Y CIA, (Rosado) .. ,....:... 'TRICERRI HNOS. (Rosario). - MANUELGUI-TARTE (Buenos Aires).·:...... ,CLOTILDE A. BULA (Rosario). - ELD.( R;RAÚlONDJ . (Buenos Aireá) •. -;E'ERNúmoL. GASPAR (Rosario). '- CARLOS ISELLA (Ro-

" , ',- .' • " , '¡ ,

sario) • .....:,- .PEDRO J,·'!.'RICERRI(Rosario).

\,/'

"', '\

. " ,\ ..

)

' (

,