Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S. Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de les Estructures. Pràctiques de Laboratori. DETERMINACIÓ DEL CENTRE DE GRAVETAT D'UNA PLACA DE FORMA IRREGULAR 1. Objectius (A)Obtenir exp erimentalment les coordenades del centre de gravetat d'una placa de gruix constant i forma irregular. (B)Comparar el valor experimental de l'apartat (A) amb el valor calculat tenint en compte la forma irregular de la placa. 2. Material experimental disponible − Placa irregular de policarbonat transparent. − Tres balances digitals de sensibilitat 1 gram. − Regle. − Retolador marcador no permanent. 3. Introducció teòrica El centro de gravetat G d'un cos és el punt d'aplicació de la resultant de las forces de gravetat (forces pes) que actuen sobre les distintes parts d'aquest. És el punt, respecto del qual, les forces pes dels diferents punts materials del cos produeixen un moment resultant nul. En un cos de forma irregular, per a realitzar el càlcul de la posició del centro de gravetat és necessari, en genera l, el càlcul integral . Tanmateix, es pot simpli ficar el càlcul quan aquest cos pot subdividir-se en altres de forma geomètrica regular,el centre de gravetat dels qual és conegut. Mitjançant un sistema de forces paral·lel, la resultant de la qual equilibra el pes del cos, es pot calcul ar experi mentalment la posició del centre de gravetat. La resultant del sistema tindrà la recta de acció paral·lela a totes les altres forces i passarà pel centre de gravetat del cos. La resultant d'un sistema de forces paral·lel F i passa per un punt fix. Eixe punt l'anomenem centre del sistema C, el vector de posició r Cdel qual ve donat per l'expressió: r C= ∑ i= 1 NFi r i ∑ i=1 NFi 1
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S.
Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de
les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
DETERMINACIÓ DEL CENTRE DE GRAVETAT D'UNA PLACA DE FORMA
IRREGULAR
1. Objectius
(A) Obtenir experimentalment les coordenades del centre de
gravetat d'una placa de gruix
constant i forma irregular.
(B) Comparar el valor experimental de l'apartat (A) amb el
valor calculat tenint en compte la forma
irregular de la placa.
2. Material experimental disponible
− Tres balances digitals de sensibilitat 1 gram.
− Regle.
3. Introducció teòrica
El centro de gravetat G d'un cos és el punt d'aplicació de la
resultant de las forces de gravetat
(forces pes) que actuen sobre les distintes parts d'aquest. És el
punt, respecto del qual, les forces pes
dels diferents punts materials del cos produeixen un moment
resultant nul.
En un cos de forma irregular, per a realitzar el càlcul de la
posició del centro de gravetat és
necessari, en general, el càlcul integral. Tanmateix, es pot
simplificar el càlcul quan aquest cos pot
subdividir-se en altres de forma geomètrica regular,el centre de
gravetat dels qual és conegut.
Mitjançant un sistema de forces paral·lel, la resultant de la qual
equilibra el pes del cos, es pot
calcular experimentalment la posició del centre de gravetat. La
resultant del sistema tindrà la recta
de acció paral·lela a totes les altres forces i passarà pel centre
de gravetat del cos.
La resultant d'un sistema de forces paral·lel Fi passa per un
punt fix. Eixe punt l'anomenem centre del sistema C , el
vector de posició r C del qual ve donat per
l'expressió:
r C =
∑ i= 1
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S.
Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de
les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
Siendo r i (i = 1,2,...,N) els vectors de posició de cadascuna
de les forces Fi respectivament.
4. Desenvolupament 4.1. Plantejament experimental
Es tracta de mesurar el sistema de forces paral·leles que equilibra
el pes de la placa i trobar el
centre del sistema equilibrant que ha de coincidir amb el centre de
gravetat d'aquesta.
Si es tracten de plaques planes en què dues de les seues dimensions
són dominants, el número
mínim de forces paral·leles ha de ser tres. Per aquesta raó, es
col·loca la placa sobre tres
recolzaments A1, A2, A3 i s'analitzen les reaccions verticals
que s'exerceixen a través d'aquests
(vegeu il·lustració esquerra de la figura).
A1 A2
P3(x3,y3)P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
Placa
G
P
Les reaccions verticals R1, R2, R3 estan aplicades sobre tres
punts arbitraris i no col·lineals
(elegits per nosaltres) P1, P2, P3, que formen un triangle.
Les seues coordenades (mesurades
respecte d'uns eixos dibuixats sobre la placa) són:
P1 (x1,y1); P2 (x2,y2); P3 (x3,y3)
En aquest cas, les forces Fi (vegeu apartat 2) són les
reaccions Ri de cadascun dels tres
recolzaments de la placa. Tenint en compte que són forces
verticals, la coordenada zC del centro del
sistema serà coneguda, perquè coincideix amb la meitat del gruix de
la placa. Les altres dues
coordenades són:
F i
El centre d'aquest sistema de forces ha de coincidir amb el
centre de gravetat de la
figura, i per tant les coordenades del centre de gravetat
són:
xG = xC ; yG = yC
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S.
Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de
les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
Qüestió A: ¿Què succeeix si la placa es recolza únicament
sobre un de los recolzaments, estant aquest exactament en el centre
de gravetat Comproveu-lo experimentalment.
Qüestió B: ¿Perquè són necessaris, com a mínim, tres recolzaments?
Quina condició
s'ha de complir si hi ha solament dos recolzaments?
4.2 Presa de mesures.
1. Es col·loquen les tres balances tan juntes com siga possible i
s'ubiquen els suports
modulars sobre cada plat.
2. S'encenen les balances, polsant la tecla “ON” en cadascuna
d'elles. Després d'uns
segons, cada lectura es posicionarà en zero, ja que haurà pres com
a tara el que havia
damunt del plat.
3. Es diposita amb cura la placa, procurant que aquesta repose
sobre els tres
recolzaments (vegeu la figura) i es deixen transcórrer uns segons
fins que apareixen
les lectures sobre la pantalla de cada balança. Aquestes mesures
corresponen a les
reaccions R1, R2, R3 que els recolzaments realitzen sobre la
placa.
4. A continuació, s'apaguen les balances i s'assenyala amb el
retolador els tres punts de
la placa on estan els recolzaments.
(NOTA IMPORTANT 1: Utilitzar únicament el retolador de marcat que
es
proporciona en la pràctica.)
5. Es retira la placa de damunt de las balances i es mesuren les
coordenades de
cadascun del punts respecte dels eixos OX y OY grabats en la
placa.
(NOTA IMPORTANT 2: Una vegada preses les mesures, netejar les
marques. Hi ha
un tovalló de paper per a fer-ho).
6. Es repeteix el proces anterior dos vegades més , canviant
l'orientació de la placa
respecte dels punts de recolzament, amb l'objectiu d'obtenir un
total de tres grups de
mesures.
7. Es calculen les coordenades del centre de gravetat per a cada
mesura i es calcula la
mitja, calculant l'error absolut corresponent.
3
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S.
Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de
les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
5. Càlcul teòric del centre de gravetat.
1. Utilitzant la tècnica detallada en l'Annex, es calculen les
coordenades del centr de
gravetat de la placa. Les dimensions de cadascun dels trossos que
intervenen en el
càlcul s'obtenen mesurant-les directament amb l'ajuda de la regla
disponible.
2. Es calcula l'error absolut sobre la mesura indirecta de les
coordenades del centre de
gravetat.
3. Es compara el valor obtingut teòricament amb el determinat
experimentalment en
l'apartat 4, comparant els corresponents intervals d'error
absolut.
El resultat és coherent? En cas negatiu, busqueu i resoleu les
causes de la
incoherència.
4
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S.
Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de
les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
ANNEX
CÀLCUL TEÒRIC DEL CENTRE DE GRAVETAT D'UNA SUPERFÍCIE
Ací presentem la tècnica per a calcular, mitjançant un càlcul, les
coordenades del centre de
gravetat de cossos en forma de placa (NOTA: Els cossos en què dues
de les seues dimensions són
molt majors que la tercera s'anomenen plaques. En el cas que la
tercera dimensió (gruix) siga
constant, el seu centre de gravetat coincidirà amb el centre de la
superfície determinada per les dues
primeres dimensions).
Introducció teòrica.
En un camp gravitatori uniform, el centre de gravetat G d'un cos
coincideix amb el centre de masses. El seu vector de
posició rC ve donat por l'expressió següent:
r G =
∑ i=1
m i
on mi és la massa de cadascun dels trossos en què pot
subdividir-se el cos, i r C el corresponent
vector de posició del seu centre de gravetat. Per tant, si el cos
és homogeni (és a dir, la seua densitat ρ és constant) i, a
més a més, té un
gruix “e” constant, la massa mi es podrà expressar com:
mi = Vi·ρ = Si·e·ρ
on Vi es el volum que ocupa cada massa mi.
L'expressió del vector de posició del centre de gravetat queda, en
forma simplificada, i si la
superfície plana es fa coincidir amb el pla OXY, les coordenades
xG, yG del centre de gravetat serien
les components OX, OY del vector de posició rC :
x G =
∑ i=1
e
2 és la meitat del gruix constant de la placa).
5
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S.
Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de
les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
Procediment pràctic.
La tècnica consisteix en dividir la superfície en trossos la forma
geomètrica de la qual siga
regular (quadrats, rectangles, cercles, etc). El centre de gravetat
de cada figura regular es pot
determinar fàcilment. A més a més, els forats en les plaques es
poden tractar com a superfícies
negatives, que facilita el càlcul.
A modo d'exemple, en la figura es mostra una placa similar a la que
es proposa en la
pràctica. Com pot veure's, la forma de la placa pot considerar-se
como un rectangle al qual se li han
llevat dos trossos, també rectangulars, i se li ha practicat un
forat circular.
= - - -
G3
G4
G2
G1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
El càlcul es fa més pràctic construint, en cada cas, una taula com
la següent:
Tros i Si xGi yGi Si·xGi Si·yGi
1 S1 x1 y1 S1·x1 S1·y1
2 -S2 x2 y2 -S2·x2 -S2·y2
3 -S3 x3 y3 -S3·x3 -S3·y3
4 -S4 x4 y4 -S4·x4 -S4·y4
S=∑ i=1
i
on, en l'última fila, es mostren les sumes de termes que es
necessiten per al càlcul de les
coordenades del centre de gravetat.
Val la pena recordar que el centre de gravetat d'un cos no ha de
correspondre
necessàriament a un punt material d'aquest. Per exemple, el centre
de gravetat d'una esfera buida es
troba en el centre geomètric de la esfera que, òbviament, no
pertany al cos.
6
Tros
1
Tros
2
Tros
3
Tros
4