MECANICA ESTRUCTURAL
DOCENTE: ING. MAURICIO AYALA VILLARRAGA
GRUPO 2
CENTROS DE GRAVEDAD
INTEGRANTE: CHRISTIAN CAMILO FRANCO GARCIA
02 de octubre de 2015FACULTA DE INGIENERIA CIVILUNIVERSIDAD
PILOTO DE COLOMBIA1. INTRODUCCIONHasta ahora se ha supuesto que la
atraccin ejercida por la tierra sobre un cuerpo rgido poda
representarse por una sola fuerza llamada peso W. Esta fuerza,
tambin se denomina fuerza de gravedad, deba aplicarse en el centro
de gravedad del cuerpo; De hecho la tierra ejerce una fuerza sobre
cada una de las partculas que componen el cuerpo. En este sentido,
la accin de la tierra sobre un cuerpo rgido debe representarse por
un gran nmero de pequeas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que la totalidad de dichas
partculas puede ser remplazada por una sola fuerza llamada peso W.
El centro de gravedad es el punto de aplicacin de la resultante W
para cuerpos de distintas formas.Para la determinacin del centro de
gravedad en una placa o en un alambre aplicaremos el concepto de
centroide de un rea o de una lnea y concepto del primer momento de
un rea o de lnea con respecto a un eje dado.Tambin se aprender que
el calculo del rea de una superficie de revolucin o del volumen de
un cuerpo de revolucin esta directamente relacionado con la
determinacin del centroide de la lnea o del rea utilizados para
generar dicha superficie o cuerpo de revolucin aplicaremos el
teorema de Pappus-Guldinus. Adems la determinacin del centroide de
un rea simplifica el anlisis de vigas sujetas a cargas distribuidas
y el clculo de las fuerzas ejercidas sobre superficies
rectangulares sumergidas, como compuertas hidrulicas y porciones de
presas. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONALPara iniciar,
considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede
dividirse en n elementos pequeos. Las coordenadas del primer
elemento se representan con X1 y Y1, las del segundo elemento se
representan con x2 y y2, etc. Las fuerzas ejercidas por la Tierra
sobre los elementos de la placa sern representadas,
respectivamente, con W1, W2, . . , Wn. Estas fuerzas o pesos estn
dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los
propsitos prcticos, se puede suponer que dichas fuerzas son
paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma
direccin. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la
suma de las magnitudes de los pesos de los elementos. [1]
FIGURA 5.1 CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA PLACA [1]
Para obtener las coordenadas y del punto G, donde debe aplicarse
la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a
las ejes Y y X son iguales a la suma de los momentos
correspondientes de los pesos elementales,
FIGURA 2. FORMULA DE LAS CORDENADAS y [1]CENTROIDES DE REAS Y
LNEASEn el caso de un alambre homogneo de seccin transversal
uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de alambre puede
expresarse como W a L donde peso especfico del material a rea de la
seccin transversal del alambre L longitud del elemento.
FIGURA 3. ECUACIN 5,3 [1]
PRIMEROS MOMENTOS DE REAS Y LNEASLa integral x dA en las
ecuaciones (5.3) de la seccin anterior se conoce como el primer
momento del rea A con respecto al eje y y se representa con Qy. En
forma similar, la integral y dA define el primer momento de A con
respecto al eje x y se representa con Qx As se escribeQy x dA Qx y
dA (5.5) [1]
Si comparamos las ecuaciones (5.3) con las ecuaciones (5.5), se
observa que los primeros momentos del rea A pueden ser expresados
como los productos del rea con las coordenadas de su centroide:Qy
xA Qx yA (5.6) [1]A partir de las ecuaciones (5.6) se concluye que
las coordenadas del centroide de un rea pueden obtenerse al dividir
los primeros momentos de dicha rea entre el rea misma. Los primeros
momentos de un rea tambin son tiles en la mecnica de materiales
para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas
transversales. Por ltimo, A partir de las ecuaciones (5.6) se
observa que si el centroide de un rea est localizado sobre un eje
coordenado, entonces el primer momento del rea con respecto a ese
eje es igual a cero. De manera inversa, si el primer momento de un
rea con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el
centroide del rea est localizado sobre ese eje. Se pueden utilizar
relaciones similares a partir de las ecuaciones (5.5) y (5.6) para
definir los primeros momentos de una lnea con respecto a los ejes
coordenados y para expresar dichos momentos como los productos de
la longitud L de la lnea y las coordenadas x y y de su centroide.
El centroide es un punto que define el centro geomtrico de un
objeto. Su localizacin puede determinarse a partir de frmulas
semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o
el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especficos.
[1] VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv,
la localizacin del centroide para el volumen del objeto se puede
determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los
ejes de coordenadas. Las frmulas que resultan son:X = "x dvY = "y
dvZ = "z dv" dv " dv " dv [1] AREA. De manera semejante, el
centroide para el rea para el rea superficial de un boleto, como
una palanca o un casco puede encontrase subdividiendo el rea en
elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos
elementos de rea en torno a los ejes de coordenadas a saber.X = "x
dAY = "y dAZ = "z dA" dvA " dA " Da [1] LINEA. Si la geometra del
objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una
lnea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente:X = "x
dLY = "y dLZ = "z dL" dL " dL " dL [1]
AREAS Y CENTROS DE GRAVEDAD
FIGURA 4. FIGURAS BASICAS [1]
EJEMPLO Determine y ubique el centro de gravedad de la
figura.
1. Dividir el cuerpo en figuras bsicas.2. Ubique el centro de
coordenadas3. Aplique la formula de y 4. Ubique en el dibujo el
centro de gravedad==
3. BIBLIOGRAFIA
[1] Mecnica vectorial esttica para ingenieros - Beer Johnston
Mazare 1
