13/12/18

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Hough変換

メディア情報学実験2  画像情報処理  

課題6

画像内の対象物の理解・認識

図形の矩形や形状情報の検出が必要  –  直線情報  –  円形情報   Hough変換による特徴抽出

画像中から，直線や円などの特定の図形要素を  • 　パラメータ空間への射影  • 　投票  • 　多数決  

によって，図形情報を抽出する手法  

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Hough変換の基本原理（1） •  直線l上(y=ax+b)の任意点(xi, yi)を，ab空間上へ射影を行うと，

(xi, yi)はパラメータ空間の傾きと切片に対応する

•  上記の直交座標(xi, yi)は, パラメータ空間上座標(a, b)を通る直線として, 下式で表現でき，直交座標(xi, yi)の点数だけ直線ができる．

y

x

baxy +=

),( 11 yx

),( ii yx

),( 22 yx

),( jj yx

a

b

yxab +−=

),( 11 yx

ii yaxb +−=

),( 22 yx

),( jj yx

),( ii yx

),( ba

baxy +=(a)                                            上の直線 yaxb +−=(ｂ)    (a)のパラメータ空間

(x,  y)平面上で最も多くの点が通過する直線  　＝　(a,  b)パラメータ平面上で最も多くの直線が通過する点  

Hough変換の基本原理(2) •  任意の直交座標 (x, y)を通る垂線lについて，

原点からの距離をρ,　角度θとすると下式が成立．

•  　上式を基に，直交座標(x, y)を(θ, ρ)空間上へ射影することをパラメータ変換という

•  　別の点が同じ線上であるなら，(θ, ρ)と同じ組合せになる（先のスライド参照）

•  　(θ, ρ)の組合せが多数なら，「そのパラメータに直線が存在する可能性が高い」

パラメータ変換とHough変換  

θθρ sincos yx +=

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Hough変換の原理（3）

y

x

baxy +=

),( ii yx

θ

ρ

y

baxy +=

),( ii yx

θ

ix

θcosix θ iyx

iy

ix

θsiniy

θθρ sincos ii yx +=(x, y)を(ρ, θ)について，求めると．．．

極座標で表現できる

Hough変換の原理（4）

y

x

baxy +=

),( 11 yx

1θ

1ρ

ρ

θ1θ

ρ = xcosθ + ysinθ

点(x1, y1)を の範囲で，任意の値でサンプリングし，各 を下式で求める 0 ≤θi < π

射影

ρi

θ2 θ3 θ4 θi

ρi = x1 cosθi + y1 sinθi

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Hough変換の原理（4）

y

x

baxy +=

),( 11 yx

1θ

1ρ

ρ

),( 11 ρθ

θ

ρi = x1 cosθi + y1 sinθi任意の点(x1, y1)を について，求めると．．． ),( ii ρθ

),( 22 ρθ

),( 33 ρθ

),( 44 ρθ

),( ii ρθ

サインカーブが表現できる

投票（Vo4ng）

ρ = xcosθ + ysinθ

投票（Vo4ng）

Hough変換の原理（4）

y

x

baxy +=

(x2, y2 )

1θ

1ρ

ρ

θ

ρi = x2 cosθi + y2 sinθiさらに，任意の点(x2, y2)を について，求めると．．． ),( ii ρθ

サインカーブが重なる

投票（Vo4ng）が増える

),( ii ρθ

),( 11 yxρ = xcosθ + ysinθ

投票（Vo4ng）が  増える

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Hough変換の基本手順

•  直交座標上の画像に対して，  •  　極座標に変換し，パラメータ射影を行う  •  　パラメータ座標を通過する場合，投票を行う  •  　投票数が多い場合，そのパラメータを直線とする  

•  　2次元空間なら直線検出  •  　3次元空間なら円検出

Hough変換の手順

1.  前処理：2値化画像を取得する  2.  パラメータの設定  

1.  θの範囲設定-­‐>[0:180)　　(  θを1度ずつでサンプリング　θ[180]を確保  )  2.  ρの範囲設定-­‐>（画像サイズに合わせて，sqrt(iWidth^2+iHeight^2)）  3.  投票用のメモリVo4ngの確保(Vo4ng[θ][ρ])  

3.  1.で得られる各特徴点（Pixel  !=  background）について，  1.  θ，ρの関係を算出するため，下式を用いる．  

2.  3.1での各θ，ρに対し，投票を行う，  

   Vo4ng[θ][ρ]　++;    

4.  3.で得られるサインカーブの算出  

     

θθρ sincos ii yx +=

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Hough逆変換

1.  先の得られたVo4ngに対して，閾値以上のVo4ng点を求める  

2.  Vo4ngから得られる，θ，ρについて，x-­‐y平面へ下式を用いて逆変換  

       

y = −(cosθ / sinθ )x + (ρ / sinθ )

x = −(sinθ / cosθ )y+ (ρ / cosθ )または，

前者は，水平に近い直線抽出に最適  後者は，垂直に近い直線抽出に最適

両者を合わせると，全ての場合に適用

(θ，ρ)空間において，任意のVo4ngが集まったら，  　　直線としてみなせる

Hough変換処理

Original Image Original Edge Image Sin-curve Image by hough trans

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Hough変換処理

vo4ng

90

120

x = −(sinθ / cosθ )y+ (ρ / cosθ )y = −(cosθ / sinθ )x + (ρ / sinθ )x = −(sinθ / cosθ )y+ (ρ / cosθ )y = −(cosθ / sinθ )x + (ρ / sinθ )