Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

Multidimensionnel

Références

Changement de mesure et théorème deGirsanov80-646-08

Calcul stochatique I

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

Girsanov

Changementde mesureExemple 1

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

Multidimensionnel

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Un exemple I

Soit (Ω,F , fFt : 0 t Tg ,P) un espace probabiliséltré sur lequel estconstruit un mouvement brownien standardWP =

WPt : 0 t T

.

Le processus stochastique S = fSt : 0 t Tgreprésente lévolution du prix dun titre risqué et satisfaitléquation di¤érentielle stochastique

dSt = µSt dt + σSt dWPt .

Supposons aussi que le taux dintérêt r est constant. Lefacteur dactualisation est donc

β (t) = exp (rt)

ce qui implique que dβ (t) = r exp (rt) dt.

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Changementde mesureExemple 1

Th. Radon-Nikodym

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Un exemple IIPosons, pour tout 0 t T ,

Yt = βtSt

cest-à-dire que Yt représente la valeur actualisée autemps t du titre risqué.

En utilisant le lemme dItô (plus particulièrement la règlede multiplication), nous obtenons

dYt = (µ r)Yt dt + σYt dWPt .

En e¤et,

dYt = dβtSt= βt dSt + St dβt + d hβ,Sit= βt

µSt dt + σSt dWP

t

+ St (rβt dt)

= (µ r) βtSt dt + σβtSt dWPt .

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Changementde mesureExemple 1

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Un exemple III

Sous sa forme intégrale, cette équation di¤érentiellestochastique devient

Yt = Y0 + (µ r)Z t

0Ys ds + σ

Z t

0Ys dWP

s .

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RappelProcessus dItô

Soit WP un (fFtg ,P)mouvement brownien.On appelle processus dItô, un processusX = fXt : 0 t Tg à valeurs dans R tel que:

Xt X0 +Z t

0Ks ds +

Z t

0Hs dWP

s

avec K = fKt : 0 t Tg et H = fHt : 0 t Tgsont des processus adaptés à la ltration fFtg,PhR T0 jKs j ds < ∞

i= 1

PhR T0 (Hs )

2 ds < ∞i= 1

Damien Lamberton et Bernard Lapeyre, Introduction au calculstochastique appliqué à la nance, Ellipses, page 53.

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Changementde mesureExemple 1

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Exemple (suite) I

Rappelons que WP est un (fFtg ,P)mouvementbrownien.

Dans un monde neutre au risque (Ω,F , fFt : t 0g ,Q),le processus stochastique Y = fYt : 0 t Tg devraitêtre une (fFtg ,Q)martingale.Ainsi, sous la mesure neutre au risque, la tendance de Ydevrait être nulle, cest-à-dire que nous voulons que lecoe¢ cient de dérive soit 0.

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Exemple (suite) IIPosons

WQt = W

Pt +

Z t

0γsds

et notons que

1 WQ nest pas une Pmartingale (son espérance varie aucours du temps) et

2 dWQt = dW

Pt + γtdt. Par conséquent

Yt = Y0 + (µ r)Z t0Ys ds + σ

Z t0Ys dWP

s

Yt = Y0 +Z t0(µ r σγs )Ys ds + σ

Z t0Ys dWQ

s .

An de se débarasser du terme de dérive, il su¢ t de poser

µ r σγs = 0, γs =µ r

σ.

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Exemple (suite) III

Rappelons que

Yt = Y0 + σZ t

0Ys dWQ

s

Notons que sous la mesure P, le processus WQ nest pasun mouvement brownien standard puisque la loi de WQ

t

sous la mesure P est N

µrσ t, t

.

Le processus Y ne sera pas une (fFtg ,P)martingalepuisque lintégrale stochastique est construite par rapportà WQ qui nest pas une (fFtg ,P)martingale.En e¤et,

EPhWQt

i=

µ rσ

t

varie dans le temps.

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Exemple (suite) IV

Rappelons que WP est un (fFtg ,P)mouvementbrownien,

Yt = Y0 + σZ t

0Ys dWQ

s

oùWQ (t) = WP (t) +

µ rσ

t.

Nous cherchons donc la mesure de probabilité Q à placersur lespace (Ω,F , fFtg) qui fera en sorte que WQ soitun Qmouvement brownien standard.Donc en changeant la probabilité sur lensemble Ω, noustransformons le coe¢ cient de dérive an que la tendancesoit nulle et nous intégrons par rapport à une(fFtg ,Q)martingale. Il en résultera que le processus Ysera une (fFtg ,Q)martingale.

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Théorème de Radon-Nikodym IUne façon de construire de nouvelles mesures deprobabilité sur lespace probabilisable (Ω,F ) lorsque nousavons déjà une mesure de probabilité P existant sur cetespace est la suivante:Soit Y , une variable aléatoire construite sur lespaceprobabilisé (Ω,F ,P) telle que

8ω 2 Ω, Y (ω) 0 et EP [Y ] = 1.

Pour tout événement A 2 F , δA dénote la fonctionindicatrice de lévénement:

δA (ω) =

1 si ω 2 A0 sinon.

Pour tout événement A 2 F , posons

Q (A) = EP [Y δA ] .

Alors Q est une mesure de probabilité sur (Ω,F ).

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Théorème de Radon-Nikodym II

Démonstration. Nous devons vérier que

(P1) Q (Ω) = 1,

(P2) 8A 2 F , 0 Q (A) 1,(P3) 8A1, A2, ...2 F tels que Ai \ Aj = ∅ si i 6= j ,

QS

i1 Ai= ∑i1 Q (Ai ) .

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Théorème de Radon-Nikodym III

Vérication de (P1). Or, puisque pour tout ω,δΩ (ω) = 1 et parce que nous avons supposé queEP [Y ] = 1,

Q (Ω) = EP [Y δΩ] = EP [Y ] = 1,

ce qui établit la condition (P1).

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Théorème de Radon-Nikodym IV

Vérication de (P2).. La deuxième condition est toutaussi aisée à démontrer car Y étant une variable aléatoirepositive, Y δA lest aussi et Q (A) = EP [Y δA ] 0.Dautre part,

Q (A) = EP [Y δA ]

EP [Y δΩ]

= EP [Y ]

= 1.

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Théorème de Radon-Nikodym VVérication de (P3).. Comme nous lavons établi aucours dun exercice du premier chapitre, 8A1, A2, ...2 Ftels que Ai \ Aj = ∅ si i 6= j ,

δSi1 Ai = ∑

i1δAi .

Par conséquent,

Q

[i1Ai

!= EP

hY δS

i1 Ai

i= EP

"Y ∑i1

δAi

#= ∑

i1EP [Y δAi ]

= ∑i1

Q (Ai ) .

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Théorème de Radon-Nikodym VI

DenitionDeux mesures de probabilité P et Q construites sur le mêmeespace probabilisable (Ω,F ) sont dites équivalentes si ellesont le même ensemble dévénements impossibles, cest-à-direque

P (A) = 0, Q (A) = 0, A 2 F .

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Théorème de Radon-Nikodym VII

Question. Étant donné deux mesures de probabilitééquivalentes P et Q, existe-t-il une variable aléatoire Y àvaleurs non-négatives telle que

Q (A) = EP [Y δA ] ?

Notons bien la di¤érence entre ce problème et le résultatque nous venons de démontrer.

Dans ce dernier, Y et P nous étaient données et nousavons construit Q.

Dans ce cas-ci, P et Q nous sont données et nouscherchons Y , ce qui est moins aisé.

Cest lexistence de cette variable qui est établie dans leprochain théorème qui est une version du fameuxthéorème de Radon-Nikodym.

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Théorème de Radon-Nikodym VIII

Theorem

Théorème de Radon-Nikodym. Étant donné deux mesuresde probabilité équivalentes P et Q construites sur lespaceprobabilisable (Ω,F ), il existe une variable aléatoire Y àvaleurs positives telle que

Q (A) = EP [Y δA ] .

Cette variable aléatoire Y est souvent notée dQdP.

Ce théorème ne nous indique toujours pas commenttrouver notre mesure neutre au risque. En fait, cest leprochain résultat qui nous fournira la recette pourconstruire notre mesure et il fait intervenir la dérivée deRadon-Nikodym.

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Théorème de Radon-Nikodym IX

Quelques réexions sur le cas discret

Supposons que Ω ne contienne quun nombre nidéléments. Soit Y = βTX la valeur actualisée du droitcontingent accessible X . Si F0 = fΩ,∅g, alors son prixau temps t = 0 est

EQ [Y ] = ∑ω2Ω

Y (ω)Q (ω)

= ∑ω2Ω

Y (ω)Q (ω)

P (ω)P (ω)

= EP

Y

Q

P

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Théorème de Radon-Nikodym X

Considérons le modèle de marché de type binomial : S (1)

représente lévolution de lactif sans risque et S (2)modélise un actif risqué. Lunique mesure neutre au risqueest notée Q, P étant la mesure réelle.

ω

S (1)0 (ω)

S (2)0 (ω)

! S (1)1 (ω)

S (2)1 (ω)

! S (1)2 (ω)

S (2)2 (ω)

!P Q

dQdP

ω1 (1; 2)0

(1, 1; 2)0

(1, 21; 1)0 1

4 0, 360 1, 44

ω2 (1; 2)0

(1, 1; 2)0

(1, 21; 3)0 1

4 0, 540 2.16

ω3 (1; 2)0

(1, 1; 4)0

(1, 21; 1)0 1

4 0, 015 0, 06

ω4 (1; 2)0

(1, 1; 4)0

(1, 21; 5)0. 1

4 0.085 0, 34

La dérivée de Radon-Nykodym est un peu la mémoire duchangement de mesure. Pour chacune des trajectoires, ellese souvient du changement de pondération que nous avonse¤ectué.

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Théorème de Girsanov I

Nous nous concentrons sur un intervalle de temps borné :t 2 [0,T ].Soit WP =

WPt : t 2 [0,T ]

représente un mouvement

brownien construit sur un espace probabilisé ltré(Ω,F , fFtg ,P) tel que la ltration fFtg est celleengendrée par le mouvement brownien, augmentée de tousles événements de probabilité nulle, cest-à-dire que pourtout t 0,

Ft = σN et WP

s : 0 s t.

Le prochain théorème nous permettra de construire nosmesures risque-neutre.

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Théorème de Girsanov II

TheoremThéorème de Cameron-Martin-Girsanov. Soitγ = fγt : t 2 [0,T ]g, un processus fFtgprévisible tel que

EP

exp

12

Z T

0γ2t dt

< ∞.

Il existe une mesure Q sur (Ω,F ) telle que

(CMG1) Q est équivalente à P

(CMG2) dQdP= exp

hR T0 γt dW

Pt 1

2

R T0 γ2t dt

i(CMG3) Le processus WQ =

nWQt : t 2 [0,T ]

odéni par

WQt = W

Pt +

R t0 γs ds est un (fFtg ,Q)mouvement

brownien.

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Théorème de Girsanov III

(réf. Baxter et Rennie, page 74; Lamberton et Lapeyre, page 84)

La condition EPhexp

12

R T0 γ2t dt

i< ∞ est une

condition su¢ sante mais non nécessaire. Elle est connuesous lappellation de condition de Novikov.

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Théorème de Girsanov IV

Considérons léquation di¤érentielle stochastique

dXt = b (Xt , t) dt + a (Xt , t) dWPt

où WP représente un mouvement brownien sur lespaceprobabilisé ltré (Ω,F , fFtg ,P).Nous supposons que les coe¢ cients de dérive et dedi¤usion sont tels quil existe une unique solution àléquation que nous notons X .

Nous cherchons une mesure de probabilité Q qui fasse ensorte que, sur lespace (Ω,F , fFtg ,Q), la dérive de Xsoit eb (Xt , t) au lieu de b (Xt , t) .

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Théorème de Girsanov V

Allons-y!

dXt = b (Xt , t) dt + a (Xt , t) dW Pt

= eb (Xt , t) dt + a (Xt , t) b (Xt , t) eb (Xt , t)a (Xt , t)

!dt

+a (Xt , t) dW Pt

en autant que a (Xt , t) soit di¤érent de 0.

= eb (Xt , t) dt + a (Xt , t) d W Pt +

Z t

0

b (Xs , s) eb (Xs , s)a (Xs , s)

ds

!= eb (Xt , t) dt + a (Xt , t) dW Q

t

où

WQt = W

Pt +

Z t

0γs ds et γt =

b (Xt , t) eb (Xt , t)a (Xt , t)

.

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Théorème de Girsanov VI

Si EPhexp

12

R T0 γ2t dt

i< ∞ alors par les théorèmes de

Radon-Nikodym et de Cameron-Martin-Girsanov,

Q (A) = EP

exp

Z T

0γt dW

Pt

12

Z T

0γ2t dt

δA

, A 2 F

et WQ =nWQt : t 2 [0,T ]

oest un (F,Q)mouvement

brownien.

En pratique, nous navons pas besoin de déterminer lamesure Q. Il nous su¢ t de savoir quelle existe et deconnaître léquation di¤érentielle stochastique duprocessus qui nous intéresse sur lespace (Ω,F , fFtg ,Q) .

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Exemple 1 IThéorème de Girsanov

Reprenons le modèle de marché de Black et Scholes. Leprocessus stochastique Y = fYt : 0 t Tg construitsur lespace (Ω,F , fFtg ,P) ayant servi à la constructiondu mouvement brownien représente lévolution du prixactualisé dun titre risqué où

dYt = (µ r)Yt dt + σYt dWPt .

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Exemple 1 IIThéorème de Girsanov

Or, dans un monde neutre au risque (Ω,F , fFtg ,Q), latendance de Y devrait être nulle, cest-à-dire que nousvoulons que le coe¢ cient de dérive soit zéro. Ainsi

dYt = (µ r)Yt dt + σYt dWPt

= σYtµ r

σdt + σYt dWP

t

= σYt dWPt +

µ rσ

t= σYt dW

Qt

où

WQt WP

t +µ r

σt = WP

t +Z t

0

µ rσ

ds.

Dans ce cas-ci,

8s, γs =µ r

σ.

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Exemple 1 IIIThéorème de Girsanov

Rappel du théorème de Cameron-Martin-Girsanov. Soitγ = fγt : t 2 [0,T ]g, un processus fFtgprévisible tel que

EP

exp

12

Z T

0γ2t dt

< ∞.

Il existe une mesure Q sur (Ω,F ) telle que(CMG1) Q est équivalente à P

(CMG2) dQdP= exp

hR T0 γt dW

Pt 1

2

R T0 γ2t dt

i(CMG3) Le processus WQ =

nWQt : t 2 [0,T ]

odéni par

WQt = W

Pt +

R t0 γs ds est un (fFtg ,Q)mouvement

brownien.

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Exemple 1 IVThéorème de Girsanov

Vérions que la condition concernant le processus γ estbien satisfaite :

EP

exp

12

Z T

0γ2t dt

= EP

"exp

12

Z T

0

µ r

σ

2dt

!#

= exp

12

µ r

σ

2T

!< ∞.

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Exemple 1 VThéorème de Girsanov

Appliquons le théorème de Girsanov :

dQ

dP= exp

Z T

0γt dW

Pt

12

Z T

0γ2t dt

= exp

"Z T

0

µ rσ

dWPt

12

Z T

0

µ r

σ

2dt

#

= exp

"µ r

σWPT

12

µ r

σ

2T

#.

Ceci implique que

Q [A] = EP

"exp

µ r

σWPT

12

µ r

σ

2T

!δA

#, A 2 F .

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Exemple 1 VIThéorème de Girsanov

De plus, sous la mesure Q, lévolution du prix actualisé dutitre risqué satisfait léquation

dYt = σYt dWQt

où WQ est un Qmouvement brownien.

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Exemple 1 VIIThéorème de Girsanov

Nous pouvons aussi retrouver léquation di¤érentiellestochastique satisfaite par lévolution S du prix du titrerisqué :

dSt = µSt dt + σSt dWPt

= µSt dt + σSt dWQt

µ rσ

t

puisque WQt WP

t +µ r

σt

= µSt dt + σSt dWQt σSt

µ rσ

dt

= rSt dt + σSt dWQt .

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Exemple 1 VIIIThéorème de Girsanov

Notons que nous navons pas réellement besoin decalculer Q, nous avons simplement besoin de savoir quelleexiste puis détablir quelle est léquation satisfaite par leprocessus qui nous intéresse, à savoir lévolution du prixdun titre risqué. En e¤et, sur (Ω,F , fFtg ,Q),

dSt = rSt dt + σSt dWQt

où fW est un Qmouvement brownien.Or, lunique solution de cette équation est

St = S0 expr σ2

2

t + σWQ

t

.

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Exemple 1 IXThéorème de Girsanov

Puisque le prix dune option dachat dont le prix dexercice estK et la maturité est T est donné par

EQ [exp (rT )max (ST K ; 0)]

= EQ

exp (rT )max

S0 exp

r σ2

2

T + σW Q

T

K ; 0

= EQ

max

S0 exp

σ2

2T + σW Q

T

K exp (rT ) ; 0

=

Z ∞

∞max

S0 exp

σ2

2T + σz

KerT ; 0

fZ (z) dz .

où fZ () représente la fonction de densité dune variablealéatoire normale despérance nulle et de variance égale à T .Le reste du calcul ne fait quintervenir des propriétés de la loinormale.

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Exemple 1 XThéorème de Girsanov

Comme

S0 expσ2

2T + σz

> KerT

, σ2

2T + σz > ln

KerT

S0= lnK rT lnS0

, z > lnS0 lnK +

r σ2

2

T

σ d2

pT

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Exemple 1 XIThéorème de Girsanov

Z ∞

∞max

S0 exp

σ2

2T + σz

KerT ; 0

fZ (z) dz

=Z ∞

d2pT

S0 exp

σ2

2T + σz

KerT

fZ (z) dz

=Z ∞

d2pTS0 exp

σ2

2T + σz

fZ (z) dz

Z ∞

d2pTKerT fZ (z) dz

= S0Z ∞

d2pT

1p2π

1pTexp

z

2 2Tσz + σ2T 2

2T

dz

KerTZ ∞

d2pT

1p2π

1pTexp

z

2

2T

dz

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Exemple 1 XIIThéorème de Girsanov

= S0Z ∞

d2pT

1p2π

1pTexp

(z σT )2

2T

!dz

KerTZ ∞

d2pT

1p2π

1pTexp

z

2

2T

dz

Posons u =z σTp

Tet v =

zpT

= S0Z ∞

d2σpT

1p2π

expu

2

2

du

KerTZ ∞

d2

1p2π

exp v

2

2

dv

= S01N

d2 σ

pTKerT (1N (d2))

où N () est la fonction de répartition dune variable aléatoirenormale centrée et réduite.

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Th GirsanovExemple 1

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Exemple 1 XIIIThéorème de Girsanov

Mais la symétrie de N implique que 1N (x) = N (x) . Alors

S01N

d2 σ

pTKerT (1N (d2))

= S0Nd2 + σ

pTKerT (N (d2))

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Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 I

Supposons que WP et fWP représentent deux mouvementsbrowniens standards construits sur lespace probabiliséltré (Ω,F , fFtg ,P).Remarquons que

neBPt : t 0

ooù

eBPt ρWP

t +q1 ρ2fWP

t

est un mouvement brownien standard tel que

CorrPWPt , eBP

t

= ρ.

Exercice : démontrez-le.

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MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

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Exemple 2 II

Le taux de change instantané

dCt = µCCt dt + σCCt dWPt

nous permet de modéliser le nombre de dollars canadienspar unité monétaire étrangère à chaque instant.

Supposons aussi que léquation di¤érentielle stochastique

dSt = µSSt dt + σSSt d eBPt

= µSSt dt + σSρSt dWPt + σS

q1 ρ2St dfWP

t

modélise lévolution du prix dun actif risqué étranger.

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MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

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Exemple 2 III

Enn le taux dintérêt instantané canadien r et le tauxdintérêt instantané étranger v sont supposés constants.Par conséquent, le facteur dactualisation est

βt = exp (rt) .

et la valeur en devise étrangère dun investissement initialdune unité monétaire étrangère est Bt = exp (vt) .

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MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

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Exemple 2 IV

Plaçons-nous dans la peau dun investisseur canadien.

CtSt nous donne la valeur en dollars canadiens de lactifrisqué au temps t,CtBt nous donne la valeur en dollars canadiens dunplacement dune unité de la devise étrangère dans uncompte bancaire étranger au temps t,Ut = βtCtSt nous donne la valeur actualisée en dollarscanadiens de lactif risqué au temps t.Vt = βtCtBt nous donne la valeur actualisée en dollarscanadiens dun placement dune unité de la deviseétrangère dans un compte bancaire étranger au temps t.

Nous cherchons la mesure Q qui rendra les processusstochastiques U et V des (fFtg ,Q)martingales.

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MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

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Exemple 2 VRappel:

dCt = µCCt dt + σCCt dWPt ,

dBt = vBt dt

dβt = rβt dt

Premièrement, déterminons léquation di¤érentiellestochastique satisfaite par la valeur actualisée en dollarscanadiens dun placement dune unité de la deviseétrangère dans un compte bancaire étranger V = βCBsous la mesure P. Le lemme dItô nous permet décrire

dCtBt = Ct dBt + Bt dCt + d hB,C it= Ct (vBt dt) + Bt

µCCt dt + σCCt dW

Pt

= (v + µC )CtBt dt + σCCtBt dW

Pt .

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 VI

Ainsi,

dVt = dβtCtBt= βt dCtBt + CtBt dβt + d hβ,CBit= βt

(v + µC )CtBt dt + σCCtBt dW

Pt

+CtBt (rβt dt)

= (µC + v r) βtCtBt dt + σC βtCtBt dWPt

= (µC + v r)Vt dt + σCVt dWPt .

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 VII

Rappel:

dSt = µSSt dt + σSρSt dWPt + σS

q1 ρ2St dfWP

t ,

dCt = µCCt dt + σCCt dWPt ,

dBt = vBt dt,

dβt = rβt dt.

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 VIII

Deuxièmement, déterminons léquation di¤érentiellestochastique satisfaite par U = βCS sous la mesure P. Lelemme dItô nous permet décrire

dCtSt= Ct dSt + St dCt + d hS ,C it= Ct

µSSt dt + σSρSt dWP

t + σS

q1 ρ2St dfWP

t

+St

µCCt dt + σCCt dW

Pt

+ σSρStσCCt dt

= (µS + µC + σSσC ρ)CtSt dt

+ (σSρ+ σC )CtSt dWPt + σ

q1 ρ2CtSt dfWP

t .

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 IX

Réutilisant le lemme dItô, nous obtenons

dUt = dβtCtSt= βt dCtSt + CtSt dβt + d hβ,CSit

= βt

(µS + µC + σSσC ρ)CtSt dt

+ (σS ρ+ σC )CtSt dW Pt + σS

p1 ρ2CtSt dfW P

t

+CtSt (rβt dt)

= (µS + µC + σSσC ρ r ) βtCtSt dt

+ (σS ρ+ σC ) βtCtSt dWPt + σS

q1 ρ2βtCtSt dfW P

t

= (µS + µC + σSσC ρ r )Ut dt

+ (σS ρ+ σC )Ut dWPt + σS

q1 ρ2Ut dfW P

t .

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 XNous avons

dVt = (µC + v r)Vt dt + σCVt dWPt ,

dUt = (µS + µC + σSσC ρ r)Ut dt

+ (σSρ+ σC )Ut dWPt + σS

q1 ρ2Ut dfWP

t

ce qui nous permet décrire

dVt = (µC + v r σC γt )Vt dt

+σCVt dW Pt +

Z t

0γsds

dUt =

µS + µC + σSσC ρ r

(σS ρ+ σC ) γt σSp1 ρ2eγt

Ut dt

+ (σS ρ+ σC )Ut dW Pt +

Z t

0γsds

+σS

q1 ρ2Ut d

fW Pt +

Z t

0eγsds .

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 XI

Nous voulons donc résoudre le système linéaire

µC + v r σC γt = 0

µS + µC + σSσC ρ r (σS ρ+ σC ) γt σS

q1 ρ2eγt = 0

dont les inconnues sont γt et eγt . Sous forme matricielle,nous écrivons

σC 0σS ρ+ σC σS

p1 ρ2

γteγt

=

µC + v r

µS + µC + σSσC ρ r

.

La solution est

γt =µC + v r

σCeγt =µS v + σSσC ρ

σSp1 ρ2

ρ (µC + v r)σCp1 ρ2

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Exemple 2 XII

Posons donc WQt = W

Pt +

R t0 γs ds etfWQ

t = fWPt +

R t0 eγs ds où

γs =µC + v r

σC

eγs =µS v + σSσC ρ

σSp1 ρ2

ρ (µC + v r )σCp1 ρ2

.

Nous pouvons alors écrire

dVt = σCVt dWQt

dUt = (σSρ+ σC )Ut dWQt + σS

q1 ρ2Ut dfWQ

t .

Est-il possible de trouver une mesure Q telle que WQ etfWQ sont des (fFtg ,Q)mouvements brownienssimultanément?

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

Th Girsanov

MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Théorème de Girsanov I

Soit W =W (1), ...,W (n)

un mouvement brownien de

dimension n, cest-à-dire que ses composantes sont desmouvements browniens standards indépendants surlespace probabilisé ltré (Ω,F , fFtg ,P)

TheoremThéorème de Cameron-Martin-Girsanov. Pour touti 2 f1, ..., ng , γ(i ) =

γ(i )t : 0 t T

est un processus

fFtgprévisible tel que

EP

exp

12

Z T

0

γ(i )t

2dt

< ∞.

Il existe une mesure Q sur (Ω,F ) telle que

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

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MultidimensionnelExemple 2GirsanovExemple 2(suite)Exemple 3

Références

Théorème de Girsanov II

(CMG1) Q est équivalente à P

(CMG2) dQdP=

exp∑n

i=1

R T0 γ

(i )t dW (i )

t 12

R T0 ∑n

i=1

γ(i )t

2dt

(CMG3) Pour tout i 2 f1, ..., ng , le processusfW (i ) =fW (i )

t : 0 t Tdéni parfW (i )

t = W (i )t +

R t0 γ

(i )s ds est un

(fFtg ,Q)mouvement brownien.(réf. Baxter et Rennie, page 186)

Girsanov

Changementde mesure

Th. Radon-Nikodym

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Références

Exemple 2 (suite) I

Comme les fonctions γ et eγ sont constantes, la conditionde Novikov est satisfaite et le théorème de Girsanov(version multidimensionnelle) nous permet de conclurequil existe une mesure martingale Q telle que WQ et fWQ

sont des (fFtg ,Q)mouvements browniens.

Girsanov

Changementde mesure

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Références

Exemple 2 (suite) II

Fait intéressant, sur lespace (Ω,F , fFtg ,Q), nous avonsléquation di¤érentielle stochastique satisfaite par le tauxde change instantané

dCt = µCCt dt + σCCt dWPt

= µCCt dt + σCCt dWQt

µC + v rσC

t

= (r v)Ct dt + σCCt dWQt .

On retrouve dans le coe¢ cient de dérive la di¤érence entreles taux dintérêt instantanés local et étranger.

Girsanov

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Références

Exemple 2 (suite) III

Toujours sur lespace (Ω,F , fFtg ,Q), léquationdi¤érentielle stochastique de lévolution du prix de lactifrisqué en dollars canadiens est

dCtSt= (µS + µC + σSσC ρ)CtSt dt

+ (σS ρ+ σC )CtSt dWPt + σS

q1 ρ2CtSt dfW P

t

= (µS + µC + σSσC ρ)CtSt dt

+ (σS ρ+ σC )CtSt dW Qt

µC + v rσC

t

+σS

q1 ρ2CtSt d

fW Qt

µS v + σSσC ρ

σSp1 ρ2

ρ (µC + v r )σCp1 ρ2

!t

!

= rCtSt dt + (σS ρ+ σC )CtSt dWQt + σS

q1 ρ2CtSt dfW Q

t

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Références

Exemple 2 (suite) IV

où la dernière égalité sobtient de la simplication ducoe¢ cient de dérive

(µS + µC + σSσC ρ) (σSρ+ σC )µC + v r

σC

σS

q1 ρ2

µS v + σSσC ρ

σSp1 ρ2

ρ (µC + v r)σCp1 ρ2

!.

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Références

Exemple 2 (suite) V

Toujours sous la mesure neutre au risque Q, la valeur endollars canadiens dun placement dune unité de la deviseétrangère dans un compte bancaire étranger satisfait

dCtBt= (v + µC )CtBt dt + σCCtBt dW

Pt

= (v + µC )CtBt dt + σCCtBt dW Qt

µC + v rσC

t

=

v + µC σC

µC + v rσC

CtBt dt + σCCtBt dW

Qt

= rCtBt dt + σCCtBt dWQt .

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Références

Exemple 2 (suite) VI

En résumé,

dCt = µCCt dt + σCCt dWPt

dCt = (r v )Ct dt + σCCt dWQt

dCtSt = (µS + µC + σSσC ρ)CtSt dt

+ (σS ρ+ σC )CtSt dWPt + σS

q1 ρ2CtSt dfW P

t

dCtSt = rCtSt dt

+ (σS ρ+ σC )CtSt dWQt + σS

q1 ρ2CtSt dfW Q

t

dCtBt = (v + µC )CtBt dt + σCCtBt dWPt

dCtBt = rCtBt dt + σCCtBt dWQt

Girsanov

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Références

Exemple 2 (suite) VII

Pour ce qui est des titres en devise étrangère, nous avonsléquation, sous la probabilité Q, qui caractérise lévolutiondu prix de lactif risqué en devise étrangère:

dSt

= µSSt dt + σS ρSt dW Pt + σS

q1 ρ2St dfW P

t

= dSt = µSSt dt + σS ρSt dW Qt

µC + v rσC

t

+σS

q1 ρ2St d

fW Qt

µS v + σSσC ρ

σSp1 ρ2

ρ (µC + v r )σCp1 ρ2

!t

!

= (v σSσC ρ) St dt + σS ρSt dWQt + σS

q1 ρ2St dfW Q

t

et celle de lévolution dun compte bancaire en deviseétrangère

dBt = vBt dt.

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Références

Exemple 3 INon-unicité de la mesure martingale

Soit WP et fWP deux mouvements browniens standardsindépendants construits sur lespace probabilisé ltré(Ω,F , fFtg ,P).Supposons que le prix dun actif risqué évolue selon lÉDS

dSt = µSt dt + σSt dWPt + σSt dfWP

t

et que le taux dintérêt instantané r est constant.

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Références

Exemple 3 IINon-unicité de la mesure martingale

Posons, pour tout 0 t T ,

Yt = βtSt

cest-à-dire que Yt représente la valeur actualisée autemps t du titre risqué. En utilisant le lemme dItô (plusparticulièrement la règle de multiplication), nous obtenons

dYt = (µ r)Yt dt + σYt dWPt + σYt dfWP

t .

En e¤et,

dYt= dβtSt= βt dSt + St dβt + d hβ,Sit= βt

µSt dt + σSt dWP

t + σSt dfWPt

+ St (rβt dt)

= (µ r) βtSt dt + σβtSt dWPt + σβtSt dfWP

t .

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Références

Exemple 3 IIINon-unicité de la mesure martingale

dYt= (µ r)Yt dt + σYt dWP

t + σYt dfWPt

= (µ r σγt σeγt )Yt dt+σYt d

WPt +

Z t

0γsds

+ σYt d

fWPt +

Z t

0eγsds .

Forçons le coe¢ cient de dérive à sannuler :

µ r σγt σeγt = 0, eγt = µ rσ

γt .

Il y a donc une innité de solutions.

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Références

Exemple 3 IVNon-unicité de la mesure martingale

Rappel : eγt = µ rσ

γt .

Si lon décide que le processus fγt : 0 t Tg nedépend pas du temps, alors il en sera de même pour eγ.Comme γ et eγ sont déterministes et constants, lacondition de Novikov est satisfaite. Par conséquent, pourtout γ 2 R, il existe une mesure martingale Qγ telle que

W γt = WP

t + γt

et fW γt = fWP

t + eγt = fWPt +

µ r

σ γ

t

sont des (fFtg ,Qγ)mouvements browniens.

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Exemple 3 VNon-unicité de la mesure martingale

Pour tout γ 2 R, le processus Y ,

dYt = σYt dWγt + σYt dfW γ

t

est une (fFtg ,Qγ)martingale.

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Références

Exemple 3 VINon-unicité de la mesure martingale

Conséquences

Le marché est incompletCertains droits contingents ne pourront pas être répliqués.Dans ce cas, lespérance, sous une mesure neutre aurisque, de la valeur actualisée du droit contingent nousdonnera UN prix mais pas LE prix.Comment détermine-t-on si un droit contingent estaccessible ? La réponse se trouve dans la prochaine sériede diapositives!

Girsanov

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Th Girsanov

Multidimensionnel

Références

Références

Martin Baxter et Andrew Rennie (1996). FinancialCalculus, an introduction to derivative pricing, Cambridgeuniversity press.

Christophe Bisière (1997). La structure par terme des tauxdintérêt, Presses universitaires de France.

Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (1991).Introduction au calcul stochastique appliqué à la nance,Ellipses.