Chapitre 2

systèmes optiques simples : Miroirs et dioptres

A. MIROIRS

Miroir plan

Miroirs sphériques

B. DIOPTRES

Dioptre plan

Dioptres sphériques

1

Im

age

d’u

n p

oint

A.1. Miroir plan (MP)

Un miroir plan est une surface plane capable de réfléchir la lumière

presque en totalité.

A : Objet réel : A’ : Image virtuelle.

ʹ

Formule de conjugaison

d’un miroir plan

Objet et image ont symétriques par

rapport au plan du miroir.

= -

Le triangle AHI et A′HI

sont égaux

1.1 : Formule de conjugaison d’un miroir plan :

2

A’

B’

Miroir plan

B

A

AB : objet réel

AB : image virtuelle

Mir

oir

p

lan

Le grandissement transverse

(parallèle au miroir) est :

Dans le cas du miroir plan, l’image est donc « droite

(>0)» et de même taille que l’objet :

1.3 : Image d’un objet étendu

3

A A’

B B’

Autres exemples

4

A

A’

B

B’

Remarque: Le grandissement axial (perpendiculaire au miroir)

est de -1 : image renversée (<0) 5

Mir

oir

p

lan

a- Translation

Lorsque le miroir se déplace de d, l'image correspondante se

déplace de 2d

b- Rotation

Le miroir tourne d'un angle , l’image

tourne dans le même sens de 2

1.4 : Déplacement du miroir

6

A’

Miroir plan

A

Espaces objet et image réels Espaces objet et image virtuels

r

i

Objet réel Image virtuelle

Axe optique

Lumière

+

Le miroir plan est stigmatique pour tous les points de

l’espace.

H

= -

1.5 :Stigmatisme rigoureux ?

7

M Concave (ou convergent )

0SC

S : sommet

+

C : centre

M Convexe ( divergent )

C : centre

0SC+

A.2. Miroirs sphériques (MS)

2.1. Définition : C’est une surface sphérique (calotte)

réfléchissante défini par son axe optique, son centre et son

sommet S. On distingue deux types de miroirs sphériques.

mir

oir

sp

hér

ique

8

A A’

) ) ’

i (

i’

H C S

) w

I

2.2. Relation de conjugaison et grandissement

1. Formule de conjugaison a-Avec origine au sommet

mir

oir

sp

hér

ique

Dans l’approximation de Gauss H et S sont confondus On a :

; ;

10

i = - i’ La normale

w = - i i = - w

= w + i i = - w

La loi de la réflexion : i = - i′ - w = w -

+ = 2 w

Le triangle : (CIA)

11 Formule de conjugaison avec origine au sommet

mir

oir

sp

hér

ique

(π-w) + - i = π

(π-’) + w + i’ = π Le triangle :(CIA′)

b. Relation de conjugaison

avec origine au centre

CSCACA

2

'

11

mir

oir

sp

hér

ique

C

( i

i’

A

B

A’

B’

S

12

Formule de conjugaison avec origine au sommet

Formule de conjugaison avec origine au centre

2 - Grandissement

i = - i

mir

oir

sp

hér

ique

C

( i

i’ A

B

A’

B’

S

13 CA

'CA

b. Grandissement linéaire avec origine au centre

a. Grandissement linéaire avec origine au sommet

Avec l’approximation de GAUSSE

A’

B’

B

A C

AB

BA

CA

CA '''La relation

de Thalès

C

S

+

F

Miroir concave convergent

2.3. Position des foyers

a. Foyer objet

objet A au foyer objet image A’ à l’infini

Le foyer objet est

au milieu de

f : distance focale objet

F : foyer objet=F’

A′ à l’

14

C S

+

F ou F’

Miroir convexe divergent

b. Foyer image

objet A à l’infini image A’ au foyer image

F F

les deux foyers principaux d'un

miroir sphérique sont confondus et

de même nature, sont réels si le

miroir est concave, virtuels si le

miroir est convexe. 15

16

c. Formules de Newton

:helmholtzLagrangedeFormule 1G

Grandissement linéaire avec origine au foyer

FA

SF

SF

AF

'

''

Relation de conjugaison avec origine au foyer

2.4. Vergence d’un miroir sphérique

•Un miroir convexe est divergent (V < 0).

On appelle vergence du miroir, la quantité notée V :

L’unité S.I de vergence est le m-1 ou dioptrie (symbole δ).

• Un miroir concave est convergent (V > 0),

17

B

F

S C A

Règles de construction :

Tout rayon passant par le centre du miroir se réfléchit sur lui même;

Tout rayon parallèle à l’axe optique est réfléchi en passant par le

foyer F’ ou F du miroir ;

Tout rayon qui passe par le foyer F, est réfléchi parallèlement

l’axe optique.

A’

B’

2.6. Construction de l'image d'un objet

19

Construction de l'image d'un objet

Remarque :

- Le miroir concave ne donne jamais d’image virtuelle d’un objet

virtuel.

- Le miroir convexe ne donne jamais d’image réelle d’un objet réel.

mir

oir

sp

hér

ique

C S

+

F′

B′

A′ A

B

20

objet réel, image réelle objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle

Objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle objet virtuel, image virtuelle

- Le miroir concave ne donne jamais d’image virtuelle d’un objet virtuel.

- Le miroir convexe ne donne jamais d’image réelle d’un objet réel. 21

- les points de sa surface réfléchissante.

2.7. Stigmatisme rigoureux ? m

iro

ir sp

hér

ique

Les seuls points rigoureusement stigmatiques pour un

miroir sphérique sont:

- son centre de courbure C

22

Cas du miroir plan

Grandissement

Equivalent au : Miroir sphérique de rayon infini

Relation de

conjugaison

Miroir plan Miroir Sphérique

= 1

SC'SASA

211 'SASA

23

Image

d’u

n p

oint

I

1.1. Définition : Un dioptre est une surface de séparation

entre deux milieux d’indice différent

A1 : Source, Objet réel

A2 : Image virtuelle

La position de l’image A2 dépend de

l’angle d’incidence i1 .

B.1. Dioptre plan (DP)

24

pas de stigmatisme rigoureux

Dio

ptr

e pla

n

Dans les conditions de Gauss (petits angles), on a:

A1 A2 n1 n2

Relation de conjugaison

d’un dioptre plan

1.3. Image d’un point

Donc :

26

Tan α = sin α = α

Tan i1 = i1 ; Tan i2 = i2 et n1 i1 = n2 i2

La relation

=𝐻𝐴1 𝑖1

𝑖2

B

A

n n’

A’

B’

DP Cas où n n’

Espaces objet réel

et image virtuel Espaces objet virtuel

et image réel

1.4. Image d’un objet étendu

AB : objet réel

AB : image virtuelle

L’image d’un objet plan parallèle au dioptre est une image plane

parallèle au dioptre et de même dimension. aplanétique.

Le grandissement linéaire est alors:

Dio

ptr

e pla

n

a1. Cas de l'objet AB parallèle à la surface du dioptre

28

DIO

PT

RE

SP

HÉ

RIQ

UE

B.2. DIOPTRE SPHÉRIQUE

Concave : 0SC

n n’

C : centre S : sommet

+

Définition : Un dioptre sphérique est une surface sphérique

réfringente, séparant deux milieux homogènes et transparents

d’indice différents.

Convexe : 𝑆𝐶 >0

C S

n n’ +

33

Dioptre convergent : si R = 𝑆𝐶et (n2-n1) ont le même signe

Dioptre divergent : si R = 𝑆𝐶et (n2-n1) ont un signe différent

Dans chaque cas, le

dioptre peut être :

35

DIO

PT

RE

SP

HÉ

RIQ

UE

2.1- Formules de conjugaison

avec origine au sommet

avec origine au centre

2.2- Grandissement

avec origine au sommet

Attention au signe des angles: positifs dans le sens trigonométrique,

négatifs en sens inverse (sens des aiguilles d’une montre).

n i = n i

B’

A

B

A’ ( i

i’

S

n 'n

C

+

+ +

n > n′

𝜸 =𝑨′𝑩′

𝑨𝑩 =

𝒏

𝒏′

𝑺𝑨′

𝑺𝑨

37

2.2.Grandissement avec origine au centre

A A

C n n’

VCS

'nn

CA

'n

'CA

n

Formule de conjugaison

Grandissement

linéaire

B’

A

B

A’ ( i

i’

S

n 'n

C

Appliquons le théorème de Thalès

aux triangles : (CAB) et (CA′B′) n > n′

39

Foyer objet : C’est le point conjugué dont l’image est à

l’infini sur l’axe optique.

f : distance focale objet

F : foyer objet 'nn

nSCSFf

SC

'nn

SF

n

2.3.1. Foyer objet, distance focale objet et

plan focal objet

objet A au foyer image A’ à l’infini

Le plan perpendiculaire à l’axe optique en F est le plan focal objet.

F

P.F.O SC

'nn

'SA

'n

SA

n

A′ à l’

A

40

SF

n

n n’

S C

2.3.2. Foyer image, distance focale image

et plan focal image

n'n

'nSC'SF'f

objet A à l’infini image A’ au foyer image

F’ : foyer image

f’ : distance focale image

SC

n'n

'SF

'n

Foyer image : C’est le point conjugué dont l’objet est à l’infini

sur l’axe optique.

Le plan perpendiculaire à l’axe optique en F est le plan focal image.

P.F.I

F’

n n’ SC

'nn

'SA

'n

SA

n

A à l’

A′

41

'

'

SF

n

c s

Si les foyers sont à l’infini le système

est dit ”AFOCAL”.

Pour un système optique, les foyers principaux image

et objet sont uniques.

le dioptre plan réalise

un système afocal.

42

Remarques

SF

n

'SF

'n

SA

n

'SA

'n

F F’ C S

Ces relations permettent de placer un foyer quand on connaît l’autre.

Les distances focales ont des signes opposés.

Les foyers sont tous les deux réels ou tous les deux virtuels.

Le milieu du segment [FF] coïncide avec celui du segment [SC]

Il n’y a jamais de foyer entre S et C.

On a : ;

43

2.2 Autres formes de la relation de conjugaison

1'

'

SA

SF

SA

SF Relation de Descartes

Relation de Newton avec

origine aux foyers

F F′

A A′ S

SF

n

'SF

'n

SA

n

'SA

'n

Relation de Chasles

44

2.4- Vergence d’un dioptre

C’est la quantité :

SF

n

'SF

'n

SC

n'nV

Si V < 0 (f < 0)

Si V > 0 (f > 0) dioptre convergent

dioptre divergent

mesurée en dioptrie ()

qd R est en (m)

45

Concave n > n’ Convexe n < n’

Dioptre convergent Dioptre convergent

Dioptres convergents

Un dioptre est convergent si les foyers sont réels et

son centre C est situé dans le milieu le plus réfringent .

n n n n

SF

n

'SF

'n

SC

n'nV

46

Concave n < n’ Convexe n > n’

Dioptre divergent Dioptre divergent

Dioptres divergents

Un dioptre est divergent si les foyers sont virtuels et son

centre C est situé dans le milieu le moins réfringent .

n n n

n

SF

n

'SF

'n

SC

n'nV

47

F’

S C F

B

A

n1 n2

A’

B’

Utilisation de 3 rayons particuliers :

Tout rayon passant par F ressort du (DS) // à l’axe optique.

Tout rayon // à l’axe optique émerge du (DS) en passant par F’.

Tout rayon passant par le centre C du dioptre n’est pas dévié.

2.5-a Construction de l’image d’un objet AB

48

n1>n2

2.5-b Construction de l’image d’un objet AB

n < n

F’ S

C F

B

A A′

B′

Dioptre divergent

49

n n’

Φ

F′ S C F

n n′

PFO

Foyers secondaires, Plan focal

objet et Plan focal image

Φ ( foyer secondaire objet).

Φ′ ( foyer secondaire image).

PFO : plan focal objet

PFI : plan focal image

F F′

n′ n

PFI

Φ′

PFI

F′

PFO

F

50

Φ

A′

I

F′ S C F

A

n PFI

Dioptre convergent (n > n′ )

2.6- a Construction d’un rayon quelconque

(En utilisant le foyer secondaire image)

Tous les rayons parallèles à AI convergent à la sortie en Φ′ ( foyer secondaire image).

Tout point appartenant au plan focal image est appelé foyer

secondaire image Φ′ .

n′

51

A’

I

F’ S C F

A

n PFI

2.6- a Construction d’un rayon quelconque

(En utilisant le foyer secondaire image)

n′

Dioptre convergent (n > n′ )

Φ

52

Φ

I

F’ S C F

A

n

PFO

A’

2.6-b Construction d’un rayon quelconque

(En utilisant le foyer secondaire objet)

On trace un rayon passant par le centre C du dioptre et le

foyer secondaire .

Le rayon réfracté est parallèle à C

On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan

focal objet.

n′

Dioptre convergent (n > n′ )

53

2.6-b Construction d’un rayon quelconque

(En utilisant le foyer secondaire objet)

I

F’

S C F

A

n PFO

Φ

n′

n< n

Dioptre divergent

54

2.7- Grandissement (linéaire) transversal γ

FA

SF

'SF

'A'F

CA

'CA

AB

'B'A

AB

'B'A

SA

'SA

'n

n

AB

'B'A

B’

( i

i’ A

B

A’ S

n 'n

C

) ’ (

I

55

2.8- Relation de Lagrange Helmholtz

Or

n> n

n n

A

B

L’invariant de Lagrange Helmholtz 56

L’invariant de Lagrange Helmholtz

2.9- Grandissement angulaire (grossissement) G

n> n

n n

A

B

On appelle grandissement angulaire le rapport des angles et

que font les rayons incidents et émergent correspondant.

Formule de Lagrange Helmholtz 57

G=𝜶′

𝜶

G 𝜸=𝒏

𝒏′ 𝑨′𝑩′

𝑨𝑩

𝜶′

𝜶=

𝒏

𝒏′

les points de Weierstrass (ou points d’Young) objet et image

2.10. Stigmatisme rigoureux ?

Le dioptre sphérique est rigoureusement stigmatique pour :

son centre (car objet et image sont confondus).

Les points de la surface du dioptre.

58

Cas du dioptre plan

Grandissement

'

'

SA

n

SA

n

Equivalent au : Dioptre sphérique de rayon infini

Relation de

conjugaison

Dioptre plan Dioptre Sphérique

= 1 SA

'SA

'n

n

AB

'B'A

Chap. 2 Miroirs et dioptres

59

Les relations de conjugaison et de grandissement d’un MS se

déduisent de celles d’un dioptre sphérique en posant : n′ = - n

Equivalent au Miroir sphérique n’=-n

Dioptre sphérique Miroir sphérique

SA

'SA

'n

n

AB

'B'A

1G

Formule de Lagrange Helmholtz

origine aux

foyers

Grandissement linéaire

relations de conjugaison avec :

origine au

sommet

origine

au centre CS'CACA

211

60