Chapitre 2
systèmes optiques simples : Miroirs et dioptres
A. MIROIRS
Miroir plan
Miroirs sphériques
B. DIOPTRES
Dioptre plan
Dioptres sphériques
1
Im
age
d’u
n p
oint
A.1. Miroir plan (MP)
Un miroir plan est une surface plane capable de réfléchir la lumière
presque en totalité.
A : Objet réel : A’ : Image virtuelle.
ʹ
Formule de conjugaison
d’un miroir plan
Objet et image ont symétriques par
rapport au plan du miroir.
= -
Le triangle AHI et A′HI
sont égaux
1.1 : Formule de conjugaison d’un miroir plan :
2
A’
B’
Miroir plan
B
A
AB : objet réel
AB : image virtuelle
Mir
oir
p
lan
Le grandissement transverse
(parallèle au miroir) est :
Dans le cas du miroir plan, l’image est donc « droite
(>0)» et de même taille que l’objet :
1.3 : Image d’un objet étendu
3
A A’
B B’
Autres exemples
4
A
A’
B
B’
Remarque: Le grandissement axial (perpendiculaire au miroir)
est de -1 : image renversée (<0) 5
Mir
oir
p
lan
a- Translation
Lorsque le miroir se déplace de d, l'image correspondante se
déplace de 2d
b- Rotation
Le miroir tourne d'un angle , l’image
tourne dans le même sens de 2
1.4 : Déplacement du miroir
6
A’
Miroir plan
A
Espaces objet et image réels Espaces objet et image virtuels
r
i
Objet réel Image virtuelle
Axe optique
Lumière
+
Le miroir plan est stigmatique pour tous les points de
l’espace.
H
= -
1.5 :Stigmatisme rigoureux ?
7
M Concave (ou convergent )
0SC
S : sommet
+
C : centre
M Convexe ( divergent )
C : centre
0SC+
A.2. Miroirs sphériques (MS)
2.1. Définition : C’est une surface sphérique (calotte)
réfléchissante défini par son axe optique, son centre et son
sommet S. On distingue deux types de miroirs sphériques.
mir
oir
sp
hér
ique
8
A A’
) ) ’
i (
i’
H C S
) w
I
2.2. Relation de conjugaison et grandissement
1. Formule de conjugaison a-Avec origine au sommet
mir
oir
sp
hér
ique
Dans l’approximation de Gauss H et S sont confondus On a :
; ;
10
i = - i’ La normale
w = - i i = - w
= w + i i = - w
La loi de la réflexion : i = - i′ - w = w -
+ = 2 w
Le triangle : (CIA)
11 Formule de conjugaison avec origine au sommet
mir
oir
sp
hér
ique
(π-w) + - i = π
(π-’) + w + i’ = π Le triangle :(CIA′)
b. Relation de conjugaison
avec origine au centre
CSCACA
2
'
11
mir
oir
sp
hér
ique
C
( i
i’
A
B
A’
B’
S
12
Formule de conjugaison avec origine au sommet
Formule de conjugaison avec origine au centre
2 - Grandissement
i = - i
mir
oir
sp
hér
ique
C
( i
i’ A
B
A’
B’
S
13 CA
'CA
b. Grandissement linéaire avec origine au centre
a. Grandissement linéaire avec origine au sommet
Avec l’approximation de GAUSSE
A’
B’
B
A C
AB
BA
CA
CA '''La relation
de Thalès
C
S
+
F
Miroir concave convergent
2.3. Position des foyers
a. Foyer objet
objet A au foyer objet image A’ à l’infini
Le foyer objet est
au milieu de
f : distance focale objet
F : foyer objet=F’
A′ à l’
14
C S
+
F ou F’
Miroir convexe divergent
b. Foyer image
objet A à l’infini image A’ au foyer image
F F
les deux foyers principaux d'un
miroir sphérique sont confondus et
de même nature, sont réels si le
miroir est concave, virtuels si le
miroir est convexe. 15
16
c. Formules de Newton
:helmholtzLagrangedeFormule 1G
Grandissement linéaire avec origine au foyer
FA
SF
SF
AF
'
''
Relation de conjugaison avec origine au foyer
2.4. Vergence d’un miroir sphérique
•Un miroir convexe est divergent (V < 0).
On appelle vergence du miroir, la quantité notée V :
L’unité S.I de vergence est le m-1 ou dioptrie (symbole δ).
• Un miroir concave est convergent (V > 0),
17
B
F
S C A
Règles de construction :
Tout rayon passant par le centre du miroir se réfléchit sur lui même;
Tout rayon parallèle à l’axe optique est réfléchi en passant par le
foyer F’ ou F du miroir ;
Tout rayon qui passe par le foyer F, est réfléchi parallèlement
l’axe optique.
A’
B’
2.6. Construction de l'image d'un objet
19
Construction de l'image d'un objet
Remarque :
- Le miroir concave ne donne jamais d’image virtuelle d’un objet
virtuel.
- Le miroir convexe ne donne jamais d’image réelle d’un objet réel.
mir
oir
sp
hér
ique
C S
+
F′
B′
A′ A
B
20
objet réel, image réelle objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle
Objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle objet virtuel, image virtuelle
- Le miroir concave ne donne jamais d’image virtuelle d’un objet virtuel.
- Le miroir convexe ne donne jamais d’image réelle d’un objet réel. 21
- les points de sa surface réfléchissante.
2.7. Stigmatisme rigoureux ? m
iro
ir sp
hér
ique
Les seuls points rigoureusement stigmatiques pour un
miroir sphérique sont:
- son centre de courbure C
22
Cas du miroir plan
Grandissement
Equivalent au : Miroir sphérique de rayon infini
Relation de
conjugaison
Miroir plan Miroir Sphérique
= 1
SC'SASA
211 'SASA
23
Image
d’u
n p
oint
I
1.1. Définition : Un dioptre est une surface de séparation
entre deux milieux d’indice différent
A1 : Source, Objet réel
A2 : Image virtuelle
La position de l’image A2 dépend de
l’angle d’incidence i1 .
B.1. Dioptre plan (DP)
24
pas de stigmatisme rigoureux
Dio
ptr
e pla
n
Dans les conditions de Gauss (petits angles), on a:
A1 A2 n1 n2
Relation de conjugaison
d’un dioptre plan
1.3. Image d’un point
Donc :
26
Tan α = sin α = α
Tan i1 = i1 ; Tan i2 = i2 et n1 i1 = n2 i2
La relation
=𝐻𝐴1 𝑖1
𝑖2
B
A
n n’
A’
B’
DP Cas où n n’
Espaces objet réel
et image virtuel Espaces objet virtuel
et image réel
1.4. Image d’un objet étendu
AB : objet réel
AB : image virtuelle
L’image d’un objet plan parallèle au dioptre est une image plane
parallèle au dioptre et de même dimension. aplanétique.
Le grandissement linéaire est alors:
Dio
ptr
e pla
n
a1. Cas de l'objet AB parallèle à la surface du dioptre
28
DIO
PT
RE
SP
HÉ
RIQ
UE
B.2. DIOPTRE SPHÉRIQUE
Concave : 0SC
n n’
C : centre S : sommet
+
Définition : Un dioptre sphérique est une surface sphérique
réfringente, séparant deux milieux homogènes et transparents
d’indice différents.
Convexe : 𝑆𝐶 >0
C S
n n’ +
33
Dioptre convergent : si R = 𝑆𝐶et (n2-n1) ont le même signe
Dioptre divergent : si R = 𝑆𝐶et (n2-n1) ont un signe différent
Dans chaque cas, le
dioptre peut être :
35
DIO
PT
RE
SP
HÉ
RIQ
UE
2.1- Formules de conjugaison
avec origine au sommet
avec origine au centre
2.2- Grandissement
avec origine au sommet
Attention au signe des angles: positifs dans le sens trigonométrique,
négatifs en sens inverse (sens des aiguilles d’une montre).
n i = n i
B’
A
B
A’ ( i
i’
S
n 'n
C
+
+ +
n > n′
𝜸 =𝑨′𝑩′
𝑨𝑩 =
𝒏
𝒏′
𝑺𝑨′
𝑺𝑨
37
2.2.Grandissement avec origine au centre
A A
C n n’
VCS
'nn
CA
'n
'CA
n
Formule de conjugaison
Grandissement
linéaire
B’
A
B
A’ ( i
i’
S
n 'n
C
Appliquons le théorème de Thalès
aux triangles : (CAB) et (CA′B′) n > n′
39
Foyer objet : C’est le point conjugué dont l’image est à
l’infini sur l’axe optique.
f : distance focale objet
F : foyer objet 'nn
nSCSFf
SC
'nn
SF
n
2.3.1. Foyer objet, distance focale objet et
plan focal objet
objet A au foyer image A’ à l’infini
Le plan perpendiculaire à l’axe optique en F est le plan focal objet.
F
P.F.O SC
'nn
'SA
'n
SA
n
A′ à l’
A
40
SF
n
n n’
S C
2.3.2. Foyer image, distance focale image
et plan focal image
n'n
'nSC'SF'f
objet A à l’infini image A’ au foyer image
F’ : foyer image
f’ : distance focale image
SC
n'n
'SF
'n
Foyer image : C’est le point conjugué dont l’objet est à l’infini
sur l’axe optique.
Le plan perpendiculaire à l’axe optique en F est le plan focal image.
P.F.I
F’
n n’ SC
'nn
'SA
'n
SA
n
A à l’
A′
41
'
'
SF
n
c s
Si les foyers sont à l’infini le système
est dit ”AFOCAL”.
Pour un système optique, les foyers principaux image
et objet sont uniques.
le dioptre plan réalise
un système afocal.
42
Remarques
SF
n
'SF
'n
SA
n
'SA
'n
F F’ C S
Ces relations permettent de placer un foyer quand on connaît l’autre.
Les distances focales ont des signes opposés.
Les foyers sont tous les deux réels ou tous les deux virtuels.
Le milieu du segment [FF] coïncide avec celui du segment [SC]
Il n’y a jamais de foyer entre S et C.
On a : ;
43
2.2 Autres formes de la relation de conjugaison
1'
'
SA
SF
SA
SF Relation de Descartes
Relation de Newton avec
origine aux foyers
F F′
A A′ S
SF
n
'SF
'n
SA
n
'SA
'n
Relation de Chasles
44
2.4- Vergence d’un dioptre
C’est la quantité :
SF
n
'SF
'n
SC
n'nV
Si V < 0 (f < 0)
Si V > 0 (f > 0) dioptre convergent
dioptre divergent
mesurée en dioptrie ()
qd R est en (m)
45
Concave n > n’ Convexe n < n’
Dioptre convergent Dioptre convergent
Dioptres convergents
Un dioptre est convergent si les foyers sont réels et
son centre C est situé dans le milieu le plus réfringent .
n n n n
SF
n
'SF
'n
SC
n'nV
46
Concave n < n’ Convexe n > n’
Dioptre divergent Dioptre divergent
Dioptres divergents
Un dioptre est divergent si les foyers sont virtuels et son
centre C est situé dans le milieu le moins réfringent .
n n n
n
SF
n
'SF
'n
SC
n'nV
47
F’
S C F
B
A
n1 n2
A’
B’
Utilisation de 3 rayons particuliers :
Tout rayon passant par F ressort du (DS) // à l’axe optique.
Tout rayon // à l’axe optique émerge du (DS) en passant par F’.
Tout rayon passant par le centre C du dioptre n’est pas dévié.
2.5-a Construction de l’image d’un objet AB
48
n1>n2
2.5-b Construction de l’image d’un objet AB
n < n
F’ S
C F
B
A A′
B′
Dioptre divergent
49
n n’
Φ
F′ S C F
n n′
PFO
Foyers secondaires, Plan focal
objet et Plan focal image
Φ ( foyer secondaire objet).
Φ′ ( foyer secondaire image).
PFO : plan focal objet
PFI : plan focal image
F F′
n′ n
PFI
Φ′
PFI
F′
PFO
F
50
Φ
A′
I
F′ S C F
A
n PFI
Dioptre convergent (n > n′ )
2.6- a Construction d’un rayon quelconque
(En utilisant le foyer secondaire image)
Tous les rayons parallèles à AI convergent à la sortie en Φ′ ( foyer secondaire image).
Tout point appartenant au plan focal image est appelé foyer
secondaire image Φ′ .
n′
51
A’
I
F’ S C F
A
n PFI
2.6- a Construction d’un rayon quelconque
(En utilisant le foyer secondaire image)
n′
Dioptre convergent (n > n′ )
Φ
52
Φ
I
F’ S C F
A
n
PFO
A’
2.6-b Construction d’un rayon quelconque
(En utilisant le foyer secondaire objet)
On trace un rayon passant par le centre C du dioptre et le
foyer secondaire .
Le rayon réfracté est parallèle à C
On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan
focal objet.
n′
Dioptre convergent (n > n′ )
53
2.6-b Construction d’un rayon quelconque
(En utilisant le foyer secondaire objet)
I
F’
S C F
A
n PFO
Φ
n′
n< n
Dioptre divergent
54
2.7- Grandissement (linéaire) transversal γ
FA
SF
'SF
'A'F
CA
'CA
AB
'B'A
AB
'B'A
SA
'SA
'n
n
AB
'B'A
B’
( i
i’ A
B
A’ S
n 'n
C
) ’ (
I
55
2.8- Relation de Lagrange Helmholtz
Or
n> n
n n
A
B
L’invariant de Lagrange Helmholtz 56
L’invariant de Lagrange Helmholtz
2.9- Grandissement angulaire (grossissement) G
n> n
n n
A
B
On appelle grandissement angulaire le rapport des angles et
que font les rayons incidents et émergent correspondant.
Formule de Lagrange Helmholtz 57
G=𝜶′
𝜶
G 𝜸=𝒏
𝒏′ 𝑨′𝑩′
𝑨𝑩
𝜶′
𝜶=
𝒏
𝒏′
les points de Weierstrass (ou points d’Young) objet et image
2.10. Stigmatisme rigoureux ?
Le dioptre sphérique est rigoureusement stigmatique pour :
son centre (car objet et image sont confondus).
Les points de la surface du dioptre.
58
Cas du dioptre plan
Grandissement
'
'
SA
n
SA
n
Equivalent au : Dioptre sphérique de rayon infini
Relation de
conjugaison
Dioptre plan Dioptre Sphérique
= 1 SA
'SA
'n
n
AB
'B'A
Chap. 2 Miroirs et dioptres
59
Les relations de conjugaison et de grandissement d’un MS se
déduisent de celles d’un dioptre sphérique en posant : n′ = - n
Equivalent au Miroir sphérique n’=-n
Dioptre sphérique Miroir sphérique
SA
'SA
'n
n
AB
'B'A
1G
Formule de Lagrange Helmholtz
origine aux
foyers
Grandissement linéaire
relations de conjugaison avec :
origine au
sommet
origine
au centre CS'CACA
211
60