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Chapitre 3 : Langages et grammaires
hors-contexte
Prof. Abdelmajid DarghamFaculté des Sciences, Oujda
Filière SMI - S4
Module Théorei des langages & Compilation
Université Mohamed Premier
Septembre, 2012
Sommaire du chapitre 3
Généralités sur les GHC
Propriétés des dérivations
Propriétés des langages hors-contexte
Simplification des grammaires hors-contexte
Lemme de pompage pour langages hors-contexte
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Sommaire du chapitre 3
Généralités sur les GHC
Propriétés des dérivations
Propriétés des langages hors-contexte
Simplification des grammaires hors-contexte
Lemme de pompage pour langages hors-contexte
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Sommaire du chapitre 3
Généralités sur les GHC
Propriétés des dérivations
Propriétés des langages hors-contexte
Simplification des grammaires hors-contexte
Lemme de pompage pour langages hors-contexte
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Sommaire du chapitre 3
Généralités sur les GHC
Propriétés des dérivations
Propriétés des langages hors-contexte
Simplification des grammaires hors-contexte
Lemme de pompage pour langages hors-contexte
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Sommaire du chapitre 3
Généralités sur les GHC
Propriétés des dérivations
Propriétés des langages hors-contexte
Simplification des grammaires hors-contexte
Lemme de pompage pour langages hors-contexte
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Grammaire hors-contexte
Définition 1.1
Une grammaire hors-contexte est un quadrupletG = (V , T , P , S) où :
V est un ensemble fini, appelé alphabet des variables ounon-terminaux.
T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.
S ∈ V est un symbole variable spécial, appelé axiome.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Grammaire hors-contexte
Définition 1.1
Une grammaire hors-contexte est un quadrupletG = (V , T , P , S) où :
V est un ensemble fini, appelé alphabet des variables ounon-terminaux.
T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.
S ∈ V est un symbole variable spécial, appelé axiome.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Grammaire hors-contexte
Définition 1.1
Une grammaire hors-contexte est un quadrupletG = (V , T , P , S) où :
V est un ensemble fini, appelé alphabet des variables ounon-terminaux.
T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.
P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.
S ∈ V est un symbole variable spécial, appelé axiome.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Grammaire hors-contexte
Définition 1.1
Une grammaire hors-contexte est un quadrupletG = (V , T , P , S) où :
V est un ensemble fini, appelé alphabet des variables ounon-terminaux.
T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.
S ∈ V est un symbole variable spécial, appelé axiome.
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Généralités sur les GHC
Grammaire hors-contexte
Définition 1.1
Une grammaire hors-contexte est un quadrupletG = (V , T , P , S) où :
V est un ensemble fini, appelé alphabet des variables ounon-terminaux.
T est un ensemble fini, appelé alphabet des terminaux.V et T sont disjoints : V ∩ T = ∅.P ⊆ V × (V ∪ T )∗ est un ensemble fini, appelé ensembledes règles de prodution.
S ∈ V est un symbole variable spécial, appelé axiome.
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Généralités sur les GHC
Notations 1.2
Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.
X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.
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Généralités sur les GHC
Notations 1.2
Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.
On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.
X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.
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Généralités sur les GHC
Notations 1.2
Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).
X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.
X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.
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Généralités sur les GHC
Notations 1.2
Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.
X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.
X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.
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Généralités sur les GHC
Notations 1.2
Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.
X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Notations 1.2
Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.
X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.
Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.
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Généralités sur les GHC
Notations 1.2
Une règle de production (ou production) r ∈ P est uncouple r = (X , α), où X ∈ V et α ∈ (V ∪ T )∗.On écrit souvent : X → α au lieu de (X , α).X → α se lit ”X peut se récrire comme α”.X s’appelle le membre gauche de la production, et α lemembre droit de la production.
X → α s’appelle aussi une production issue de X ouune X−production.Lorsqu’il y a n X−productions : X → α1, ..., X → αn, onnote X → α1|α2|...|αn.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.3
Voici un fragment de règles de production qui décriventquelques instructions du langage C :instruction → ε ; | variable = expression;| {liste − instructions}| if (expression) instruction| if (expression) instruction else instruction| for (expression; expression; expression) instruction| while (expression) instruction| do instruction while (expression)
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.3
Voici un fragment de règles de production qui décriventquelques instructions du langage C :
instruction → ε ; | variable = expression;| {liste − instructions}| if (expression) instruction| if (expression) instruction else instruction| for (expression; expression; expression) instruction| while (expression) instruction| do instruction while (expression)
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.3
Voici un fragment de règles de production qui décriventquelques instructions du langage C :instruction → ε ; | variable = expression;| {liste − instructions}| if (expression) instruction| if (expression) instruction else instruction| for (expression; expression; expression) instruction| while (expression) instruction| do instruction while (expression)
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :
E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | T
T → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | F
F → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.
l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.
l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.4
Une forme simplifiée des expressions arithmétiques est décritepar les productions suivantes :E → E + T | TT → T ∗ F | FF → (E ) | a | b | c
Ici :
l’alphabet des variables est {E , T , F}.l’alphabet terminal est {+, ∗, (, ), a, b, c}.l’axiome est E .
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.5
Soit G = (V , T , P , S) une grammaire hors-contexte(GHC ).
On appelle forme, un mot w sur l’alphabet V ∪ T,c’est-à-dire w ∈ (V ∪ T )∗.On dit qu’une forme v dérive directement ou dériveen une seule étape d’une forme u, et l’on écrit u ⇒ v,s’il existe deux factorisations u = xXy et v = xαy , avecX → α une production de G.
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.5
Soit G = (V , T , P , S) une grammaire hors-contexte(GHC ).
On appelle forme, un mot w sur l’alphabet V ∪ T,c’est-à-dire w ∈ (V ∪ T )∗.On dit qu’une forme v dérive directement ou dériveen une seule étape d’une forme u, et l’on écrit u ⇒ v,s’il existe deux factorisations u = xXy et v = xαy , avecX → α une production de G.
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.5
Soit G = (V , T , P , S) une grammaire hors-contexte(GHC ).
On appelle forme, un mot w sur l’alphabet V ∪ T,c’est-à-dire w ∈ (V ∪ T )∗.
On dit qu’une forme v dérive directement ou dériveen une seule étape d’une forme u, et l’on écrit u ⇒ v,s’il existe deux factorisations u = xXy et v = xαy , avecX → α une production de G.
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.5
Soit G = (V , T , P , S) une grammaire hors-contexte(GHC ).
On appelle forme, un mot w sur l’alphabet V ∪ T,c’est-à-dire w ∈ (V ∪ T )∗.On dit qu’une forme v dérive directement ou dériveen une seule étape d’une forme u, et l’on écrit u ⇒ v,s’il existe deux factorisations u = xXy et v = xαy, avecX → α une production de G.
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v, s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v .Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v, s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v .Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v , s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v .Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
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Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v , s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.
2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v .Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v , s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.
3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v .Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v , s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v .Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v , s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v.
Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Formes et dérivations
Définition 1.6
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, u et v deux formessur G et k un entier.
On dit que v dérive en k étapes de u, et l’on écritu ⇒k v , s’il existe des formes u0, u1, ..., uk tels que :
1 u0 = u.2 ui−1 ⇒ ui , 1 ≤ i ≤ k.3 uk = v.
Si k ≥ 0, on écrit u ⇒∗ v, et si k > 0, on écrit u ⇒+ v.Par convention, toute forme u dérive d’elle même en 0étapes : u ⇒0 u.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).
2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).
3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).
4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).
5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).
6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).
7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).
8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.7
Dans la grammaire de l’exemple 1.4, on aE ⇒∗ a ∗ b + c. En effet :
1 E ⇒ E + T, (règle E → E + T ).2 E + T ⇒ T + T, (règle E → T ).3 T + T ⇒ T ∗ F + T, (règle T → T ∗ F ).4 T ∗ F + T ⇒ T ∗ b + T, (règle F → b).5 T ∗ b + T ⇒ F ∗ b + T, (règle T → F ).6 F ∗ b + T ⇒ F ∗ b + F , (règle T → F ).7 F ∗ b + F ⇒ a ∗ b + F , (règle F → a).8 a ∗ b + F ⇒ a ∗ b + c, (règle F → c).
Donc, E ⇒8 a ∗ b + c.
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Généralités sur les GHC
Langage engendré par une GHC
Définition 1.8
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Le langage engendré par G est formé par tous les motsde T ∗ (mots terminaux) qui dérivent de l’axiome S de G.
La langage engendré par G se note par L(G ).
Formellement : L(G ) = {w ∈ T ∗ | S ⇒∗ w}.
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Généralités sur les GHC
Langage engendré par une GHC
Définition 1.8
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Le langage engendré par G est formé par tous les motsde T ∗ (mots terminaux) qui dérivent de l’axiome S de G.
La langage engendré par G se note par L(G ).
Formellement : L(G ) = {w ∈ T ∗ | S ⇒∗ w}.
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Généralités sur les GHC
Langage engendré par une GHC
Définition 1.8
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Le langage engendré par G est formé par tous les motsde T ∗ (mots terminaux) qui dérivent de l’axiome S de G.
La langage engendré par G se note par L(G ).
Formellement : L(G ) = {w ∈ T ∗ | S ⇒∗ w}.
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Généralités sur les GHC
Langage engendré par une GHC
Définition 1.8
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Le langage engendré par G est formé par tous les motsde T ∗ (mots terminaux) qui dérivent de l’axiome S de G.
La langage engendré par G se note par L(G ).
Formellement : L(G ) = {w ∈ T ∗ | S ⇒∗ w}.
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Généralités sur les GHC
Langage engendré par une GHC
Définition 1.8
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Le langage engendré par G est formé par tous les motsde T ∗ (mots terminaux) qui dérivent de l’axiome S de G.
La langage engendré par G se note par L(G ).
Formellement : L(G ) = {w ∈ T ∗ | S ⇒∗ w}.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.9
1 Soit G1 définie par : S → ε | a.Alors, L(G1) = {ε, a}.
2 Soit G2 définie par : S → a | aSa.Alors, L(G2) = {a2n+1|n ≥ 0} = a(a2)∗.
3 Soit G3 définie par : S → ε | aSb.Alors, L(G3) = {anbn|n ≥ 0}.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.9
1 Soit G1 définie par : S → ε | a.Alors, L(G1) = {ε, a}.
2 Soit G2 définie par : S → a | aSa.Alors, L(G2) = {a2n+1|n ≥ 0} = a(a2)∗.
3 Soit G3 définie par : S → ε | aSb.Alors, L(G3) = {anbn|n ≥ 0}.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.9
1 Soit G1 définie par : S → ε | a.Alors, L(G1) = {ε, a}.
2 Soit G2 définie par : S → a | aSa.Alors, L(G2) = {a2n+1|n ≥ 0} = a(a2)∗.
3 Soit G3 définie par : S → ε | aSb.Alors, L(G3) = {anbn|n ≥ 0}.
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Généralités sur les GHC
Exemples 1.9
1 Soit G1 définie par : S → ε | a.Alors, L(G1) = {ε, a}.
2 Soit G2 définie par : S → a | aSa.Alors, L(G2) = {a2n+1|n ≥ 0} = a(a2)∗.
3 Soit G3 définie par : S → ε | aSb.Alors, L(G3) = {anbn|n ≥ 0}.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les
nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les
nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.
Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les
nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les
nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .
2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les
nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.
3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les
nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.
4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont lesnœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.10
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soit X ⇒k u une dérivation en k étapes d’une forme u àpartir d’un symbole variable X ∈ V de G.Il est possible de représenter cette dérivation à l’aide d’unarbre D de la manière suivante :
1 La racine de D est le nœud X .2 Les nœuds internes de D sont les symboles variables.3 Les feuilles de D sont des symboles de u.4 Si Y est un nœud interne de D et si Z1, ...,Zn sont les
nœuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y → Z1...Zn estune production de G.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.11
L’arbre D s’appelle un arbre de dérivation de u à partirde X .
Si X = S (l’axiome de G ) et si u ∈ T ∗ (un mot terminal),on dit que D est un arbre de dérivation total.
Sinon, l’arbre D est dit arbre de dérivation partiel.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.11
L’arbre D s’appelle un arbre de dérivation de u à partirde X .
Si X = S (l’axiome de G ) et si u ∈ T ∗ (un mot terminal),on dit que D est un arbre de dérivation total.
Sinon, l’arbre D est dit arbre de dérivation partiel.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.11
L’arbre D s’appelle un arbre de dérivation de u à partirde X .
Si X = S (l’axiome de G ) et si u ∈ T ∗ (un mot terminal),on dit que D est un arbre de dérivation total.
Sinon, l’arbre D est dit arbre de dérivation partiel.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Définition 1.11
L’arbre D s’appelle un arbre de dérivation de u à partirde X .
Si X = S (l’axiome de G ) et si u ∈ T ∗ (un mot terminal),on dit que D est un arbre de dérivation total.
Sinon, l’arbre D est dit arbre de dérivation partiel.
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.12
Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :
E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.12
Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.
Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :
E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.12
Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :
E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.12
Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :
E ⇒ ( E )
( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.12
Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :
E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )
( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.12
Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :
E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )
( a + E ) ⇒ ( a + b )
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.12
Soit la grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Voici une dérivation du mot w = (a + b) à partir del’axiome E :
E ⇒ ( E )( E ) ⇒ ( E + E )( E + E ) ⇒ ( a + E )( a + E ) ⇒ ( a + b )
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Généralités sur les GHC
Arbre de dérivation
Exemples 1.13
Figure: Un arbre de dérivation total pour le mot (a + b)
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Généralités sur les GHC
Grammaire ambiguë
Définition 1.14
Une grammaire G est dite ambiguë, si il existe au moinsun mot w terminal (w ∈ T ∗) ayant au moins deux arbresde dérivation distincts.
Exemples 1.15
La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.
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Généralités sur les GHC
Grammaire ambiguë
Définition 1.14
Une grammaire G est dite ambiguë, si il existe au moinsun mot w terminal (w ∈ T ∗) ayant au moins deux arbresde dérivation distincts.
Exemples 1.15
La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.
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Généralités sur les GHC
Grammaire ambiguë
Définition 1.14
Une grammaire G est dite ambiguë, si il existe au moinsun mot w terminal (w ∈ T ∗) ayant au moins deux arbresde dérivation distincts.
Exemples 1.15
La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.
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Généralités sur les GHC
Grammaire ambiguë
Définition 1.14
Une grammaire G est dite ambiguë, si il existe au moinsun mot w terminal (w ∈ T ∗) ayant au moins deux arbresde dérivation distincts.
Exemples 1.15
La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.
En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.
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Généralités sur les GHC
Grammaire ambiguë
Définition 1.14
Une grammaire G est dite ambiguë, si il existe au moinsun mot w terminal (w ∈ T ∗) ayant au moins deux arbresde dérivation distincts.
Exemples 1.15
La grammaire G définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c est ambiguë.En effet, le mot w = a ∗ b + c possède deux arbres dedérivation distincts.
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Généralités sur les GHC
Grammaire ambiguë
Figure: Deux arbres différents pour un même mot
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Définition 1.16
Soit G une GHC et u0, ..., uk une dérivation de u en v(u = u0, v = uk).
La dérivation est dite gauche si, à chaque étape de ladérivation, c’est la variable la plus à gauche qui estdérivée.
De même, la dérivation est dite droite si, à chaque étapede la dérivation, c’est la variable la plus à droite qui estdérivée.
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Définition 1.16
Soit G une GHC et u0, ..., uk une dérivation de u en v(u = u0, v = uk).
La dérivation est dite gauche si, à chaque étape de ladérivation, c’est la variable la plus à gauche qui estdérivée.
De même, la dérivation est dite droite si, à chaque étapede la dérivation, c’est la variable la plus à droite qui estdérivée.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Définition 1.16
Soit G une GHC et u0, ..., uk une dérivation de u en v(u = u0, v = uk).
La dérivation est dite gauche si, à chaque étape de ladérivation, c’est la variable la plus à gauche qui estdérivée.
De même, la dérivation est dite droite si, à chaque étapede la dérivation, c’est la variable la plus à droite qui estdérivée.
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Définition 1.16
Soit G une GHC et u0, ..., uk une dérivation de u en v(u = u0, v = uk).
La dérivation est dite gauche si, à chaque étape de ladérivation, c’est la variable la plus à gauche qui estdérivée.
De même, la dérivation est dite droite si, à chaque étapede la dérivation, c’est la variable la plus à droite qui estdérivée.
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.
Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;
2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;
3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;
4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;
5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.17
Considérons la grammaire définie parE → E + E | E ∗ E | (E ) | a | b | c.Une dérivation gauche du mot a ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E ∗ E + E;3 E ∗ E + E ⇒ a ∗ E +E;4 a ∗ E + E ⇒ a ∗ b + E;5 a ∗ b + E ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.18
Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.18
Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.18
Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;
2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.18
Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;
3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.18
Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;
4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.18
Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;
5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Dérivation gauche, dérivation droite
Exemples 1.18
Pour la même grammaire, une dérivation droite du mota ∗ b + c est la suivante :
1 E ⇒ E + E;2 E + E ⇒ E + c;3 E + c ⇒ E ∗ E + c;4 E ∗ E + c ⇒ E ∗ b + c;5 E ∗ b + c ⇒ a ∗ b + c;
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Généralités sur les GHC
Proposition 1.19
Il y a bijection entre les dérivations gauches d’un mot w àpartir de l’axiome S et les arbres de dérivation total pour lemot w.
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Généralités sur les GHC
Proposition 1.19
Il y a bijection entre les dérivations gauches d’un mot w àpartir de l’axiome S et les arbres de dérivation total pour lemot w.
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Généralités sur les GHC
Preuve
Soit D un arbre de dérivation total pour w .
On obtient une dérivation gauche en appliquant les règlesdans un parcours en profondeur gauche de l’arbre D.
Réciproquement, étant donné une dérivation gauche dumot w à partir de l’axiome S , on obtient facilement unarbre de dérivation total correspondant à cette dérivationgauche.
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Généralités sur les GHC
Preuve
Soit D un arbre de dérivation total pour w .
On obtient une dérivation gauche en appliquant les règlesdans un parcours en profondeur gauche de l’arbre D.
Réciproquement, étant donné une dérivation gauche dumot w à partir de l’axiome S , on obtient facilement unarbre de dérivation total correspondant à cette dérivationgauche.
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Généralités sur les GHC
Preuve
Soit D un arbre de dérivation total pour w .
On obtient une dérivation gauche en appliquant les règlesdans un parcours en profondeur gauche de l’arbre D.
Réciproquement, étant donné une dérivation gauche dumot w à partir de l’axiome S , on obtient facilement unarbre de dérivation total correspondant à cette dérivationgauche.
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Généralités sur les GHC
Preuve
Soit D un arbre de dérivation total pour w .
On obtient une dérivation gauche en appliquant les règlesdans un parcours en profondeur gauche de l’arbre D.
Réciproquement, étant donné une dérivation gauche dumot w à partir de l’axiome S , on obtient facilement unarbre de dérivation total correspondant à cette dérivationgauche.
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Généralités sur les GHC
Corollaire 1.20
G étant une GHC, pour tout mot terminal w ∈ L(G ), il y aautant de dérivations gauches que de dérivations droites.
Corollaire 1.21
Un mot terminal w est généré par une grammaire G(w ∈ L(G )), si et seulement si, il y au moins un arbre dedérivation total gauche (ou droite) pour w.
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Généralités sur les GHC
Corollaire 1.20
G étant une GHC, pour tout mot terminal w ∈ L(G ), il y aautant de dérivations gauches que de dérivations droites.
Corollaire 1.21
Un mot terminal w est généré par une grammaire G(w ∈ L(G )), si et seulement si, il y au moins un arbre dedérivation total gauche (ou droite) pour w.
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Généralités sur les GHC
Corollaire 1.20
G étant une GHC, pour tout mot terminal w ∈ L(G ), il y aautant de dérivations gauches que de dérivations droites.
Corollaire 1.21
Un mot terminal w est généré par une grammaire G(w ∈ L(G )), si et seulement si, il y au moins un arbre dedérivation total gauche (ou droite) pour w.
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Généralités sur les GHC
Corollaire 1.20
G étant une GHC, pour tout mot terminal w ∈ L(G ), il y aautant de dérivations gauches que de dérivations droites.
Corollaire 1.21
Un mot terminal w est généré par une grammaire G(w ∈ L(G )), si et seulement si, il y au moins un arbre dedérivation total gauche (ou droite) pour w.
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Propriétés des dérivations
Notations 1.22
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :
LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.
Corollaire 1.23
L(G ) = LG (S).
LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.
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Propriétés des dérivations
Notations 1.22
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :
LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.
Corollaire 1.23
L(G ) = LG (S).
LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.
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Propriétés des dérivations
Notations 1.22
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :
LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.
LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.
Corollaire 1.23
L(G ) = LG (S).
LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.
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Propriétés des dérivations
Notations 1.22
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :
LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.
Corollaire 1.23
L(G ) = LG (S).
LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.
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Propriétés des dérivations
Notations 1.22
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :
LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.
Corollaire 1.23
L(G ) = LG (S).
LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.
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Propriétés des dérivations
Notations 1.22
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :
LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.
Corollaire 1.23
L(G ) = LG (S).
LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.
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Propriétés des dérivations
Notations 1.22
Soient G = (V , T , P , S) une GHC, α une forme sur G etX un symbole variable de G. On pose :
LG (X ) = {w ∈ T ∗ | X ⇒∗ w}.LG (α) = {w ∈ T ∗ | α ⇒∗ w}.
Corollaire 1.23
L(G ) = LG (S).
LG (w) = {w}, si w ∈ T ∗.
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.24
Pour toutes formes α et β d’une GHC G, si α ⇒ β, alorsLG (β) ⊆ LG (α).
Lemme 1.25
Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.
Alors LG (α) = LG (β1) ∪ ... ∪ LG (βn).
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.24
Pour toutes formes α et β d’une GHC G, si α ⇒ β, alorsLG (β) ⊆ LG (α).
Lemme 1.25
Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.
Alors LG (α) = LG (β1) ∪ ... ∪ LG (βn).
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.24
Pour toutes formes α et β d’une GHC G, si α ⇒ β, alorsLG (β) ⊆ LG (α).
Lemme 1.25
Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.
Alors LG (α) = LG (β1) ∪ ... ∪ LG (βn).
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.24
Pour toutes formes α et β d’une GHC G, si α ⇒ β, alorsLG (β) ⊆ LG (α).
Lemme 1.25
Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).
Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.
Alors LG (α) = LG (β1) ∪ ... ∪ LG (βn).
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.24
Pour toutes formes α et β d’une GHC G, si α ⇒ β, alorsLG (β) ⊆ LG (α).
Lemme 1.25
Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.
Alors LG (α) = LG (β1) ∪ ... ∪ LG (βn).
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme 1.24
Pour toutes formes α et β d’une GHC G, si α ⇒ β, alorsLG (β) ⊆ LG (α).
Lemme 1.25
Soit α une forme d’une GHC G qui n’est pas un motterminal (α 6∈ T ∗).Soient {β1, ..., βn} l’ensemble des mots qui dériventimmédiatement (en une seule étape) de α.
Alors LG (α) = LG (β1) ∪ ... ∪ LG (βn).
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Propriétés des dérivations
Lemme de Levy
Lemme 1.26
Soient u, v , x et y quatre mots sur un alphabet A.
Alors uv = xy , si et seulement si, il existe un mot t de A∗
tel que :
soit u = xt et y = tv .soit x = ut et v = ty .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme de Levy
Lemme 1.26
Soient u, v , x et y quatre mots sur un alphabet A.
Alors uv = xy , si et seulement si, il existe un mot t de A∗
tel que :
soit u = xt et y = tv .soit x = ut et v = ty .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme de Levy
Lemme 1.26
Soient u, v , x et y quatre mots sur un alphabet A.
Alors uv = xy, si et seulement si, il existe un mot t de A∗
tel que :
soit u = xt et y = tv .soit x = ut et v = ty .
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Propriétés des dérivations
Lemme de Levy
Lemme 1.26
Soient u, v , x et y quatre mots sur un alphabet A.
Alors uv = xy, si et seulement si, il existe un mot t de A∗
tel que :
soit u = xt et y = tv .
soit x = ut et v = ty .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme de Levy
Lemme 1.26
Soient u, v , x et y quatre mots sur un alphabet A.
Alors uv = xy, si et seulement si, il existe un mot t de A∗
tel que :
soit u = xt et y = tv .soit x = ut et v = ty .
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Propriétés des dérivations
Preuve du lemme de Levy
Il y a trois cas possibles :
1 |u| = |x |, et alors |v | = |y |. Donc, u = x et y = v(t = ε).
2 |u| < |x |. Alors, u est un préfixe (propre) de x . Donc, ilexiste un mot t tel que x = ut, etxy = uv = uty ⇒ v = ty .
3 |u| > |x |. Alors, x est un préfixe (propre) de u. Donc, ilexiste un mot t tel que u = xt, etuv = xy = xtv ⇒ y = tv .
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Propriétés des dérivations
Preuve du lemme de Levy
Il y a trois cas possibles :
1 |u| = |x |, et alors |v | = |y |. Donc, u = x et y = v(t = ε).
2 |u| < |x |. Alors, u est un préfixe (propre) de x . Donc, ilexiste un mot t tel que x = ut, etxy = uv = uty ⇒ v = ty .
3 |u| > |x |. Alors, x est un préfixe (propre) de u. Donc, ilexiste un mot t tel que u = xt, etuv = xy = xtv ⇒ y = tv .
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Propriétés des dérivations
Preuve du lemme de Levy
Il y a trois cas possibles :
1 |u| = |x |, et alors |v | = |y |. Donc, u = x et y = v(t = ε).
2 |u| < |x |. Alors, u est un préfixe (propre) de x . Donc, ilexiste un mot t tel que x = ut, etxy = uv = uty ⇒ v = ty .
3 |u| > |x |. Alors, x est un préfixe (propre) de u. Donc, ilexiste un mot t tel que u = xt, etuv = xy = xtv ⇒ y = tv .
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Propriétés des dérivations
Preuve du lemme de Levy
Il y a trois cas possibles :
1 |u| = |x |, et alors |v | = |y |. Donc, u = x et y = v(t = ε).
2 |u| < |x |. Alors, u est un préfixe (propre) de x . Donc, ilexiste un mot t tel que x = ut, etxy = uv = uty ⇒ v = ty .
3 |u| > |x |. Alors, x est un préfixe (propre) de u. Donc, ilexiste un mot t tel que u = xt, etuv = xy = xtv ⇒ y = tv .
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Propriétés des dérivations
Preuve du lemme de Levy
Il y a trois cas possibles :
1 |u| = |x |, et alors |v | = |y |. Donc, u = x et y = v(t = ε).
2 |u| < |x |. Alors, u est un préfixe (propre) de x . Donc, ilexiste un mot t tel que x = ut, etxy = uv = uty ⇒ v = ty .
3 |u| > |x |. Alors, x est un préfixe (propre) de u. Donc, ilexiste un mot t tel que u = xt, etuv = xy = xtv ⇒ y = tv .
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.27
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v et w des formes sur G .
Alors uv ⇒ w, si et seulement si, il existe deux formesu′, v ′ telles que w = u′v ′ avec :
soit u ⇒ u′ et v = v ′.soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme 1.27
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v et w des formes sur G .
Alors uv ⇒ w, si et seulement si, il existe deux formesu′, v ′ telles que w = u′v ′ avec :
soit u ⇒ u′ et v = v ′.soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme 1.27
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v et w des formes sur G .
Alors uv ⇒ w, si et seulement si, il existe deux formesu′, v ′ telles que w = u′v ′ avec :
soit u ⇒ u′ et v = v ′.soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme 1.27
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v et w des formes sur G .
Alors uv ⇒ w, si et seulement si, il existe deux formesu′, v ′ telles que w = u′v ′ avec :
soit u ⇒ u′ et v = v ′.soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme 1.27
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v et w des formes sur G .
Alors uv ⇒ w, si et seulement si, il existe deux formesu′, v ′ telles que w = u′v ′ avec :
soit u ⇒ u′ et v = v ′.
soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.27
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v et w des formes sur G .
Alors uv ⇒ w, si et seulement si, il existe deux formesu′, v ′ telles que w = u′v ′ avec :
soit u ⇒ u′ et v = v ′.soit u = u′ et v ⇒ v ′ et .
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Preuve du lemme
La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :
1 soit xX est préfixe de u. Donc, il existe un mot t tel queu = xXt et tv = y . Posons u′ = xαt et v ′ = v . On abien u ⇒ u′ et w = u′v ′.
2 soit Xy est suffixe de v . Donc, il existe un mot t tel quev = tXy et ut = x . Posons u′ = u et v ′ = tαy . On abien v ⇒ v ′ et w = u′v ′.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Preuve du lemme
La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .
Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :
1 soit xX est préfixe de u. Donc, il existe un mot t tel queu = xXt et tv = y . Posons u′ = xαt et v ′ = v . On abien u ⇒ u′ et w = u′v ′.
2 soit Xy est suffixe de v . Donc, il existe un mot t tel quev = tXy et ut = x . Posons u′ = u et v ′ = tαy . On abien v ⇒ v ′ et w = u′v ′.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Preuve du lemme
La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :
1 soit xX est préfixe de u. Donc, il existe un mot t tel queu = xXt et tv = y . Posons u′ = xαt et v ′ = v . On abien u ⇒ u′ et w = u′v ′.
2 soit Xy est suffixe de v . Donc, il existe un mot t tel quev = tXy et ut = x . Posons u′ = u et v ′ = tαy . On abien v ⇒ v ′ et w = u′v ′.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Preuve du lemme
La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :
1 soit xX est préfixe de u. Donc, il existe un mot t tel queu = xXt et tv = y . Posons u′ = xαt et v ′ = v . On abien u ⇒ u′ et w = u′v ′.
2 soit Xy est suffixe de v . Donc, il existe un mot t tel quev = tXy et ut = x . Posons u′ = u et v ′ = tαy . On abien v ⇒ v ′ et w = u′v ′.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Preuve du lemme
La condition est suffisante : supposons que w = u′v ′ etu ⇒ u′ et v = v ′ (l’autre cas se traite de la même façon),alors uv ⇒ u′v = u′v ′ = w .Réciproquement, si uv ⇒ w , alors il existe unedécomposition uv = xXy et une production X → α telleque w = xαy . Il y a deux cas possibles :
1 soit xX est préfixe de u. Donc, il existe un mot t tel queu = xXt et tv = y . Posons u′ = xαt et v ′ = v . On abien u ⇒ u′ et w = u′v ′.
2 soit Xy est suffixe de v . Donc, il existe un mot t tel quev = tXy et ut = x . Posons u′ = u et v ′ = tαy . On abien v ⇒ v ′ et w = u′v ′.
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.
Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.
u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.
v ⇒k2 v ′.
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Propriétés des dérivations
Lemme 1.28
Soit G = (V , T , P , S) une GHC.
Soient u, v , u′ et v ′ des formes sur G .
Si u ⇒k1 u′ et v ⇒k2 v ′, alors uv ⇒k1+k2 u′v ′.Réciproquement, si uv ⇒k u′v ′, alors il existe deuxentiers k1 et k2 tels que :
k = k1 + k2.u ⇒k1 u′.v ⇒k2 v ′.
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Propriétés des langages hors-contexte
Définition 1.29
Un langage L est dit hors-contexte, s’il est engendré parune GHC.
Formellement, un langage L est hors-contexte, si etseulement, il existe une GHC G telle queL = L(G ) = LS(G ).
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Propriétés des langages hors-contexte
Définition 1.29
Un langage L est dit hors-contexte, s’il est engendré parune GHC.
Formellement, un langage L est hors-contexte, si etseulement, il existe une GHC G telle queL = L(G ) = LS(G ).
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Propriétés des langages hors-contexte
Définition 1.29
Un langage L est dit hors-contexte, s’il est engendré parune GHC.
Formellement, un langage L est hors-contexte, si etseulement, il existe une GHC G telle queL = L(G ) = LS(G ).
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Propriétés des langages hors-contexte
Theorem 1.30
La classe des langages hors-contexte est close paropérations régulières, c’est-à-dire par :
1 union.2 concaténation.3 étoile.
La classe des langages hors-contexte est close par miroir.
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Propriétés des langages hors-contexte
Theorem 1.30
La classe des langages hors-contexte est close paropérations régulières, c’est-à-dire par :
1 union.2 concaténation.3 étoile.
La classe des langages hors-contexte est close par miroir.
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Propriétés des langages hors-contexte
Theorem 1.30
La classe des langages hors-contexte est close paropérations régulières, c’est-à-dire par :
1 union.
2 concaténation.3 étoile.
La classe des langages hors-contexte est close par miroir.
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Propriétés des langages hors-contexte
Theorem 1.30
La classe des langages hors-contexte est close paropérations régulières, c’est-à-dire par :
1 union.2 concaténation.
3 étoile.
La classe des langages hors-contexte est close par miroir.
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Propriétés des langages hors-contexte
Theorem 1.30
La classe des langages hors-contexte est close paropérations régulières, c’est-à-dire par :
1 union.2 concaténation.3 étoile.
La classe des langages hors-contexte est close par miroir.
Prof. Abdelmajid Dargham Chapitre 3 : Langages et grammaires hors-contexte
Propriétés des langages hors-contexte
Theorem 1.30
La classe des langages hors-contexte est close paropérations régulières, c’est-à-dire par :
1 union.2 concaténation.3 étoile.
La classe des langages hors-contexte est close par miroir.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}
On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}
On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}
On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}
On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.
V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}
On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}
P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}
On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par union
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer que V1 et V2 sont disjoints.
Soit la grammaire G = (V , T , P , S) définie par :
S : un nouveau symbole, l’axiome.V = V1 ∪ V2 ∪ {S}P = P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 | S2}
On a : L(G ) = LG (S1) ∪ LG (S2) = L1 ∪ L2.
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Propriétés des langages hors-contexte
Preuve de la clôture par concaténation
Soient L1 et L2 deux langages hors-contexte sur un mêmealphabet T .
Il existe deux grammaires G1 = (V1, T , P1, S1) etG2 = (V2, T , P2, S2) telles que L(G1) = L1 et L(G2) = L2.On peut toujours supposer qu