Chapitre 4

Les séries chronologiques

Chapitre 4 : Les séries chronologiques

Cela concerne l’étude de l’évolution d’une variable statistique (Y)

3 buts :

A) Décrire l’évolution

B) Permettre l’explication des fluctuations

C) Faciliter la prévision (le passé peut expliquer le futur)

Chapitre 4

1. Présentation des Séries chronologiques

1.1 Les principes de base

Définition 1: une SC (ou ST) est une suite d’observation chiffrée ordonnées dans le temps.

Ex : la VA des entreprises, etc.

Remarque : la prise en compte du temps n’est pas forcément évidente (intervalles, durée, etc.)

Définition 2 : y=f(t)

Chapitre 4

1.2 La décomposition du mouvement brut et les modèles théoriques

Quelques questions :1) Y croit ou décroit ?2) Les variations de Y sont-elles courtes et

régulières ?3) Y a-t-il des fluctuations exceptionnelles ?Il faut donc déterminer les éléments qui constituent

l’évolution de Y : ce sont les composantes de l’évolution globale.

Chapitre 4

1.3 Les composantes d’une série (graphique suivant)

- Le trend ou la tendance : il lisse la série

(Le cycle : fluctuation autour du trend)

- Variations saisonnières

- Variations accidentelles

Une série avec tendance et saisonnalité (IPI)

Date

IPI

160

140

120

100

80

60

40

La saisonnalité

Année

198519801975197019651960

IPI

160

140

120

100

80

60

Trimestre

4

3

2

1

La tendance

Date

160

140

120

100

80

60

40

IPI

MA(IPI,4,4)

Chapitre 4

1.4 Formalisation des composantes

1.4.1 Le trend et le cycle

- Moyennes mobiles

- Ajustement linéaire par les MCO : Y=aT+b

1.4.2 Variations saisonnières

Mvts réguliers se répétant au cours d’une année. Si p est la période St=St+p=St+2p=…

1.4.3 Variations accidentelles

Evénements de courtes périodes, irréguliers et imprévisibles

tS

t

tf

Chapitre 4

Hypothèse :

2 types d’aléas : - Grands nombres de petites causes (hypothèse

vérifiée)- Petits nombres de grandes causes (hypothèse

non vérifiée)

01

n

tt

Chapitre 4

1.5 décomposition du modèle

2 types de modèles : modèle additif vs modèle multiplicatif

- Modèle additif (cf. Graph) : Les composantes sont indépendantes les unes des autres

- modèle multiplicatif (cf. Graph) : Les composantes dépendent les unes des autres

tttt SfY tttt SfY

tttt SfY

Chapitre 4

1.6 Comment déterminer la nature du modèle ?

Si pour une observation donnée, la variation saisonnière S s’ajoute simplement aux autres composantes c’est le modèle additif

Si pour une observation donnée, la variation saisonnière S est proportionnelle aux autres composantes, c’est le modèle multiplicatif.

Chapitre 4

1.6.1 La méthode de la bande (méthode graphique)

On fait un graphique représentant la série chronologique, puis on trace une droite passant respectivement par les minima et par les maxima de chaque saison. Si ces deux droites sont parallèles, nous sommes en présence d’un modèle additif. Sinon, c’est un modèle multiplicatif.

Chapitre 4

Chapitre 4

1.6.2 Méthode analytique (test de Buys-Ballot)

On calcule les moyennes et écarts-types pour chacune des périodes considérées et on calcule la droite des moindres carrés

Si a est nul, c’est un modèle additif, si a≠0, le modèle est multiplicatif

bxa

Chapitre 4

Exemple avec les données mensuelles précédentes.

1996 2006 3224 3789 4153 3100 2527 3015 1504 1847 2314 1673 1602

1997 2247 3862 3586 4047 2838 2727 27301648 2007 2450 1966 1695

1998 2433 3723 4325 4493 3399 3083 32471928 2377 2831 2388 2126

1999 3127 4437 5478 4384 3552 3678 36112260 2699 3071 2510 2182

2000 3016 4671 5218 4746 4814 3545 33412439 2637 3085 2737 2055

Chapitre 4

1) On calcule pour chaque année la moyenne et l’écart-type de la série

Moyenne Écart-type

1996 2562.8 850.7

1997 2650.3 782.3

1998 3029.4 803.6

1999 3415.8 946.6

2000 3525.3 1023.4

Chapitre 4

2) On calcule les coefficients de a et b par les mco

moyenne (X) écart-type (Y) X-xbar (1) Y-ybar (2) (1) * (2) (1) * (1)2562,8 850,7 -473,92 -30,62 14511,4304 224600,1662650,3 782,3 -386,42 -99,02 38263,3084 149320,4163029,4 803,6 -7,32 -77,72 568,9104 53,58243415,8 946,6 379,08 65,28 24746,3424 143701,6463525,3 1023,4 488,58 142,08 69417,4464 238710,416

3036,72 881,32 147507,438 756386,228

0,19501603

195,0),(

ˆ xV

xCova

Chapitre 42. Méthodes empiriques de décompositions d’une série chronologique

Pour décomposer la série Y, il faut des périodes inférieures à l’année (mois ou trimestres). La démarche est la suivante :

- On estime le trend,

2.1 Le trend par moyennes mobiles2.1.1 Lissage par moyennes échelonnéesLissage : méthode qui « adoucit » la série.Moyennes échelonnées : moyenne arithmétique de 3 valeurs en général (Pratique mais

trop simplificateur)

2.1.2 Moyennes mobilesMéthode empirique la plus utiliséeLe principe : On remplace un certain nombre de données consécutives par leur moyenne

en décalant de périodes en périodes.

Chapitre 4

Exemple : Indice (base 100 en 2002) de l’évolution de la note moyenne

en séries chronologiques

t y

somme échelonnée d'ordre 3

Moyenne échelonnée d'ordre 3

Somme mobile d'ordre 3

Moyenne mobile d'ordre 3

1998 1181999 113 336 112 336 1122000 105 321 107,02001 103 308 102,72002 100 302 100,7 302 100,72003 99 297 992004 98 293 97,72005 96 289 96,3 289 96,32006 95 256 85,32007 65

Chapitre 4

2.1.3 Définitions formalisées

MM d’ordre 3 avec t=4 :

MM d’ordre 4 avec t=4 :Remarque : on peut faire autrement : On pondère

par 1, 2 , 2, 2, 1.

76544 4

1yyyyM

6543 3

1yyyM

1

0

1 p

iitp y

pM

87654876544 5.05.04

1222

8

1yyyyyyyyyyM

Chapitre 4

2.2 Le trend par les MCO

Une autre façon de procéder pour désaisonnaliser (calculer le trend d’) une série chronologique consiste à calculer la droite de régression par les MCO.

Y=aT+b+ε

Chapitre 4

2.3 Les Données CVSUne fois que le trend est calculé, il faut désaisonnaliser la

séries, i.e corriger des variations saisonnières (CVS)

On note St la saisonnalité de la série obtenue de la façon suivante :

Pour le modèle additif : St=yt-ft

Pour le modèle multiplicatif : St=yt/ft

Chapitre 4

Les coefficients saisonniers Sj ne sont en fait que les moyennes des différences saisonnières (St) pour chacun des trimestres.

Par exemple pour le premier trimestre, nous obtenons : (0.75+5.38+1.5)/3 =2.54

Nous calculons de cette manière les trois autres et obtenons les coefficients coefficients saisonniers suivants :60.21 ; -54.96 et -7.71

Nous supposons que la composante saisonnière est strictement périodique. L’effet net de la composante saisonnière sur une période doit être nul car il est repris dans la tendance générale de la série chronologique. Ceci nous amène donc à rectifier les coefficients saisonniers non corrigés en leur retranchant la moyenne des coefficients saisonniers pour toutes les périodes (on note ce coefficient rectificateur ρ).

Chapitre 4Récapitulatif :• Pour chaque ligne, on obtient un St• On estime les coefficients saisonniers Sj par la moyenne des St

sur chaque période • On corrige les Sj en S’j si la moyenne des Sj est différente de 0

(additif) ou 1 (multiplicatif)S’j=Sj-ρ (additif)S’j=Sj/ρ (multiplicatif)4) On calcule la série ajustée (CVS) :Y*t=Yt-S’j (additif)Y*t=Yt/S’j (multiplicatif)5) On calcule les Variations accidentellesε=Y*t-ft (additif)ε=Y*t/ft (multiplicatif)

Chapitre 4

On peut désaisonnaliser la série avec les coefficients saisonniers :

La première ligne est égale à 120-2.52=117.48 ; la deuxième 181-60.19=120.81;etc.

Le graphique suivant reprend la série chronologique de départ ainsi que la série chronologique désaisonnalisée.

Chapitre 4 : Exercice 1

Cette série suit-elle un modèle additif ou multiplicatif ?

t1 t2 t3 t42002 30 38 32 442003 29 49 35 542004 31 59 43 652005 33 70 47 762006 34 81 52 86

Chapitre 4 : Exercice 2

Chapitre 4 : Exercice 3

La série suivante suit un modèle additif

1. Calculer le trend par les MCO2. Calculer les coefficients saisonniers3. Etablir la série CVS4. Déterminer les variations accidentelles

t1 t2 t3 t42004 1 2 7 92005 1 3 11 122006 5 6 10 12