CHAPITRE 5 

Divisions et Problèmes

Objectifs:- Connaître le vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste.

- Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier d’un ou deux chiff res.

- Savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9.

- Savoir diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000

- Savoir prendre l’arrondi ou la troncature d’un nombre.

Le symbole ÷ a été introduit en 1698 par l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus grands génies qui aient existé.

A la f ois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines.

I. Divisibilité

Exemple : 56 = 8 x 7

On dit que 7 et 8 sont des diviseurs de 56.

Remarque :

56 est divisible par 7 et par 8.

56 est un multiple de 7 et de 8.

56 est dans la table de 7 et de 8.

1) Définition

On dit aussi

2) Critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :

- par 2, s’il est pair ( il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8),

- par 3, si la somme de ses chiffres est dans la table de 3,

exemples : 26 48 10 024

exemple : 532 587 (car 5 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 = 30 et 30 est dans la table de 3)

- par 4, si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de 4,

exemples : 5 148 632 10 024

- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,

- par 9, si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.

exemples : 855 1 250

exemple : 73 854 (car 7 + 3 + 8 + 5 + 4 = 27 et 27 est dans la table de 9)

Remarque : … un nombre divisible par 9 est donc f orcément divisible par 3.

II. Division posée1) La division euclidienne

On veut eff ectuer la division euclidienne de 731 par 34

7 3 1 3 4Le dividende

Le diviseur

Méthode: Dans 73, combien de f ois 34 ? 2 f ois !

2

2 x 34 = 68

- 6 8

73 – 68 = 5 (inf érieur au diviseur)

0 5

On abaisse le 1

1

Dans 51, combien de f ois 34 ? 1 f ois !

1

1 x 34 = 34

- 3 4

51 – 34 = 17 (inf érieur au diviseur)

1 7

Le quotient

Le reste

Remarque : Le reste est toujours inf érieur au diviseur.

731 = 34 x 21 + 17

DIVIDENDE = DIVISEUR X QUOTIENT + RESTEs

…et de manière générale :

2) La division décimale On distingue 2 types de divisions décimales :

- celles dont le quotient est fini ( la division « s’arrête », on obtient un reste nul )

- et celles dont le quotient est infini (la division « ne s’arrête jamais », on n’obtient jamais un reste nul)

Exemples de divisions à quotient fini

3 2 , 1 2 4 - 3 2

0 0 - 0

1 -1 2

0

Lorsqu’on franchit la virgule au dividende, on la franchit également au quotient.

1 8 , 0 3

2

4 5 8

5

- 4 8 0 5

2 - 1 6

4 - 4 0

0

Ici, on est obligé d’ajouter des zéros inutiles au dividende pour finir la division.

, 0 0 0

, 0

- 4 0 6

2

5

0

0

Calculatrice : pour effectuer des divisions avec

la machine, on utilise la touche

Exemple de division à quotient infini

2 3 11

2 - 2 2 1

, 0 0 0

0 ,

- 0 1 0

- 9 91

- 01 0

Ici, on va « retomber» àà chaque fois sur le reste 10…

le quotient sera donc 2,090909090909…

0 09

0

0

1 0

1 0

9 0 9 0…

le quotient est infini

Troncature de 2,090909… Arrondi de 2,090909…

à l’unité

au dixième

2

2,0

2 ou 3 2

2,0 ou 2,1 2,1

car 2,0…est plus proche de 2 que de 3

car 2,09…est plus proche de 2,1 que de 2,0

Dans ce cas, il faut donner une valeur approchée du quotient sous forme d’une troncature ou d’un arrondi.

Troncature vient de tronquer qui signifie couper, enlever une partie.

On note par exemple :

2,1 est l’arrondi au dixième du quotient de 23 par 11 ou encore 23 ÷ 11 2,1

III. Calcul mental1) Diviser par 4 (c’est  ÷2 puis  ÷2 )

ex : 84  ÷ 4

÷2÷2

42

= 21

2) Diviser par 5 (c’est  ÷10 puis  x 2 )

ex : 160  ÷ 5

16÷10 x2

= 32

3) Diviser par 10, 100, 1000,…

Lorsqu’on divise un nombre par 10 ; 100 ; 1000…

il « réduit » de 1 ; 2 ; 3 …. rangs.

exemples : 312 ÷ 1000 = 0,312

21,1 ÷ 10 = 2,11

6,3 ÷ 100 = 0,063

0,12 ÷ 100 = 0,0012