Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemerbasismat.compute.dtu.dk/modulmat/Modul1.pdfChapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer

Chapter 1

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger

Den lineære ligning

2x = 3

kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 pa begge sider, sa vi far:

x =3

2

Der er i denne situation en ligning og en ubekendt, x, og ligningen har en entydig løsning.

Hvis vi har en ligninge med to ubekendte, fx

2x+5y = 3

vil der være mange løsninger, fx x = 1, y = 1/5, eller x = 3/2, y = 0. Hvordan angiver vi pa en

systematisk made alle de mulige løsninger? Svar: ved hjælp af begrebet en fri parameter. Hvis

vi først vælger en bestemt værdi t for y, har vi at y = t, hvor t er et tal der kan vælges frit blandt

alle reelle tal. Men nar først tallet er valgt har y en værdi, og nu kan x bestemmes. Vi skriver:

x =1

2(3−5t)

y = t t ∈ R .

Der er i dette tilfælde uendelig mange løsninger, nemlig lige sa mange som der er muligheder for

at vælge tallet t.

1

2 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER

Hvis der havde været flere ubekendte, fx z og w, men stadig kun en ligning, altsa fx

2x+5y− z+4w = 3

ma vi indføre en fri parameter for alle undtagen 1 variabel. Nu er der flere parmetre, og de kan

vælges uafhængigt af hinanden:

x =1

2(3− t1 + t2−4t3)

y = t1

z = t2

w = t3 (t1, t2, t3) ∈ R .

Bemærk: Vi kunne godt have valgt fri parametre for x,y,z , og sa have bestemt den sidste variable,

w, ud fra disse valg. Det giver samme løsningsmængde. Man ‘plejer’ at vælge fri paramtere

‘bagfra’ og sa lade den første ubekendte være udtrykt ved disse, men det er kun en konvention.

Uanset hvad man vælger er situationen denne: hvis der er for fa ligninger og for mange variable,

ma man vælge frie paramtere, og far uendelig mange løsninger.

Lad os nu se pa situationen med 2 ligninger og 2 ubekendte:

2x+5y = 3

−x+ y = 2

En oplagt made at løse dette system pa er ved at gange den nederste ligning med 2 pa begge

sider:

2x+5y = 3

−2x+2y = 4

og derefter lægger hele den øverste ligning til den nederste ligning. Dette er en operation som

ikke ændrer løsningsmængden - hvis en venstreside er lig en højreside er det tilladt at lægge

denne værdi til pa begge sider af den øverste ligning. Men vi lægger venstreside til venstre side,

og højreside til højreside. Herved far vi:

2x+5y = 3

7y = 7

hvoraf det tydeligt fremgar at y = 1. Dette indsættes i den øverste ligning:

2x+5 = 3

y = 1

1.2. GAUSS ELIMINATION 3

som kan løses for x til; x =−1. Prøv at indsætte x =−1,y = 1 i det oprindelige ligningssystem,

og check at løsningen passer. Vi har set en situation hvor der er samme antal ubekendte som

ligninger, og som, i dette tilfælde, havde en entydig løsning.

Den sidste situation der kan forekomme, specielt efter nogle manipulationer, er at man star med

en ligning fx af form:

0 · x = 2

Her ma vi konkludere at der ikke findes nogen værdier for x der kan fa ligningen til at passe. Der

er ingen løsning. Yderligere ligninger vil ikke afhjælpe situationen.

1.2 Gauss elimination

Her gives en fremstilling af en metode til systematiske behandling af et lineært ligningssystem.

Metoden er opkaldt efter matematikeren C.F. Gauss (17xx-18yy). Vi begynder med et eksempel

paet systetem med 3 variable og 3 ligninger.

2x−3y = 3

4x−5y+ z = 7

2x− y−3z = 5

(1.1)

og vil gradvis omforme disse, sa vi ikke ændrer løsningerne, men nar frem til et enklere system,

der let løses. Vi vil have leddet med den ukendte x væk i de sidste to ligninger. Derfor ganger

vi ligning 1 med -2 og lægger til ligning 2, hvorefter vi ganger ligning 1 med -1 og lægger til

ligning 3. Sa har vi systemet

2x−3y = 3

y + z = 1

2y−3z = 2

(1.2)

Nu vil vi yderligere forenkle systemet - igen uden at ændre løsningerne - ved at bortskaffe leddet

med den ukendte y i 3. ligning. Derfor ganger vi ligning 2 med -2 og lægger til ligning 3

2x−3y = 3

y + z = 1

−5z = 0

(1.3)


Disse ligninger lader sig nu let løse nedefra ved sakaldt tilbagesubstitution. Sidste ligning giver

z = 0, der indsat i næstsidste ligning giver y = 1. Endelig findes x af første ligning ved at indsætte

værdierne for y og z, og vi far x = 3. Dette er i alt sin enkelthed princippet i Gauss elimination.

Vi ser, at det som er væsentligt i processen er de koefficienter der i det lineære ligningssystem

er ganget pa x, y, z, osv. Vi behøver slet ikke i de enkelte skridt at skrive x, y, z, osv. Derfor

opskriver vi koefficienterne i et talskema. Et sadant talskema kaldes en matrix. Nu foretager vi

operationerne der løser ligningssystemet direkte pa selve talskemaet.

1.3 Matricer - rækkeoperationer

Vi benytter ligningssystemet (??) til at illustrere ideen med indførelse af matricer. I en matrix

kaldes de lodrette kolonner for søjler, og de vandrette kolonner for rækker. Vi har i denne frem-

stilling for tydeligheds skyld valgt at adskille koefficienterne i ligningssystemet fra højre side af

ligningssystemet med en lodret streg, men det er kun for overskuelighedens skyld. Højresiden

vil altid være en sidste søjle i matricen.

Hver enkelt række i matricen

2 −3 0 3

4 −5 1 7

2 −1 −3 5

(1.4)

repræsenterer saledes en ligning fra (??). De operationer, vi foretog med rækkerne for at løse

ligningssystemet, foretager vi nu i denne matrix. Safremt vi ønsker samtidigt at vise, hvilke

operationer vi har foretaget, betegner vi med ri den i’te række før operationen, og med r′i den i’te

række efter de udførte regninger. Operationerne pa dette ligningssystem vil da blive formuleret

saledes

2 −3 0 3

4 −5 1 7

2 −1 −3 5

r′2=−2r1+r2

r′3=−1r1+r3

−→

2 −3 0 3

0 1 1 1

0 2 −3 2

r′3=−2r2+r3−→

2 −3 0 3

0 1 1 1

0 0 −5 0

Processen i Gauss elimination bestar altsa i ved sakaldte rækkeoperationer at omforme lign-

ingssystemet til et hermed ækvivalent system, som nemt kan løses nedefra ved tilbagesubstitu-

tion. Med ”ækvivalent” menes, at de to ligningssystemer har samme løsningsmængde. Det ses

let, at der for ethvert lineært ligningssystem gælder følgende

1.4. RANG 5

Rækkeoperationer, der fører til ækvivalente ligningssystemer

Hver af følgende operationer pa et system af lineære ligninger giver et hermed ækvivalent

system

a) Ombyt to rækker

b) Multiplicer en række med en konstant forskellig fra nul

c) Multiplicer en række med en konstant forskellig fra nul og læg den til en anden række

Vi har brug for forskellige benævnelser og notation for de to matricer, der fremkommer, nar vi

enten medtager højre side i ligningssystemet som sidste søjle, eller nar vi udelukkende skriver

koefficienterne til de ukendte ind i matricen. Den første matrix benævnes totalmatricen, mens

den sidste kaldes koefficientmatricen. Vi vil betegne matricer med store bogstaver skrevet med

fed type. Saledes vil vi for ovenstaende ligningssystem skrive, idet systemets højre side betegnes

A =

2 −3 0

4 −5 1

2 −1 −3

for koefficientmatricen

og

A|=

2 −3 0 3

4 −5 1 7

2 −1 −3 5

for totalmatricen

I det generelle tilfælde med m ligninger med n ubekendte vil totalmatricen se saledes ud:

A|=

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 · · · amn bm

Bemærk, hvorledes koefficienterne er indiceret. Første indeks angiver rækkenummeret, mens

andet indeks angiver søjlenummeret.

1.4 Rang

Vi vil nu se pa spørgsmalet om eksistensen af, og antallet af, løsninger. Vi har her brug for en

størrelse knyttet til en matrix, som benævnes rangen af matricen.


Hvis vi har en ligninge med to ubekendte, fx

2x+5y = 3

kunne man spørge om man ikke bare kunne skrive ligningen en gang til og derved opna to

ligninger

2x+5y = 3

2x+5y = 3

Problemet er, at der i den anden ligning ikke er nogen ny information; ligningen gentager blot

den første ligning. Uanset hvor mange gange man gentager ligningen sa er der kun information

svarende til en ligning.

Den mere generelle indgang til begrebet rang tager udgangspunkt i vektorer (vi kan her tænke pa

matricens rækker som vektorer).

En samling af vektorer, (v1,v2, · · · ,vn) siges at være lineært uafhængige, hvis ligninngen

k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn = 0

kun kan opfyldes for k1 = 0,k2 = 0,k3 = 0, · · · ,kn = 0.

Hvis vektorerne ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige.

Lineært uafhængige vektorer kan altsaikke frembringes ud fra hinanden. Lineært uafhængige

vektorer peger sa at sige i forskellige retninger.

Rangen af en samling af vektorer er det største antal lineært uafhængige vektorer man kan udtage

fra samlingen. Dette tal kan naturligvis ikke være større end det totale antal vektorer i samlingen,

men kan godt være mindre. Nul-vektoren bidrager aldrig til rangen, sa hvis vi kun regner med

vektorer som ikke er nul, er rangen ihvertfald 1.

Rangen af en matrix er rangen af matricens rækker, opfattet som vektorer.

Eksempel 1.1. MAPLE kan bestemme rang af en matrix med kommandoen Rank.

> A:=Matrix([[ 2 , -3 , 0 , 3 ], [ 4 , -5 , 1 , 7 ], [ 2 , -1 , -3 , 5

]]);

A :=

2 −3 0 3

4 −5 1 7

2 −1 −3 5

1.4. RANG 7

Rank(A);

3

Rangen af en matrix A betegnes ρ(A).

Der gælder følgende vigtige sætning om eksistens af løsninger til et lineært ligningssystem

Sætning 1.1. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at der er løsninger til det lineære

ligningssystem er, at rangen af koefficientmatricen er lig rangen af totalmatricen, altsa at

ρ(A) = ρ(A|).

Hvis ρ(A) 6= ρ(A|) er systemet inkonsistent (i analogi til ligningen 0 · x = 2), og vi siger da at

der ikke findes løsninger, at løsningsmængden er tom.

Her er to vigtige egenskaber ved rangen af en matrix:

Sætning 1.2. (a) Rangen af en matrix forbliver uændret ved rækkeoperationer

(b) Antallet af lineært uafhængige rækker i en matrix er lig antallet af lineært uafhængige

søjler

Eksempel 1.2. Idet a betegner en given konstant, foreligger der ligningssystemet

3x2 + x3−2x4 = 2

x1 + 3x2−2x3 = 3

2x1 +15x2 + x3−5x4 = 11

2x1 + 12x2−8x3−7x4 = a

(1.5)

Vi vil løse dette med Gauss elimination og opskriver derfor totalmatricen, hvorefter vi fore-


tager de nødvendige rækkeoperationer

A|=

0 3 1 −2 2

1 3 −2 0 3

2 15 1 −5 11

2 12 −8 −7 a

r′1=r2 r′2=r1

r′3=r3−2r2 r′4=r4−2r2

−→

1 3 −2 0 3

0 3 1 −2 2

0 9 5 −5 5

0 6 −4 −7 a−6

r′3=r3−3r2

r′4=r4−2r2

−→

1 3 −2 0 3

0 3 1 −2 2

0 0 2 1 −1

0 0 −6 −3 a−10

r′4=r4+3r3−→

1 3 −2 0 3

0 3 1 −2 2

0 0 2 1 −1

0 0 0 0 a−13

De tre første rækker i koefficientmatricen ses umiddelbart at være lineært uafhængige. Den

sidste række er nul-vektoren, og da vektorer i et vektorsystem indeholdende denne altid er

lineært afhængige, er rangen ρ(A) af koefficientmatricen lig 3. De tre første søjler i A er

klart lineært uafhængige. Nar rangen er 3 er der netop 3 lineært uafhængige søjler, og

derfor ma 4. søjle i A være en linearkombination af de tre første søjler.

Hvorvidt der nu er løsninger til ligningssystemet afhænger af rangen ρ(A|) af totalmatricen.

Kravet er, at rangen af denne ogsa skal være 3. Vi ser, at hvis a = 13 er sidste række i

totalmatricen nul-vektoren, hvorfor rangen er 3 og der er løsninger. Hvis a 6= 13 er 1., 2.,

3. og sidste søjle i totalmatricen lineært uafhængige, og rangen af denne derfor 4. Der

er altsa da ingen løsninger, nar a 6= 13 (hvilket ogsa er indlysende, nar man betragter den

ligning som sidste række repræsenterer). Vi vil afsta fra at foretage tilbagesubstitutionen

men anbefaler, at man selv gennemfører regningerne.

Nar en Gauss-elimination pa en koefficientmatrix er ført til ende vil matricen have en struktur

som nedenfor.

↓ ↓ ↓

⊕ ? ? ? ? ? ?0 ⊕ ? ? ? ? ?0 0 0 ⊕ ? ? ?0 0 0 0 0 0 ⊕0 0 0 0 0 0 0

(1.6)

I hver række vil der være et første fra nul forskelligt element (regnet fra venstre). Disse er i

figuren angivet med ⊕. Nar man er naet frem til et element i sidste (n’te) søjle, er eliminationen

ført til ende, og man kan nu opskrive løsningen.

Bemærk at der kan forekomme rækker hvor det første fra nul forskellige element har et større

1.5. STRUKTUREN AF LØSNINGSMÆNGDEN 9

søjlenummer end rækkenummer. Det betyder at der vil være fri parametre svarende til disse

variable. I figuren ovenfor er disse søjler (variabelnumre) angivet med ↓ ; det er variabel nummer

3, 5 og 6. Da sidste række er en nulrække er rangen af matricen 4, mens der er 7 variable. I

almindelighed far vi lige sa mange frie variable som der er forskel mellem antallet af variable (n)

og koefficientmatricens rang (ρ).

1.5 Strukturen af løsningsmængden

Følgende sætning opsummerer Gauss eliminationen og er en hovedsætning i forbindelse med

lineære ligningssystemer.

Sætning 1.3 (Om antallet af løsninger til m ligninger med n ubekendte).

1. Der er løsninger, hvis og kun hvis koefficientmatricen og totalmatricen har samme rang

(benævnt ρ)

2. Hvis ρ = n er der netop 1 løsning (og ingen frie variable)

3. Hvis ρ < n er der en (n−ρ)-dobbelt uendelighed af løsninger, dvs (n−ρ) fri variable.

Eksempel 1.3. Opgave: bestem den fuldstændige løsning (dvs angiv samtlige løsninger) til

ligningssystemet

x1 − 2x2 + 3x3−13x4 + 3x5 = 7

2x1 + 4x2 + 3x3 − 4x4 − 20x5 = 3

−2x1 − 4x2 − x3 + 16x5 =−1

x1 + 2x2 + x4 − 7x5 = 0

(1.7)

Løsning: Vi opskriver totalmatricen og udfører passende rækkeoperationer for at fa den

Gauss-eliminerede matrix.


1 −2 3 −13 3 7

2 4 3 −4 −20 3

−2 −4 −1 0 16 −1

1 2 0 1 −7 0

r′2=r2−2r1

r′3=r3+2r1

r′4=r4−r1

−→

1 −2 3 −13 3 7

0 8 −3 22 −26 −11

0 −8 5 −26 22 13

0 4 −3 14 −10 −7

r′3=r3+r2

r′4=2r4+r3

−→

1 −2 3 −13 3 7

0 8 −3 22 −26 −11

0 0 2 −4 −4 2

0 0 −1 2 2 −1

r′3=r3/2

r′4=r4+r3/2−→

1 −2 3 −13 3 7

0 8 −3 22 −26 −11

0 0 1 −2 −2 1

0 0 0 0 0 0

(1.8)

Vi noterer os nu følgende. Der er de 5 ubekendte, dvs n = 5. Rangen af koefficientmatricen

er ρ(A) = 3. I totalmatricen er der netop tre lineært uafhængige rækker, og den har derfor

ogsa rangen 3. Der er altsa løsninger til ligningssystemet. Fra hovedsætningen ved vi at vi

ma forvente n−ρ = 5−3 = 2 frie variable og det et oplagt, hvis vi starter fra den nederste

(fra 0 forskellige) ligning, at fx x4 og x5 kan vælges frit. For at tydeliggøre den fortsatte del

af processen opskriver vi de tre første ligninger med variable indsat:

x1 − 2x2 + 3x3−13x4 + 3x5 = 7

8x2 − 3x3 +22x4− 26x5 =−11

x3 − 2x4 − 2x5 = 1

(1.9)

Ligningerne omskrives, idet vi trækker de frie variable over pa højre side

x1 − 2x2 + 3x3 = 7+13x4−3x5

8x2 − 3x3 =−11−22x4 +26x5

x3 = 1+2x4 +2x5

(1.10)

Lad os sætte x4 = t1 , x5 = t2 , (t1, t2) ∈ R2. Vi far da af (??) ved tilbagesubstitution

x3 = 1+2t1 +2t2

8x2 =−11+3(1+2t1 +2t2)−22t1 +26t2 =−8−16t1 +32t2 dvs.

x2 =−1−2t1 +4t2

x1 = 7+2(−1−2t1 +4t2)−3(1+2t1 +2t2)+13t1−3t2 = 2+3t1− t2

1.5. STRUKTUREN AF LØSNINGSMÆNGDEN 11

Sammenfattende skriver vi resultatet pa vektorform

x1

x2

x3

x4

x5

=

2

−1

1

0

0

+ t1

3

−2

2

1

0

+ t2

−1

4

2

0

1

(t1, t2) ∈ R2 (1.11)

(Det anbefales, at man kontrollerer dette ved at benytte regneregler for vektorer: Man ganger

en vektor med en konstant ved at gange de enkelte komponenter med konstanten, og man

adderer vektorer ved at addere komponenter med samme placering).

Eksempel 1.4. MAPLE kan (med biblioteket LinearAlgebra indlæst, foretage Gauss elim-

ination, og kan ogsaindføre frie variable. Med totalmatricen i eksemplet ovenfor indført, fx

benævnt A,

A :=

1 −2 3 −13 3 7

2 4 3 −4 −20 3

−2 −4 −1 0 16 −1

1 2 0 1 −7 0

> LinearSolve(A);

2+3t4− t5−1−2t4 +45

2t4 +2t5 +1

t4t5

som, hvis vi i en søjle skiller tal uden parametre, fra en søjler der indeholder parameteren t4og en søjle der indeholder parameteren t5, er præcis resultatet (??) . At MAPLE skriver frie

paramtere som t4 og t5 i stedet for t1 og t2 er uden betydning.

Der er intet i dette eksempel, der principielt adskiller det fra ethvert andet lineært ligningssystem,

og de konklusioner, vi nu drager ved at generalisere (??), vil have almen gyldighed. Vi vil derfor

skrive (??) pa generel form, idet vi som ovenfor lader n være antallet af ubekendte og ρ være

rangen af matricen. Vi erindrer, at der var (n−ρ) frie variable. For at lette læsningen benytter vi

her et komma til at adskille indices.


x1

x2...

xn

=

k1

k2...

kn

+ t1

v1,1

v2,1...

vn,1

+ t2

v1,2

v2,2...

vn,2

+ · · ·+ tn−ρ

v1,(n−ρ)

v2,(n−ρ)...

vn,(n−ρ)

eller kort

x = k+ t1v1 + t2v2 + · · ·+ tn−ρvn−ρ

(1.12)

Heraf fremgar strukturen af løsningsmængden.

Vektoren k er dannet ud fra ligningssystemets højre side efter udførelse af rækkeoperationerne

og tilbagesubstitutionen.

Hvis højresiden er nul-vektor (i dette tilfælde kaldes ligningssystemet homogent), vil ogsa k

vektoren være nul-vektor. Derfor gælder, at

xh = t1v1 + t2v2 + · · ·+ tn−ρvn−ρ

(

t1, t2, · · · , tn−ρ

)

∈ Rn−ρ (1.13)

netop udgør løsningerne til det homogene ligningssystem.

Chapter 2

Modulpakke 3: Matrixregning

2.1 Indledning

Matricer kan lægges sammen og matricer kan ganges med andre matricer under overholdse af

simple regler. I dette afsnit skal vi se hvordan man kan

1. gange en matrix med et tal.

2. lægge matricer sammen og trække dem fra hinanden.

3. gange matricer med hinanden.

3. bestemme determinanten for en kvadratisk matrix.

4. finde den inverse for en kvadratisk matrix.

I kapitel 1 indførtes matricer som et hjælpemiddel ved løsning af lineære ligningssystemer. Ma-

trixbegrebet har imidlertid en udbredt betydning, ikke alene for væsentlige dele af matematikken,

men ogsa for tekniske discipliner og hertil knyttede fagomrader, eksempelvis de statistiske fag

og forskellige naturvidenskabelige fag.

Vi vil derfor se nærmere pa, hvorledes man kan definere nyttige regneregler for matricer og

hvilke egenskaber matricer derved opnar. Det vil være bekvemt først at indføre nogle fa, nye

betegnelser.

1

2 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING

2.2 Nogle grundlæggende begreber

En matrix med m rækker og n søjler kaldes en m× n matrix og man siger, at den er af typen

(m,n). Hvis man for en given matrix A har behov for at præcisere, at den eksempelvis er en

4×5 matrix, vil man skrive den som A45. To matricer A og B er ens, netop nar de er af samme

type og alle elementerne pa samme pladser er ens, altsa

A = B ⇔ ai j = bi j i ∈ {1,2, · · · ,m} , j ∈ {1,2, · · · ,n}

hvor begge matricer er af typen (m,n). Hvis specielt en matrix A er en n×n matrix, kaldes den

en kvadratisk matrix af n’te orden

Ann =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 · · · ann

En matrix kan indeholde savel reelle som komplekse tal - hvis den udelukkende rummer reelle

tal siger man, at den er en reel matrix. Talsættet (a11,a22, · · · ,ann) i en kvadratisk matrix udgør

diagonalen i denne (undertiden benævnt: hoveddiagonalen). En kvadratisk matrix, hvor alle

diagonalens elementer er lig 1, og hvor resten af elementerne i matricen er 0, kaldes en enheds-

matrix

Enn =

1 0 · · · 0 0

0 1 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · 0 1

En matrix, der udelukkende indeholder 0’er, kaldes en nul-matrix (og betegnes med 0 - eller

med 0mn, hvis det er af betydning at angive matricens type). En enkelt søjle i en matrix Amn

kan anskues som en matrix af typen (m,1). Som vi imidlertid sa, da vi formulerede lineære

ligningssystemer pa matrixform, kan det ofte være at foretrække at betragte en søjle som en

vektor (som vi sa kalder en søjlevektor), og vi vil da skrive den med lille, fed type. Eksempelvis

kunne vi skrive første søjle i matricen A som

2.3. REGNING MED MATRICER 3

a =

a11

a21...

am1

hvor vi imidlertid af typografiske grunde ofte vil skrive søjlevektoren pa formen (a11,a21, · · · ,am1).Pa tilsvarende made vil man tit tolke en enkelt række i en matrix som en vektor (rækkevektor), og

den vil da skrives for eksempel som v =(

a21 a22 · · · a2n

)

, hvis det er 2. række i en matrix A

med n søjler. Bemærk forskellen i skrivemade pa en rækkevektor og en søjlevektor, nar de begge

skrives horisontalt.

2.3 Regning med matricer

Vi er nu klar til at beskrive, hvorledes man kan regne med matricer, idet vi vil indføre multiplika-

tion af en matrix med et tal, addition af matricer af ens type, samt multiplikation af to matricer

Amn og Bnp.

Multiplikation af matrix med et tal

En vilkarlig m× n matrix A kan multipliceres med et vilkarligt reelt eller komplekst tal k.

Resultatet er en ny m× n matrix, som fremkommer ved, at alle A’s elementer multipliceres

med k. Produktet skrives kA.

Eksempel 2.1. Med A givet som A =

1 −3 4 0

2 0 5 1

1 −3 4 2

fas

3A =

3 −9 12 0

6 0 15 3

3 −9 12 6

−2A =

−2 6 −8 0

−4 0 −10 −2

−2 6 −8 −4

0A =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0


Addition af matricer

Ved summen A + B af to m× n matricer forstas den m× n matrix, der fremkommer ved at

tilsvarende elementer i A og B adderes. Kun matricer af samme type kan adderes.

Efter at have indført addition af matricer fremkommer subtraktion pa følgende made: A−B =A+ (−1)B. Dette betyder, at man blot trækker tilsvarende elementer fra hinanden. Som for

addition gælder derfor ligeledes, at man kun kan trække matricer af samme type fra hinanden.

Eksempel 2.2. Med A og B givet som

A =

1 −3 4 0

2 0 5 1

1 −3 4 2

B =

4 1 2 −3

0 7 −2 1

3 3 0 5

fas

A+B =

5 −2 6 −3

2 7 3 2

4 0 4 7

A−B =

−3 −4 2 3

2 −7 7 0

−2 −6 4 −3

Som den sidste regningsart vil vi endelig se pa matrix-matrix multiplikation. Mens man adderer

to matricer ved at addere tilsvarende elementer, sa defineres multiplikation ikke ved en multip-

likation af tilsvarende elementer. Arsagen hertil er, at det viser sig, at der ikke ville komme noget

særlig brugbart ud af en sadan definition. Vi tager i stedet udgangspunkt i, hvorledes man pa en

naturlig made definerer multiplikation af en matrix med en søjlevektor og vender med henblik

herpa tilbage til formuleringen af det lineære ligningssystem

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

am1x1 +am2x2 + · · ·+amnxn = bm

(2.1)


Her indfører vi som tidligere betegnelserne

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

ai1 ai2 · · · ain...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn

x =

x1

x2...

xn

b =

b1

b2...

bm

Hvis vi yderligere betegner den i’te rækkevektor i A med ai ser vi, at venstre side i den i’te lign-

ing i (??) er skalarproduktet bi ·x. Vi kan derfor skrive ligningssystemet pa følgende made, hvor

alle venstresiderne er skrevet som skalarprodukter mellem rækkevektorerne i A og søjlevektoren

x.

a1 ·x = b1

a2 ·x = b2

. . . . . . . . . . . .

am ·x = bm

(2.2)

Det viser sig nu hensigtsmæssigt at definere produktet Ax som den søjlevektor, der udgøres af

venstresiden i (??). I sa fald kan ligningssystemet skrives enkelt som Ax = b. Vi vil benytte

denne definition til generelt at definere

Produkt af matrix med søjlevektor

Ved produktet Ax mellem en matrix A af typen m× n og en søjlevektor x med n elementer

forstas den søjlevektor, hvis elementer er skalarprodukterne mellem rækkevektorerne i A og x.

Altsa

Ax =

a1 ·xa2 ·x

...

xm ·x

Vi bemærker tre ting. Først: Der skrives ikke gangetegn mellem matricen og vektoren. Dernæst:

Definitionen tog sit afsæt i et ligningssystem, men er ikke herefter nødvendigvis knyttet til et

sadant. Og en sidste ting. For at skalarprodukterne skal kunne udregnes, ma vektoren have


præcis sa mange elementer som antallet af søjler i matricen. Kun i sadanne tilfælde defineres

produktet.

Eksempel 2.3. Med A og x givet som

A =

1 −3 4 0

2 0 5 1

1 −3 4 2

x =

2

0

−1

4

fas:

Ax =

1 −3 4 0

2 0 5 1

1 −3 4 2

2

0

−1

4

=

1 ·2+(−3) ·0+4 · (−1)+0 ·42 ·2 + 0 ·0 + 5 · (−1) + 1 ·41 ·2+(−3) ·0+4 · (−1)+2 ·4

=

−2

3

6

Definitionen af produktet mellem en matrix A af typen m×n og en vektor, som vi her vil betegne

b, indebærer dels, at vektoren skal have n elementer, og dels, at resultatet bliver en vektor med m

elementer. Nar vi nu skal definere produktet mellem to matricer A og B, sa vil vi gøre dette ved

se pa de enkelte søjler i B og danne produkterne mellem A og disse søjler. Vi kalder de r søjler i

B for b1,b2, · · · ,br

b1 b2 · · · br

b11 b12 · · · b1r

b21 b22 · · · b2r...

.... . .

...

bn1 bn2 · · · bnr

Vi definerer nu produktet mellem A og B som den matrix, der som søjler har Ab1, Ab2, ... , Abr.

Altsa:


Multiplikation af matricer

Ved produktet AB af en matrix A af typen m× n og en matrix B af typen n× r, forstas

den matrix, der som søjler har produkterne af A og de enkelte søjler i B. Dette betyder, at

elementet (AB)i j pa pladsen (i, j) i produktmatricen kan findes som skalarproduktet mellem

den i’te række i A og den j’te søjle i B (sakaldt række-søjle multiplikation).

Eksempel 2.4. Med A43 og B32 givet som

A =

1 −3 4

2 0 5

1 −3 4

0 1 −2

B =

−2 1

0 4

1 0

fas

Ab1 =

1 −3 4

2 0 5

1 −3 4

0 1 −2

−2

0

1

=

1 · (−2)+(−3) ·0+4 ·12 · (−2)+0 ·0+5 ·1

1 · (−2)+(−3) ·0+4 ·10 · (−2)+1 ·0+(−2) ·1

=

2

1

2

−2

Ab2 =

1 −3 4

2 0 5

1 −3 4

0 1 −2

1

4

0

=

1 ·1+(−3) ·4+4 ·02 ·1+0 ·4+5 ·0

1 ·1+(−3) ·4+4 ·00 ·1+1 ·4+(−2) ·0

=

−11

2

−11

4

Produktet af A og B er den matrix, hvis søjler er de to udregnede vektorer

AB =

2 −11

1 2

2 −11

−2 4


Antallet af søjler i A skal passe med antallet af rækker i B.

Vi har tidligere indført nul-matricerne 0 som de matricer, der udelukkende betar af 0’er, samt

enhedsmatricerne I som de kvadratiske matricer, der har 1-taller i diagonalen og 0’er udenfor.

Det overlades til læseren at gennemtænke, at hvis man ganger en matrix med en nul-matrix, sa

far man en nul-matrix, og hvis man ganger en matrix A med en enhedsmatrix, sa far man igen

A. En enhedsmatrix har derfor samme rolle vedrørende multiplikation, som tallet 1 har inden for

de reelle og komplekse tal.

Som flere gange fremhævet kan man kun danne produktet AB af to matricer, for hvilke søjleantallet

i den første matrix er lig rækkeantallet i den anden matrix. Matricerne skal altsa være af typen

(m,n) og (n,r) henholdsvis. Resultatet bliver en matrix af typen (m,r). Der rejser sig nu

spørgsmalet om, hvilke regneregler, der gælder for matrixmultiplikation. Man kan vise sæt-

ningen

Sætning 2.1 (Regneregler for multiplikation af matricer).

1. Matrixmultiplikation er associativ, dvs. (AB)C = A(BC)2. Matrixoperationer er distributive, dvs. A(B+C) = AB+AC og (A+B)C = AC+BC

3. Matrixmultiplikation er ikke kommutativ, dvs. almindeligvis gælder: AB 6= BA (hvis

overhovedet begge produkter eksisterer).

De to første af disse regler kendes fra multiplikation i savel de reelle tal R som komplekse tal

C. Men: mens ogsa den kommutative lov gælder for tal i R og C, sa gælder den ikke for ma-

trixmultiplikation, hvilket illustreres i eksemplet nedenfor. Dette medfører, at man ved regning


med matricer ikke kan overføre samtlige kendte regler for multiplikation. Specielt fremhæves

følgende, hvor det forudsættes, at matricerne er af sadan type, at regningerne kan gennemføres:

• En kvadratisk matrix A kan ganges med sig selv. Produktet kaldes A2. Tilsvarende skrives:

AA · · ·A = An, hvis der er n faktorer i produktet.

• (A+B)2 = (A+B)(A+B) = A2 +B2 +AB+BA Kan ikke reduceres yderligere.

• (A+B)(A−B) = A2−B2−AB+BA Kan ikke reduceres yderligere.

Eksempel 2.5. Med A og B givet som A =

(

1 −3

2 5

)

B =

(

−2 2

−1 4

)

fas

A2 =

(

1 ·1+(−3) ·2 1 · (−3)+(−3) ·52 ·1+5 ·2 2 · (−3)+5 ·5

)

=

(

−5 −18

12 19

)

AB =

(

1 · (−2)+(−3) · (−1) 1 ·2+(−3) ·42 · (−2)+5 · (−1) 2 ·2+5 ·4

)

=

(

1 −10

−9 24

)

BA =

(

−2 ·1+2 ·2 −2 · (−3)+2 ·5(−1) ·1+4 ·2 (−1) · (−3)+4 ·5

)

=

(

2 16

7 23

)


2.4 Determinant

Der findes for kvadratiske matricer et mal for hvorvidt matricens rækker (eller søjler) er lineært

uafhængige. Dette mal kaldes determinanten for en (kvadratisk) matrix, og betegnes det(A),eller |A|. Hvis matricens tal er reelle tal, bliver determinanten et reelt tal. Hvis matricens tal er

komplekse tal, bliver determinanten et komplekst tal.

Eksempel 2.6. For en 2×2 matrix

A =

(

a11 a12

a21 a22

)

er

|A|= a11a22−a21a12

For 3× 3 matricer, 4× 4 matricer, osv, bliver formlen for determinanten som funktion af

matricens indgange lidt mere kompliceret.

Determinantværdien sammenæng rangen for en kvadratisk matrix er beskrevet i følgende sæt-

ning:

Sætning 2.2. Lad A være en kvadratisk matrix. Der gælder da:

det(A) 6= 0 hvis og kun hvis A rang ρ(A) = n

det(A) = 0 hvis og kun hvis A rang ρ(A)< n

2.5. INVERS MATRIX 11

Eksempel 2.7. MAPLE kan finde determinanter af kvadratiske matricer. Med biblioteket

LinearAlgebra indlæst, er kommandoen Determinant:

A :=

3 −1 0

−1 2 4

0 1 1

Determinant(A);

−7

Matricen i eksemplet her har alsa rang 3.

2.5 Invers matrix

Vi har allerede set at man kan lægge matricer sammen med matricer og gange matricer med

matricer. Spørgsmalet melder sig om man kan dividere med matricer ? Svaret er at det kan man,

under visse omstændigheder. Division er en slags omvendt multiplikation. For et reelt (eller

komplekst) tal a forskelligt fra nul, taler vi om det inverse tal 1/a, fordi (1/a) ·a = 1.

Vi vil i dette afsnit kun beskæftige os med kvadratiske matricer. For en sadan matrix A de-

fineres den inverse matrix som den matrix A−1, der, ganget med A giver enhedsmatricen I (en

matrix med 1-taller i diagonalen og nuller uden for denne), dvs:

A−1A = I (2.3)

Her rejser sig straks tre spørgsmal:

1) Gælder det ogsa, at AA−1 = I ?

2) Er matricen A−1 entydigt bestemt ? ( dvs. er der højst En matrix, der opfylder (??) ? )

3) Har enhver kvadratisk matrix en invers matrix?

Svaret er pa de to første spørgsmal bekræftende, men pa det tredie benægtende. Idet vi betegner

den inverse matrix til A med A−1 gælder der saledes

A−1A = AA−1 = I (2.4)

Mens vi vil afsta fra at bevise dette, vil vi gennemføre et bevis for entydigheden i spm. 2 (og

venter lidt med beviset for spm. 3). Vi beviser entydigheden ved at antage, at der findes to inverse


matricer B og C til A, hvorefter vi viser, at sa ma der gælde: B = C. Vi antager altsa, at der om

B og C gælder

BA = AB = I og CA = AC = I

Ved at gange fra højre med C pa begge sider i ligningen BA = I fas

(BA)C = IC = C

og da den associative lov altid gælder (se sætning 3.1) fas

B(AC) = C

og dermed (idet AC = I)

B = C

Vi skal nu se pa, hvilke krav der skal stilles til en kvadratisk matrix A af n’te orden, for at den

har en invers matrix, og vi vil i det følgende benævne de matricer, for hvilke en sadan eksisterer,

som invertible (eller nonsingulære eller regulære). Vi danner først et lineært ligningssystem,

idet vi benytter A som koefficientmatrix og som højre side vælger en vilkarlig søjlevektor b med

n elementer. Ligningssystemet skrives som tidligere pa formen

Ax = b (2.5)

Hvis A er invertibel, kan vi ved at gange pa begge sider af ligningen med A−1 fa et explicit

udtryk for x.

x = A−1b (2.6)

og der findes altsa i dette tilfælde netop 1 løsning. Vi erindrer fra sætning 2.4 i kapitel 2, at dette

er ensbetydende med, at rangen ρ(A) = n, altsa at matricen har, hvad vi kalder fuld rang (størst

mulig rang). Der gælder derfor, at de matricer, der er invertible, har fuld rang. Omvendt kan

man vise, at de kvadratiske matricer, der har fuld rang, ogsa er invertible. Vi formulerer denne

sammenhæng i følgende

Sætning 2.3.

Den inverse matrix A−1 til en n×n matrix A eksisterer, hvis og kun hvis rangen ρ(A) = n.

Matricen A er saledes invertibel (nonsingulær), netop nar det(A) 6= 0.

Matricen A er ikke-invertibel (dvs den er singulær), netop nar det(A) = 0.

2.6. TRANSPONERET MATRIX 13

Før vi afslutter dette afsnit skal vi angive nogle enkelte, vigtige egenskaber ved invertible ma-

tricer. Vi vil ikke vise disse - beviserne forløber dog ganske smertefrit, og det overlades til

læseren selv at bevise udvalgte dele - men sammenfatter egenskaberne i følgende

Nogle egenskaber ved invertible matricer.

Lad A og B være n×n matricer og k et reelt tal. Der gælder da

1. A invertibel ⇒ (A−1)−1 = A

2. A invertibel ⇒ (kA)−1 = 1k

A−1

3. Hvis A er invertibel, sa vil: AB = 0⇒ B = 0

4. Hvis A og B er invertible, sa gælder der: (AB)−1 = B−1A−1 (bemærk rækkefølgen).

Den opmærksomme læser vil have bemærket, at man ikke indfører en notation for division

mellem matricer. Hvis den kommutative lov havde været gyldig, sa havde man kunnet skrive

produktet A−1B som B divideret med A. Men en sadan skrivemade fortæller jo ikke, om A−1

skal ganges pa B fra venstre eller fra højre. Og man far - grundet den manglende kommutativitet

- almindeligvis ikke det samme.

2.6 Transponeret matrix

Vi har brug for endnu en matrix dannet ud fra A, nemlig den transponerede matrix, betegnet

AT . Det er den matrix, der fas, nar man ombytter søjler og rækker i A, eksempelvis

A =

3 1 6 5

2 4 0 3

2 1 0 4

⇒ AT =

3 2 2

1 4 1

6 0 0

5 3 4

En m× n matrix transponeres til en n×m matrix. Da en søjlevektor kan opfattes som en m× 1

matrix, bliver denne ved transponering til en rækkevektor - og omvendt

b =

2

4

1

3

⇒ bT =(

2 4 1 3)

og c =(

3 7 5 0)

⇒ cT =

3

7

5

0

Det kan vises, at der gælder følgende vedrørende transponering af matricer, idet vi antager, at A

og B har sadanne størrelser, at matrixoperationerne er mulige


Regler vedrørende transponering

1. (AT )T = A

2. (A+B)T = AT +BT

3. (AB)T = BT AT Bemærk rækkefølgen

4. (A−1)T = (AT )−1

Documents

Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemerbasismat.compute.dtu.dk/modulmat/Modul1.pdfChapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer