Lineære funktioner

Lineære funktioner

4 indgangsvinkler til funktionerDen lineære funktion ~ forskrift

Stigningstal og skæring med y-aksenEksempler…

Lineære funktioner:

Udgangspunktet for arbejdet med funktioner er, at man har en forskrift – et funktionsudtryk.

Ved hjælp af forskriften får man at vide, hvilken sammenhæng, der er mellem x og y.

Mere præcist får man at vide, hvordan y-værdierne til punkterne, der er med i funktionen, skal beregnes.

Alle funktionsforskrifter starter med y = ….

Funktions-forskrift






Funktions-forskrift






y = 3·x - 4 y = -5·x - 2

y = ·x + 71

2y = 3 - 1·x

y = ·x - 11

4

Funktions-forskrift


Når en funktion skal tegnes, skal forskriften ”oversættes” til et grafisk billede i et koordinat-system.

Dette kan ske i en funktions-maskine. Du fodrer maskinen med input (x-værdier) som maskinen omsætter til output (y-værdier) Dette sker ved hjælp af forskriften.

På den måde beregnes værdier, der tilhører funktionens grafiske billede.

Funktions-maskine

y = 2 · x - 5





Funktions-maskine

y = 2 · x - 5

6





Funktions-maskine

y = 2 · 6 - 5

6





Funktions-maskine

y = 2 · 6 – 5 = 7

6





Funktions-maskine

y = 2 · x - 5

6

7


Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”.

Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften

Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis

y = 2 · x – 5

xy





y = 2 · x – 5

xy

-2-9

y = 2 · (-2) – 5 = -9





y = 2 · x – 5

xy

-2 0-9 -5

y = 2 · 0 – 5 = -5





y = 2 · x – 5

xy

-2 0 3-9 -5 1

y = 2 · 3 – 5 = 1





y = 2 · x – 5

xy

-2 0 3 7-9 -5 1 9

y = 2 · 7 – 5 = 9


Funktionen tegnes ved at man afsætter de beregnede værdier i koordinatsystemet:

Tegning af funktionen i et koordinatsystem

y = 2 · x – 5

xy

-2 0 3 7-9 -5 1 9


Funktionen tegnes ved at man afsætter de beregnede værdier i koordinatsystemet – og tegner linien, der dannes af punkterne.

Tegning af funktionen i et koordinatsystem

y = 2 · x – 5

xy

-2 0 3 7-9 -5 1 9

Lineære funktioner: Altså:

xy

-2 0 3 7-9 -5 1 9

Sildeben

y = 2 · x – 5

Funktionsforskrift

Grafisk billede

y = 2 · x - 5

Funktionsmaskine


y = 2 · x – 5

Funktionsforskrift

Grafisk billede

Lad os i det følgende koncentrere os om, hvordan man ud fra forskriften kan tegne det grafiske billede direkte…


Lad os først koncentrere os om a-værdien


Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner:

Funktionsforskriften for en lineær funktion:

… hvor a og b erstattes med vilkårlige tal bliver en ret linie, når den afbildes i et koordinatsystem!

y = a · x + b


y = 1 · x - 1

a = 1




y = a · x + b


a = - 0,25y = 1 · x - 1

y = - 0,25 · x - 1

a = 1




y = a · x + b


y = 1 · x - 1

y = 0,5 · x - 1

y = - 0,5 · x - 1

a = - 0,25

a = 1

a = 0,5Lad os se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af a, mens b = -1 i alle funktioner:



y = a · x + b


y = 1 · x - 1

y = 0,5 · x - 1

y = 2 · x - 1

y = - 0,5 · x - 1

a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2




y = a · x + b


y = 1 · x - 1

y = 0,5 · x - 1

y = 7 · x - 1

y = 2 · x - 1

y = - 0,5 · x - 1

a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2a = 7




y = a · x + b


y = 1 · x - 1

y = 0,5 · x - 1 y = - 1 · x - 1

y = 7 · x - 1

y = 2 · x - 1

y = - 0,5 · x - 1

a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2a = 7

a = - 1




y = a · x + b


Funktionerne til højre hedder alle

a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2a = 7

a = - 1

y = a · x - 1

… hvor a antager forskellige værdier.

Læg mærke til, at

… alle linierne går gennem samme punkt på y-aksen, (0,-1)

… jo større værdien ”a” er, desto stejlere bliver linien

… positive værdier af ”a” giver voksende linier, mens negative værdier giver aftagende linier.



a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2a = 7

a = - 1


Læg mærke til, at

… alle linierne går gennem samme punkt på 2. aksen, (0,-1)

… jo større værdien ”a” er, desto stejlere bliver linien


y = a · x - 1



a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2a = 7

a = - 1

y = a · x - 1


Læg mærke til, at


… jo større værdien a er, desto stejlere bliver linien




a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2a = 7

a = - 1

y = a · x - 1


Læg mærke til, at


… jo større værdien a er, desto stejlere bliver linien

… positive værdier af a giver voksende linier, mens negative værdier giver aftagende linier.



a = - 0,25

a = 1

a = 0,5

a = 2a = 7

a = - 1

y = a · x - 1


a kaldes liniens stigningstal, fordi a fortæller, hvor meget linien stiger

Man kan også sige, at a kaldes liniens hældningskoefficient, fordi a fortæller, hvor meget linien hælder


Lad os dernæst se på b-værdien


Lad os herefter se på forskellige lineære funktioner – forskellige værdier af b, mens a = 1 i alle funktioner:



y = 1 · x - 1

b = -

1

y = a · x + b





y = 1 · x - 1

y = 1 · x - 3

b = -

1

b = -

3

y = a · x + b





y = 1 · x - 1 y = 1 · x + 0

y = 1 · x - 3

b = -

1

b = -

3b

= 0

y = a · x + b


y = a · x + b




y = 1 · x - 1 y = 1 · x + 0

y = 1 · x - 3

b = -

1

b = -

3b

= 0

y = 1 · x + 3

b = 3


b = -

1

b = -

3b

= 0

b = 3


… hvor b antager forskellige værdier.

Læg mærke til, at

y = 1 · x + b


b = -

1

b = -

3b

= 0


y = 1 · x + b

… hvor b antager forskellige værdier.

Læg mærke til, at

… linier med samme a-værdi bliver parallelle

b = 3


Altså…

Alle lineære funktioner hedder

y = a · x + bhvor a er stigningstallet og b er skæringspunktet med y-aksen

Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,b) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien.

Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a op (eller ned, hvis a er en negativ værdi).


Eksempel:

Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien.

Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og 2 op.

… og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op.

y = 2 · x – 3


Eksempel:


Du finder næste punkt på linien ved at gå 1 vandret fremad fra punktet og a=2 op.


y = 2 · x – 3


Eksempel:


Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=2 op.


y = 2 · x – 3


Eksempel:

y = 2 · x – 3




Og sådan kan man blive ved…


Eksempel:

y = 2 · x – 3




Og linien kan tegnes…


Eksempel 2:

Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,1) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien.

Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og 0,5 ned.

… og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 0,5 ned.

y = – 0,5 · x + 1


Eksempel 2:


Du finder næste punkt på linien ved at gå 1 vandret fremad fra punktet og a=0,5 ned.


y = – 0,5 · x + 1


Eksempel 2:


Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=0,5 ned.


y = – 0,5 · x + 1


Eksempel 2:




Og sådan kan man blive ved…

y = – 0,5 · x + 1


Eksempel 2:




Og linien kan tegnes…

y = – 0,5 · x + 1

Eksempler på problemer … der giver lineære funktioner:

1. Peter køber mælk i supermarkedet. Mælken koster 7,50 kr/liter. Til at bære mælken hjem køber Peter en bærepose til 3,00 kr. Peter kommer af med:


1. Peter køber mælk i supermarkedet. Mælken koster 7,50 kr/liter. Til at bære mælken hjem køber Peter en bærepose til 3,00 kr. Peter kommer af med: y = 7,5 · x + 3



2. Maj går på diskotek. Entreen koster 50 kr. Maj drikker kun sodavand hele aftenen. Sodavand koster 18 kr/stk. Maj kommer i alt af med:



2. Maj går på diskotek. Entreen koster 50 kr. Maj drikker kun sodavand hele aftenen. Sodavand koster 18 kr/stk. Maj kommer i alt af med: y = 18 · x + 50




3. Hans skal med bussen – og han skal gerne have sin cykel med. Prisen er 8 kr/takstzone. Det koster derudover 35 kr at have cyklen med bussen. Hans kommer i alt af med:




3. Hans skal med bussen – og han skal gerne have sin cykel med. Prisen er 8 kr/takstzone. Det koster derudover 35 kr at have cyklen med bussen. Hans kommer i alt af med: y = 8 · x + 35





4. Erna køber nogle pakker chips til 20 kr/pakke. Hun indløser samtidig en flaskebon, der lyder på 36,50 kr. Erna skal i alt af betale:





4. Erna køber nogle pakker chips til 20 kr/pakke. Hun indløser samtidig en flaskebon, der lyder på 36,50 kr. Erna skal i alt af betale: y = 20 · x – 36,5






5. Kurt kører med taxa. Takstprisen er 24 kr/km og dertil kommer startgebyr på 30 kr. Kurt kommer af med:






5. Kurt kører med taxa. Takstprisen er 24 kr/km og dertil kommer startgebyr på 30 kr. Kurt kommer af med: y = 24 · x + 30


y = 2 · x – 5

Funktionsforskrift

Grafisk billedeNu da vi behersker den lineære funktion og kan tegne den ud fra forskriften – kunne det være interessant at se, om man også kan gå den omvendte vej…

?

Kan man regne sig frem til forskriften for den lineære funktion, når man kun kender det grafiske billede?


Svaret er: JA, det kan man godt.

1. Find og afmærk 2 punkter, der ligger på linien


Svaret er: JA, det kan man godt.


(4,-3)

(-2,6)

(x2,y2) = (-2,6)

Lineære funktioner: Svaret er: JA, det kan man godt.


2. Stigningstallet, a, findes ved at beregne:

(x1,y1) = (4,-3)

(x2,y2) = (-2,6)




(x1,y1) = (4,-3)

a =(y2 – y1)

(x2 – x1)

(x2,y2) = (-2,6)




(x1,y1) = (4,-3)

a =(y2 – y1)

(x2 – x1)=

(6 – (–3))

(–2 –4)

(x2,y2) = (-2,6)




(x1,y1) = (4,-3)

a =(y2 – y1)

(x2 – x1)=

(6 – (–3))

(–2 –4)

= 9

– 6

(x2,y2) = (-2,6)




(x1,y1) = (4,-3)

a =(y2 – y1)

(x2 – x1)=

(6 – (–3))

(–2 –4)

= 9

– 6= –1,5

(x2,y2) = (-2,6)




(x1,y1) = (4,-3)

a =(y2 – y1)

(x2 – x1)=

(6 – (–3))

(–2 –4)

= 9

– 6= –1,5

3. Skæring med 2. aksen = (0,3)

(x2,y2) = (-2,6)




(x1,y1) = (4,-3)

a =(y2 – y1)

(x2 – x1)=

(6 – (–3))

(–2 –4)

= 9

– 6= –1,5

3. Skæring med 2. aksen = (0,3)

4. Altså er funktionsforskriften:

y = –1,5 · x + 3

(x2,y2) = (-2,6)

Lineære funktioner

Documents

Lineære funktioner