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Chapter 5 Aberrations. 在近軸近似下，物體的影像是完美的，即所有從單一物點發射出的光線，均會匯集至同一點，且光學系統的放大率是常數。但對真實的光學系統而言，非近軸光亦會對成像有影響，因此產生所謂的 aberration 像差。. - PowerPoint PPT Presentation
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Chapter 5
Aberrations
在近軸近似下，物體的影像是完美的，即所有從單一物點發射出的光線，均會匯集至同一點，且光學系統的放大率是常數。但對真實的光學系統而言，非近軸光亦會對成像有影響，因此產生所謂的 aberration 像差。
對一圓柱對稱的系統，在單一波長的光下，主要的像差可分為五種因素，分別是 spherical aberration 球面像差 ( 球差 ) ，coma 慧形像差 ( 慧差 ) ， astigmatism 像散， curvature of field 像面彎曲 ( 場曲 ) ，以及 distortion 畸變。這些統稱 Seidal aberration 。又稱為 monochromatic aberration 單色像差。當光源包含許多波長，由於物質折射率與波長有關，因此會產生 chromatic aberration 色差。
Chromatic Aberration
1 2
1 1 1( 1)n
f R R
薄透鏡的焦距滿足
因此當折射率 n 因波長而改變 n ，焦距之變化為
21 2
1 1 1
( 1)
fn n
f R R n f
( 1)
nf f
n
若藍光與紅光的折射率分別為 nb 與 nr
其色差為
( )
( 1)b r
r b
n nf f f
n
The Achromatic Doublet 消色差對
考慮一組薄透鏡，由不同材質所做成，兩者緊密相接。令 nb 、 ny 、 nr 分別為第一個透鏡對藍、黃、紅三種光線的折射率；nb’ 、 ny’ 、 nr’ 為第二個透鏡對藍、黃、紅三種光線的折射率。若 fb 與 fb’ 為此二透鏡對藍光的焦距， Fb 為此二透鏡組合之焦距，有
1 2
1 2
1 1 1 1 1( 1)
'
1 1( ' 1)
' '
bb b b
b
nF f f R R
nR R
( 1) ( ' 1)1 1 1
1 ' 1 'b b
b
n n
F n f n f
' '
, ' '2 2
b r b ry y
n n n nn n n n
此處 f 與 f’ 為黃光區域之焦距，
( 1) ( ' 1)1 1 1
1 ' 1 'r r
r
n n
F n f n f
同理，
若此透鏡組合對藍光與紅光有相同焦距，則有
( 1) ( ' 1) ( 1) ( ' 1)1 1 1 1
1 ' 1 ' 1 ' 1 'b b r rn n n n
n f n f n f n f
( ) ( ' ')'0 where , '
' 1 ' 1b r b rn n n n
f f n n
與 ` 稱為 dispersion power 色散率。由於兩者均為正數，因此 f 與 f ` 需異號。又若 = ` 則 f = f ` ，組合之焦距為無窮大，因此一消色差對必須由不同材質構成。
Example 5.1 一消色差對焦距為 20 cm ，由硼玻璃之凸透鏡與燧石玻璃之凹透鏡所組成。假設 nb = 1.52264 、 nr = 1.51462 、 nb’ = 1.62901 與 nr’ = 1.61216 ，請計算兩透鏡之焦距分別為何。
' '1.51863, ' 1.62058
2 2b r b rn n n n
n n
1.52264 1.514620.01546
1 1.51863 1' ' 1.62901 1.61216
' 0.02715' 1 1.62058 1
b r
b r
n n
nn n
n
'0
'f f
0.56942
'
f
f
1 1 1
' 20f f
20(1 0.56942) 8.61cm
' 15.1cm0.56942
f
ff
t
f f´
The Separated Achromatic Doublet1 1 1
' '
t
F f f ff
21 2
1 1 1
( 1)
fn n
f R R n f
1 2
1 1 1( 1)n
f R R
2 2 2 2 2
' '
' ' '
' '
( 1) ( ' 1) ' ( ' 1) ' ' ( 1)
'( ')
' '
F f f t f t f
F f f f f f f
n n t n t n
n f n f f n f f n f
t
f f ff
若此透鏡組合無色差，則有'
( ')' '
t
f f ff
' '
'
f ft
若此二透鏡由相同材質所製成，則有 '
2
f ft
此即所謂 Huygens` eyepiece
Spherical Aberrations
longitudinal spherical aberration 縱向球差lateral spherical aberration 橫向球差
circle of least confusion 明晰圈
當光束平行於軸入射透鏡時，離軸越遠的光，在軸上的匯聚點，離近軸焦點 FP 越遠，此稱為球面像差。由透鏡邊緣入射之光匯聚點稱為邊緣焦點 FM 。
考慮如圖之折射平面，在 z = 0 處分開兩不同折射率的介質，假設n2 > n1 。若 P 為物點，考慮一光束 PM 入射折射面於高度 h 處，折射後光束看來如同自 Q 點發射。倘若 P 、 Q 的位置分別為 z0 、 z1 ，由 Snell`s law
2 1sin sin , where /n n n n
21 cot 1 sin
sin
hz h
21 2
11 sin
sin
nhz
n
2 2
0
sinh
h z
又
1/ 222 2 1/ 2
0 2 2 20
1( ) 1
( )
nh hh z
h n h z
Q P O z
M
–z1
–z0
n1 n2
h
z = 0
對一柱狀對稱光學系統，若物點在系統的軸上，成像只需考慮球差。 ( 慧差、像散等均為離軸像差 )
1/ 21/ 2 12 2 2
1 0 2 2 2 20 0 0
| | 1 1 1h h h
z n zz n z z
當 h 0 1 0| |z n z 此即近軸近似之結果
2 2
1 0 2 2 20 0
22
0 2 20
| | 1 12 2
| | 1 12
h hz n z
z n z
hn z n
n z
考慮下一階的近似，在 |h/z0| << 1 下
2 2
2 20 02 2
0 0
| | 1 1 ( | |) 12 2 | |
h hz n z n n z n
n z n z
此即 ( 折射平面之 ) 縱向球差
–z0
A B C –R
n2(>n1)
Normal
n1
對如圖之單一球形折射面之球面像差為
2
22 1 2 12
0 1 02 12
0 1
( ) 1 1 1
12
n n n nz h
R z n z Rn nn
z n R
※當 1 20
1
n nz R
n
z = 0 ， 無球面像差，
此即消球像差點。
對一組平行於軸的光束，可證明一曲面半徑分別為 R1 與 R2 之薄透鏡，若透鏡折射率為 n ，其球差係數
2
2 32 2 1
1 2
( 1) 1 1 1 ( 1) 1
2
1 1 1where ( 1)
f n nA
n R f R f R
nf R R
當光束入射透鏡處與距離光軸為 h ，其橫向球差3
latS Ah縱向球差
2longS Ah f
–2.0 –1.0 1.0 2.0
–0.20
–0.10
–0.30
0.10
0q
Sphe
rical
abe
rratio
n
Coma 2 1
2 1
R Rq
R R
δ
δ1
δ2 δ2
δδ1
A
B C
A
B
C1 C2 C D
L1 L2
h1h2
1
x f1– x
f1
2
因此，由兩分開距離 x 的薄透鏡組，要達成最小球差的條件為兩透鏡偏向角， 1 = 2
A
h
v
1 2P Q
(–u)
考慮光線經過一透鏡產生的偏向角，由上圖有
1 2
1 1h h hh
u v v u f
因此最小球差的條件可轉為 1 2
1 2
h h
f f
因為 AC1D 與 BC2D 為相似三角形，有 1 2
1 1
h h
f f x
x = f1 f2
對 Huygens eyepiece 要求 1 2
2
f fx
且 x = f1 f2
f1 = 3f2 ， x = 2f2
Coma軸上的物點只存在球差，對離軸的物點，像差的來源還有 coma 、 astigmatism 、 curvature of field 及 distorsion 。
當近軸處與透鏡邊緣的放大率不同，若考慮一組光線照射到距透鏡中心 h 處的區域，相距 2h 的兩道光會在像平面上聚於一點，而不同對的光聚焦於像平面上一個圓形上不同的點。此區域的半徑增加，像平面上的圓中心會更偏離理想的像，形成類似慧星的圖案，因此稱為 coma 慧差。
22 2
2 2 21 2 1 2
3( 1) ( 1)(2 1) 1coma tan
2
n n n n n nfh
nR R n R R
–2.0 –1.0 1.0 2.0
–0.20
–0.10
–0.30
0.10
0q
Sphe
rical
abe
rratio
n
Coma
2 1
2 1
R Rq
R R
可證明，當 q = 0.8 ， coma 為零
對一道平行光與透鏡之軸成角入射，形成之慧差可證明如下：
astigmatism and Curvature of Field
當光學系統在沒有球差及慧差的情形下，軸附近的物點成像縱然可很清晰，但遠離軸的物點仍會受像散的影響。考慮遠離軸一點 P ，當光學系統中只有像散像差時，成像如圖。
其中 P 點與軸構成一平面，稱為子午面 meridional plane ，另一含軸但與子午面垂直之平面稱為弧矢面 sagittal plane 。由圖可觀察到，在子午面上的光線與弧矢面的光線收斂至不同點。如光束 PA 與 PB 聚焦於 T ，光束 PC 、 PD 聚焦於 S 。在 T 點，在弧矢面上的光尚未聚焦，會形成一垂直子午面之聚焦線，稱為 tangential focal line 。同理在 S 處會形成在子午面之焦線，稱為sagittal focal line 。像散即以 S 與 T 的距離來量度。
當物點離軸越遠， S 與 T 的距離越遠，且兩者均落於弧形曲面上，如右圖所示。因此即使光學系統能使兩曲面重疊，使像散消除，但像平面仍為曲面而非平面，此即像面彎曲。
Distortion 考慮一針孔置於一光學系統之軸上，由於物發出之光只有一道可經過針孔而成像，因此成像不會產生球差、慧差、像散等像差。
考慮上圖中物點 A 、 B 、 C 、 D 為等間隔，分別成像於 A` 、B` 、 C` 、 D` 。若系統的放大率並非均勻，則像點會間距不一，即成像產生扭曲。
一般可將柱狀對稱系統之畸變表示如下2 2
0 0 0 0
2 20 0 0 0
( )
( )
d
d
X Mx E x y x
Y My E x y y
其中 (x0, y0) ， (Xd, Yd) 分別為像點與物點之座標， M 為放大率， E 為畸變係數。
Fig. 5.5 The spherical aberration of a convex lens (photograph courtesy Dr. K.K. Gupta).
n1
n2
A F O
P(x,y) Q
B
Fig. 5.8 For Example 5.3.
D
f
P
P
P
P
Fig. 5.14 A perfectly spherical wave (converging on the plane PP’ ) will produce an Airy pattern in the image plane.
