7장 1/30

Chapter 7

내 력

(Internal Forces)

7장 2/30

제 6장에서는 구조용 부재의 연결부에 작용하는 힘을 구하는 방법을 소개하였다.

일단 연결부에 작용하는 힘이 구해지면 다음의 해석단계는 부재내부에 작용하는 힘

즉 부재의 내력을 계산하는 일이다.

한편, 제 6장에서는 단면법을 사용할 때 트러스 구조의 부재는 두 힘 부재이므로

부재의 내력은 단면의 위치와 무관함을 알게 되었다. 그러나 프레임이나 기계와 같

이 다력부재인 경우에는 단면의 위치에 따라 내력은 달라질 수 있다.

제 7장에서는 부재의 특정지점에서의 내력을 구하는 방법(단면법)과 각 지점에서

의 내력의 변화를 그래프로 나타내는 방법을 소개한다.

내력의 계산이 왜 그리 중요한가? 비록 해석을 간단히 하기 위해 기

하학적인 측면만 고려함으로써 부재를 강체로 가정하긴 하지만 현실에

있어서는 변형체라는 사실을 상기해 보라.

주의

7장 3/307.1 구조용 부재 내에 발생하는 내력

(Internal Forces Developed in Structural Members)

7장 4/30

일반적인 해석 순서

① 구조물전체에서 지지반력 계산

② 가상단면에 의해 분리된 부분에서 내력 계산

C의 단면은 고정지지와 효과가 같음을 유의하라. Table 5-1(10)을 참고

하라.

미지력의 수가 평면힘계의 경우 3개, 삼차원 힘계의 경우 6개를 초과하

지 않도록 단면을 설정해야 한다.

Fig. 7-1(c)의 단면 C에 작용하는 내력의 방향이 두 부분에서 반대로 표

시된 점을 유의하라.

주의

7장 5/30

7장 6/30예제 7-1 : Example 7-1

The bar is fixed at its end and is loaded as shown in Fig. 7-4a.

Determine the internal normal force at points B and C.

(Sol.)

지지반력 : 봉전체에 대해서

ΣFy = Ay –16 + 12 – 4 = 0, Ay = 8 kN

전단력 Ax와 굽힘모멘트 MA는 왜 자유물체도

(b)에 나타나지 않았을까?

주의

내력 : AB 부분

ΣFy = 8 – NB = 0 ∴ NB = 8 kN

DC 부분

ΣFy = NC – 4 = 0 ∴ NC = 4 kN

1. (a)의 4, 12, 16 kN의 힘은 외력임을 명심하라.

2. 부분을 달리 잡아서 내력을 계산해보라.

주의

7장 7/30

예제 7-2 : Example 7-3

The beam supports the loading shown in Fig. 7-6a,

Determine the internal normal force, shear force, and

bending moment acting just to the left, point B, and just

to the right, point C, of the 6-kN force.

(Sol.)

지지반력

ΣFy = Ay + Dy – 6 = 0

ΣMD = 9 + 6(6) - Ay(9) = 0

∴ Ay = 5 kN, Dy = 1 kN

내력

AB 부분

ΣFx = NB = 0

ΣFy = 5 - VB = 0, VB = 5 kN

ΣMB = -(5)(3) + MB = 0, MB = 15 kN⋅m

7장 8/30

AC 부분

ΣFx = NC = 0

ΣFy = 5 – 16 - VC = 0, VC = 1 kN

ΣMC = –(5)(3) + MC = 0, MC = 15 kN⋅m

주의 집중외력 6 kN이 작용하는 지점 좌우에서 굽힘모멘트는 연속이지만 전

단력의 불연속이 발생함을 유의하라. 이 점은 부분 BC의 자유물체도를 생

각해보면 명확해진다.

7장 9/30

예제 7-3 : Example 7-4

Determine the internal normal force, shear force,

and bending moment acting at point B of the two-

member frame shown Fig. 7-7a.

(Sol.)

지지반력 : 부재 CD가 두힘부재이므로 부재 AC의 자

유물체도로부터 FDC의 방향은 결정된다.

ΣMA = –400(4) + (3/5)FDC(8) = 0, FDC = 333.3 lb

ΣFx = – Ax + (4/5)FDC = 0, Ax = 266.7 lb

ΣFy = Ay – 400 + (3/5)FDC = 0, Ay = 200 lb

7장 10/30

내력 : AB부분에 대해서

ΣFx = NB – 266.7 = 0, NB = 26.7 lb

ΣFy = 200 – 200 – VB = 0, VB = 0 lb

ΣMB = MB – 200(4) + 200(2) = 0, MB = 400 lb⋅ft

부분 BC에 대해서도 마찬가지의 결과를 얻을 수 있다.

주의 분포하중을 집중하중으로 대체하지 말고 그대로 해석해보라.

7장 11/30

예제 7-4 : Problem 7-30

The pliers are used to grip the tube. If a force of 20 lb is applied the handles, determine

the internal shear force and moment at point C. Assume the jaws of the pliers exerts only

normal forces on the tube.

문제의 요지 : 점 C의 내력을 구하기 전에 C를 포함하는 plier의 해석을 통해 B에서

의 지지반력을 먼저 구해야 한다.

7장 12/30

0.51

xRB

Ax

Ay

A

C10

20

y(Sol.)

ΣMA = –20(10) + RB (1.5) = 0

∴ RB = 133.3 lb

1

xRB

NC

y

MC

VC

부분 BC

ΣFy = VC + 133.3 = 0 , VC = -133.3 lb (전단력)

ΣMC = -MC + 133.3(1) = 0 , MC = 133.3 lb⋅in (굽힘모멘트)

ΣFx = -NC = 0 , NC = 0 lb

7장 13/30

7.2 보의 전단력 및 모멘트 식과 선도(Shear and Moment Equations and Diagrams)

보의 설계를 위해서는 보의 축

방향으로 측정한 각 지점에 작용

하는 전단력 V와 굽힘모멘트 M의

변화를 자세히 알아야 한다. 단면

법을 사용하여 x의 함수로서 구한

V와 M을 그림으로 나타낸 것을

각각 전단력선도(shear diagram)

와 모멘트선도(moment diagram)

라 한다.

보는 그 축에 수직으로 작용하는 하중을 지지하도록 설계된 구조용 부재이다. 보

통 보는 긴 직선 봉으로서 일정한 단면적을 가지며, 종종 그 지지방법(경계조건)에 의

해 분류된다. 예를 들자면 단순지지보, 외팔보, 고정보 등이 있다.

7장 14/30

이 규약에 따르면 전단력은 구조물요소

를 시계방향으로 회전시키려 하고 모멘트

는 그 요소를 아래로 볼록한 굽힘변형을

일으키려 한다는 점을 유의하라.

주의

일반적으로 분포하중이 불연속이거나 집중하중 또

는 우력모멘트가 작용하는 지점에서 전단력과 굽힘

모멘트 혹은 그들의 도함수가 불연속이 될 수 있다.

따라서 절단면은 이 불연속지점을 피해서 설정되어

야 한다.

• 부호 규약 (sign convention)

보의 절단면에 작용하는 양과 음의 전단력과 모멘

트를 정의하기 위한 부호규약은 임의로운 것이지만

Fig. 7-11의 규약을 선택하기로 한다.

7장 15/30

예제 7-5 : Example 7-7

Draw the shear and bending-moment diagram for the shaft

shown in Fig. 7-12a. The support at A is a thrust bearing and

the support at C is a journal bearing.

(Sol.)

지지반력 : RA + RC – 5 = 0

∑MA = RC(4) – 5(2) = 0

∴ RA = RC = 2.5 kN (대칭을 고려하면 직관으로 알 수도 있다.)

전단력과 모멘트

x = 2 m에 집중력이 작용하므로 두 구간으로 나누어서 해석해야 한

다.

i) 0 ≤ x < 2 일 때 :

∑Fy = 2.5 – V = 0, V = 2.5

∑MA = M – V x = 0, M = 2.5 x

7장 16/30

ii) 2 ≤ x ≤ 4 일 때 :

∑Fy = 2.5 – V – 5 = 0, V = –2.5

∑MA = M – 5(2) – V x = 0, M = 10 – 2.5 x

보의 내부에 작용하는 전단력이 불

연속이란 점은 비현실적이다. 왜 이런

결과를 얻게 되었을까? 점 B에 가해진

집중력 5 kN은 현실적일까?

주의

전단력선도와 모멘트 선도

7장 17/30

예제 7-6 : Example 7-8

Draw the shear and bending-moment diagram for the

beam shown in Fig. 7-13a.

(Sol.)

지지반력 : ∑Fy = RA + RB – 6(9) = 0

∑MA = RB(9) – 6(9)

RA = 9 kN, RB = 18 kN

21

21 6 3

RA RB

)9(621

31

전단력과 모멘트

하중함수가 연속이므로 내력의 불연속이 예상되는 점이 없

으므로 구간의 구분이 없이 해석하기로 한다.

즉 0 ≤ x ≤ 9

∑Fy = 9 – x2 – V = 0, V = (9 – ) kN

∑MA = M + x2 ( ) – 9x = 0, M = (9x – ) kN⋅m31

3

2x

3x

9

3x

7장 18/30

전단력선도와 모멘트 선도

전단력이 0일 때 모멘트가 극대값을 가지게 됨을 유의하라.주의

7장 19/30

예제 7-7 : Problem 7-64

The semicircular rod is subjected to a

distributed loading ω = ω0 sin θ.

Determine the internal normal force, shear

force, and moment in the rod as a function

of θ.

(Sol.)

rθ

θ ′

dθ ′

MN

Vxy

w(θ' )

θ - θ ′

0))cos(1()sin()(

)sin()cos()(

0)sin()(

0)cos()(

sin)(

0

0

0

0

0

=′−−′−′′−

′−′−′′−−=∑

=′−′′+=∑

=′−′′−=∑

′=′

∫

∫

∫

∫

θ

θ

θ

θ

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθθ

θθθθ

θθ

rwrd

rwrdMM

wrdNF

wrdVF

ww

y

x

θθ sin21

0rwV = )cos(sin21

0 θθθ −= rwN )cos(sin21 2

0 θθθ −= rwM, ,

7장 20/30

7.3 분포하중, 전단력 및 모멘트 사이의 관계(Relations Between Distributed Load, Shear, and Moment)

여기선 앞에서 소개한 방법보다 더 간편하게 전달력과 모멘트를 구하는 방법을 소

개하기로 한다. 이 방법은 분포하중, 전단력, 모멘트 사이에 존재하는 미분관계에 기

초를 두고 있다.

분포하중 w(x)와 몇 개의

집중력 Fi와 우력모멘트 Mi

가 작용하는 보를 생각해보

자.

• 분포하중

보의 단면에 작용하는 내력인 전단력 V와 굽힘모멘트 M과 분

포하중 w(x)와의 관계를 구하기 위하여 길이가 ∆x인 보요소(집

중력과 우력모멘트가 작용하지 않는)의 자유물체도를 생각해보

자.

w(x+Δx)

7장 21/30

∑Fy = V – w(x) ∆x – (V + ∆V) = 0

∆V = – w(x) ∆x

∑MO = –V ∆x – M + w(x) ∆x [k⋅∆x] + (M + ∆M) = 0

여기서 0 ≤ k ≤ 1이며 균일하중의 경우 k = 1/2이다.

∆M = V ∆x – w(x) k (∆x)2

위의 식들을 ∆x로 나누고 ∆x → 0인 극한을 취하면 다음을 얻는다.

)(xwdxdV

−=

전단력의 도함수

(전단력선도의 기울

기)

분포하중강도(distributed load intensity;

아래방향을 양의 방향으로 잡은)의 음=

Vdx

dM=

모멘트의 도함수 = 전단력

7장 22/30

1. 이 결과는 k의 값에 무관하다.

2. 전단력이 0일 때 모멘트가 극대 또는 극소가 된다.

주의

∫∫ −=∆= C

B

C

B

x

xBC

V

VdxxwVdV )(

전단력의 변화 = 하중곡선 아래의 면적이 음

∫∫ =∆= C

B

C

B

x

xBC

M

MdxxVMdM )(

모멘트의 변화 = 전단력선도 아래의 면적

이상의 결과는 집중력과 우력모멘트가 작용하지 않는 보요소에 대해 유

도한 결과이므로 집중력과 우력모멘트가 작용하는 점에서는 이 결과가 적

용될 수 없다.

주의

7장 23/30

• 집중하중

집중력이 작용하는 미소요소를 생각해보면

0)( =∆+−−=∑ VVFVFy

FVx

−=∆→∆ 0

limFV −=∆ ,

0)(0 =∆++−∆+∆−=∑ MMMxFkxVM

xFkVM ∆−=∆ )(

0lim0

=∆→∆

Mx

결국 집중하중 좌우에서 굽힘모멘트는 연속이지만 전단력은 –F(집중하중의 음)만큼

불연속(점프)이 발생한다.

분포하중이 추가되더라도 같은 결과를 얻게 된다. 왜냐하면 ∆x→0의 극

한을 취하는 과정에서 분포하중의 기여는 0이 되기 때문이다.

주의

7장 24/30

• 우력모멘트

우력모멘트가 작용하는 미소요소를 고려하면

O0)( =∆+−=∑ VVVFy

FV −=∆∴ 0lim0

=∆→∆

Vx,

0)( 00 =∆−−−∆+=∑ xVMMMMM

xVMM ∆+=∆ 0

00lim MMx

=∆→∆

결국 우력모멘트 좌우에서 전단력은 연속이지만 굽힘모멘트는 M0만큼 불연속이 발

생한다.

보에 분포하중, 집중력, 우력모멘트가 함께 작용하는 경우에는 각각의

선도를 그린 후 합하면 된다.

주의

7장 25/30

예제 7-8 : Example 7-9

Draw the shear and moment diagrams for the beam

shown in Fig. 7-16a.

(Sol.)

지 지 반

력 : 0)8(50)0( =−=∑ VFy , )(lb400)0( ↑=V

0)4)(8(50)0( =−−=∑ MM A , M(0) = -1600 lb⋅ft ( )

V(0)

M(0)전단력과 모멘트

분포하중만 작용하므로

50−=−= wdxdV

x150)( CxxV +−=

7장 26/30

초기조건 400)0( 1 == CV

xxV 50400)( −=∴

xVdx

dM 50400−==

2225400)( CxxxM +−=

1600)0( 2 −== CM

2254001600)( xxxM −+−=

7장 27/30

예제 7-9 : Example 7-10

Draw the shear and moment diagrams for the

cantilevered beam shown in Fig. 7-17a.

(Sol.)

지지반력 :

12 8

40 lb/ft 600

1000V(0)

M(0)

전단력과 굽힘모멘트

i) 0 ≤ x < 12

0600)12(40)0( =−−=∑ VFy

)(lb1080)0( ↑=V

01000)20(600)6)(12(40)0( =−−−−=∑ MM A

M(0) = -15880 lb⋅ft ( )

40−=dxdV

140)( CxxV +−=,

1080)0( 1 ==CV

108040)( +−= xxV

7장 28/30

Vdx

dM= 2

2 108020)( CxxxM ++−=,

15880)0( 2 −== CM

15580108020)( 2 ++−= xxxM

ii) 12 ≤ x < 20

0=dxdV

3)( CxV =,

601080)12(40)12( =+−=V

600=dx

dM4600)( CxxM +=,

15880)12(1080)12(20)12(600)12( 24 −+−=+= CM

130004 −∴C

13000600)( −= xxM

i), ii)의 해석 없이 이 선도들을 그릴 수 있겠는가?주의

7장 29/30

예제 7-10 : Problem 7-77

Draw the shear and moment

diagrams for the beam.

(Sol.)

도해법(graphical method)의 예

① 지지반력

0)20(20 =+−=∑ CAy RRF

0)40(160)10)(20(20 =+−−=∑ CA RM

RC = 104 , RA = 296

② 20 < x < 40 에서 분포하중함수가 0이므로 전단력은 일정하다.

③ 0 < x < 20 에서 w = -20 이므로 전단력선도는 선형함수이다.

④ 보의 양단의 경계조건에서 굽힘모멘트는 0이다.

⑤ 20 < x < 40 에서 전단력이 일정하므로 굽힘모멘트는 기울기가 –104인 일차함수이

다.

7장 30/30

⑥ 전단력이 0인 지점 (x = 14.8)에서

모멘트가 최대인 포물선이 모멘트

선도가 된다.

0)8.14(2

8.14)8.14(20 ==+−=∑ xMM A

4.2190)8.14( ==∑∴ xM A

자세한 해석 없이 도해법만

으로 이러한 결과를 얻는

데는 많은 경험이 요구된다.

주의

20 lb/ft

160 lbft

104

104 ①

2020

① 296

296

14.8 ft

2080

20 × 104

=

1920⑥

④ ④

③

②

⑤

20 lb/ft

M(0) = 0 M(x = 14.8)296

14.8

V(x)

M(x)

x