CƠ HỌC VẬT RẮN

PGS. TS. Lê Công Hảo

CƠ HỌC VẬT RẮN

Vật rắn (VR):

+ Là một hệ chất điểm.

+ Khoảng cách giữa các chất điểm

không đổi trong quá trình chuyển

động

+ Áp dụng được các qui luật CĐ hệ

chất điểm vào CĐ vật rắn.

1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR

Khi VR tònh tieán, moïi ñieåm treân VR ñeàu vaïch ra

caùc quõi ñaïo gioáng nhau vôùi cuøng moät vaän toác.

M N G

M N G

v v v

a a a

→ → →

= =

= =

1 – Tịnh tiến:

• Mọi điểm trên vật rắn:

+ Cùng vectơ vận tốc

+ Cùng vectơ gia tốc

2. Khoái Taâm C

Định nghĩa: Xem vật rắn như một hệ gồm n

chất điểm.

1

1

n

i i

iC n

i

i

m r

r OC

m

→

→ →=

=

= =

m1

m3

m2

C

O

1r→

2r→

3r→

Gr→

+ C được gọi là khối tâm của

vật rắn nếu vị trí C thoả:

2. KHOÁI TAÂM C (“COM”)

VR

0rdm =

1 - Ñònh nghóa: Nếu chọn gốc toạ độ trùng khối tâm C

Khoái taâm cuûa heä laø ñieåm C thoûa maõn:

1

0n

i i

i

m r=

=C

m1

m3

m2

M1

M2

M3

Nếu khối lượng vật rắn phân bố liên tục

10C

M

r rdmM

= =1

n

i

i

M m=

=

* Ñaëc ñieåm cuûa C:

– Ñaëc tröng cho heä; laø ñieåm ruùt goïn cuûa heä.

– Naèm treân caùc yeáu toá ñoái xöùng.

* Phaân bieät khoái taâm vaø troïng taâm:

– Troïng taâm laø ñieåm ñaët cuûa troïng löïc

– Treân thöïc teá C truøng vôùi troïng taâm G

Toaï ñoä khoái taâm:

* Heä chaát ñieåm:

* Vaät raén:

====

m

zm

,m

ym

,m

xm

G)z,y,x(G

n

1i

ii

n

1i

ii

n

1i

ii

GGG

=

m

zdm

,m

ydm

,m

xdm

G)z,y,x(G VRVRVRGGG

* Ñoäng löôïng cuûa khoái taâm :

ni

i

c ic n

i

i

drm

dr dtV

dtm

= =

,

n n

i i ihe vati i

n n n

i i i

i i i

m v pP

m m m

= = =

,

n

he vati cc

i

p m v P

= =

1c i i

i

r m rm

=

1v

2v

3v

1m

2m

3m

11m v22m v

3 3m v

cP p=

Đặc điểm khối tâm

Gia tốc khối tâm

1 1 1

n n ni

i i i i

c i i ic n n n

i i i

i i i

dvm m a F

dv dta

dtm m m

= = == = = =

1

n

i

i

M m=

=cF M a=

1

n

i

i

F F=

=

Ñaëc tröng ñoäng löïc hoïc cuûa vaät raén chuyeån ñoäng tònh

tieán xem nhö ñoàng nhaát vôùi ñoäng löïc hoïc cuûa khoái taâm,

töùc cuûa moät chaát ñieåm maø ta ñaõ quen bieát.→ Chæ caàn

xeùt chuyeån ñoäng quay cuûa vaät raén.

Cho hệ 3 hạt đặt tại vị trí như

hình vẽ. Tìm tọa độ khối tâm

biết m1 = m2 = 1 kg, m3 = 2 kg?

Tìm khối tâm của thanh dài L khối lượng

M phân bố đều trên thanh? Khi thanh có

khối lượng phân bố không đều, và khối

lượng trên đơn vị chiều dài thay đổi theo

vị trí như λ = α.x?

Tìm vị trí treo bản hiệu café này? Biết rằng bản

hiệu này có khối lượng M phân bố đều và có bề

dày t

Hai vật có khối lượng m như nhau và

được gắn thông qua lò xo, khi lò xo nghỉ,

2 vật cách nhau L. Tác dụng 1 lực F vào

vật bên trái như hình vẽ, hai vật di chuyển

x1 và x2. Bỏ qua ma sát tính vận tốc khối

tâm và năng lượng dao động hệ sau khi

không còn tác động lực F?

Chuyển động quay

quanh trục của vật rắn

Trong cïng kho¶ng thêi gian

mäi ®iÓm cïng quay ®i gãc

Mäi ®iÓm cã cïng vËn tèc gãc

=d/dt & gia tèc gãc

=d/dt=d2/dt2

Vaän toác daøii

i i

v R v R

a R

→ → →

= =

= Gia tốc tiếp tuyến

4.2. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH

M

O

Lực tác dụng lên

vật rắn quay quanh trục

//F

tF

F

⊥F

nF

ω Xét vật rắn quay quanh một trục

cố định dưới tác dụng của ngoại lực

Ta có thể phân tích thành

các thành phần khác nhau:

F

⊥+= FFF //

nt FFF

+=⊥Mà:

Vậy:nt// FFFF

++=

PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH

4.2.1. Mômen động lượng của

vật rắn quay➢ Mômen động lượng

của chất điểm thứ i đối

với trục quay là:

iii pxrL

=

Hình 4.8

mi

M

iL

iFip

▪ hướng theo

phương tiếp tuyến.

▪ hướng theo phương

bán kính.

iii vmp

=

ir

hướng theo trục quayiL

ir

4.2. Phöông trình cô baûn cuûa vaät raén quay :

il

i

ir ivim

. ii iv r =

. .i i i iiiL r p r m v = = ,i i ir v p⊥

( ) 2i i i i i i i i i i iL m rv m r r m r = = =

2 2

i i i i i iL m r m r = =

i =

+Vaät raén ñang quay quanh truïc .

Xeùt chaát ñieåm im ivcoù vaän toác

Xaùc ñònh veùc tô i

+ Momen ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm,theo

ñònh nghóa :

Caùc chaát ñieåm coù cuøng vaän toác goùc :

2 2

i i i i i iL m r m r = =

2

i i i

i i

L L m r= =

2

i iI m r=

Momen ñoäng löôïng cuûa vaät raén quay ñoái vôùi truïc :

L I L I = → =

( ) ( ); tt L L = =

d L dI I

dt dt

= =

d LM

dt=

M I=

Ñaët : Momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc

Tröôøng hôïp toång quaùt :

Ñaët

Phöông trình cô baûn cuûa chuyeån ñoäng quay vaät raén .

i iM R F=

M I = =

4.3.1. Công thức

MÔMEN QUÁN TÍNH

CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN

➢ Mômen quán tính với một trục quay xác

định cho vật rắn gồm các chất điểm phân bố

rời rạc:

=

=n

1i

2

iiRmI

➢ Khi vật rắn gồm các chất điểm phân bố liên tục:

dmRIm

2

=

4.3.1.1.Mômen quán tính I của một

thanh đồng chất đối với trục quay vuông

góc với thanh tại trung điểm

Bài toán

Cho một thanh có chiều dài ℓ, khối lượng

m, tiết diện S. Tìm mômen quán tính I đối

với trục quay là trung trực của thanh.

Giả sử thanh nằm dọc theo trục Ox.

MÔMEN QUÁN TÍNH

CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN

Hình 4.10: Mômen

quán tính của thanh

ox x+ dx

dm

Chọn dm như hình vẽ. Gọi là khối lượng riêng của

thanh thì dm = Sdx.

dmxIm

2

=

32

2

2 ρSl12

1dxρSxI ==

−

Với Sl = m là khối lượng thanh.

Vậy: = 21

I ml12

Với R = x, ta có:

4.3.1.2 Mômen quán tính I của vòng tròn

đối với trục quay là trục của vòng tròn

Bài toán

Cho vòng tròn tâm O bán kính R, khối

lượng m. Tìm mômen quán tính của vòng

tròn đối với trục quay là trục của vòng

tròn.

Hình 4.11: Mômen quán

tính của vòng tròn

O R

dm

Chia vòng tròn ra làm nhiều

phần nhỏ có khối lượng dm, vì ở

trên vòng tròn nên dm cách tâm O

một khoảng bằng bán kính R. Vậy

ta có:

= 2I mR

dmRIm

2

=2

m

2 mRdmRI ==

Vậy:

4.3.1.2 Mômen quán tính I của vòng tròn

đối với trục quay là trục của vòng tròn

4.3.1.3 Mômen quán tính I của một đĩa

tròn đối với trục quay là trục của đĩa

Bài toán

Cho một đĩa tròn mỏng tâm O bán kính R,

khối lượng m. Tìm mômen quán tính của

đĩa tròn đối với trục quay là trục của đĩa.

Hình 4.13: Mômen quán

tính của đĩa tròn

R

r

dr

Chia đĩa thành nhiều vành

tròn tương đương những vòng

tròn có bán kính trong r, bán kính

ngoài r + dr, diện tích của vành

là dS = 2rdr và khối lượng của

nó là dm = dS, với là khối

lượng trên đơn vị diện tích.

4.3.1.3 Mômen quán tính I của một đĩa

tròn đối với trục quay là trục của đĩa

dmrdI 2=

rdr.2dSdm == = I R04R

0

3 r2

drr2

=

Với m = R2 nên: =2

mRI

2

4.3.1.4 Mômen quán tính của trụ rỗng,

trụ đặc

Trụ rỗng

Chia trụ rỗng thành n vòng tròn, mỗi vòng

có mômen quán tính2

i

2

iii RmRmI ==

2n

1i

i

22

i

n

11

i

n

1i

i mRmRRmII ==== ===

Mômen quán tính của trụ rỗng:

2mRI =Vậy:

Trụ đặc

Chia hình trụ đặc thành n đĩa

tròn, mỗi đĩa có mômen quán

tính:2

i

2

iii Rm2

1Rm

2

1I ==

Mômen quán tính của hình trụ

đặc:

===

===n

1i

i

22

i

n

11

n

1i

i mR2

1Rm

2

1II

Vậy:2mR

2

1I =

dzrz

O

Hình 4.13

H

z r

r’

4.3.1.5 Mômen quán tính của các vật

tròn xoay

Bài toán

Tính mômen quán tính của vật tròn xoay đối

với trục Oz khi biết sự phụ thuộc hàm r(z) và

mật độ .

Khái niệm: Vật tròn xoay là những vật mà bề

mặt của chúng được tạo thành bởi sự quay của

một đường cong phẳng quanh một trục nằm

trong mặt phẳng chứa đường cong đó.

➢ Ta chia vật thành những đĩa mỏng có chiều cao dz.

Mômen quán tính của mỗi đĩa được tính

dzπρr2

1dmr

2

1dI 42 ==

Với dm = r 2dz là khối lượng của đĩa.

➢ Vậy mômen quán tính của hình tròn xoay:

= = H

4

vtx 0

1I dI πρ r dz

2

Tính mômen quán tính của hình nón và hình cầu.

4.3.1.5 Mômen quán tính của các vật

tròn xoay

Hình nón

O

H A

z

z

Hình 4.14

R

r

➢ Đối với hình nón thì hàm r(z) có dạng:

zH

Rr =

5

H

H

Rπρ

2

1dzz

H

Rπρ

2

1I

54H

0

4

4

=

=

➢ Khối lượng hình nón: m = R2H

➢ Vậy: =23

I mR10

Hình cầu

O

z

z

Hình 4.15

r

R

Từ hình vẽ ta có: r2 = R2 – z2

( )

5555

R

R

222

R

R

4

πρR15

8R

5

1R

3

2Rπρ

dzzRπρdzrπρ2

1I

=

+−=

−== −−

Với khối lượng quả cầu:3πR

3

4ρm =

Vậy:= 2

2I mR

5

Tóm tắt Mômen quán tính của một số vật

Bạn làm rơi cuộn giấy vệ sinh 274 g ở độ

cao 0,73 m. Biết R1 = 2,7 cm, R2 = 6,1 cm.

Bao lâu nó chạm đất?

Con Yo-yo bán kính trong R1 và BKN R2

Tính gia tốc?

4.3.2. Định lý Steiner – Huyghens cho

mômen quán tính I đối với một trục bất

kỳ không qua khối tâmĐịnh lý Steiner – Huyghens

2

C maII +=

Với : trục quay bất kỳ không qua khối tâm

c: trục quay qua khối tâm của vật và song song với

I : mômen quán tính của vật rắn đối với trục

Ic: mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆cm : khối lượng của vật rắn

a : khoảng cách giữa hai trục và ∆c

CHỨNG MINH

➢ Xét tiết diện S của vật rắn vuông góc với hai trục và

C.

➢ Khoảng cách từ khối lượng vi phân dm đến các trục đi

qua C và A lần lượt là và .r

r

a

C

Hình 4.16

AC

O

C A

Hình 4.17: Tiết diện S của vật rắn

vuông góc với hai trục và C

dmB

➢ Vậy

( ) +== dmra2-dmadmrdmrI222

Do đó: ( ) ra2-arr 222

+=

a-rr

=Từ hình vẽ ta có:

Mômen quán tính

IC của vật đối với

trục đi qua khối

tâm C

= ma2

Mômen quán tính

của vật đối với

trục đi qua A

( )Crma2

=

0rC =

là bán kính véctơ xác định vị trí của khối

tâm C, mà gốc véctơ này chính là C, nên

Cr

Do đó: 2C maII +=

❖ Ví dụ: Tính mômen quán tính của thanh với

trục quay không qua khối tâm.

2

C maII +=

222ml

3

1ml

4

1ml

12

1I =+=

1I 2I

Heä coâ laäp goàm 2 “vaät quay” :

1 2

1 21 2L I I const = + =

0 0L =

;

Thôøi ñieåm ñaàu tieân heä ñöùng yeân :

0 1 21 2 0L L I I = = + =

1 21 2I I = −1

2 1

2

I

I = −

Baûo toøan momen ñoäng löôïng :

Thí nghieäm treân gheá Giucopxki:

;

Ngöôøi cho baùnh xe quay: 1

Gheá quay ngöôïc chieàu vôùi vaän toác goùc 2

0M L I const= → = =

Vuõ coâng vaø ñònh luaät baûo toøan

momen ñoäng löôïng

Ngoïai löïc taùc duïng leân vuõ coâng laø

troïng löïc.

Troïng löïc song song vôùi truïc quay .

+ Vuõ coâng dang thaúng tay :

iR I

Ví duïMoät ñóa maøi coù momen quaùn tính 1,2 x10

-3kg.m

2.ñöôïc gaén vaøo moät caùi

khoan ñieän, khoan naøy cho noù moät momen quay 16 Nm. Tìm:

a/ Vaän toác goùc vaø

b/ momen ñoäng löôïng cuûa ñóa sau khi ñoäng cô khôûi ñoäng 33 ms.

Phöông trình cô baûn cuûa chuyeån ñoäng quay :

4 2

3

161,33.10 /

1,2.10

Mrad s

I

−= = =

0t t = + =

41,33.10 t =333.10t s−=

4 31,33.10 .33.10 440 /rad s −= =

( )3 21,2.10 .440 0,528 /L I kgm s −= = =

Vaän toác goùc: Quay töø nghæ :0 0 =

a/ Vaän toác goùc cuûa ñóa luùc

b/ Momen ñoäng löôïng luùc ñoù laø :

Coâng cuûa momen löïc vaø ñoäng naêng cuûa vaät raén quay

r

dsd

tF

. . .t tdA F ds r F d= =

ds rd=. tM r F=tr F⊥

.dA M d=2

1

.A M d

=

.dA d

P M Mdt dt

= = =

M

.P M =

0lim

t

A dAP

t dt →

= =

.dA d s

P F F vdt dt

= = =

Xeùt vaät raén quay quanh truïc coá ñònh ,löïc

tieáp tuyeán naèm trong maët phaúng quyõ ñaïo.

Coâng vi phaân cuûa löïc tieáp tuyeán laø:

Vôùi chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm :

tF(4.8)

Ñoäng naêng cuûa vaät quay :

.dA M d=

. .d d

dA I d I d Id I ddt dt

= = = =

M I=d

dt

=

d

dt

=

2

2

IdA d

=

I const=2

1

2 2 2

2 1

02 2 2

AI II

A dA d

= = = −

2

2dq

IK

=

2 21 1

2 2tK mv I= +

Neáu :

dA W=

Neáu vöøa quay vöøa tònh tieán → Ñoäng naêng toøan phaàn :

Hai vật m1 = 3kg, m2 = 1,4 kg kết nối qua

RR khối lượng = 2,3kg. Tính VT vật m2khi ở độ cao h = 0,16 m?

Quả cầu đặc, KLượng M và BK

R, chuyển động TT nghỉ từ độ

cao H của Mp nghiêng 1 góc θ.

Tính vận tốc của nó (không trượt)

Ví duï

Moät con giaùn khoái löôïng m boø ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà theo meùp moät caùi

khay nhieàu oâ (moät ñóa troøn laép treân moät truïc thaúng ñöùng), baùn kính R,

momen quaùn tính I, vôùi oå truïc khoâng ma saùt.Vaän toác cuûa giaùn ñoái vôùi traùi

ñaát laø v, coøn khay quay theo chieàu kim ñoàng hoà vôùi vaän toác goùc 0

, con

giaùn tìm ñöôïc moät maãu vuïn baùnh mì ôû meùp khay vaø taát nhieân, noù döøng laïi.

a/ Sau khi giaùn döøng laïi,vaän toác caùi khay laø bao nhieâu ?

b/ Cô naêng coù ñöôïc baûo toaøn khoâng ?

0

0

v

CAÙC HEÄ THÖÙC TÖÔNG ÑÖÔNG GIÖÕA CHUYEÅN

ÑOÄNG TÒNH TIEÁN VAØ CHUYEÅN ÑOÄNG QUAY

Chuyeån ñoäng tònh tieán Chuyeån ñoäng quay

m 2vat i iI m r=

v a p mv= .l r p =

iP p= iL l=

F ma= M I=

d P Fdt= d L Mdt=

.M r F = F

P const= L const=

F const= M const=

mv

p mv=

v

l

im