CHƯƠNG 6: NHÓM VÀ BIỂU DIỄN CỦA NHÓM

Một phân tử gọi là đối xứng nếu sau khi ta thực hiện một số phép biến đổi nào

đó, ta lại được vật thể hay phân tử đó không khác về mặt vật lí so với chúng ở

trạng thái ban đầu

I. Các yếu tố đối xứng và các phép đối xứng phân tử

Hai phép đối xứng cơ bản là:

a) Phép quay hệ thống một góc xác định chung quanh trục đối xứng.

b) Phép phản chiếu qua một mặt phẳng xác định.

Các yếu tố đối xứng tương ứng với hai phép đối xứng này:

Trục đối xứng và phép quay Cn. Đó là phép quay chung quanh một trục với

góc bằng 2

n

Khi phản chiếu các nguyên tử đi qua một mặt phẳng phân tử ta có phép phản chiếu

σ.

Bằng phép phản chiếu này các hạt nhân nguyên tử trong phân tử đều đưa về những

vị trí tương đương dẫn đến một mặt đối xứng σ với 3 trường hợp.

* σh- mặt đối xứng thẳng góc với trục đối xứng chính.

* σv- mặt đối xứng chứa trục đối xứng chính.

* σd- mặt đối xứng đi qua đường chéo.

Mặt đối xứng và phép phản chiếu σ.

Quay quanh một trục rồi phản chiếu qua một mặt phẳng thẳng góc với trục Sn.

Phép quay Cn quanh một trục đi qua phân tử với góc và phản chiếu các

nguyên tử qua một mặt phẳng thẳng góc với trục dẫn tới phép phản chiếu quay

Sn.

2

n

+ Tâm đối xứng và phép đảo chuyển I.

Phép đối xứng này sau khi thực hiện sẽ không có một sự thay đổi nào. Nói chung

bất kì một phân tử nào cũng đều có đối xứng đơn vị (đối xứng hoàn nguyên I).

II. Nhóm điểm đối xứng

- Mỗi phân tử thường có vài yếu tố đối xứng xác định.

- Số yếu tố đối xứng càng lớn thì phân tử có bậc đối xứng càng cao

Tập hợp một số yếu tố xác định tạo thành một nhóm gọi là nhóm điểm đối xứng

Mỗi phân tử đều liên hệ với một nhóm điểm đối xứng xác định

Một số nhóm điểm đối xứng thông dụng:

- Nhóm Cn chỉ có trục đối xứng Cn đây là loại nhóm điểm đơn giản nhất

Ví dụ: Nhóm C1 chỉ chứa một phép đồng nhất E. Tất cả các phân tử không đối xứng

thuộc nhóm này.

Nhóm C2 có 2 phép đối xứng là C2 và I

Nhóm Cn có n phép đối xứng

Nhóm C2v: chứa một trục C2 và 2 mặt phẳng v và phép đồng nhất I

-Nhóm Cnh: bổ sung vào nhóm Cn thêm một mặt phẳng nằm ngang h thẳng góc với

Cn thì sẽ được nhóm Cnh

- Nhóm Sn (n chẵn) yếu tố đối xứng cơ bản là trục quay gương Sn

-Nhóm Dn:

Những phân tử có trục đối xứng Cn và n trục C2 phân bố thẳng góc với trục chính và

tạo với nhau những góc bằng /n thì thuộc nhóm Dn

-Nhóm Dnd

Bổ sung vào nhóm Dn thêm n mặt phẳng d qua trục Cn và đi qua đường phân giác

của góc giữa hai trục C2 liên tiếp sẽ là nhóm Dnd

III. Phân loại các nhóm điểm

- Nhóm đối xứng thấp: gồm những nhóm điểm có trục đối xứng Cn bậc n 2

Ví dụ: Các nhóm C2v, C2h, D2d…

- Nhóm đối xứng trung bình: gồm những nhóm điểm chỉ có một trục đối xứng ưu tiên

Cn với n3Ví dụ: Các nhóm C3v, C3h, D3d…

- Nhóm đối xứng cao: gồm những nhóm điểm chứa vài trục đối xứng Cn với n3

Ví dụ: Các nhóm T, Td…

IV. Lớp của các phép đối xứng

Nếu có một số yếu tố đối xứng mà ta có thể nhận được yếu tố đối xứng này từ yếu tố

kia bằng một phép biến đổi tọa độ nào đó thì các yếu tố này sẽ cùng một lớp.

V. Biểu diễn nhóm

Thông thường người ta biểu diễn các phép đối xứng trong nhóm điểm bằng các ma

trận đơn vị.

Ví dụ: nhóm C2v đối với phân tử H2O.

Các ma trận biểu diễn các phép đối xứng E, C2, σv, σv’ thực hiện lên một điểm có

tọa độ x, y sẽ là:

Như vậy với 4 phép đối xứng E, C2, σv, σ’v ứng với một bộ gồm 4 ma trận

làm thành một biểu diễn (kí hiệu là Γ) của nhóm C2v.

Biểu diễn nhóm là một bộ các ma trận cùng cấp biểu diễn các phép đối xứng

của nhóm, thỏa mãn bảng nhân nhóm:

Ví dụ:

Bảng nhân nhóm C2v

VI. Biểu diễn khả quy (KQ) và biểu diễn bất khả quy (BKQ)a) Biểu diễn khả quy (viết tắt-KQ, kí hiệu là: Γ)

Đây là biểu diễn mà tất cả các ma trận A của nó có thể đưa về dạng chéo hay giả chéo, tức là tổng trực tiếp của 2 hay nhiều ma trận có cấp nhỏ hơn nhờ một phép biến đổi đồng dạng.

A- ma trận bất kì của biểu diễn Γ;A’- ma trận đồng dạng với ma trận A;A’1, A’2, A’3...ma trận cấp nhỏ hơn A.Như vậy biểu diễn Γ là khả quy nếu có thể quy được thành một tổng trực tiếp nhiều biểu diễn có số chiều nhỏ hơnΓ = Γ1+Γ2+Γ3...

Biểu diễn bất khả quy (kí hiệu Γj)

Đây là một biểu diễn không thể quy được thành biểu diễn có số chiều nhỏ hơn

nhờ một phép biến đổi đồng dạng.

Xác định số biểu diễn bất khả quy không tương đương của nhóm

Mỗi nhóm điểm có nhiều biểu diễn, do đó cần phải xác định số lượng và bậc của

biểu diễn bất khả quy không tương đương

Một vài khái niệm:

- Bậc của nhóm: là số yếu tố đối xứng của một nhóm

- Bậc của biểu diễn là số hàng hoặc cột của ma trận vuông của biểu diễn.

- Vết của ma trận là tổng các yếu tố chéo của ma trận

- Đặc trưng của biểu diễn là tập hợp tất cả các vết của một biểu diễn

- Đối với nhóm Abel (nhóm đối xứng thấp): số biểu diễn bất khả quy không tương

đương đúng bằng bậc của nhóm

- Đối với nhóm phi Abel (nhóm đối xứng trung bình và cao): số biểu diễn bất khả quy

không tương đương bằng số lớp của nhóm)

Cách xác định số biểu diễn bất khả quy trong biểu diễn khả quy

Áp dụng lý thuyết nhóm:

ii R

R

1m R

n

Trong đó:

mi là số biểu diễn bất khả quy thứ i

n: bậc của biểu diễn

(i)R: vết của biểu diễn bất khả quy thứ I

(R): vết của biểu diễn khả quy

VII. Bảng đặc biểu

Số lượng biểu diễn bất khả quy, các giá trị vết trong đặc trưng của biểu diễn (viết theo

lớp), các loại biểu diễn, các thành phần moment lưỡng cực, tensor phân cực có cùng

trạng thái đối xứng được tập hợp lại thành một bảng cho một nhóm điểm gọi là bảng

đặc biểu

-Biểu diễn một chiều (bậc một) ký hiệu A, B với A đặc trưng cho trạng thái đối xứng

và B là phản đối xứng.

- Biểu diễn bậc 2 ký hiệu E

- Biểu diễn bậc 3 ký hiệu là F

- Ký hiệu A’, B’, A”…chỉ tính chất đối xứng của hàm cơ sở

- Ký hiệu g và u chỉ tính chất đối xứng chẵn và lẻ.

- Các ký hiệu A1, B1, A2, B2 chỉ sự khác nhau về đối xứng giữa các nhóm điểm

- Cột cuối cùng ghi các thành phần moment lưỡng cực, tensor phân cực