Chương II: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

I. Định nghĩa1.Bài toán đối ngẫu của bài toán chính tắc

Cho bài toán QHTT (P) sau :1 1 2 2

11 1 12 2 1n 1

21 1 22 2 2n 2

m1 1 m2 2 mn

(1) ( ) .. min

..

..(2)

.........................................

..

(3) 0 1, .

n n

n

n

n m

j

f x c x c x c x

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x j n

Bài toán đối ngẫu của bt(P) là bt(Q) sau đây:

1 1 2 2

11 1 21 2 m1 1

12 1 22 2 m2 2

1n 1 2n 2 mn

( ) .. max

..

..

.........................................

..

, 1, .

m m

n

n

n n

i

g y b y b y b y

a y a y a y c

a y a y a y c

a y a y a y c

y R i m

Ví dụ: Thiết lập bt đối ngẫu của bt sau đây:

1 2 3

1 3

2 3

( ) 6 9 min

2 6

8

0, 1,2,3.j

f x x x x

x x

x x

x j

2. Bài toán đối ngẫu của bài toán tổng quátBảng đối ngẫu (xem giáo trình):

Bài toán gốc Chỉ số Bài toán đối ngẫu

( ) , minf x c x ( ) , maxg y b y

1

n

ij j ij

a x b

1i I 0iy

1

n

ij j ij

a x b

2i I 0iy

1

n

ij j ij

a x b

3i I iy

0jx 1j J1

m

ij i ji

a y c

0jx 2j J

1

m

ij i ji

a y c

jx 3j J

1

m

ij i ji

a y c

*PP ghi nhớ bảng đối ngẫu bằng cách sử dụng cặp bài toán chuẩn sau đây:

( ) min ( ) ax

, 0

0

f x g y m

AX B Y

X AY C

Cách nhớ bt chuẩn:

-hàm mục tiêu bé thì ràng buộc lớn;

-hàm muc tiêu lớn thì ràng buộc bé;

-ẩn của 2 bài toán chuẩn đều không âm.

Cách dùng:

- mỗi một ràng buộc của bt này tương ứng với một ẩn của bt kia và ngược lại,

- mỗi một ẩn của bt này tương ứng với một ràng buộc của bt kia và ngược lại;

- Mỗi dấu hiệu của bt này ngược với chuẩn thì tương ứng dấu hiệu của bt kia cũng ngược với chuẩn.

Ví dụ: Viết bài toán đối ngẫu(Q) của bài toán(P) sau đây:

1 2 3

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

( ) 4 3 7 min

12 5 3 5 (1)

2 (2)

2 1 (3)

; ; 0 (4)

f x x x x

x x x

x x

x x x

x x x

2. Mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫuĐịnh lý 1. Với cặp bài toán (P)-(Q) chỉ có thể xảy ra ba khả năng sau:

+ Cả 2 bt đều không có PA thì cả 2 bt đều không có PATƯ.

+Một bt có PA còn bt kia không có PA thì bt có PA sẽ không có PATƯ.

+Cả 2 bt đều có PA thì cả 2 bt đều có PATƯ, hơn nữa GTTƯ của 2 bt là bằng nhau.

Định lý (Định lý độ lệch bù). Điều kiện cần và đủ để x0, y0 lần lượt là PATƯ của bt gốc và bt đối ngẫu là

0 01

0 01

0, 1,

0 1, .

n

ij j i ij

m

ij i j ji

a x b y i m

a y c x j n

Ví dụ 1: Cho bài toán QHTT

1 2 3 4

1 2 4

2 3 4

( ) 2 2 0 min

4 6( )

2 5 8

0, 1,2,3,4;j

f x x x x x

x x xP

x x x

x j

có phương án tối ưu là và giá trị tối ưu là -6. Lập bt đối ngẫu (Q) của bt (P) và tìm PATƯ của bt (Q).

0 (2,4,0,0)x

1 2

1

1 2

2

1 2

1 2

( ) 6 8 max

1

2 2

2

4 5 0

,

g y y y

y

y y

y

y y

y y

Giải:

•Bt đối ngẫu(Q) là:

+Ta có x0=(2,4,0,0).

Vì x1=2 nên theo định lí độ lệch bù thì ràng buộc thứ nhất của bt(Q): y1-1=0 (a).

•Tìm PATƯ của(Q).

+Vì bt(P) có PATƯ nên theo định lí 1 thì bt(Q) cũng có PATƯ y0=(y1,y2) và hơn nữa

f(x0)=g(y0).

11

1 2 2

11 0

32 2 0 .

2

yy

y y y

Vì x2=4 nên theo định lí độ lệch bù thì ràng buộc thứ hai của bt(Q): y1+2y2+2=0 (b).

Kết hợp (a),(b) ta có hệ pt:

Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là: y0=(y1,y2)=(1,-3/2) và giá trị tối ưu là: f(x0)=g(y0)=-6.

Ví dụ 2: Giải bài toán sau:

1 2

1 2

1 2

1 2

j

f (x) 15x 19x min

3x x 3

x x 2

3x 4x 7

x 0; j 1,2.

Giải:

+ Bài toán đối ngẫu của bài toán trên là

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ) 3 2 7 max

3 3 15

4 19

, , 0

g y y y y

y y y

y y y

y y y

+ Ta nhận thấy bt đối ngẫu dễ hơn bt gốc. Nên ta giải bt đối ngẫu.

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 4 5

( ) 3 2 7 0 0 max

3 3 15

4 19

, , , , 0

g y y y y y y

y y y y

y y y y

y y y y y

3 2 7 0 0--------------------------------------------------------------------

Co So CJ Ph.An y1 y2 y3 y4 y5--------------------------------------------------------------------

A4 0 15 3 1 3 1 0 A5 0 19 1 1 4 0 1--------------------------------------------------------------------

-3 -2 -7 0 0--------------------------------------------------------------------

A4 0 3/4 9/4 1/4 0 1 -3/4 A3 7 19/4 1/4 1/4 1 0 1/4--------------------------------------------------------------------

5/4 1/4 0 0 -7/4--------------------------------------------------------------------

A1 3 1/3 1 1/9 0 4/9 -1/3 A3 7 14/3 0 2/9 1 -1/9 1/3--------------------------------------------------------------------

0 -1/9 0 5/9 4/3--------------------------------------------------------------------

A2 2 3 9 1 0 4 -3 A3 7 4 -2 0 1 -1 1--------------------------------------------------------------------

1 0 0 1 1--------------------------------------------------------------------

Bt đối ngẫu có PATƯ: Y = (0,3,4,0,0) và giá trị tối ưu gmax(Y) =34. Dùng định lý độ lệch bù ta đi tìm phương án tối ưu của bài toán gốc.+ PATƯ của bt gốc:

1 2 1

21 2

2 0 1

1.7 3 4 0

x x x

xx x

+ Cách 2: giải bài toán gốc và làm cách như trên để tìm lại phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.

01 2 3 4 5( , , , , ) (32,0, 30,0,0)x x x x x x

1 2 3 4 5

1 2 4 5

2 3 4 5

2 5

2 5 4 5 min

6 2 9 32

1 32 30

2 23 36

0, 1,5 .j

f x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x j

Bài tập: 1. Câu 63. Cho biết

là PATƯ của bt Qhtt gốc sau:

1) Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên.2) Hãy suy ra phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu từ phương án tối ưu đã cho của bài tóan gốc.

2. Cho bài toán Quy hoạch tuyến tính

1 2 3 4

1 2 4

2 3 4

( ) 2 2 0 min

4 6( )

2 5 8

0, 1,2,3,4;j

f x x x x x

x x xP

x x x

x j

Bài toán (P) có ph. án tối ưu là

Tìm PATƯ của bt đối ngẫu (Q).

(2,4,0,0)x

3. Ta xét bài tập 11 ở bài 4 chương 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min

6 2 20

7 3 25

3 8 30

0, 1,2,3.j

f x x x

x x x

x x x

x x x

x j

Bt trên co bt đối ngẫu là:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ) 20 25 30 max

6 3 1

2 7 1

3 8 1

0, 1,3i

g y y y y

y y y

y y y

y y y

y i

Và PATƯ của bài toán đối ngẫu là y = ( 17/150,1/10,11/150,0,0,0)gmax(y)= 209/30.Tìm PATƯ của bt gốc.

4. Giải bài toán:

1 2 3 4

1 2 4

2 3 4

( ) 2 2 0 min

4 6( )

2 5 8

0, 1,2,3,4;j

f x x x x x

x x xP

x x x

x j

Tìm PATƯ của bt đối ngẫu.

5. Chứng minh bài toán sau không có phương án tối ưu.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

( ) 7 2 6 max

3 10

2 5 4 15

0, 1,4 .j

f x x x x x

x x x x

x x x x

x j

6. Cho bài toán (P)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

( ) 4 6 5 3 min

3 3 2 9

4 2 7

0; 1,4.j

f x x x x x

x x x x

x x x x

x j

a)Phát biểu bài toán đối ngẫu (Q) của bài toán (P).

b) Giải bài toán (Q) và suy ra phương án tối ưu của bài toán (P).