Bµi gi¶ngBµi gi¶ng

t¸c ®éng lªn c«ng trt¸c ®éng lªn c«ng tr××nhnh

Ch­¬ng 3 : sãng biÓn 3.1. Më ®Çu 3.1.1. Kh¸i niÖm vÒ chuyÓn ®éng cña n­íc biÓn 3.1.1. Kh¸i niÖm vÒ chuyÓn ®éng cña n­íc biÓn M«i tr­êng biÓn bao gåm m«i tr­êng n­íc, m«i tr­êng khÝ vµ ®Êt. C¶ 3 m«i tr­êng nµy ®Òu cã chøa chÊt mÆn. Theo mÆt c¾t ®øng, cã thÓ chia m«i tr­êng biÓn thµnh 5 líp. C¶ 5 líp nµy ®Òu t¸c ®éng ®Õn c«ng tr×nh biÓn, trong ®ã t¸c ®éng lín nhÊt lµ cña sãng.

M«i tr­êng chÊt láng n­íc biÓn lu«n lu«n chuyÓn ®éng, bao gåm c¸c chuyÓn ®éng sãng cã c¸c chu kú kh¸c nhau vµ c¸c

chuyÓn ®éng cña dßng ch¶y. chuyÓn ®éng cña dßng ch¶y. HiÖn t­îng truyÒn ®i xa d¹ng dao ®éng cã chu kú nµy gäi lµ sãng.

Nh­ vËy tÊt c¶ sãng dï nguyªn nh©n ph¸t sinh nh­ thÕ nµo th× còng cã cïng 1 h×nh th¸i chung lµ cã phÇn låi lªn, lâm xuèng →

truyÒn ®i xa, cã d¹ng ®uæi nhau → th× gäi lµ sãng. truyÒn ®i xa, cã d¹ng ®uæi nhau → th× gäi lµ sãng. - Sãng do giã cã chu kú T = 1 ÷30 gi©y; (ë ViÖt Nam th­êng 8÷11 gi©y) - Sãng ë vÞnh, c¶ng th× chu kú vµi chôc gi©y ®Õn vµi phót - Sãng do triÒu: lµ sãng cã chu kú lín th­êng vµi giê hoÆc lín h¬n … Sãng lµ thµnh phÇn g©y t¶i träng chÝnh th­êng chiÕm 90% tæng t¶i träng lªn c¸c lo¹i CTB, nªn còng lµ ®èi t­îng nghiªn cøu Sãng lµ thµnh phÇn g©y t¶i träng chÝnh th­êng chiÕm 90% tæng t¶i träng lªn c¸c lo¹i CTB, nªn còng lµ ®èi t­îng nghiªn cøu chÝnh khi xÐt c¸c yÕu tè MTB t¸c ®éng lªn c«ng tr×nh.

Nguyªn nh©n KiÓu sãng

Ph©n lo¹i sãng biÓn kh«ng ®Òu theo chu kú sãng

TT Tªn sãng D¶i chu kú

Thuû triÒu

§éng ®Êt Nói löa

Sãng thÇn

TT Tªn sãng D¶i chu kú

1 Gîn sãng l¨n t¨n (Ripples) 0 gi©y<T<1 gi©y

2 Sãng vç bËp bÒnh (Chop) 1 gi©y<T<4 gi©y

3 Sãng b·o (Sea) 5 gi©y<T<12 gi©y

Chu

kú

Nói löa Lë ®Êt B·o

4 Sãng lõng (Swell) 6 gi©y<T< 25 gi©y

5 Sãng va (Surf Beat) 1 phót <T< 3 phót

6 Sãng thÇn (Tsunamis) 10 phót <T<20 phót

7 Thuû triÒu (Tides) 6 giê<T< 24 giê

Chu

kú

Giã

7 Thuû triÒu (Tides) 6 giê<T< 24 giê

N¨ng l­îng

sãng

3.1.2. C¸c thuËt ng÷ vµ c¸c ký hiÖu c¬ b¶n * §­êng mùc n­íc lÆng (MNL - hay mùc n­íc trung b×nh): lµ ®­êng thÓ hiÖn mùc n­íc trung b×nh khi kh«ng cã sãng. * η(x,t) = ®é d©ng (hay h¹) cña mÆt n­íc tù do, ë vÞ trÝ c¸ch gèc to¹ ®é kh¶o s¸t lµ x, t¹i thêi ®iÓm t. * η(x,t) = ®é d©ng (hay h¹) cña mÆt n­íc tù do, ë vÞ trÝ c¸ch gèc to¹ ®é kh¶o s¸t lµ x, t¹i thêi ®iÓm t.

η(x,t)

H×nh 3.1. C¸c ký hiÖu c¬ b¶n cña sãng

* §Ønh sãng: lµ ®iÓm cao nhÊt cña sãng bÒ mÆt (®iÓm A vµ B) * §Ønh sãng: lµ ®iÓm cao nhÊt cña sãng bÒ mÆt (®iÓm A vµ B) * §¸y sãng (hay ch©n sãng): lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña sãng bÒ mÆt (®iÓm C vµ D). * §Çu sãng: toµn bé phÇn sãng n»m trªn MNL * Bông sãng: toµn bé phÇn sãng n»m d­íi MNL * Profile sãng (hay mÆt c¾t sãng): ®èi víi sãng bÒ mÆt , bao gåm phÇn ®Çu sãng vµ bông sãng. * Profile sãng (hay mÆt c¾t sãng): ®èi víi sãng bÒ mÆt , bao gåm phÇn ®Çu sãng vµ bông sãng. * Nót sãng: lµ giao ®iÓm gi÷a ®­êng sãng bÒ mÆt vµ ®­êng MNL. * §­êng ®Ønh sãng (hay ®­êng mÆt sãng): ®­êng nèi gi÷a c¸c ®Ønh sãng vµ vu«ng gãc víi ph­¬ng truyÒn sãng, t¹o nªn

b×nh ®å cña sãng bÒ mÆt. * Tia sãng: ®­êng th¼ng gãc víi ®­êng mÆt sãng; * Tia sãng: ®­êng th¼ng gãc víi ®­êng mÆt sãng;

* θ - H­íng truyÒn sãng: lµ h­íng ®­îc x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ tia sãng trong hÖ to¹ ®é chän tr­íc. * H - ChiÒu cao sãng: lµ kho¶ng c¸ch tõ ®Ønh sãng ®Õn ®¸y sãng (b»ng 2 lÇn biªn ®é, nÕu lµ sãng h×nh sin). * a - Biªn ®é sãng: kho¶ng c¸ch tõ ®Ønh sãng ®Õn MNL hay tõ ®¸y sãng ®Õn MNL. Víi sãng h×nh sin th× a = H/2. * T - Chu kú sãng: lµ kho¶ng thêi gian gi÷a hai thêi ®iÓm mµ 2 ®Ønh sãng kÒ nhau ®i qua 1 ®­êng th¼ng ®øng cè ®Þnh * T - Chu kú sãng: lµ kho¶ng thêi gian gi÷a hai thêi ®iÓm mµ 2 ®Ønh sãng kÒ nhau ®i qua 1 ®­êng th¼ng ®øng cè ®Þnh

(T = 2π/ω). * ω = 2π/T - tÇn sè sãng (tÇn sè gãc): sè l­îng sãng trong kho¶ng thêi gian lµ 2π gi©y. * L - ChiÒu dµi sãng (hay chiÒu dµi b­íc sãng): kho¶ng c¸ch n»m ngang gi÷a c¸c ®Ønh cña 2 ®Çu sãng kÒ nhau.

* k = 2π/L : sè sãng (sè l­îng sãng trªn ph¹m vi chiÒu dµi 2𠮬n vÞ dµi theo trôc kh¶o s¸t x). * c - tèc ®é lan truyÒn sãng: c = L/T = ω/k * δ - ®é dèc sãng: δ = H/L * - lµ c¸c thµnh phÇn cña vËn tèc phÇn tö n­íc (x,z) trong chuyÓn ®éng sãng ph¼ng theo ph­¬ng trôc * )t,z,x(V),t,z,x(V zx - lµ c¸c thµnh phÇn cña vËn tèc phÇn tö n­íc (x,z) trong chuyÓn ®éng sãng ph¼ng theo ph­¬ng trôc x vµ z. * d - §é s©u n­íc: kho¶ng c¸ch tÝnh tõ MNL ®Õn ®¸y biÓn. * C¸c yÕu tè sãng chñ yÕu: H, L, T (®èi víi sãng kh«ng gian cßn thªm yÕu tè h­íng sãng θ ) * Sãng ®Òu: lµ sãng cã c¸c yÕu tè sãng kh«ng thay ®æi (sãng lý thuyÕt theo m« h×nh tiÒn ®Þnh) * Sãng ®Òu: lµ sãng cã c¸c yÕu tè sãng kh«ng thay ®æi (sãng lý thuyÕt theo m« h×nh tiÒn ®Þnh) * Sãng kh«ng ®Òu: lµ sãng cã c¸c yÕu tè sãng thay ®æi mét c¸ch ngÉu nhiªn (chÝnh lµ sãng thùc, ®­îc m« t¶ theo m« h×nh x¸c suÊt). Chó ý: Sö dông hÖ to¹ ®é §ªcac chuÈn, theo quy t¾c bµn tay Chó ý: Sö dông hÖ to¹ ®é §ªcac chuÈn, theo quy t¾c bµn tay ph¶i; VÏ mÆt c¾t sãng cã thÓ sö dông c¶ 2 to¹ ®é ë mÆt n­íc hoÆc ®¸y biÓn.

3.1.3. HiÖn t­îng vËt lý cña sãng

1) Sù lan truyÒn sãng do giã - Khi giã thæi → sãng kh«ng gian 3 chiÒu, lµ 1 hµm sè phô thuéc vµo c¸c to¹ ®é x, y, z.

- Khi giã thæi ®Òu th× giã t¹o nªn nh÷ng ®ît sãng trªn mÆt n­íc ph¸t triÓn theo ph­¬ng giã thæi, gäi lµ sãng 2 chiÒu (Sãng - Khi giã thæi ®Òu th× giã t¹o nªn nh÷ng ®ît sãng trªn mÆt n­íc ph¸t triÓn theo ph­¬ng giã thæi, gäi lµ sãng 2 chiÒu (Sãng h×nh trô).

ë ngay trong vïng giã (giã th­êng hay giã b·o - Seas): sãng c­ìng bøc

H×nh 3.2. Sãng c­ìng bøc (hay sãng giã) hai chiÒu

Ra ngoµi vïng cã giã, ®ã lµ sãng tù do (gäi lµ sãng lõng - swells), sãng cã profile gÇn c©n xøng, ®Òu ®Æn h¬n.

H×nh 3.3. Sãng tù do (sãng lõng) hai chiÒu - Khi giã tiÕp tôc t¨ng lªn, ®Õn mét giíi h¹n nµo ®ã th× sãng bÞ vì, phÝa trªn ®Ønh sãng sÏ h×nh thµnh nh÷ng bät, sãng nµy lµ “sãng b¹c ®Çu” ngoµi kh¬i hay cßn gäi lµ sãng cõu, vµ cã d¹ng sau ( h×nh 3.4): lµ “sãng b¹c ®Çu” ngoµi kh¬i hay cßn gäi lµ sãng cõu, vµ cã d¹ng sau ( h×nh 3.4):

H×nh 3.4. Sãng cõu HiÖn t­îng sãng biÕn d¹ng nh­ sãng b¹c ®Çu cßn gÆp ë khu vùc ven bê, khi sãng lan truyÒn tõ ngoµi kh¬i vµo vïng HiÖn t­îng sãng biÕn d¹ng nh­ sãng b¹c ®Çu cßn gÆp ë khu vùc ven bê, khi sãng lan truyÒn tõ ngoµi kh¬i vµo vïng n­íc n«ng (cßn gäi lµ sãng ®æ hay sãng nhµo). 2) Sãng do giã g©y ra Ph¹m vi giã thæi gäi lµ ®µ giã (chiÒu dµi th­êng ®­îc tÝnh b»ng km). C¸c yÕu tè sãng trong vïng nµy phô thuéc vµo ®µ Ph¹m vi giã thæi gäi lµ ®µ giã (chiÒu dµi th­êng ®­îc tÝnh b»ng km). C¸c yÕu tè sãng trong vïng nµy phô thuéc vµo ®µ giã. Sãng ®­îc lan truyÒn tõ vïng cã ®µ giã ra ngoµi, dùa vµo n¨ng l­îng giã ®· ph¸t triÓn tèi ®a vµo m«i tr­êng n­íc. Sãng lóc ®ã ®­îc gäi lµ "sãng lõng", hay sãng tù do. ChuyÓn ®éng sãng tù do cã xu h­íng t¾t dÇn do ¶nh h­ëng cña søc c¶n (ma s¸t vµ nhít), nªn chu kú sãng ngµy mét t¨ng vµ chiÒu cao sãng th× gi¶m ®i trong qu¸ tr×nh lan truyÒn.

Sãng lõng cßn ®­îc gäi lµ “sãng träng lùc”. Sãng lõng cßn ®­îc gäi lµ “sãng träng lùc”. Qua ®o ®¹c thùc tÕ c¸c sãng tù do ®­îc lan truyÒn vµo lµ sãng kh«ng ®Òu. Sãng nµy ®­îc gäi lµ sãng thùc (Houle RÐelle), cã hiÖn t­îng phøc t¹p mang b¶n chÊt ngÉu nhiªn, ®­îc m« t¶ nhê c¸c ph­¬ng ph¸p cña lý thuyÕt x¸c suÊt thèng kª to¸n häc.

ë c¸c phÇn sau sÏ ®Ò cËp tíi: - M« h×nh sãng lý thuyÕt (ë ngoµi kh¬i vµ gÇn bê)

- M« h×nh sãng thùc (hay m« h×nh thèng kª cña sãng). C¸c sãng ®­îc nãi tíi d­íi ®©y ®­îc xÐt chñ yÕu ë ngoµi vïng ®µ giã. C¸c sãng ®­îc nãi tíi d­íi ®©y ®­îc xÐt chñ yÕu ë ngoµi vïng ®µ giã. 3) Qu¸ tr×nh ph¸t triÓn c¸c nghiªn cøu vÒ chuyÓn ®éng cña sãng - N¨m 1804 : Gerstner ®­a ra nh÷ng nghiªn cøu ®Çu tiªn vÒ sãng. - N¨m 1804 : Gerstner ®­a ra nh÷ng nghiªn cøu ®Çu tiªn vÒ sãng. - N¨m 1849: Stokes ®· ®­a ra nh÷ng m« h×nh tÝnh to¸n sãng tæng qu¸t h¬n. - N¨m 1945: h×nh thµnh tæ chøc tÝnh to¸n sãng trong b·o WMO (Wave Measurement Organisation).

- N¨m 1947: ng­êi ta x©y dùng c«ng tr×nh biÓn cè ®Þnh ®Çu tiªn ®Ó khai th¸c má dÇu ë vÞnh Mexique. Tõ n¨m 1954, ng­êi ta tËn dông c«ng tr×nh nµy lµm tr¹m ®o sãng, vµ thu ®­îc c¸c sè liÖu vÒ sãng biÓn gÇn bê. ng­êi ta tËn dông c«ng tr×nh nµy lµm tr¹m ®o sãng, vµ thu ®­îc c¸c sè liÖu vÒ sãng biÓn gÇn bê. - N¨m 1955÷1965: ®· cã nh÷ng c«ng tr×nh x©y dùng ë ven biÓn víi ®é s©u n­íc d < 30m. (b¾t ®Çu ®ßi hái nh÷ng nghiªn cøu vÒ sãng ë vïng n­íc s©u). - N¨m 1968, 1969 ÷ 1973: ®· cã Tæ chøc quèc tÕ quy m« d­íi d¹ng c¸c §Ò ¸n nghiªn cøu vÒ sãng biÓn, ®iÓn h×nh lµ ®Ò ¸n mang tªn "JONSWAP" (Joint North Sea Wave Project), lµ ch­¬ng tr×nh nghiªn cøu phèi hîp gi÷a c¸c nhµ khoa häc ¸n mang tªn "JONSWAP" (Joint North Sea Wave Project), lµ ch­¬ng tr×nh nghiªn cøu phèi hîp gi÷a c¸c nhµ khoa häc cña Hµ Lan-Anh-§øc-Mü, tiÕn hµnh ®o ®¹c ®ång thêi ë 14 tr¹m trong vïng phÝa Nam BiÓn B¾c. Ng­êi ta thu ®­îc kho¶ng 9000 phæ sãng ë ®é s©u n­íc 90m.

4) Ph©n lo¹i sãng 4) Ph©n lo¹i sãng Cã nhiÒu c¸ch ph©n lo¹i sãng kh¸c nhau. Sau ®©y lµ mét sè c¸ch ph©n lo¹i chñ yÕu. a) Theo nguyªn nh©n g©y ra sãng : - Sãng do giã - Sãng do triÒu: do ¶nh h­ëng cña lùc hót tr¸i ®Êt trong hÖ hµnh tinh → Sãng cã chu kú. - Sãng do triÒu: do ¶nh h­ëng cña lùc hót tr¸i ®Êt trong hÖ hµnh tinh → Sãng cã chu kú. - Sãng n­íc d©ng (hay sãng gi¶ triÒu): do khÝ ¸p, do giã mïa. - Sãng cöa s«ng: do ®Þa h×nh ven biÓn vµ ¶nh h­ëng cña dßng ch¶y tõ s«ng ra biÓn.

- Sãng ®Þa chÊn hay cßn gäi lµ sãng thÇn: do cuång phong (giã xo¸y), hoÆc do ®éng ®Êt Tsunami, hay nói löa ë d­íi biÓn. biÓn.

- Sãng næ: do nh÷ng næ ngÇm ë d­íi ®¸y biÓn. - Sãng do vì ®ª, vì ®Ëp. . .

b) Theo sù cã mÆt hay kh«ng cña c¸c t¸c ®éng g©y chuyÓn ®éng sãng: - Sãng c­ìng bøc: (cßn gäi lµ sãng giã) lµ sãng do giã ë trong vïng trùc tiÕp cã giã

- Sãng tù do: (gäi lµ sãng lõng) lµ sãng ®· lan truyÒn ra ngoµi vïng cã giã hoÆc sau khi giã ®· hÕt c¬n c) Theo tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña sãng cã kÌm theo sù di chuyÓn l­îng n­íc hay kh«ng: + Sãng cã di chuyÓn l­îng n­íc + Sãng kh«ng cã di chuyÓn l­îng n­íc

(x,t)η η(x,t)

H×nh 3.5. Quü ®¹o chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc H×nh 3.5. Quü ®¹o chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc d) Theo kÝch th­íc chiÒu dµi sãng (hay b­íc sãng) : Sãng ng¾n hoÆc sãng dµi. + Sãng dµi: lµ sãng cã chiÒu dµi (L) lín so víi biªn ®é sãng vµ ®é s©u n­íc. Sãng dµi cã thÓ cã b­íc sãng rÊt dµi tíi + Sãng dµi: lµ sãng cã chiÒu dµi (L) lín so víi biªn ®é sãng vµ ®é s©u n­íc. Sãng dµi cã thÓ cã b­íc sãng rÊt dµi tíi hµng ngh×n km (ch¼ng h¹n nh­ sãng thÇn Tsunamis); + Sãng ng¾n: lµ sãng cã chiÒu dµi (hay b­íc sãng) lµ ng¾n. Sãng rÊt ng¾n, nh­ lo¹i sãng gîn cã b­íc sãng chØ kho¶ng vµi chôc cm. e) Theo h×nh d¹ng sãng: e) Theo h×nh d¹ng sãng: + Sãng tiÕn tr­íc: h×nh d¹ng cña sãng tiÕn tr­íc kh«ng ngõng di chuyÓn vÒ phÝa tr­íc; + Sãng ®øng: lµ sãng ®­îc t¹o bëi sù chuyÓn ®éng cña 1 ®iÓm hoÆc nhiÒu ®iÓm ®èi víi mét mÆt c¾t sãng (c¸c phÇn tö n­íc chØ cã dao ®éng gi÷a ®Ønh vµ ®¸y sãng) vµ kh«ng hÒ cã sù lan truyÒn (Houle Stationnaire). f) Sãng cã biÕn d¹ng hay kh«ng : + Sãng kh«ng biÕn d¹ng: + Sãng kh«ng biÕn d¹ng:

Sãng tíi ë vïng n­íc s©u khi tû sè H/L ch­a v­ît qu¸ giíi h¹n lµm cho sãng bÞ vì hoÆc sãng kh«ng gÆp vËt c¶n kÝch th­íc lín khi lan truyÒn.

+ Sãng bÞ biÕn d¹ng: HiÖn t­îng biÕn d¹ng cña sãng cã thÓ x¶y ra khi sãng lan truyÒn ë vïng n­íc s©u hoÆc trong qu¸ tr×nh sãng lan truyÒn tõ vïng n­íc s©u vµo vïng n­íc n«ng. C¸c lo¹i sãng biÕn d¹ng gåm cã: C¸c lo¹i sãng biÕn d¹ng gåm cã: - Sãng khóc x¹ - Sãng nhiÔu x¹ - Sãng ph¶n x¹ - Sãng vì: sãng biÕn d¹ng, ®Ønh sãng bÞ vì 3.2. C¬ së x©y dùng c¸c lý thuyÕt sãng 3.2. C¬ së x©y dùng c¸c lý thuyÕt sãng 3.2.1. C¸c ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt sãng Cã rÊt nhiÒu lý thuyÕt sãng, dùa trªn c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó nghiªn cøu. D­íi ®©y sÏ ®Ò cËp ®Õn c¸c nghiªn cøu h­íng vÒ lo¹i sãng tù do (sãng träng tr­êng, v× sù lan truyÒn cña sãng lµ do t¸c ®éng cña lùc träng tr­êng) vµ giíi h¹n cøu h­íng vÒ lo¹i sãng tù do (sãng träng tr­êng, v× sù lan truyÒn cña sãng lµ do t¸c ®éng cña lùc träng tr­êng) vµ giíi h¹n trong ph¹m vi sãng ph¼ng. Trong sãng träng lùc, c¸c yÕu tè sãng ®­îc xem xÐt d­íi d¹ng 3 trong 4 th«ng sè sau : H, L vµ d hoÆc H, T vµ d. §Ó tiÖn nghiªn cøu sãng trong c¸c ph¹m vi thay ®æi kh¸c nhau cña c¸c th«ng sè trªn, ng­êi ta th­êng dïng c¸c th«ng sè kh«ng thø nguyªn sau: kh«ng thø nguyªn sau:

L

H=δ - ®é dèc sãng;

d

H - chiÒu cao sãng t­¬ng ®èi, d

L

d - ®é s©u t­¬ng ®èi

* Th«ng sè L

H=δ rÊt quan träng, nã ®Æc tr­ng cho profile sãng, ph¶n ¸nh tr¹ng th¸i c©n b»ng thuû §LH trong chuyÓn

L

®éng sãng, víi ®iÒu kiÖn giíi h¹n kh«ng xuÊt hiÖn sãng vì trong vïng n­íc s©u lµ 71

≥δ , t­¬ng ®­¬ng víi sãng mÊt æn ®Þnh khi

®Ønh sãng α<1200

α - gãc hîp bëi 2 ®­êng nèi tõ ®Ønh sãng xuèng 2 ch©n sãng kÒ liÒn ë 2 sãng xuèng 2 ch©n sãng kÒ liÒn ë 2

bªn); ®èi víi biÓn më cã thÓ lÊy 8

1max =δ .

α

* Th«ng sè d

H Ýt ph¶n ¶nh ¶nh h­ëng cña yÕu tè sãng khi ®é s©u n­íc t­¬ng ®èi lín (vÝ dô, khi d > 100m) ®èi víi c¸c d

sãng nhá, do vËy nã ch­a ph¶n ¶nh ®­îc mäi lo¹i sãng. V× vËy ng­êi ta ph¶i sö dông thªm th«ng sè L

d .

* Th«ng sè L

d ®Æc tr­ng cho c¸c vïng n­íc. L

05,0L

d< : vïng n­íc n«ng

5,0L

d05,0 << : vïng n­íc võa (hay vïng chuyÓn tiÕp, vïng trung gian)

L

5,0L

d> : vïng n­íc s©u

Riªng ®èi víi vïng n­íc võa, Ussell cßn ®­a thªm vµo th«ng sè 3)d

L(

L

H . dL

Trong nghiªn cøu m« h×nh sãng ph¼ng tù do tiÒn ®Þnh, c¨n cø vµo ph¹m vi ®é lín cña gi¸ trÞ c¸c th«ng sè kh«ng thø

nguyªn nªu trªn (δ,d

H , L

d ) vµ tuú theo yªu cÇu cña bµi to¸n cÇn gi¶i, vµ nÕu bá qua chuyÓn ®éng xo¸y cña phÇn tö n­íc,

ng­êi ta ®· sö dông mét trong 3 ph­¬ng ph¸p ®iÓn h×nh sau ®©y ®Ó gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cu¶ thuû ®éng lùc häc sãng ng­êi ta ®· sö dông mét trong 3 ph­¬ng ph¸p ®iÓn h×nh sau ®©y ®Ó gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cu¶ thuû ®éng lùc häc sãng (nh­ sÏ nªu ë c¸c phÇn sau) : 1/ TuyÕn tÝnh ho¸ ®èi víi tr­êng hîp sãng cã biªn ®é nhá: tuyÕn tÝnh ho¸ ®iÒu kiÖn trªn bÒ mÆt vµ bá qua sè h¹ng bËc hai (sè h¹ng phi tuyÕn). 2/ Khai triÓn thµnh chuçi luü thõa ®èi víi tr­êng hîp sãng cã biªn ®é lín: ®iÓn h×nh lµ ph­¬ng ph¸p khai triÓn cña Stokes. 2/ Khai triÓn thµnh chuçi luü thõa ®èi víi tr­êng hîp sãng cã biªn ®é lín: ®iÓn h×nh lµ ph­¬ng ph¸p khai triÓn cña Stokes. 3/ C¸c ph­¬ng ph¸p sè. Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p sè theo hµm rßng NhËn xÐt: Ph­¬ng ph¸p 1: ®©y lµ ph­¬ng ph¸p bËc nhÊt, kÕt qu¶ th­êng cho d­íi d¹ng gi¶i tÝch. Ph­¬ng ph¸p 2 & 3 lµ c¸c ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng.

3.2.2. C¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n ®Ó gi¶i bµi to¸n thuû ®éng lùc häc sãng Cã hai ph­¬ng ph¸p x©y dùng bµi to¸n: - M« t¶ trùc tiÕp chuyÓn ®éng cña c¸c phÇn tö n­íc, hoÆc - M« t¶ trùc tiÕp chuyÓn ®éng cña c¸c phÇn tö n­íc, hoÆc - X¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh trong kh«ng gian. Cô thÓ lµ:

* Ph­¬ng ph¸p Euler: t¹i 1 ®iÓm cè ®Þnh nµo ®ã trong hÖ to¹ ®é (x,z), ta ®i t×m c¸c Èn sè lµ c¸c hµm cña thêi gian t. ë ®©y c¸c Èn sè lµ vËn tèc )z,x(V vµ ¸p lùc p. ®©y c¸c Èn sè lµ vËn tèc )z,x(V vµ ¸p lùc p.

* Ph­¬ng ph¸p Lagrange: (hay ph­¬ng ph¸p dïng biÕn Lagrange): xÐt phÇn tö n­íc cã to¹ ®é ban ®Çu lµ a vµ b (hay c¸c th«ng sè kh¸c). C¸c ph­¬ng tr×nh cña bµi to¸n ®­îc biÓu diÔn bëi c¸c hµm cña a, b vµ thêi gian t. C¸c Èn sè lµ c¸c to¹ ®é cña phÇn tö n­íc theo thêi gian vµ ¸p lùc t¸c ®éng lªn phÇn tö ®ã. cña phÇn tö n­íc theo thêi gian vµ ¸p lùc t¸c ®éng lªn phÇn tö ®ã. C¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña bµi to¸n sÏ cã d¹ng kh¸c nhau, tuú theo viÖc sö dông mét trong hai ph­¬ng ph¸p trªn. 1) C¸c gi¶ thiÕt c¬ b¶n vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn a/ C¸c gi¶ thiÕt c¬ b¶n C¸c gi¶ thiÕt c¬ b¶n sö dông khi gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh thuû ®éng lùc häc (§LH) sãng trong c¸c lý thuyÕt sãng: C¸c gi¶ thiÕt c¬ b¶n sö dông khi gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh thuû ®éng lùc häc (§LH) sãng trong c¸c lý thuyÕt sãng: + ChÊt láng lµ ®ång nhÊt vµ kh«ng nÐn ®­îc: mËt ®é n­íc ρ=const. + Lùc t¸c ®éng trong chuyÓn ®éng sãng chØ cã lùc träng tr­êng, nghÜa lµ: - Bá qua lùc c¨ng bÒ mÆt (tr­êng hîp sãng rÊt nhá: sãng gîn, cã chu kú T < 0,1 sec, ph¶i kÓ ®Õn) - ChÊt láng ®­îc coi lµ hoµn toµn lý t­ëng (tøc lµ kh«ng cã ®é nhít). - ChÊt láng ®­îc coi lµ hoµn toµn lý t­ëng (tøc lµ kh«ng cã ®é nhít). - Bá qua lùc Coriolys do tr¸i ®Êt quay (nh­ng ph¶i kÓ ®Õn khi nghiªn cøu sãng triÒu). + ChuyÓn ®éng sãng ®­îc coi lµ cã d¹ng trô ,vu«ng gãc víi ph­¬ng truyÒn sãng: ta cã bµi to¸n ph¼ng (chØ cÇn xÐt trong mÆt ph¼ng (x,z)) + Trªn bÒ mÆt tù do, sãng lõng tù lan truyÒn theo chu kú T, b­íc sãng L. Tu©n theo quy luËt: η=f(x) = f(x-L) = f(x-c.T), + Trªn bÒ mÆt tù do, sãng lõng tù lan truyÒn theo chu kú T, b­íc sãng L. Tu©n theo quy luËt: η=f(x) = f(x-L) = f(x-c.T), trong ®ã c - tèc ®é truyÒn sãng. b/ C¸c ®iÒu kiÖn biªn + ¸p lùc trªn bÒ mÆt tù do lµ nh­ nhau vµ kh«ng ®æi: b»ng ¸p lùc khÝ quyÓn. + MÆt ®¸y biÓn cã d¹ng n»m ngang vµ kh«ng thÊm n­íc, tøc lµ: - VËn tèc cña phÇn tö n­íc ë d­íi ®¸y chØ cã ph­¬ng n»m ngang khi ®é s©u d = h÷u h¹n. - VËn tèc cña phÇn tö n­íc ë d­íi ®¸y chØ cã ph­¬ng n»m ngang khi ®é s©u d = h÷u h¹n. Gi¶ thiÕt mÆt ®¸y n»m ngang ®­îc coi lµ ®óng khi ®é dèc ®¸y bÐ h¬n 10%. - VËn tèc cña phÇn tö n­íc ë d­íi ®¸y = 0, tr­êng hîp ®é s©u d = ∞;

c) C¸c gi¶ thiÕt bæ sung C¸c ®iÒu kiÖn biªn nªu ë trªn ch­a ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh chuyÓn ®éng sãng, nªn cÇn thiÕt ph¶i ®­a thªm vµo 1 trong c¸c gi¶ thiÕt bæ sung nh­ sau : - Sãng kh«ng cã chuyÓn ®éng xo¸y: phÇn tö n­íc kh«ng xoay quanh b¶n th©n nã. Gi¶ thiÕt nµy chØ thÝch hîp ®èi víi - Sãng kh«ng cã chuyÓn ®éng xo¸y: phÇn tö n­íc kh«ng xoay quanh b¶n th©n nã. Gi¶ thiÕt nµy chØ thÝch hîp ®èi víi sãng chuyÓn ®éng tù do d­íi t¸c ®éng cña riªng lùc träng tr­êng. - HoÆc: ChuyÓn ®éng ngang cña phÇn tö n­íc b»ng 0, t­¬ng ®­¬ng víi chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc cã quü ®¹o khÐp kÝn. - HoÆc: Sãng cã chuyÓn ®éng xo¸y víi gi¸ trÞ thay ®æi theo chiÒu s©u: c¸c phÇn tö n­íc cã quü ®¹o chuyÓn ®éng kh«ng - HoÆc: Sãng cã chuyÓn ®éng xo¸y víi gi¸ trÞ thay ®æi theo chiÒu s©u: c¸c phÇn tö n­íc cã quü ®¹o chuyÓn ®éng kh«ng khÐp kÝn. Do vËy, cã sù dÞch chuyÓn khèi l­îng chÊt láng theo h­íng truyÒn sãng. Gi¶ thiÕt nµy gÇn thùc tÕ h¬n. Chó ý r»ng lùc nhít t¹o nªn chuyÓn ®éng xo¸y, gi¶ thiÕt nµy kh«ng ®­îc sö dông ®ång thêi víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ chÊt láng lý t­ëng ®· nªu ë trªn. 2) C¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña bµi to¸n thuû ®éng lùc häc sãng 2) C¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña bµi to¸n thuû ®éng lùc häc sãng a) Ph­¬ng tr×nh ®éng lùc häc ChuyÓn ®éng cña dßng chÊt láng kh«ng nÐn ®­îc ®­îc m« t¶ bëi ph­¬ng tr×nh Navier-Stokes biÓu diÔn quan hÖ: Lùc t¸c dông = Khèi l­îng x Gia tèc ⇒ a.mf = Lùc t¸c dông = Khèi l­îng x Gia tèc ⇒ a.mf = * Ph­¬ng ph¸p Euler:

V.gradp1

Fdt

Vd∆ν+

ρ−= (3.1)

Trong ®ã: F - c¸c ngo¹i lùc t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ khèi l­îng n­íc; ë ®©y F lµ gia tèc träng tr­êng ( g.1a.mF

r== );

ν - hÖ sè nhít ®éng häc; ë ®©y ν = 0; p - lµ ¸p lùc;

),,(grad∂∂∂

=∇≡ )z

,y

,x

(grad∂∂

∂∂

∂∂

=∇≡

* Ph­¬ng ph¸p Lagrange:

B»ng phÐp biÕn ®æi to¹ ®é, ta cã:

∂∂

⋅∂

∂+−

∂∂

⋅∂

∂−=

∂∂

⋅ρ a

z)

t

zg(

a

x

t

x

a

p12

2

2

2

(3.2) B»ng phÐp biÕn ®æi to¹ ®é, ta cã:

∂∂

⋅∂

∂+−

∂∂

⋅∂

∂−=

∂∂

⋅ρ

∂∂∂∂∂ρ

b

z)

t

zg(

b

x

t

x

b

p1

atata

2

2

2

2

22 (3.2)

b) Ph­¬ng tr×nh liªn tôc Ph­¬ng tr×nh liªn tôc biÓu diÔn tÝnh chÊt b¶o toµn cña khèi l­îng chÊt láng. * Ph­¬ng ph¸p Euler:

0)V(div =ρ+ρ∂ . 0)V(divt

=ρ+∂ρ∂ .

Theo gi¶ thiÕt ë trªn ρ = const, nªn: 0)V(div = (3.3) * Ph­¬ng ph¸p Lagrange: * Ph­¬ng ph¸p Lagrange: T­¬ng tù (3.3), ta cã:

0)b,a(

)z,x(Log

t=

∂∂

∂∂ (3.4)

trong ®ã: )z,x(∂ lµ ®Þnh thøc cña Jacobien cña phÐp biÕn ®æi. NÕu (a,b) lµ c¸c to¹ ®é ban ®Çu cña phÇn tö, th× lÊy b»ng 1. trong ®ã: )b,a(

)z,x(

∂∂ lµ ®Þnh thøc cña Jacobien cña phÐp biÕn ®æi. NÕu (a,b) lµ c¸c to¹ ®é ban ®Çu cña phÇn tö, th× lÊy b»ng 1.

c) Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng kh«ng xo¸y * Ph­¬ng ph¸p Euler: * Ph­¬ng ph¸p Euler: 0)V(Rot = (3.5) §iÒu nµy chøng tá tån t¹i hµm thÕ vËn tèc )t,z,x(Φ sao cho:

x

u∂Φ∂

−= vµ z

v∂Φ∂

−= (3.6) x∂ z∂

tøc lµ: Φ∇=V (3.7) Thay (3.6) hoÆc (3.7) vµo ph­¬ng tr×nh liªn tôc (3.3), ta ®­îc:

0zyx 2

2

2

2

2

2

=∂

Φ∂+

∂Φ∂

+∂

Φ∂ , hay 0)t,z,x( =∆Φ (3.8)

víi 2

2

2

2

2

2

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆ - to¸n tö Laplace. víi

222 zyx ∂+

∂+

∂=∆ - to¸n tö Laplace.

§iÒu nµy chøng tá hµm thÕ Φ lµ hµm ®iÒu hoµ.

* Ph­¬ng ph¸p Lagrange: Ta biÓu diÔn phÐp xoay g¾n vµo mét phÇn tö. V× chuyÓn ®éng lµ ph¼ng, nªn chØ cã mét thµnh phÇn:

1

)y,x()x,u()z,v(−

∂

⋅

∂

+∂

=ℑ (3.9) )b,a(

)y,x(

)b,a(

)x,u(

)b,a(

)z,v(

∂∂

⋅

∂∂

+∂∂

=ℑ (3.9)

KÕt hîp (3.9) víi (3.2) vµ (3.4), ta ®­îc:

0)6

1(

t=ℑ⋅

∂∂ (3.10)

6t∂ §iÒu nµy chøng tá gãc quay g¾n vµo mét phÇn tö lµ kh«ng phô thuéc thêi gian. NÕu ban ®Çu nã b»ng kh«ng, th× vÒ sau nã vÉn thÕ. d) KÕt luËn d) KÕt luËn . TÊt c¶ c¸c lý thuyÕt sãng kh¸c nhau ®Òu xuÊt ph¸t tõ viÖc gi¶i hÖ thèng c¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n võa nªu trªn.

. Cã rÊt Ýt lý thuyÕt sãng cho lêi gi¶i chÝnh x¸c ®Ó t×m c¸c nghiÖm (p,u,v ®èi víi ph­¬ng ph¸p Euler, hay p, x, z ®èi víi ph­¬ng ph¸p Lagrange). ph­¬ng ph¸p Lagrange). . PhÇn lín c¸c lý thuyÕt ®Òu ph¶i t×m lêi gi¶i gÇn ®óng (lêi gi¶i xÊp xØ). Ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n lµ dùa trªn gi¶ thiÕt coi r»ng c¸c chuyÓn ®éng lµ nhá, tõ ®ã cho phÐp biÓu diÔn c¸c ®¹i l­îng cÇn t×m ®Æc tr­ng cho hiÖn t­îng nµo ®ã d­íi d¹ng hµm cña mét th«ng sè nµo ®ã, h ch¼ng h¹n, víi h lµ mét ®¹i l­îng v« cïng nhá, tû lÖ víi chiÒu cao hay biªn ®é sãng; nãi chung, ng­êi ta th­êng lÊy h=a hay h=a/L. Ký hiÖu ®¹i l­îng cÇn t×m lµ f, ta cã d¹ng triÓn khai theo chuçi luü thõa ®èi víi h: ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅+= fhfhfhff n

22

10 (3.11) trong ®ã f0, f1, f2, ...., fn, ... kh«ng phô thuéc h. NÕu c¸c lý thuyÕt sãng bá qua c¸c sè h¹ng bËc cao h¬n n trong (3.11), th× ®­îc gäi lµ cho lêi gi¶i bËc n. C¸c lý thuyÕt sãng bËc 1 (n=1) cßn ®­îc gäi lµ lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh. Mäi lý thuyÕt sãng bËc 1 ®Òu coi r»ng sãng kh«ng xo¸y. C¸c lý thuyÕt sãng bËc cao h¬n (n>1) ®Òu ®­îc gäi lµ c¸c lý thuyÕt sãng cã biªn ®é h÷u h¹n. C¸c lý thuyÕt sãng bËc cao h¬n (n>1) ®Òu ®­îc gäi lµ c¸c lý thuyÕt sãng cã biªn ®é h÷u h¹n.

3.2.3. C¸c ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng sãng thÕ (bµi to¸n ph¼ng) a) Ph­¬ng tr×nh ®èi víi hµm thÕ vËn tèc a) Ph­¬ng tr×nh ®èi víi hµm thÕ vËn tèc Tõ ®iÒu kiÖn liªn tôc cña chuyÓn ®éng chÊt láng kh«ng nÐn ®­îc vµ kh«ng xo¸y, ta ®· rót ra chuyÓn ®éng cña chÊt láng lµ chuyÓn ®éng thÕ, víi sù tån t¹i mét hµm thÕ vËn tèc Φ(x,z,t), (thø nguyªn cña Φ lµ: [Φ]=L2.T-1). )t,z,x(gradV Φ= (3.12) )t,z,x(gradV Φ= (3.12)hay:

x

)t,z,x(uVx ∂

Φ∂== ;

z

)t,z,x(vVz ∂

Φ∂== ; (3.12-a)

( 222 vuV += ) ( 222 vuV += ) Hµm thÕ Φ(x,z,t) lµ hµm ®iÒu hoµ, tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh Laplace: ∆Φ(x,z,t) = 0 (3.13)

hay 0z

)t,z,x(

x

)t,z,x(2

2

2

2

=∂

Φ∂+

∂

Φ∂ (3.13-a) zx 22 ∂∂

b) C¸c ®iÒu kiÖn biªn b-1) §iÒu kiÖn ®éng häc trªn mÆt tù do (mÆt tho¸ng) b-1) §iÒu kiÖn ®éng häc trªn mÆt tù do (mÆt tho¸ng) Gäi η(x,t) lµ hµm sè biÓu diÔn sù chuyÓn ®éng cña mÆt tù do xung quanh mùc n­íc lÆng. V× vËn tèc theo ph­¬ng ®øng cña c¸c phÇn tö n­íc trªn bÒ mÆt t¹o nªn η(x,t), nªn ta cã :

x)t,x()t,x()t,x(v =

∂⋅

η∂+

η∂=

η∂=

u

x

)t,x(

t

t)(x,

txttv

⋅∂

η∂+

∂η∂

=

=∂

⋅∂

+∂

=∂

= (3.14)

Chó ý ®Õn (3.12-a), ph­¬ng tr×nh (3.14) cã d¹ng míi: Φ∂η∂Φ∂η∂ 0zxxt

=∂Φ∂

−∂η∂

⋅∂Φ∂

+∂η∂ (3.15)

(x,t)η

0gzgrad2

1

t

2=+Φ+

∂Φ∂

0zxxt

)t(=

∂Φ∂

−∂η∂

⋅∂Φ∂

+∂η∂

zxxt ∂∂∂∂

H×nh 3.6. C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n thÕ H×nh 3.6. C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n thÕ b-2) §iÒu kiÖn ¸p lùc kh«ng ®æi trªn mÆt tù do. (Ph­¬ng tr×nh §LH Navier-Stokes) KÕt hîp víi (3.12), ta cã ph­¬ng tr×nh §LH Bernoulli ®èi víi chuyÓn ®éng sãng cña chÊt láng lý t­ëng (kh«ng nhít), KÕt hîp víi (3.12), ta cã ph­¬ng tr×nh §LH Bernoulli ®èi víi chuyÓn ®éng sãng cña chÊt láng lý t­ëng (kh«ng nhít), kh«ng nÐn ®­îc vµ kh«ng xo¸y:

0gz)pp(1

grad2

1

t o2

=+−ρ

+Φ+∂Φ∂ (3.16)

hay 0gz)pp(1

V1 2 =+−++

Φ∂ (3.16-a) hay 0gz)pp(1

V2

1

t o2 =+−

ρ++

∂Φ∂ (3.16-a)

trong ®ã : VVgrad ==Φ∇=Φ

po - ¸p lùc trªn bÒ mÆt n­íc tù do, tøc lµ ¸p lùc khÝ quyÓn. Cã thÓ coi po = 0. g - gia tèc träng tr­êng g - gia tèc träng tr­êng §Ó ý ®Õn (3.12-a), (3.16) ta cã thÓ viÕt :

0gzp1

])z

()x

[(2

1

t22 =+

ρ+

∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂ (3.17)

Chó ý r»ng ph­¬ng tr×nh (3.17) viÕt cho mäi ®iÓm cã to¹ ®é (x,z) bÊt kú. Chó ý r»ng ph­¬ng tr×nh (3.17) viÕt cho mäi ®iÓm cã to¹ ®é (x,z) bÊt kú.

¸p dông kÕt qu¶ (3.17) cho c¸c ®iÓm trªn mÆt tù do, vµ chó ý ®Õn :

η=

==

z

mÆt) bÒ c¨ng søcqua (bá 0pp o

ta nhËn ®­îc: 1 Φ∂Φ∂Φ∂ 0g])

z()

x[(

21

t22 =η+

∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂ (3.18)

b-3) §iÒu kiÖn mÆt ®¸y biÓn kh«ng thÊm n­íc

0z

)t,z,x(v =

∂Φ∂

= víi z = - d (3.19)

c) KÕt luËn c) KÕt luËn TËp hîp c¸c ph­¬ng tr×nh (3.13), (3.15), (3.18) vµ (3.19), ta ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20) ®èi víi hµm thÕ vËn tèc Φ(x,z,t): 1) ∆Φ(x,z,t) = 0 ∀M(x,z)∈Ω, ∀t

2) 0)t,z,x(

=Φ∂ víi z = - d;∀x,t 2) 0

z=

∂ víi z = - d;∀x,t

3) 0gzgrad2

1

t

2=+Φ+

∂Φ∂ víi η=z ;∀M(x,z)∈Ω, ∀t (3.20)

4) 0)t(

=∂Φ∂

−∂η∂

⋅∂Φ∂

+∂η∂ víi η=z ;∀M(x,z)∈Ω, ∀t 4) 0

zxxt=

∂−

∂⋅

∂+

∂ víi η=z ;∀M(x,z)∈Ω, ∀t

trong ®ã: Ω - miÒn chøa chÊt láng. NhËn xÐt: * Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (3.20), ta sÏ x¸c ®Þnh ®­îc hµm thÕ vËn tèc Φ(x,z,t). Tõ ®ã suy ra c¸c vËn tèc (u,v) * Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (3.20), ta sÏ x¸c ®Þnh ®­îc hµm thÕ vËn tèc Φ(x,z,t). Tõ ®ã suy ra c¸c vËn tèc (u,v) cña phÇn tö n­íc do chuyÓn ®éng sãng.

* Bµi to¸n tæng qu¸t (3.20) lµ bµi to¸n phi tuyÕn (ë c¸c ph­¬ng tr×nh thø 3 vµ 4). Lêi gi¶i tæng qu¸t cña nã rÊt phøc t¹p. C¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau cña c¸c lý thuyÕt sãng, nh­ ®· nªu ë trªn còng nh»m t×m c¸ch gi¶i hÖ (3.20) nµy.

* Ngo¹i lùc g©y ra chuyÓn ®éng sãng ®­îc chØ râ trong hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20) lµ , thÓ hiÖn ë thµnh phÇn * Ngo¹i lùc g©y ra chuyÓn ®éng sãng ®­îc chØ râ trong hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20) lµ lùc träng tr­êng, thÓ hiÖn ë thµnh phÇn gη (trong ph­¬ng tr×nh thø 3); nªn “sãng tù do” ë ®©y cßn gäi lµ “sãng träng lùc” nh­ ®· nªu ë môc ph©n lo¹i sãng.

* Tãm l¹i, hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20) gåm 4 ph­¬ng tr×nh : PT1: lµ ph­¬ng tr×nh Laplace ®èi víi hµm thÕ vËn tèc ; PT2: lµ ®iÒu kiÖn kh«ng thÊm n­íc ë mÆt ®¸y; PT2: lµ ®iÒu kiÖn kh«ng thÊm n­íc ë mÆt ®¸y; PT3: lµ ph­¬ng tr×nh §LH Bernoulli viÕt cho ®iÒu kiÖn ®¼ng ¸p ë mÆt n­íc tù do;

PT4: lµ ®iÒu kiÖn ®éng häc ë mÆt tù do (t

v∂η∂

= )

Ph­¬ng tr×nh Laplace cho phÐp gi¶i ®­îc hµm thÕ Φ(x,z,t) dùa vµo 3 ®iÒu kiÖn biªn ë 3 ph­¬ng tr×nh sè 2, 3 vµ 4 trong Ph­¬ng tr×nh Laplace cho phÐp gi¶i ®­îc hµm thÕ Φ(x,z,t) dùa vµo 3 ®iÒu kiÖn biªn ë 3 ph­¬ng tr×nh sè 2, 3 vµ 4 trong hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20), trong ®ã 2 ®iÒu kiÖn biªn 3) vµ 4) cã ý nghÜa vËt lý quan träng: - cã tån t¹i sãng bÒ mÆt η(x,z,t) do lùc träng tr­êng; - sãng bÒ mÆt truyÒn n¨ng l­îng xuèng m«i tr­êng n­íc, g©y ra chuyÓn ®éng sãng ®èi víi mäi phÇn tö n­íc th«ng qua hµm thÕ vËn tèc Φ. hµm thÕ vËn tèc Φ. * Tr­êng hîp më réng cho sãng 3 chiÒu (sãng kh«ng gian): T­¬ng tù hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20), hµm thÕ vËn tèc Φ(x,y,z,t) ®­îc T­¬ng tù hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20), hµm thÕ vËn tèc Φ(x,y,z,t) ®­îc x¸c ®Þnh tõ hÖ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t (3.21) sau:

1) 0z

)t,z,x(

y

)t,z,x(

x

)t,z,x()t,z,y,x(

2

2

2

2

2

2

=∂

Φ∂+

∂

Φ∂+

∂

Φ∂=∆Φ víi ∀M(x,y,z)∈Ω, ∀t

zyx 222 ∂∂∂

2) 0z

)t,z,y,x(=

∂Φ∂ víi z = - d;∀x,y,t (3.21)

3) 0)t,y,x(g])z

()y

()x

[(2

1

t222 =η+

∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂ ∀M(x,y,η)∈Ω, ∀t

zyx2t ∂∂∂∂

4) 0zyyxxt

=∂Φ∂

−∂η∂

⋅∂Φ∂

+∂η∂

⋅∂Φ∂

+∂η∂ ∀M(x,y,η)∈Ω, ∀t

C¸c phÇn sau sÏ lÇn l­ît ®Ò cËp ®Õn c¸c lý thuyÕt sãng th«ng dông nhÊt trong tÝnh to¸n c«ng tr×nh biÓn. C¸c phÇn sau sÏ lÇn l­ît ®Ò cËp ®Õn c¸c lý thuyÕt sãng th«ng dông nhÊt trong tÝnh to¸n c«ng tr×nh biÓn.

3.2.4. C¸c lý thuyÕt sãng chñ yÕu a) Ph©n lo¹i tæng qu¸t c¸c lý thuyÕt sãng

C¸c lý thuyÕt sãng ®­îc chia thµnh: - Lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh - Lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh - Lý thuyÕt sãng phi tuyÕn. C¸c th«ng sè cña c¸c lý thuyÕt sãng ®­îc G.S. Subsbielles vµ C.Brattu, ViÖn DÇu má Ph¸p (IFP) tæng kÕt trong tµi liÖu “Vagues et Ouvrages PÐtroliers en Mer”.

* C¸c lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh víi 1)L

(H

;1H 3 <<<< ¸p dông cho c¸c tr­êng hîp n­íc n«ng, n­íc võa vµ n­íc s©u. * C¸c lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh víi 1)

d

L(

L

H;1

d

H 3 <<<< ¸p dông cho c¸c tr­êng hîp n­íc n«ng, n­íc võa vµ n­íc s©u.

* C¸c lý thuyÕt sãng phi tuyÕn 10)d

L(

L

H;1

d

H 3 <<< ¸p dông cho n­íc võa vµ n­íc s©u.

* C¸c lý thuyÕt sãng phi tuyÕn: LHH

- Tr­êng hîp 1)d

L(

L

H;1

d

H 3 =< ¸p dông cho n­íc n«ng.

- Tr­êng hîp 1d

H≤ ¸p dông cho n­íc võa.

LHH d * C¸c lý thuyÕt sãng phi tuyÕn 1)

d

L(

L

H;1

d

H 3 >><< ¸p dông cho n­íc rÊt n«ng 005,0L

d<< .

b) C¸c lý thuyÕt sãng th«ng dông (sãng tù do träng lùc)

* Lý thuyÕt sãng Gerstner: cho nghiÖm chÝnh x¸c nhê biÓu diÔn theo c¸c to¹ ®é Lagrange, tÝnh cho ®é s©u v« h¹n (n­íc s©u), trong ®ã cã kÓ ®Õn hiÖn t­îng xo¸y (theo nghÜa ng­îc víi xo¸y thùc). * Lý thuyÕt sãng Airy: lý thuyÕt sãng bËc 1, biÓu diÔn theo c¸c to¹ ®é Euler, sãng kh«ng xo¸y, dïng cho mäi ®é s©u n­íc. n­íc. * Lý thuyÕt sãng Stokes: tõ bËc 1 ®Õn bËc 5 theo c¸c to¹ ®é Euler, ë ®é s©u h÷u h¹n. C¸c lý thuyÕt nµy ®­îc sö dông rÊt th«ng dông. * C¸c lý thuyÕt sãng Miche: lý thuyÕt sãng bËc 1 vµ 3, tÝnh gÇn ®óng, x©y dùng theo c¸c to¹ ®é Lagrange . §èi víi bËc 1, cho kÕt qu¶ rÊt gÇn víi kÕt qu¶ cña Stokes. * Lý thuyÕt sãng Cnoidal: dïng to¹ ®é Euler, m« h×nh nµy thÝch hîp víi sãng n­íc n«ng; cã thÓ cho nghiÖm d­íi d¹ng * Lý thuyÕt sãng Cnoidal: dïng to¹ ®é Euler, m« h×nh nµy thÝch hîp víi sãng n­íc n«ng; cã thÓ cho nghiÖm d­íi d¹ng bËc 1 hoÆc bËc 2.

* Lý thuyÕt sãng ®¬n: xÐt 1 sãng cùc ®¹i nh­ lµ 1 sãng ®¬n lÎ, ë vïng n­íc n«ng, cã chiÒu dµi rÊt lín.

* Lý thuyÕt sãng dµi: dïng ph­¬ng tr×nh Xanh-v¬-n¨ng ®Ó tÝnh trong tr­êng hîp cã ¶nh h­ëng cña sãng triÒu hoÆc sãng ë cöa s«ng.

* Lý thuyÕt sãng do b·o lôt: cã ®Æc tr­ng lµ cã sù v©n chuyÓn khèi l­îng. §iÓn h×nh lµ sãng Thomas. * C¸c ph­¬ng ph¸p sè biÓu diÔn qua hµm dßng víi mét sè bËc tuú ý, ¸p dông cho mäi ®é s©u kh¸c nhau. * C¸c ph­¬ng ph¸p sè biÓu diÔn qua hµm dßng víi mét sè bËc tuú ý, ¸p dông cho mäi ®é s©u kh¸c nhau. Chó ý: + ViÖc ph©n lo¹i chi tiÕt c¸c lý thuyÕt sãng nªn sö dông tµi liÖu cña ViÖn DÇu má Ph¸p - IFP; + ViÖc n¾m v÷ng ph¹m vi ¸p dông ®èi víi tõng lý thuyÕt sãng lµ rÊt quan träng. Trªn h×nh 3.7 biÓu diÔn c¸c miÒn kh¸c + ViÖc n¾m v÷ng ph¹m vi ¸p dông ®èi víi tõng lý thuyÕt sãng lµ rÊt quan träng. Trªn h×nh 3.7 biÓu diÔn c¸c miÒn kh¸c nhau cña ph¹m vi øng dông ®èi víi tõng lý thuyÕt sãng nªu trªn. §èi víi sãng cã biªn ®é bÐ th× sãng bËc 1 cã gi¸ trÞ hÇu nh­ ë mäi ®é s©u. §èi víi vïng n­íc n«ng, ph¶i dïng lý thuyÕt

H HL2

sãng Cnoidal. Khi L

H t¨ng, c¸c lý thuyÕt sãng Stokes ®­îc ¸p dông ®èi víi c¸c gi¸ trÞ 26d

HL3

2

≤ . Gi÷a giíi h¹n nµy lµ vïng sãng

vì, ng­êi ta dïng lý thuyÕt sãng Cnoidal hoÆc sãng ®¬n.

H×nh 3.7. MiÒn ¸p dông cña c¸c lý thuyÕt sãng

H×nh 3.8: Tr×nh bµy sù ph©n chia miÒn ¸p dông lý thuyÕt sãng theo Keulegan

c) C¸c lý thuyÕt sãng cã chu kú XÐt riªng c¸c lý thuyÕt sãng øng dông cho lo¹i sãng ®¬n gi¶n, lan truyÒn víi vËn tèc kh«ng ®æi, cã d¹ng kh«ng suy gi¶m, chuyÓn ®éng cã tÝnh chÊt chu kú, J.Larras ®· tæng kÕt cã 4 lo¹i sãng cã chu kú sau: - C¸c sãng h×nh sin (hay sãng ®¬n gi¶n) - C¸c sãng cña Miche: ph¸t triÓn tõ m« h×nh cña Miche n¨m 1944 - C¸c sãng cña Miche: ph¸t triÓn tõ m« h×nh cña Miche n¨m 1944 - C¸c sãng Cnoidal - C¸c sãng ®¬n: ®©y lµ tr­êng hîp tíi h¹n cña c¸c sãng Cnoidal khi cã chu kú vµ chiÒu dµi sãng tiÕn tíi v« h¹n. Ta thÊy 4 lo¹i sãng ®¬n gi¶n cã chu kú nµy thÝch hîp ®Ó m« t¶ hiÖn t­îng vËt lý trong qu¸ tr×nh truyÒn sãng, tõ ngoµi kh¬i tiÕp cËn vµo bê, tr¶i qua sãng h×nh sin, ®Õn sãng Miche (hay sãng Stokes), råi ®Õn sãng Cnoidal, sau ®ã lµ sãng ®¬n; tiÕp ®Õn tiÕp cËn vµo bê, tr¶i qua sãng h×nh sin, ®Õn sãng Miche (hay sãng Stokes), råi ®Õn sãng Cnoidal, sau ®ã lµ sãng ®¬n; tiÕp ®Õn lµ sãng biÕn d¹ng, bÞ vì vµ tiÕn vµo bê cã b·i dèc tho¶i.

H×nh 3.9. Ph¹m vi ¸p dông c¸c lý thuyÕt sãng cã chu kú

H×nh 3.9. Ph¹m vi ¸p dông c¸c lý thuyÕt sãng cã chu kú

d) C¸c lý thuyÕt sãng th«ng dông nhÊt trong tÝnh to¸n c«ng tr×nh biÓn Trong tÝnh to¸n c«ng tr×nh th­êng xÐt t¸c ®éng cña sãng: - Theo ®iÒu kiÖn cùc trÞ cña giã b·o (®Ó tÝnh to¸n ®é bÒn cùc ®¹i), hoÆc - Theo ®iÒu kiÖn cùc trÞ cña giã b·o (®Ó tÝnh to¸n ®é bÒn cùc ®¹i), hoÆc - Theo tõng lo¹i riªng rÏ (®Ó tÝnh ®é bÒn mái). Trong c¸c lý thuyÕt sãng cã chu kú kÓ trªn, khi tÝnh to¸n c«ng tr×nh biÓn, cã 3 lo¹i sãng ®­îc sö dông phæ biÕn h¬n c¶, lµ: + Sãng Airy: lµ sãng bËc 1 (sãng tuyÕn tÝnh) cã biªn ®é nhá (H nhá h¬n nhiÒu so víi L), ®iÒu hoµ (Profil sãng h×nh sin). + Sãng Airy: lµ sãng bËc 1 (sãng tuyÕn tÝnh) cã biªn ®é nhá (H nhá h¬n nhiÒu so víi L), ®iÒu hoµ (Profil sãng h×nh sin). Nãi chung, lý thuyÕt sãng Airy sö dông thÝch hîp cho ®iÒu kiÖn n­íc s©u. Trong c¸c tr­êng hîp kh¸c, nã cã t¸c dông cho c¸c kÕt qu¶ s¬ bé. Ngoµi ra, lý thuyÕt sãng Airy cßn ®­îc dïng ®Ó m« t¶ thèng kª ®èi víi sãng thùc diÔn t¶ theo quan ®iÓm x¸c suÊt (sÏ ®Ò cËp ë ch­¬ng 8 m«n häc nµy). + Sãng Stokes: lý thuyÕt sãng nµy thÝch hîp víi tr­êng hîp sãng cã biªn ®é h÷u h¹n, trong khi sãng Airy chØ thÝch hîp víi sãng biªn ®é nhá.

+ Sãng Cnoidal: lý thuyÕt sãng Cnoidal cho kÕt qu¶ thÝch hîp ®èi víi vïng n­íc n«ng 1,0d

< . + Sãng Cnoidal: lý thuyÕt sãng Cnoidal cho kÕt qu¶ thÝch hîp ®èi víi vïng n­íc n«ng 1,0L

d< .

H×nh 3.10. Ph¹m vi ¸p dông c¸c lý thuyÕt sãng Airy, Stokes vµ Cnoidal H×nh 3.10. Ph¹m vi ¸p dông c¸c lý thuyÕt sãng Airy, Stokes vµ Cnoidal (Theo Dawson)

3.3. Lý thuyÕt sãng bËc 1 (lý thuyÕt sãng Airy) 3.3.1. Lêi gi¶i tuyÕn tÝnh ho¸ 3.3.1. Lêi gi¶i tuyÕn tÝnh ho¸ Lý thuyÕt sãng Airy thuéc lo¹i lý thuyÕt sãng bËc 1 (hay lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh, hoÆc lý thuyÕt sãng biªn ®é nhá). Ta sÏ t×m c¸c Èn trong hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20). HÖ ph­¬ng tr×nh §LH sãng (3.20) ®­îc thùc hiÖn bëi J.B. Airy (n¨m 1845), cô thÓ nh­ sau :

• Bá qua c¸c sè h¹ng phi tuyÕn (sè h¹ng bËc cao) trong hai ph­¬ng tr×nh 3) vµ 4) lµ : • Bá qua c¸c sè h¹ng phi tuyÕn (sè h¹ng bËc cao) trong hai ph­¬ng tr×nh 3) vµ 4) lµ :

Φgrad2

1 vµ xx ∂η∂

⋅∂Φ∂ ; do ®ã:

. tõ ph­¬ng tr×nh 3) ta cã: ηΦ∂ 0)t,x(g

t

)t,,x(=η+

∂ηΦ∂ (3.22)

. tõ ph­¬ng tr×nh 4) ta cã:

0z

)t,,x(

t

)t,x(=

∂ηΦ∂

−∂

η∂ (3.23) 0zt

=∂

−∂

(3.23)

• Coi sãng cã biªn ®é rÊt nhá, ®Ó cã thÓ viÕt :

t

)t,0,x(

t

)t,,x(

∂Φ∂

≈∂

ηΦ∂ (3.24)

Gi¶i thÝch chi tiÕt ®iÒu nµy nh­ sau : Gi¶i thÝch chi tiÕt ®iÒu nµy nh­ sau : Thùc hiÖn khai triÓn chuçi Taylor ®èi víi hµm thÕ vËn tèc trªn bÒ mÆt tù do (víi z=η) quanh vÞ trÝ mÆt n­íc lÆng (z=0):

)(Oz

.)t,z,x( 20zz

η+∂Φ∂

η+Φ=Φ =η= (3.25) )(Oz

.)t,z,x(0z

0zzη+

∂η+Φ=Φ

==η= (3.25)

trong ®ã: )(O 2η : ®¹i l­îng bÐ, gåm c¸c sè h¹ng tõ bËc 2n ≥ , phô thuéc vµo ®é lÖch ∆z=η.

Sãng cã dao ®éng lµ nhá quanh vÞ trÝ mÆt n­íc lÆng (z=0), khi η lµ bÐ hoÆc ∂Φ∂ lµ bÐ. Khi ®ã (3.25) ®­îc viÕt nh­ sau: Sãng cã dao ®éng lµ nhá quanh vÞ trÝ mÆt n­íc lÆng (z=0), khi η lµ bÐ hoÆc z∂

lµ bÐ. Khi ®ã (3.25) ®­îc viÕt nh­ sau:

0zz

)t,z,x()t,z,x( =η= Φ≈Φ (3.26)

hay )t,0,x()t,z,x( Φ≈Φ .

¸p dông kÕt qu¶ (3.26) vµo c¸c ph­¬ng tr×nh (3.22) vµ (3.23) ta cã:

Tõ PT3 ⇒ t

)t,0,x()t,x(g

∂Φ∂

−=η víi z=0 (3.27) t∂

Tõ PT4 ⇒ z

)t,0,x(

t

)t,x(

∂Φ∂

=∂

η∂ víi z=0 (3.28)

KÕt hîp (3.27) vµ (3.28) ®Ó khö η, ta cã:

0g2

=Φ∂

+Φ∂ víi z=0 (3.29) 0

zg

t2=

∂+

∂ víi z=0 (3.29)

Ph­¬ng tr×nh (3.29) ®­îc gäi lµ ®iÒu kiÖn Poisson (Po¸t X«ng). • Cuèi cïng, ta cã ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh §LH sãng biªn ®é nhá, tuyÕn tÝnh, ®èi víi hµm thÕ vËn tèc Φ(x,z,t), suy ra tõ hÖ ph­¬ng tr×nh (3.20): ph­¬ng tr×nh (3.20): 1) ∆Φ(x,z,t) = 0 ∀M(x,z)∈Ω, ∀t

2) 0z

)t,z,x(=

∂Φ∂ víi z = - d;∀x,t (3.30) 2) 0

z=

∂ víi z = - d;∀x,t (3.30)

3) 0z

gt2

2

=∂Φ∂

+∂

Φ∂ víi z=0;∀x,t

• Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (3.30): * §Æt nghiÖm ®iÒu hoµ (theo thêi gian) Φ d­íi d¹ng phøc vµ ph©n ly biÕn sè. D¹ng phøc cña hµm thÕ Φ cho phÐp m« t¶ * §Æt nghiÖm ®iÒu hoµ (theo thêi gian) Φ d­íi d¹ng phøc vµ ph©n ly biÕn sè. D¹ng phøc cña hµm thÕ Φ cho phÐp m« t¶ tr­êng sãng theo quan ®iÓm ngÉu nhiªn mét c¸ch thuËn lîi mµ ta sÏ ®Ò cËp sau nµy. tie).z(f).x()t,z,x( ωϕ=Φ (3.31) trong ®ã: ω - tÇn sè vßng (rad/s) cña dao ®éng sãng theo thêi gian ϕ(x) - hµm sè biÓu diÔn d¹ng truyÒn sãng theo ph­¬ng x. ϕ(x) - hµm sè biÓu diÔn d¹ng truyÒn sãng theo ph­¬ng x. f(z) - d¹ng biÕn ®æi cña hµm thÕ däc theo chiÒu s©u n­íc. tie ω - phÇn phøc phô thuéc thêi gian tsin.itcose ti ω±ω=ω± (3.32)

víi i - sè phøc, 1i −= ; víi i - sè phøc, 1i −= ; phÇn thùc tcos]eRe[ ti ω=ω±

phÇn ¶o tsin]eIm[ ti ω±=ω± (3.33)

* §­a Φ theo d¹ng (3.31) vµo ph­¬ng tr×nh Laplace cña hÖ (3.30), ta ®­îc:

Tõ 1) → 2

2

2

2

z

)z(f)x()z(f

x

)x(

∂

∂ϕ−=⋅

∂

ϕ∂

22

hay )z(f

z

)z(f

)x(x

)x(2

2

2

2

∂

∂

−=ϕ∂

ϕ∂

(3.34)

§¼ng thøc (3.34) tån t¹i víi mäi x vµ z, nghÜa lµ vÕ tr¸i vµ vÕ ph¶i cña (3.34) ph¶i b»ng mét h»ng sè k2 nµo ®ã. Do ý §¼ng thøc (3.34) tån t¹i víi mäi x vµ z, nghÜa lµ vÕ tr¸i vµ vÕ ph¶i cña (3.34) ph¶i b»ng mét h»ng sè k2 nµo ®ã. Do ý nghÜa dao ®éng cña chuyÓn ®éng sãng theo ph­¬ng x, nªn ®¼ng thøc trªn lÊy b»ng - k2. Khi ®ã ta cã 2 ph­¬ng tr×nh míi:

z

)z(f

kx

)x(2

2

22

2

∂

∂

=−=∂

ϕ∂

)z(f

zk)x(

x 2 ∂=−=ϕ∂

hay

0)x(.kx

)x( 22

2

=ϕ+∂

ϕ∂ (3.35) x∂

0)z(f.kz

)z(f 22

2

=−∂

∂ (3.36)

Ph­¬ng tr×nh (3.35) ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh Hemholtz, ®ãng vai trß quan träng trong c¸c bµi to¸n thuû §LH sãng ®èi víi c«ng tr×nh biÓn. c«ng tr×nh biÓn.

* Thay d¹ng Φ theo (3.31) vµo ®iÒu kiÖn biªn ë ®¸y biÓn trong (3.30), ta ®­îc:

Tõ 2) → 0z

)z(f=

∂∂ z=-d (v× coi ϕ(x)≠0) (3.37)

* Thay d¹ng Φ theo (3.31) vµo ®iÒu kiÖn biªn Poisson ë mÆt n­íc tù do trong (3.30), ta ®­îc:

Tõ 3) → 0)z(f.gz

)z(f 2

=ω

−∂

∂ víi z=0 (coi ϕ(x)≠0) (3.38)

* KÕt hîp ph­¬ng tr×nh (3.36) víi ®iÒu kiÖn biªn (3.37), ta nhËn ®­îc nghiÖm f(z): * KÕt hîp ph­¬ng tr×nh (3.36) víi ®iÒu kiÖn biªn (3.37), ta nhËn ®­îc nghiÖm f(z):

chkd

)]dz(k[ch)z(f

+= (3.39)

Chó ý: Hµm f(z) m« t¶ d¹ng biÕn ®æi cña hµm thÕ vËn tèc sãng däc theo chiÒu s©u n­íc biÓn, theo quy luËt: f(0)=1 vµ gi¶m dÇn khi xuèng s©u.

Khi tíi ®¸y ta cã: 0dz

)z(df= khi z=-d.

dz * T×m ϕ(x) trong (3.31): KÕt hîp (3.27) vµ (3.31), víi chó ý f(0)=1, ta cã:

tie).x(i

)t,x( ωϕ⋅ω

−=η (3.40) tie).x(g

)t,x( ωϕ⋅−=η (3.40)

Tõ (3.40) ta thÊy )t,x(η cã d¹ng:

tie).x()t,x( ωη=η (3.41) trong ®ã: trong ®ã:

)x(g

i)x( ϕ⋅

ω−=η (3.42)

BiÓu thøc (3.42) lµ biªn ®é cña sãng bÒ mÆt, nã cho thÊy : + V× cã chøa sè ¶o i, chøng tá gi÷a c¸c hµm biªn ®é η(x) vµ ϕ(x) cã sù lÖch pha vÒ thêi gian lµ 900. + V× cã chøa sè ¶o i, chøng tá gi÷a c¸c hµm biªn ®é η(x) vµ ϕ(x) cã sù lÖch pha vÒ thêi gian lµ 90 . + Quan hÖ gi÷a η(x) vµ ϕ(x) trong (3.42) lµ bËc nhÊt. Chøng tá lµ khi ϕ(x) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh Hemholtz (3.35), th× η(x) còng nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh Hemholtz sau:

0)x(.kx

)x( 22

2

=η+∂

η∂ (3.43) x∂

Ph­¬ng tr×nh (3.43) cho nghiÖm ®iÒu hoµ. Sö dông d¹ng phøc cña nghiÖm: ikx

o e.a)x( −=η (3.44)

trong ®ã: L

2k

π= - sè sãng trong ph¹m vi chiÒu dµi b»ng 2𠮬n vÞ trªn trôc x. ao - biªn ®é cña sãng.

L KÕt hîp (3.43) vµ (3.41) ta nhËn ®­îc ph­¬ng tr×nh sãng bÒ mÆt: )]tkx(iexp[.a)t,x( o ω−−=η (3.45)

BiÓu thøc (3.45) biÓu diÔn profil sãng bÒ mÆt theo lý thuyÕt sãng Airy (hay gäi t¾t lµ sãng Airy), víi biªn ®é sãng lµ ao, lan truyÒn theo ph­¬ng trôc x víi vËn tèc pha lµ: truyÒn theo ph­¬ng trôc x víi vËn tèc pha lµ:

T

L

kc =

ω= (3.46)

T - chu kú dao ®éng cña sãng.

KÕt hîp (3.42) vµ (3.44) ta t×m ®­îc hµm ϕ(x): KÕt hîp (3.42) vµ (3.44) ta t×m ®­îc hµm ϕ(x):

ikxo ei

ga)x( −

ω−=ϕ (3.47)

BiÓu thøc (3.47) chÝnh lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Hemholtz (3.35). NhËn xÐt: η(x) vµ ϕ(x) cã d¹ng (3.44) vµ (3.47) phô thuéc vµo c¸c yÕu tè ®Æc tr­ng cho chuyÓn ®éng sãng lµ (ao, ω vµ k). * ThiÕt lËp quan hÖ gi÷a tÇn sè sãng ω, sè sãng k, chiÒu dµi sãng L vµ chu kú sãng T: Thay (3.35) vµo ®iÒu kiÖn Poisson (3.34) ta ®­îc: Thay (3.35) vµo ®iÒu kiÖn Poisson (3.34) ta ®­îc: )kd(th.k.g2 =ω (3.48)

Chó ý ®Õn T

2π=ω ;

L

2k

π= , biÓu thøc (3.44) cã d¹ng míi sau:

2gT2 π dL

2th

2

gTL

2 π⋅

π= (3.49)

C¸c hÖ thøc (3.48) vµ (3.49) ®­îc gäi lµ c«ng thøc Airy, cho mèi quan hÖ gi÷a ω víi k, t­¬ng øng cho quan hÖ gi÷a T vµ L. * Lêi gi¶i cña hµm thÕ vËn tèc Φ cña hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (3.30) [nhËn ®­îc b»ng c¸ch thay (3.47) vµ (3.39) vµo (3.31)]: (3.31)]:

)]tkx(iexp[)kd(ch

)]dz(k[cha

ig)t,z,x( o ω−−⋅

+ω

=Φ (3.50)

* NÕu ®· biÕt c¸c th«ng sè c¬ b¶n cña sãng (chiÒu cao sãng H=2a, chu kú sãng T hoÆc chiÒu dµi sãng L) th× hµm thÕ d¹ng (3.50) hoµn toµn x¸c ®Þnh. d¹ng (3.50) hoµn toµn x¸c ®Þnh.

3.3.2. X¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc cña c¸c phÇn tö n­íc trong chuyÓn ®éng sãng * VËn tèc chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc Thay (3.12) vµo (3.50) ta ®­îc:

)]tkx(iexp[)kd(ch

)]dz(k[cha

gk

xuV ox ω−−

+⋅⋅

ω=

∂Φ∂

== (3.51-a) )kd(chx ω∂

)]tkx(iexp[)kd(ch

)]dz(k[sha

gki

zvV oz ω−−

+⋅⋅

ω=

∂Φ∂

== (3.51-b)

* Gia tèc chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc Tõ c¸c biÓu thøc vËn tèc u vµ v trong c«ng thøc (3.51), ta suy ra c¸c c«ng thøc tÝnh gia tèc theo ph­¬ng ngang vµ ph­¬ng ®øng cña phÇn tö n­íc: ph­¬ng ®øng cña phÇn tö n­íc:

ω−−+

⋅−=∂

=

ω−−+

⋅=∂∂

=

)]tkx(iexp[)]dz(k[sh

gkav

w

)]tkx(iexp[)kd(ch

)]dz(k[chigka

t

uw ox

(3.52)

ω−−+

⋅−=∂∂

= )]tkx(iexp[)kd(sh

)]dz(k[shgka

t

vw oz

3.3.3. Quü ®¹o cña c¸c phÇn tö n­íc trong chuyÓn ®éng sãng §Ó nghiªn cøu quü ®¹o chuyÓn ®éng cña c¸c phÇn tö n­íc, ta sö dông to¹ ®é Lagrange. XÐt quü ®¹o chuyÓn ®éng cña 1 phÇn tö n­íc cã vÞ trÝ ban ®Çu t¹i ®iÓm M(xo, zo) vµ chuyÓn vÞ cña phÇn tö ®ã so víi ®iÓm M gåm 2 thµnh phÇn lµ: )t,z,x(rr ooxx = vµ )t,z,x(rr oozz = )t,z,x(rr ooxx = vµ )t,z,x(rr oozz = V× chuyÓn ®éng cña mÆt tù do coi lµ bÐ, nªn viÕt ®­îc c¸c vËn tèc thµnh phÇn nh­ sau:

≈++

≈++

)z,x(v)rz,rx(v

)z,x(u)rz,rx(u

ooxoxo

ooxoxo (3.53)

Do ®ã, theo ®Þnh nghÜa vÒ vËn tèc, ta viÕt ®­îc:

t

r)z,x(u x

oo ∂∂

= t

r)z,x(v z

oo ∂∂

= (3.54)

Tõ biÓu thøc (3.54) vµ chó ý ®Õn (3.51) ta t×m ®­îc quü ®¹o chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc (x , z ) theo thêi gian t: Tõ biÓu thøc (3.54) vµ chó ý ®Õn (3.51) ta t×m ®­îc quü ®¹o chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc (xo, zo) theo thêi gian t:

ω−−

+⋅⋅

ω== ∫ )]tkx(iexp[

)kd(ch

)]dz(k[cha

i

gkdt.ur o

oo2

t

0x

(3.55)

ω−−+

⋅⋅ω

==

ω

∫ )]tkx(iexp[)kd(ch

)]dz(k[sha

gkudt.vr

i

oo

o2

t

0z

0 (3.55)

Chó ý ®Õn c«ng thøc (3.48): )kd(gkth2 =ω , ta cã thÓ viÕt (3.55) d­íi d¹ng míi: Chó ý ®Õn c«ng thøc (3.48): )kd(gkth2 =ω , ta cã thÓ viÕt (3.55) d­íi d¹ng míi:

ω−−+

⋅=

ω−−+

⋅=

)]tkx(iexp[)]dz(k[sh

ar

)]tkx(iexp[)kd(sh

)]dz(k[ch

i

ar

oo

oz

ooo

x

(3.56)

ω−−⋅= )]tkx(iexp[)kd(sh

ar oo

oz

Suy ra, phÇn thùc cña biÓu thøc (3.56) chÝnh lµ quü ®¹o thùc tÕ cña phÇn tö n­íc (xo,zo):

ω−+

⋅= )tkxsin()kd(sh

)]dz(k[char o

oox

(3.57)

ω−+

⋅= )]tkxcos()kd(sh

)]dz(k[shar

)kd(sh

oo

oz

(3.57)

BiÓu thøc (3.57) cho thÊy phÇn tö n­íc (xo, zo) chuyÓn ®éng theo quü ®¹o ªlÝp khÐp kÝn, víi c¸c b¸n trôc theo ph­¬ng x vµ z lµ: vµ z lµ:

+⋅=

+⋅=

)kd(sh

)]dz(k[shab

)kd(sh

)]dz(k[chaa

oo

oo

(3.57-a)

⋅=

)kd(shab o

H×nh 3.11. Quü ®¹o chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc

* Ta cã thÓ nghiÖm thÊy r»ng víi zo=0 th× rz=η. Tõ (3.55) ta cã: )t,x()]tkx(iexp[.a)0z(r oooz η=ω−−== oooz

* XÐt tr­êng hîp n­íc s©u 5,0L

d> : Khi 5,0

L

d> th× )

L

d(2kd π= kh¸ lín, nªn cã thÓ coi:

)kdexp(2

1)kd(ch ≈ 1) (3.58-a)

)]dz(kexp[2

1)dz(k[ch +≈+ (3.58-b)

)]dz(kexp[2

1)]dz(k[sh +≈+ (3.58-c)

Hµm thÕ vËn tèc trong ®iÒu kiÖn n­íc s©u: Hµm thÕ vËn tèc trong ®iÒu kiÖn n­íc s©u:

)]tkx(iexp[)kzexp(ag

i)t,z,x( o ω−−ω

=Φ (3.59)

¸p dông (3.58-a), (3.58-b) vµ (3.58-c) vµo (3.55) cho thÊy ë vïng n­íc s©u, phÇn tö n­íc chuyÓn ®éng theo quü ®¹o trßn víi b¸n kÝnh w b»ng: víi b¸n kÝnh w b»ng:

)kzexp(.aw oo= (3.60) DÔ dµng thÊy ngay r»ng ë trªn mÆt tù do (zo=0) th× b¸n kÝnh cña quü ®¹o chuyÓn ®éng cña phÇn tö n­íc chÝnh b»ng biªn

®é sãng: 2

Ha)0z(w oo === (3.61) ®é sãng:

2a)0z(w oo === (3.61)

3.3.4. ¸p lùc sãng Tõ ph­¬ng tr×nh Bernoulli, bá qua thµnh phÇn bËc 2 ta nhËn ®­îc:

gz)tkxcos(chkd

)dz(chkga)gz

t(p o ρ−ω−

+ρ=−

∂Φ∂

ρ= (3.62) chkdt∂

3.3.5. N¨ng l­îng sãng Th«ng th­êng ng­êi ta ®Ó ý ®Õn hai lo¹i n¨ng l­îng: - N¨ng l­îng chøa ®ùng trong mét chiÒu dµi sãng (L); - N¨ng l­îng truyÒn qua 1 mÆt th¼ng ®øng. - N¨ng l­îng truyÒn qua 1 mÆt th¼ng ®øng. ë ®©y sÏ ®Ò cËp ®Õn lo¹i N¨ng l­îng thø nhÊt. Trong ph¹m vi 1 chiÒu dµi sãng (H×nh 3.12) gåm c¸c n¨ng l­îng: ThÕ n¨ng cña c¸c phÇn tö sãng (Ep) vµ ®éng n¨ng (Ec).

η(x,t)

H×nh 3.12. * ThÕ n¨ng (Ðnergie potentielle):

LgH16

1Lga

4

1dx

2ggzdzdxE 22

o

L

0

2)t,x(

0

L

0p ρ=ρ=

ηρ=ρ= ∫∫∫

η (3.63-a)

1642 o000

p ∫∫∫

Trong ®ã: ρgzdxdz - thÕ n¨ng cña 1 phÇn tö chÊt láng ë ®é cao z so víi mùc n­íc trung b×nh. VËy Ep kh«ng phô thuéc thêi gian, ®é s©u d vµ tû lÖ víi chiÒu dµi sãng b×nh ph­¬ng biªn ®é sãng. * §éng n¨ng (Ðnergie cinÐtique):

111 220 L

22 ρ=ρ=+ρ= (3.63-b) LgH16

1Lga

4

1dxdz)vu(

2

1E 22

o

0

d

L

0

22c ρ=ρ=+ρ= ∫ ∫

− (3.63-b)

Trong ®ã: dxdz)vu(2

1 22 +ρ - ®éng n¨ng cña 1 phÇn tö chÊt láng.

* N¨ng l­îng sãng tæng céng trªn chiÒu dµi sãng L: * N¨ng l­îng sãng tæng céng trªn chiÒu dµi sãng L:

LgH8

1Lga

2

1EEE 22

ocp ρ=ρ=+= (3.64)

3.3.6. C¸c tr­êng hîp giíi h¹n a) Tr­êng hîp n­íc t­¬ng ®èi s©u (kd cã gi¸ trÞ lín)

Khi π>kd hoÆc 5,0L

d> do 1)

L

d2(th)kd(th ≈π= ta cã c¸c biÓu thøc ®¬n gi¶n ho¸ ®èi víi tÇn sè vßng cña sãng vµ c¸c thµnh

L LphÇn vËn tèc chuyÓn ®éng cña c¸c phÇn tö chÊt láng :

gk2 =ω ⇒ k

g)

k(c 22 =ω

= (3.65-a)

)tkxcos(eH

V kzx ω−

ω= (3.65-b) )tkxcos(e

2V kz

x ω−= (3.65-b)

)tkxsin(e2

HV kz

z ω−ω

= (3.65-c)

b) Tr­êng hîp n­íc n«ng 1 1d dd Khi

10

1kd < hoÆc 05,0

20

1

L

d=< do

L

d2)

L

d2(th)kd(th π≈π= ta cã:

22 gdk=ω ⇒ gdc2 = (3.66-a)

)tkxcos(H

Vx ω−ω

= (3.66-b) )tkxcos(kd2

Vx ω−= (3.66-b)

)tkxsin(zd2

HVz ω−

ω= (3.66-c)

Cã thÓ nhËn ®­îc c¸c biÓu thøc t­¬ng tù ®èi víi c¸c thµnh phÇn gia tèc cña phÇn tö chÊt láng vµ ¸p suÊt. Chó ý: Chó ý: 1) C¸c c«ng thøc tr×nh bµy ë trªn sö dông hÖ to¹ ®é §Ò-c¸c cã mÆt ph¼ng xoy trïng víi mÆt n­íc lÆng. NÕu dïng hÖ to¹ ®é cã gèc to¹ ®é ë ®¸y biÓn, c¸c biÓu thøc trªn biÕn ®æi b»ng c¸ch thay (z+d) bëi z. Khi ®ã, ®èi víi hÖ to¹ ®é cã gèc to¹ ®é ë ®¸y biÓn, ta cã vËn tèc vµ gia tèc c¸c phÇn tö n­íc theo lý thuyÕt sãng Airy nh­ sau:

. VËn tèc . Gia tèc (x,t)η. VËn tèc

)tkxcos(shkd

chkz

2

HVx ω−

ω=

)tkxsin(shkd

shkz

2

HVz ω−

ω=

. Gia tèc

)tkxsin(shkd

chkz

2

HW

2

x ω−⋅ω

=

)tkxcos(shkd

shkz

2

HW

2

z ω−⋅ω

−=

(x,t)η

shkd2 shkd2

2) Sãng Airy lµ sãng biªn ®é nhá, cã thÓ ¸p dông cho mäi ®iÒu kiÖn ®é s©u n­íc (d) kh¸c nhau. C¸c c«ng thøc nªu trªn cã thÓ coi nh­ dïng cho ®iÒu kiÖn n­íc s©u võa (®é s©u trung gian).

3.3.4. Lý thuyÕt sãng Stokes Lý thuyÕt sãng Stokes cßn gäi lµ lý thuyÕt sãng bËc cao hay lý thuyÕt sãng biªn ®é h÷u h¹n.

Lý thuyÕt sãng biªn ®é h÷u h¹n ®­îc Stokes ph¸t triÓn vµo n¨m 1847. ý t­ëng cña ph­¬ng ph¸p x©y dùng lý thuyÕt sãng Lý thuyÕt sãng biªn ®é h÷u h¹n ®­îc Stokes ph¸t triÓn vµo n¨m 1847. ý t­ëng cña ph­¬ng ph¸p x©y dùng lý thuyÕt sãng nµy lµ ph©n tÝch ph­¬ng tr×nh mÆt sãng (tøc lµ hµm thÕ vËn tèc Φ) thµnh chuçi vµ x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña chuçi tõ c¸c ®iÒu kiÖn tho¶ m·n c¸c ph­¬ng tr×nh t­¬ng øng cña lý thuyÕt thuû ®éng lùc häc ®èi víi sãng cã biªn ®é h÷u h¹n.

Theo lý thuyÕt sãng Stokes, hµm thÕ vËn tèc ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng chuçi luü thõa (xem c«ng thøc 3.11): ...HH...HH.H nn)1n(1n)3(3)2(2)1( +Φ+Φ++Φ+Φ+Φ=Φ −− (3.67) ...HH...HH.H +Φ+Φ++Φ+Φ+Φ=Φ (3.67) CÊp (hay bËc) cña sãng Stokes ®­îc x¸c ®Þnh b»ng sè l­îng sè h¹ng cña chuçi (3.67) ®­îc gi÷ l¹i. Chó ý: - TÊt c¶ c¸c sãng bËc 1 ®Òu kh«ng cã tÝnh xo¸y - Sãng bËc cao lµ sãng cã bËc >1. 3.4.1. Sãng Stokes bËc 1 Gièng nh­ sãng Airy. 3.4.2. Sãng Stokes bËc 2 MiÒn ¸p dông lý thuyÕt sãng Stokes bËc 2:

2

;3,48d

L.H3

2

< 15,8d

L<

a/ Hµm thÕ vËn tèc sãng:

)tkxsin()]dz(k[chLH

)t,z,x( ω−+

=Φ

)]tkx(2sin[kdsh

)]kz(k2[ch

T

H

16

3

)tkxsin(shkdT2

)t,z,x(

4

2

ω−+π

+

ω−=Φ (3.68)

§Æt ký hiÖu: §Æt ký hiÖu:

Sè h¹ng thø nhÊt=SH1= )tkxsin(shkd

)]dz(k[ch

T

L

2

Hω−

+

Sè h¹ng thø hai=SH2= )]tkx(2sin[kdsh

)]kz(k2[ch

T

H

16

34

2

ω−+π

kdshT16 4

NÕu ®é s©u n­íc d nhá tíi møc ®Ó 12SH

1SH<< , lóc ®ã ta bá qua sè h¹ng thø 2, chØ tÝnh víi sè h¹ng thø nhÊt. Khi ®ã sãng

Stokes bËc 2 t­¬ng ®­¬ng sãng Airy (sãng bËc 1).

b/ Ph­¬ng tr×nh ®­êng mÆt n­íc ( profil) cña sãng

)]tkx(2cos[kdcoth)kdsh2

31(

4L

H )tkxcos(

2

H)t,x(

2

2

ω−⋅+π

+ω−=η

(3.69) (3.69) T¹i ®Ønh vµ ®¸y sãng ta cã:

kdcoth)kdsh2

31(

4L

H

2

H)t,x(

2

2

max ⋅+π

+=η (3.69-a)

3HH 2π kdcoth)kdsh2

31(

4L

H

2

H)t,x(

2

2

min ⋅+π

+−=η (3.69-b)

c/ C¸c thµnh phÇn vËn tèc

)dz(chkH +πΦ∂

)tkx(2cos

kdsh

)kz(k2ch

L

H

T

H

4

3

)tkxcos(shkd

)dz(chk

T

H

xu

4ω−

+ππ+

ω−+π

=∂Φ∂

= (3.70-a)

)dz(shkH +πΦ∂

)tkx(2sin

kdsh

)kz(k2sh

L

H

T

H

4

3

)tkxsin(shkd

)dz(shk

T

H

zv

4ω−

+ππ+

ω−+π

=∂Φ∂

= (3.70-b)

3.4.3. Sãng Stokes bËc 3 - Ph­¬ng tr×nh ®­êng mÆt n­íc (profil cña sãng):

θπ

+θπ

+θ=η 3cosFh

2cosF4L

h cos

2

h)t,x( 32

22

2

2

(3.71) θ+θ+θ=η 3cosFL8

2cosF4L

cos2

)t,x( 322 (3.71)

trong ®ã: tkx ω−=θ

kdsh2

chkd).kd2ch2(F

32+

= kdsh

)kdch81(

16

3F

6

6

3+

= kdsh2 kdsh

- ChiÒu cao sãng ®­îc x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc sau:

32

32

FL4

hhH

π+= (3.72)

- ChiÒu dµi sãng :

+

+π

=kdsh16

)kd2ch414)kh(1[kdth

2

gTL

4

22

2

(3.73)

+

π=

kdsh16)kh(1[kdth

2L

4 (3.73)

- VËn tèc sãng: T

Lc = (3.74)

VÝ dô 1: X¸c ®Þnh c¸c th«ng sè cña sãng Stokes bËc 3. - Tr­êng hîp 1: Cho biÕt d, H, L - Tr­êng hîp 1: Cho biÕt d, H, L

Tõ c«ng thøc (3.72) kdsh

kdch81

16

3

L4

hhH

6

6

2

32 +⋅⋅

π+= , gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta x¸c ®Þnh ®­îc h. Vµ tõ ®ã x¸c ®Þnh ®­îc )t,x(η

vµ )t,z,x(Φ còng nh­ c¸c th«ng sè cßn l¹i - Tr­êng hîp 2: Cho biÕt d, H, T - Tr­êng hîp 2: Cho biÕt d, H, T Trong tr­êng hîp nµy c¶ h vµ chiÒu dµi sãng L ®Òu lµ Èn sè. Khi ®ã cÇn sö dông 2 ph­¬ng tr×nh, ph­¬ng tr×nh thø nhÊt

lµ: kdsh

kdch81

16

3

L4

hhH

6

6

2

32 +⋅⋅

π+=

Ph­¬ng tr×nh thø 2 nhËn ®­îc tõ c¸c biÓu thøc (3.73) vµ (3.74): Ph­¬ng tr×nh thø 2 nhËn ®­îc tõ c¸c biÓu thøc (3.73) vµ (3.74):

)

kdsh8

kd4ch8

4

hk1(shkd

chkd

kg

4T

4

22

22

+⋅+

⋅π

=

3.4.4. Sãng Stokes bËc 5 3.4.4. Sãng Stokes bËc 5 a/ Ph­¬ng tr×nh ®­êng mÆt sãng Víi sãng cã chiÒu cao H, sè sãng k vµ tÇn sè vßng ω lan truyÒn theo chiÒu d­¬ng cña trôc x, th× ®é d©ng cña bÒ mÆt chÊt láng so víi mÆt n­íc tÜnh cã thÓ biÓu diÔn d­íi d¹ng sau:

ω−=η51 (3.75) ∑=

ω−=η5

1nn )]tkx(ncos[.F

k

1)t,x( (3.75)

trong ®ã: Fn - c¸c th«ng sè h×nh d¹ng aF1 = ; 24

422

22 F.aF.aF += 35

533

33 F.aF.aF += ; 44

44 F.aF = ; 55

55 F.aF =

a - th«ng sè chiÒu cao sãng. a - th«ng sè chiÒu cao sãng. 55332422 F,...,F,F,F - c¸c th«ng sè h×nh d¹ng cña profil sãng, phô thuéc vµo trÞ sè kd=2πd/L (tøc lµ d/L), ®­îc tra b¶ng 2.1 theo ph­¬ng ph¸p néi suy.

B¶ng 2.1: Gi¸ trÞ c¸c th«ng sè h×nh d¹ng cña profil sãng Stokes

Ld F22 F24 F33 F35 F44 F55 L0,10 3,892 -28,610 13,090 -138,600 44,990 163,800 0,15 1,539 1,344 2,381 6,935 4,147 7,935 0,20 0,927 1,398 0,996 3,697 1,259 1,734 0,25 0,699 1,064 0,630 2,244 0,676 0,797 0,30 0,599 0,893 0,495 1,685 0,484 0,525 0,35 0,551 0,804 0,435 1,438 0,407 0,420 0,40 0,527 0,759 0,410 1,330 0,371 0,343 0,50 0,507 0,722 0,384 1,230 0,344 0,339 0,60 0,502 0,712 0,377 1,205 0,337 0,329 0,60 0,502 0,712 0,377 1,205 0,337 0,329

C¸c th«ng sè a vµ 55332422 F,...,F,F,F cã quan hÖ víi chiÒu cao sãng H:

)]FF(aF.aa[2H.k 55355

333 +++= (3.76) )]FF(aF.aa[2H.k 553533 +++= (3.76)

b/ VËn tèc cña phÇn tö n­íc VËn tèc cña phÇn tö n­íc cã to¹ ®é (x,z) do sù lan truyÒn sãng bÒ mÆt trong vïng cã ®é s©u d ®­îc x¸c ®Þnh theo biÓu

thøc sau:

ω−⋅+

⋅ω

==

ω−⋅+

⋅ω

==

∑

∑

=

=

)tkx(nsin)nkd(sh

)]dz(nk[shG

kvV

)tkx(ncos)nkd(sh

)]dz(nk[chG

kuV

5

1nnz

5

1nnx

(3.77)

= )nkd(shk 1n

trong ®ã: Gn( 51n ÷= ) - lµ c¸c gi¸ trÞ phô thuéc vµo th«ng sè a. G1= G1(G11,G13,G15) G2= G2(G22,G24) G3= G3(G33,G55) G3= G3(G33,G55) G4= G4(G44) G5= G5(G55) vµ G11,...,G55 - c¸c th«ng sè vËn tèc sãng. C¸c th«ng sè nµy phô thuéc vµo trÞ sè kd hoÆc d/L, ®­îc tra theo b¶ng 2.2.

B¶ng 2.2: Gi¸ trÞ c¸c th«ng sè vËn tèc sãng Stockes.

d G11 G13 G15 G22 G24 G33 G35 G44 G55 L

G11 G13 G15 G22 G24 G33 G35 G44 G55

0,10 1,00 -7,394 -12,73 2,966 -48,14 5,942 -121,7 7,617 0,892 0,15 1,00 -2,302 -4,864 0,860 -0,907 0,310 2,843 -0,617 -0,257 0,20 1,00 -1,263 -2,226 0,326 0,680 -0,017 1,093 -0,044 0,006 0,25 1,00 -0,911 -1,415 0,154 0,673 -0,030 0,440 -0,005 0,005 0,25 1,00 -0,911 -1,415 0,154 0,673 -0,030 0,440 -0,005 0,005 0,30 1,00 -0,765 1,077 0,076 0,601 -0,020 0,231 0,002 0,001 0,35 1,00 -0,696 -0,925 0,038 0,556 -0,012 0,152 0,002 0,000 0,40 1,00 -0,662 -0,850 0,020 0,528 -0,006 0,117 0,001 0,000 0,50 1,00 -0,635 -0,790 0,006 0,503 -0,002 0,092 0,000 0,000 0,50 1,00 -0,635 -0,790 0,006 0,503 -0,002 0,092 0,000 0,000 0,60 1,00 -0,628 -0,777 0,002 0,502 -0,001 0,086 0,000 0.000

c/ Gia tèc cña phÇn tö n­íc

∂⋅+

∂+

∂=

VV

VV

VW xxx

∂∂

⋅+∂

∂⋅+

∂∂

=

∂∂

⋅+∂

∂+

∂∂

= ⋅

z

VV

x

VV

x

VW

z

VV

x

VV

t

VW

zz

zx

zz

xz

xx

xx

(3.78)

Thay (3.77) vµo (3.78) vµ biÕn ®æi l­îng gi¸c, ta cã:

ω−⋅= ∑

=

52

5

1nn

2

x

c.k

)tkx(nsinR2

c.kW

(3.79)

ω−⋅−= ∑

=

5

1nn

2

z )tkx(ncosS2

c.kW

trong ®ã: Rn, Sn ( 51n ÷= ) - lµ c¸c biÓu thøc phô thuéc vµo c¸c th«ng sè vËn tèc sãng Gn ( 51n ÷= ).

3221322111 V.VV.VU.UU.UU.2R −−−−=

31312

12

122 V.VU.U.2VUU.4R −−+−=

133122 ..4..4.4 VUVUVS −−=

2332122111 ..5..5..3..3.2 VUVUVUVUVS −−−−= 31311122 V.VU.U.2VUU.4R −−+−=

4141212133 ..3..3..3..3.6 VVUUVVUUUR −−+−=

3131

22

2244 ..4..4.2.2.8 VVUUVUUR +−+−=

2332122111

1441122133 ..5..5...6 VUVUVUVUVS −−+−=

22133144 ..4..2..2.8 VUVUVUVS ++−= 31312244 ..4..4.2.2.8 VVUUVUUR +−+−=

3241324155 ...5..5..5.10 VVVVUUUUUR ++−−=

11..2 VUSo −=

22133144

2332144155 ..5...3..3.10 VUVUVUVUVS −−+−=

)..(. zknchGU = )..(. zknshGV = víi 51n ÷= 11..2 VUSo −=

)..(.

dknshGU nn =

)..(.

dknshGV nn = víi 51n ÷=

d/ C¸c th«ng sè kh¸c cña sãng

+ VËn tèc lan truyÒn sãng:

2/12

41

2 )]kd(th)CaCa1(k

g[c ⋅⋅+⋅+= (3.80)

+ TÇn sè vßng:

B¶ng 2.3: Gi¸ trÞ c¸c th«ng sè tÇn sè cña sãng

Stockes.

Ld C1 C2

+ TÇn sè vßng: )kd(th)CaCa1(gk 2

41

22 ⋅++=ω (3.81) trong ®ã: 21 C,C - c¸c th«ng sè tÇn sè cña sãng. C , C : lµ c¸c th«ng sè tsÇn sè sãng, ®­îc x¸c ®Þnh theo b¶ng 2.3.

L0 ,10 8,791 383,700 0 ,15 2,646 19,820 0,20 1,549 5,044 0,25 1,229 2,568

C1, C2: lµ c¸c th«ng sè tsÇn sè sãng, ®­îc x¸c ®Þnh theo b¶ng 2.3. 0,25 1,229 2,568 0,30 1,107 1,833 0,35 1,055 1,532 0,40 1,027 1,393 0,50 1,080 1,283 0,50 1,080 1,283 0,60 1,002 1,240

e/ ¸p lùc sãng ¸p lùc d­ t¹i mét ®iÓm cã to¹ ®é (x,z) ë thêi ®iÓm t lµ tæng cña ¸p lùc thuû ®éng sinh ra do ®é lÖch cña mÆt sãng so víi mùc n­íc tÜnh. Theo lý thuyÕt sãng Stokes bËc 5 ta cã:

g1 ρω )]dz(kCaCa[k

g)VV(

2

1V

Rp 4

43

22z

2xx −++

ρ−+ρ−

ωρ= (3.82)

trong ®ã: c¸c hÖ sè C3 vµ C4 phô thuéc vµo d/L ®­îc cho trong b¶ng 2.4. B¶ng 2.4: Gi¸ trÞ c¸c th«ng sè ¸p lùc sãng Stockes.

Ld C3 C4 L0 ,10 -0,310 -0,060 0 ,15 -0,155 0,257 0,20 -0,082 0,077 0,25 -0,043 0,028 0,25 -0,043 0,028 0,30 -0,023 0,010 0,35 -0,012 0,004 0,40 -0,007 0,002 0,50 -0,001 ~0 0,50 -0,001 ~0 0,60 -0,001 ~0

3.4.5. VÝ dô & nhËn xÐt a/ VÝ dô 2: Cho sãng cã chiÒu cao H=10,7m; L=115m lan truyÒn ë vïng cã ®é s©u n­íc d=23m. Cho sãng cã chiÒu cao H=10,7m; L=115m lan truyÒn ë vïng cã ®é s©u n­íc d=23m. Sö dông lý thuyÕt sãng Stokes bËc 5 ®Ó x¸c ®Þnh profil sãng, vËn tèc theo ph­¬ng ngang vµ c¸c th«ng sè sãng. Lêi gi¶i B­íc 1: X¸c ®Þnh th«ng sè a tõ ph­¬ng tr×nh (3.76) b»ng ph­¬ng ph¸p lÆp

kH )FF(aF.a2

kHa 5535

533

3 +−−= (*)

Khi 2,0115

7,10

L

d== , cã (1/m) 055,0

L

2k =

π= vµ 294,0

2

kH= , tra b¶ng ta cã: 996,0F33 = ; 679,3F35 = 737,1F55 =

Gi¶i lÆp ph­¬ng tr×nh (*) ta nhËn ®­îc: a = 0,267. Gi¶i lÆp ph­¬ng tr×nh (*) ta nhËn ®­îc: a = 0,267. B­íc 2: Thay gi¸ trÞ a võa t×m ®­îc vµo biÓu thøc cña c¸c th«ng sè h×nh d¸ng iF ( 51i ÷= ) vµ tõ biÓu thøc (3.75) ta nhËn ®­îc: θ⋅+θ⋅+θ⋅+θ⋅+θ⋅=η 5cos0427,04cos116,03cos44,02cos32,1cos84,4 trong ®ã: tkx ω−=θ . trong ®ã: tkx ω−=θ . Khi 0=θ , x¸c ®Þnh ®­îc m67,6max =η Khi π=θ , x¸c ®Þnh ®­îc m90,3min −=η B­íc 3: X¸c ®Þnh vËn tèc cña phÇn tö chÊt láng B­íc 3: X¸c ®Þnh vËn tèc cña phÇn tö chÊt láng Tõ gi¸ trÞ cña d/L, tra b¶ng 2.3, ta cã: m67,6C1 = ; 044,5C2 = . Tõ biÓu thøc (3.81) tÝnh to¸n ®­îc: 723,0=ω . Còng tõ d/L tra b¶ng 2.2 nhËn ®­îc 5511 G,...,G , råi tÝnh ®­îc 521 G,...,G,G . Theo (3.77) tÝnh ®­îc : Theo (3.77) tÝnh ®­îc :

shkd

kz3ch0457,0

shkd

kz2ch710,0

skkd

chkz145,3Vx ++=

shkd

kz5ch0006,0

shkd

kz4ch0118,0 +−

shkdshkdTrªn ®Ønh sãng víi m76,2967,623dz max =+=η+= th× gi¸ trÞ vËn tèc s/m 7,6V max,x = .

H×nh 3.14 biÓu diÔn sù thay ®æi vËn tèc c¸c phÇn tö n­íc theo chiÒu s©u theo lý thuyÕt sãng Airy vµ Stokes.

η

H×nh 3.13. C¸c profil sãng tÝnh to¸n: 1) Theo lý thuyÕt sãng Airy 2) Theo lý thuyÕt sãng Stokes 2) Theo lý thuyÕt sãng Stokes b/ NhËn xÐt: Nx1: + Sãng Stokes bËc cao kh«ng xÐt ®Õn sù xo¸y cña chÊt láng; + Sãng Stokes bËc cao tÝnh cho ®é s©u h÷u h¹n, tøc lµ cã xÐt ®Õn ¶nh h­ëng cña ®¸y; + Sãng Stokes bËc cao tÝnh cho ®é s©u h÷u h¹n, tøc lµ cã xÐt ®Õn ¶nh h­ëng cña ®¸y; + Quü ®¹o chuyÓn ®éng cña c¸c phÇn tö n­íc lµ kh«ng khÐp kÝn. §iÒu nµy chøng tá lµ cã sù vËn chuyÓn khèi l­îng n­íc vµ vËn tèc nµy cã thÓ ®Þnh l­îng vµ nã phô thuéc vµo ®é dèc sãng H/L (xem c«ng thøc 3.70-a,b).

H×nh 3.14: VËn tèc c¸c phÇn tö n­íc 1) Theo lý thuyÕt sãng Airy 2) Theo lý thuyÕt sãng Stokes

Nx2: + §èi chiÕu sãng Stokes bËc 1 vµ bËc cao cho thÊy chóng ®Òu lµ sãng h×nh sin thÓ hiÖn qua ph­¬ng tr×nh cña sãng bÒ mÆt; mÆt c¾t sãng ®èi xøng víi mÆt ph¼ng ®i qua ®Ønh vµ ®¸y sãng; + Lý thuyÕt sãng Stokes bËc cao ph¶n ¶nh s¸t thùc tÕ h¬n so víi sãng bËc 1 trong nh÷ng tr­êng hîp cã kÓ ®Õn ¶nh h­ëng cña ®¸y biÓn. h­ëng cña ®¸y biÓn.

+ Tõ (3.69) thÊy r»ng:

θcos2

H - chÝnh lµ ph­¬ng tr×nh mÆt sãng cña sãng bËc 1 (xem phÇn lý thuyÕt sãng Airy d¹ng thùc).

PhÇn cßn l¹i cña biÓu thøc (3.69) lµ phÇn phô thªm, ta ký hiÖu lµ ∆. Theo h×nh 3.15 ta cã: PhÇn cßn l¹i cña biÓu thøc (3.69) lµ phÇn phô thªm, ta ký hiÖu lµ ∆. Theo h×nh 3.15 ta cã:

∆+=η2

HIImax

∆−=η2

HIImin

η(x,t)

ηmin

maxη

∆−=η2min

H×nh 3.15: Profil sãng bËc cao

+ Sãng Stokes bËc cao thÝch hîp khi xÐt ®Õn ¶nh h­ëng cña ®¸y biÓn. Khi ®ã ®Ønh sãng sÏ nhän h¬n vµ cao h¬n, cßn

bông sãng sÏ tho¶i h¬n. §Õn giíi h¹n 1H≥ th× sãng sÏ bÞ vì. §iÒu nµy ph¶n ¶nh ®óng hiÖn t­îng lan truyÒn sãng trong bông sãng sÏ tho¶i h¬n. §Õn giíi h¹n

7L≥ th× sãng sÏ bÞ vì. §iÒu nµy ph¶n ¶nh ®óng hiÖn t­îng lan truyÒn sãng trong

thùc tÕ.

3.3.5. Lý thuyÕt sãng Cnoidal (sãng n­íc n«ng) 3.3.5. Lý thuyÕt sãng Cnoidal (sãng n­íc n«ng)

1) Ph­¬ng tr×nh profil sãng

Sãng Cnoidal lµ sãng ®iÒu hoµ. Profil cña mÆt sãng (H×nh 3.16) ®­îc m« t¶ b»ng biÓu thøc:

)m,tkx(CH)t,x( 2nmin ω−⋅+η=η (3.83) )m,tkx(CH)t,x( nmin ω−⋅+η=η (3.83)

trong ®ã: )m,tkx( ω− - biÕn sè cña Cn

η - lµ ®é lÖch øng víi mùc n­íc lÆng (MNL) t¹i ®iÓm cã to¹ ®é x ë thêi ®iÓm t.

η - lµ ®é lÖch cña ®¸y sãng so víi MNL; H - chiÒu cao sãng minη - lµ ®é lÖch cña ®¸y sãng so víi MNL; H - chiÒu cao sãng

nC - lµ hµm ªlÝptic Jacobien víi m« ®un m )1m0( ≤≤ )

η

minη

η

H×nh 3.16. Profil sãng Cnoidal

Quan hÖ gi÷a m« ®un m, chiÒu cao sãng H vµ chiÒu dµi sãng L: Quan hÖ gi÷a m« ®un m, chiÒu cao sãng H vµ chiÒu dµi sãng L:

3

22

d

L.H

16

3K.m ⋅= (3.84)

K - th«ng sè phô thuéc vµo m. K - th«ng sè phô thuéc vµo m.

m, K vµ 3

2

d

HL ®­îc cho trong b¶ng (2.4).

2) C¸c th«ng sè sãng vïng n­íc n«ng

Quan hÖ gi÷a sè sãng k, tÇn sè vßng ω víi chiÒu dµi sãng L vµ chu kú T cña sãng:

L

K2k =

T

K2=ω (3.85)

Quan hÖ gi÷a sè sãng k vµ tÇn sè vßng : Quan hÖ gi÷a sè sãng k vµ tÇn sè vßng ω :

222 )]K

E

2

1(

md

H1[gdk −+=ω (3.86)

trong ®ã: g - gia tèc träng tr­êng trong ®ã: g - gia tèc träng tr­êng

E - th«ng sè phô thuéc vµo m« ®un m (tra b¶ng 2.5)

B¶ng 2.5. C¸c th«ng sè dïng trong lý thuyÕt sãng Cnoidal

m HL2/d3 K E

0 0 1.571 1.571

0.1 1.38 1.612 1.531

0.2 2.94 1.660 1.489

0.3 4.71 1.714 1.445

0.4 6.74 1.778 1.399

0.5 9.16 1.854 1.351

0.6 12.17 1.950 1.298

0.7 16.09 2.075 1.242

0.8 21.74 2.257 1.178

0.9 31.90 2.578 1.105 0.9 31.90 2.578 1.105

0.95 42.85 2.908 1.060

0.99 72.13 3.696 1.016

1.00 ∞ ∞ 1.00 1.00 ∞ ∞ 1.00

Nh­ vËy, nÕu cho tr­íc chiÒu dµi sãng L th× cã thÓ x¸c ®Þnh:

+ k theo c«ng thøc (3.85) + k theo c«ng thøc (3.85)

+ ω vµ T theo c«ng thøc (3.85) vµ (3.86).

Tõ (3.83) biÓu diÔn minη qua H nh­ sau:

E)m1(K −−η k.m

E)m1(K

Hmin −−

=η (3.87)

3) §é lÖch cña mÆt sãng

Tõ c«ng thøc (3.83) ta cã:

)m,(CH

2n

min θ=η−η víi tkx ω−=θ (3.88) )m,(CH n θ= víi tkx ω−=θ (3.88)

Gi¸ trÞ b»ng sè cña (3.88) øng víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña θ vµ m ®­îc cho trong b¶ng 2.6.

B¶ng 2.6. C¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng ( η-ηmin)/H

θ m=0 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1,0 θ m=0 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1,0

0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.2 0.960 0. 0. 0. 0. 0.

0.4 0.848 0. 0. 0. 0. 0. 0.4 0.848 0. 0. 0. 0. 0.

0.6 0.681 0. 0. 0. 0. 0.

0.8 0.487 0. 0. 0. 0. 0.

1.0 0.292 0. 0. 0. 0. 0. 1.0 0.292 0. 0. 0. 0. 0.

1.2 0.131 0. 0. 0. 0. 0.

1.4 0.029 0. 0. 0. 0. 0.

1.6 0.001 0. 0. 0. 0. 0. 1.6 0.001 0. 0. 0. 0. 0.

1.8 0.052 0. 0. 0. 0. 0.

2.0 0.175 0. 0. 0. 0. 0.

4) §èi víi c¸c vïng t­¬ng ®èi c¹n

§èi víi c¸c vïng t­¬ng ®èi c¹n lý thuyÕt sãng Cnoidal thÝch hîp ë møc ®¸ng kÓ, vËn tèc c¸c phÇn tö chÊt láng theo

ph­¬ng ngang lµ ®Æc tr­ng c¬ b¶n. Ta cã: η⋅= 2/1x )

g(V (3.89) ph­¬ng ngang lµ ®Æc tr­ng c¬ b¶n. Ta cã: η⋅= 2/1

x )d

g(V (3.89)

Chó ý: trong lý thuyÕt sãng Cnoidal ng­êi ta kh«ng xÐt ®Õn thµnh phÇn vËn tèc Vz.

Thµnh phÇn gia tèc theo ph­¬ng ngang cña c¸c phÇn tö chÊt láng trong ®iÒu kiÖn n­íc n«ng:

x

VV

t

VW x

xx

x ∂∂

+∂

∂= (3.90)

Thùc hiÖn biÕn ®æi, ta cã: Thùc hiÖn biÕn ®æi, ta cã:

Ad

g)Vc(kH2W xx ⋅−±= (3.91)

víi ω= - vËn tèc lan truyÒn sãng víi

kc

ω= - vËn tèc lan truyÒn sãng

2/1minminmin )]H

mm1)(H

1(H

[Aη−η

+−η−η

−η−η

= (3.92)

DÊu "+" øng víi K0 ≤θ≤ . DÊu "-" øng víi KK 2≤< θ . DÊu "+" øng víi K0 ≤θ≤ . DÊu "-" øng víi KK 2≤< θ . 5) ¸p suÊt ë ®é cao z so víi ®¸y biÓn ¸p suÊt sinh ra do sãng vµ ¸p lùc thuû tÜnh ®­îc x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc: )zd(gp −η+ρ= (3.93) )zd(gp −η+ρ= (3.93) VÝ dô 3: XÐt sãng cã chiÒu cao H=3,0m vµ chiÒu dµi L=130m lan truyÒn ë vïng cã ®é s©u n­íc d=12m. Sö dông lý thuyÕt sãng Cnoidal ®Ó x¸c ®Þnh chu kú, profil vµ vËn tèc theo ph­¬ng ngang ë ®Ønh vµ ®¸y sãng. Tr×nh tù gi¶i: Tr×nh tù gi¶i: a) X¸c ®Þnh c¸c th«ng sè sãng

TÝnh 3,29d

HL3

2

= → Tra b¶ng t×m ®­îc m=0,86; K=2,46 vµ E=1,13.

Tõ c«ng thøc (3.85) tÝnh ®­îc: k=0,0378 (1/m)

Tõ c«ng thøc (3.86) tÝnh ®­îc: ω=0,41 (rad/s)

Tõ c«ng thøc (3.85) tÝnh ®­îc: T=2K/ω=11,7 (s)

Theo c«ng thøc (3.87) ta nhËn ®­îc =η . Theo c«ng thøc (3.87) ta nhËn ®­îc m10,1min =η .

VËn tèc phÇn tö chÊt láng trªn ®Ønh vµ ®¸y sãng:

VËn tèc (m/s) LTsãngCnoidal LT sãng Airy maxV 1,65 -1,03

minV 1,50 -1,50 Profil sãng ®­îc m« t¶ bëi ph­¬ng tr×nh (3.80) víi θ biÕn

η

ph­¬ng tr×nh (3.80) víi θ biÕn thiªn. H×nh 3.17 biÓu diÔn profil sãng tÝnh theo lý thuyÕt sãng Airy vµ lý thuyÕt sãng Cnoidal víi môc ®Ých so s¸nh.

Chó ý: 1/ §èi víi sãng n­íc n«ng, khi m=1 th× profil sãng lóc ®ã trë nªn kh«ng tuÇn hoµn vµ n»m phÝa trªn mùc n­íc tÜnh. Sãng 1/ §èi víi sãng n­íc n«ng, khi m=1 th× profil sãng lóc ®ã trë nªn kh«ng tuÇn hoµn vµ n»m phÝa trªn mùc n­íc tÜnh. Sãng t­¬ng øng víi tr­êng hîp nµy gäi lµ sãng ®¬n. 2/ C¸c lý thuyÕt sãng c¬ b¶n nªu trªn ¸p dông cho sãng cã chu kú, sãng ®ã lµ sãng lõng, viÖc di chuyÓn lµ kh«ng ®¸ng kÓ vµ sãng ch­a bÞ biÕn d¹ng.