Upload
phongmathbmt
View
1.549
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
1
PHAÀN I: HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC .
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số.
a. y=f(x)=x.Cos3x . b. 1+Cosx
y=f(x)=Cosx
. c. 1+Cosx
y=f(x)=1-Cosx
. d.
21+Cos xy=f(x)=
1+Cosx.
Bài giải.
a. f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R. Nên tập xác định D=R.
b. f(x) có nghĩa khi Cosx 0, suy ra π
x +k2π, k Z2
. Nên tập xác định là
πD=R\ +k2π,k Z
2
.
c. f(x) có nghĩa khi 1-Cosx0 osx 1 x k2 , C k Z . Nên tập xác định
là D=R\ k2π,k Z .
d. f(x) có nghĩa khi 1+Cosx0 osx 1 x k2 , C k Z . Nên tập xác định
là D=R\ +k2π,k Z .
Baøi 2 :Tìm taäp xaùc ñònh haøm soá sau :
2
2 2
2
2 cot1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/
4 3 cos 1
sin 2 14 / 5 / tan 6 / sin
cos 1 3 1
3 27 / 1 cos 8 / 9 / cot( ) tan(2 )
sin cos 3 3
1 1 sin10 / 11/ 12 /
4 5cos 2sin2sin 3 cot 3
xy x y x y
x
x xy y y
x x
y x y y x xx x
xy y y
x xx x
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D
0 0
, ( )
, ( )
x D f x M
x D f x M
.
- Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D
0 0
, ( )
, ( )
x D f x m
x D f x m
a. y=f(x)=2+3Cosx. b. y=f(x)=3-4Sin2x.Cos
2x. c. y=f(x)=2.Sin
2x-2Cos2x.
Bài giải.
a. 1 osx 1 3 3. osx 3 1 2 3. osx 5C C C .
+ 2 3. osx 1 2C x k . Suy ra ( ) ( 2 ) 1R
Min f x f k .
+ 2 3. osx 5 2C x k . Suy ra ax ( ) ( 2 ) 5R
M f x f k .
b. y=f(x)=3-Sin22x.
2 2 20 2 1 0 2 1 3 3 2 2Sin x Sin x Sin x .
+ 23 2 2
4 2Sin x x k
. Suy ra ( ) 2
4 2RMin f x f k
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
2
+ 23 2 3
2Sin x x k
. Suy ra ax ( ) 3
2RM f x f k
.
c. y=f(x)=1-3Cos2x
1 os2x 1 3 3. os2x -3 4 1 3. os2x -2C C C .
+ 1 3. os2x=-2 x=kC . Suy ra ( ) 2R
Min f x f k .
+ 1 3. os2x=4 x= +k2
C
. Suy ra ax ( ) 42R
M f x f k
.
Baøi 4 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau :
22 2
2
1 4cos1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/
3
4 / 2sin cos 2 5 / 3 2 | sin | 6 / 3 1 sin 1
xy x y x x y
y x x y x y x
Bài 5. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau:
a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. 1 cosx
ysinx cosx 2
c.
2 cosxysinx cosx 2
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
* Dạng cơ bản.
- x= +k2
Sinx=Sinx= - +k2
- x= +k2
Cosx=Cosx=- +k2
- Tanx=Tan x= +k
- Cotx=Cot x= +k
Bài 1. Giải các phương trình
a. 3
Sinx=-2
. b. Sin2x = -1. c. 2 1
Sin x=4
.
Bài 2. Giải các phương trình:
a. Sinx
=0Cosx-1
. b. Cos3x-Sin2x=0.
Bài giải.
a. Điều kiện x k2π Sinx
=0 Sinx=0 x=kCosx-1
.
Mà x k2π nên nghiệm là x= +k2π .
b.
2
10 5os3x=Sin2x=Cos 2
22
2
x k
C x
x k
.
Bài 3. Giải các phương trình.
a. Sin 3x + Sin5x =0. b.tanx.tan2x=-1 .
Bài giải.
B
A
sin=a=OK
sin
cos
O H
K
M
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
3
a. 4
Sin3x=-Sin5x=Sin(-5x)
2
x k
x k
.
b. Điều kiện 2
4 2
x k
x k
-1
t anx.tan2x=-1 tanx= 2tan2x 2
Cot x x k
.
Mà 2
x k
nên phương trình vô nghiệm.
Baøi 4 : Giaûi phöông trình :
11 sin 7 sin 2 sin 0
2
2 2sin 3 0 8 sin 3 0
3 2sin( ) 2 0 9 sin 3 cos 03
4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 06
5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 04 3 4
6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 03 6 3
13 s
x x x
x sinx x
x x x
x x x
x x x
x x x
2
in(2 ) cos( ) 03 3
x x
Baøi 5: Giaûi phöông trình :
11 cos 7 cos 2 cos 0
2
2 2cos 3 0 8 cos cos3 0
3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 03
4 2cos(2 ) 1 0 10 cos 2 sin 3 06
5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 04 3 4
6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 03 6 3
13 c
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
2
os(2 ) sin( ) 03 3
x x
Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình :
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
4
1 tan 3 5 cot 3 0
22 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0
3
33 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0
4 2
24 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0
3 5
9 tan(3 ) tan 0 13 cot(24
x x
x x
x x
x x
x x x
) cot( ) 04 4
2 310 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0
3 3 2 4
5 511 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0
3 3 3 3
4 512 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0
3 3 6 6
x
x x x x
x x x x
x x x x
Baøi 7: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc :
2 2
1 2sin 2 sin 0 8 sin cos 2 1 0
4 22 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0
3 3
23 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1
3 3 6 3
3 24 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0
2 2 3 3
25 sin (5 ) cos (
5
x x x x
x x x x
x x x x
xx x x
xx
2 2
) 0 12 tan 5 .tan 14
26 cot(3 ). tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0
3 3 6
7 tan 2 .tan 3 1
x x
x x x x
x x
Baøi 8: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau :
1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> 2 cos 1 0x
4>3cosx+5=0 5> 3 tan 3 0x 6>3cot 3 0x
Lo¹i Dùng Công thức hạ bậc 1. 4cos
2(2x - 1) = 1
2. 2sin2 (x + 1) = 1
3. cos2 3x + sin
2 4x = 1
4. sin(1 - x) = 2
3
5. 2cosx + 1 = 0
6. tan2 (2x –
3
) = 2
7. cos2 (x –
5
) = sin
2(2x +
4
5
)
Lo¹i Dùng Công thức cộng, biến đổi
1. sin2x + cos2x = 2 sin3x 2. cos3x – sinx = 3 (cosx –sin3x )
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
5
3. 05cos2
15sin
2
3)3
2cos( xxx
4. sin3x = 2 cos(x – /5) + cos3x
5. sin(x + /4) + cos(x + /4) = 2 cos7x
6. Tìm tất cả các nghiệm x );2
3(
của pt: sinxcos
8
+ cosxsin
8
= 1
2
Lo¹i Bài toán biện luận theo m 1. Giải và biện luận
2sin(1-2x) = m
2. 3cos23x = m
3. sin3x + cos3x = m
4. m.sin2 2x + cos4x = m
5. Giải và biện luận
sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x
6. Giải và biện luận
(3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m
7. Giải và biện luận
cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x
8. Cho pt sin4x + cos
4x = m
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Giải pt với m = ¾
Lo¹i Tổng hợp
1. cos22x – sin
28x = sin( x10
2
17
)
2. sin23x – cos
24x = sin
25x – cos
26x
3. xx
xcos2
sin1
2sin
4. xxx 4sin
2
2sin
1
cos
1
5. Tìm tất cả các nghiệm x )3;2
(
của pt:
sin(2x + )2
7cos(3)
2
5 x = 1 + 2sinx
6. Giải pt:
4sin3xcos3x +4cos
3xsin3x + 3 3 cos4x = 3
7.
)8
(cos2)8
cos()8
sin(32 2 xxx
= x))3
x)cos(-3
cos(x(sin43 2
8. 4sin32x + 6sin
2x = 3
9. Tìm nghiệm nguyên của pt:
1)80016093(8
cos 2
xxx
PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Bài 1. Giải các phương trình sau:
a. Sinx+Cos2x=1. b.
14.Sinx=
Sinx.
Bài giải.
a. 2inx=0
inx+Cos 1 inx 1-Sinx 0Sinx=1 2
2
x kS
S x Sx k
.
b. Điều kiện 0Sinx x k .
2
1inx=
1 1 624.Sinx= Sin x=
1 5Sinx 4inx=-
2 6
x kS
S x k
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
6
a. 2.Sin2x-5Sinx+3=0. b. 2.Sin
2x-3Cosx=0
Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin
2x+sinx-2=0 3/
22sin (2 3)sin 3 0x x
4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/
24sin 2( 3 1)sin 3 0x x 6/ sin23x-2sin3x-3=0
7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin
2x+cos
2+sinx-1=0 9/ cos
2x+sinx+1=0
10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12> sin cos 2 4 0
6 3x x
Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ 3cos2x+2cosx-1=0 2/2sin
2x+5cosx+1=0 3>cos
2-4cosx+5/2=0
4/cos2+cosx-2=0 5/16-15sin
2x-8cosx=0 6/4sin
22x+8cos
2x-8=0
7/2 25 4sin 8cos 4
2
xx 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin
2x-2cos
2x+cos2x=0
10>sin2x+cos2x+cosx=0 11>
2cos( ) cos(2 ) 2 0
3 3x x
12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin
2x=cos
2x
Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau :
1>tan2x-tanx-2=0 2>
2cot (1 3)cot 3 0x x
3>23cot 4cot 3 0x x 4>
2
34 tan 2 0
cosx
x
D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè
lîng gi¸c
1/ 2cos2x - 4cosx =1
sinx 0
2/ 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 1-5sinx + 2cosx = 0
cosx 0
5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)
T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx = 1
3)
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx +3
cotx - 2 = 0
b / 2
4cos x
+ tanx = 7 c / sin
6x + cos
4x = cos2x
8/ sin(5π
2x +2
) - 3cos(7
2x
) = 1 + 2sinx
9/2sin x -2sinx +2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
11/ tanx + cotx = 4 12/ 2 4sin 2x +4cos 2x -1
= 02sinxcosx
13/ sin 1 cos 0x x 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0
15/ 2 44sin 2 6sin 9 3cos2
0cos
x x x
x
16/ 2cosx - sinx = 1
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
7
17. 4 4 1sin x cos x
2 18. 4 4
sin x cos x cos2x
19. 4 4x
4 4
1sin x sin
20. 2 2 22 2 3
sin x sin x sin x3 3 2
21. 6 6 4 45sin x cos x sin x cos x
6 22. 6 6 1
2
sin x cos x sinxcosx 0
23. 4 4 4 44sin x cos x sin x cos 4x 24. 24 4 21
2
sin x cos x sin xcos x sinxcosx
25. 3 3 2cos xcos3x sin xsin3x=
4 25. 3 3 3
cos 4x cos xcos3x sin xsin3x
* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos. - Cách giải:
2 2 2 2 2 2
b c.sinx+bcosx=c .sinx+ cosx=
aa
a b a b a b
.
Đặt 2 2 2 2
os ; a b
C Sina b a b
.
Ta có phương trình cơ bản 2 2
csinx.cos +cosx.sin =
a b
2 2Sin x+ =
c
a b
.
- Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 3.Sin2x-Cos2x=1. b. Cos2x- 3Sin2x= 2 . c. Cos2x-Sin2x= 2 .
d. Cos2x- 3Sin2x=1. e. 3Cosx+3Sinx=3
Bài giải.
a.
2 2
a= 3;b=1;c=1
a +b =2
3 1 1Sin2x- Cos2x=
2 2 2
πx= +kπ
π 1 π 6Sin 2x- = =Sin
π6 2 6x= +kπ
2
.
b.
2 2
a=1;b= 3;c= 2
a +b =2
1 3 3Cos2x- Sin2x=
2 2 2
πx=- -kπ
π 2 π 24Sin -2x = =Sin
7π6 2 4x=- -kπ
24
c.
2 2
a=1;-b=1;c= 2
a +b = 2
1 1Cos2x- Sin2x=1
2 2
π π π
Sin -2x =1=Sin x= +kπ4 2 8
d.
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
8
2 2
a=1;b= 3;c=1
a +b =2
1 3 1Cos2x- Sin2x=
2 2 2
x=kππ 1 π
Sin -2x = =Sin6 2 6 x=-
3k
e.
Đưa về dạng Cosx+ 3Sinx= 3
2 2
a=1;b= 3;c= 3
a +b =2
1 3 3Cos2x+ Sin2x=
2 2 2
x= +k2ππ 3 π 6
Sin +x = =Sin6 2 3
x= k22
D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx 1. NhËn d¹ng:
2. Ph¬ng ph¸p:
§¨c biÖt :
1. π π
sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )3 6
2. sin cos 2 sin( ) 2 cos( )4 4
x x x x
3. π π
sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )3 6
gi¶i ph¬ng tr×nh:
1. 3cosx sinx 2 , 2. cosx 3sinx 1
3. 3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x , 4. 4 4 1
sin x cos (x )4 4
5. 3(1 cos2 )
cos2sin
xx
x, 6.
2 1sin 2 sin
2 x x
a.sinx b.cosx c
C¸ch 1: asinx + bcosx = c
§Æt cosx=2 2
a
a + b ; sinx=
2 2
b
a + b
2 2a +b sin(x +α) = c
C¸ch 2: b
a sinx + cosx = ca
§Æt b
= tanα a sinx +cosx.tanα = ca
c
sin(x +α) = cosαa
C¸ch 3: §Æt x
t = tan2
ta cã
2
2 2
2t 1- tsinx = ; cosx =
1+ t 1+ t2(b+c)t -2at -b+c = 0
Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm: 2 2 2a +b c
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
9
7. 1
3sinx +cosx =cosx
8. tan 3cot 4(sin 3cos ) x x x x
9. cos7x - 3sin7x + 2 = 0 ; 2π 6π
x ( ; )5 7
10. 2sin15x + 3 cos5x + sin5x = 0 (4)
611. sinx +3cosx + = 6
4sinx +3cosx +1 12.
13sinx +cosx = 3+
3sinx +cosx +1
13. ( cos2x - 3 sin2x) - 3 sinx – cosx + 4 = 0 14. 2
cosx -2sinx.cosx= 3
2cos x +sinx -1
15.2
1+cosx +cos2x +cos3x 2= (3- 3sinx)
2cos x +cosx -1 3 16.cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)
Baøi 9: Giaûi caùc phöông trình :
1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3 sin 2
3/ sin 7 3 cos7 2 4 / 3 cos sin 2
5 / 5cos 2 12sin 2 13 6 / 2sin 5cos 4
7 / 3sin 5cos 4 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
PHAÀN IV: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙCTỔNG HỢP
Chú ý. Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và hạ bậc
công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc
Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây:
a.
pt
( vì )
b.
pt
c.
Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc
d.
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
10
gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung sau khi xuất hiện
nhân tử.
e.
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
f.
Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.
lưu ý:
pt
( bỏ mẫu)
pt
( biến tổng thành tích)
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
1. Giải phương trình: .
Phương trình
.
2. Giải phương trình lượng giác
Đáp số:
3. Giải phương trình:
Phương trình đã cho tương đương với
*
* .
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
11
Giải khác.
4. Giải phương trình lượng giác sau:
5. Giải phương trình: .
Từ phương trình đã cho ta có :
6. Giải phương trình : .
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
12
7. Giải phương trình :
Phương trình đã cho
8. Giải phương trình:
9. Giải phương trình :
<=>
<=> <=>
<=> <=>
<=> <=>
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
13
10. Giải phương trình
11. Giải phương trình lượng giác sau:
12. Giải phương trình :
<=> <=>
<=> <=>
13. Giải phương trình lượng giác:
Phương trình đã cho tương đương với
Đáp số :
14. Giải phương trình :
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
14
Các nghiệm số là
D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx 1. NhËn d¹ng:
2. P.Ph¸p:
Gi¶i ph¬ng tr×nh
1. 3sin2x - 3 sinxcosx+2cos
2x =2 2. 4 sin
2x + 3 3 sinxcosx - 2cos
2x=4
3. 3 sin2x+5 cos
2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin
3x + cosx = 0
5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos
2x – 5 - 3 = 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0
8. tanxsin2x - 2sin
2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos
4x - 4sin
2xcos
2x + sin
4x = 0
10. 4cos3x + 2sin
3x - 3sinx = 0 11. 2cos
3x = sin3x
12. cos3x - sin
3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos
3x
14. sin3(x - /4) = 2 sinx
D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
1. NhËn d¹ng:
2. Ph¬ng ph¸p:
a sinx cosx b.sinxcosx c
a sinx cosx b.sinxcosx c
2 2
3 2 2
a.sinx b.cosx 0 (1)
a.sin x b.sinxcosx c.cos x d (2)
a.sin x b.sin xcosx c.sinxcos x d.sinx e.cosx 0 (3)
§¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0
C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx 0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®îc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)
C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc
§¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0
HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0
XÐt cos3x = 0 vµ cosx 0, chia 2 vÕ cho cos3x ta ®îc ph¬ng tr×nh bËc 3 ®èi víi tanx
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
15
1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
3. sin2x 2 sin x 14
3. tanx 2 2sinx 1
1. 1 + tanx = 2sinx + 1
cos x 2. sin x + cosx=
1
tanx -
1
cot x
3. sin3x + cos
3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin
3x+ cos
3x = sin2x
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2
7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx
9. 1 + sin3
2x + cos32
x =
3
2sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos4x + sin
4x - 2(1 - sin
2xcos
2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12. sin cos 4sin2 1x x x 13. sinxcosx + sinx +cosx = 1
14. cosx + 1
cosx + sinx +
1sinx
= 10
3
D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
Gi¶i ph¬ng tr×nh
1/ sin2 x + sin
23x = cos
22x + cos
24x 2/ cos
2x + cos
22x + cos
23x + cos
24x = 3/2
3/ sin2x + sin
23x - 3cos
22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin
2(π 5x
+4 2
) - 2cos2 9
2
x
5/ cos4x – 5sin4x = 1 6/ 4sin3x - 1 = 3 - 3 cos3x
7/ sin22x + sin24x = sin26x 8/ sin2x = cos22x + cos23x
9/ (sin22x + cos42x - 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x + cosx t 2
at + b2t -1
2 = c bt2 + 2at – 2c – b = 0
* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x - cosx t 2
at + b21- t
2 = c bt2 - 2at + 2c – b = 0
C«ng thøc h¹ bËc 2 cos2x = 1 cos2
2
x ; sin2x=
1-cos2x
2
C«ng thøc h¹ bËc 3 cos3x= 3cosx +cos3x
4 ; sin3x=
3sinx -sin3x
4
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
16
11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + π
3) = cos3x
13/ sin5x
5sinx = 1 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/
sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1
17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi x (0;π)
18/ sin24x - cos26x = sin(10,5π+10x ) víiπ
x (0; )2
19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3 cos4x = 3
20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2(4 2
x ) -
7
2 víi x -1 < 3
21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0 22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c bËc cao
Gi¶i ph¬ng tr×nh
1. sin4
2
x+cos
4
2
x=1-2sinx 2. cos
3x-sin
3x=cos
2x-sin
2x
3. cos3x+ sin
3x= cos2x 4.
4 4sin x +cos x 1= (tanx +cotx)
sin2x 2
5. cos6x - sin
6x =
13
8cos
22x 6. sin
4x + cos
4x =
7 π πcot(x + )cot( -x)
8 3 6
7. cos6x + sin
6x = 2(cos
8x + sin
8x) 8. cos
3x + sin
3x = cosx – sinx
9. cos6x + sin
6x = cos4x
10. sinx + sin2x + sin
3x + sin
4x = cosx + cos
2x + cos
3x + cos
4x
11. cos8x + sin
8x =
1
8 12. (sinx + 3)sin
4 x
2 - (sinx + 3)sin
2 x
2 + 1 = 0
D¹ng 8: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin
2 x = 0
5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3
2sin2x + 2 cos
2x + 6 cosx = 0
7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8/ sin3 sin5
3 5
x x 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 =
1
cosx
10/ cos8x + sin
8x = 2(cos
10x + sin
10x) +
5
4cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14/ 2sin3x - 1
sinx = 2cos3x +
1cosx
15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1
cosx) = 0
16/ cos3x + cos
2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos
3x + sinx = 0
* a3 b
3=(a b)(a
2 ab + b
2) * a
8 + b
8 = ( a
4 + b
4)2
- 2a4b
4
* a4
- b4
= ( a2
+ b2)(a
2 - b
2) * a
6 b
6 = ( a
2 b
2)( a
4 a
2b
2 + b
4)
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
17
18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 2
1-cos2x
sin 2x
20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1
sin2x 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0
22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
24/ 2 2π
sin(x + )4
=1 1
+sinx cosx
25/ 2tanx + cotx =2
3sin 2x
26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
1.
1 12 2 sin x
4 sin x cosx
2 sin x
sin x cosx 42 2 sin(x ) 2 2 sin x
4 sin x cosx 4 sin x cosx
sin(x ) 0 x k
4 412 sin x 2 0
sin x cosx 0 sin2x 04 sin x cosx
2sin x cosx 1 sin2x 1
x k sin2x sin 1 0
4 2x k (k Z)
4
sin2x 1 2x k2 x k
2 4
2. C1. )cos(sincossin xx2xx 5533
xx2x2x 3553coscossinsin
x2xx2x1x2xx21x 332323coscoscossin)cos(cos)sin(sin
3 3 3
cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0
x m x k x m (m Z)
tgx 1 4 2 4 4 2sin x cos x tg x 1
C2. )cos(sincossin xx2xx 5533 )cos(sin)cos)(sincos(sin xx2xxxx 552233
)sin(coscos)sin(cossincossinsincoscossin xxxxxxxxxxxx 223223552323
xx
0xx0xx0xx
0xxxx22
33
223322
sincos
sincos
sincos
sincos)sin)(cossin(cos
Z)(k cossincossincos
sincos
2
k4
x0x20xxxx
0xx 2222
3. x3x2x 222coscossin
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x(cos 4x cos 2x) (1 cos6x) 0
2 2 2
0xx2x340x3xx320x32xx32 2 coscoscos)cos(coscoscoscoscos
Z)(k cos cos cos
3
k6
x2
k4
xk2
x0x30x20x
4. )cos(sincossin xx2xx 8866
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
18
xx2x2x 6886coscossinsin
x2xx2x1x2xx21x 662626coscoscossin)cos(cos)sin(sin
Z)(m coscos
cossin
cos
2
m4
x
k4
x
2m
4x
1tgx0x2
1xtg0x2
xx0x2
666
5. 2xxxx cossin cossin
4xxxx2 cossin cossin
2kx0x21x22x224xx2x21x21 22
sin cos cos cossin sinsin
6 . x28
13xx 266
cossincos
x28
13xx 23232
cos)(sin)(cos
x28
13xxxxxx 2224422
cos)cossinsin)(cossin(cos
x213x228x2x28
13x2
4
1x2
2
11x2 22222
cos)sin(coscos)sinsin(cos
06x213x220x2
x213x21280x2
x213x2280x2
222coscos
cos
cos)cos(
cos
cossin
cos
(loaïi) cos cos cos 6x22
1x20x2 Z)(k
k
6x
2k
4x
7. x22tgx31 sin (*) . Ñaët tgxt
k4
x1tgx1t01t2t31t01ttt3t1
t4t31 223
2))(((*)
8. tgx32x2x3 cossin
2tgx32tgx3x2tgx3x2xtgx3 )(coscoscos
3
2
kx2kx
tg3
2tgx
1x
tg Z)(k
cos
8. 3
sin x 2 sin x
4
(*) . C1. Ta coù : 2 sin x sin x cosx
4
3 3 3 31
2 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)
4 4 2 2
x4xxx2xx22
1 33sin)cos(sinsin)cos(sin(*)
Vì : coù ta cos cho trình phöôngcuûa veá haiChia . trình phöôngmaõn thoûa khoângcos 0x0x 3
Z)(k ))(()()(
k4
x1tgx01xtg31tgxxtg1tgx41tgx 223
C2. x4xxxxx4xx 23sin)cos)(sincos(sinsin)cos(sin(*)
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
19
0xx2xx2x3xx4xx21xx 22 cossincossinsincossin)cossin)(cos(sin
02x2x2x2x03x2x1x2x 22 )(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos
Z)(k (loaïi) cos
)sin)(cos(cos
k4
x1tgx
2x20xx2x2
9. 2x43xx4 44 sin)cos(sin 2x43x22
114 2 sin)sin(
3
2
3x41x4x432x22x43 2
cos)cos(cossinsinsin
Z)(k
2
k12
x2
k4
x
10. 8 8 6 6
2(sin x cos x) sin x cos x 8 6 6 8
2cos x cos x sin x 2sin x
6 2 6 2 6 6
cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos xcos2x sin xcos2x
6 6 6
x mcos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 4 2
x m (m Z)
tgx 1 4 2sin x cos x tg x 1x k
4
11.8 8 10 10
5sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x
4
10 8 8 85
2cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0
4
8 2 8 2 8 85 5
cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 0 cos x cos2x sin x cos2x cos2x 0
4 4
8 8
8 8
cos2x 05 k
cos2x cos x sin x 0 x54 4 2sin x cos x 1 vo â nghieäm
4
12. 04
3x2x2 22 cossin 03x214x214 2 )cos()cos(
03x24x2403x244x244 22 coscoscoscos
1 3cos2x cos cos2x 1 (loaïi) 2x k2 x k (k Z)
2 3 2 3 6
13. 03xtg4xtg 24
2 2
tg x 1 tg x 3 tgx 1 tg tgx 3 tg x k x k (k Z)
4 3 4 3
14. x22x2 24coscos
4 2 2 2
cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loaïi)
Z)(k sin
2
kxkx20x2
15. 03x4x2 42 sincos 03x4x21 422 sin)sin(
03x4x4x41 442 sinsinsin Z)(k cossin
k2
x0x1x2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
20
16.2 2
cos x cos 2x 1 011x4x4x011x2x 242222 coscoscos)cos(cos
4 2 2 25
4cos x 5cos x cos x 0 cos x 1 (loaïi) cosx 0 x k (k Z)
4 2
17. x231x2 4coscos
)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2 244224
5
2x21
0x
5
2x2
0x
5
1x
1x01x6x5 22
2
24
cos
sin
cos
sin
cos
cos
coscos
3 3sin x 0 cos2x cos x k x k2 (k Z) vôùi cos
5 2 5
18. (1) sin 2xtgx2 22 . Ñieàu kieän : 0x cos
C1. x2xxx22x
xx21 2222
2
22
cossincossin
cos
sinsin)(
x2x1x2x2x2x1xx12 22422222coscoscoscoscoscoscos)cos(
4 2 2 2 2 21
2cos x cos x 1 0 cos x 1 (loaïi) cos x 2cos x 1 2cos x 1 0
2
Z)(k cos
2
k
4xk
2x20x2
C2. xtg22xtgxtgxtg22xtgxtg1
xtg21 24222
2
2
)(
4 2 2 2
tg x tg x 2 0 tg x 1 tg x 2 (loaïi) tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
19. 07x213x8 4 cossin
06x26x807x2113x8 2424 sinsin)sin(sin
4 2 2 2 21 1 1
4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3 1 (loaïi) 2sin x 1 cos2x
4 2 2
Z)(k coscos
k6
x2k3
x232
1x2
20. 0x5x33 44 cossin
0x5xx21330x5x133 442422 cos)coscos(cos)cos(
1x22
0x3x212
0x3x4
0xx6x8
22
2
224
cos
cos
)cos(
cos
cos
coscoscos
1cosx 0 cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)
2 3 2 3 2 6
21. 2xgxtg 22 cot 2xtg
1xtg
2
2 (1) . Ñieàu kieän : 0tgx
(1) 01xtg01xtg2xtg 2224 )(
2
tg x 1 tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
22. (1)
cos
2x
1xtg4
2
4 . Ñieàu kieän : 0x cos
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
21
4 2 4 2 2 23
(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 tg x 1 tg x (loaïi)
4
tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
23.
8
1xx 88 cossin
8
1xx2xx
8
1xx 442442424 cossin)cos(sin)(cos)(sin
4
2 2 4 2 41 1 1 1 1
(1 sin 2x) 2(sin x cosx) 1 sin 2x sin 2x 2 sin2x
2 8 4 2 8
1x2x22x2888
1x2
8
1x2
4
1x21 442442 sinsinsinsinsinsin
4 2 2 2
sin 2x 8sin 2x 7 0 sin 2x 1 sin 2x 7 1 (loaïi)
0x2 cos Z) (k
2
k
4xk
2x2
24. 03xx5x212 )cos(sin)sin( 03xx5xx2 2 )cos(sin)cos(sin
3 2sin x cosx 1 sin x cosx 2 (loaïi) sin x sin
2 4 2 4
3x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)
4 4 4 4 2
25. 07xx12x215 )cos(sin)sin(
07xx12xx5 2 )cos(sin)cos(sin
7 2 7sin x cosx 1 sin x cosx sin x sin sin x sin
5 4 2 4 4 5 2
3x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z
2 4 4
26. 0xxx4x3 4224 sinsincoscos
27. 2
2
4 22 cos x 5 cosx 15 0
cosxcos x
28. 2
2
1 1cos x 2 cosx 2 0
cosxcos x
2 2
1 1 1 1cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx
cosx cosx cosx cosx
1 1cosx 0 (1) cosx 2 (2)
cosx cosx
.Ñieàu kieän : 0x cos
nghieäm) (voâ coscos)( 1x0x11 22
Z)(k cos)(coscoscos)( 2kx1x01x01x2x2 22
29.
x
1x
x
1x
2
2
cos
cos
cos
cos
2 2
1 1 1 1cosx 2 cosx cosx cosx 2 0
cosx cosx cosx cosx
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
22
1 1cosx 1 (1) cosx 2 (2)
cosx cosx
.Ñieàu kieän : 0x cos
nghieäm) (voâ coscos)( 01xx1 2
Z)(k cos)(coscoscos)( 2kx1x01x01x2x2 22
30. 2
2
1 1cos x 2 cosx 1
cosxcos x
2
1 1cosx 2 2 cosx 1
cosx cosx
2
1 1cosx 2 cosx 1 0
cosx cosx
01
x
1x01
x
1x 2
cos
cos]
cos
[cos
01xx2 coscos
1 5 1 5cosx 1 (loaïi) cosx cos x k2 (k Z)
2 2
31. 2
2
1 12 cos x 7 cosx 2 0
cosxcos x
2 2
1 1 1 12 cosx 2 7 cosx 2 0 2 cosx 7 cosx 6 0
cosx cosx cosx cosx
1 1 3cosx 2 (1) cosx (2)
cosx cosx 2
. Ñieàu kieän : 0x cos
Z)(k
(loaïi) cos
coscoscoscos)(
2kx
121x
21x01x2x1 2
21
(2) 2cos x 3cosx 2 0 cosx cos cosx 2 (loaïi) x k2 (k Z)
2 3 3
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : 2kx v Z)(k
2k3
x
32. 2
2
1 1sin x sin x 0
sin xsin x
2
1 1sin x sin x 2 0
sin x sin x
1 1sin x 1 (1) sin x 2 (2)
sin x sin x
. Ñieàu kieän : 0x sin
nghieäm) (voâ sinsin)( 01xx1 2
Z)(k sin)(sinsinsin)(
2k2
x1x01x01x2x2 22
33. 2
2
1 14 sin x 4 sin x 7 0
sin xsin x
2 2
1 1 1 14 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0
sin x sin x sin x sin x
1 3 1 5sin x (1) sin x (2)
sin x 2 sin x 2
. Ñieàu kieän : 0x sin
nghieäm) (voâ sinsin)( 02x3x21 2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
23
21
(2) 2sin x 5sin x 2 0 sin x 2(loaïi) sin x sin
2 6
7x k2 x k2 (k Z)
6 6
34. C1 : (*) )cot(cot 6gxtgx2xgxtg 22
Ñieàu kieän : Z)(k sincossin
2
kx0x20xx
6gxtgx22gxtgx 2 )cot()cot((*) 08gxtgx2gxtgx 2 )cot()cot(
tgx cot gx 2 (1) tgx cot gx 4 (2)
Z)(k )()(
k4
x4
tg1tgx01tgx01tgx2xtg2tgx
1tgx1 22
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin)(
62
1x21x22xx4xx4
x
x
x
x2 22
7 72x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :
k4
x Z)(k
k12
7xk
12x
C2 : Ñaët
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222cotcot)cot(cot 2xgxtg 22 cot
42xgxtg2 22 cot
2t2t
2t4t 2
Khi cot 2gxtgx2t 01tgx01tgx2xtg2tgx
1tgx 22 )(
Z)(k
k4
x4
tg1tgx
Khi 4 cot4 gxtgxt xx4xx4x
x
x
x 22cossin cossin
sin
cos
cos
sin
1 2sin2x 1 sin2x sin
2 6
7 72x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø :
k4
x Z)(k
k12
7xk
12x
35. (*) )cot(cot 06gxtgx5xgxtg 22
Ñieàu kieän : Z)(k sincossin
2
kx0x20xx
06gxtgx52gxtgx 2 )cot()cot((*) 04gxtgx5gxtgx 2 )cot()cot(
tgx cot gx 1 (1) tgx cot gx 4 (2)
nghieäm) (voâ )( 01tgxxtg1tgx
1tgx1 2
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin)(
62
1x21x22xx4xx4
x
x
x
x2 22
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
24
7 72x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : Z)(k
k12
7xk
12x
36. (1) )cot(cot
cos
01gxtgx4xg3x
3 2
2 .
Ñieàu kieän : Z)(k sincossin
2
kx0x20xx
01gxtgx4xg3xtg1301gxtgx4xg3x
31 222
2 )cot(cot)()cot(cot
cos
)(
02gxtgx42gxtgx302gxtgx4xgxtg3 222 )cot(])cot[()cot()cot(
04gxtgx4gxtgx3 2 )cot()cot( (*)
Ñaët : gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222cotcot)cot(cot 2xgxtg 22 cot
42xgxtg2 22 cot
2t2t
2t4t 2
22
(*) 3t 4t 4 0 t 2 t (loaïi)
3
Khi : 1x2xx2xxx
x
x
x2t 22 sincossincossin2
sin
cos
cos
sin
2x k2 x k (k Z)
2 4
37. (1) )cot(
sin
04gxtgx5xtg2x
2 2
2
Ñieàu kieän : Z)(k sincossin
2
kx0x20xx
04gxtgx5xtg2xg121 22 )cot()cot()(
04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2 222 )cot(])cot[()cot()cot(
0gxtgx5gxtgx2 2 )cot()cot( (*)
Ñaët : gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222cotcot)cot(cot
2xgxtg 22 cot
42xgxtg2 22 cot
2t2t
2t4t 2.
25
(*) 2t 5t 0 t t 0 (loaïi)
2
Khi sinsincossin)cos(sin
sin
cos
cos
sin
5
1x2xx5xx2
2
5
x
x
x
x
2
5t 22
2x k2
x k x k (k Z)
2x k2 2 2 2
38.3
(sinx cosx) 2(1 sin2x) sinx cosx 2 0
3 2
(sinx cosx) 2(sinx cosx) sinx cosx 2 0
ñaët t sin x cosx 2 cos x
4
. ñieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh :3 2 2
t 2t t 2 0 (t 2)(t +1) = 0 t = 2
39. 2(sinx cosx) tgx cot gx
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
25
sin x cosx2(sin x cosx)
cosx sinx
2(sinx cosx)sinxcosx 1
ñaët t sin x cosx 2 cos x
4
. ñieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh :3 2
t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2
40.3 3
sin x cos x sin2x sinx cosx (sinx cosx)(1 sinxcosx) 2sinxcosx sinx cosx
2
t 1ñaët t sin x cosx 2 cos x sin x cosx
4 2
. ñieàu kieän: t 2 .
Phöông trình trôû thaønh : 3 2 2
t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1 t = 2 (loaïi) t = 1
41.
1 1 10cosx sin x
cosx sin x 3
1 10(sin x cosx) 1
sin x cosx 3
2
t 1ñaët t sin x cosx 2 cos x sin x cosx
4 2
.
ñieàu kieän: t 2 .Phöông trình trôû thaønh :
3 2 22 19 2 19
3t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0 t = 2 t = t = (loaïi)
3 3
42.2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4 . VP 5 sin3x 4
Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
2 2 2cosx 0sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1 2sin3x 1 sin3x 1
43.2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4 . VP 5 sin3x 4
Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
2 2 2cosx 0sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1 2sin3x 1 sin3x 1
44.sinx cosx 2(2 sin3x)
VT sin x cosx 2 sin x 2
4
. VP 2(2 sin3x) 2
Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
x k2sin x 1 x k2 4
vo â nghieäm4 4m2
sin3x 1 x2 sin3x 16 3
Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm.
45.13 14
sin x sin x 1
13 14 2 2
sin x sin x sin x sin x . Vì 13 2
cosx 1 cos x cos x ; 14 2
sinx 1 sin x sin x
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
26
Vaäy13 14
sin x sin x 1 . Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi:
13 2 2 11
14 2 2 12
cos x cos x cos x(cos x 1) 0 cosx 0 cosx 1 x k mx2
sin x 1 sin x 0 2sin x sin x sin x(sin x 1) 0x k2
46. )sin(cossin x322xx (1)
VT sin x cosx 2 cos x 2
4
2122x322VP )()sin(
Vaäy
2 cos x 2 cos x 1 cos x 1 (1)4(1) 4 4
2 sin3x 1 sin3x 1 (2)2(2 sin3x) 2
2k4
x2k4
x1)( ( k Z)
theá vaøo (2) ta coù : 3 3 2
sin3x sin k6 sin 1
4 4 2
Vaäy phöông trình voâ nghieäm
47. x35x2x4 2sin)cos(cos
4xx34xx32VT 222 sinsin)sinsin( . 415x35VP sin
Vaäy
(2) 1xsinsin
(1) sin
sin
sin
sin
sinsin
sin
sinsin)( 3
22222
4x31x
1x31x
1x31xx3
4x354xx341
Khi Z)(k sin
2k2
x1x
theá vaøo (2) ta coù : 143x3 sin thoûa maõn
Khi Z)(k sin
2k2
x1x
theá vaøo (2) ta coù : 1143x3 sin khoâng thoûa
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : Z)(k
2k2
x
48. . x2xx25 2cossinsin (1)
5x25VT 2 sin Daáu baèng xaûy ra sin2x = 0 Z)(k
2
kx (*)
5xx41x2xVP 22 cossincossin
Daáu baèng xaûy ra
2
1tgx
2
x
1
x
cossin (**)
Theá (*) vaøo (**) khoâng thoûa neân phöông trình voâ nghieäm
49. 4xx3x2x23 cossincossin (1)
2x2
1x
2
3x2
2
1x2
2
31 cossincossin)(
cos sin2x sin cos2x sin sin x cos cosx 2 sin 2x cos x 2
6 6 3 3 6 3
(*)
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
27
Vì sin 2x 1
6
vaø cos x 1
3
neân (*)
2sin 2x 1 sin 2x 1 sin k4 1 sin 1
6 6 3 6 2x k2
3x k2cos x 1 x k2 x k2
33 3 3
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :
2k3
x (k Z)
50. 1xx2 coscos
2xx31xx32
1 coscos)cos(cos (*)
Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (*)
2kx1x1341x
1x3x41x
1x31x
3 coscos
coscos
cos
cos
cos (k Z)
51. 1xx2 2 cos (*)
Vì 1x2 cos vaø 11x 2 neân (*) 0x10
0x1x211x 2
coscos
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 0
52. 2xx3 coscos (*)
Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (*)
2kx1x134
1x1x3x4
1x1x3
1x3 cos
cos
coscos
cos
cos
cos (k Z)
53.2 2
cos x 2cosx tg x 1 0
2 2cosx 1
(cosx 1) tg x 0
tgx 0
Z)(k cossin
cos
2kx1x0x
1x
54.2 2
4sin x 2 3tgx 3tg x 4sinx 2 0
2 2
4sin x 4sinx 1 3tg x 2 3tgx 1 0
2 2sin x 1/ 2 (1)
(2sin x 1) ( 3tgx 1) 0
tgx 3 / 3 (2)
5(1) x k2 x k2 (k Z)
6 6
theá vaøo (2) ta coù nghieäm
2k
6x , (k Z)
55.2
x 2xsinx 2cosx 2 0
2 2 2
x 2xsinx sin x cos x 2cosx 1 0
0x2kx
002k2k2kx
xx1xxx
01xxx 22
sinsinsin
cos
sin)(cos)sin(
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :x = 0
56.
2
xcos2x 1
2
2 2
2x 0x x
(1 cos2x) 0 2sin x 0 x 0
sin x 02 2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
28
57.Ñaïi hoïc An Giang khoái D naêm 2000
2 2 23
sin x sin 2x sin 3x
2
cos2x cos4x cos6x 0 cos4x(2cos2x 1) 0
1 kcos4x 0 cos2x x x k
2 8 4 3
58. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1999
1 12 2 sin x
4 sin x cosx
2 sin x
sin x cosx 42 2 sin x 2 2 sin x
4 sin x cosx 4 sin x cosx
sin x 0 sin x 02 sin x 04 44
sin x cosx 0 sin2x 012
2sin x cosx 1 sin2x 1sin x cosx
x k sin2x sin 1 0
4 2
x ksin2x 04
sin2x 1 2x 2k x k
2 4
59.Hoïc Vieän Quan Heä Quoác Teá khoái D naêm 1999
cosx cos2x cos3x cos4x 0 5x x 5x x
4cosx.cos .cos 0 cosx 0 cos 0 cos 0
2 2 2 2
.
2kx k x x 2k
2 5 5
60. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1998
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x)
3 3 2 2 5 5
(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)
3 2 2 3 5 5 3 2 2 3 2 2
sin xcos x sin xcos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)
3 3
3 3
cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 kco2xsin x cos2x cos x x
sin x cosx tgx 1 4 2sin x cos x
61. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1998
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x
(cos2x cos4x) (1 cos6x) 0
2 2 2
2
2cos3xcosx 2cos 3x 0 2cos3x(cosx cos3x) 0 4cos3x.cos2x.cosx 0
k kcos3x 0 cos2x 0 cosx 0 x x x k
6 3 4 2 2
62. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái B naêm 1999
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
29
6 6 8 8
sin x cos x 2(sin x cos x)
6 2 6 2
sin x(1 2sin x) cos x(2cos x 1) 0
6 6k
cos2x(sin x cos x) 0 cos2x 0 x
4 2
63. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1999
sinx cosx sinx cosx 2 .
Bình phöông 2 veá ta ñöôïc k
cos2x 1 sin2x 0 x
2
64. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái B naêm 2000
6 613
cos x sin x
8
2
cos2x(2cos 2x 13cos2x 6) 0
1 kcos2x 0 cos2x 6 (loaïi) cos2x x x k
2 4 2 6
65. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 2000
1 3tgx 2sin2x (*)
Ñaët : t tgx .2 3 2
2
4t (*) 1 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t 1 0
1 t
2
(t 1)(3t 2t 1) 0 t 1 x k
4
66. Hoïc Vieän Quaân Y khoái B naêm 2001
3sinx 2cosx 2 3tgx
3tgxcosx 2cosx 2 3tgx cosx(3tgx 2) 2 3tgx .Ñaët : t tgx
3tgx 2 0 tgx 2/ 3 tg x k
cosx 1 cosx 1 x 2k
67. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi khoái B naêm 2000
3
4cos x 3 2 sin2x 8cosx
3 2
4cos x 6 2 sinxcosx 8cosx 2cosx(2cos x 3 2 sinx 4) 0
22
2cosx(2sin x 3 2 sin x 2) 0 cosx 0 sin x 2 (loaïi) sin x
2
3x k x 2k x 2k
2 4 4
68. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi khoái B naêm 2001
tgx 2cot g2x sin2x (*) .
Ñieàu kieän : sin2x 0 . Ñaët : t tgx
2
2 2 2 2
2 2
1 t 2t 1 2t(*) t 2. t 1 tg x 1 sin x cos x
2t t1 t 1 t
kcos2x 0 (thoûa maõn ñieàu kieän) x
4 2
69. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haûi Phoøng khoái B naêm 2001
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
30
3
sin x 2 sin x (*)
4
.
Ñaët : t x x t
4 4
3 3 2
(*) sin t 2 sin t sin t sin t cost sin t(1 cot t) sin t cost
4
cost 0 cost 0
cost(1 sin t cot t) 0 t k x k
sin t cost 1 sin2t 2 (voânghieäm) 2 4
70. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP Hoà Chí Minh khoái D naêm 2000
4 4
4(sin x cos x) 3sin4x 2
2 21
4 1 sin 2x 3 sin 4x 2 2sin 2x 3 sin 4x 2
2
1 3 1 2cos4x 3 sin 4x 1 cos4x sin 4x cos 4x cos
2 2 2 3 3
2 k k4x 2k x x
3 3 4 2 12 2
71. Ñaïi Hoïc Thaùi Nguyeân khoái D naêm 1997
2
4cos x cos3x 6cosx 2(1 cos2x)
2 3 2
4cos x (4cos x 3cosx) 6cosx 4cos x
3 2
4cos x 3cosx 0 cosx(4cos x 3) 0 cosx 0 x k
2
72. Ñaïi Hoïc Thaùi Nguyeân khoái D naêm 2000
sin2x 4(cosx sinx) m
a) Giaûi phöông trình treân khi m 4
b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình treân coù nghieäm?
Giaûi
a) Khi m 4 , phöông trình coù daïng :
sin2x 4(cosx sinx) 4 (1 sin2x) 4(cosx sinx) 3 0 2
(cosx sinx) 4(cosx sinx) 3 0
cosx sin x 1
2 cos x 1 x 2k x 2k
cosx sin x 3 (voânghieäm) 4 2
b) 2
sin2x 4(cosx sinx) m (cosx sinx) 4(cosx sinx) m 1 0 (*)
Ñaët : t cosx sin x 2 cos x t 2
4
.
2
(*) t 4t m 1 0
Neáu /
5 m 0 m 5 phöông trình voâ nghieäm
Neáu /
5 m 0 m 5 phöông trình coù hai nghieäm / /
1 2t 2 t 2 2 (loaïi)
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi
/ / /
12 t 2 2 2 2 2 2 6 4 2 6 4 2
6 4 2 5 m 6 4 2 1 4 2 5 m 1 4 2
72. Ñaïi Hoïc Vaên Hoùa Haø Noäi khoái D naêm 2001
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
31
sinx 2cosx cos2x 2sinxcosx 0
2
sinx 1 2sin x 2cosx(1 sinx) 0
s inx 1
s inx 1
(1 s inx)(2sin x 2cosx 1) 0 1sin x sin2(sin x cosx) 1
4 2 2
3x 2k x 2k x 2k
2 4 4
. Trong ñoù laø goùc coù
1sin
2 2
73. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1997
4 6
cos x sin x cos2x
4 6 4 4 6 4
cos x sin x cos x sin x sin x sin x 0
4 2
2
s inx 0
sin x(sin x 1) 0 x k
1 sin x 0 (vo â nghieäm)
.
74. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1997
x 3x x 3x 1cosx.cos .cos sin x.sin .s in
2 2 2 2 2
1 1 1cosx(cosx cos2x) sin x(cosx cos2x)
2 2 2
2 2
cos x cosxcos2x sinxcosx sinxcos2x 1 cosxcos2x sinxcos2x sin x sinxcosx
cos2x(cosx sinx) sinx(sinx cosx) (cosx sinx)(cos2x sinx) 0 2 2
(cosx sinx)(1 2sin x sinx) 0 (cosx sinx)(2sin x sinx 1) 0
1 5tgx 1 sin x 1 sin x x k x 2k x 2k x 2k
2 4 2 6 6
.
75. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1998
2 2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
2 21 cos6x 1 cos2x 1
sin 2x 0 (cos2x cos6x) sin 2x 0
2 2 2
2 2 2 2
sin4xsin2x sin 2x 0 2sin 2xcos2x sin 2x 0 sin 2x(2cos2x 1) 0
1 ksin2x 0 cos2x x x 2k
2 2 3
.
76. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1998
2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x .
Ñieàu kieän : sin2x 0 ; sin3x 0 ; cos2x 0
cos2x cos3x sin2x cos3x2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x 2
sin2x sin3x cos2x sin3x
2
32sin x cosx 2sin x(cos2x cos x)
0 sin x 0 (loaïi)
sin2xsin3x sin3x cos2x sin2xsin3x cos2x
do ñk sin2x 0
Vaäy phöông trình voâ nghieäm.
77. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh khoái B naêm 1997
3
sinxsin2x sin3x 6cos x
2 3 3
2sin xcosx 3sinx 4sin x 6cos x
3 2 2
tg x 2tg x 3tgx 6 0 (tgx 2)(tg x 3) 0 tgx 2 tg tgx 3
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
32
x k x k
3
78. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh khoái B naêm 1998
Xaùc ñònh a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông
2cosxcos2x 1 cos2x cos3x
2
4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)
Giaûi
2 2
2cosxcos2x 1 cos2x cos3x cos3x cosx 2cos x cos3x cosx 2cos x
cosx 0 cosx 1/ 2
2
4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)
2 3 2
4cos x (4cos x 3cosx) acosx 2(4 a)cos x
3 2
4cos x (4 2a)cos x (a 3)cosx 0 cosx(2cosx 1)(2cosx a 3) 0
1 a 3cosx 0 cosx cosx
2 2
Hai phöông trình sau töông ñöông
a 3 a 3 a 3 a 3 11 1 0 a 5 a 1 a 3 a 4
2 2 2 2 2
79. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh khoái B naêm 2001
Xaùc ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm : 6 6
sin x cos x a sin2x
Giaûi
6 6 2 23
sin x cos x a sin2x 1 sin 2x a sin2x 4 3sin 2x 4a sin2x (*)
4
Ñaët : t sin2x 0 t 1 . 2
(*) 3t 4at 4 0
Vôùi t 0 ta co ù f(0) 4 0 phöông trình (1) luoân coù hai nghieäm thoûa maõn ñieàu kieän 1 2
t 0 t
Nhö vaäy , phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (1) coù nghieäm thoûa maõn
1 2t 0 t 1 f(1) 0 4a 1 0 a 1/ 4
80. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái B
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) 0 cosx(cos11x cos7x) 0 cosxsin9xsin2x 0
k ksin2x 0 cos9x 0 x x
2 9
81. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái D
Tìm x thuoäc ñoaïn [0;14] nghieäm ñuùng phöông trình : cos3x 4cos2x 3cosx 4 0
Giaûi
3 2
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 4cos x 3cosx 4(2cos x 1) 3cosx 4 0
3 2 2 2
4cos x 8cos x 0 4cos x(cos x 2) 0 cosx 0 cosx 2 (loaïi) x k
2
Vì x 0;14 k 0 k 1 k 2 k 3
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:3 5 7
x x x x
2 2 2 2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
33
82. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái A
Tìm x thuoäc ñoaïn x 0;2 nghieäm ñuùng phöông trình :
cos3x sin3x5 sin x cos2x 3 (*)
1 2sin2x
Giaûi
Ñieàu kieän : 1 2sin2x 0 sin2x 1/ 2 (a)
(*) 5 sinx 2sinxsin2x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin2x)
5 sinx cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin2x)
5 sinx sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin2x)
2
5cosx 1 2sin2x (cos2x 3)(1 2sin2x) 5cosx cos2x 3 5cosx 2cos x 2
2
2cos x 5cosx 2 0 cosx 2 (loaïi) cosx 1/ 2 (thoûa ñk (a))
x 2k
3
. Vì x 0;2 nghieäm cuûa phöông trình laø:
5x x
3 3
83. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2003 khoái D
2 2 2x x
sin tg x cos 0 (*)
2 4 2
Ñieàu kieän : cosx 0 x k
2
2
2
2
1 cos x 1 cos x
1 cosx sin x 1 cosx2 2(*) tg x 0 0
2 2 2 2cos x
2 2
2
2
1 sin x sin x 1 cosx sin x 1 cosx. 0 0 sin x (1 cosx)(1 sin x) 0
2 2 2(1 sin x) 21 sin x
(1 cosx)(1 cosx) (1 cosx)(1 sinx) 0 (1 cosx)(sinx cosx) 0
cosx 1 tgx 1 x 2k x k
4
84. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2003 khoái B
2cotgx tgx 4sin2x (*)
sin2x
Ñieàu kieän : k
sin2x 0 x
2
cosx sin x 2 2cos2x 2(*) 4sin2x 4sin2x
sin x cosx sin2x sin2x sin2x
2 2 2
2cos2x 4sin 2x 2 cos2x 2(1 cos 2x) 1 2cos 2x cos2x 1 0
cos2x 1 (loaïi) sin2x 0 vì sin2x 0
x k
cos2x 1/ 2 3
84. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2004 khoái B
2
5sinx 2 3(1 sinx)tg x (*)
Ñieàu kieän : cosx 0 x k
2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
34
2 2
2 2
sin x sin x(*) 5sin x 2 3(1 sin x) 5sin x 2 3(1 sin x)
cos x 1 sin x
2
2 23sin x
5sin x 2 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x 2 0
1 sin x
1 5sin x 2 (loaïi) s inx x 2k x 2k (thoûa maõn ñk)
2 6 6
85. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2004 khoái D
(2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sinx
(2cosx 1)(2sinx cosx) 2sinxcosx sinx
2cosx 1 0 cosx 1/ 2
(2cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2cosx 1)
sin x cosx 0 tgx 1
x 2k x k
3 4
86. Ñaïi Hoïc Daân Laäp Vaên Lang naêm 1997 khoái B & D
3cosx cos2x cos3x 1 2sinxsin2x
2 3 2
3t 2t 1 4t 3t 1 4(4 t )t (t cosx)
2t 0 cosx 0
2t 2t 0 x k x 2k
t 1 cosx 1 2
87. Ñaïi Hoïc Thuûy Saûn naêm 1997 khoái A
4 4x x
cos sin sin2x
2 2
2 2x x
cos sin sin2x cosx 2sin x cosx
2 2
cosx 0 5x k x 2k x 2k
sinx 1/ 2 2 6 6
88. Trung Hoïc Kyõ Thuaät Y Teá 3 naêm 1997
2
(2sinx 1)(2sin2x 1) 3 4cos x
2
2sinxsin2x 2sinx 2sin2x 1 3 4(1 sin x)
2 2
8sin xcosx 2sinx 4sinxcosx 4sin x sinx 0 4sinxcosx 1 2cosx 2sinx
x ksin x 0
5 54sin x cosx 2(sin x cosx) 1 0 x 2k x 2k x 2k x 2k
6 3 6 3
5 5x k x 2k x 2k x 2k x 2k
6 3 6 3
89. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái A
Cho phöông trình :5 5 2
4cos xsinx sin xcosx sin 4x m (*) . Bieát x laø moät nghieäm cuûa
(*) . Haõy giaûi phöông trình (*) trong tröôøng hôïp ñoù .
Giaûi
4 4 2 2 2
4sinxcosx(cos x sin x) sin 4x m 2sin2xcos2x sin 4x m sin 4x sin4x m 0 (1)
Vì x laø nghieäm cuûa phöông trình (*) neân x cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (1)
Nghóa laø :sin4x sin4 0 vaäy töø (1) m 0
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
35
Vaäy phöông trình trôû thaønh : 2
sin 4x 0 k ksin 4x sin 4x 0 x x
sin 4x 1 4 8 4
90. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D
Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm .
Cho phöông trình :4 4 6 6 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m .
Giaûi
4 4 6 6 2 2 2 21 3
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m 4 1 sin 2x 4 1 sin 2x sin 2x m
2 4
2 2
4t 3t m (t sin 2x 0 t 1) . Ñaët :
2 / /
f(t) 4t 3t f (t) 8t 3;f (t) 0 t 3/ 8 f(3/ 8) 9/16
Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân ñoaïn 0;1 ta coù : f(0) 0 ; f(1) 1
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 9
m 1
16
91. Ñaïi Hoïc Luaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái A
Cho phöông trình :2 2
cos4x cos 3x asin x
a) Giaûi phöông trình treân khi a 1
b) Xaùc ñònh tham soá a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x treân khoaûng 0;
12
Giaûi
a) 2 2 2
1 cos6x 1 cos2xcos4x cos 3x asin x 2cos 2x 1 a
2 2
2 3
4cos 2x 2 1 4cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)
3 2 2
a(t 1) 4t 4t 3t 3 (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3)
Khi a 1 phöông trình trôû thaønh :
2k
(t 1) (t 1)(4t 3) t 1 cos2x 1 2x k x
2
b) 2 2 2
cos4x cos 3x asin x a(t 1) (t 1)(4t 3) (*) (t cos2x)
3 3x 0; 0 x 0 2x cos2x 1 t 1
12 12 6 2 2
2 /3 3
(*) a 4t 3 f(t) f (t) 8t 0 vôùi t ;1 vaø f 0 ; f 1 1
2 2
Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân khoaûng3
;1
2
ta thaáy phöông trình coù nghieäm khi 0 a 1
92. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông naêm 1997 khoái D
22tgx cot gx 3
sin2x
2sin x cosx 13 (1)
cosx sin x sin x cosx
.
Ñieàu kieän :
sin x 0
sin x cosx 0
cosx 0
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
36
2 2 2 2
2sin x cos x 3sinxcosx 1 1 sin x 3sinxcosx 1 sin x 3sinxcosx
sin x 0 (loaïi)
tgx 3 x k
3sin x 3 cosx
93. Ñaïi Hoïc Baùch Khoa Haø Noäi naêm 1994
2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x0 (*)
cosx
.
Ñieàu kieän : cosx 0
2 2
(*) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 9 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2x 1 0
2cos2x 1 1 cos2x 0 cosx 0 (loaïi)2cos x 0
x k
cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2 3cos2x 1/ 2
94. Ñaïi Hoïc Baùch Khoa Haø Noäi naêm 1996
Tìm nghieäm cuûa phöông trình :4 4
sin x cos x cos2x (1)
thoûa maõn baát phöông trình :2
1
2
1 log (2 x x ) 0 (2)
Giaûi
4 4 2 21
sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2cos2x 1 0
2
cos2x 1 x k
2
2
2
21
21
2
2
1 x 22 x x 0
2 x x 0 1 x 2
1 log (2 x x ) 0 x 1log (2 x x ) 1
1 x 0x x 0x 0
Nghieäm cuûa (1) thoûa (2) khi
1 k 2
k 0
1 k 0
. Vaäy x 0
95. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1994
cos3x 1 3sin3x
2 2 2
1 3 sin3x 0 sin3x 3 / 3
cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x 4sin 3x 2 3 sin3x 0
ksin3x 0 3x k x
3
96. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1995
3 31
sin x cosx cos xsin x
4
2 21 1 1 1 1
sin x cosx(sin x cos x) sin2x cos2x sin 4x
4 2 4 4 4
ksin 4x 1 4x 2k x
2 8 2
97. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1998
4 2 2 4
3cos x 4cos xsin x sin x 0
4 2 2 2
tg x 4tg x 3 0 tg x 1 tg x 3 tgx 1 tgx 3 x k x k
4 3
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
37
98. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1998
3
sin x 2 sin x
4
3
31
(sin x cosx) 2 sin x (sin x cosx) 4sin x
2
3
3 2 3 2 3
3
sin x cosx 4sin x(tgx 1) 4tgx(1 tg x) tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x
cosx cos x
3 2 3 2 3
3tg x 3tg x tgx 1 0 tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x
tgx 1 tgx 3 x k x k
4 3
99. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh naêm 1998
21 2 5
tg x 0
2 cosx 2
2 2
1 1 2 5 1 41 0 4 0
2 cosx 2 cosxcos x cos x
2
1 12 0 cosx x 2k
cosx 2 3
100. Ñaïi Hoïc Y Döôïc Haø Noäi naêm 1996
0,25 4
x xlog sin sin x log sin cos2x 0
2 2
4 4
x xlog sin sin x log sin cos2x
2 2
2cos2x sin x sin x 1 sin x 1/ 2 sin x 1(loaïi) sin x 1/ 22sin x sin x 1 0
x x xxsin sin x 0 sin sin x 0 sin sin x 1sin sin x 0
2 2 22
1 7sinx x 2k x 2k
2 6 6
101. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1995
2
tg2x cot gx 8cos x
2sin2x cosx
8cos x (*)
cos2x sin x
. Ñieàu kieän :
cos2x 0
sin x 0
2 2cosx 0sin2xsin x cos2x cosx
(*) 8cos x cosx 8cos x cos2xsin x
8cosx cos2xsin x 1cos2xsin x
cosx 0 cosx 0 cosx 0
(thoûa maõn ñieàu kieän )
4cos2xsin2x 1 2sin 4x 1 sin 4x 1/ 2
k 5 kx k x x
2 24 2 24 2
102. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1996
2
(sin2x 3 cos2x) 5 cos 2x
2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
38
21 3
4( sin2x cos2x) cos 2x 5 0
2 2 2
. Ñieàu kieän
2
4cos 2x cos 2x 5 0 cos 2x 5/ 4 (loaïi) cos 2x 1
2 2 2 2
72x 2k x k
6 12
103. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1996
a) 3(cot gx cosx) 2(tgx sinx) 5
b) 3(cot gx cosx) 5(tgx sinx) 2 (*)
Ñieàu kieän
cosx 0
sin x 0
cosx sin x(*) 3(cot gx cosx 1) 5(tgx sin x 1) 0 3 cosx 1 5 sin x 1 0
sin x cosx
cosx sin x cosx sin x sin x sin x cosx cosx3 5 0
sin x sin x
cosx sin x cosx sin x 0 (1)3 5
(cosx sin x cosx sin x) 0 3 5sin x cosx (2)
sin x cosx
2t 1 2
(1) t 2t 1 0 (t sin x cosx 2 sin x t 2)
4t 1 2 (loaïi)
1 2 3sin x sin x 2k x 2k
4 4 42
3 5 3(2) tgx tg x k
sin x cosx 5
104. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1998
tgx cot gx 2(sin2x cos2x)
Ñieàu kieän :
cosx 0
sin2x 0
sin x 0
sin x cosx 1tgx cot gx 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x)
cosx sin x sin x cosx
22
2(sin2x cos2x) 1 sin2x(sin2x cos2x) 1 sin 2x sin2x cos2x
sin2x
2cos2x 0 k k
cos 2x sin2x cos2x (thoûa maõn ñieàu kieän) x x
tg2x 1 4 2 8 2
105. Hoïc Vieän Quan Heä Quoác Teá naêm 1995 khoái D
2
sinx sinx sin x cosx 1 (*)
Ñieàu kieän : sinx 0
2 21 1
(*) sin x sin x cos x cosx sin x sin x cos x cosx
4 4
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
39
2 2
1 1sin x cosx
sin x cosx1 1 2 2sin x cosx
1 12 2 cosx sin x 1sin x cosx
2 2
2
2 2
cosx 0 cosx 0cosx 0 cosx 0
sin x sin x 1 01 5
sin x cos x sin x 1 sin x sin x (vì sin x 0)
sin x 0 2
cosx sin x 1 cosx sin x 1x 2kcosx 1
x 2k x 2k
106. Ñaïi Hoïc Kieán Truùc Haø Noäi naêm 1995 khoái A
1 1 1
cosx sin2x sin 4x
Ñieàu kieän : sin4x 0
1 1 1 1 1 1
cosx sin2x sin 4x cosx 2sin x cosx 2sin x cosx cos2x
2
2sinxcos2x cos2x 1 0 2sinxcos2x 1 cos2x 2sinxcos2x 2sin x
sin x 0 (loaïi)
2kx x 2k
cos2x sin x cos x 6 3 2
2
107. Ñaïi Hoïc Kinh Teá Quoác Daân naêm 1998 khoái A
1cosx cos2x cos4x cos8x
16
(*)
Xeùt sinx = 0 thì phöông trình khoâng thoûa.
Vaäy (*) 1
sin x cosx cos2x cos4x cos8x sin x
16
2k 2ksin16x sin x x x
15 17 17
108. Ñaïi Hoïc Kinh Teá naêm 1994
Cho phöông trình :
6 6
2 2
cos x sin x2mtg2x
cos x sin x
a) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm.
b) Giaûi phöông trình khi 1
m
8
Giaûi
6 6 6 6
2 2
cos x sin x cos x sin x 2msin2x2mtg2x (*)
cos2x cos2xcos x sin x
. Ñieàu kieän : cos2x 0
6 6 2 23
cos x sin x 2msin2x 1 sin 2x 2msin2x sin 2x 8msin2x 4 0 (1)
4
Ñaët
2 2
2 /
2
3t 4 3t 4t sin2x ( 1 t 1) (1) 3t 8mt 4 0 8m f(t) f (t) 0
t t
Laäp baûng xeùt daáu treân khoaûng (–1;1) ta coù : f(–1)= –1 ; f(1) = 1 ; f(0) =
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
40
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi :
8m 1 m 1/ 8
8m 1 m 1/ 8
b) Vaäy khi 1
m
8
thì phöông trình voâ nghieäm .
108. Ñaïi Hoïc Kinh Teá naêm 1995
2
cosx(2sin x 3 2) 2cos x 11 (*)
1 sin2x
. Ñieàu kieän : sin2x 1 x k
4
2 2
(*) sin2x 3 2 cosx 2cos x 1 1 sin2x 2cos x 3 2 cosx 2 0
cosx 2 (loaïi)
x k x 2k (loaïi) x k
4 4 4cosx 2 / 2
109. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1995
4sin2x 3cos2x 3(4sinx 1)
2
8sinxcosx 3(1 2sin x) 12sinx 3
2 2 2
sin x 0
sin x(4cosx 3sin x 6) 0
4cosx 3sin x 6 (voâ ngghieäm vì a b 25 c 36)
x k
110. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1996
2
tg x tgx.tg3x 2
Ñieàu kieän :
cosx 0
cos3x 0
2
2sin xsin2x 2sin x cosx
tg x tgx.tg3x 2 tgx(tgx tg3x) 2 2 2
cosx cosx cos3x cosx cosx cos3x
2 2 4 2 4 2
sin x cosxcos3x cos x 1 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x 1 0
2 2k
(2cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x (thoûa maõn ñieàu kieän)
2 4 2
111. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1996
3
tgx cot gx 2cot g 2x
Ñieàu kieän :
cosx 0 sin x 0 ksin2x 0 x
sin2x 0 2
3 3 3 3sin x cosx 2cos2x
tgx cot gx 2cot g 2x 2cot g 2x 2cot g 2x cot g2x cot g 2x
cosx sin x sin2x
2k
cot g2x 0 cot g 2x 1 (loaïi) 2x k x (thoûa maõn ñieàu kieän)
2 4 2
112. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997
Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm:4 4 6 6 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m
Giaûi
Ta coù : 4 4 6 6
1 1sin x cos x (3 cos4x) ; sin x cos x (5 3cos4x)
4 8
Khi ñoù phöông trình coù daïng :
2 21
3 cos4x (5 3cos4x) sin 4x m 2cos 4x cos4x 1 2m . Ñaët : t cos4x t 1
2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
41
Phöông trình coù daïng : 2 /
1f(t) 2t t 1 2m f (t) 4t 1 0 t
4
Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân ñoaïn t 1 ta coù : 1 9
f( 1) 2 ; f(1) 0 ; f
4 8
Döïa vaøo ñoù ta suy ra phöông trình coù nghieäm 9 9
2m 2 2m 1
8 16
113. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1997
1 12 2 sin x (*)
4 sin x cosx
Ñieàu kieän :
cosx 0 ksin2x 0 x
sin x 0 2
sin x cosx 0 tgx 1sin x cosx(*) 2(sin x cosx)
sin2x 1 sin2x 1sin x cosx
nx k 2x 2m x k x m x
4 2 4 4 4 2
114. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1998
12tgx cot g2x 2sin2x
sin2x
Ñieàu kieän :
cosx 0
sin2x 0
sin2x 0
2sin x cos2x 1 sin xsin2x
2 2sin2x 2 cos2x 2sin 2x 1 0
cosx sin2x sin2x cosx
2 2 2
4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2x 0
2cos2x 1 (loaïi) (vì sin2x 0) 1
2cos 2x cos2x 1 0 cos2x
cos2x 1/ 2 2
22x 2k x k
3 3
115. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1998
cos4x 6sinxcosx 1
2sin2x 0
1 2sin 2x 3sin2x 1 0 sin2x 0 x k
sin2x 3/ 2 (loaïi) 2
116. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1998
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x
cos2x cos4x 1 cos6x 0
2 2 2
2
2cos3xcosx 2cos 3x 0 2cos3x(cosx cos3x) 0 4cos3xcos2xcosx 0
x k x k x k
6 3 4 2 2
117. Ñaïi Hoïc Luaät Haø Noäi naêm 1995
4 4
cos x sin x 1
4
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
42
2
2 1 cos 2x
1 cos2x 21
2 2
2 2
(1 cos2x) (1 sin2x) 1 cos2x sin2x 1 2 cos 2x 1
2
1cos 2x x k x k
2 2 42
118. Ñaïi Hoïc Moû Ñòa Chaát naêm 1995
3
3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x
3
3sin3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin9x 3 cos9x 1
1 3 1 1 2 7 2sin9x cos9x sin 9x x k x k
2 2 2 3 2 18 9 54 9
119. Ñaïi Hoïc Moû Ñòa Chaát naêm 1995:
sin5x1
5sin x
sin5x 5sinx (sinx 0) sin5x 5sinx
sin5x sinx 4sinx 2cos3xsin2x 4sinx 4cos3xsinxcosx 4sinx cos3xcosx 1
2
cos4x cos2x 2 2cos 2x cos2x 3 0 cosx 3/ 2 (loaïi) cos2x 1
2
1 cos2x 0 2sin x 0 sinx 0 (loaïi)
Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm .
120. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1995
4cosx 2cos2x cos4x 1
2
4cosx 2cos2x 1 cos4x 4cosx 2cos2x 2cos 2x
2cosx 0
4cosx 2cos2x(1 cos2x) 4cosx 4cos2x cos x
cos2x cosx 1
cosx 0 x k
2
2
cosx 1cosx 1
cos2x 1 2cos x 1 1
cos2x cosx 1 cosx 1 x 2k
cosx 1 cosx 1
(vo â nghieäm)cos2x 1 cos2x 1
121. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông naêm 1995
8 8 217
sin x cos x cos 2x
16
4 4 2 4 4 217
(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x
16
2
2 4 2 21 2 17
1 sin 2x sin 2x cos 2x (*) . Ñaët : t sin 2x 0 t 1
2 16 16
2
2 2 2t 1 (loaïi)t 2 17 1
(*) 1 t (1 t) 2t t 1 0 sin 2x
t 1/ 22 16 16 2
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
43
2
1 2sin 2x 0 cos4x 0 4x k x k
2 8 4
122. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1995
3
2cos x cos2x sinx 0 3 2 2
2cos x 2cos x 1 sinx 0 2cos x(1 cosx) (1 sinx) 0
(1 sinx)(cosx sinx)(cosx sinx 2) 0 (1 sinx)(cosx sinx) 0
sin x 1
x k2 x k
tgx 1 2 4
123. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông TP. Hoà Chí Minh naêm 1997
9sinx 6cosx 3sin2x cos2x 8
2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8
2
2sin x 9sinx 7 6cosx(sinx 1) 0 (sinx 1)(2sinx 7) 6cosx(sinx 1) 0
sin x 1
(sin x 1)(2sin x 6cosx 7) 0 x 2k
2sin x 6cosx 7 (voâ nghieäm) 2
124. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi naêm 1997
5cosx cos2x 2sinx 0
2 2
sin x 0
5cosx cos2x 2sin x
5cosx (2cos 1) 4sin x
2 2 2
sin x 0 sin x 0 sin x 0
cosx 3 (loaïi) cosx 1/ 25cosx (2cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx 3 0
sin x 0 sin x 3 / 2tgx 3 x k
cosx 1/ 2 3cosx 1/ 2
125. Ñaïi Hoïc Toång Hôïp TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D
2
(3 2sin x)cosx (1 cos x)1
1 sin2x
(*)
Ñieàu kieän :sin 2x 1
2 2
(*) 3cosx sin2x 1 cos x 1 sin2x cos x 3cosx 2 0 cosx 1 cosx 2 (loaïi)
cosx 1 (thoûa ñk) x 2k
126. Ñaïi Hoïc Toång Hôïp TP. Hoà Chí Minh naêm 1994
6 6
16(sin x cos x 1) 3sin6x
2 33
16 1 sin 2x 1 3(3sin2x 4sin 2x)
4
3 2 2
4sin 2x 4sin 2x 3sin2x 0 sin2x(4sin 2x 4sin2x 3) 0
2
sin2x(4sin 2x 4sin2x 3) 0 sin2x 0 sin2x 1/ 2 sin2x 3/ 2 (loaïi)
k 5x x k x k
2 12 12
127. Ñaïi Hoïc Taøi Chính – Keá toaùn naêm 1997
(1 tgx)(1 sin2x) 1 tgx (*).
Ñieàu kieän :cosx 0
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
44
2
2(cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x
(*) (cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x
cosx cosx
2 2
cosx sin x 0 tgx 1
x k x k
cos2x 1 4cos x sin x 1
128. Ñaïi Hoïc Xaây Döïng Haø Noäi naêm 1994
6 6
sin x cos x sin2x
2 23
1 sin 2x sin2x 3sin 2x 4sin2x 4 0
4
sin2x 2 (loaïi)
x 2k x 2k
sin2x 2/ 3 sin
129. Trung Hoïc Kinh Teá naêm 2002
cos4x sinx sin7x cos2x
cos4x cos2x sin7x sinx 2cos3xcosx 2sin4xcos3x
cos3x 0 sin 4x cosx sin x
2
130. 2 2(sinx cosx)cosx 3 cos2x
2
2 sin2x 2 2cos x 3 cos2x
2 2 2
2 sin2x ( 2 1)cos2x 3 2 phöông trình voâ nhgieäm vì a b c
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI 1 HÀM LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 22 3 5 0sin x sinx . b) 26 1 0cos x cox
c) 22 2 0cos x cos x d) 2 2 3 2 2 0cot x cot x
Bài 2. Giải phương trình sau:
a) 26 5 7 0cos x sinx b) 2tanx cotx
c) 2 1 0cos x cosx d) 22 3 42
xcos x cosx cos
Bài 3. Giải phương trình sau:
a) 22 2 1 0cos x sin x cosx b) 2 2 12
2cos x cos x
c) 4 4 2sin x cos x cos x d) 2 32 3tan x
cosx
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 2
33 3cotx
sin x b) 34 3 2 8cos x sinx cosx
c) 2 24 2 6 9 3 2
0sin x sin x cos x
cosx
d)
12 2 8 7cos x cosx
cosx
Bài 5. Giải phương trình lượng giác sau:
a) 3( os2x+cot2x)
2(1 sin 2 )cot 2 os2x
cx
x c
b)
2 2
1 30
. . 4sin x cos x sinx cosx
c) 4 | | 2 2 3sinx cos x d) 26 7 0sinx cos x sinx
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
45
Bài 6. Chứng minh rằng phương trình: 2 0cosx mcos x luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 7. Cho phương trình: 2 (2 1) 1 0cos x m cosx m
a) Giải pt khi 3
2m .
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên 3
( ; )2 2
.
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a) 4sinx – 3cosx = 2 b) sinx - 3 cosx = 1
c) 3 sin3x + cos3x = 1 d) sin4x + 3 cos4x = 2
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a) 3sinx + 4cosx = 5 b) cos7 3sin7 2x x
c) 3cos3 sin3 2x x d) 5cos2x – 12cos2x = 13
Bài 10. Giải các phương trình sau:
a) 2
3cos3 + 4sin3x + = 33cos3 + 4sin3x - 6
xx
b) 2sin12x + 3 cos5x + sin5x = 0
c) cos5x – sin3x = 3 (cos3x – sin5x)
Bài 11. Giải các phương trình sau:
a) cosx + 3 sinx = 3 - 3
cosx + 3sinx + 1
b) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x
c) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x
Bài 12. Giải các phương trình sau:
a) cos5x –sin5x = sin7x – cos7x
b) 3 3 2sinx cosx sinx cosx
c) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin
2x
Bài 13. Giải phương trình:
a) 2 22 3 0sin x sinxcosx cos x b) 2 23 4 5 2sin x sinxcosx cos x
c) 2 2 1 0cos x sin x d) 2 22 3 3 2 4 4cos x sin x sin x
Bài 14. Giải các phương trình sau:
a) 3 3 1 0sin x cos x b) 3 2 02 2
x xcos sin
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
46
c) 3 2 4 2 5 0sin x cos x d) 3 22 2
x xsin cos
Bài 15. Giải các phương trình sau:
a) 22 3 3 2 4 0cos x sin x b) 2 94 5 0
2sinxcosx sin x
c) 2 22 3 0cos x sinxcosx sin x d) 23 2 2 1 0cos x sin x
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau:
y = cosx + 2sinx + 3
2cosx - sinx + 4 trong khoảng ( - ; )
Bài 17. Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm.
Bài 18. Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. Các phương trình đưa về pt lượng giác cơ bản
Bài 1: Giải phương trình:
a/. 2cosx-1 2sinx+cosx sin 2x-sinx ; b/.cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
c/. 3 3 3sin xcos3x + cos x sin3x = sin 4x ; d/. sinx+ sin3x sin 2x = cosx+cos3x cos2x
e/.sinx + cosx + 1 + sin2x +cos2x = 0 ; f/. 22sinx + 1 3cos4x+ 2sinx - 4 4cos x = 3
Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:
a/. 1
sin 2x = - 2
với 0 x ; b/. 3
cos x-52
với x
Bài 3: Tìm x thuộc 0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
Một số bài tập thuộc dạng pt bậc 2 đối với một hàm lượng giác
Giải các phương trình:
a/. 2 2cos 3x.cos2x - cos x = 0 ; b/. 25sinx - 2 = 1-sinx .t an x
c/. cosx 2sinx +3 2 2cosx -1
11 sin 2x
; d/. 34cos x +3 2sin 2x = 8cosx
e/.2 24sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x
=0 cosx
; f/. 8 8 217
sin x + cos x = cox 2x16
Một số bài tập thuộc dạng : Asinx + Bcosx = C Giải các phương trình:
a/. 33sin3x 3cos9x = 1+4sin 3x ; b/.
3 18sinx =
cosx sinx /.
9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 ; d/. sin2x + 2cos2x = 1+ sinx - 4cosx