TRƯỜNG CĐSP KON TUM

KHOA TỰ NHIÊN - TIN HỌC NGOẠI NGỮ

...I wake up in the morning so far away from home

...Many miles are between us ...

LỆ NGUYÊN - TRÌNH VĂN DŨNG

ĐỘ ĐO THỰC

VÀ KHOẢNG CÁCH XÁC SUẤT

MTV

2

Mục lục

Trang

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Chương 2. Độ đo thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Khái niệm độ đo thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2.2. Khai triển Haln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Khai triển Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chương 3. Một số kết quả nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Tính duy nhất của khai triển Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chương 4. Khoảng cách xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1. Khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger . . . . . . . .25

4.2. Mối liên hệ giữa khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách

Hellinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

4.4. Các khoảng cách xác suất khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn các kiến thức, thuật

ngữ và kí hiệu cần thiết cho các chương sau.

1.1 Tích phân Lebesgue

Cho không gian độ đo ( X,A,µ), trong đó A là σ-đại số trên X.

Định lý 1.1.1. [DH] Cho f là hàm đo được trên X. Nếu f ≥ 0 trên A, A ∈ A,

A ⊂ X và∫A

fdµ = 0 thì f = 0 hầu khắp nơi trên A.

Định lý 1.1.2. [DH] Giả sử f là một hàm xác định trên X với giá trị trong R

và có tích phân trên X. Xét hàm tập định nghĩa bởi:

λ :A −→ R

A 7−→ λ(A) =

∫A

fdµ

Khi đó hàm tập λ là σ-cộng tính.

Định lý 1.1.3 (Levi). [DH] Cho A ∈ A. Nếu 0 ≤ fn f trên A thì

limn→∞

∫A

fndµ =∫A

fdµ.

Định lý 1.1.4. [DH] Mọi hàm f : [a, b] −→ R khả tích Riemann đều khả tích

3

4

Lebesgue và hai tích phân đó trùng nhau, nghĩa là:

(R)

b∫a

f(x)dx =

b∫a

fdµ.

Định lý 1.1.5. Giả sử µ là một độ đo trên A. Khi đó nếu An ∈ A, An ⊂ An+1,

mọi n ∈ N, và A =∞⋃n=1

An ∈ A thì limn→∞

µ(An) = µ(A).

1.2 Các bất đẳng thức

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Holder). [NL] Cho A một tập con khác ∅ đo

được của X, p, q là hai số thực liên hiệp ( p ≥ 0, q ≥ 0 và 1p

+ 1q

= 1). Giả sử f,

g là hai hàm đo được trên A. Khi đó ta có bất đẳng thức∫A

∣∣fg|dµ ≤ ( ∫A

|f |pdµ) 1p( ∫A

|g|qdµ)1q .

Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Holder.

Định lý 1.2.2 ( Bất đẳng thức Minkowski). [NL] Cho A ∈ A, f, g là hai hàm

số đo được trên A và 1 ≤ p < +∞. Khi đó

( ∫A

∣∣f + g|pdµ) 1p ≤

( ∫A

|f |pdµ) 1p +

( ∫A

|g|pdµ) 1p .

Chương 2

Độ đo thực

2.1 Khái niệm độ đo thực

Định nghĩa 2.1.1. Cho không gian đo được (X, A) trong đó X là tập hợp tùy

ý cho trước, A là một σ-đại số các tập con của X, ánh xạ ϕ : A −→ R được gọi

là một độ đo thực hay độ đo suy rộng (độ đo dấu) nếu nó thỏa mãn điều kiện

sau:

Với mọi dãy An∞n=1 ⊂ A, An ∩ Am = ∅, n 6= m ta có

ϕ( ∞⋃n=1

An

)=∞∑n=1

ϕ(An).

Nhận xét 2.1.2.

(i)Rõ ràng ϕ(∅) = 0.Thật vậy ta hãy xét dãy An∞n=1 trong đó A1 = A2 =

A3 = ... = An = ... = ∅, ta có ϕ(∅) =∞∑n=1

ϕ(∅) ∈ R. Do đó ϕ(∅) = limn→∞

nϕ(∅) ∈

R. Suy ra ϕ(∅) = 0.

(ii)ϕ là một độ đo thực thì ϕ có tính chất cộng tính hữu hạn.

(iii) Nếu A,B ∈ A, A ⊂ B thì ϕ(B \ A) = ϕ(B)− ϕ(A).

(iv) Độ đo xét trước đây có thể không phải là một độ đo thực vì nó có thể

bằng +∞.

Định nghĩa 2.1.3. Một tập E ⊂ X được gọi là dương nếu E ∈ A và nếu mọi

A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không âm. Tương tự tập E ⊂ X được gọi là tập

5

6

âm nếu E ∈ A và nếu mọi A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không dương. Một tập

E ⊂ X đồng thời dương và âm được gọi là tập không.

Mệnh đề 2.1.4. Mọi tập con đo được của một tập con dương của X là một tập

con dương; hợp của một họ đếm được những tập con dương của X là một tập

dương.

Chứng minh. Phần đầu của mệnh đề là hiển nhiên ,để chứng minh phần sau ta

giả sử E =∞⋃n=1

En là dãy những tập con dương của X (Để ý rằng ∅ là một tập

con dương của X).

Giả sử A là một tập con đo được tùy ý của E.Với mỗi n ∈ N ta đặt An =

A∩En ∩ (X \E1)∩ ...∩ (X \En−1) thế thì: An ⊂ En, An ∈ A vì vậy ϕ(An) ≥ 0.

Rõ ràng An ∩ Am = ∅, n 6= m và A =∞⋃n=1

An nên ta có:

ϕ(A) =∞∑n=1

ϕ(An) ≥ 0

điều đó chứng tỏ rằng E là một tập dương.

Bằng cách lập luận tương tự ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.5. Mọi tập con đo được của một tập con âm của X là một tập

âm. Hợp của một họ đếm được những tập con âm của X là một tập âm.

Mệnh đề 2.1.6. Mọi tập con đo được E của X mà ϕ(E) < 0, đều chứa một

tập con âm D với ϕ(D) < 0.

Chứng minh. Nếu E là một tập con âm thì ta lấy D = E và mệnh đề được

chứng minh. Ngược lại E chứa những tập con có độ đo dương. Gọi n1 là số tự

nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập con đo được E1 của E với

ϕ(E1) >1

n1

do đó

ϕ(E \ E1) = ϕ(E)− ϕ(E1) < 0.

7

Nếu E \ E1 là một tập âm thì ta lấy D = E \ E1 và mệnh đề được chứng

minh. Trong trường hợp ngược lại E \E1 chứa các tập con có độ đo dương. Gọi

n2 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập con đo được E2 của E với

ϕ(E2) >1

n2,

ta thấy ϕ(E2) và ϕ(E \ (E1 ∪ E2)) ∈ R nên

ϕ(E \ (E1 ∪ E2)) = ϕ(E)− ϕ(E1)− ϕ(E2) < 0.

Tiếp tục quá trình này ta sẽ được hoặc một tập con âmD của E với ϕ(D) < 0

hoặc một dãy ni∞i=1 những số tự nhiên và một dãy Ei∞i=1 những tập con đo

được rời nhau của E với1

ni< ϕ(Ei), ∀i ∈ N.

Trong trường hợp thứ hai ta đặt D = E \( ∞⋃i=1

Ei) ta có ϕ(E) = ϕ(D) +

ϕ( ∞⋃i=1

Ei) = ϕ(D) +∞∑i=1

ϕ(Ei) > ϕ(D) +∞∑i=1

1ni

vì ϕ(E) ∈ R nên∞∑i=1

1ni

có tổng

hữu hạn, do đó limi→+∞

1ni

= 0.

Ta có

ϕ(D) < ϕ(E)−∞∑i=1

1

ni< 0

chúng ta chứng tỏ D là tập âm.

Giả sử A là một tập con tùy ý, đo được của D. Với mỗi i ∈ N ta có

A ⊂ D ⊂ E \( i−1⋃k=1

Ek)

do cách chọn ni nên ta có

ϕ(A) ≤ 1

ni − 1

điều này đúng với ∀i ∈ N, do 1ni→ 0 khi i → +∞ nên ta phải có ϕ(A) ≤ 0.

Như vậy D là một tập âm, mệnh đề được chứng minh hoàn toàn.

8

2.2 Khai triển Haln

Định lý 2.2.1 (Định lý phân tích Haln). Giả sử ϕ là một độ đo thực trên σ

-đại số A của không gian X. Khi đó tồn tại một tập con dương P và một tập

con âm Q của X đối với ϕ sao cho

X = P ∪Q;P ∩Q = ∅

Chứng minh. Ta xem F là họ tất cả các tập con âm của X và đặt λ = infE∈F

ϕ(E).

Khi đó tồn tại dãy En∞n=1 ⊂ F sao cho limn→+∞

ϕ(En) = λ.

Gọi Q =∞⋃n=1

En theo mệnh đề trên thì Q là một tập con âm của X vì vậy

ta có ϕ(Q) ≥ λ. Mặt khác xem tập con Q \ En của Q, vì Q là tập âm nên

ϕ(Q \ En) ≤ 0 do đó

ϕ(Q) = ϕ(En) + ϕ(Q \ En) ≤ ϕ(En),

điều này đúng với mọi n ∈ N nên ta phải có ϕ(Q) ≤ λ. Vậy ϕ(Q) = λ ≤ 0.

Ta hãy chứng minh P = X \ Q là tập dương. Giả sử P không phải là tập

dương, khi đó theo định nghĩa tồn tại một tập con đo được E của P với ϕ(E) < 0

suy ra E chứa một tập con âm D của X với ϕ(D) < 0, vì D và Q là những tập

con âm rời nhau của X nên D ∪Q là một tập âm hơn nữa

λ ≤ ϕ(D ∪Q) = ϕ(D) + ϕ(Q) = ϕ(D) + λ,

thành thử ϕ(D) ≥ 0 mâu thuẫn với điều kiện ϕ(D) < 0. Do đó ta có điều phải

chứng minh.

Nhận xét 2.2.2. Cặp P,Q trong định lý trên được gọi là một khai triển

Haln của X đối với độ đo thực, dễ dàng thấy rằng khai triển Haln nói chung

không phải là duy nhất vì ta có thể chuyển một tập con không, không rỗng từ

thành phần này sang thành phần kia mà không ảnh hưởng đến sự phân tích.

Chẳng hạn giả sử A là tập con không của P khi đó ta có

(P \ A) ∪ (P ∪Q) = X; (P \ A) ∩ (A ∪Q) = ∅

9

và

ϕ(P \ A) = ϕ(P ) + ϕ(A) = ϕ(P ) ≥ 0

ϕ(Q ∪ A) = ϕ(A) + ϕ(Q) = ϕ(Q) ≤ 0.

Hơn nữa với mọi B ∈ A, B ⊂ (P \ A) thì B ⊂ P do đó ϕ(B) ≥ 0 (P là tập

dương).

Với mọi B ∈ A, B ⊂ (A ∪Q) thì B = B ∩ (A ∪Q) = (B ∩ A) ∪ (B ∩Q) do

đó

ϕ(B) = ϕ(B ∩ A) = ϕ(B ∩Q) = ϕ(B ∩ A) ≤ 0.

Như vậy khai triển Haln nói chung là không duy nhất, tuy nhiên sự phân

tích ấy là hầu duy nhất theo nghĩa của định lý sau:

Định lý 2.2.3. Giả sử P,Q và P ′, Q′ là hai phân tích Haln của X đối với

cùng một độ đo thực ϕ : A −→ R. Khi đó ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P′);ϕ(E ∩Q) = ϕ(E ∩Q

′)

với ∀E ∈ A.

Chứng minh. Ta có

E ∩ (P \ P′) ⊂ E ∩ P (2.1)

E ∩ (P \ P′) ⊂ E ∩ (X \ P

′). (2.2)

Từ (2.1) suy ra

ϕ(E ∩ (P \ P′)) ≥ 0,

từ (2.2) suy ra

ϕ(E ∩ (P \ P′)) ≤ 0.

Do đó ϕ(E ∩ (P \ P ′)) = 0 tương tự ϕ(E ∩ (P′ \ P )) = 0 Từ đây ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕE ∩ (P ∩ P′)+ ϕE ∩ (P \ P

′) = ϕE ∩ (P ∩ P

′)

ϕ(E ∩ P′) = ϕE ∩ (P ∩ P

′)+ ϕE ∩ (P

′\ P ) = ϕE ∩ (P ∩ P

′).

10

Như vậy ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P′)

tương tự ta củng có được

ϕ(E ∩Q) = ϕ(E ∩Q′).

Ta đi xây dựng các hàm sau:

Định nghĩa 2.2.4. Với một độ đo thực ϕ : A −→ R tùy ý, từ khai triển

Haln và định lý trên ta xây dựng được ba hàm xác định một cách duy nhất

ϕ+, ϕ−, |ϕ| : A −→ R như sau:

Giả sử P,Q là một khai triển Haln của X đối với ϕ, các hàm ấy được định

nghĩa bởi:

ϕ+(E) = ϕ(E ∩ P )

ϕ−(E) = −ϕ(E ∩Q)

|ϕ|(E) = ϕ+(E) + ϕ−(E)

với mọi E ⊂ X,E ∈ A.

Nhận xét 2.2.5. Theo cách định nghĩa trên thì rõ ràng ϕ+, ϕ−, |ϕ| là những

hàm không âm tức là ϕ+(A) ≥ 0; ϕ−(A) ≥ 0; |ϕ|(A) ≥ 0 với ∀A ∈ A.

Ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng ϕ+, ϕ−, |ϕ| là những độ đo hữu hạn (theo

nghĩa thường) trên σ-đại số A. Chẳng hạn ta đi chứng tỏ ϕ+ là một độ đo trên

A.

Ta có

ϕ+(A) = ϕ(A ∩ P ) ≥ 0, ∀A ∈ A

ϕ+(∅) = ϕ(∅ ∩ P ) = ϕ(∅) = 0.

11

Xét dãy Ei∞i=1 ⊂ A, En ∩Em = ∅, n 6= m đặt E =∞⋃n=1

En, khi đó E ∈ A và

ϕ+(E) = ϕ(E ∩ P ) = ϕ(∞⋃n=1

En) ∩ P

= ϕ∞⋃n=1

(En ∩ P ) =∞∑n=1

ϕ(En ∩ P )

=∞∑n=1

ϕ+(En),

do đó ϕ+ là một độ đo trên σ - đại số A, tương tự như vậy ta dễ dàng chứng

minh được ϕ−, |ϕ| là các độ đo trên A.

Để ý rằng ϕ(E) = ϕE∩ (P ∪Q) = ϕ(E∩P )+ϕ(E∩Q) = ϕ+(E)−ϕ−(E)

với ∀E ∈ A.

Như vậy

ϕ = ϕ+ − ϕ−

hay là

ϕ(E) = ϕ+(E)− ϕ−(E), ∀E ∈ A.

Định nghĩa 2.2.6. Cho ϕ là một độ đo thực trên A. Ta nói rằng độ đo ϕ tập

trung trên tập A0 ∈ A nếu ϕ(E) = 0 với ∀E ∈ A, E ⊂ (X \ A0).

Hai độ đo thực ϕ1,ϕ2 được gọi là kì dị đối với nhau nếu chúng tập trung trên

các tập rời nhau. Khi đó ta viết ϕ1⊥ϕ2.

2.3 Khai triển Jordan

Định lý 2.3.1. Cho ϕ là một độ đo thực trên A và A ∈ A .Ta đặt V (ϕ,A) =

V (ϕ,A) + |V (ϕ,A)| trong đó

V (ϕ,A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

V (ϕ,A) = infA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

khi đó

V (ϕ,X) < +∞.

12

Chứng minh. Giả sử ngược lại V (ϕ,X) = +∞, khi đó bằng quy nạp ta chứng

minh được rằng tồn tại một dãy An∞n=1 ⊂ A sao cho V (ϕ,An) = +∞;

|ϕ(An)| ≥ n− 1.

Thật vậy với n = 1 lấy A1 = X ta có V (ϕ,A1) = V (ϕ,X) = +∞; |ϕ(A1)| =

|ϕ(X)| ≥ 1− 1 = 0.

Giả sử A1, A2, A3, ... , Ak, đã được xác định sao cho các tập hợp này

thỏa mãn điều kiện đã nêu. Vì V (ϕ,Ak) = +∞ nên V (ϕ,Ak) = +∞ hoặc

|V (ϕ,Ak)| = +∞, do đó tồn tại A ∈ A sao cho A ⊂ Ak và |ϕ(A)| ≥ |ϕ(Ak)|+k.

Nếu V (ϕ,A) = +∞ ta đặt Ak+1 = A ngược lại nếu V (ϕ,A) < +∞ ta đặt

Ak+1 = Ak \ A.

Khi đó ta có V (ϕ,Ak \A) = +∞ thật vậy nếu ngược lại V (ϕ,Ak \A) < +∞

thì ta có

V (ϕ,Ak) = supB1⊂Ak,B1∈A

ϕ(B1) = supB1⊂Ak,B1∈A

ϕB1 ∩(A ∪ (Ak \ A)

)

= supB1⊂Ak,B1∈A

ϕ(B1 ∩ A) + ϕ(B1 ∩ (Ak \ A)

)

≤ supB1⊂Ak,B1∈A

ϕ(B1 ∩ A) + supB1⊂Ak,B1∈A

ϕ(B1 ∩ (Ak \ A)

)≤ sup

C⊂Ak,C∈Aϕ(C) + sup

C⊂Ak\A,C∈Aϕ(C)

= V (ϕ,A) + V (ϕ,Ak \ A) < +∞,

tương tự |V (ϕ,Ak)| < +∞ (để ý rằng − infB⊂Ak,B∈A

ϕ(B) = supB⊂Ak,B∈A

(− ϕ(B)

)), cho nên V (ϕ,Ak) < +∞, mâu thuẫn với tính chất của tập Ak, do đó

V (ϕ,Ak+1) = V (ϕ,Ak+1 \ A) = +∞ và ta có

|ϕ(Ak+1)| = |ϕ(Ak \ A)| = |ϕ(Ak)− ϕ(A)| ≥ |ϕ(A)| − |ϕ(Ak)|

≥ |ϕ(Ak)|+ k − |ϕ(Ak)| = k = (k + 1)− 1.

Như vậy ta đã xác định được dãy An∞n=1 có các tính chất đã nêu, hơn nữa

vì dãy An∞n=1 giảm nên ta có

X \( ∞⋂n=1

An

)=∞⋃n=1

(X \ An

)= (X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An \ An+1) ∪ ...

13

Thật vậy rõ ràng

(X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An \ An+1) ∪ ... ⊂∞⋃n=1

(X \ An

).

Với mỗi x ∈∞⋃n=1

(X \An

)thì có n0 ∈ N sao cho x ∈ X \An0 mặt khác ta có

(X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An0−1 \ An0) =

= Ac1 ∪ (A1 ∩ Ac

2) ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Acn0

)

= (Ac1 ∪ Ac

2) ∪ (A2 ∩ Ac3) ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Ac

n0)

= (A1 ∩ A2)c ∪ (A2 ∩ Ac

3) ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Acn0

)

= Ac2 ∪ (A2 ∩ Ac

3) ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Acn0

)

= Ac3 ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Ac

n0)

= ...

= Acn0

= X \ An0.

do đó

x ∈ (X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An \ An+1) ∪ ...

Như vậy

X \( ∞⋂n=1

An

)= (X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An \ An+1) ∪ ...

từ tính σ-cộng tính của ϕ ta suy ra

ϕ(X \

( ∞⋂n=1

An

))= ϕ(X \ A1) + ϕ(A1 \ A2) + ϕ(A2 \ A3) + ...

=(ϕ(X)− ϕ(A1)

)+(ϕ(A1)− ϕ(A2)

)+ ...

= ϕ(X)− ϕ(A1)−∞∑n=2

(ϕ(An)− ϕ(An−1)

)= ϕ(X)− ϕ(A1)− lim

n→∞ϕ(An) =

[+∞−∞

điều này mâu thuẫn với ϕ(A) < +∞ với ∀A ∈ A. Định lý được chứng minh

hoàn toàn.

14

Nhận xét 2.3.2. Số V (ϕ,A) được gọi là biến phân toàn phần của ϕ trên A,

còn V (ϕ,A), V (ϕ,A) tương ứng là biến phân dương và biến phân âm của ϕ

trên A. Ta thấy rằng V (ϕ,A) ≥ 0 ≥ V (ϕ,A), V (ϕ,A) ≥ 0.

Định lý 2.3.3 (Khai triển Jordan). Giả sử ϕ là một độ đo thực, khi đó biến

phân toàn phần V (ϕ,A), biến phân dương V (ϕ,A) và biến phân âm V (ϕ,A) là

σ - cộng tính trên A. Ngoài ra ta có khai triển Jordan như sau:

ϕ(A) = V (ϕ,A) + V (ϕ,A), ∀A ∈ A (∗).

Chứng minh. Giả sử An∞n=1 ⊂ A là dãy các tập rời nhau từng đôi một. Với

bất kỳ tập A ∈ A sao cho A ⊂∞⋃n=1

(An

)ta có

ϕ(A) = ϕA ∩( ∞⋃n=1

An

) = ϕ

∞⋃n=1

(A ∩ An)

=∞∑n=1

ϕ(A ∩ An) ≤∞∑n=1

V (ϕ,An),

do đó

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)= sup

A⊂∞⋃n=1

An,A∈A

ϕ(A) ≤∞∑n=1

V (ϕ,An).

Mặt khác với ε > 0 cho trước, với mỗi n tồn tại Cn ∈ A , Cn ⊂ An sao cho

ϕ(Cn) > V (ϕ,An) − ε2n. Khi đó

∞⋃n=1

Cn ∈ A ;∞⋃n=1

Cn ⊂∞⋃n=1

An, các tập Cn rời

nhau từng đôi một và ta có

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)= sup

A⊂∞⋃n=1

An,A∈A

ϕ(A) ≥ ϕ( ∞⋃n=1

Cn)

=∞∑n=1

ϕ(Cn) ≥∞∑n=1

V (ϕ,An)− ε

2n

=∞∑n=1

V (ϕ,An)− ε.

Vì ε > 0 là tùy ý nên

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)≥∞∑n=1

V (ϕ,An).

15

Như vậy

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)=∞∑n=1

V (ϕ,An). (2.3)

Đối với bất kỳ tập A ∈ A sao cho A ⊂∞⋃n=1

An ta có

ϕ(A) = ϕA ∩( ∞⋃n=1

An

) = ϕ

∞⋃n=1

(A ∩ An)

=∞∑n=1

ϕ(A ∩ An) ≥∞∑n=1

V (ϕ,An),

do đó

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)= inf

A⊂∞⋃n=1

An,A∈Aϕ(A) ≥

∞∑n=1

V (ϕ,An).

Mặt khác với ε > 0 cho trước, với mỗi n tồn tại Cn ∈ A, Cn ⊂ An sao cho

V (ϕ,An)+ ε2n> ϕ(Cn) Khi đó

∞⋃n=1

Cn ∈ A;∞⋃n=1

Cn ⊂∞⋃n=1

An, các tập Cn rời nhau

từng đôi một và ta có

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)= inf

A⊂∞⋃n=1

An,A∈Aϕ(A) ≤ ϕ

( ∞⋃n=1

Cn)

=∞∑n=1

ϕ(Cn) ≤∞∑n=1

V (ϕ,An) +ε

2n

=∞∑n=1

V (ϕ,An) + ε.

Vì ε > 0 là tùy ý nên

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)≤∞∑n=1

V (ϕ,An).

Như vậy

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)=∞∑n=1

V (ϕ,An). (2.4)

16

Theo định lý 2.3.1 thì V (ϕ,X) < +∞ nên 0 ≤ V (ϕ,X) < +∞ và 0 ≥

V (ϕ,X) > −∞. Với mọi A ⊂ X ta có

0 ≤ V (ϕ,A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1) ≤ supA1⊂X,A1∈A

ϕ(A1)

= V (ϕ,X) < +∞

và

0 ≥ V (ϕ,A) = infA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1) ≥ infA1⊂X,A1∈A

ϕ(A1)

= V (ϕ,X) > −∞.

Do đó hai chuỗi ở vế phải (2.3) và (2.4) hội tụ, vì vậy ta có

V(ϕ,∞⋃n=1

An

)= V

(ϕ,∞⋃n=1

An

)+ |V

(ϕ,∞⋃n=1

An

)|

=∞∑n=1

V (ϕ,An) + |∞∑n=1

V (ϕ,An)|

=∞∑n=1

V (ϕ,An) +∞∑n=1

|V (ϕ,An)|

=∞∑n=1

V (ϕ,An) + |V (ϕ,An)|

=∞∑n=1

V (ϕ,An).

Vậy V (ϕ,A) có tính σ - cộng tính.

Để chứng minh khai triển (∗) ta chú ý rằng đối với bất kỳ tập C ∈ A sao

cho C ⊂ A ta có bất đẳng thức

ϕ(C) = ϕ(A)− ϕ(A \ C) ≤ ϕ(A)− V (ϕ,A)

do đó

V (ϕ,A) ≤ ϕ(A)− V (ϕ,A).

Tương tự ta có

ϕ(C) = ϕ(A)− ϕ(A \ C) ≥ ϕ(A)− V (ϕ,A)

17

do đó

V (ϕ,A) ≤ ϕ(A)− V (ϕ,A).

Vậy

ϕ(A) = V (ϕ,A) + V (ϕ,A).

Định nghĩa 2.3.4. Giả sử (X,A) là một không gian đo được, µ, ν là hai độ

đo thực trên σ -đại số A, ta nói µ liên tục tuyệt đối đối với ν nếu µ(E) = 0 với

mọi tập E đo được thỏa mãn điều kiện |ν|(E) = 0, khi đó ta viết µ << ν.

Nhận xét 2.3.5.

(i) Nếu µ là một độ đo thực và f là hàm khả tích đối với độ đo |µ| và nếu ν

được định nghĩa ν(E) =∫E

fd|µ| với mọi E ∈ A thì ν << µ.

(ii) Nếu µ, ν là hai độ đo trên σ -đại số A thì µ << µ+ ν.

(iii) Giả sử µ, ν, m là các độ đo trên σ -đại số A. Nếu µ << ν và ν << m

thì µ << m.

Định lý 2.3.6 ( Định lý Random - Nikodym). Nếu độ đo m : A −→ R của

không gian (X, A) là σ-hữu hạn trên A, ϕ là một độ đo dương hữu hạn ϕ << m

thì tồn tại một hàm đo được không âm f : X −→ R sao cho

ϕ(E) =

∫E

fdm

với mọi E ∈ A. Hàm f là hầu duy nhất theo nghĩa nếu g là hàm đo được, không

âm với tính chất trên thì f ∼ g đối với m (f = g hầu chắc chắn).

Hàm f được gọi là hàm mật độ của độ đo ϕ đối với độ đo m.Ta thường kí

hiệu dϕdm

= f hay dϕ = fdm.

Định nghĩa 2.3.7. Nếu µ là một độ đo thực và f là một hàm đo được sao cho

f khả tích đối với |µ| thì chúng ta định nghĩa:∫E

fdµ :=

∫E

fdµ+ −∫E

fdµ− với mọi E ∈ A.

Chương 3

Một số kết quả nhận được

3.1 Tính duy nhất của khai triển Jordan

Mệnh đề 3.1.1. Hai độ đo hữu hạn ϕ1, ϕ2 : A −→ R là kỳ dị đối với nhau khi

và chỉ khi tồn tại một tập con đo được E của X sao cho ϕ1(E) = 0 = ϕ2(X \E).

Chứng minh. Giả sử tồn tại một tập con đo được E của X sao cho ϕ1(E) = 0 =

ϕ2(X \E) khi đó E và X \E là hai tập rời nhau và hơn nữa với ∀A ⊂ E,A ∈ A

ta có ϕ1(A) = 0; với ∀A ⊂ X \E,A ∈ A ta có ϕ2(A) = 0. Do vậy ϕ1 tập trung

trên X \ E và ϕ2 tập trung trên E, chứng tỏ ϕ1⊥ϕ2.

Ngược lại: Giả sử ϕ1⊥ϕ2 khi đó có D, E ∈ A, D ∩ E = ∅ sao cho ϕ1 tập

trung trên D, ϕ2 tập trung trên E. Vì ϕ2 tập trung trên E nên ϕ2(X \E) = 0,

ta có D∩E = ∅ nên E ⊂ X \E. Vì ϕ1 tập trung trên D nên từ điều trên suy ra

ϕ1(E) = 0. Như vậy tồn tại E ∈ A, E ⊂ X sao cho ϕ1(E) = 0 = ϕ2(X \ E) =

0.

Nhận xét 3.1.2.

(i) ϕ+, ϕ− là kỳ dị đối với nhau, thật vậy ta có ϕ+(Q) = ϕ(Q ∩ P ) = 0,

ϕ−(P ) = ϕ(P ∩Q) = 0. (Trong đó P,Q là một khai triển Haln )

(ii) Nếu ϕ là một độ đo thực và ϕ = ϕ1 − ϕ2 trong đó ϕ1, ϕ2 là hai độ đo và

ϕ1, ϕ2 kỳ dị đối với nhau thì ϕ1 = ϕ+, ϕ2 = ϕ−.

Theo phép chứng minh của Sze-Tsen Hu - Cơ sở giải tích toán học 1978

18

19

Vì ϕ1, ϕ2 kỳ dị đối với nhau nên có Q ∈ A, Q ⊂ X sao cho ϕ1(Q) = 0 =

ϕ2(X \ Q) . Đặt P = X \ Q ta có , với ∀B ∈ A, B ⊂ X thì ϕ(B) = ϕ1(B) −

ϕ2(B) = −ϕ2(B) ≤ 0 do đó Q là tập âm đối với ϕ, tương tự P là tập dương đối

với ϕ, thành thử P,Q là một khai triển Haln.Với mọi E ∈ A ta có

ϕ1(E) = ϕ1

(E ∩ (P ∪Q)

)= ϕ1(E ∩ P ) + ϕ1(E ∩Q) = ϕ1(E ∩ P )

= ϕ1(E ∩ P )− ϕ2(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P ) = ϕ+(E)

ϕ2(E) = ϕ2

(E ∩ (P ∪Q)

)= ϕ2(E ∩ P ) + ϕ2(E ∩Q) = ϕ2(E ∩Q)

= ϕ2(E ∩Q)− ϕ1(E ∩Q) = −ϕ(E ∩Q) = ϕ−(E),

do đó

ϕ1 = ϕ+, ϕ2 = ϕ−

(iii)Nếu ϕ là một độ đo thực và E ∈ A thì |ϕ|(E) = 0 khi và chỉ khi ϕ(F ) = 0

với mọi F ⊂ E,F ∈ A

Mệnh đề 3.1.3.

ϕ+(A) = V (ϕ,A), ϕ−(A) = |V (ϕ,A)|.

Chứng minh. Theo định lý khai triển Jordan thì V (ϕ,A), V (ϕ,A) có tính σ -

cộng tính, hơn nữa V (ϕ, ∅) = 0, V (ϕ, ∅) = 0 và V (ϕ,A) ≥ 0, |V (ϕ,A)| ≥ 0 với

mọi A ∈ A nên V (ϕ,A), |V (ϕ,A)| là hai độ đo trên σ- đại số A.Ta có

ϕ(A) = V (ϕ,A)− |V (ϕ,A)|

= ϕ+(A)− ϕ−(A)

do đó để chứng minh

ϕ+(A) = V (ϕ,A)

ϕ−(A) = |V (ϕ,A)|

20

ta chỉ cần chứng tỏ V (ϕ,A) và |V (ϕ,A)| kỳ dị đối với nhau.

Với mỗi số nguyên dương n tồn tại Bn sao cho ϕ(Bn) ≥ V (ϕ,X) − 12n. Khi

đó từ hệ thức ϕ(Bn) = V (ϕ,Bn) + V (ϕ,Bn) ta suy ra

V (ϕ,Bn) = ϕ(Bn)− V (ϕ,Bn)

≥ ϕ(Bn)− V (ϕ,X) ≥ − 1

2n(3.1)

và

V (ϕ,X \Bn) = V (ϕ,X)− V (ϕ,Bn)

≤ V (ϕ,X)− ϕ(Bn) ≤ 1

2n. (3.2)

Đặt P =∞⋃k=1

∞⋂n=k

Bn khi đó

X \ P =∞⋂k=1

∞⋃n=k

(X \Bn) ⊂∞⋃n=k

(X \Bn

)với mọi k ∈ N. Vì V (ϕ,B) là một độ đo nên

V (ϕ,X \ P ) ≤ V(ϕ,

∞⋃n=k

(X \Bn))≤∞∑n=k

V (ϕ,X \Bn)

≤∞∑n=k

1

2n= 2−(k−1) ∀k ∈ N.

Suy ra

V (ϕ,X \ P ) = 0

Mặt khác từ (3.1) ta có |V (ϕ,Bn)| ≤ 12n, vì

∞⋂k=1

Bn(k = 1, 2, ...) lập thành

một dãy tăng và |V (ϕ,B)| là một độ đo nên ta có

|V (ϕ, P )| = limk→+∞

|V (ϕ,∞⋂n=k

)| ≤ limk→+∞

|V (ϕ,Bk)| ≤ limk→+∞

1

2k= 0

do đó |V (ϕ, P )| = 0. Như vậy

ϕ+(A) = V (ϕ,A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

ϕ−(A) = |V (ϕ,A)| = − infA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1).

21

Từ đây ta có thể gọi một khai triển Jordan của một độ đo thực ϕ : A −→ R

là một cặp ϕ1, ϕ2 gồm hai độ đo ϕ1, ϕ2 kỳ dị đối với nhau và thỏa mãn

ϕ = ϕ1 − ϕ2.

Chú ý rằng ta đã có

|ϕ|(A) = ϕ+(A) + ϕ−(A)

= V (ϕ,A) + |V (ϕ,A)| = V (ϕ,A).

Nhận xét 3.1.4.

(1) Trên đây ta đã chứng minh được:

ϕ+(A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

ϕ−(A) = − infA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

với mọi A ∈ A bằng cách dựa vào định lý khai triển Jordan. Dưới đây ta có

một cách chứng minh khác, trực tiếp và đơn giản hơn.

Chứng minh. Do ϕ là một độ đo suy rộng trên σ- đại số A nên tồn tại tập dương

P và tập âm Q con của X đối với ϕ sao cho

P ∪Q = X , P ∩Q = ∅.

(i) Với E ∈ A, khi đó với mọi F ∈ A, F ⊂ E ta có

ϕ(F ) = ϕ+(F )− ϕ−(F ) ≤ ϕ+(F ) ≤ ϕ+(E)

do đó

supF⊂E,F∈A

ϕ(F ) ≤ ϕ+(E).

Hơn nữa ta có E ∩ P ⊂ E mà ϕ+(E) = ϕ(E ∩ P ) nên kết hợp với điều trên ta

suy ra

supF⊂E,F∈A

ϕ(F ) = ϕ+(E).

(ii)Với E ∈ A, khi đó với mọi F ∈ A, F ⊂ E ta có

ϕ(F ) = ϕ+(F )− ϕ−(F ) ≥ −ϕ−(F ) ≥ −ϕ−(E)

22

do đó

infF⊂E,F∈A

ϕ(F ) ≥ −ϕ−(E).

Hơn nữa ta có E ∩ Q ⊂ E mà −ϕ−(E) = ϕ(E ∩ Q) nên kết hợp với điều trên

ta suy ra

ϕ−(E) = − infF⊂E,F∈A

ϕ(F ).

(2) Cho ϕ : A −→ R là một độ đo thực thì ta luôn có

−ϕ−(E) ≤ ϕ(E) ≤ ϕ+(E) ; |ϕ(E)| ≤ |ϕ|(E)

với mọi E ∈ A.

3.2 Một số kết quả khác

Mệnh đề 3.2.1. Một phân hoạch đo được của một tập hợp E ∈ A là một họ

hữu hạn γ = E1, E2, ..., En gồm những phần tử rời nhau thuộc A sao cho

E = E1∪E2∪ ...∪En.Gọi Ω(E) là tập hợp tất cả các phân hoạch đo được của E

với ϕ : A −→ R là một độ đo thực tùy ý ta xác định một hàm λ : Ω(E) −→ R

như sau:

λ(γ) =n∑i=1

|ϕ(Ei)|

với mọi γ = E1, E2, ..., En ∈ Ω(E) . Lúc đó ta có

|ϕ|(E) = supλ(γ)|γ ∈ Ω(E).

Chứng minh. Với mọi E ∈ A , với γ ∈ Ω(E) bất k, γ = E1, E2, ..., En ∈ Ω(E)

ta có

λ(γ) =n∑i=1

|ϕ(Ei)| ≤n∑i=1

|ϕ|(Ei) =

= |ϕ|(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = |ϕ|(E).

23

Suy ra

supλ(γ)|γ ∈ Ω(E) ≤ |ϕ|(E).

Do ϕ là một độ đo suy rộng trên σ- đại số A nên tồn tại tập dương P và tập

âm Q con của X đối với ϕ sao cho

P ∪Q = X , P ∩Q = ∅.

Ta có

|ϕ|(E) = ϕ+(E) + ϕ−(E)

= ϕ(E ∩ P )− ϕ(E ∩Q)

= |ϕ(E ∩ P )|+ |ϕ(E ∩Q)|.

Rõ ràng E ∩ P,E ∩Q ∈ Ω(E), từ đó suy ra

|ϕ|(E) = supλ(γ)|γ ∈ Ω(E).

Mệnh đề 3.2.2. Giả sử (X,A,m) là một không gian độ đo f : X −→ R là một

hàm khả tích.Ta xác định một hàm ν : A −→ R bằng cách đặt

ν(E) =

∫E

fdm,∀E ∈ A.

Khi đó ν là một độ đo thực trên A. Hơn nữa nếu đặt f+ := maxf, 0; f− :=

−minf, 0 thì

ν+(E) =

∫E

f+dm, ν−(E) =

∫E

f−dm, |ν|(E) =

∫E

|f |dm

với mọi E ∈ A.

Chứng minh. Theo định lý (1.1.2) ta có ν là σ-cộng tính, hơn nữa f khả tích

nên |ν(E)| =∣∣ ∫E

fdm∣∣ < +∞ do đó ν là một độ đo thực trên A.

24

Ta có

ν(E) = ν+(E)− ν−(E)

ν(E) =

∫E

f+dm−∫E

f−dm

với mọi E ∈ A, E ⊂ X. Rõ ràng ϕ1(E) =∫E

f+dm, ϕ2(E) =∫E

f−dm là hai độ

đo. Đặt A = x ∈ X|f(x) ≥ 0 khi đó A ∈ A và

ϕ2(A) =

∫A

f−dm = 0 =

∫X\A

f+dm = ϕ1(X \ A),

do đó ϕ1, ϕ2 là hai độ đo kỳ dị đối với nhau, điều đó chứng tỏ

ϕ1(E) = ν+(E) , ϕ2(E) = ν−(E).

Vì vậy

|ν|(E) = ν+(E) + ν−(E)

=

∫E

f+dm+

∫E

f−dm

=

∫E

|f |dm,

dễ thấy ν+ , ν− , |ν| là những độ đo hữu hạn.

Chương 4

Khoảng cách xác suất

4.1 Khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng

cách Hellinger

Trong chương này ta ký hiệu Ω là không gian độ đo với σ- đại số A,M là tập

tất cả các độ đo xác suất trên (Ω,A) .

4.1.1 Khoảng cách biến phân toàn phần

Định nghĩa 4.1.1. Gọi µ và ν là hai độ đo xác suất trên Ω, khi đó khoảng cách

biến phân toàn phần được định nghĩa như sau:

dTV (µ, ν) := supA∈A|µ(A)− ν(A)|

*.Kiểm tra dTV là một mêtric ( khoảng cách )

Chứng minh.

(i) Ta có dTV (µ, ν) = supA∈A|µ(A)−ν(A)| ≥ 0 với mọi µ, ν ∈M; và dTV (µ, ν) =

0 ⇔ µ(A) = ν(A) với mọi A ⊂ Ω, A ∈ A ⇔ µ = ν.

(ii) Với mọi µ, ν ∈M thì dTV (µ, ν) = dTV (ν, µ).

(iii) Với mọi µ, ν, τ ∈M thì ta có

|µ(A)− ν(A)| ≤ |µ(A)− τ(A)|+ |τ(A)− ν(A)|

25

26

do đó

supA∈A|µ(A)− ν(A)| ≤ sup

A∈A|µ(A)− τ(A)|+ |τ(A)− ν(A)|

≤ supA∈A|µ(A)− τ(A)|+ sup

A∈A|τ(A)− ν(A)|.

Tức là

dTV (µ, ν) ≤ dTV (µ, τ) + dTV (τ, ν).

Như vậy dTV là một mêtric, mêtric này có giá trị nằm trong đoạn [0, 1].

Biến phân toàn phần của một độ đo thực ϕ trên một σ- đại số A những tập

con của Ω được định nghĩa là số V (ϕ,Ω). Theo những kết quả trước ta đã biết

V (ϕ,Ω) = |ϕ|(Ω) = supg

k∑i=1

|ϕ(Ai|

trong đó g : Ω =k⋃i=1

Ai là phân hoạch đo được của Ω.

Giả sử ϕ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo λ nào đó, gọi f là hàm mật độ

của độ đo ϕ đối với độ đo λ (ϕ << λ) khi đó

ϕ(A) =

∫A

fdλ với mọi A ∈ A,

do vậy

|ϕ|(Ω) = V (ϕ,Ω) =

∫Ω

|f |dλ.

Dễ thấy với µ, ν là hai độ đo xác suất trên Ω, lúc đó sẽ tồn tại ít nhất một

độ đo λ sao cho µ << λ và ν << λ,thí dụ ta có thể lấy λ = µ+ν2.

Mệnh đề 4.1.2. Giả sử λ là độ đo thỏa mãn µ << λ và ν << λ, lúc đó nếu

gọi p, q lần lượt là hàm mật độ của độ đo xác suất µ, ν đối với độ đo λ thì

dTV (µ, ν) =1

2

∫Ω

|p− q|dλ.

27

Chứng minh. Ta có

µ(Ω) =

∫Ω

pdλ , ν(Ω) =

∫Ω

qdλ

do đó

(µ− ν)(Ω) =

∫Ω

(p− q)dλ.

Suy ra

V (µ− ν,Ω) = |µ− ν|(Ω) =

∫Ω

|p− q|dλ

= (µ− ν)+(Ω) + (µ− ν)−(Ω)

=

∫Ω

(p− q)+dλ+

∫Ω

(p− q)−dλ.

Hơn nữa ta lại có∫Ω

(p− q)+dλ−∫Ω

(p− q)−dλ = (µ− ν)+(Ω)− (µ− ν)−(Ω)

= (µ− ν)(Ω) =

∫Ω

(p− q)dλ =

∫Ω

pdλ−∫Ω

qdλ

= µ(Ω)− ν(Ω) = 0

Suy ra ∫Ω

(p− q)+dλ =

∫Ω

(p− q)−dλ,

do đó

V (µ− ν,Ω) = |µ− ν|(Ω) =

∫Ω

|p− q|dλ

= 2

∫Ω

(p− q)+dλ = 2

∫Ω

(p− q)−dλ.

Vì (q − p)+ = (p− q)− cho nên∫Ω

(q − p)+dλ =∫Ω

(p− q)−dλ, do đó

V (µ− ν,Ω) = |µ− ν|(Ω) =

∫Ω

|p− q|dλ

= 2

∫Ω

(p− q)−dλ = 2

∫Ω

(q − p)+dλ.

28

Ta đã có

(µ− ν)+(Ω) =

∫Ω

(p− q)+dλ = supA∈A

((µ− ν)(A)

)= sup

A∈A

(µ(A)− ν(A)

)và

(ν − µ)+(Ω) =

∫Ω

(q − p)+dλ = supA∈A

((ν − µ)(A)

)= sup

A∈A

(ν(A)− µ(A)

),

do đó

V (µ− ν,Ω) = |µ− ν|(Ω) =

∫Ω

|p− q|dλ = 2 supA∈A

∣∣µ(A)− ν(A)∣∣.

Như vậy

dTV (µ, ν) = supA∈A

∣∣µ(A)− ν(A)∣∣

=1

2

∫Ω

|p− q|dλ.

Nhận xét 4.1.3.

(i) Giá trị dTV (µ, ν) không phụ thuộc vào cách chọn độ đo λ như trên.

(ii) Ta để ý rằng 2 dTV (µ, ν) chính bằng khoảng cách giữa p và q trong không

gian định chuẩn L1(Ω, λ)(‖p− q‖1).

Phép chứng minh ở trên cho ta một kết quả thú vị sau:

Mệnh đề 4.1.4.

dTV (µ, ν) =1

2supg

k∑i=1

|µ(Ai)− ν(Ai)|

trong đó g : Ω =k⋃i=1

Ai là phân hoạch đo được của Ω.

29

Chứng minh. Điều này có được vì

V (µ− ν,Ω) = |µ− ν|(Ω) =

∫Ω

|p− q|dλ

V (µ− ν,Ω) = |µ− ν|(Ω) = supg

k∑i=1

|µ(Ai)− ν(Ai)|

trong đó g : Ω =k⋃i=1

Ai là phân hoạch đo được của Ω.

Mệnh đề 4.1.5. Giả sử µ, ν là những độ đo xác suất trên Ω, lúc đó

dTV (µ, ν) =1

2max|h|≤1

∣∣ ∫Ω

hdµ−∫Ω

hdν∣∣

trong đó h : Ω −→ R là hàm đo được thỏa mãn |h(x)| ≤ 1.

Trước tiên ta đi giải quyết bài toán sau:

Bổ đề 4.1.6. Giả sử f là một hàm không âm trên Ω khả tích đối với độ đo λ .

Xét hàm tập ν : A −→ R cho bởi ν(A) =∫A

fdλ với mỗi A ∈ A.

Nếu g là một hàm khả tích trên Ω đối với ν thì gf khả tích trên Ω đối với λ

và ∫A

gdν =

∫A

gfdλ

với mỗi A ∈ A.

Chứng minh. Ta đi xét từng trường hợp:

Trường hợp g là hàm đặc trưng g = χE với E ∈ A

g(x) = χE(x) =

1 nếu x ∈ E

0 nếu x ∈ Ω \ E

lúc đó rõ ràng g đo được và∫A

gdν =

∫A

χEdν =

∫A∩E

dν

= ν(E ∩ A) =

∫E∩A

fdλ

=

∫A

χEfdλ =

∫A

gfdλ.

30

Trường hợp g là hàm đơn giản trên A, giả sử g(x) =n∑i=1

αiχAi(x) với x ∈ A.

Ta có ∫A

gdν =

∫A

n∑i=1

αiχAidν =n∑i=1

∫A

αiχAidν

=n∑i=1

αi

∫A

χAidν =n∑i=1

αi

∫A

χAifdλ

=n∑i=1

∫A

αiχAifdλ =

∫A

n∑i=1

(αiχAi

)fdλ

=

∫A

gfdλ.

Trường hợp g là hàm đo được không âm. Khi đó tồn tại một dãy đơn điệu

tăng các hàm đơn giản không âm (gn)n hội tụ về g. Ta có (gnf)n là một dãy

đơn điệu tăng các hàm không âm hội tụ về gf , do đó theo định lý Levi về sự

hội tụ đơn điệu ta được∫A

gdν = limn→∞

∫A

gndν = limn→∞

∫A

gnfdλ =

∫A

gfdλ.

Trường hợp g là hàm khả tích bất kỳ, ta có∫A

g+dν =

∫A

g+fdλ và

∫A

g−dν =

∫A

g−fdλ

là những số hữu hạn. Vậy∫A

gdν =

∫A

g+dν −∫A

g−dν =

∫A

g+fdλ−∫A

g−fdλ

=

∫A

(g+f − g−f)dλ =

∫A

gfdλ.

Chứng minh. mệnh đề 4.1.5

Dễ thấy tồn tại độ đo λ sao cho µ << λ và ν << λ; gọi p, q lần lượt là hàm

31

mật độ của độ đo xác suất µ, ν đối với độ đo λ. Khi đó với mỗi h đo được,

|h(x)| ≤ 1 ta có

∣∣ ∫Ω

hdµ−∫Ω

hdν∣∣ =

∣∣ ∫Ω

hpdλ−∫Ω

hqdλ∣∣

=∣∣ ∫

Ω

h(p− q)dλ∣∣

≤∫Ω

|h||p− q|dλ

≤∫Ω

|p− q|dλ

Suy ra

sup|h|≤1

∣∣ ∫Ω

hdµ−∫Ω

hdν∣∣ ≤ ∫

Ω

|p− q|dλ

với h là hàm đo được thỏa |h(x)| ≤ 1. Ta xét hàm

h0(x) =

1 nếu (p− q)(x) ≥ 0

−1 nếu (p− q)(x) < 0.

Rõ ràng ở đây hàm h0 là đo được và thỏa mãn |h0(x)| = 1, h0(p− q) = |p− q|.

Khi đó

∣∣ ∫Ω

h0dµ−∫Ω

h0dν∣∣ =

∣∣ ∫Ω

h0(p− q)dλ∣∣

=

∫Ω

|p− q|dλ.

Cho nên

max|h|≤1

∣∣ ∫Ω

hdµ−∫Ω

hdν∣∣ =

∫Ω

|p− q|dλ

trong đó h : Ω −→ R là hàm đo được thỏa mãn |h(x)| ≤ 1.

Vậy

dTV (µ, ν) =1

2max|h|≤1

∣∣ ∫Ω

hdµ−∫Ω

hdν∣∣.

32

Nhận xét 4.1.7.

Trên đây chúng ta đã chứng tỏ được rằng

dTV (µ, ν) = supA∈A|µ(A)− ν(A)|

=1

2

∫Ω

|p− q|dλ

=1

2max|h|≤1

∣∣ ∫Ω

hdµ−∫Ω

hdν∣∣

do vậy ta có được nhiều cách để định nghĩa khoảng cách biến phân toàn phần.

Đặc biệt nếu Ω là không gian đếm được thì ta có kết quả dưới đây:

Mệnh đề 4.1.8. Khi Ω là không gian đếm được thì

dTV (µ, ν) =1

2

∑x∈Ω

∣∣µ(x)− ν(x)∣∣

trong đó µ(x) := µ(x); ν(x) := ν(x).

Chứng minh. Giả sử λ là một độ đo thỏa mãn µ << λ và ν << λ; gọi p, q lần

lượt là hàm mật độ của độ đo µ và ν đối với độ đo λ. Ta có

∑x∈Ω

∣∣µ(x)− ν(x)∣∣ =

∑x∈Ω

∣∣ ∫x

pdλ−∫x

qdλ)∣∣

=∑x∈Ω

∣∣ ∫x

(p− q)dλ)∣∣

=∑x∈Ω

∫x

|p− q|dλ

=

∫Ω

|p− q|dλ,

do đó

dTV (µ, ν) =1

2

∑x∈Ω

∣∣µ(x)− ν(x)∣∣

33

4.1.2 Khoảng cách Hellinger

Định nghĩa 4.1.9. Giả sử µ và ν là hai độ đo xác suất trên Ω, λ là độ đo thỏa

mãn µ << λ và ν << λ; gọi p, q lần lượt là hàm mật độ của độ đo xác suất µ, ν

đối với độ đo λ. Khi đó khoảng cách Hellinger được định nghĩa như sau:

dH(µ, ν) =( ∫

Ω

(√p−√q)2dλ

)12

Nhận xét 4.1.10.

(i) Định nghĩa trên là hợp lý vì giá trị dH(µ, ν) không phụ thuộc vào cách

chọn λ. Thật vậy:

Giả sử ϕ là một độ đo thỏa mãn µ << ϕ và ν << ϕ; khi đó λ << λ + ϕ.

Gọi f là hàm mật độ của độ đo λ đối với độ đo λ+ ϕ, tức là

λ(E) =

∫E

fd(λ+ ϕ) với mọi E ∈ A,

do đó ta có

µ(E) =

∫E

pdλ =

∫E

pfd(λ+ ϕ)

và

ν(E) =

∫E

qdλ =

∫E

qfd(λ+ ϕ)

với mọi E ∈ A. Cho nên µ, ν có hàm mật độ lần lượt là pf và qf đối với độ đo

λ+ ϕ. Ta có∫Ω

(√pf −

√qf)2d(λ+ ϕ) =

∫Ω

(p+ q − 2√pq)fd(λ+ ϕ)

=

∫Ω

(p+ q − 2√pq)dλ =

∫Ω

(√p−√q)2dλ

Như vậy nếu gọi p1, q1 lần lượt là hàm mật độ của độ đo xác suất µ, ν đối với

độ đo ϕ thì ta có∫Ω

(√p1 −

√q1)

2dϕ =

∫Ω

(√f −√g)2d(ϕ+ λ)

34

trong đó f , g lần lượt là hàm mật độ của độ đo µ, ν đối với độ đo λ+ϕ, do đó∫Ω

(√p1 −

√q1)

2dϕ =

∫Ω

(√p−√q)2dϕ.

Vì vậy dH(µ, ν) không phụ thuộc vào cách chọn λ

(ii) Ta có

dH(µ, ν) =( ∫

Ω

(√p−√q)2dλ

)12 =

( ∫Ω

(p+ q − 2√p√q)dλ

)12

=[2(1−

∫Ω

√p√qdλ)

]12 .

(iii) Ta có 0 ≤ dH(µ, ν) ≤√

2. Ta xét σ- đại số L các tập đo được Lebesgue

trên R, dễ thấy độ đo Lebesgue λ trên R là σ- hữu hạn. Ta xem Ω = R xét các

hàm đo được

X(ω) =

1 nếu ω ∈ [0, 1]

0 nếu ω ∈ Ω \ [0, 1]

Y (ω) =

1 nếu ω ∈ [1, 2]

0 nếu ω ∈ Ω \ [1, 2],

đặt

µ(A) =

∫A

X(ω)dλ

ν(A) =

∫A

Y (ω)dλ

với mọi A ∈ L. Rõ ràng µ, ν là các độ đo xác suất trên Ω (lưu ý rằng µ(R) =

µ([0, 1]) = 1 và ν(R) = ν([1, 2]) = 1). Ta thấy

dH(µ, ν) =[2− 2

∫Ω

X(ω)Y (ω)dλ]1

2 =√

2.

*. Kiểm tra dH(µ, ν) là một mêtric

1/ a/ Ta có

dH(µ, ν) =( ∫

Ω

(√p−√q)2dλ

)12 ≥ 0 với mọi µ, ν ∈M.

35

b/Giả sử dH(µ, ν) = 0 lúc đó ta có p = q hầu khắp nơi đối với độ đo λ do đó

µ(A) =∫A

pdλ =∫A

qdλ = ν(A) với mọi A ∈ A, A ⊂ Ω

Giả sử µ = ν thì µ(A) =∫A

pdλ =∫A

qdλ = ν(A) với mọi A ∈ A , A ⊂ Ω.

Theo định lý Random-Nikodym ta có p = q hầu khắp nơi đối với độ đo λ, suy

ra dH(µ, ν) = 0.

2/Ta có

dH(µ, ν) =( ∫

Ω

(√p−√q)2dλ

)12 = dH(ν, µ)

với mọi µ, ν ∈M

3/Với mọi µ, ν, ϕ ∈M, giả sử p, q, f lần lượt là các hàm mật độ của các độ đo

µ, ν, ϕ ∈M đối với độ đo λ. Bất đẳng thức Minkowski cho ta

dH(µ, ν) + dH(µ, ϕ) =( ∫

Ω

(√p−√q)2dλ

)12 +

( ∫Ω

(√p−

√f)2dλ

)12

≥( ∫

Ω

(√p−

√f)2dλ

)12 = dH(µ, ϕ).

Từ đó suy ra dH là một mêtric.

Mệnh đề 4.1.11. Khi Ω là không gian đếm được thì

dH(µ, ν) =[∑x∈Ω

(√µ(x)−

√ν(x)

)2]12 .

Chứng minh. Giả sử λ là một độ đo thỏa mãn µ << λ và ν << λ; gọi p, q lần

lượt là hàm mật độ của độ đo µ và ν đối với độ đo λ. Ta có

∑x∈Ω

(√µ(x)−

√ν(x)

)2=∑x∈Ω

(µ(x) + ν(x)− 2

õ(x)

√ν(x)

)= 2− 2

∑x∈Ω

õ(x)

√ν(x)

= 2− 2∑x∈Ω

√√√√∫x

pdλ

√√√√∫x

qdλ

36

= 2− 2∑x∈Ω

√p(x)

√λ(x)

√q(x)

√λ(x)

= 2− 2∑x∈Ω

√p(x)

√q(x)λ(x)

= 2− 2∑x∈Ω

∫x

√p√qdλ

= 2− 2

∫Ω

√p√qdλ,

do đó

dH(µ, ν) =[∑x∈Ω

(√µ(x)−

√ν(x)

)2]12

4.2 Mối quan hệ giữa khoảng cách biến phân toàn

phần và khoảng cách Hellinger

Mệnh đề 4.2.1.d2H

2≤ dTV ≤ dH .

Chứng minh. Ta có

[2dTV (µ, ν)

]2=( ∫

Ω

|p− q|dλ)2

=( ∫

Ω

|(√p−√q)||(√p+√q)|dλ

)2

≤∫Ω

(√p−√q)2dλ

∫Ω

(√p+√q)2dλ = d2

H(µ, ν)(2 + 2

∫Ω

√p√qdλ

)vì ∫

Ω

√p√qdλ ≤

( ∫Ω

pdλ)1

2( ∫

Ω

qdλ)1

2 = 1

do đó

dTV ≤ dH .

37

Ta có

d2H(µ, ν) =

∫Ω

(√p−√q)2dλ =

∫Ω

(p+ q − 2√p√qdλ

≤∫Ω

(p+ q − 2 min(p, q))dλ =

∫Ω

|p− q|dλ = 2dTV (µ, ν).

Suy ra d2H ≤ 2dTV , tóm lại

d2H

2≤ dTV ≤ dH .

4.3 Một số ví dụ

Xét Ω = R, λ là độ đo Lebesgue trên σ- đại số L các tập đo được Lebesgue. Ta

có mệnh đề sau

Mệnh đề 4.3.1. Giả sử f : (−∞,+∞) −→ (−∞,+∞) đo được không âm

và khả tích Riemann trên mọi đoạn con đóng của (−∞,+∞). Khi đó nếu+∞∫−∞

f(x)dx hội tụ thì f khả tích Lebesgue trên (−∞,+∞) và

∫(−∞,+∞)

fdλ =

+∞∫−∞

f(x)dx

Chứng minh. Giả sử+∞∫−∞

f(x)dx hội tụ, từ đây ta có

∫(−∞,+∞)

fdλ =

∫(−∞,0]

fdλ+

∫[0,+∞)

fdλ

= limn

∫[−n,0]

fdλ+ limn

∫[0,n]

fdλ

= limn

0∫−n

f(x)dx+ limn

n∫0

f(x)dx

38

=

0∫−∞

f(x)dx+

+∞∫0

f(x)dx

=

+∞∫−∞

f(x)dx.

*.Phân phối Gauss

Pθ(y) =1√πe−(y−θ)2

Với θ1, θ2 ∈ R xét hai độ đo µ(A) =∫A

Pθ1(y)dλ, ν(A) =∫A

Pθ2(y)dλ với

A ⊂ R, A ∈ L.Ta dễ thấy

µ(R) =

∫R

Pθ1(y)dλ =

∫(−∞,+∞)

Pθ1(y)dy = 1

tương tự

ν(R) =

∫R

Pθ2(y)dλ = 1,

nên µ, ν là hai độ đo xác suất.Ta có

d2H(µ, ν) = 2

[1−

∫R

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dλ

]vì

−lnx ≥ 1− x, mọi x > 0

nên

d2H(µ, ν) ≤ −2 ln

∫R

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dλ.

Ta có

− 2 ln

∫R

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dλ

= −2 ln

+∞∫−∞

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dy

39

= −2 ln

+∞∫−∞

( 1√πe−(y−θ1)2

)12( 1√

πe−(y−θ2)2

)12dy

= −2 ln( +∞∫−∞

1√πe−[

(y−θ1)2

2 +(y−θ22

2 ]dy)

= −2 ln( +∞∫−∞

1√πe−[(y−(

θ1+θ22 ))2+(

θ1−θ22 )2)]dy

)= −2 ln e−(

θ1−θ22 )2

=1

2(θ1 − θ2)

2

từ đó suy ra

dH(µ, ν) ≤ |θ1 − θ2|√2

.

*.Phân phối mũ

Pθ(x) =

0 nếu x ≤ 0

θe−θx nếu x > 0(θ > 0)

Ta có

− 2 ln

∫R

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dλ

= −2 ln

+∞∫−∞

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dy

= −2 ln( +∞∫

0

√θ1e−θ1x

√θ2e−θ2xdy

)

= −2 ln( +∞∫

0

√θ1θ2e

−(θ1+θ2

2 )ydy)

= −2 ln(√

θ1θ22

θ1 + θ2

)= 2 ln

θ1 + θ2

2√θ1θ2

từ đó suy ra

dH(µ, ν) ≤√

2 lnθ1 + θ2

2√θ1θ2

.

40

Thực ra ta có thể tính chính xác khoảng cách giữa hai độ đo xác suất trong

trường hợp phân phối mũ, phân phối Gauss ở trên, thí dụ

d2H(µ, ν) = 2

[1−

∫R

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dλ

]

= 2[1−

+∞∫−∞

√Pθ1(y)

√Pθ2(y)dy

= 2[1−

+∞∫−∞

1√πe−[(y−(

θ1+θ22 ))2+(

θ1−θ22 )2)]dy

]= 2

[1− e−(

θ1−θ22 )2]

4.4 Các khoảng cách xác suất khác

Như vậy ở trên chúng ta đã được làm quen với hai khoảng cách xác suất: Khoảng

cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger. Dưới dây chúng tôi xin giới

thiệu thêm một số khoảng cách xác suất khác như khoảng cách Prokhorov,

khoảng cách Kantorovich.

4.4.1 Khoảng cách Prokhorov

Định nghĩa 4.4.1. Cho (Ω, d) là một không gian mêtric. Khoảng cách Prokhorov

được định nghĩa như sau:

dP (µ, ν) := infε > 0 : µ(B) ≤ ν(Bε) + ε với mọi tập B Borel

trong đó Bε = x : infy∈B

d(x, y) ≤ ε (xem[AL]).

4.4.2 Khoảng cách Kantorovich

Định nghĩa 4.4.2. Cho Ω = R, và định nghĩa ||f ||L := supx6=y∈Ω

|f(x)−f(y)|d(x,y)

, trong

đó f đo được, d là một mêtric trên Ω. Khoảng cách Kantorovich được định nghĩa

như sau:

dW (µ, ν) := sup∣∣ ∫

Ω

fdµ−∫Ω

fdν∣∣ : ||f ||L ≤ 1

41

(xem[AL]).

42

Tài liệu tham khảo

[NL] Nguyễn Hoàng & Lê Văn Hạp, Giáo trình Giải tích hàm, Huế, 2003.

[DH] Nguyễn Định & Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, NXB. GD, 2000.

[NV] Nguyễn Duy Tiến & Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB. GD, 2001.

[NL] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương Độ đo và Tích phân, NXB. GD, 1996.

[PT] Phạm Kỳ Anh & Trần Đức Long, Hàm số biến số thực , NXB. DHQG

Hà Nội, 2001.

[AL] Alison L.Gibbs - Francis Edward Su, On choosing and bounding probability

metric, Bài báo tháng 1/ 2002.

[PH] Paul R Halmos, Measure Theory, Springer- Verlag New York Heidelber-

Berlin 1970.

[SH] Sze - Ten Hu, Cơ sở giải tích toán học, 1978.