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Sciences Industriellesde l'Ingénieur

CI 2 – SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES

LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS

CHAPITRE 7 – RÉPONSES HARMONIQUES – DIAGRAMMES DE BODE

TRAVAUX DIRIGÉS

Ressources de Florestan Mathurin.

Exercice 1 : Radar d'avion

Le support d’étude est un radar d’avion. Il permet au pilote de connaître la position des enginsextérieurs (avions, hélicoptères, bateaux...). L’objectif de cette étude est de vérifier les exigencesdécrites dans le cahier des charges.

On réalise un asservissement de la position angulaire du radar d’avion : l’angle souhaité est θc (t ) l’angle réel du radar estθr (t ). La différences des deux angles est transformée en une tension um (t ), selon la loi um (t ) = A · (θc (t )−θr (t )). La tensionum (t ) engendre, via un moteur de fonction de transfert Hm (t ), une vitesse angulaireωm (t ). Cette vitesse angulaire est réduitegrâce à un réducteur de vitesse, selon la relationωr (t ) = Bωm (t ) (B < 1),ωr (t ) étant la vitesse angulaire du radar.

On donne la relationωr (t ) =dθr (t )

d t.

Question 1

Réaliser le schéma bloc du système.

Les équations du moteur à courant continu qui est utilisé dans la motorisation sont les suivantes :

um (t ) = e (t ) +R i (t ) e (t ) = keωm (t ) Jdωm (t )

d t=Cm (t ) Cm (t ) = km i (t )

Avec :

Florestan MATHURIN

2013 – 20141 CI 2 – Étude des SLCI

Ch. 7 : Réponses Harmoniques – TD


– u (t ) : tension aux bornes du moteur (en V) (entrée du moteur) ;– e (t ) : force contre électromotrice (en V) ;– ωm (t ) : vitesse de rotation du moteur (en r a d /s ) ;– Cm (t ) : couple moteur (en N ·m) ;– J : inertie équivalente en rotation de l’arbre moteur (en k g ·m 2) ;– R : résistance électrique du moteur ;– ke : constante de force contre électromotrice ;– km : constante de couple.

Question 2

Déterminer la fonction de transfert Hm (p ) =Ωm (p )Um (p )

.

Question 3

Montrer que Hm (p ) peut se mettre sous la forme canonique Hm (p ) =Km

1+Tm p. Déterminer les valeurs littérales de Km et Tm .

Question 4

Déterminerωm (t ) lorsque um (t ) est un échelon de tension d’amplitude u0. Exprimer le résultat en fonction de Km , Tm et u0.Préciser la valeur deωm (t ) à l’origine, la pente de la tangente à l’origine deωm (t ) et la valeur finale atteinte parωm (t ) quand ttend vers l’infini.

Question 5

Déterminer la fonction de transfert H (p ) =θr (p )θc (p )

. Montrer que cette fonction peut se mettre sous la forme canonique d’un

système du second ordre où les différentes constantes seront à déterminer.

La réponse indicielle de H (p ) à un échelon unitaire est donnée sur la figure suivante :

Florestan MATHURIN




Question 6

Déterminer, en expliquant la démarche utilisée, les valeurs numériques du gain, du coefficient d’amortissement et de lapulsation propre du système.

Pour la suite, on prendre : K = 1, ξ= 0, 5 etω0 = 15 r a d /s .

Question 7

Déterminer en expliquant la démarche utilisée le temps de réponse à 5%. Conclure quant à la capacité du radar à vérifierl’exigence de rapidité.

On améliore la performance du radar en ajoutant un correcteur entre l’amplificateur et le moteur. La nouvelle fonction detransfert est :

H (p ) =1

1+0, 05p

1+0, 0005p

1+0, 002p

Question 8

Tracer le diagramme de Bode asymptotique de cette fonction de transfert en expliquant la démarche utilisée.

Question 9

Déterminer le gain et la phase pour une pulsation de 10 r a d /s .

Question 10

Déterminer, en régime permanent, θr (t ) pour une entrée θc (t ) = 0, 2 sin(10t ).

Pourω< 20 r a d /s , on a H (p )'1

1+0, 005p.

Question 11

Déterminer, sur cette approximation, la pulsation de coupure à −3d B . Conclure quant à la capacité du radar à satisfairel’exigence de bande passante.

Florestan MATHURIN




Florestan MATHURIN




Exercice 2 : Étude d'une antenne parabolique

La réception des chaînes de télévision par satellite nécessite un récepteur /décodeur et une antenne parabolique.

Pour augmenter le nombre de chaînes reçues, l’antenne doit pouvoir s’orientervers plusieurs satellites différents. Le satellite choisi dépend de la chaîne demandée.Tous les satellites de radiodiffusion sont situés sur l’orbite géostationnaire à 36 000km au dessus de l’équateur. Le réglage de l’orientation de l’antenne ne nécessite doncqu’une seule rotation autour d’un axe appelé axe d’azimut. Le cahier des chargespartiel à satisfaire est fourni. L’objectif est de satisfaire l’exigence d’orientation ducahier des charges.

Florestan MATHURIN




L’axe d’orientation d’azimut utilise un dispositif de réduction de vitesse(engrenages et roue et vis sans fin). Si on note ωa (t ) la vitesse de rotation del’axe d’orientation et ωm (t ) la vitesse de rotation de l’axe d’orientation et ωm (t ) la

vitesse de rotation du moteur, on a la relation suivante :ωa (t )ωm (t )

=1

N=

1

23 328.

Les équations du moteur à courant continu qui est utilisé dans la motorisation sont les suivantes :

um (t ) = em (t ) +Rm im (t ) + Lmd im

d tem (t ) = Keωm (t ) Jm

dωm (t )d t

=Cm (t ) Cm (t ) = Kc im (t )

Avec :

– um (t ) : tension aux bornes du moteur (en V) ;– em (t ) : force contre électromotrice (en V) ;– im (t ) : intensité (en A) ;– ωm (t ) : vitesse de rotation du moteur (en r a d /s ) ;– Cm (t ) : couple moteur (en N ·m) ;– Jm : inertie équivalente en rotation de l’arbre moteur (en k g ·m 2) ;– Rm : résistance électrique du moteur (9,1 Ω) ;– Ke : constante de force contre électromotrice (0,022 V · r a d −1 · s ) ;– Kc : constante de couple (0,022 N ·m ·A−1).

Question 1

Exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Toutes les conditions initiales seront nulles, et considérées comme tellesdans la suite de l’exercice.

Question 2

Réaliser le schéma-bloc moteur.

Question 3

Déterminer la fonction de transfert H (p ) =Ωm (p )Um (p )

. Montrer que H (p ) peut se mettre sous la forme canonique H (p ) =

K

1+2ξ

ω0p +

p 2

ω20

et déterminer les valeurs littérales de K , ξ etω0 en fonction des constantes fournies.

On note τe =Lm

Rmla constante de temps électrique du moteur et τm =

Rm Jm

Kc Ke. On suppose que le temps d’établissement

du courant est bien inférieur au temps de mise en mouvement de toute la mécanique, ce qui revient à dire que τe <<τm .

Question 4

Montrer alors que la fonction de transfert du moteur peut s’écrire H (p )'K

1+τe p

1+τm p

Question 5

Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode du moteur sur le document suivant. Les courbes correspondent au diagrammede Bode obtenu expérimentalement. Préciser sur ces diagrammes l’ensemble des caractéristiques (pulsations caractéristiques,pentes caractéristiques, valeurs numériques caractéristiques) connues à ce stade.

Florestan MATHURIN




Question 6

Déterminer Jm et Lm . Justifier a posteriori que τe <<τm .

On soumet le moteur à un échelon de tension d’amplitude U0 : um (t ) =U0u (t ).

Question 7

Justifier que la fonctionωm (t ) aura une tangente à l’origine horizontale.

Grâce à la propriété τe <<τm , on approxime, dans toute la suite, la fonction H (p ) parK

1+τm p.

Question 8

Déterminer l’expression analytique deωm (t ) en fonction de K , τm et U0.

Indépendamment des résultats précédents, on prend pour la suite τm = 0, 012 s . et K = 45 r a d · s−1 · V −1. La tensionnominale d’utilisation est U0 = 18 V .

Question 9

Montrer que le moteur n’excède pas sa valeur limite de rotation qui es de 8000 t r /mi n.

La chaîne d’asservissement complète est donnée sur le schéma bloc suivant (θa c est l’angle de consigne que l’on souhaite

faire prendre à l’antenne ; θa réel de l’antenne, défini parωa (t ) =dθa (t )

d t; Ka est un gain constant).

Question 10

Déterminer l’expression de G (p ) et M (p ).

Question 11

Déterminer la fonction de transfertθa (p )θa c (p )

, montrer que c’est une fonction du deuxième ordre et déterminer l’expression

littérale de son gain KT , de son coefficient d’amortissement ξT et de sa pulsation propre non amortieωOT .

Question 12

Montrer que le système vérifie le critère d’écart de positionnement du cahier des charges.

Question 13

Déterminer Ka pour que le système puisse satisfaire le critère de temps de réponse du cahier des charges.

Florestan MATHURIN




Florestan MATHURIN



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