CINEMÁTICA - Universidad de Zaragoza · a) La posición de la partícula cuando su velocidad es nula. Un río fluye hacia el este con velocidad de c =3 m/s. Un bote se dirige hacia

CINEMÁTICA

Unidad §1 - Cinemática

Física I – IQ – Prof. G.F. Goya

CINEMÁTICA

Qué vamos a ver

Posición, velocidad, aceleración.

Modelo. Magnitud. Problemas. Soluciones.

Coordenadas cartesianas vs. polares

Movimiento uniformemente acelerado.

Ecuaciones que describen el MUA.

Algunos casos en los que la aceleración es variable.

Movimiento en 2 y 3 dimensiones

Caída libre. Tiro oblicuo.

Casos de aplicación.

Problemas numéricos

Unidad §1 - Cinemática

Física I – IQ – Prof. G.F. Goya

Vector posicion y vector desplazamiento

• Posición instantánea

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝚤̂ + 𝑦 𝑡 𝚥̂ + 𝑧 𝑡 𝑘�

• Ecuación de la trayectoria

𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 = 𝑧 𝑡

Física I – IQ – Curso 2015-2016 – Prof. G.F. Goya

• Vector desplazamiento

∆𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑟 𝑡


Movimento em una Dimensión ( Cinemática )

• Trabajamos con Particulas

1x 2x

Posición

Cuál es el valor de x1 (y de x2 ) ?? Precisamos un Sistema de Referencia

0

Un ORIGEN …

1x 2x

…y una ESCALA


12 xxx −=∆

Desplazamiento:

El desplazamiento es independiente del sistema de referencia

Y el tiempo... ???

1x 2x0

Movimento em una Dimensión ( Cinemática )


Otras formas

t0 = 0 s

x0 = -5 m 0

t1 = 3 s t2 = 4 s

x1 = 0 m x2 = 2 m

t (s) x (m)

0 -5 3 0 4 +2


0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x (m)

t (s)

t (s) x (m)

0 -5.00159 1 -3.97778 2 -2.07301 3 0.10162 4 1.93501 5 2.81606

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

t (s) x (m)

0 -5.00159 0.5 -4.638 1 -3.97778 1.5 -3.09732 2 -2.07301 2.5 -0.98123 3 0.10162 3.5 1.09916 4 1.93501 4.5 2.53277 5 2.81606

t (s) x (m)

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

0 -5.00159 0.1 -4.95627 0.2 -4.89664 0.3 -4.82331 0.4 -4.73689 0.5 -4.638 0.6 -4.52724 0.7 -4.40523 0.8 -4.27257 0.9 -4.12989 1 -3.97778 1.1 -3.81686 1.2 -3.64775 1.3 -3.47104 1.4 -3.28737 1.5 -3.09732 1.6 -2.90152 1.7 -2.70058 1.8 -2.49511 1.9 -2.28571 2 -2.07301 2.1 -1.85761 2.2 -1.64012 2.3 -1.42115 2.4 -1.20132 2.5 -0.98123 2.6 -0.7615 2.7 -0.54274 2.8 -0.32556 2.9 -0.11057 3 0.10162 3.1 0.3104 3.2 0.51515 3.3 0.71527 3.4 0.91015 3.5 1.09916 3.6 1.28171 3.7 1.45718 3.8 1.62496 3.9 1.78444 4 1.93501 4.1 2.07605 4.2 2.20696 4.3 2.32713 4.4 2.43593 4.5 2.53277 4.6 2.61703 4.7 2.6881 4.8 2.74537 4.9 2.78823 5 2.81606

t (s) x (m)

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

t (s) x (m)

0 -5.00159 1 -3.97778 2 -2.07301 3 0.10162 4 1.93501 5 2.81606

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

B0 = -5.00159

B1 = 0.37963

B2 = 0.74603

B3 = -0.10185

𝑥 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑡 + 𝐵2

𝑡2 + 𝐵3 𝑡3

𝑥 𝑡 = −5,00159 + 0,37963 𝑡 + 0,74603

𝑡2 − 0,10185 𝑡3

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

𝑥 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑡 + 𝐵2

𝑡2 + 𝐵3 𝑡3

𝑥 𝑡 = −5,00159 + 0,37963 𝑡 + 0,74603

𝑡2 − 0,10185 𝑡3

𝑥 𝑡 = 1 = −5,00159 + 0,37963 + 0,74603

− 0,10185 = −3,97778

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50 x (m)

t (s)

𝑦 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2

𝑥2 + 𝐵3 𝑥3

-10 0 10 20 30

-2000

-1500

-1000

-500

0

x (m)

t (s)

𝑦 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2

𝑥2 + 𝐵3 𝑥3

𝑦 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2

𝑥2 + 𝐵3 𝑥3

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000 x (m)

t (s)

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

t (s) x (m)

0 -5.00159 1 -3.97778 2 -2.07301 3 0.10162 4 1.93501 5 2.81606

0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x (m)

t (s)

𝑦 = 𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2

𝑥2 + 𝐵3 𝑥3

Velocidad

12

12médv

ttxx

tx

−−

=∆∆

=

Física I – IQ – Curso – Prof. G.F. Goya

t (s) x (m)

0 0 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50

x x

x x

x

Velocidad

12

12médv

ttxx

tx

−−

=∆∆

=


t (s) x (m)

0 0 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50

x x

x x

x

𝑣𝑚𝑚𝑚 = 10 − 01 − 0

𝑚𝑠 = 10 𝑚/𝑠 𝑣𝑚𝑚𝑚 =

50 − 205 − 2

𝑚𝑠 = 10 𝑚/𝑠

𝑣𝑚𝑚𝑚 = 40 − 30

4 − 3𝑚𝑠 = 10 𝑚/𝑠

∆t

∆x

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

12

12médv

ttxx

tx

−−

=∆∆

=


t (s) x (m)

0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25

1 m 0 m 4 m 9 m 16 m 25 m

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

Velocidad 12

12médv

ttxx

tx

−−

=∆∆

=


t (s) x (m)

0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25

𝑣𝑚𝑚𝑚 = 1 − 01 − 0

𝑚𝑠 = 1 𝑚/𝑠 𝑣𝑚𝑚𝑚 =

9 − 13 − 1

𝑚𝑠 = 4 𝑚/𝑠

𝑣𝑚𝑚𝑚 = 25 − 16

5 − 4𝑚𝑠 = 9 𝑚/𝑠

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

Velocidad

12

12médv

ttxx

tx

−−

=∆∆

=

∆x

∆t

)(ou tan tan12

12 βα=−−

=∆∆

ttxx

tx

α β

∆x

∆t

tan𝛼 < 𝑡𝑡𝑡𝑡 ‼! Es evidente que


Posición, velocidad, aceleración


Aceleração Média e Aceleração Instantânea

12

12méd

vvvttt

a−−

=∆∆

= tta lim

t ∆∆

=→∆

v)(0

Velocidad Instantánea dt

dxtxt lim

t=

∆∆

=→∆ 0

)(v

ZGZ BCN

x∆Km 0 Km 320

v = ?

v(t) tiene infinitos valores! Es una función de t Es teórica


Límite

12

12médv

ttxx

tx

−−

=∆∆

=

dttdr

ttrt lim

t

)()()(v0

=∆

∆=

→∆


Aceleración Constante (Movimento Uniformemente Acelerado)

�⃗� = 𝑐𝑡𝑐 Que quede claro:



constantevvv

01

01méd =

−−

=∆∆

=ttt

a

Podemos elegir t0 = 0, v1 = v e t1 = t (cualquiera), entonces

tta 0

médvvv −

=∆∆

= at+= 0vv

En el mismo intervalo t - t0 = t - 0 = t, El desplazamiento es

tx ∆=∆ médv



Demostraremos que ( )vv21v 0méd +=

0 1 2 3 4 50123456789

10

t (s)

v (m/s)

V=8

V0=4

vméd 2vvv

2vvv 0

00

méd+

=+−

=

62

4842

48vméd =+

=+−

=

Sabemos (hemos definido) que t∆= méd vx


tttx )vv(21vv 0médméd +==∆=∆

at+= 0vv

Entonces:

Recordando que

Tenemos tattx )vv(

21)vv(

21

000 ++=+=∆

200 2

1v tatxx +=−

O bien 200 2

1v tatxx ++=


txx 0

0méd )vv(21v −

=+= at+= 0vv

20

20

0

0 vv2vvvv

)(2−=∆⇒

−=

+− xa

axx

xa∆+= 2vv 20

2


xa∆+= 2vv 20

2

http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Kinematics.htm

at+= 0vv

200 2

1v tatxx ++=


En 1 dimensión tenemos:



1 Dimensión

Dos trenes separados 75km se aproximan uno al otro por vías paralelas moviéndose a 15 km/h un pájaro vuela de un tren a otro en el espacio que los separa hasta que se cruzan ¿Cual es la distancia total recorrida por el pájaro, s, si este vuela a 20km/h?

75 km

vt1 vt2

vp

1 Dimensión

Un coche lleva una velocidad de 90 km/h (25m/s) en una zona escolar. Un coche de policía que está parado, arranca cuando el infractor le adelanta y acelera a 5 m/s2. a. Cuanto tiempo tarda el policía en alcanzar el vehículo? b. Que velocidad lleva el coche de policía cuando le alcanza? c. Que velocidad lleva el coche de policía cuando se encuentra a 25m por detrás del carro infractor?

0 5 100

100

200

V (m

/s)

t (s)

Vv Vp

xa∆+= 2vv(t) 20

2

Física I – IQ - G.F. Goya


at+= 0vv(t)

200 2

1v)( tatxtx ++=

Clase anterior. Vimos que:

• Aceleración Constante

(Movimento Uniformemente Acelerado)

𝑡 = cte; �⃗� ≠ �⃗�(𝑡)

En 1 dimensión tenemos: En 3 dimensiones tenemos:

𝑟 𝑡 = 𝑟0 + v0 𝑡 +12�⃗�𝑡2

v 𝑡 = v0 + �⃗� 𝑡

v2 𝑡 = v02 + 2�⃗� ∆𝑥


Movimento en dos dimensiones ( Cinemática )

La grafica de la figura muestra la magnitud (módulo) de la aceleración de una partícula en función del tiempo. La partícula se mueve horizontalmente hacia la derecha. Sabiendo que cuando t=1 s la partícula tiene posición x = 3 y velocidad v = -4.5 m/s calcule:

a) La posición de la partícula cuando su velocidad es nula. b) Su velocidad cuando t = 3 s y su posición cuando t = 5 s.

Roberto, que está en reposo respecto del suelo, lanza una pelota hacia adelante y hacia arriba formando un ángulo q0 con la horizontal e imprimiéndole una velocidad inicial 𝑣0. Él intenta alcanzar el balón acelerando con una aceleración �⃗� constante durante un intervalo de tiempo ∆𝑡1, y luego continúa corriendo a una velocidad constante durante un intervalo de tiempo ∆𝑡2. Finalmente logra coger la pelota exactamente a la misma altura que lanzó la pelota.

¿Cuál fue la aceleración de Roberto?

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).

• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100

m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm

O

O’

C v

𝑣𝑝𝑝 = 𝑣𝑝𝑝′ + v 𝑣𝑝𝑝 = 𝑐 + v

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm

Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s. Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.

•El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) •El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c) El tiempo total es Con los datos del problema t = 800/7 = 114.3 s.


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CINEMÁTICA - Universidad de Zaragoza · a) La posición de la partícula cuando su velocidad es nula. Un río fluye hacia el este con velocidad de c =3 m/s. Un bote se dirige hacia