CINÉMATIQUE GÉNÉRALITÉS TRAJECTOIRES

Ecole nationale polytechnique

Cycle préparatoire 2éme année

Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable.

Dr A. ZEGHLOUL Pages 1 sur 31

CINÉMATIQUE GÉNÉRALITÉS TRAJECTOIRES

Objectifs.

- Présenter la cinématique.

- Définir les notions de solide ou repère de référence, de mouvements absolu et relatif.

- Introduire les principaux mouvements de solides, la notion de points coïncidents et de

trajectoire.

- Définir les principales grandeurs cinématiques : vecteur-position, vecteur-déplacement,

vitesse et accélération d’un point. Fournir des éléments concernant le repérage des

solides.

La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie le mouvement des corps,

indépendamment des forces qui les produisent. Les grandeurs étudiées s’appellent mouvement,

déplacement, trajectoire, vitesse et accélération. Le mot cinématique dérive du grec kinema,

qui signifie mouvement.

Remarque : en cinématique, les solides étudiés sont supposés indéformables. Un solide peut

être défini comme un ensemble de points dont les distances respectives restent inchangées au

cours du temps.

1. Solide ou repère de référence – Référentiel :

1.1. Repère et solide de référence :

En cinématique, le mouvement d’un solide peut être défini par rapport à un autre solide choisi

comme référence et appelé solide de référence. Un repère de référence est un repère d’espace

(exemples : repères cartésiens (0 ; x, y) ou (0 ; x, y, z)) lié ou “collé” au solide de référence,

permettant de repérer avec précision la position et le mouvement du solide.





Exemple :

Si l’on considère le mouvement de l’avion (1) par rapport au

sol (0), noté Mvt1/0, le sol est le solide de référence. Un

observateur, immobile au sol, voyant l’avion évoluer dans le

ciel, peut servir d’origine à un repère de référence lié à (0).

Mvt0/1 définit le mouvement inverse, l’avion est le solide de

référence. Le pilote, immobile dans l’appareil, Figure 1

voit le sol défiler sous ses yeux et peut servir d’origine à un repère de référence lié à (1).

1.2. Repère de temps :

Figure 2

En mécanique classique, le temps est’ considéré comme absolu et uniforme. Chaque moment,

chaque fragment de temps est identique au suivant. Le temps peut être schématisé par une

droite, orientée du passé vers l’avenir, avec au besoin une origine des temps (t = 0). L’image

équivalente de cet espace est une montre ou un chronomètre. La lettre t, appelée date, symbolise

un point de cet espace.

Unité : la seconde, symbole s, est l’unité de base légale (unité SI) du temps. Les autres unités

usuelles sont également utilisables : minute, heure, jour, année, etc.

1.3. Système de référence ou référentiel :

Un système de référence est l’addition ou la combinaison d’un repère de référence et d’un repère

de temps.





Référentiel ou

Système de référence

=

+

Figure 3

Remarque : en cinématique, le mouvement des solides sera défini par rapport à un système de

référence.

2. Mouvements absolu et relatif :

2.1. Mouvement absolu :

Le mouvement d’un solide est dit absolu s’il est défini ou décrit par rapport à un référentiel

absolu. Un référentiel absolu (ou galiléen) est un référentiel au repos absolu dans l’univers.

En mécanique industrielle, la Terre peut être assimilée, avec une très bonne approximation, à

un référentiel absolu.

Remarque : à la notion de mouvement absolu correspond les notions de vitesses absolues et

d’accélérations absolues.

2.2. Mouvement relatif :

Le mouvement d’un solide est dit relatif s’il est défini par rapport A un référentiel relatif. Un

référentiel en mouvement dans l’univers est un référentiel relatif.

À la notion de mouvement relatif correspond les notions de vitesses relatives et d’accélérations

relatives.

Exemple : prenons le cas d’un voyageur (2) marchant dans un wagon (1) en mouvement par

rapport au sol (0).





Figure 4

R0 = (0, x0, y0), lié à la terre, est un repère absolu.

R1 = (A, x1, y1), lié au wagon et R2 (G, x2, y2) lié au voyageur sont des repères relatifs.

Les mouvements Mvt2/0 et Mvt

1/0 sont des mouvements absolus.

Mvt2/1 est un mouvement relatif ; même chose pour son mouvement inverse Mvt

1/2.

Remarque : le mouvement Mvt2/0 résulte de la combinaison des deux mouvements Mvt

2/1 et

Mvt1/0.

3. Principaux mouvements plans de solides :

Un solide exécute un mouvement plan lorsque tous les points qui le constituent se déplacent

dans des plans parallèles entre eux. Par commodité, le plan retenu pour définir le mouvement

sera celui qui contient le centre de gravité G et le solide sera assimilé à une fine feuille ou à une

fine lamelle. Cette schématisation permet de rassembler dans une même catégorie la plupart

des mouvements de solides rencontrés en technologie : translations, rotations et mouvements

plans généraux.

Résumé des principaux types de mouvements plans

Mouvements Propriétés Exemple

Translation

rectiligne





Translation

curviligne

Rotation

(d’axe fixe)

Mouvement

plan général

3.1. Translation :

Un solide se déplace en translation si n’importe quelle ligne (AB) de celui-ci reste constamment

parallèle à sa position initiale au cours du mouvement. À tout instant, il n’y a aucune rotation

de "AB".

Remarque : dans l’espace, deux lignes non parallèles seront nécessaires pour définir une

translation.

Translation rectiligne : tous les points du solide se déplacent suivant des lignes parallèles entre

elles.

Translation curviligne : les points du solide se déplacent suivant des courbes géométriques

identiques ou superposables.





3.2. Rotation (autour d’un axe fixe) :

Le solide tourne ou est animé d’un mouvement angulaire autour d’un axe fixe perpendiculaire

au plan du mouvement. Les points du solide décrivent des cercles ou des circonférences

centrées sur l’axe. Toutes les lignes ou droites du solide tournent du même angle α à chaque

instant considéré.

3.3. Mouvement plan général :

Un mouvement plan général n’est ni une translation, ni une rotation. Tous les points du solide

se déplacent dans des plans parallèles entre eux aux cours du mouvement.

Remarque : un mouvement plan peut être considéré comme la combinaison d’une translation

et d’une rotation.

Exemple : flèche de pelle hydraulique. On suppose que les trois vérins hydrauliques (10 +

11), (8 + 9) et (6 + 7) sont alimentés.

Mvt1/0 = rotation de centre B ; Mvt

2/1 = rotation de centre F ;

Mvt5/2 = rotation de centre M ; Mvt

3/2 = rotation de centre L ;

Mvt11/10 = translation rectiligne de direction AC ;

Mvt9/8 = translation rectiligne de direction DE ;

Mvt7/6 = translation rectiligne de direction KP.

Les mouvements suivants sont tous des mouvements plans généraux : Mvt2/0 ; Mvt

5/0 ;

Mvt3/0 ; M

vt11/0 ; M

vt4/2 ; M

vt4/1 ; M

vt6/0 ; M

vt6/1 ….etc





Figure 5





CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

1. Vecteur-position OM :

R0 = (0, x0, y0) est un repère de référence lié au solide

de référence S. Le vecteur position OM définit la

position, à l’instant t, du point M dans son mouvement

par rapport au repère de référence R0.

OM = x(t)X + y(t)Y + z(t)Z = {

x(t)

y(t)

z(t)

Figure 6

2. Vecteur déplacement M1M2 :

Si M1 est la position du point M à l’instant t1, et M2 la

position de M à t2, le vecteur M1M2 définit le

déplacement de M entre t1 et t2 pendant la durée (t2 - t1).

M1M2 = M1O + OM2

= OM2 − OM1

Remarque :

le vecteur-déplacement M1M2 mesure la distance entre

M1 et M2.

Figure 7

Exemple :

Considérons un avion (1) en phase ascentionnelle

suivant une trajectoire rectiligne, R0 est un repère lié

au sol.

OM1 [

01] ou OM1

= j 1 (km)

OM2 [

1

4] ou OM2

= 11i + 4j 1 (km) Figure 8

M1M2 = OM2

− OM1

= (11i +4j )-1j = 11i +3j

‖M1M2 ‖= √11

2- 3

2=11.4 km





3. Vecteur Vitesse V :

La vitesse du point "M" à l’instant "t" noté v dérivé du vecteur position OM .

v =d OM

dt=

d(x(t)X )

dt+

d(y(t)Y )

dt+

d(z(t)Z )

dt

(Équation 1)

4. Vecteur accélération γ :

L’accélération du point "M" est la dérivée du vecteur vitesse v .

𝛾 =d v

dt=

d2(x(t)X )

dt2

+d

2(y(t)Y )

dt2

+d

2(z(t)Z )

dt2

(Équation 2)

5. Notation : Dans ce qui suit nous ajouterons un indice (i), qui est généralement assoeié au

repère fixe ; Ri (Oi, Xi , Yi

, Zi )

• Vecteur position de M/Ri :

OiM = {

𝑥𝑖(t)

𝑦𝑖(t)

𝑧𝑖(t)}

Ri

• Vecteur vitesse de M/Ri :

v i(M) =

di OiM

dt= {

xi(t)

yi(t)

zi(t)

}

Ri

• Vecteur vitesse de M/Ri :

Figure 9

γ i(M) = d

i v

i(M)

dt= {

��𝑖(𝑡)

��𝑖(𝑡)

��𝑖(𝑡)}

Ri

6. Formule de la base mobile :

Soient : (Ri), Repère fixe ou de référence ou absolu.

(Rk), Repère mobile ou de projection ou d'expression.

Le vecteur position de M par rapport à (Ri), projeté ou exprimê dans un repère mobile (Rk)

est :





OiM = xk(t)X k + yk(t)Y k + zk(t)Z k

Ou bien : OiM = {

𝑥k(t)

𝑦k(t)

𝑧k(t)}

Rk

Figure 10

Remarque : Le vecteur position du point "M" par rapport à (Ri), et exprimé dans (Ri), est le

vecteur OiM = {

𝑥i(t)

𝑦i(t)

𝑧i(t)}

Ri

alors que le vecteur position de "M" par rapport à (Ri), et exprimé dans

(Rk), est le vecteur OiM = {

𝑥k(t)

𝑦k(t)

𝑧k(t)}

Rk

7. Vitesse de "M" par rapport à (Ri) exprimé dans (Rk) :

v i(M) =

di OiM

dt=

di (xk(t)X k + y

k(t)Y k + zk(t)Z k)

dt

(Équation 3)

di xk(t)

dtX k+ xk(t)

di

dtX k+

di y

k(t)

dtY k+ y

k(t)

di

dtY k+

di zk(t)

dtZ k+ zk(t)

di

dtZ k

v i(M) = xk(t)X k+ y

k(t)Y k+ zk(t)Z k+ xk(t)

di

dtX k+ y

k(t)

di

dtY k+ zk(t)

di

dtZ k (Équation 4)

Avec : d

k OiM

dt= xk(t)X k+ y

k(t)Y k+ zk(t)Z k

Les axes du repère (Rk) sont en rotation par rapport aux axes de (Ri).

ll existe un vecteur noté Ωki = {

p

q

r définissant la rotation des axes de (Rk) par rapport à ceux de (Ri)

tel que :

di X k

dt= Ωk

i ∧ X k d

i Y k

dt= Ωk

i ∧ Y k d

i Z k

dt= Ωk

i ∧ Z k





Donc :

v i(M) =

di OiM

dt=

dk OiM

dt+ Ωk

i ∧ OiM (Équation 5)

v i(M) =

di OiM

dt=

dk OiM

dt+ Ωk

i ∧ ( xk(t)X k+ yk(t)Y k+ zk(t)Z k) (Équation 6)

(Vitesse de M/Ri et exprimée dans Rk).

La formule de la base mobile est applicable à toutes les grandeurs vectorielles, c'est tout

simplement un outil mathématique.

8. Propriétés du vecteur rotation instantanée du repère (Rk) par rapport au

repère (Ri), Ωki :

Ωki = - Ωi

k (Équation 7)

Ωni = Ωi+1

i + Ωi+2i+1 + … + Ωn

n-1 (Équation 8)

di Ωk

i

dt=

dk Ωk

i

dt (Équation 9)

Exemple :

Déterminer les vecteurs position, vitesse et

accélération du point "M" décrivant un

mouvement circulaire uniforme figure ci-

contre, par rapport à (R0) et exprimé dans (R0)

et dans (R1).

R0 (0, X 0, Y 0, Z 0) : repère fixe.

R1 (0, X 1, Y 1, Z 1) : repère d’expression.

Figure 11

Solution :

Vecteur position de M par rapport à (Ro) Vecteur position de M par rapport à (R1)





OM = {

r cos φ

r sin φ

0

}

R0

OM = {r

0

0}

R1

Vecteur vitesse de M :

- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (Ro).

v 0(M) =

d0 OM

dt=

d

dt {

r cos φ

r sin φ

0

}

R0

= { - r φ sin φ

r φ cos φ

0

}

R0

- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (R1).

Le vecteur rotation instantané de R1 par rapport à Ro est porté par l'axe OZo êt OZ1 et de sens

positif :

Ω10 = {

0

0

φ}

R0, R0

v 0(M) =

d0 OM

dt=

d1 OM

dt + Ω1

0 ∧ OM =

d

dt{

r

0

0}

R1

+ {0

0

φ}

R1

∧ {r

0

0}

R1

= {0

rφ

0

}

R1

Vecteur accélération de M :

- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (Ro).

γ 0(M)=d

0 v

0(M)

dt=

d

dt { - r φ sin φ

r φ cos φ

0

}

R0

= { - r φ sin φ - r φ

2 cos φ

r φ cos φ - r φ2 sin φ

0

}

R0

Comme φ = 0 on aura : γ

0(M) = {

- r φ2 cos φ

- r φ2 sin φ

0

}

R0

- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (R1).

𝛾 0(M) = d

0 v

0(M)

dt =

d1 v

0(M)

dt=

d1v

0(M)

dt + Ω1

0 ∧ v

0(M) =

d

dt{

0r ��0

}

R1

+ {0

0

��}

R1

∧ {r

r ��0

}

R1

𝛾 0(M) = {- r φ2

r ��0

}

R1





CINEMATIQUE DU SOLIDE

1. Cinématique du solide :

Soit un corps solide (S)

(Ri) : repère de référence (absolu)

(Rk) : repère lié au solide (les axes de Rk sont

liés rigidement au solide (S)

Figure 12

a - Gas particuliers

1er cas :

Lors du mouvement les axes de (Rk), restent parallèles à ceux de (Ri), le solide est en translation

par rapport à Ri. Le vecteur de rotation instantanée de (S) par rapport à (Ri) est :

Ωsi = Ωk

i = 0 (Équation 10)

2eme cas :

Lors du mouvement les axes de (Rk) changent d’inclinaison par rapport à ceux du repère (Ri) le

solide est en rotation / Ri, le vecteur de rotation instantanée sera alors :

Ωsi = Ωk

i ≠ 0 (Équation 11)

2. Repérage du solide en mouvement :

Etudier le repérage d'un solide en mouvement revient à repérer le repère (Rk) en mouvement

par rapport à un repère (Ri) ; il faut donc repérer l'origine (Ok) et l'orientation du repère (Rk).

a) pour le repérage de (Ok), il suffit de connaître les coordonnées du vecteur position O i O k sur

(Ri) ou (Rk).

Oi O k = {

Oi O k . 𝑥𝑖

Oi O k . 𝑦𝑖

Oi O k . 𝑧𝑖

}

Rk

Oi O k = {

Oi O k . 𝑥𝑖

Oi O k . 𝑦𝑖

Oi O k . 𝑧𝑖

}

Ri

(Équation 12)





Matrice de passage de Rk à Ri : [P]Rk→Ri

Cette matrice caractérise la rotation de Rk par

rapport à Ri. On fait coïncider les points Oi et

Ok.

Projetons les vecteurs 𝑥k , 𝑦k el 𝑧k sur le

repère Ri

xk = α11 xi + α12 yi

+ α13 zi

yk

= α21 xi + α22 yi

+ α23 zi

zk = α31 xi + α32 yi

+ α33 zi

Figure 13

Avec:

α11 = cos(xk, xi) α12 = cos(xk, yi) α13 = cos(xk, zi)

α21 = cos(yk, xi) α22 = cos(y

k, y

i) α23 = cos(y

k, zi)

α31 = cos(zk, xi) α32 = cos(zk, yi) α33 = cos(zk, zi)

xi yi zi

xk α11 α12 α13

yk α21 α22 α23

zk α31 α32 α33

La matrice de passage de Ri à Rk est la matrice suivante :

[P]Ri→Rk = [

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

] (Équation 13)

La matrice [P]Ri→Rk est orthogonale donc P -1 = PT, ce qui nous permet d'écrire :

[P]Rk→Ri= [P-1]

Ri→Rk= [P]T

Ri→Rk





[P]Rk→Ri = [

α11 α21 α31

α12 α22 α32

α12 α23 α33

] (Équation 14)

Le vecteur de rotation instantanée de Rk par rapport à Ri est le vecteur Ωki .

Exemple :

Ri = R0 ; Rk = R1

[P]R0→R1 = [

cos α sin α 0

- sin α cos α 0

0 0 1

]

Donc : [P]R1→R0

= [cos α - sin α 0

sin α cos α 0

0 0 1

]

Figure 14

Le vecteur v exprimé dans R1 est : v = [cos α sin α 0

- sin α cos α 0

0 0 1

] [Rcos α

R sin α

0

] = [R

0

0

]

Le vecteur v exprimé dans R0 est : v = [cos α - sin α 0

sin α cos α 0

0 0 1

] [R

0

0

] = [Rcos α

R sin α

0

]

3. Mouvement à trois rotations (angles d'Euler) :

Les angles d'Euler sont trois paramètres

indépendants repérant la position d'un solide

en rotation quelconque.

R0 : repère fixe.

R1, R2 : repères intermédiaires.

R3 repère lié au solide.





Figure 15

a) Rotation de ψ autour de z0 (Précession).

z0 = z1 Ω10 = ψ z0 = ψ z1 (Équation 15)

b) Rotation de θ autour de x1 (Nutation).

x1 = x2 Ω21 = θ x1 = θ x2 (Équation 16)

c) Rotation de φ autour de z2 (Rotation propre).

z2 = z3 Ω32 = φ z2 = φ z3 (Équation 17)

4. Vitesse angulaire du solide :

C’est le vecteur rotation instantanée Rk/ Ri avec Rk repère lié au solide, C’est le repère contenant

les axes propres du solide.

Ωki = Ω1

i + Ω2

1 + Ωk

2 = ψ z1 + θ x1 + φ z2 (Équation 18)

5. Champ des vitesses d'un solide indéformable :

Soit (S) un solide rigide ; (Rk) repère lié au

solide (S) et (Ri) le repère absolu ou repère de

référence.

Figure 16

Relation entre v i(Nk) et v

i(Mk):





Comme : v i(Mk) =

di OiMk

dt=

dk OiMk

dt + Ωk

i ∧ OiMk (Équation 19)

Et : v i(Nk) =

di OiNk

dt=

dk OiNk

dt + Ωk

i ∧ OiNk Nous aurons donc :

v i(Nk) - v

i(Mk) =

dk (OiNk - OiMk

)

dt+ Ωk

i ∧ (OiNk - OiMk

) (Équation 20)

Comme : MkNk = OiNk

- OiMk on aura:

v i(Nk) = v

i(Mk) + Ωk

i ∧ MkNk (Équation 21)

(Première relation de la cinématique du solide).

Remarque :

Si : Ok = Mk v i(N) = v

i(Ok)+ Ωk

i ∧ OkN (Équation 22)

6. Champ des accélérations d'un solide indéformable :

En dérivant la relation de distribution des vitesses (1ere relation de la cinématique du solide).

v i(Nk) = v

i(Mk) + Ωk

i ∧ MkNk

di v

i(Nk)

dt=

di v

i(Mk)

dt +

di v

i( Ωk

i ∧ MkNk

)

dt

(Équation 23)

𝛾 i(Nk) = 𝛾 i(Mk) + d

i Ωk

i

dt∧ MkNk

+ Ωki ∧

diMkNk

dt (Équation 24)

diMkNk

dt=

dkMkNk

dt+ Ωk

i ∧ MkNk (Équation 25)

𝛾 i(Nk) = 𝛾 i(Mk) + d

i Ωk

i

dt∧ MkNk

+ Ωki ∧ ( Ωk

i ∧ MkNk

) (Équation 26)

(Deuxième relation de la cinématique du solide).





7. Mouvements particuliers fondamentaux :

7.1 : Mouvement de translation Ωki = 0 :

v i(M) = v

i(Ok)

Tous les points auront la même vitesse et accélération.

Figure 17

7.2 : Solide ayant un point fixe (rotation

simple) :

Ok = Oi

v i(M) = Ωk

i ∧ OM

𝛾 i(M) = d

i Ωk

i

dt∧ OM + Ωk

i ∧( Ωk

i ∧ OM )

Un solide (S) lié à un repère (Rk) est dit en rotation

par rapport au repère (Ri), si un axe de (Rk) reste fixe

à tout instant dans (Ri).

Figure 18

7.3 : Mouvement Hélicoïdal :

OiOk = z(t) zk v

i(Ok) = z (t) zk Et Ωk

i = ψ z1

v i(M) = v

i(Ok) + Ωk

i ∧ OM

λ : Pas hélicoïdal.

2Π→λ

ψ→z(t)} → z(t)=

𝜆ψ

2Π

Avec : ψ angle de rotation.

λ Le pas.

Figure 19





8. Composition du mouvement :

Il faut que le solide admette deux mouvemente différents.

Figure 20

Ri : repère de référence, Rk : répare lié au solide et Rj repère mobile intermédiaire.

Rk / Ri = Rk / Rj + Rj / Ri

Mouvement absolu = Mouvement relatif + Mouvement d'entraînement.

8.1 : Composition des vitesses :

Soit M ϵ (S) : Par définition la vitesse de M/Ri est : v i(M) =

di OiM

dt

Comme : OiM = OiOj + OjM Donc : v

i(M) =

di OiOj

dt+

di OjM

dt = v

i(Oj)+

di OjM

dt

D’après la base mobile d

i OjM

dt =

dj OjM

dt + Ωj

i ∧ OjM

di OjM

dt = v

j(M) + Ωj

i ∧ OjM (Équation 27)

v i(M) = v

j(M) + [v

i(Oj) + Ωj

i ∧ OjM ] (Équation 28)

v i(M) = v

j(M) + vj

i (M) (Équation 29)

Avec :

v i(M) : vitesse absolue

v j(M) : vitesse relative (Rj : repère relatif)





vji (M) : vitesse d'entraînement (vitesse du point coïncidant, vitesse du point M/Ri en supprimant

le mouvement relatif de Rk/Rj, OjM = cte).

8.2 : Composition des accélérations :

D'après la composition des vitesses v i(M) = v

j(M) + [v

i(Oj) + Ωj

i ∧ OjM ]

En dérivant cette relation par rapport au repère Ri :

di v

i(M)

dt =

di v

j(M)

dt + [

di v

i(Oj)

dt +

di Ωj

i ∧ OjM

dt] (Équation 30)

di v

i(M)

dt = 𝛾 i(M) (Équation 31)

di v

j(M)

dt =

dj v

j(M)

dt+ Ωj

i ∧ v

j(M) = 𝛾 j(M) + Ωj

i ∧ v

j(M) (Équation 32)

di v

i(Oj)

dt = 𝛾 i(Oj) (Équation 33)

di Ωj

i ∧ OjM

dt =

di Ωj

i

dt∧ OjM + Ωj

i ∧ d

i OjM

dt (Équation 34)

Ωji ∧

di OjM

dt = Ωj

i ∧ [

di OjM

dt + Ωj


Ωji ∧

di OjM

dt = Ωj

i ∧ [v

j(M) + Ωj


D’où : 𝛾 i(M) = 𝛾 j(M) + Ωji ∧ v

j(M) + 𝛾 i(Oj) +

di Ωj

i

dt∧ OjM + Ωj

i ∧ [v

j(M) + Ωj

i ∧ OjM ]

𝛾 i(M) = 𝛾 j(M) + [ 𝛾 i(Oj) + d

i Ωj

i

dt∧ OjM + Ωj

i ∧ ( Ωj

i ∧ OjM )] + 2 Ωj

i ∧ v

j(M)

D’où : 𝛾 i(M) = 𝛾 j(M) + 𝛾ji (M) + 2 Ωj

i ∧ v

j(M) (Équation 37)

Avec:

𝛾 i(M) : Accélération absolue.

𝛾 j(M) : Accélération relative (OjM : variable).

𝛾ji (M) : Accélération d'entraînement (OjM : constante).

𝛾𝑐 (M) = 2 Ωji ∧ v

j(M): Accélération complémentaire ou de Corriolis.





ETUDE GEOMETRIQUE DU MOUVEMENT

Objectifs.

- Décrire les caractéristiques des mouvements plans.

- Définir et développer les notions d’équiprojectivité et de centre instantané de rotation (GIR).

- Indiquer les relations vectorielles liant les vitesses et les accélérations de deux points

appartenant à un même solide.

Un solide est en mouvement plan lorsque tous les points de celui-ci se déplacent dans des plans

parallèles à un plan de référence. Une translation (plane) et une rotation d’axe sont des

mouvements plans particuliers.

Dans cette partie, sauf si une extrême précision est exigée, il ne faut pas hésiter à utiliser des

méthodes graphiques pour résoudre les exercices (même démarche qu’en statique plane).

1. Étude générale - exemples :

Un mouvement plan peut être considéré comme l’addition d’une translation et d’une rotation.

Exemple 1 : prenons le cas d’une échelle posée en B sur le sol et appuyée en A sur un mur.

Figure 21

L’échelle décrit un mouvement plan par rapport à l’ensemble (sol + mur).

Pour passer de la position initiale (A0B0) à la position finale (AB), on peut faire une translation

(T) amenant B0 en B et A0 en A’ suivie d’une rotation d’axe B, d’angle α, amenant A’ en A.





On peut aussi utiliser une translation à partir de A (A0A) suivie d’une rotation autour de A

(amène B’ en B).

Remarque : compte tenu de cette propriété, l’étude des mouvements plans se ramène à

l’addition ou la combinaison d’une translation et d’une rotation.

Exemple 2 : Système bielle manivelle.

Les liaisons en 0, A et B sont des pivots dont les

axes sont perpendiculaires au plan de la figure.

Le mouvement du piston (3) par rapport au bâti

(0) Mvt3/0, est une translation rectiligne de

direction OB.

Le mouvement de la manivelle (1) par rapport à

(0), Mvt1/0 est une rotation d’axe 0.

Le mouvement de la bielle (2) par rapport à (0),

Mvt2/0, est un mouvement plan général.

Figure 22

Remarque : Mvt1/0 et Mvt

3/0 sont des mouvements plans particuliers.

2. Équiprojectivité :

La propriété d’équiprojectivité est l’une des propriétés les plus importantes de la cinématique

du solide. Abordée à l’occasion du mouvement plan, elle est également vérifiée pour des

mouvements quelconques de solides dans l’espace.

2.1. Énoncé :

Soit deux points A et B appartenant à un même solide ; et VA et VB

les vecteurs vitesses

respectifs, la projection orthogonale de VB sur AB est égale à la projection orthogonale de VA

sur AB. Autrement dit, le produit scalaire de VA par AB est égal au produit scalaire de VB

par

AB .

Figure 23

VA . AB = VB

. AB

Ou : AH = BK

Ou : VA cos α = VB

cos β

Project.VA / AB = Project.VB

/ AB





Remarque 1 : aH et bK sont perpendiculaires à AB. H et K sont tous deux situés du même

côté par rapport à A et B (à droite sur la figure ci-dessus).

La propriété est vérifiée pour tous les points du solide, pris deux à deux de manière quelconque.

De ce fait, on dit que le champ des vitesses est équiprojectif.

Remarque 2 : en pratique, pour tout solide en mouvement plan, il suffit de connaître

complètement la vitesse d’un point et la direction d’une autre, pour déterminer la vitesse de

tous les points.

Exemple 1 : reprenons l’exemple de l’échelle du paragraphe 1. L’échelle de longueur AB =

3 m, glisse en A, vers le bas à la vitesse de 0,5 m/s. Déterminons la vitesse de glissement en B

sachant que celle-ci appartient au plan du sol (direction x).

Figure 24

Par le calcul :

VA = - 0.5 j (en m/s)

VB = VB . j (direction x)

VA . AB = VB

. AB

VA cos 30 = VB cos 60

0.5 x 0.866 = 0.5 VB

d’où : Vs = 0.866 m/s

Remarque : si on adopte une construction graphique, il faut commencer par tracer la figure à

une échelle donnée (exemple : 1 cm pour 0,3 m), en respectant les angles.

Ordre des constructions : choisir une échelle pour tracer les vitesses (exemple : 1cm pour 0.l

m/s) ; VA ; point a ; point H de projection ; point K sachant que BK = AH ; point b en remarquant

que bK est perpendiculaire à AB ; VB ; mesure de l’intensité de VB

à l’échelle choisie.

Exemple 2 : reprenons le système bielle manivelle du paragraphe 1 avec OA = 35 mm ; AB

= 128 ; w1/0 = 100 rad/s (≈ 1 000 tr/min) et un angle 𝜃 = AOB de 50°.





Déterminons les vitesses en A et B.

VA= VA1/0 = VA2/0 = w1/0 ; OA = 100 x 0,035 = 3,5 m/s.

VA1/0 est perpendiculaire en A à OA (propriété de la rotation).

VB = VB3/0 = VB2/0 a pour direction OB (3 est en translation rectiligne de direction OB).

Remarque : A étant le centre de la liaison pivot entre 1 et 2, il en résulte que VA1/0 = VA2/0.

Même remarque en B entre 2 et 3 : VB3/0 = VB2/0

Figure 25

Résultat graphique : VB = 3,15 m/s.

La bielle 2 est en mouvement plan, VA2/0 est connue ainsi que la direction de VB2/0

.

L’intensité de VB2/0 est déterminée par équiprojectivité sur AB :

Projection de VA2/0 sur AB = projection de VB2/0

sur AB.

Ordre des constructions graphiques : tracer la figure à l’échelle (exemple : 1 cm pour 1 cm)

; choisir une échelle des vitesses (exemple : 1 cm pour 1 m/s) ; tracer VA perpendiculaire à OA

(3,5 m/s) ; point H, point K (AH = BK ) ; extrémité b ; VB2/0 ; mesure de VB

à l’échelle choisie

(VB = 3,15 m/s).

Remarque : si une grande précision est nécessaire, un calcul est possible à partir de (AB . sinβ

= OA . sin𝜃) ; α = 90° - 𝜃 – β ; VA cosα =VB cos β.

Résultat : VB = 3,163 m/s.





3. Détermination d’une vitesse par double équiprojectivité :

La détermination d’une vitesse Vc , de direction et d’intensité inconnues est possible par double

équiprojectivité à partir de deux vitesses VA et VB

connues.

Figure 26

L’équiprojectivité sur BC donne BS = CT et celle sur AC, AM = CN . L’extrémité c de VC est

située à l’intersection des perpendiculaires tracées en N et T.

Remarque : si C avait été situé sur AB, il aurait fallu déterminer préalablement la vitesse VD ,

d’un point D non aligné avec A et B. Deux doubles équiprojectivités sont nécessaires. Pour de

tels cas, préférer la méthode du CIR du paragraphe suivant.

4. Centre instantané de rotation (CIR) :

4.1. Définition et propriété :

Pour tout solide en mouvement plan, il existe un point I et un seul, ayant une vitesse nulle (VI =

0) à l’instant considéré (ou pour la position de la figure) et appelé centre instantané de rotation

ou CIR.

Remarque : le CIR a les propriétés d’un centre de rotation à l’instant (t) considéré. À l’instant

suivant (t’ = t + ∆t), le CIR a changé de position géométrique. Cette position varie au cours du

temps et décrit une certaine trajectoire.





4.2. Détermination et construction du CIR :

En tant que centre de rotation, le CIR est situé à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs-

vitesses du solide.

VA

IA=

VB

IB=

VC

IC= w

Figure 27

Exemple 1 :

Reprenons l’exemple de l’échelle avec les

données du paragraphe 2.1 (AB = 3 m ; 60° ; VA

= - 0,5 j (en m/s).

Le CIR, I, est situé à l’intersection des

perpendiculaires en A à VA et en B à VB

.

VB

IB=

VA

IA=

VA'

IA'= w

avec IA = IA’ = AB COS 60° = 1,5 m

IB = AB sin 60° = 2,6 m

w = VA

IA=

0.5

1.5= 0.33 rad/s

VB = 0.33 x 2.6 = 0.866 m/s

Figure 28

Ordre des constructions graphiques : GIR(I) ; A’ tel que IA = IA’ ; VA' perpendiculaire à

IA’ et tel que VA’ = VA = 0,5 m/s ; tracé la droite I a’ ; extrémité b de VB ; mesure de VB

, à

l’échelle choisie.





Exemple 2 : reprenons le système bielle manivelle avec les données du paragraphe 2.1 sauf

𝜃=18° et VA2/0 = 3 m/s. Déterminons VB2/0

et VG2/0 , G étant le centre de gravité de la bielle

(AG = AB/3).

Figure 29

I2/0, CIR de la bielle 2 dans un mouvement par rapport à 0, est situé à l’intersection des

perpendiculaires en A à VA2/0 (droite OA) et en B à VB2/0

de direction OB.

VG2/0 est perpendiculaire en G au rayon I2/0G.

Ordre des constructions : CIR I2/0 ; I2/0G ; Gg perpendiculaire à I2/0G ; I2/0G’=I2/0G ;

I2/0B’=I2/0B ; I2/0a ; VG' et VB'

) perpendiculaires à I2/0A ; VG2/0= VG’=2.15 m/s ; VB2/0= VB’=1.15

m/s ; VG2/0 = Gg et VB2/0

= Bb .

Remarque : le triangle des vitesses peut être remplacé par le calcul :

VA2/0

I2/0A=

VB2/0

I2/0B=

VG2/0

I2/0G=w2/0=

3 m s⁄

0.135 m=22.2 rad s⁄

I2/0A, I2/0B et I2/0G sont mesurées à l’échelle de la figure (en vraie grandeur).

4.3. Propriétés des CIR :

Pour trois solides 1, 2 et 3 en mouvements plans les uns par rapport aux autres, les trois centres

instantanés de rotation possibles, I1/2, I1/3 et I2/3 sont alignés. De plus, le rapport des vitesses de

rotation w3/1 sur w2/1 est égal au rapport des distances entre CIR.

w3/1

I3/2I2/1

= w3/2

I3/1I1/2

=w2/1

I2/3I3/1





Exemple : reprenons le système bielle manivelle du paragraphe précédent.

I0/1, I1/2 et I2/0 sont alignés sur OA ;

I1/3, I1/2 et I2/3 sont alignés sur AB ;

I2/3, I2/0 et I3/0 (situé à l’infini) sont

alignés sur la perpendiculaire en B à OB.

Même remarque pour I0/1, I1/3 et I3/0.

w2/0

w1/0

= I2/1I1/0

I1/2I2/0

=OA

I2/0A

Figure 30

5. Relation vectorielle entre les vitesses d’un solide :

La relation entre VB et VA

traduit la propriété du paragraphe 1 : mouvement plan = translation

+ rotation.

VA et VB

sont tangents en A et B à leurs trajectoires respectives TA et TB

VB = VA

+ w ˄ AB (Équation 38)

Remarque : la relation est également valable dans l’espace.

Figure 31

Remarque : si (0, x, y) est le plan du mouvement, w = w . k

Si u est un vecteur unitaire de la direction AB : AB = AB . u

Soit v un vecteur unitaire directement perpendiculaire à u , la

relation s’écrit :

VB = VA

+ w . AB v (Équation 39)

Figure 32





Exemple : reprenons l’échelle du paragraphe 2.1 avec AB = 3 m ; VA = - 0,5 j (m/s) ; θ =

60°. Déterminons V' et w .

VB = VA

+ w . AB v

VB . i = -0.5 . j + 3 w (0.866 i + 0.5 j)

Projection sur (0, x) :

VB = 3 w x 0.866

Projection sur (0, y) :

0 = -0.5 + 3 w x 0.5

Resultants : VB = 0,866 m/s ; w = 0,33 rad/s

Figure 33

6. Relation vectorielle entre les accélérations d’un solide :

La relation est obtenue en dérivant par rapport au temps celle du paragraphe précédent :

VB = VA

+ w ˄ AB = VA + w . AB v (Équation 40)

En remarquant que dv

dt = -w u et

du

dt = w v on obtient :

aB = aA + α . AB v - w2 AB u = aA + α ˄ AB + w ˄(w ˄ AB ) (Équation 41)

Remarque :

aB =dVB

dt ; aA =

dVA

dt

α = α k ; w = w k

(a AB v - w2 AB u ) est l’accélération de B dans

son mouvement de rotation par rapport à A.

a AB v est l’accélération tangentielle et - w2 AB

u l’accélération normale.

Figure 34





Figure 35

Le polygone des accélérations

(aB = aA + α AB v - w2 AB u )

permet d’obtenir graphiquement

les accélérations inconnues figure

ci-contre

Figure 36

Exemple :

Reprenons le système bielle manivelle des paragraphes précédents avec les données suivantes :

θ=45° ; w1/0=100 rad/s ; VA2/0=3.5 m/s ; VB2/0=2.95 m/s ; w2/0=-18.75 rad/s ; OA=35 mm ;

AB=128 mm.

Déterminons l’accélération du point B du piston.

Figure 37

aA = aA1/0 = aA2/0 aB = aB2/0 = aB3/0





La bielle (2) est en mouvement plan par rapport au bâti (0) et les accélérations des points A et

B sont liés par la relation :

aB2/0 = aA2/0 + α2/0 . AB v - w2/02 AB u

aA1/0= w1/02 . OA= 100

2 x 0.035 = 350 m/s-2

aB3/0 à pour direction OB (3 est en translation rectiligne)

w2/02 . AB = 18.75

2 × 0.128 = 45 m/s-2

Faisons le bilan des inconnues sous forme de tableau :

Accélérations aA2/0 - w2/02 AB u α2/0 . AB v aB2/0

Directions OA ii v OB

Intensités 350 m/s 45 m/s ? ?

On a deux inconnues (α2/0 et l’intensité de aB2/0 ) pour une relation vectorielle dans le plan. La

résolution est possible. Adoptons une solution graphique.

Ordre des constructions : choisir une

échelle pour tracer les accélérations (exemple

: 1 cm pour 50 m/s) ; point P ; aA2/0 (350 m/s2

parallèle à OA) ; - w2/02 . AB u (45m/s-2

parallèle à AB) ; direction v ; direction OB à

partir de P ; point d’intersection k ; aB2/0 et

α2/0 . AB v ; mesure des intensités cherchées. Figure 38

Résultats

aB2/0 = 240 m/s-2

α2/0 AB = 250 m/s-2

α2/0 = 250/0.128 = 1953 rad/s-2

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