Circuiti elettronici per la elaborazione analogica delleinformazioni

La maggior parte dei segnali applicati agli ingressi di un sistema elettronico provengono dadispositivi chiamati sensori i quali, sulla base della loro caratteristica ingresso-uscita, convertonograndezze non elettriche (ad esempio una temperatura) in corrispondenti grandezze elettriche informa analogica (ad esempio una tensione). Inoltre, la maggior parte dei segnali presenti alle uscitedi un sistema elettronico sono utilizzati per pilotare dispositivi chiamati attuatori (ad esempio unaltoparlante) i quali convertono grandezze elettriche in forma analogica (ad esempio una tensione)in grandezze non elettriche (ad esempio onde acustiche).

Per tale ragione, sebbene la elaborazione delle informazioni avvenga tipicamente sotto formadigitale, tutti i sistemi elettronici richiedono la presenza di circuiti per elaborare segnali analogici,se non altro per convertire tali segnali analogici in segnali digitali (conversione analogica/digitaleo A/D) e viceversa (conversione D/A).

Le principali operazioni che possono essere effettuate su segnali analogici sono l’amplificazione(il che equivale a moltiplicare il segnale per una costante), la somma pesata di segnali diversi, leoperazioni di derivazione ed integrazione nel tempo e il filtraggio nel dominio della frequenza, comesintetizzato nella Tab.1.

La piu importante tra le operazioni analogiche e l’amplificazione, dato che essa rappresentala funzione base per l’esecuzione della maggior parte delle altre funzioni analogiche e, come saraillustrato in seguito, perche indispensabile per condizionare i segnali prima dell’operazione di con-versione A/D. Sulla base di queste considerazioni, nel seguito saranno illustrati i circuiti elettroniciche consentono di eseguire l’operazione di amplificazione (ossia gli amplificatori) insieme con le lorolimitazioni pratiche.

Funzione Descrizione

y(t) = Ax(t) Amplificazione

y(t) = Ax(t) + C Amplificazione con offset C

y(t) = A1x1(t)+A2x2(t)+ . . . Somma pesata

y(t) = kx1(t)x2(t) Prodotto tra segnali

y(t) = kx1(t)/x2(t) Rapporto tra segnali

y(t) = k1 log [k2x(t)], Altre funzioni non lineariy(t) = k1 exp [k2x(t)],. . .

y(t) = k dx(t)dt Derivata

y(t) = k∫ t0 x(t

′)dt′ Integrale definito

Y (f) = H(f)X(f)Filtraggio nel dominio della frequenza(Passa-basso, passa-alto,passa-banda,. . . )

Tabella 1: Alcune tra le piu importanti funzioni analogiche: x(t) segnale(i) in ingresso, y(t) segnalein uscita, A, k valori reali (dimensionati).

1

1 Amplificatori

Gli amplificatori saranno descritti in cio che segue dapprima considerando un comportamento idealedelle loro caratteristiche in modo da focalizzare l’attenzione solo sui meccanismi di funzionamento.Dopodiche, saranno discusse le principali limitazioni dei circuiti amplificatori reali.

1.1 Classificazione

Un amplificatore ideale e un circuito elettronico il quale genera un segnale di uscita y(t) dato dalprodotto del segnale in ingresso x(t) ed una costante A, cioe

y(t) = Ax(t). (1)

Dato che sia x(t) che y(t) in (1) sono grandezze elettriche (tensioni o correnti), un amplificatorepuo essere considerato un dispositivo a due porte: alla porta di ingresso viene applicato un segnaledi tensione oppure di corrente (possibilmente senza perturbare il circuito che ha generato talesegnale), mentre alla porta di uscita, l’amplificatore forza una tensione o una corrente proporzionalial segnale in ingresso secondo l’Eqn.(1). A seconda della natura (tensione o corrente) di tali segnaligli amplificatori si classificano in quattro categorie come mostrato in Fig.1.

Amplificatore di tensione sia il segnale di ingresso che quello in uscita sono tensioni. Esso ecaratterizzato dalla relazione ingresso-uscita

vOUT = AvvIN

dove la costante adimensionata Av e detta amplificazione di tensione.

Amplificatore di transconduttanza il segnale di ingresso e una tensione mentre il segnale diuscita e una corrente. Esso e caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita

iOUT = gmvIN

dove la costante gm ha le dimensioni di una conduttanza (cioe il reciproco di una resistenza)ed e nota come transconduttanza.

Amplificatore di transresistenza il segnale di ingresso e una corrente mentre il segnale di uscitae una tensione. Esso e caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita

vOUT = RmiIN

dove la costante Rm ha le dimensioni di una resistenza ed e nota come transresistenza.

Amplificatore di corrente sia il segnale di ingresso che quello in uscita sono correnti. Esso ecaratterizzato dalla relazione ingresso-uscita

iOUT = AiiIN

dove la costante adimensionata Ai e detta amplificazione di corrente.

Nel caso in cui la grandezza alla porta di uscita di un amplificatore sia un tensione (cioe unamplificatore di tensione o di transresistenza, come indicato nella prima colonna in Fig.1), taleporta di uscita e equivalente ad un generatore ideale di tensione, il quale forza la tensione ai propri

2

+

+

Grandezza d’uscita:

Gra

nd

ezza

d’i

ng

ress

o:

Tensione

Co

rren

te

Corrente

Ten

sio

ne

Amplificatore di tensione Amplificatore di transconduttanza

Amplificatore di transresistenza Amplificatore di corrente

vIN vIN

iIN iIN

vOUT

vOUT

iOUT

iOUT

A vINv

R iINm

g vINm

A iINi

vOUT v=A vIN iOUT m=g vIN

vOUT m=R iIN iOUT i=A iIN

Figura 1: Amplificatori ideali: classificazione.

terminali indipendentemente dalla corrente che vi circola. La tensione forzata da tale generatoreequivalente, tuttavia, non e indipendente ma dipende dalla tensione (esso e cioe un generatore ditensione pilotato in tensione) o dalla corrente (generatore di tensione pilotato in corrente) presentealla porta di ingresso.

La porta di uscita di un amplificatore il quale, invece, generi una corrente (cioe un amplificatoredi transconduttanza o di corrente, come indicato nella seconda colonna in Fig.1) e equivalente adun generatore ideale di corrente, il quale forza una data corrente indipendentemente dalla tensioneai propri terminali. La corrente forzata da tale generatore equivalente, tuttavia, non e indipendentema dipende dalla tensione (esso e cioe un generatore di corrente pilotato in tensione) o dalla corrente(generatore di corrente pilotato in corrente) presente alla porta di ingresso.

La porta di ingresso di un amplificatore il quale amplifichi una tensione (cioe un amplificatoredi tensione o di transconduttanza, come indicato nella prima riga in Fig.1) e equivalente ad uncircuito aperto, il quale puo essere collegato in parallelo alla porta di uscita del circuito che generala tensione da amplificare senza dare luogo ad alcuna perturbazione (vale a dire che la tensioneall’uscita del circuito che genera la tensione da amplificare e identica sia che vi sia collegata la portadi ingresso dell’amplificatore sia che non sia collegata, come mostrato in Fig.2a).

La porta di ingresso di un amplificatore il quale amplifichi una corrente (cioe un amplificatoredi transresistenza o di corrente, come indicato nella seconda riga in Fig.1) e equivalente ad un cortocircuito, il quale puo essere collegato in serie al ramo nel quale scorre la corrente da amplificaresenza dare luogo ad alcuna perturbazione (vale a dire che tale corrente e identica sia che vi siacollegata la porta di ingresso dell’amplificatore sia che non sia collegata, come mostrato in Fig.2b).

3

vx,0 vx,a

vx,a =vx,0

CIRCUITOAPERTO

ix,a =ix,0

CORTOCIRCUITO

ix,0 ix,a

Porta di ingressodi un amplificatore di tensione

o di transconduttanza

Porta di ingressodi un amplificatore di corrente

o di transresistenza

Figura 2: Collegamento di un amplificatore ideale di tensione o di transconduttanza tra due nodiin un circuito (a) e collegamento di un amplificatore ideale di transresistenza o di corrente in seriead un ramo (b).

1.2 Resistenze di ingresso ed uscita ed effetto di carico

Contrariamente agli amplificatori ideali, i circuiti reali hanno resistenze di ingresso e di uscita finite.Cio significa che la porta di ingresso degli amplificatori reali di tensione e di transconduttanza non emodellizzabile come un circuito aperto e che la porta di ingresso degli amplificatori di transresistenzae di corrente non e un corto circuito. Negli amplificatori reali la porta di ingresso e modellizzabile,invece, con una resistenza di valore finito detta resistenza di ingresso. Inoltre, la porta di uscitadegli amplificatori reali di tensione e di transresistenza non e equivalente ad un generatore ideale ditensione, ma e rappresentata da un circuito equivalente di Thevenin1 il quale include un generatoreideale di tensione ed una resistenza serie. In modo analogo, la porta di uscita degli amplificatori realidi transconduttanza e di corrente non sono generatori ideali di corrente, ma sono rappresentabilicon un circuito equivalente di Norton2 il quale include un generatore ideale di corrente in parallelo

1Anche se, come insegna la teoria dei circuiti, la porta di uscita degli amplificatori reali di tensione e di trans-resistenza e altresı rappresentabile con un equivalente Norton, tuttavia si preferisce la rappresentazione Theveninin quanto essa sottolinea maggiormente il fatto che tale porta di uscita e da considerarsi una sorgente di tensionepiuttosto che di corrente.

2La porta di uscita degli amplificatori reali di transconduttanza e di corrente e anche rappresentabile con unequivalente Thevenin, tuttavia si preferisce la rappresentazione Norton per mettere in evidenza il fatto che tale portadi uscita e da considerarsi una sorgente di corrente piuttosto che di tensione.

4

ad una resistenza.

+

+

vIN

iIN

vOUT

vOUT

iOUT

iOUT

A vINv

R iINm

g vINm

A iINi

vOUT v=A vIN iOUT m=g vIN

vOUT m=R iIN iOUT i=A iIN

Rin

Rin

Rout

Rout

iIN

Rin

vIN Rin Rout

Rout

Grandezza d’uscita:

Gra

nd

ezza

d’i

ng

ress

o:

Tensione

Co

rren

te

Corrente

Ten

sio

ne

Amplificatore di tensione Amplificatore di transconduttanza

Amplificatore di transresistenza Amplificatore di corrente

Figura 3: Amplificatori reali con resistenze di ingresso ed uscita finite.

Sulla base di quanto detto, i circuiti equivalenti degli amplificatori con resistenze di ingresso eduscita entrambe di valore finito sono riportati in Fig.3. Di seguito sara analizzato l’impatto di taliresistenze di ingresso ed uscita sul funzionamento di un amplificatore. A tale scopo, si consideriper primo un amplificatore di tensione. Tale amplificatore, come mostrato in Fig.4a, dovrebbeamplificare la tensione vS, presente tra due nodi di un circuito, generando una tensione pari aAvvS alla propria uscita alla quale e collegato un carico RL. Supponendo che il circuito collegatoall’ingresso dell’amplificatore sia di tipo resistivo (e dunque lineare), lo si puo rappresentare daun equivalente Thevenin costituito da una resistenza finita RS come mostrato in Fig.4b e 4c.Nell’ipotesi in cui l’amplificatore fosse ideale (Fig.4b), si ha che

vIN = vS and vOUT = AvvIN,

come conseguenza

vOUT = AvvS (2)

come ci si aspetta. Nel caso in cui, invece, l’amplificatore fosse reale con resistenze di ingresso eduscita finite, come in Fig.4c, si ha che

vIN =Rin

Rin +RsvS and vOUT =

RL

RL +RoutAvvIN,

5

Figura 4: Effetto di carico in un amplificatore di tensione: a) sorgente in ingresso all’amplificatoree carico, b) amplificatore di tensione ideale, c) amplificatore di tensione con resistenze di ingressoed uscita finite.

come conseguenza

vOUT =Rin

Rin +Rs

RL

RL +RoutAvvS. (3)

Si puo osservare che la tensione di uscita non e piu quella ideale, ma e affetta da un errore,noto come errore dovuto all’effetto di carico in ingresso ed uscita, dovuto alla presenza dei partitoridi tensione all’ingresso e all’uscita dell’amplificatore. Tale errore dipende dalla presenza dellaresistenza di sorgente Rs e da quella di carico RL. Tuttavia, si puo notare come il partitore ditensione in ingresso Rin

Rin+Rstenda ad 1 per Rin → ∞ o, comunque se Rin ≫ Rs. In modo analogo,

il partitore di tensione in uscita RLRL+Rout

tende ad 1 per Rout → 0 o se Rout ≪ RL. In modo darendere il funzionamento dell’amplificatore indipendente dalle resistenze di sorgente e di carico laresistenza di ingresso Rin di un amplificatore di tensione dovrebbe essere la piu alta possibile e lasua resistenza di uscita Rout dovrebbe essere la piu bassa possibile.

Oltre che negli amplificatori di tensione, l’effetto di carico si puo osservare anche nelle altreconfigurazioni amplificatrici. Si consideri, ad esempio, un amplificatore di corrente il quale amplificala corrente iS che circola in un ramo di un circuito in modo da generare una corrente pari a

6

AiiS, la quale circola nel carico RL, come mostrato in Fig.5a. Se il circuito collegato all’ingressodell’amplificatore e di tipo resistivo (e dunque lineare), lo si puo rappresentare da un equivalenteNorton costituito da una resistenza RS di valore finito in parallelo come mostrato in Fig.5b e 5c.Nell’ipotesi di amplificatore ideale, si ha che

iIN = iS and iOUT = AiiIN,

e di conseguenza

iOUT = AiiS (4)

come ci si aspetta. Nel caso in cui, invece, l’amplificatore fosse reale con resistenze di ingresso eduscita finite, tuttavia, si ha che

iIN =Rs

Rin +RsiS and iOUT =

Rout

RL +RoutAiiIN,

per cui

iOUT =Rs

Rin +Rs

Rout

RL +RoutAiiS. (5)

In quest’ultima espressione, la corrente d’uscita non e piu data dalla precendente espressioneideale ma e affetta da un effetto di carico in ingresso ed uscita il quale dipende dalla resistenzadella sorgente Rs e da quella del carico RL. Tuttavia si puo osservare che il partitore di correntein ingresso Rs

Rin+Rstende ad 1 se Rin → 0 o se Rin ≪ Rs e, analogamente, il partitore di corrente

in uscita RoutRL+Rout

tende ad 1 se Rout → ∞ oppure se Rout ≫ RL. Conseguentemente, affinchel’amplificatore di corrente reale sia indipendente dalla sorgente e dal carico e il suo comportamentosi avvicini il piu possibile a quello ideale e necessario che la sua resistenza di ingresso Rin sia la piubassa possibile e la sua resistenza di uscita Rout sia la piu alta possibile.

L’effetto di carico in un amplificatore di transresistenza e considerato in Fig.6a. Si puo osservareche la tensione di uscita di un amplificatore di transresistenza il quale abbia resistenze di ingressoed uscita finite, invece di essere

vOUT = RmiS,

e data da

vOUT =Rs

Rin +Rs

RL

RL +RoutRmiS. (6)

Procedendo come visto in precedenza per gli amplificatori di corrente e tensione, e possibile afferma-re che affinche l’amplificatore operi in modo indipendente dalla sorgente e dal carico e si comporticome un amplificatore ideale entrambe le resistenze di ingresso ed uscita di un amplificatore ditransresistenza dovrebbero essere le piu basse possibili.

Infine, l’effetto di carico in un amplificatore di transconduttanza e considerato in Fig.6b. Inquesto caso, la corrente di uscita di un amplificatore di transresistenza il quale abbia resistenze diingresso ed uscita finite, invece di essere

iOUT = gmvS,

vale

iOUT =Rin

Rin +Rs

Rout

RL +RoutgmvS. (7)

Ora affinche l’amplificatore operi in modo indipendente dalla sorgente e dal carico e si comporticome un amplificatore ideale entrambe le resistenze di ingresso ed uscita dovrebbero essere le piualte possibili.

7

Figura 5: Effetto di carico in un amplificatore di corrente: a) sorgente in ingresso all’amplificatoree carico, b) amplificatore di corrente ideale, b) amplificatore di corrente con resistenza di ingressoed uscita finite.

1.3 Non idealita degli amplificatori

Oltre alle resistenze di ingresso ed uscita finite, gli amplificatori hanno le seguenti ulteriori limita-zioni:

dinamica di ingresso Mentre il funzionamento di un amplificatore ideale dovrebbe essere in-dipendente dal valore assunto dal segnale applicato al suo ingresso, gli amplificatori realifunzionano correttamente solo per segnali di ingresso (tensioni o correnti) i cui valori sonocompresi in un intervallo specifico noto come dinamica di ingresso. Ogniqualvolta tale segnaledi ingresso oltrepassa i limiti della dinamica di ingresso, la grandezza all’uscita dell’amplifi-catore satura al massimo (o al minimo) valore consentito, cioe la dinamica di ingresso di unamplificatore e (XMIN, XMAX) tale che

y = AXMIN per x < XMIN

y = Ax for XMIN < x < XMAX

y = AXMAX per x > XMAX.(8)

8

Figura 6: Effetto di carico in un amplificatore di transresistenza reale (a) e in un amplificatore ditransconduttanza reale (b).

Inoltre, l’amplificatore potrebbe subire danni nel caso in cui il segnale applicato all’ingres-so abbia un’ampiezza molto maggiore o molto minore dei limiti imposti dalla dinamica diingresso.

Dinamica di uscita gli amplificatori reali funzionano correttamente solo se il segnale generato inuscita (tensione o corrente) assume un valore compreso all’interno di uno specifico intervallonoto come dinamica di uscita dell’amplificatore. Si osserva, inoltre, che anche nel caso in cui ilsegnale applicato all’ingresso dell’amplificatore sia compreso all’interno della sua dinamica diingresso, il segnale generato alla porta di uscita di un amplificatore reale potrebbe non essere ingrado di pilotare correttamente il carico collegato dando origine ad una ulteriore limitazionedella dinamica di uscita. Tale limitazione non dipende soltanto dal segnale desiderato inuscita, ma principalmente dal valore del carico. Ad esempio, un amplificatore di tensionepotrebbe avere una dinamica di uscita compresa tra -5V e +5V se la corrente richiesta dalcarico collegato in uscita e inferiore a 10mA, mentre potrebbe generare una tensione di uscitacompresa tra -2.5V e +2.5V se tale corrente fosse superiore a 10mA.

Offset Secondo l’Eqn.(1), se ad un amplificatore ideale si applica un segnale di ingresso nullo cisi aspetta una uscita nulla. In pratica, l’uscita di un amplificatore reale con ingresso nullo espesso una costante (tensione o corrente) C. In generale, l’uscita di un amplificatore non edata dalla (1) ma si puo esprimere come

y(t) = Ax(t) + C. (9)

La costante C e nota come offset (di tensione o corrente) dell’amplificatore. Essa e spessolegata alle caratteristiche di fabbricazione dell’amplificatore ed il suo valore varia come unavariabile casuale da un amplificatore all’altro.

9

+

+

Vin

Iin

Vout

vOUT

Iout

Iout

A Vinv

Z Iinm

Y Vinm

A iINi

Vout v=A Vin Iout m in=Y V

Zin

Zout

Iin

Rin

ZoutVin Zin

Iout i in=A IVout m=Z Iin

Zout

Zout

Grandezza d’uscita:

Gra

nd

ezza

d’i

ng

ress

o:

Tensione

Co

rren

te

Corrente

Ten

sio

ne

Amplificatore di tensione Amplificatore di transammettenza

Amplificatore di transimpedenza Amplificatore di corrente

Figura 7: Amplificatori reali nel dominio della frequenza con impedenze di ingresso ed uscita finite.

Tale offset non voluto non si deve confondere con il termine costante che spesso si aggiungeintenzionalmente all’uscita di un amplificatore allo scopo di traslare la forma d’onda (si vedala Tab.1, seconda riga) e che e chiamato offset anch’esso.

Larghezza di banda Il funzionamento di un amplificatore ideale non dipende dalla frequenza deisegnali applicati in ingresso, per cui un amplificatore ideale mostra lo stesso comportamentosia che tali segnali siano caratterizzati da variazioni lente oppure molto veloci. In pratica, acausa dei tempi di risposta finiti dei loro circuiti interni, gli amplificatori reali non possonotuttavia elaborare segnali i quali variano troppo velocemente mentre essi riescono ad elaborarecorrettamente i segnali il cui spettro non include significative componenti al di sopra di unafrequenza B detta larghezza di banda (o semplicemente banda) dell’amplificatore.

Per descrivere il comportamento in frequenza di un amplificatore lineare, l’amplificazione ditensione e corrente, i parametri di transresistenza e transconduttanza possono essere gene-ralizzati in una amplificazione di tensione e corrente dipendente dalla frequenza, cioe Av(f)and Ai(f), in una transimpedenza Zm(f) e in una transammettenza Ym(f) i quali assumonoil significato di funzioni di trasferimento nel dominio della frequenza. Analogamente, le re-sistenze di ingresso ed uscita possono essere rimpiazzate da impedenze di ingresso ed uscitaZin(f) and Zout(f) nel dominio della frequenza, come mostrato in Fig.7.

Slew Rate Oltre alla limitazione di banda appena descritta, la quale e indipendente dall’ampiezzadel segnale, gli amplificatori reali sono affetti da una limitazione che riguarda il massimo slew

10

rate, vale a dire il massimo valore della derivata temporale della tensione in uscita. Ciosignifica che, per funzionare correttamente, deve essere∣∣∣∣dvOUT

dt

∣∣∣∣ < SR ∀t (10)

dove SR e noto come limitazione di slew rate dell’amplificatore. In altre parole, si puo direche la limitazione di slew rate si manifesta quando l’uscita di un amplificatore non e piu ingrado di inseguire la corretta tensione di uscita perche essa varia troppo velocemente.

Nonlinearita Mentre la relazione ideale ingresso-uscita di un amplificatore ideale, riportata nellaEqn.(1), e una funzione lineare, un amplificatore reale potrebbe mostrare una caratteristicaingresso-uscita y = f(x) non (o non esattamente) lineare. Cio potrebbe corrompere la qualitadei segnali da elaborare.

11

2 Retroazione negativa e amplificatori operazionali

Gli amplificatori elettronici basati sui dispositivi a semiconduttore (transistori) introdotti in pre-cedenza sono pesantemente affetti da non-idealita e i loro parametri sono scarsamente controllabilia causa delle tolleranze di fabbricazione. Per ottenere amplificatori il cui comportamento si av-vicini all’idealita utilizzando blocchi costitutivi lontani dalla idealita, si sfrutta il principio dellaretroazione negativa. In cio che segue verra descritto tale principio, fondamentale non solo inelettronica.

2.1 Il principio della retroazione negativa

La retroazione negativa e un principio generale che si puo applicare a svariati sistemi di naturameccanica, biologica, sociale, economica, etc. . . , inclusi gli amplificatori elettronici. Per introdurrequesto concetto cosı importante, si consideri un esempio tratto dalla vita quotidiana. Si suppongadi voler guidare un’automobile da Torino a Milano. La traiettoria descritta dal veicolo dipende inmodo deterministico dalle azioni che l’autista esegue sui pedali, sul volante, sulla trasmissione, etc...Per cui, noto il percorso da Torino a Milano, si puo stabilire una corrispondenza tra la traiettoriadesiderata e una sequenza specifica di operazioni da effettuare sui pedali, sul volante, etc...

Sulla base di tale ragionamento, se si applica una specifica sequenza di operazioni (cioe l’ingresso)ai comandi dell’automobile (cioe il sistema) essa seguira la traiettoria desiderata e giungera a desti-nazione (cioe l’obiettivo, l’uscita). Di conseguenza, in teoria, l’autista potrebbe chiudere gli occhie raggiungere la destinazione solo riproducendo la sequenza di operazioni precedentemente deter-minata. Questo approccio, chiamato controllo ad anello aperto, e concettualmente simile a quantosuccede nel funzionamento delle configurazioni amplificatrici di base, in cui si applica un ingressoall’amplificatore, le cui caratteristiche si suppone di conoscerle accuratamente, in modo da ottenerel’uscita necessaria.

In realta, tutti sappiamo che se si prova a guidare chiudendo i propri occhi, anche supponendodi conoscere perfettamente il percorso, si urtera un ostacolo dopo pochi metri. La ragione di cioe dovuta al fatto che, anche se la traiettoria del veicolo e completamente determinata dalle azionidell’autista, la conoscenza della relazione esistente tra le azioni sui comandi ed il comportamentoeffettivo del veicolo non e sufficientemente accurata per cui anche piccoli errori nei comandi produ-cono inaccettabili errori nell’uscita (cioe un incidente). Inoltre, tale relazione non tiene conto dellapresenza dei fattori esterni presenti nell’ambiente nel quale l’automobile viaggia (cioe la presenzadi altri veicoli).

Se si vuole viaggiare in sicurezza, e necessario osservare la traiettoria (cioe l’uscita) in temporeale in maniera tale da poter individuare qualunque errore tra la traiettoria desiderata e quellaeffettiva del veicolo ed agire di conseguenza sui comandi. In pratica, quello che si fa mentre siguida e agire sui comandi in modo da correggere la differenza esistente tra la traiettoria voluta equella effettiva. Facendo cosı, e possibile seguire la traiettoria corretta anche nel caso in cui lanostra conoscenza del comportamento del veicolo e limitata (ad esempio, e sufficiente sapere cheil veicolo gira a destra se si ruota a destra il volante e gira a sinistra se lo si ruota a sinistra).Tale approccio in cui l’uscita del sistema (ad esempio, la traiettoria dell’automobile istante peristante) e riportata all’ingresso del sistema, viene chiamato controllo ad anello chiuso oppure inretroazione. Piu precisamente, esso e detto approccio in retroazione negativa perche l’informazioneriportata all’ingresso e utilizzata per correggere la differenza tra l’uscita effettiva e quella desideratain modo da generare un comando di segno opposto, cioe negativo, in modo tale da ridurre questadifferenza (ad esempio, se si nota che l’autoveicolo sta girando verso destra mentre si vuole cheprosegua in modo rettilineo, sara necessario ruotare il volante verso sinistra cosicche la differenza

12

Figura 8: Schema a blocchi di un sistema retroazionato negativamente.

tra la traiettoria attuale e quella desiderata si riduca). Lo stesso principio si sfrutta per ottenereamplificatori elettronici molto accurati costruiti con componenti (ad esempio, transistori MOS ebipolari) la cui caratteristiche non sono note in modo preciso.

Il principio della retroazione negativa, illustrato in modo cosı intuitivo, puo essere descritto inmaniera piu formale facendo riferimento allo schema a blocchi di Fig.8. In tale schema, un ampli-ficatore (caratterizzato da un guadagno elevato ma non accurato) viene utilizzato per amplificarela differenza, cioe l’errore tra il segnale desiderato e (una funzione del) segnale di uscita, riportatoindietro all’ingresso dal blocco β (un blocco passivo, ad esempio un partitore di tensione). Datoche si desidera una retroazione negativa, la correzione dovrebbe variare l’uscita in modo tale daridurre l’errore. A tale scopo, e importante che il segno del termine proporzionale all’uscita cheviene riportato indietro all’ingresso sia negativo.

Facendo riferimento allo schema a blocchi di Fig.8, il segnale di uscita y puo essere espressocome

y = A (x− βy) (11)

quindi,

y =A

1 +Aβx =

1

β

Aβ

1 +Aβx. (12)

Dalla Eqn.(12) si puo osservare che se Aβ ≫ 1, l’uscita y tende a xβ , che e indipendente dalla

amplificazione A (tipicamente non accurata). Siccome β e un termine passivo (vale a dire β < 1),il suo reciproco 1

β e una termine attivo (cioe 1β > 1) e fornisce un fattore di amplificazione (non una

attenuazione), il cui valore e determinato dal termine passivo β. La quantita T = Aβ, sul valoredella quale si fonda l’efficacia della retroazione negativa secondo la Eqn.(12), e chiamato guadagnod’anello del sistema retroazionato.

Dall’Eqn.(12) si puo anche osservare che il segnale d’errore ε, posto all’ingresso del blocco A, edato da

ε = x− βy =1

1 +Aβx (13)

ed e mantenuto a zero dalla retroazione negativa se il guadagno d’anello T = Aβ e sufficientementeampio.

13

Figura 9: Amplificatori operazionali: simbolo (a) e schema funzionale di base (b).

2.2 Amplificatori operazioanli

Il principio operativo della retroazione negativa puo essere sfruttato in modo vantaggioso per pro-gettare amplificatori molto accurati prossimi all’idealita a partire da componenti poco ideali. Perpoter ricostruire lo schema a blocchi di Fig.8, prima di tutto, si ha bisogno di un amplificatoredifferenziale, cioe di un amplificatore che amplifichi la differenza tra due grandezze in ingresso(tipicamente tensioni) in modo da realizzare il blocco differenza di Fig.8. Inoltre, secondo quantodiscusso precedentemente, si richiede un amplificatore con una alta (non e necessario, invece, chesia accurata) amplificazione differenziale A, in modo tale che il guadagno d’anello Aβ in Eqn.(12)sia molto maggiore di 1. Tale amplificatore differenziale ad elevata amplificazione e uno dei piuimportanti circuiti analogici ed e noto come amplificatore operazionale o, piu semplicemente, comeopamp.

Un opamp, il cui simbolo e riportato in Fig.9a possiede due terminali di ingresso, il terminalenon-invertente, + e quello invertente, -, un terminale di uscita e due di alimentazione. Il circuito eprogettato per amplificare la differenza tra le tensioni presenti ai terminali di ingresso non-invertenteed invertente, cioe la tensione differenziale di ingresso

vD = v+ − v− (14)

indipendentemente dal valore assunto dalle due tensioni di ingresso v+ and v− valutate ciascu-na rispetto al riferimento di tensione, cioe indipendentemente dalla cosiddetta tensione di modocomune.

vCM =v+ + v−

2. (15)

La tensione tra il terminale di uscita e il riferimento di tensione e la tensione di uscita, impostada un generatore di tensione controllato in tensione vOUT = AvD, come evidenziato in Fig.9b. Inol-tre, tutti gli opamp comprendono due terminali di alimentazione i quali devono essere collegati aduna tensione costante. Alcune volte uno dei due terminali di alimentazione (ma non necessariamen-te) coincide con la tensione di riferimento del circuito. I terminali di alimentazione spesso non sonoinclusi nel simbolo di un opamp per non complicare troppo il disegno, ciononostante e fondamentalecomprendere che tali terminali sono sempre presenti in quanto essenziali per il funzionamento delcircuito.

14

2.2.1 Un circuito amplificatore retroazionato: l’amplificatore di tensione con opamp

In questo paragrafo si studiera come realizzare un amplificatore di tensione pressoche ideale utiliz-zando un amplificatore operazionale e la retroazione negativa. Si supponga di voler realizzare unamplificatore di tensione con una valore di amplificazione Av = 5 molto accurato. A tale scopo,si puo utilizzare la retroazione negativa e realizzare lo schema di Fig.8 usando un amplificatoreoperazionale. Se si fanno corrispondere gli ingressi piu e meno del nodo di somma, rispettivamente,con i terminali di ingresso non-invertente (+) e con quello invertente (-) di un opamp, bisognapoi collegare l’ingresso non-invertente dell’opamp alla tensione di ingresso vIN e quello invertentead una funzione (il blocco β in Fig.8) della tensione di uscita vOUT in modo tale che, se l’uscitavOUT assume il valore desiderato (in questo caso specifico vOUT = 5vIN), la tensione all’ingressoinvertente sia uguale a quella presente al terminale non-invertente. Dato che v+ = vIN, il terminaleinvertente sara v− = vOUT

5 cosicche

v− = v+ ⇒ vOUT

5= vIN ⇒ vOUT = 5vIN. (16)

Per ottenere v− = vOUT5 , si introduce il partitore di tensione R1-R2 come mostrato in Fig.10,

con R2 = 4R1 in modo tale che

v− =R1

R1 +R2vOUT =

R1

R1 + 4R1vOUT =

1

5vOUT = βvOUT. (17)

Ipotizzando che l’amplificazione differenziale A dell’amplificatore operazionale sia grande a suf-ficienza, la differenza v+ − v−, che corrisponde al segnale d’errore ε in Fig.8, e mantenuto ad unvalore molto piccolo dalla retroazione negativa e la tensione d’uscita e prossima al valore ideale

vOUT =1

βvIN = 5vIN.

Utilizzando circuiti con amplificatori operazionali retroazionati negativamente e possibile otte-nere altre configurazioni amplificatrici (amplificatore di corrente, di transconduttanza e di trans-resistenza) e altri circuiti analogici molto utili (sommatori e sottrattori, filtri, amplificatori nonlineari) alcuni dei quali saranno descritti in dettaglio in quanto segue. Prima di introdurre talicircuiti specifici, pero, si discutera di come analizzare in generale circuiti contenenti amplificatorioperazionali.

2.3 Analisi di circuiti contenenti amplificatori operazionali

In questa sezione verra affrontata l’analisi dei circuiti contenenti amplificatori operazionali. A talescopo, si prendera in considerazione il circuito equivalente di un opamp che includa le resistenze diingresso ed uscita mostrato in Fig.11, e lo si utilizzera nella configurazione amplificatrice introdottanella sezione precedente. Inoltre, si supponga che il segnale in ingresso sia fornito da una sorgentedi tensione con resistenza interna finita RS e che l’uscita dell’amplificatore di tensione piloti incarico RL.

Il circuito in Fig.11, il quale comprende un generatore di tensione pilotato in tensione, puo essereanalizzato utilizzando il metodo convenzionale di analisi dei circuiti contenenti generatori dipendentidescritto in precedenza. Secondo tale metodo, bisogna per prima cosa calcolare la grandezza pilotavD in funzione dei generatori indipendenti e dipendenti. In particolare, il generatore dipendente ditensione in Fig.11 e considerato, per il calcolo del pilota, alla stregua di un generatore indipendentedi valore e. Dopo avere eseguito i calcoli si ottiene

vD = vINRin

Rin +RS +R1 ∥ (R2 +Rout ∥ RL)− βe. (18)

15

Figura 10: Amplificatore di tensione con amplificatore operazionale.

dove

β =RL ∥ [R2 +R1 ∥ (RS +Rin)]

RL ∥ [R2 +R1 ∥ (RS +Rin)] +Rout

R1 ∥ (RS +Rin)

R1 ∥ (RS +Rin) +R2

Rin

RS +Rin. (19)

Dato che e = Avd, l’Eqn.(18) puo essere riscritta come

vD = vINRin

Rin +RS +R1 ∥ (R2 +Rout ∥ RL)−AβvD (20)

quindi,

(1 +Aβ) vD = vINRin

Rin +RS +R1 ∥ (R2 +Rout ∥ RL)(21)

ed infine

vD =vIN

1 +Aβ

Rin

Rin +RS +R1 ∥ (R2 +Rout ∥ RL)(22)

Dall’Eqn.(22) si puo osservare che, se A → ∞ (o meglio, se il guadagno d’anello Aβ tende adinfinito), la grandezza pilota vD tende a zero. Questa proprieta, valida in generale per qualunquecircuito che comprenda un opamp connesso in retroazione negativa, determina alcune importanticonseguenze e permette di analizzare i circuiti con opamp in retroazione negativa in modo piusemplice. Con l’ipotesi, infatti, che il guadagno di tensione A tenda ad infinito, assunzione questadetta di amplificatore operazionale ideale, il circuito di Fig.11 si puo analizzare considerando che

vD = 0 (23)

o, equivalentemente,

v+ = v−. (24)

16

Figura 11: Analisi di un circuito amplificatore di tensione con amplificatore operazionale ideale.

Si puo osservare che, siccome A → ∞, l’Eqn.(24) non implica che la tensione del generatore pilotatodi tensione e sia nulla. Infatti,

vD =e

A

e, per A che tende ad infinito, vD puo essere zero anche se e non e nulla.Inoltre, finche rimane valida l’Eqn.(24), la caduta di tensione ai capi del resistore di ingresso Rin

dell’amplificatore operazionale e zero e, di conseguenza, la corrente che la attraversa, che equivalealla corrente che fluisce nei terminali invertente e non-invertente dell’opamp, e anch’essa nulla, cioe

i+ = i− = 0. (25)

Le Eqn.(24) e Eqn.(25), valide per qualunque circuito comprendente amplificatori operazionaliin retroazione negativa, possono essere utilizzate per calcolare la tensione di uscita del circuito inFig.11. A tale scopo, l’Eqn.(24) stabilisce che la caduta di tensione ai capi di R1 (cioe v−) e ugualea vIN (cioe v+). Di conseguenza, la corrente che attraversa R1 e data da

iR1 =vINR1

.

Siccome poi l’Eqn.(25) e valida, nessuna corrente entra nell’ingresso invertente dell’opamp e, perla legge di Kirchoff delle correnti, si ottiene che

iR2 = iR1.

Di conseguenza, la tensione di uscita vOUT, che puo essere espressa tramite la legge di Kirchoffdelle tensioni come

vOUT = v− + vR2, (26)

17

Figura 12: Amplificatore di tensione con amplificatore operazionale.

si puo calcolare come

vOUT = v− + vR2

= vIN + iR2R2,

= vIN +vINR1

R2,

= vIN

(1 +

R2

R1

). (27)

In particolare, si puo osservare che, se si considera R2 = 4R1 come e stato fatto nell’Eqn.(17),allora l’Eqn.(27) fornisce come valore dell’amplificazione di tensione del circuito in Fig.11 il va-lore di cinque, in accordo con quanto ottenuto in precedenza. Si puo, inoltre, osservare che taleamplificazione e indipendente dalla resistenza di sorgente RS, dalla resistenza di carico RL e dalleresistenze di ingresso ed uscita dell’opamp Rin and Rout, come ci si aspetta da un amplificatoredi tensione ideale. In conclusione, grazie alla retroazione negativa, e stato possibile ottenere uncircuito amplificatore di tensione ideale3, a partire da un opamp con resistenze di ingresso ed uscitafinite. In cio che segue sara mostrato come poter sfruttare tale approccio per ottenere circuitiamplificatori con caratteristiche (quasi) ideali.

3 Circuiti amplificatori realizzati utilizzando amplificatori opera-zionali

Il principio della retroazione negativa, sfruttato nell’amplificatore di tensione in Fig.12, puo essereutilizzato per sviluppare altre configurazioni amplificatrici basate su amplificatori operazionali. Atale scopo, nel seguito, si discutera di come realizzare i circuiti amplificatori di base mostrati inFig.1 attraverso l’uso degli amplificatori operazionali e della retroazione negativa.

18

Figura 13: Amplificatore di transconduttanza con amplificatore operazionale.

3.1 Amplificatore di tensione

Sulla base della precedente analisi, si puo osservare che le tensioni di ingresso ed uscita del circuitoin Fig.12 sono legate tra loro come descritto di seguito

vOUT =

(1 +

R2

R1

)vIN. (28)

Inoltre, l’amplificazione di tensione calcolata in Eqn.(28) non e influenzata dalle resistenze di in-gresso ed uscita Rin and Rout dell’amplificatore operazionale ne dalle resistenze di sorgente e dicarico RS and RL.

Se si considera la Fig.12, infatti, si puo notare che, dall’Eqn.(25), la corrente che attraversa laresistenza di sorgente RS e zero indipendentemente dalla tensione vS applicata all’ingresso, per cuila resistenza equivalente di ingresso dell’amplificatore di tensione complessivo e infinita, come ci siaspetta da un amplificatore di tensione ideale. Infine, la tensione di uscita espressa dall’Eqn.(27)e indipendente dalla corrente assorbita dal carico RL e, di conseguenza, la porta d’uscita dell’am-plificatore di tensione e simile ad un generatore ideale di tensione con una resistenza equivalentedi uscita nulla, come ci si aspetta da un amplificatore ideale di tensione. In conclusione, si puoaffermare che a patto che il guadagno d’anello sia sufficientemente elevato, l’amplificatore di ten-sione costruito utilizzando un amplificatore operazionale, riportato in Fig.12, funziona come unamplificatore di tensione ideale.

3.2 Amplificatore di transconduttanza

Con riferimento al circuito in Fig. 13, si osserva che, data l’Eqn.(24), la tensione ai capi di R e vIN.Di conseguenza, la corrente che scorre attraverso R vale

iR =vRR

=vINR

. (29)

Inoltre, dato che secondo Eqn.(25) la corrente che fluisce attraverso il morsetto invertente dell’o-pamp e nulla e che, dalla legge di Kirchoff per le correnti iOUT = iR, si ottiene che

iOUT =vINR

, (30)

3Come sara discusso nel seguito, in realta, esistono deviazioni dalla idealita causate dal valore finito diamplificazione A e da altre limitazioni

19

Figura 14: Amplificatore di transresistenza con amplificatore operazionale.

cioe il circuito in Fig.13 funziona come un amplificatore di transconduttanza con transconduttanzapari a gm = 1

R .Analogamente a quanto detto per l’amplificatore di tensione, purche il guadagno d’anello sia

sufficientemente elevato, la corrente assorbita dalla sorgente in ingresso vIN e zero, per cui l’impe-denza di ingresso di questo circuito e idealmente infinita, come deve essere per un amplificatoreideale di transconduttanza. Inoltre, l’Eqn.(30) e valida indipendentemente dal carico (rappresen-tato da una scatola in Fig.13) e dalla tensione ai suoi capi. Di conseguenza, la resistenza di uscitadi questo circuito e (idealmente) infinita, come ci si aspetta in un amplificatore ideale di trans-conduttanza. In conclusione, si puo affermare che purche il guadagno d’anello sia sufficientementeelevato, il circuito in Fig.13, funziona come un amplificatore di transconduttanza ideale.

3.3 Amplificatore di transresistenza

Con riferimento al circuito in Fig. 14, si osserva che, siccome la corrente che fluisce attraversol’ingresso invertente dell’opamp e nulla in accordo a quanto stabilito dall’Eqn.(25)

iR = iIN

andvR = RiR = RiIN.

Inoltre, per la legge di Kirchoff delle tensioni si ottiene che,

vR + v− − vOUT = 0

di conseguenza, dato che v− = v+ = 0 dall’Eqn.(24), si ha

vOUT = RiIN, (31)

cioe il circuito in Fig.14 si comporta da amplificatore di transresistenza con transresistenza pari aRm = R.

Dall’Eqn.(24) si ha che la tensione ai capi della sorgente di corrente in ingresso e idealmentenulla indipendentemente dalla corrente impressa da tale sorgente. Cio significa che l’impedenzadel circuito e (idealmente) zero, come deve essere per un amplificatore di transresistenza ideale.Inoltre, dato che l’Eqn.(31) e valida indipendentemente dal carico e dalla corrente che esso assorbe,l’impedenza di uscita di questo circuito e (idealmente) zero, come ci si aspetta da un amplificatoredi transresistenza ideale. In conclusione, si puo affermare che purche il guadagno d’anello siasufficientemente elevato, il circuito in Fig.14 funziona come un amplificatore di transresistenzaideale.

20

Figura 15: Amplificatore di corrente con amplificatore operazionale.

3.4 Amplificatore di corrente

Con riferimento al circuito in Fig.15, si puo osservare che, siccome la corrente che fluisce attraversoil morsetto invertente dell’opamp e zero in accordo all’ Eqn.(25)

iR2 = iIN.

andvR2 = R2iIN.

Inoltre, per la legge di Kirchoff delle tensioni, si ha che

vR2 + v− − vR1 = 0

di conseguenza, dato che v− = v+ = 0 dall’Eqn.(24), si ottiene

vR1 = vR2 (32)

da cui la corrente che attraversa R1 e

iR1 =vR2

R1. (33)

Dato che iR2 = iIN, applicando la legge di Kirchoff per le correnti, si ha

iOUT = iR1 + iR2 =

(1 +

R2

R1

)iIN (34)

cioe il circuito in Fig.15 e un amplificatore di corrente con un’amplificazione di corrente pari a(1 + R2

R1

).

Dall’Eqn.(24) si osserva che la caduta di tensione ai capi della sorgente di corrente applicatain ingresso e idealmente zero indipendentemente dalla corrente impressa da tale sorgente. Valea dire che l’impedenza di ingresso di tale circuito e (idealmente) zero, come deve essere in unamplificatore di corrente ideale. Inoltre, l’impedenza di uscita del circuito e (idealmente) infinita,come deve essere in un amplificatore di corrente ideale. In conclusione, si puo affermare che fincheil guadagno d’anello e sufficientemente elevato, il circuito di Fig.15, e un amplificatore di correnteideale.

Un sommario delle principali topologie amplificatrici realizzate utilizzando un amplificatoreoperazionale e la retroazione negativa e riportato in Fig.16.

21

iOUT= vIN

vOUT=RiIN

R1

vIN

+

vOUT

R2R1

R2

iIN R1

iOUT

vIN

+

iOUT

R

vOUT

RiIN

vOUT= 1 + vIN

R2( )

R1

iOUT= 1 + iIN

R2( )

R

1

Grandezza d’uscita:

Gra

ndez

za d

’ingre

sso:

Tensione

Corr

ente

Corrente

Ten

sione

Amplificatore di tensione Amplificatore di transconduttanza

Amplificatore di transresistenza Amplificatore di corrente

Figura 16: Topologie amplificatrici di base ottenute utilizzando un amplificatore operazionale inretroazione negativa.

22

Figura 17: Inseguitore di tensione.

3.5 Circuiti contenenti amplificatori operazionali

Oltre che negli amplificatori di base descritti in precedenza, gli opamp possono essere impiegatiper realizzare circuiti che svolgono altre importanti funzioni. Alcune di queste applicazioni sonol’oggetto di quanto segue.

3.5.1 Inseguitore di tensione

Un circuito semplice ed importante basato sull’uso degli operazionali e mostrato in Fig.17. Talecircuito e noto come inseguitore di tensione, buffer di tensione o voltage follower. Considerandol’Eqn.(24) si ottiene immediatamente che

vOUT = vIN, (35)

cioe l’inseguitore di tensione e un amplificatore di tensione ideale con amplificazione uguale ad uno.L’importanza dell’inseguitore di tensione e legata al concetto di carico. Se si desidera generareuna tensione specifica ai capi di un carico collegato ad una porta di un circuito4, allora collegare ilcarico come mostrato nella parte superiore della Fig.18 non e tipicamente possibile, perche il caricointroduce un effetto di carico che modifica la tensione che si desidera ai suoi capi come discussoin precedenza a proposito agli amplificatori. Tuttavia, collegando un inseguitore di tensione conoperazionale tra la sorgente ed il carico come mostrato nella parte inferiore della Fig.18, la sorgentedi tensione non e perturbata in quanto la corrente assorbita dall’ingresso non invertente dell’opampe nulla e all’uscita si ha la tensione desiderata vOUT = vIN come fosse prodotta da un generatoredi tensione pressoche ideale.

4in un circuito lineare, tale porta puo essere rappresentata dal suo equivalente Thevenin

23

Figura 18: Disaccoppiamento di impedenza tramite un circuito inseguitore di tensione.

24

Figura 19: Amplificatore di transresistenza con amplificatore operazionale impiegato comeAmplificatore di tensione invertente.

Figura 20: Circuito integratore con amplificatore operazionale.

3.5.2 Amplificatore di tensione invertente

Un amplificatore spesso utilizzato nella pratica si ottiene a partire dall’amplificatore di transresi-stenza ed e riportato in Fig.19. In tale circuito, secondo quanto stabilito dall’Eqn.(24), la tensionevR1 ai capi di R1 e −vIN, per cui la corrente iR1 che attraversa R1 e −vIN

R1. La corrente che attra-

versa R1 gioca lo stesso ruolo della corrente di ingresso nell’amplificatore di transresistenza, cosı inaccordo con l’Eqn.(31), si ha

vOUT = R2iR1 = −R2

R1vIN, (36)

Si puo osservare come la tensione di uscita sia proporzionale alla tensione di ingresso tramite unfattore di amplificazione negativo. Per tale ragione, tale circuito e universalmente noto come am-plificatore di tensione invertente. Tuttavia, il circuito di Fig.19 non e un amplificatore di tensione.A differenza del circuito amplificatore di tensione non invertente in Fig.12, infatti, l’impedenza diingresso del circuito in Fig.19 e data da R1 e non e infinita. Di conseguenza, se la sorgente di ten-sione applicata all’ingresso dell’amplificatore fosse reale, tale resistenza di ingresso introdurrebbeun fattore di partizione di tale tensione.

3.5.3 Integratore

Lo stesso principio sfruttato nell’amplificatore invertente, vale a dire la traslazione di un tensionein una corrente la quale pilota un amplificatore di transresistenza, puo essere sfruttato per ottenere

25

Figura 21: Circuito derivatore con amplificatore operazionale.

altri circuiti molto utili. Ad esempio, se il resistore R2 in Fig.19 fosse sostituito da un condensatore,come mostrato in Fig.20, si ottiene che la corrente circolante in tale condensatore e data da

iC =vINR

.

Inoltre, siccome

iC = CdvCdt

,

segue che la caduta di tensione ai capi del condensatore C puo essere espressa come

vC(t) =

∫ t

0

iC(t′)

Cdt′ + vC(0) =

∫ t

0

vIN(t′)

RCdt′ + vC(0) (37)

dove vC(0) e la tensione iniziale del condensatore all’istante t = 0 e la tensione d’uscita vOUT = −vCpuo essere espressa come

vOUT(t) = − 1

RC

∫ t

0vIN(t

′)dt′ − vC(0) (38)

che e proporzionale all’integrale nel tempo della tensione in ingresso. Per tale ragione, il circuito diFig.20 e detto circuito integratore.

3.5.4 Derivatore

Rimpiazzando il resistore R1 in Fig.19 con un condensatore, come nel circuito in Fig.21, si ha chela caduta di tensione ai capi di tale condensatore, a causa della retroazione negativa, e uguale allatensione vIN applicata in ingresso in accordo con l’Eqn.(24). Dato che

iC = CdvCdt

= CdvINdt

e che nessuna corrente fluisce attraverso l’ingresso invertente dell’opamp, si ottiene che la medesimacorrente iC scorre anche attraverso la resistenza posta in retroazione R. Per cui,

vR = RCdvCdt

(39)

e la tensione d’uscita vOUT = −vR puo essere espressa come:

vOUT(t) = −RCdvIN(t)

dt(40)

ed e percio proporzionale alla derivata nel tempo della tensione d’ingresso. A causa di cio, il circuitoin Fig.21 e detto circuito derivatore.

26

Figura 22: Amplificatore sommatore.

3.5.5 Amplificatore sommatore

Tale circuito, realizzato utilizzando un amplificatore operazionale, permette di eseguire la sommapesata di due o piu segnali. A tale scopo si osservi che un circuito contenente un amplificatoreoperazionale (ideale) e un sistema lineare e, come tale, puo essere analizzato utilizzando lo strumentodella sovrapposizione degli effetti. In tal modo, il circuito sommatore si riduce ad uno dei circuitianalizzati in precedenza. Se si considera il circuito di Fig.22, ad esempio, la tensione d’uscita vOUT

e esprimibile tramite la sovrapposizione degli effetti come la somma dei contributi v(1)OUT, v

(2)OUT,

v(3)OUT e v

(4)OUT ciascuno relativo ad una tensione di ingresso v1, v2, v3 and v4.

Si nota, inoltre, che la tensione all’ingresso non invertente dell’opamp non e influenzata dallapresenza dell’amplificatore operazionale dato che i+ = 0. Di conseguenza tale tensione puo esserecalcolata attraverso la sovrapposizione degli effetti come

v+ = v3R4

R3 +R4+ v4

R3

R3 +R4(41)

e la si puo considerare come una singola sorgente equivalente di tensione. Questo approccio havalidita generale e lo si puo applicare alle sorgenti collegate all’ingresso non invertente. Il contributodovuto a v+ alla tensione di uscita puo essere valutato spegnendo v1 e v2. In tal modo i resistoriR1, R2 e R5 sono collegati in parallelo e possono essere sostituiti dalla loro resistenza equivalenteReq = R1 ∥ R2 ∥ R5. Il circuito che scaturisce da tali modifiche e analogo all’amplificatore ditensione di Fig.12, per cui il contributo dovuto a v+ alla vOUT, che corrisponde al contributo di

27

v(3)OUT e v

(4)OUT, puo essere espresso come

v(+)OUT = v

(3)OUT + v

(4)OUT

=

(1 +

RF

Req

)v+

=

(1 +

RF

R1 ∥ R2 ∥ R5

)v+

=

(1 +

RF

R1 ∥ R2 ∥ R5

)(R4

R3 +R4v3 +

R3

R3 +R4v4

)(42)

Dopodiche, il contributo di v1 puo essere calcolato spegnendo v3 e v4 (cioe considerando v+ = 0)e v2. Cosı facendo la tensione v− all’ingresso non invertente dell’opamp, che e uguale a v+ perl’Eqn.(24), e zero. Di conseguenza, la caduta di tensione su R2 e R5 e zero, nessuna corrente

li attraversa e possono essere rimossi dal circuito per il calcolo di v(1)OUT. Sulla base di questa

considerazione, si ricava che, per il calcolo del contributo di v1, il circuito in Fig.22 e equivalenteall’amplificatore invertente5 di Fig.19. Di conseguenza,

v(1)OUT = −RF

R1v1. (43)

Per cio che concerne la sorgente di ingresso v2, in modo simile si ottiene che

v(2)OUT = −RF

R2v2 (44)

In conclusione, la tensione d’uscita vOUT si puo esprimere come

v(+)OUT = v

(1)OUT + v

(2)OUT + v

(3)OUT + v

(4)OUT

= v(1)OUT + v

(2)OUT + v

(+)OUT

= −RF

R1v1 −

RF

R2v2 +

(1 +

RF

R1 ∥ R2 ∥ R5

)(R4

R3 +R4v3 +

R3

R3 +R4v4

)(45)

Dall’Eqn.(45) si nota che la tensione d’uscita e data dalla somma pesata delle tensioni in ingressov1, v2, v3 e v4. Inoltre, le sorgenti collegate (indirettamente) all’ingresso non invertente hanno unpeso positivo nell’Eqn.(45), mentre le sorgenti collegate all’ingresso invertente hanno peso negativo.Scegliendo opportunamente i resistori tali pesi possono essere progettati in modo specifico perottenere una determinata somma. Se uno degli ingressi in Fig.45 fosse sostituito da una tensionecostante, il circuito sommatore di Fig.22 puo essere impiegato per sommare o sottrarre una quantitacostante (un termine di offset) ad un segnale, ad esempio per traslare verticalmente tale segnalesull’asse delle ampiezze e renderlo compatibile con la dinamica di ingresso di un altro circuitoelettronico.

3.5.6 Filtri attivi

I circuiti contenenti amplificatori operazionali possono essere utilizzati per realizzare operazionidi filtraggio nel dominio della frequenza. A tale scopo, nei circuiti con opamp considerati in

5Si ricordi che l’amplificatore invertente non e un amplificatore di tensione, per cui l’impedenza vista dai generatoridi tensione v1 e v2 non e infinita. Inoltre, anche l’impedenza vista dai generatori di tensione v3 e v4 in Fig.22 non einfinita a causa della presenza della rete resistiva di somma.

28

Figura 23: Filtri basati sull’uso di amplificatori operazionali.

precedenza possono essere introdotti elementi reattivi, cioe condensatori (molto spesso) ed induttori(raramente), il cui comportamento in funzione della frequenza e descritto da una ammettenza oda una impedenza complessa. A causa di tale dipendenza, le caratteristiche di tali circuiti sonodescritte tramite una funzione di trasferimento nel dominio della frequenza.

Facendo riferimento al circuito di Fig.23, ad esempio, la tensione in ingresso nel dominio dellafrequenza Vout(f) e legata alla tensione in uscita nel dominio della frequenza Vin(f) come descrittodi seguito

Vout(ω) =

(1 +

Z2

Z1

)Vin(ω) (46)

dove

Z1(ω) = R1 and Z2(ω) =R2

1 + jωCR2. (47)

Per cui la funzione di trasferimento H(f) = Vout(f)Vin(f)

puo essere descritta come

H(ω) =Vout(ω)

Vin(ω)=

R1 +R2 + jωCR1R2

R1 (1 + jωCR2)=

(1 +

R2

R1

)1 + jωC (R1 ∥ R2)

1 + jωCR2= k

1 + j ffz

1 + j ffP

(48)

dove

k = 1 +R2

R1

e l’amplificazione a bassa frequenza,

fz =1

2π (R1 ∥ R2)C

e

fp =1

2πR2C.

Assumendo R1 = 10kΩ, R2 = 100kΩ C = 10π nF, si ottiene che k = 11 (circa 21dB), fz = 5.5kHz

e fp = 500Hz. Il diagramma di Bode della funzione di trasferimento H(f) in Fig.24 si ottiene conla procedura nota.

I filtri attivi presentano due vantaggi principali rispetto a quelle passivi, cioe ai filtri che sonocostituiti solo da componenti passivi:

• l’amplificazione in banda puo essere maggiore di 1 (vale a dire che il guadagno in banda puoessere maggiore di 0dB);

29

Figura 24: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento H(f) = Vout(f)Vin(f)

valutata conriferimento al circuito in Fig.23.

• a seconda dalla configurazione del filtro attivo, e possibile evitare l’effetto di carico.

Per cio che concerne il primo punto, si puo osservare che il filtro in Fig.23, usato precedentementecome esempio, ha un guadagno di tensione in banda di 21dB > 0dB. Inoltre, fintantoche l’opampsi puo considerare ideale, l’impedenza di ingresso di tale circuito e infinita in modulo e la suaimpedenza d’uscita e zero. Di conseguenza, esso si comporta come un amplificatore ideale ditensione la cui funzione di trasferimento ingresso-uscita possiede le caratteristiche di filtraggiorichieste.

30

vD

v+

vCM v-

Dinamica di ingressodi modo comune

Dinamica di ingressodi modo differenziale

VDD

VSS

Figura 25: Dinamica di ingresso di modo differenziale e di modo comune di un amplificatoreoperazionale.

4 Non idealita degli amplificatori operazionali

In precedenza si e discusso di come gli amplificatori operazionali possono essere utilizzati perottenere circuiti amplificatori con caratteristiche molto vicine all’idealita. Sfortunatamente gliamplificatori operazionali reali soffrono di alcune limitazioni pratiche le quali limitano le prestazionidei circuiti che li contengono. In questa sezione saranno discusse le principali di tali limitazioni,la cui entita sono riportate nei fogli tecnici degli amplificatori operazionali in commercio, e saraevidenziato l’impatto che tali limitazioni hanno sulle prestazioni dei circuiti con opamp.

4.1 Dinamica di ingresso

L’intervallo dei valori applicati all’ingresso di un amplificatore operazionale reale che puo essereelaborato correttamente e limitato. Piu precisamente per un corretto funzionamento dovrebberosempre essere rispettate le limitazioni dovute alla dinamica di ingresso di modo differenziale andalla dinamica di ingresso di modo comune.

4.1.1 Dinamica di ingresso di modo differenziale

Gli amplificatori operazionali, come qualunque altro circuito amplificatore reale, amplificano i se-gnali differenziali solo all’interno di un intervallo (−VD,max, VD,max), noto come dinamica di ingressodi modo differenziale. La dinamica di ingresso di modo differenziale di un amplificatore operazio-nale reale e solitamente molto ristretta (poche centinaia di microvolt), tuttavia cio non rappresentaun problema dato che i circuiti con opamp che sfruttano il meccanismo della retroazione negativa inmodo corretto determinano una tensione differenziale all’ingresso dell’opamp, la quale corrispondeal segnale d’errore ε in Fig.8, che e molto vicino a zero come discusso in precedenza con riferimentoall’Eqn.(13).

4.1.2 Dinamica di ingresso di modo comune

Oltre alla limitazione costituita dalla dinamica di ingresso di modo differenziale, gli amplificatorioperazionali funzionano correttamente solo se la loro tensione di ingresso di modo comune e com-presa in un intervallo (VCM,min, VCM,max), noto come dinamica di ingresso di modo comune. Neicircuiti contenenti amplificatori operazionali reali, la dinamica di ingresso di modo comune e sempre

31

Uscita desiderata

t

vOUTUscita reale

(dinamica di uscitanon rispettata)

vOUT,max

vOUT,min

dinamica di uscitarispettata

Figura 26: Effetti della limitazione della dinamica della tensione uscita di un amplificatoreoperazionale.

compresa all’interno della dinamica delle tensioni di alimentazione, cioe

VSS ≤ VCM,min ≤ VCM,max ≤ VDD

per cui tale limitazione sta diventando sempre piu stringente a causa della continua riduzione delletensioni di alimentazione. Gli opamp che hanno una dinamica di ingresso di modo comune checoincide con quella delle tensioni di alimentazione, cioe tale per cui VCM,min = VSS and VCM,max =VDD sono detti amplificatori operazionali con ingresso rail to rail. Le limitazioni di un amplificatoreoperazionale in termini di dinamica di ingresso di modo differenziale e di modo comune sonoillustrate in Fig.25.

4.2 Dinamica di uscita

Nelle precedenti sezioni, la porta di uscita di un amplificatore operazionale e stata rappresenta-ta come un generatore di tensione pilotato da una tensione. Inoltre e stato sottolineato come,sebbene si consideri un generatore controllato in tensione con una impedenza finita, l’effetto ditale impedenza di uscita e compensato dalla retroazione negativa fintatoche il guadagno d’anello esufficientemente elevato. In pratica nei circuiti reali, si manifestano alcune limitazioni legate alladinamica di tensione e corrente d’uscita.

4.2.1 Dinamica della tensione d’uscita

La tensione di uscita che puo essere forzata da un amplificatore operazionale reale e limitata al-l’interno dell’intervallo (VOUT,min, VOUT,max), detto dinamica di uscita dell’opamp. Se si applicauna tensione differenziale in ingresso tale per cui la tensione d’uscita AvD supera i limiti impostidalla dinamica di uscita, allora l’uscita dell’operazionale satura o al minimo valore ammissibile(VOUT,min) della tensione d’uscita o a quello massimo (VOUT,max), come mostrato in Fig.26.

32

vD=0

vOUT=0 vOUT=0

vD=VOFF

VOFFVOFF VOFF

modello di opamp con offse

Opampsenza offset

Generatore di tensionein ingressodi offset

a) b)

c) d)

vOUT=0

Figura 27: Offset di tensione in un amplificatore operazionale: opamp affetto da offset (a), defini-zione di offset di tensione in ingresso (b), circuito equivalente di un opamap affetto da offset (c),dimostrazione che il circuito equivalente di un opamp affetto da offset si comporta come un opampcon offset (d).

4.2.2 Dinamica della corrente d’uscita

Anche nel caso in cui la tensione AvD all’uscita di una amplificatore operazionale sia compresaall’interno della dinamica di tensione d’uscita, un amplificatore operazionale funziona correttamen-te solo se la corrente richiesta alla propria uscita (fornita o assorbita) dal carico non eccede unvalore massimo IMAX

6. Tale limitazione, in pratica, puo essere convertita in un limite alla mas-sima potenza che puo essere trasferita da un opamp al carico. Se l’uscita di un amplificatore dipotenza deve pilotare un carico di potenza (ad esempio un altoparlante, un attuatore, . . . ) e devefornire/assorbire una corrente rilevante, e necessario collegare all’uscita dell’opamp un opportunostadio di uscita che amplifichi in potenza.

4.3 Offset di tensione in ingresso

Analogamente a qualunque altro amplificatore, anche gli amplificatori operazionali sono affetti daoffset dovuti alle inevitabili tolleranze di fabbricazione. Di conseguenza, se si applica all’ingressodi un opamp una tensione differenziale nulla, l’uscita corrispondente non e zero come mostrato inFig.27a. In altre parole, si puo dire che, per poter ottenere una tensione d’uscita nulla si dovrebbeapplicare una tensione differenziale non nulla all’ingresso, come mostrato in Fig.27b. Tale tensionee nota come offset di tensione in ingresso VOFF di un amplificatore operazionale.

6Nel caso in cui i limiti per la corrente assorbita (in inglese sink) e per quella fornita (in inglese source) all’uscitadell’operazionale siano diversi, saranno specificati due diversi valori IMAX,sink and IMAX,source.

33

A(0)|dB

| ( )|, [dB]A f

fP

fT

f, [Hz]10 102

103

104

105

106

107

80

60

40

20

0

100

-20

Guadagnoad anello aperto

Larghezza di bandaad anello aperto

Figura 28: Amplificazione differenziale di un amplificatore operazionale in funzione della frequenza(diagramma di Bode).

Sulla base di questa considerazione, un amplificatore operazionale affetto da un offset di tensionenon nullo equivale ad un amplificatore operazionale senza offset con un generatore di tensioneequivalente VOFF collegato in serie al morsetto non invertente, come descritto in Fig.27c. Questaequivalenza si dimostra sostituendo il modello di un opamp con offset nel circuito di Fig.27b, comemostrato in Fig.27d. Il modello di opamp con offset puo essere utilizzato per valutare l’impatto chel’offset di tensione in ingresso di un opamp ha sulla tensione di uscita di un circuito amplificatorerealizzato tramite opamp.

4.4 Offset della corrente di polarizzazione in ingresso e offset della corrente diingresso

A differenza degli amplificatori operazionali ideali, per i quali i+ = i− = 0, alcuni opamp (realizzaticon transistori bipolari) assorbono/forniscono una piccola corrente continua dai loro terminali diingresso. Tali correnti, tipicamente di valore uguale tra loro, possono determinare un offset all’uscitadei circuiti nei quali siano impiegati degli amplificatori operazionali. Inoltre, nel caso in cui talicorrenti siano leggermente diverse tra loro, danno luogo ad ulteriori errori.

Il valore medio delle correnti continue ai terminali di ingresso di un amplificatore operazionalee noto con il termine di offset della corrente di polarizzazione IB mentre la massima differenzatra le due correnti e nota semplicemente come offset di corrente in ingresso IOFF. Si puo osser-vare, tuttavia, che gli amplificatori operazionali piu recenti, basati su tecnologia CMOS, non sonosostanzialmente affetti da questo fenomeno (vale a dire IB = IOFF = 0).

34

4.5 Limitazione della larghezza di banda

In modo simile a quanto capita per gli altri circuiti amplificatori, anche le prestazioni degli am-plificatori operazionali reali dipendono dalla frequenza Per dimostrare in che modo cio avviene, siconsideri che l’amplificazione differenziale di un amplificatore operazionale ideale ha tipicamente laseguente espressione funzione della frequenza

A(f) =A0

1 + j ffp

(49)

dove A(0) e l’amplificazione a bassa frequenza, cioe l’amplificazione di un opamp per frequenzemolto minori di fp ed fp e detta banda ad anello aperto dell’opamp. Si nota che per f = fp, ilmodulo dell’amplificazione differenziale si riduce di un fattore

√2 (3dB) e, per frequenze superiori,

decresce come 1f , cioe di 20dB per decade. L’amplificazione di bassa frequenza A(0) di un opamp

puo essere molto elevata (A0 = 105 − 106) mentre la banda ad anello aperto fp e tipicamentepiuttosto bassa (dell’ordine di grandezza dei 100Hz).

Gli effetti di tale dipendenza dalla frequenza dell’amplificazione A nei circuiti con opamp pos-sono essere tenuti in conto considerando l’opamp come un amplificatore differenziale con una am-plificazione differenziale di valore finito (e cioe modellizzabile con il circuito equivalente in Fig.9b),analizzando dunque il circuito con opamp come fosse un circuito contenente dei generatori di ten-sione dipendente da un tensione e, infine, sostituendo l’amplificazione A con la sua espressione nellaEqn.(49).

In maniera alternativa, la limitazione di banda dei circuiti con opamp puo essere determinata (inmodo piu semplice) tenendo conto che i benefici effetti della retroazione negativa sono strettamentelegati al fatto che il guadagno d’anello Aβ nell’Eqn.(12) sia molto maggiore di 1. Tenendo a mentequesta considerazione, la limitazione di banda dei circuiti con opamp e legata alla condizione

|A(f)β| > 1. (50)

Siccome, dall’Eqn.(49), per f superiore di fp, |A(f)| ≃ A0fpf , l’Eqn.(50) afferma che un circuito con

opamp funziona correttamente seβA0fp

f> 1. (51)

cioe sef < βA0fp. (52)

Cosicche la limitazione di banda B del circuito si puo esprimere come:

B = βA0fp. (53)

Si puo osservare che la quantita fT = A0fp nell’Eqn.(53) corrisponde alla frequenza di guadagnounitario dell’amplificatore operazionale, cioe la frequenza alla quale l’amplificazione differenzialevale 1 (0dB). Inoltre siccome l’amplificazione ad anello chiuso Ac di un sistema retroazionato7 edata da 1

β , l’Eqn.(53) puo essere espressa come

BAc = fT, (54)

cioe il prodotto tra la larghezza di banda B e l’amplificazione ad anello chiuso Ac e una costanteper un dato opamp e corrisponde alla sua frequenza di guadagno unitario fT che, per tale ragione,e anche nota come il prodotto banda-guadagno di un opamp.

7Il seguente ragionamento puo essere espresso in questi termini solo per l’amplificatore di tensione, dato che lasua struttura rispecchia fedelmente lo schema di Fig.8 e la sua amplificazione di tensione ad anello chiuso e espressada 1

β. L’Eqn.(50), tuttavia, e valida per qualunque configurazione amplificatrice, purche il guadagno d’anello Aβ sia

definito e caluato in modo opportuno.

35

| ( )|, [dB]A f

fT

f, [Hz]10 102

103

104

105

106

107

80

60

40

20

0

100

-20

A |dBc

B

Larghezza di bandaad anello chiuso

Guadagnoad anello chiuso

Figura 29: Guadagno di tensione ad anello chiuso di un amplificatore di tensione con amplificatoreoperazionale in funzione della frequenza (diagramma di Bode).

Sulla base dell’Eqn.(54), se si possiede un opamp con un prodotto banda-guadagno fT = 1MHz,la banda di un amplificatore di tensione con amplificazione 10 realizzato utilizzando tale opampnella configurazione mostrata in Fig.12 sara

B =fTAc

=1MHz

10= 100kHz,

mentre la banda di un amplificatore di tensione con amplificazione 100 ottenuto con la stessatopologia sara

B =fTAc

=1MHz

100= 10kHz.

Si dovrebbe altresı osservare che, dall’Eqn.(54) un amplificatore operazionale puo fornire unaamplificazione (Ac > 1) solo se f < fT.

4.6 Limitazione di slew rate

Oltre la limitazione di banda, che e indipendente dall’ampiezza del segnale da amplificare, gliamplificatori operazionali reali possono essere affetti dalla limitazione di massimo slew rate, cioeil massimo valore della derivata nel tempo della tensione di uscita. Cio significa che, per poterfunzionare correttamente, dovrebbe essere∣∣∣∣dvOUT

dt

∣∣∣∣ < SR ∀t (55)

dove SR e lo slew rate dell’operazionale.Si osserva che, a differenza della limitazione di banda, la limitazione di slew rate coinvolge sia la

frequenza che l’ampiezza del segnale da amplificare. Per poter illustrare tale fatto, si supponga, ad

36

Uscita desiderata(il limite di slew rate non è rispettato)

Massimapendenza

(SR)

Uscita desiderata(

)il limite di slew

rate è rispettato

Uscita affetta dalllimitazionedi slew rate

t

vOUT

Figura 30: Limitazione di slew rate.

esempio, che un segnale sinusoidale con frequenza f = 100kHz e ampiezza di picco Vin = 100mV siaapplicato all’ingresso di un amplificatore di tensione con amplificazione 10 realizzato utilizzandoun amplificatore operazionale con prodotto banda-guadagno di 5MHz a una limitazione di slewrate di 4V/µs. Dopodiche si ipotizzi di applicare un segnale sinusoidale alla stessa frequenza e conampiezza di picco di 1V all’ingresso dello stesso amplificatore di tensione. Per cio che concerne lalimitazione di banda, si puo notare che entrambi i segnali dovrebbero essere amplificati in modocorretti dato che la banda dell’amplificatore di tensione e data da B = 5MHz

10 = 500kHz. Se sicalcola il modulo della derivata nel tempo della tensione di uscita, cioe∣∣∣∣dvOUT

dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ddt [AcVin sin(2πft)]

∣∣∣∣= |2πfAcVin cos(2πft)| ≤ 2πfAcVin (56)

che ha il massimo valore negli istanti di tempo per i quali cos(2πft) = ±1, cioe in corrispondenzadell’attraversamento dello zero del sin(2πft), si nota che per Vin = 100mV, si ha che

2πfAcVin = 0.628V/µs < SR = 4V/µs,

per cui il circuito funziona correttamente. Nel caso in cui Vin = 1V, invece, si ottiene che

2πfAcVin = 6.28V/µs > SR = 4V/µs

ed il circuito non funziona correttamente. In particolare, quando il limite di slew rate e violato,la tensione d’uscita mostra una distorsione nella forma d’onda per la quale in corrispondenza delleparti di tale forma d’onda la cui pendenza non soddisfa il limite di slew rate, la pendenza dellaforma d’onda e limitata al valore massimo consentito di SR. A causa di tale fenomeno, ad esempio,una sinusoide puo essere distorta in una forma d’onda triangolare come mostrato in Fig.30.

4.7 Reiezione del modo comune

Come e stato affermato in precedenza, gli amplificatori operazionali dovrebbero amplificare solo latensione di ingresso differenziale vD = v+ − v−, indipendentemente dalla tensione di ingresso di

37

modo comune vCM = v++v−

2 , la quale dovrebbe percio essere completamente rigettata. In pratica,tuttavia, la tensione d’uscita di un opamp puo essere influenzata dalla tensione di ingresso di modocomune. Le prestazioni in termini di reiezione del modo comune di un amplificatore operaziona-le sono spesso espresse in dal rapporto di reiezione del modo comune (in inglese, common-moderejection ratio), CMRR, definito come

CMRR =A

ACM(57)

doveA =

vOUT

vD

e l’amplificazione differenziale e

ACM =vOUT

vCM

e l’amplificazione di modo comune, cioe il rapporto tra le fluttuazioni dell’uscita indotte dal modocomune e il modo comune stesso.

Dato che sia A che ACM dipendono dalla frequenza, anche il CMRR di un amplificatore ope-razionale dipende dalla frequenza. A bassa frequenza il CMRR puo avere dei valori superiori ai100dB, mentre a frequenze piu elevate (ad esempio dell’ordine dei 100kHz) il CMRR potrebbescendere a 20-40dB.

4.8 Alimentazione e reiezione dell’alimentazione

In precedenza e stato affermato che gli amplificatori operazionali, come qualunque altro circuitoelettronico, richiedono una tensione di alimentazione in continua per poter funzionare. Sebbene sialecito assumere che tali tensioni siano costanti, spesso esse sono in realta disturbate e/o mostranooscillazioni residue. Tali disturbi non dovrebbero influenzare la tensione di uscita di un opamp,tuttavia, la tensione di uscita di un amplificatore operazionale reale in pratica mostra un erroreAPSvPS proporzionale alle fluttuazioni della tensione di alimentazione vPS.

Le prestazioni in termini di reiezioni dei disturbi dell’alimentazione di un amplificatore opera-zionale sono spesso espresse in termini del rapporto di reiezione della tensione di alimentazione (ininglese, power-supply rejection ratio), PSRR, definito come

PSRR =A

APS(58)

doveA =

vOUT

vD

e l’amplificazione differenziale e

APS =vOUT

vPS

e l’amplificazione a cui e sottoposta la tensione di alimentazione, cioe il rapporto tra le flut-tuazioni all’uscita dell’opamp indotte dal disturbo sull’alimentazione e l’ampiezza del disturbodell’alimentazione.

Dato che sia A che APS dipendono dalla frequenza, anche il PSRR di un amplificatore operazio-nale dipende dalla frequenza. A bassa frequenza il PSRR puo avere dei valori superiori ai 120dB,mentre a frequenze piu elevate (ad esempio dell’ordine dei 100kHz) il PSRR potrebbe scendere a30-40dB.

38

Esercizi sugli amplificatori operazionali

1 Esercizi su amplificatori operazionali ideali

Ipotizzando che l’amplificatore operazionale sia ideale, valutare l’espressione della tensione vOUT

nel circuito di Fig.1 in funzione delle sorgenti indipendenti v1, v2 and v3.

Figure 1: Circuito da analizzare.

1.1 Metodo dell’analisi diretta

In qualunque circuito che sfrutti la retroazione negativa e che contenga amplificatori operazionali,la tensione di uscita dell’opamp si puo esprimere attraverso l’applicazione della legge di Kirchoffper le tensioni come

vOUT = v+ − vD + vRF (1)

dove v+ e la tensione al terminale non invertente, vD e la tensione differenziale in ingresso all’opampe vRF e la tensione ai capi del resistore di retroazione RF, come mostrato in Fig.2. Inoltre, siccomesi suppone l’opamp ideale segue che

vD = v+ − v− = 0i+ = i− = 0

(2)

e l’Eqn.(1) fornisce

vOUT = v+ + vRF (3)

1

Figure 2: Analisi di un circuito contenente un amplificatore operazionale che sfrutta la retroazionenegativa.

Sulla base dell’Eqn.(3), la tensione d’uscita vOUT puo essere calcolata in tre passi:

• calcolo di v+

• calcolo di vRF

• calcolo di vOUT tramite l’Eqn.(3).

Calcolo di v+

Per poter calcolare v+, si puo osservare che, dall’Eqn.(2), la corrente i+ e zero, per cui il terminaledi ingresso non invertente dell’opamp equivale ad un circuito aperto e non influenza la parte dicircuito collegato ad esso. Di conseguenza, la tensione v+ puo essere valutata senza considerarela connessione all’amplificatore operazionale, come mostrato in Fig.3. Si nota che tale tensionedipende solo dalla rete A in Fig.3, la quale e direttamente o indirettamente collegata al terminalenon invertente dell’opamp.

Con riferimento al circuito in Fig.1, la rete ottenuta al primo passo e riportata in Fig.4 einclude i resistori R1 e R2 e le sorgenti indipendenti v1 e v2. La tensione v+ puo essere valutata,sia attraverso l’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti o attraverso il teorema diMillman, come

v+ = v1R2

R1 +R2+ v2

R1

R1 +R2(4)

Calcolo di vRF

Per poter calcolare la tensione vRF, e conveniente calcolare la corrente iRF che scorre attraversoRRF. Una volta nota iRF, vRF si ricava immediatamente come

vRF = RFiRF.

Dato che la corrente i− che entra nel terminale invertente dell’opamp e zero per l’Eqn.(2),la corrente iRF e uguale alla corrente iB entrante nella rete B connessa al terminale invertente

2

Figure 3: Analisi di un circuito con opamp retroazionato negativamente: calcolo di v+.

Figure 4: Rete da considerare per il calcolo di v+ nel circuito di Fig.1.

dell’opamp. Per poter calcolare tale corrente, si puo considerare che, ancora dall’Eqn.(2), la tensionev− all’ingresso invertente dell’opamp e forzata al valore della tensione v+ al terminale non invertentedell’opamp (calcolata sopra) a causa della retroazione negativa. Di conseguenza, la corrente iRF puoessere calcolata considerando la rete B collegata al terminale invertente dell’opamp e considerandol’ingresso invertente come una sorgente ideale di tensione che forza una tensione v+, come mostratoin Fig.5.

Con riferimento al circuito in Fig.1, il circuito da considerare per calcolare iRF e riportato inFig.6. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti o la legge di Kirchoff per le correntisi ottiene

iRF = iR3 + iR4

dove

iR3 =v+ − v3

R3

e

iR4 =v+

R4,

3

l’espressione della iRF in funzione di v3 e della sorgente equivalente v+ e

iRF =v+

R3 ∥ R4− v3

R3(5)

di conseguenza, considerando che RF = R5

vRF = R5iRF = v+R5

R3 ∥ R4− v3

R5

R3(6)

Figure 5: Analisi di un circuito con opamp retroazionato negativamente: calcolo di vRF.

Figure 6: Rete da considerare per il calcolo di iRF nel circuito di Fig.1.

4

Calcolo di vOUT

Dato che sia v+ e iRF sono stati calcolati, la tensione di uscita dell’opamp vOUT puo essere calcolataattraverso l’Eqn.(3). Con riferimento al circuito di Fig.1, si ottiene

vOUT = v+ + vRF

= v+ + v+R5

R3 ∥ R4− v3

R5

R3

=

(v1

R2

R1 +R2+ v2

R1

R1 +R2

)(1 +

R5

R3 ∥ R4

)− v3

R5

R3(7)

5

Figure 7: Rete da considerare per il calcolo del contributo v′OUT di v1 nel circuito di Fig.1.

1.2 Riduzione alle configurazioni base

L’analisi del circuito in Fig.1 puo anche essere effettuata attraverso l’applicazione del principio disovrapposizione ricordando le proprieta delle configurazioni amplificatrici fondamentali. Secondoquesto metodo, la tensione d’uscita vOUT puo essere valutata attraverso la sovrapposizione deglieffetti come

vOUT = v′OUT + v′′OUT + v′′′OUT (8)

dove v′OUT e il contributo di v1, v′′OUT e il contributo di v2 e v′′′OUT e il contributo di v3.

Il contributo di v1 puo essere calcolato facendo riferimento al circuito di Fig.7. In tale circuito,la tensione v+ all’ingresso non invertente dell’opamp e

v+ = v1R2

R1 +R2

e i resistori R3 e R4 sono in parallelo e possono essere sostituiti dalla resistenza equivalente R3 ∥ R4.Tenendo conto delle precedenti considerazioni, il circuito in Fig.7 puo essere ridotto al circuitodi Fig.8, il quale analogo alla topologia base di un amplificatore di tensione. Richiamando taleconfigurazione, la tensione d’uscita Fig.8, si calcola immediatamente come

v′OUT = v1R2

R1 +R2

(1 +

R5

R3 ∥ R4

)(9)

Attraverso un ragionamento analogo, il contributo della sorgente di tensione v2 si puo calcolarecome

v′′OUT = v2R1

R1 +R2

(1 +

R5

R3 ∥ R4

). (10)

Per calcolare il contributi di v3, si consideri il circuito di Fig.9. In tale circuito, la corrente cheattraversa i resistori R1 e R2 e zero dato che la corrente che entra nel terminale non invertente

6

Figure 8: Amplificatore di tensione non invertente equivalente per la valutazione del contributov′OUT di v1 ne circuito di Fig.1.

dell’opamp e zero. Di conseguenza, la caduta di tensione ai loro capi e zero e possono essere sostituitida un corto circuito che collega l’ingresso non invertente e il nodo di riferimento. Inoltre, siccome latensione v+ e zero, la tensione v− al terminale invertente dell’opamp e pure zero. Per cui la cadutadi tensione ai capi di R4 e zero, nessuna corrente lo attraversa ed esso non fornisce alcun contributoal calcolo della tensione d’uscita v′′′OUT. Tali considerazioni consentono di ridurre il circuito diFig.9 nel circuito di Fig.10, analogo alla topologia di amplificatore invertente. Ricordando taleconfigurazione, la tensione d’uscita v′′′OUT si ricava immediatamente come

v′′′OUT = −v3R5

R3. (11)

Sommando i risultati dell’Eqn.(9), Eqn.(10) e Eqn.(11), si ottiene

vOUT = v′OUT + v′′OUT + v′′′OUT

= v1R2

R1 +R2

(1 +

R5

R3 ∥ R4

)+ v2

R1

R1 +R2

(1 +

R5

R3 ∥ R4

)− v3

R5

R3

=

(v1

R2

R1 +R2+ v2

R1

R1 +R2

)(1 +

R5

R3 ∥ R4

)− v3

R5

R3(12)

come ottenuto nell’Eqn.(7).Lo stesso metodo poteva essere impiegato calcolando per prima la tensione complessiva al

nodo non invertente dell’amplificatore operazionale e poi considerando la tensione al terminalenon invertente come fosse erogata da una sorgente di tensione ideale, Facendo in questo modo, ilprincipio di sovrapposizione puo essere applicato considerando la sorgente equivalente v+ e quellav3 come sorgenti d’ingresso.

7

Figure 9: Rete da considerare per il calcolo del contributo v′′′OUT di v3 nel circuito di Fig.1.

Figure 10: Amplificatore di tensione equivalente per il calcolo del contributo v′′′OUT di v3 nel circuitodi Fig.1.

8

Ulteriori considerazioni sui circuiti contenenti amplificatori operazionali ideali

Di seguito sono raccolti alcuni suggerimenti utili per la risoluzione di circuito contenenti amplifica-tori operazionali

• I circuiti contenenti piu di un opamp possono essere risolti considerando dapprima i circuitioperazionali i cui ingressi sono collegati a generatori indipendenti e calcolando le loro tensionid’uscita tramite le tecniche considerate in precedenza. Poi, dato che l’uscita di un opamp ide-ale puo essere considerata come una sorgente ideale di tensione, tale amplificatore puo esseresostituito da un generatore indipendente di tensione avente il valore calcolato in precedenza,dopodiche si risolve il resto del circuito.

• I circuiti operazionali ideali sono elementi lineari, per cui i circuiti contenenti opamp idealie altri elementi lineari possono essere analizzati nel dominio della frequenza attraverso ladefinizione di una funzione di trasferimento ingresso-uscita. A tale scopo, i componenti passividel circuito sono descritti in funzione della loro ammettenza/impedenza.

• Se e richiesto il calcolo di una quantita differente dalla tensione d’uscita di un opamp, la tec-nica precedente deve essere adattata alla uscita richiesta (ad esempio Eqn.(3) dovrebbe esseresostituita da un’altra relazione). Ciononostante, i primi due passi del metodo di soluzionediretto precedentemente descritto sono utili per risolvere la maggior parte dei circuito conamplificatori operazionali ideali.

9

Esercizi

Esercizio 1. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.11 in funzione dellesorgenti indipendenti v1, i2 e v3 per R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10kΩ.

Figure 11: Circuito per l’Es.1.

Esercizio 2. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.12 in funzione dellesorgenti indipendenti v1, i2, i3 e v4 per R1 = R2 = R3 = R4 = 10kΩ and R5 = 50kΩ.

Figure 12: Circuito per l’Es.2.

10

Esercizio 3. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.13 in funzione dellesorgenti indipendenti v1, i2 e v3.

Figure 13: Circuito per l’Es.3.

Esercizio 4. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.14 in funzione dellesorgenti indipendenti v1 e v2.

Figure 14: Circuito per l’Es.4.

Esercizio 5. Calcolare l’espressione della corrente iOUT del circuito di Fig.15 in funzione dellesorgenti indipendenti v1 e v2.

Esercizio 6. Con riferimento al circuito riportato in Fig.16, in cui R1 = 10kΩ, R2 = 22kΩ eC = 10nF, calcolare l’espressione della funzione di trasferimento H(f) = Vout(f)

V1(f)e disegnare

il diagramma di Bode del modulo e della fase di H(f).

11

Figure 15: Circuito per l’Es.5.

Figure 16: Circuito per l’Es.6.

12

Esercizio 7. Con riferimento al circuito di Fig.17, in cui R1 = 10kΩ, R2 = 100kΩ, C1 = 10π nF e

C2 =100π nF, calcolare H(f) = Vout(f)

Vin(f)e disegnare il diagramma di Bode di H(f).

Figure 17: Circuito per l’Es.7.

Esercizio 8. Con riferimento al circuito in Fig.18, in cui R = 100kΩ e C = 2.2nF, calcolareH(f) = Vout(f)

Vin(f)e disegnare il diagramma di Bode di H(f).

Figure 18: Circuito per l’Es.8.

Esercizio 9. Con riferimento al circuito in Fig.19, con R = 100kΩ e C = 10π nF, calcolare H(f) =

Vout(f)Vin(f)

e disegnare il diagramma di Bode di H(f).

Figure 19: Circuito per l’Es.9.

13

2 Esercizi su amplificatori operazionali reali

Figure 20: Circuito considerato nell’esempio.

2.1 Dinamica di tensione/corrente

Si consideri il circuito di Fig.20, in cui R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 100kΩ e la porta di uscitadel circuito pilota un resistore RL = 1kΩ. Le dinamiche dei segnali di ingresso v1, v2 e v3 sonoriportate nella Tab.1.

Table 1: Dinamica dei segnali di ingresso in Fig.20

Sorgente VMIN VMAX

v1 -2V 1V

v2 0 1V

v3 0 500mV

Calcolare

• la minima dinamica della tensione di uscita;

• la minima dinamica della corrente d’uscita;

• la minima dinamica di modo comune per i segnali di ingresso

necessarie affinche l’opamp in Fig.20 funzioni correttamente con i segnali di ingresso specificati inprecedenza.

14

Soluzione

Dinamica della tensione di uscita L’espressione della tensione di uscita ottenuta nell’ipotesidi amplificatore operazionale ideale e riportata nell’Eqn.(7). Sostituendo i valori numerici, siottiene

vOUT =

(v1

R2

R1 +R2+ v2

R1

R1 +R2

)(1 +

R5

R3 ∥ R4

)− v3

R5

R3

=3

2v1 +

3

2v2 − v3 (13)

Tenendo in conto la dinamica dei segnali in ingresso, il massimo valore all’uscita dell’opampdovrebbe essere

vOUT,MAX = max

(3

2v1 +

3

2v2 − v3

)=

3

2max v1 +

3

2max v2 −min v3

=3

2· V1,MAX +

3

2· V2,MAX − V3,MIN

=3

2· 1V +

3

2· 1V − 0V

= 3V. (14)

Analogamente, il minimo valore all’uscita dell’opamp dovrebbe essere

vOUT,MIN = min

(3

2v1 +

3

2v2 − v3

)=

3

2min v1 +

3

2min v2 −max v3

=3

2· V1,MIN +

3

2· V2,MIN − V3,MAX

=3

2· (−2V) +

3

2· 0V − 0.5V

= −3.5V (15)

Tenendo conto dell’Eqn.(14) e (15), l’opamp dovrebbe avere una minima dinamica di uscitadi (-3.5V, 3V) per poter amplificare correttamente i segnali d’ingresso. Un opamp con unadinamica di uscita (VOUT,MIN, VOUT,MAX) con VOUT,MIN < −3.5V e VOUT,MAX > 3V dovrebbeessere, dunque, utilizzato nel circuito di Fig.20.

Dinamica della corrente di uscita Se il circuito in Fig.20 funziona correttamente, la correnteche scorre nel resistore di carico RL e proporzionale alla tensione d’uscita per cui, per undato carico, l’opamp dovrebbe erogare una massima corrente d’uscita in corrispondenza dellamassima tensione d’uscita e dovrebbe assorbire la massima corrente quando sul carico sistabilisce la minima (negativa) tensione d’uscita. Di conseguenza,

iOUT,MAX,sourced =vOUT,MAX

RL=

3V

1kΩ= 3mA (16)

e

iOUT,MAX,sunk =vOUT,MIN

RL=

−3.5V

1kΩ= −3.5mA (17)

15

Dinamica del modo comune in ingresso Se il circuito in Fig.20 funziona correttamente, si hache v+ ≃ v− e, di conseguenza,

vCM =v+ + v−

2≃ v+.

Allo scopo di calcolare la minima dinamica del modo comune in ingresso per l’opamp in Fig.20,si devono calcolare i valori minimo e massimo della tensione di ingresso non invertente, laquale e espressa come

v+ = v1R2

R1 +R2+ v2

R1

R1 +R2

=1

2v1 +

1

2v2, (18)

tenendo conto delle dinamiche dei segnali di ingresso. In tal modo, si ottiene

vCM,MAX = v+MAX = max

(1

2v1 +

1

2v2

)=

1

2max v1 +

1

2max v2 (19)

=1

2· 1V +

1

2· 1V

= 1V. (20)

e

vCM,MIN = v+MIN = min

(1

2v1 +

1

2v2

)=

1

2min v1 +

1

2min v2 (21)

=1

2· (−2V) +

1

2· 0V

= −1V (22)

Tenendo conto della Eqn.(20) e (22), l’opamp dovrebbe avere una minima dinamica di modocomune di (-1V, 1V) per elaborare correttamente i segnali in ingresso. Di conseguenza, nelcircuito di Fig.20 si dovrebbe usare un amplificatore operazionale con dinamica di uscita(VCM,MIN, VCM,MAX) con VCM,MIN < −1V and VCM,MAX > 1V.

2.2 Tensione di offset

Si supponga di utilizzare nel circuito di Fig.20, con i valori dei componenti specificati in precedenza,un amplificatore operazionale TLC271, il cui costruttore dichiara un valore massimo della tensionedi offset in ingresso pari a 5mV.

Soluzione

Con l’obiettivo di calcolare la tensione di offset in uscita nel circuito di Fig.20, tutti i generatoridi segnale in ingresso devono essere spenti e si deve considerare il modello di opamp, mostrato inFig.21, che include la sorgente VOFF che tiene conto dell’offset in ingresso.

16

Figure 21: Circuito da considerare per il calcolo del massimo valore della tensione di offset sullatensione di uscita vOUT dovuto alla tensione di offset VOFF in ingresso all’opamp nel circuito diFig.20.

Come conseguenza, dall’analisi del circuito di Fig.21, assumendo l’opamp ideale, si ottiene cheil contributo VOFF,OUT dovuto al generatore di tensione di offset VOFF sulla tensione d’uscita vOUT

e dato da:

VOFF,OUT = VOFF

(1 +

R5

R3 ∥ R4

)= 3VOFF. (23)

Il valore massimo della tensione di offset all’uscita e percio in modulo

max |VOFF,OUT| = 3max |VOFF| = 15mV. (24)

Di conseguenza, la tensione d’uscita vOUT del circuito in Fig.21 puo essere affetta da un errore−15mV < VOFF,OUT < 15mV.

2.3 Influenza del valore finito dell’amplificazione differenziale

Figure 22: Circuito considerato nell’esercizio.

17

Figure 23: Circuito equivalente di un amplificatore operazionale con amplificazione differenzialefinita e resistenza di uscita finita.

Si consideri il circuito amplificatore di transresistenza in Fig.22, in cui R = 10kΩ. Con riferi-mento a tale circuito calcolare

• la transresistenza Rm = vOUTiIN

;

• la resistenza di ingresso Rin indicata in Fig.22;

• la resistenza di uscita Rout indicata in Fig.22

nel caso di amplificatore operazionale ideale (cioe con amplificazione differenziale A → ∞) e nel casodi amplificatore operazionale reale il cui circuito equivalente e mostrato in Fig.23, con Ro = 10kΩe con i seguenti valori finiti di A: A = 104, A = 102, A = 10 e A = 1.

Soluzione

La transresistenza Rm e le resistenze di ingresso ed uscita, nel caso di opamp ideale, sonocalcolabili immediatamente come segue:

Transresistenza Se l’opamp e ideale, v− = v+ = 0 e la tensione d’uscita vOUT e uguale allatensione che cade ai capi del resistore di retroazione R come si desume dall’applicazionedella legge di Kirchoff per le tensioni. Inoltre, siccome la corrente i− all’ingresso invertentedell’opamp e zero, dalla legge di Kirchoff per le correnti segue che iR = iIN.

Di conseguenza,vOUT = vR = RiIN

e la trasresistenza dell’amplificatore e

Rm = R = 10kΩ (25)

Resistenza di ingresso Se l’opamp in Fig.22 e ideale, v− = v+ = 0. Di conseguenza, spegnendotutti i generatori indipendenti e collegando un generatore di corrente di test iT alla porta di

18

ingresso, la tensione di test ai capi di tale generatore e zero. La resistenza di ingresso, definitacome il rapporto tra la tensione di test e la corrente di test, e data da

Rin =vTiT

= 0,

come ci si aspetta da un amplificatore di transresistenza ideale.

Resistenza di uscita Per calcolare la resistenza di uscita, bisogna spegnere tutti i generatoriindipendenti ed applicare alla porta di uscita un generatore di corrente iT di test. Poi, laresistenza di uscita e calcolata applicando la definizione come

Rout =vTiT

.

Con riferimento al circuito di Fig.22, se la sorgente di ingresso e spenta, la corrente cheattraversa R e zero dato che i− = 0. Per cui, dato che vT = vOUT = vR, la tensione di testvT e zero e

Rout =vTiT

= 0,

come deve essere in un amplificatore di transresistenza ideale.

La transresistenza Rm e le resistenze di ingresso ed uscita, nel caso in cui l’opamp sia rappre-sentato dal modello riportato in Fig.23 possono essere calcolate analizzando il circuito di Fig.24.

Transresistenza Per calcolare la transresistenza Rm = vOUTiIN

, si applica la solita procedura peri circuiti contenenti generatori dipendenti In tal modo, si calcola dapprima la grandezza dicontrollo in funzione di iIN e di e = AvD come

vD = (R+Rout) iIN − e

quindivD +AvD = (R+Ro) iIN

ed infine

vD =R+Ro

1 +AiIN (26)

La tensione d’uscita puo essere calcolata come

vOUT = −RoiIN +AR+Ro

1 +AiIN

= +AR+ARo −ARo −Ro

1 +AiIN

=AR−Ro

1 +AiIN

(27)

Di conseguenza, la transresistenza e data da

Rm =AR−Ro

1 +A(28)

Con i valori numerici dati, e per i tre valori dell’amplificazione differenziale A specificati inprecedenza, si ottengono i valori di transresistenza riportata in Tab.2.

19

Table 2: Transresistenza dell’amplificatore in Fig.22 per diversi valori di A

A Rm

104 9.998kΩ

103 9.98kΩ

10 8.18kΩ

1 0Ω

Si puo osservare che la transresistenza dell’amplificatore e prossima a quella ottenuta nel casodi opamp ideale se l’amplificazione differenziale e maggiore di 103. Per A = 10 si nota unerrore di circa il 20%, mentre per A = 1, la transresistenza e completamente diversa rispettoal caso ideale.

Resistenza di ingresso Per calcolare la resistenza di ingresso del circuito in Fig.24, bisogna speg-nere i generatori indipendenti e applicare un generatore di test alla porta di ingresso. Igeneratori dipendenti (cioe AvD) devono essere mantenuti accesi. Il circuito si analizza conla procedura usuale per circuiti contenenti generatori dipendenti. Si calcola dapprima lagrandezza pilota in funzione della corrente di test iT e di e = AvD come

vD = (R+Ro) iT − e

quindi

vD =R+Ro

1 +AiT (29)

Siccome vT = vD in questo circuito, si ottiene immediatamente che

Rin =vTiT

=R+Ro

1 +A. (30)

Con i valori numerici dati, e per i tre valori dell’amplificazione differenziale A specificati inprecedenza, si ottengono i valori di resistenza di ingresso riportati in Tab.3.

Table 3: Resistenza di ingresso dell’amplificatore in Fig.22 per diversi valori di A

A Rin

104 2Ω

103 19.98Ω

10 1.8kΩ

1 10kΩ

Si puo notare che la resistenza di ingresso e dell’amplificatore e simile a quella calcolata nelcaso in cui l’opamp e ideale (cioe zero) se l’amplificazione differenziale e maggiore di 103.

Resistenza di uscita Per calcolare la resistenza di uscita del circuito in Fig.24, si devono spegnerei generatori indipendenti ed applicare un generatore di corrente di test alla porta di uscita.I generatori dipendenti (cioe AvD) devono essere mantenuti accesi. Il circuito si analizza

20

con la procedura usuale per circuiti contenenti generatori dipendenti. Si calcola dapprima lagrandezza pilota in funzione della corrente di test iT e di e = AvD come

vD = −RoiT − e

quindi

vD = − Ro

1 +AiT (31)

Dato che vT = −vD in questo circuito, si ottiene immediatamente che

Rout =vTiT

=Ro

1 +A. (32)

Con i valori numerici dati, e per i tre valori dell’amplificazione differenziale A specificati inprecedenza, si ottengono i valori di resistenza di uscita riportati in Tab.4.

Table 4: Resistenza di uscita dell’amplificatore in Fig.22 per diversi valori di A

A Rout

104 1 Ω

103 9.99Ω

10 909Ω

1 5kΩ

Si puo notare che la resistenza di ingresso e dell’amplificatore e simile a quella calcolata nelcaso in cui l’opamp e ideale (cioe zero) se l’amplificazione differenziale e maggiore di 103.

Figure 24: Circuito da analizzare per tenere conto del valore finito della amplificazione differenzialedell’opamp A

21

2.4 Limitazione di banda dell’amplificatore operazionale

Calcolare la transimpedenza Zm(f) = Vout(f)Iout(f)

dell’amplificatore in Fig.22 dove R = 10kΩ e dovel’amplificatore operazionale e rappresentato dal circuito equivalente in Fig.23, in cui Ro = 100kΩ ela amplificazione differenziale dell’opamp e

A(f) =A0

1 + j ffp

(33)

dove A0 = 104 e fp = 100Hz. Disegnare il diagramma di Bode del modulo e della fase di Zm(f).

22

Soluzione

L’espressione della transimpedenza Zm, che tiene conto dell’amplificazione A(f) di valore finitopuo essere calcolata come fatto nel precendente esercizio (Eqn.(28)):

Zm(f) =A(f)R−Ro

1 +A(f)(34)

Sostituendo l’espressione di A(f) si ottiene

Zm(f) =

A0

1+j ffp

R−Ro

1 + A0

1+j ffp

=A0R−Ro

(1 + j f

fp

)A0 + 1 + j f

fp

=A0R−Ro −Roj

ffp

A0 + 1 + j ffp

=A0R−Ro

A0 + 1

1− j f(A0

RRo

−1)fp

1 + j f(A0+1)fp

= Zm(0)1− j f

fzc

1 + j ffpc

(35)

dove, considerando i valori numerici, Zm(0) ≃ 10kΩ, fpc ≃ 1MHz e fzc ≃ 100kHz. Si ottiene ildiagramma di Bode di Zm in Fig.25.

Figure 25: Diagrammi di Bode della transimpedenza Zm del circuito di Fig.22.

23

2.5 Esercizi

Esercizio 1. L’amplificatore di corrente in Fig.26, dove R1 = 10kΩ, R2 = 1kΩ e RL = 10kΩinclude un opamp con una dinamica della tensione di ingresso pari a (-10V,+10V) e unadinamica della corrente di uscita di (-3mA,5mA). Calcolare i valori minimi e massimi delsegnale in ingresso iIN che possono essere amplificati correttamente.

Figure 26: Circuito per l’Es.1.

Esercizio 2. L’opamp in Fig.26, dove R1 = 10kΩ, R2 = 1kΩ e RL = 10kΩ, ha un massimovalore dell’offset della tensione di ingresso di 5mV. Calcolare il valore massimo dell’offsetdella corrente di uscita iOUT.

Esercizio 3. Il circuito in Fig.27, dove R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ e R3 = 10kΩ ha due segnali iningresso: v1(t) con dinamica (V1,MIN, V1,MAX)=(10mV, 500mV) e v2(t) avente una dinamicapari a (V2,MIN, V2,MAX)=(-250mV, 1V).

• Calcolare il valore minimo della dinamica della tensione in uscita necessario per il correttofunzionamento;

• supporre che la dinamica della corrente di uscita dell’opamp sia (-10mA, +10mA), cal-colare il minimo valore del carico resistivo che puo essere pilotato dal circuito.

Figure 27: Circuito per l’Es.3.

24

Esercizio 4. Entrambi gli opamp in Fig.28 hanno un offset di tensione in ingresso di 4mV. Cal-colare l’offset di tensione di uscita vOUT, assumendo R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10kΩ.

Figure 28: Circuito per l’Es.4.

Esercizio 5. Con riferimento al circuito in Fig.29, in cui R = 10kΩ, calcolare la transconduttanzagm = iOUT

vIN, la resistenza di ingresso Rin and la resistenza di uscita Rout considerando il

circuito equivalente dell’amplificatore operazionale mostrato in Fig.23, dove Ro = 5kΩ

• assumendo che l’amplificazione differenziale A dell’opamp sia infinita (opamp ideale);

• assumendo A = 103;

• assumendo A = 10.

Figure 29: Circuit per l’Es.5.

25

Exercise 6. Con riferimento al circuito in Fig.30, in cui R1 = 10kΩ e R2 = 100kΩ, calcolarel’amplificazione di tensione Av = vOUT

vIN, la resistenza di ingresso Rin e la resistenza di uscita

Rout considerando il circuito equivalente dell’amplificatore operazionale mostrato in Fig.23,dove Ro = 10kΩ

• assumendo che l’amplificazione differenziale A dell’opamp sia infinita (opamp ideale);

• assumendo A = 103;

• assumendo A = 10.

Figure 30: Circuito per l’Es.6.

Esercizio 7. Con riferimento al circuito in Fig.30, in cui R1 = 10kΩ e R2 = 100kΩ, calcolarel’amplificazione di tensione Av(f) = Vout(f)

Vin(f), l’impedenza di ingresso Zin e l’impedenza di

uscita Zout considerando il circuito equivalente dell’amplificatore operazionale mostrato inFig.23, dove Ro = 10kΩ e A(f) = A0

1+j ffp

, A0 = 104 e fp = 50Hz.

Esercizio 8. Un amplificatore operazionale in configurazione di inseguitore di tensione pilota uncarico resistivo RL = 1kΩ con un segnale proveniente da una sorgente con resistenza internaRS = 100kΩ come mostrato in Fig.31. L’amplificatore operazionale ha il circuito equivalentedi Fig.32, dove Ri = 10kΩ, Ro = 100kΩ e A(f) = A0

1+j ffp

, A0 = 106 and fp = 1Hz.

• calcolare la funzione di trasferimento vOUTvIN

, supponendo che il carico sia direttamentecollegato alla sorgente di segnale senza il circuito inseguitore di tensione;

• calcolare la funzione di trasferimento vOUTvIN

, assumendo che l’opamp sia ideale (cioe A →∞);

• calcolare la funzione di trasferimento vOUTvIN

alla frequenza f = 0;

• calcolare la funzione di trasferimento Vout(f)Vin(f)

in funzione della frequenza e disegnarne ildiagramma di Bode in modulo e fase.

Esercizio 9. Con riferimento al circuito in Fig.16, calcolare la funzione di trasferimento nel do-minio della frequenza H(f) = Vout(f)

Vin(f), tenendo in considerazione la dipendenza dalla fre-

quenza della amplificazione differenziale A(f) = A0

1+j ffp

, con A0 = 104 and fp = 100Hz,

dell’amplificatore operazionale. Assumere che l’impedenza di ingresso dell’opamp sia infinitae l’impedenza di uscita dell’opamp sia nulla.

26

Figure 31: Circuito per l’Es.8.

Figure 32: Circuito equivalente dell’opamp per l’Es.8.

27

Esercizi sugli amplificatori operazionali

Soluzioni

1 Esercizi su amplificatori operazionali ideali

Soluzioni

Esercizio 1.vOUT = 3

2v1 + 15kΩ · i2 − v3.

Esercizio 2.vOUT = 3v1 − 90kΩ · i2 − 50kΩ · i3 − 5v4.

Esercizio 3.vOUT = −R5

R3

(1 + R2

R1

)v1 −R5i2 +

(1 + R5

R3

)v3.

Esercizio 4.vOUT =

(1 + R3

R2

)v1 − R3

R2v2.

Esercizio 5.iOUT = −

(1 + R3

R4

)(v1R1

+ v2R2

).

Esercizio 6.

H(f) = k1+j f

fz

1+j ffp

with k = 1, fp = 12πR1C

= 1.59kHz, fz =1

2π(R1+R2)C= 497Hz.

Esercizio 7.

H(f) = −j ff0(

1+j ffp1

)(1+j f

fp2

)with f0 =

12πR2C1

= 500Hz, fp1 =1

2πR1C1= 5kHz and fp2 =

12πR2C2

= 50Hz.

Esercizio 8.H(f) = k 1

1+j ffp

with k = −1 and fp1 =1

2πRC = 723Hz.

Exercise 9.H(f) = k(

1+j ffp1

)(1+j f

fp2

)with k = 2, fp1 =

12π10RC = 50Hz and fp2 =

12πRC = 500Hz.

1

2 Esercizi su amplificatori operazionali reali

Soluzioni

Esercizio 1.−0.83mA < iIN < 0.83mA.

Esercizio 2.IOUT,OFF = 610nA.

Esercizio 3.∆VOUT,mim = (−10V, 1.15V).ROUT,mim = 1kΩ.

Esercizio 4.VOUT,OFF = 16mV.

Esercizio 5.for A → ∞ : gm = 100µS, Rin → ∞, Rout → ∞for A = 103 : gm = 99.85µS, Rin → ∞, Rout = 10.015MΩfor A = 10 : gm = 86.96µS, Rin → ∞, Rout = 115kΩ.

Esercizio 6.for A → ∞ : Av = −10, Rin = 10kΩ, Rout = 0for A = 103 : Av = −9.88, Rin = 10.11kΩ, Rout = 108Ωfor A = 10 : Av = −4.5, , Rin = 20kΩ, Rout = 5kΩ.

Esercizio 7.

Av(f) =−R2A0+Ro

(A0+1)R1+R2+Ro

1+j ffp

Ro−R2A0+Ro

1+j ffp

R1+R2+Ro(A0+1)R1+R2+Ro

Zin(f) =[R1 +

R2+Ro1+A0

] 1+j ffp

R1+R2+Ro(A0+1)R1+R2Ro

1+j ffp(1+A0)

Zout(f) =[Ro∥(R1+R2)](R1+R2+Ro)

(A0+1)R1+R2+Ro

1+j ffp

1+j ffp

R1+R2+Rofp(A0+1)R1+R2+Ro

Esercizio 8.vOUTvIN

= 1101

vOUTvIN

= 1vOUTvIN

= 0.999Vout(f)Vin(f)

= A01+A0

1

1+j ffp(1+A0)

Esercizio 9.Vout(f)Vin(f)

= k1+ f

fz(1+ f

fp1

)(1+ f

fp2

)where k = 1, fp1 =

12πR1C

= 1.59kHz, fp2 =fpA0

11 = 90.9kHz fz =1

2π(R1+R2)C= 497Hz.

2