Clase 3 semana 2

Titulo

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se reducen a homogéneas Supongamos ahora que tenemos la EDO de primer orden

𝑦′=𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐

𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1siendo a,b,c,𝑎1,𝑏1,𝑐1 ciertos

números reales dados. Se observa que si 𝑎 =𝑎1 = 0 ó 𝑏 = 𝑏1 = 0 la ecuación es de variables separables. Excluyendo estos casos triviales y suponiendo que alguna de las constantes c o 𝑐1 es diferente de cero vemos que la EDO no puede ser homogénea (¿por qué?).

Titulo

Para avanzar un paso hagamos el cambio de variables 𝑥 = 𝑥1 + ℎ, 𝑦 = 𝑦1 + 𝑘, siendo h,kciertas constantes a determinar y además 𝑦1 ≡𝑦1(𝑥1), una función de la nueva variable

independiente 𝑥1. Tendremos entonces que 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦1

𝑑𝑥1. Sustituyendo en la EDO original nos queda

𝑑𝑦1

𝑑𝑥1=

𝑎 𝑥1+ℎ +𝑏 𝑦1+𝑘 +𝑐

𝑎1 𝑥1+ℎ +𝑏1 𝑦1+𝑘 +𝑐1=

𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+(𝑎ℎ+𝑏𝑘+𝑐)

𝑎1𝑥1+𝑏1𝑦1+(𝑎1ℎ+𝑏1𝑘+𝑐1 ).

Si se pueden elegir las constantes h,k de manera que 𝑎ℎ + 𝑏𝑘 + 𝑐 = 𝑎1ℎ + 𝑏1𝑘 + 𝑐1 =0 nos quedaría una EDO homogénea en las variables 𝑥1, 𝑦1 que ya sabemos resolver.

Titulo

El sistema de ecuaciones anterior tiene solución si y sólo 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 ≠ 0 y esto equivale a suponer que las rectas representadas por el sistema no son paralelas (tienen algún punto de intersección).En el caso favorable procedemos a resolver la EDO homogénea resultante y debemos luego devolver los cambios de variables asociados sustituyendo al final los valores de h,k encontrados. Si 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 = 0 veremos a través de un ejemplo cómo se debe proceder.

Ejemplo Resolver la EDO 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥+𝑦−3

𝑥−𝑦−1. Aquí vemos

que a=1,b=1,c=-3,𝑎1 = 1, 𝑏1 = −1, 𝑐1 = −1 y claramente no estamos en los casos triviales.

Titulo

Como además c=-3 es diferente de cero, esta condición es suficiente para que la EDO no sea homogénea.En este caso, haciendo 𝑥 = 𝑥1 + ℎ, 𝑦 = 𝑦1 + 𝑘,nos queda𝑑𝑦1

𝑑𝑥1=𝑥1+ℎ + 𝑦1+𝑘 −3

𝑥1+ℎ − 𝑦1+𝑘 −1=𝑎𝑥1+𝑦1+(ℎ+𝑘−3)

𝑥1−𝑦1+(ℎ−𝑘−1).

Vemos que 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 = −1 − 1 = −2 ≠ 0 y por tanto las rectas no son paralelas y podemos resolver el sistema asociado resultanteh+k-3=0,h-k-1=0.

Titulo

Sumando la primera ecuación del sistema anterior a la segunda obtenemos directamente que 2h=4. De aquí se sigue que h=2. Sustituyendo este valor en la primera ecuación del sistema obtenemos que k=1. Para estos valores nuestra EDO (en las nuevas

variables 𝑦1,𝑥1) queda 𝑑𝑦1

𝑑𝑥1=

𝑥1+𝑦1

𝑥1−𝑦1. Por supuesto

nos queda una EDO homogénea en la variables 𝑦1, 𝑥1. Como los polinomios son de primer grado dividimos por 𝑥1 arriba y abajo en la EDO anterior

y nos queda 𝑑𝑦1

𝑑𝑥1=

1+𝑦1𝑥1

1−𝑦1𝑥1

.

Titulo

Haciendo el cambio de variables 𝑧 =𝑦1

𝑥1tenemos

𝑦1=𝑥1z, de donde, derivando respecto a 𝑥1,

llegamos a 𝑑𝑦1

𝑑𝑥1=z+𝑥1

𝑑𝑧

𝑑𝑥1. Sustituyendo nos queda

la EDO de variables separables z + 𝑥1𝑑𝑧

𝑑𝑥1=

1+𝑧

1−𝑧.

De allí tenemos que 𝑥1𝑑𝑧

𝑑𝑥1=1+𝑧

1−𝑧-z=

1+𝑧−𝑧+𝑧2

1−𝑧.

Separando variables, 1−𝑧

1+𝑧2dz=

𝑑𝑥1

𝑥1. Integrando

tenemos que

arctan 𝑧 -1

2ln(1+𝑧2)=ln𝑥1+ln C. Devolviendo el

cambio de variables llegamos a

𝑒𝑎𝑟𝑐 tan

𝑦1𝑥1=C𝑥1 1 +

𝑦12

𝑥12=C 𝑥1

2 + 𝑦12 .

Titulo

Finalmente, usando que𝑥1 = 𝑥 − ℎ = 𝑥 − 2, 𝑦1 = 𝑦 − 𝑘 = 𝑦 − 1

obtenemos la SG de nuestra EDO original dada por

la expresión 𝑒arc tan(𝑦−1

𝑥−2) =C (𝑥 − 2)2+(𝑦 − 1)2.

Ejemplo Examinemos lo que ocurre en el caso en

que 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 = 0. De aquí se sigue que 𝑎1

𝑎=

𝑏1

𝑏= 𝜇 (un cierto número real). Notar que si a=b=0

se tendría una ecuación del tipo 𝑦′ = 𝑓(𝑎1𝑥 +𝑏1𝑦 + 𝑐1) que ya sabemos resolver. Pero entonces nos queda que 𝑎1 = 𝜇𝑎, 𝑏1 = 𝜇𝑏 y por tanto, 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐

𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐

𝜇 𝑎𝑥+𝑏𝑦 +𝑐1.

Titulo

Claramente el cambio de variables 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦convierte la ecuación resultante en una de variables separables. Este caso ocurre siempre que la parte correspondiente en x,y del numerador es múltiplo de su contraparte en el denominador. Supongamos por ejemplo que queremos resolver la EDO

𝑦′ =2𝑥+𝑦−1

4𝑥+2𝑦+5. En este caso a=2,b=1,c=-1,𝑎1 =

4, 𝑏1 = 2, 𝑐1 = 5 y claramente se cumple la

condición 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 = 0. Además 𝑎1

𝑎=

𝑏1

𝑏=

4

2=

2. O sea que 𝜇 = 2.

Titulo

La EDO queda𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥+𝑦−1

2 2𝑥+𝑦 +5. Hacemos entonces

z=2x+y⇒𝑑𝑧

𝑑𝑥= 2 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥⇒

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑥− 2.

Sustituyendo en la EDO original llegamos a 𝑑𝑧

𝑑𝑥−

2 =𝑧−1

2𝑧+5, que ya es de variables separables. De

allí 𝑑𝑧

𝑑𝑥= 2 +

𝑧−1

2𝑧+5=5𝑧+9

2𝑧+5. Separando variables tenemos

(2𝑧+5

5𝑧+9)𝑑𝑧 = 𝑑𝑥. Para integrar notamos que

2z+5=(5z+9)2

5+7

5. Por tanto

2𝑧+5

5𝑧+9=

2

5+

7

5

1

(5𝑧+9).

La SG queda, en términos de las variables z,x

escrita como2

5z+

7

25ln5z+9=x+C.

Titulo

Devolviendo el cambio de variables z=2x+y tenemos finalmente que la SG en las variables originales y,x viene dada por 10y-5x+7ln10x+5y+9=𝐶1(𝐶1 = 25𝐶).

GRACIAS

Datos Unidad