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ESTUDIO DE ESTABILIDAD EN SISTEMAS DISCRETO
SISTEMA DE CONTROL II
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CORRESPONDENCIA DEL PLAZO S AL PLANO Z
Ing. Jos Luis Ola Garcia M.A.
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2 La estabilidad del sistema en lazo cerrado en tiempo discreto
lineal e
invariante con el tiempo puede determinarse con base a las
posiciones de los polos de la funcin de transferencia de
lazo
cerrado.
Si s= j, es la frontera del plano s, en el plano z, la imagen
es
Z = u+ jv = 1 + T, el cual es la recta vertical o eje
imaginario.
Sin embargo, para definir bien la regin de estabilidad en el
plano z,
es necesario z = u + jv =
, con s =j, para tener la imagen de un
circulo unitario, con centro en origen.
De esta forma, se mapean regiones
estables del plano s al regiones estables del
plano z.
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Zona de estabilidad en tiempo
continuo y discreto
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3 Debe observarse que el comportamiento dinmico del SCD
depende del periodo de muestreo T. La localizacin de los
polos
y los ceros en el plano z, depende del periodo de muestreo
T.
En otras palabras un cambio en el periodo de muestreo T
modifica las localizaciones de los polos y de los ceros en el
plano
z y hace que el comportamiento de la respuesta se modifique.
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Zona de estabilidad en tiempo
continuo y discreto
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Correspondencia del semiplano
izquierdo del plano s hacia el plano
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En diseo de un SCD, la localizacin de los polos y ceros en el
plano
s es de gran importancia para predecir el comportamiento
dinmico
del sistema en un plano z.
Cuando en un proceso se incorpora un muestreo por impulsos,
las
variables complejas z y s (planos s y Z) quedan relacionadas
mediante la ecuacin
donde s esta formada por una parte real y otra
imaginaria.
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Correspondencia del semiplano
izquierdo del plano s hacia el plano z
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Dado que es negativo en el semiplano izquierdo del plano s,
el
semiplano izquierdo s corresponde en el plano z a:
El eje j, en el plano z corresponde a |z|=1.
El eje imaginario en el plano s (la lnea = 0) corresponde el
crculo unitario en el plano z y el interior del crculo
unitario
corresponde al semiplano izquierdo del plano s.
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Franjas primarias y franjas Franjas primarias y franjas
complementarias
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En vista de que z =T, el ngulo varia desde - a + conforme
vare w desde - a +
s es la frecuencia de muestreo.
Tenemos que |z|=1, y z varia desde - hasta en direccin
contraria a las manecillas del reloj, en el plano z.
Conforme el punto en el plano s se mueve en el plano j desde
- a + , dibujamos el circulo unitario en el plano z un nmero
infinito de veces. Es decir, cada franja de ancho s del
semiplano
izquierdo del plano s, se transformara hacia el interior del
circulo
unitario.
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Franjas primarias y franjas
complementarias
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Franjas peridicas en el plano s y regin correspondiente en el
plano z.
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El rea encerrada en
cualquier franja se
transforma en el
circulo unitario
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Franjas primarias y franjas
complementarias
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Un punto del plano z corresponde a un nmero infinito
de puntos en el plano s, aunque un punto en el plano s
corresponda a un solo punto en el plano Z.
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z = u + jv =
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Franjas primarias y franjas
complementarias
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En la franja primaria, si en el plano s trazamos la
secuencia
de puntos 1-2-3-4-5-1, esta trayectoria corresponde al
circulo unitario con centro en el origen del plano z, como
se
muestra en la siguiente figura.
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z = u + jv =
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Franjas primarias y franjas
complementarias
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Dado que la totalidad del semiplano izquierdo del plano s
corresponde al interior del crculo unitario en el plano z,
la
totalidad del plano derecho del plano s corresponde al
exterior
del crculo unitario en el plano z.
Si la frecuencia de muestreo es por lo
menos dos veces mayor que la
frecuencia ms alta involucrada en el
sistema, entonces cada uno de los
puntos del crculo unitario del plano z
representan frecuencias entre - s a
s
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Correspondencia de contornos
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Lugar geomtrico de atenuacin contante.
Una lnea de atenuacin constante (lnea trazada con = constante),
en el
plano s corresponde a un crculo de radio z=enT con centro en el
origen del
plano z, como se muestra en la siguiente figura:
a) Lnea de atenuacin constante en el plano s, b) Lugar
geomtrico
correspondiente en el plano z.
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Correspondencia de contornos
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Correspondencia de contornos
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Tiempo de asentamiento ts
El tiempo de asentamiento queda determinado por el valor de
la
atenuacin de los polos dominantes en lazo cerrado.
a) Regin para un tiempo de asentamiento Ts menor que 4/1 en el
plano s
b)Regin para un tiempo de asentamiento Ts, menor que 4/1 en el
plano z..
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Correspondencia de contornos
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Lugar geomtrico de frecuencia constante
Un lugar geomtrico de frecuencia constante = 1 en el plano s
corresponde
en el plano z a una lnea radial de ngulo constante T1
(radianes), en radianes,como se muestra en la siguiente figura:
a) Lugares geomtricos de frecuencia constante en el plano s b)
Lugares geomtricos
correspondientes al plano z.
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f= cte.
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Correspondencia de contornos
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La regin limitada por las frecuencias y las atenuacin dela
grafica en s corresponden al plano Z como se ven.
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Correspondencia de contornos
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En las siguientes figuras se resume el comportamiento de un
sistema deacuerdo a la ubicacin de sus polos en el plano z.
Respuesta a un simple polo real.
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Respuesta de un polo conjugado
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Respuesta a un par de poloscomplejos conjugados.
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Correspondencia de contornos
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Lugar geomtrico de factor de amortiguamiento relativo
constante
Una lnea de factor de amortiguamiento constante (radial) en el
plano s
corresponde a una espiral en el plano z. En el plano s la lnea
de factor
de amortiguamiento relativo constante se determina por:
En plano z esta lnea se convierte a
|z| se reduce y ngulo z aumenta
cuando d incrementa.
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Correspondencia de contornosCorrespondencia de contornos
a) Lnea de factor de amortiguamiento relativo constante en el
plano s b) Lugar
geomtrico correspondiente en plano z
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Correspondencia de contornos
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La espiral es la resultante del cambio de |z| y el ngulo z, la
espiral
se puede graduar a travs de / , fijando la frecuencia de
muestro se puede determinar el valor numrico de en
cualquier punto de la espiral. Algunos valores sobre la
espiral
pueden ser
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Correspondencia de contornos
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La idea es determinar el comportamiento del SCD y su estabilidad
a travs del
amortiguamiento de la espiral.
a) Si una lnea de amortiguamiento esta en el segundo o tercer
cuadrante del plano
S , la espiral decrece dentro del circulo unitario del plano
z
b) Pero si aparece la lnea de amortiguamiento en el primero o
cuarto cuadrante
(amortiguamiento negativo) del plano S la espiral crece por
fuera del circuitounitario.
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Correspondencia de contornos
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La figura siguiente muestra los lugares geomtricos para
distintos factores de amortiguamiento .
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= 1
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Correspondencia de contornos
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Hemos de observar en lo estudiado que, los factores de
amortiguamiento son normales con los lugares geomtricos de
wn.Esto se llama correspondencia conforme
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Comentarios
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Cuidado con T, no debe ser muy largo porque modifica la
posicin de polos y ceros.
Si 1 > s/2 tenemos doblamiento de f y oscilaciones.
Si la estabilidad en el plano s indica que los polos y ceros
deben estar en el semiplano izquierdo, en el plano Z deben
estar dentro del circulo unitario |z|
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En este caso, los polos para estabilidad estn entre estas
frecuencias, el amortiguamiento y atenuacin, deben quedar
dentro
de la regin sombreado del plano Z.
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Bibliografa
Del busto y Ezeta, R. Anlisis y diseo desistemas de control
digital, 2. Edicin
Ogata, K. Sistemas de control en tiempodiscreto. 2 Edicin
Ing. Jos Luis Ola Garcia M.A.
