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México, 2014
Cálculo Concepción dinámica
Víctor Rogelio Barrales Guadarrama
María Isabel Flores Reyes
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
ii
Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Juan Castro Salgado
Fotografías: Thinkstock
Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy
CÁLCULOSerie Bachiller
Derechos reservados:© 2014, Víctor Rogelio Barrales Guadarrama, María Isabel Flores Reyes© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.ISBN ebook: 978-607-438-959-3
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
Correo:
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, C. P. 02400, México, D. F.
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Grupo Editorial Patria v
PRESENTACIÓN
Sin lugar a dudas, el cálculo, una de las disciplinas más antiguas e importantes de la
humanidad, ha aportado abundantes beneficios que han conllevado no sólo a avances
en la ciencia, la ingeniería y la tecnología, sino a sus desarrollos acelerados. Ninguna
otra disciplina posee el factor de abstracción en un grado tan profundo y preciso, en-
tendida ésta como una actividad intelectual que consiste en considerar aisladamente
un aspecto de la realidad o un fenómeno en sus estrictas dimensiones y cualidades,
aislándolo del todo; con la finalidad de conocerlo mejor para conceptualizarlo y cuan-
tificarlo. Esta característica ha permitido el desarrollo del cálculo en dos niveles diferen-
ciados: uno, como ciencia en sí misma y otro, quizá el más importante, como ciencia
auxiliar fundamental de otras disciplinas, como la física, las ingenierías, la química,
la tecnología, la biología y muchas más. Incluso, la historia nos demuestra, que el eje
director y coordinador de una abundante cantidad de aplicaciones es el cálculo. Como
consecuencia de ello, ante el interés de resolver problemas, se ha acumulado sabidu-
ría y experiencia para emplearlo, logrando integrar los conocimientos previos de la
matemática con los nuevos métodos del cálculo para elaborar las modificaciones y
generalizaciones que con exactitud acotan las nuevas problemáticas y así resolverlas
de la manera más eficiente.
Es interesante como el hombre, en su afán por satisfacer necesidades, le da nuevos
rumbos al estudio del cálculo, tomando en cuenta, un contexto de interdependencia
con otras disciplinas, que al final, permiten la innovación de la tecnología, para diseñar
artefactos o dispositivos partiendo de la necesidad de cuantificar fenómenos naturales
para interpretarlos, para luego, haciendo uso de los conocimiento adquiridos, elaborar
modelos que conjuntan una explicación física, una expresión analítica y su compor-
tamiento gráfico. En otras palabras, sin el cálculo no hay tecnología, y sin tecnología no
hay aplicación concreta del cálculo, por lo cual se debe de estar consciente de su vincu-
lación complementaria aun en los tiempos de nuestros orígenes.
Es significativo destacar la relación cálculo y tecnología, pues el beneficio de ésta com-
prende todas las actividades humanas que requieren especialización para la fabrica-
ción de varios productos, por ejemplo, los aparatos electrodomésticos, las máquinas
herramientas de control numérico, los robots y todo tipo de instrumentos. El funda-
mento de la tecnología es el cálculo, porque todo lo que se construye se proyecta, expe-
rimenta, aprueba y perfecciona con el auxilio insustituible de los cálculos. Hasta un
simple hilo metálico, destinado a la conducción de la electricidad para un propósito
Cálculo
vi
específico, debe tener un espesor en relación con su largo calculado, con exactitud
para permitir el paso de una determinada cantidad de corriente y no se desperdicie o
falte energía.
Pocos pueden imaginar cuantos cálculos se necesitan, por ejemplo, para construir un
nuevo tipo de automóvil: el motor debe efectuar un cierto número de revoluciones
para alcanzar una determinada velocidad y consumir cierta cantidad de combustible;
las ruedas deben tener un cierto diámetro, y la presión del aire en sus neumáticos debe
alcanzar un determinado valor. Es necesario prever el grado máximo de temperatura
que puede ser tolerado por los materiales, la resistencia del aire que se opondrá a la
forma de la carrocería, el tiempo de desgaste de las distintas partes del motor, etc. En
pocas palabras, se necesitan centenares de miles de cálculos para crear un nuevo tipo
de máquina de las que usamos hoy en día.
Es en este contexto de ideas, es en el que este libro sigue su enfoque.
Cálculo; Concepción Dinámica tiene por objeto introducir a los estudiantes en el co-
nocimiento del cálculo diferencial e integral contenido en seis unidades: funciones,
límites, la derivada, aplicaciones de la derivada, la integral y aplicaciones de la integral.
Hace énfasis y pretende que el estudiante conceptualice cada uno de los contenidos
centrales, a saber, función, límite, derivada e integral; con el propósito de que los do-
mine con soltura y exactitud, para después instruirlo en la notación correspondiente
y practicar las relaciones sintácticas entre los símbolos para la comprensión de rela-
ciones y fórmulas.
Cálculo; Concepción Dinámica es una obra inspirada en el hecho de que, todos los
fenómenos físicos e invenciones del ser humano, pueden ser estudiados analizando
la variación de las variables físicas involucradas. De esta manera, conceptualiza al
cálculo como una herramienta que cuantifica variables físicas, de forma analítica, en
magnitudes matemáticas dinámicas. Es decir, que describen cambios de cantidades
físicas que obedecen, de alguna manera, a los cambios de otras cantidades.
El libro se dividide en 6 unidades. La Unidad 1 (Funciones) tiene como finalidad pri-
mordial que el estudiante sea capaz de interpretar el concepto de función a partir de
paradigmas prácticos, para relacionar de forma sencilla las causas y los efectos. El
contenido de la Unidad 2 (Límites) es el primer contacto que el estudiante tiene con
la noción de límite de una función. Su propósito es el de hacer entender, de la manera
más sencilla posible, este concepto y desarrollar unas primeras intuiciones claras al
respecto. La Unidad 3 (La derivada) se ocupa de dar los elementos necesarios para con-
Grupo Editorial Patria vii
ceptualizar la derivada y alcanzar el conocimiento matemático básico que permitirá
manipular esta noción para algún propósito de interés. De esta manera, lo aprendido
por el estudiante, lo comienza a convertir en usuario de una matemática para aplica-
ciones básicas. En esta unidad, para interpretar y hacer un uso matemático adecuado
de la derivada, se utilizarán los conocimientos ya expuestos en las Unidades 1 y 2; por
ejemplo, los correspondientes al de función y al estudio de sus gráficas, el de límite
y continuidad de una función. En esta unidad se destaca lo útil de la interpretación
gráfica de la derivada a través de ejemplos prácticos. La Unidad 4 (Aplicaciones de la
derivada) tiene como propósito desarrollar habilidades en el estudiante para resolver
problemas haciendo uso de los principios de aplicación de la derivada desde un con-
texto variacional. Para ello, se presentan procedimientos de resolución de situaciones
prácticas en diferentes áreas del conocimiento. La Unidad 5 (La integral), se dedicará
a introducir la conceptualización y metodologías para la resolución de integrales. El
contenido de esta unidad, hace énfasis, desde una perspectiva gráfica general, en la
interpretación vinculada con el hecho de que el valor calculado de la integral de una
función representa la medida del área bajo su curva. Por último, la Unidad 6 (Aplicacio-
nes de la integral) tiene un objetivo similar al de la Unidad 4, además consolida el co-
nocimiento adquirido para desarrollar habilidades e interpretar modelos matemáticos
que representen fenómenos físicos, principalmente en el campo donde se presentan
fenómenos dinámicos, a saber, que experimenten cambios respecto al tiempo o a otras
variables. Se aclara con ejemplos prácticos como este tipo de fenómenos son resueltos,
generalmente, mediante el cálculo integral.
El planteamiento que se hace de cada tema sigue esencialmente la misma intención,
es decir, que el estudiante transite por las cuatro diferentes representaciones: descrip-
tiva, numérica, analítica y gráfica.
Durante el desarrollo de cada contenido se dan ejemplos ilustrativos y se proponen ejerci-
cios tanto para la práctica operativa del manejo de las diferentes estrategias de los proble-
mas o situaciones más comunes, que posiblemente se le puedan presentar al estudiante;
como ejercicios para que adquiera sinónimo en la resolución de problemas prácticos.
Cálculo; Concepción Dinámica pretende varias intenciones para el estudiante. La
más importante es que incorpore a su conocimiento de las matemáticas, de una ma-
nera clara, las conceptualizaciones y la destreza en el manejo de las bases de cálculo
expuestas en esta obra; con el fin de coadyuvar a concientizarlo de la importancia que
tiene el cálculo en nuestras vidas.
Cálculo
viii
Fomentar en el estudiante el aprendizaje del cálculo a través de la percepción del im-
pacto que ha tenido el uso del cálculo en todo lo que utilizamos, desde el utensilio más
sencillo, hasta el sistema bioelectrónico más complejo.
Se ofrecen explicaciones amplias para conceptualizar los objetos de estudio (función,
límite, derivada e integral) y se combinan con ejemplos donde se hace uso del cálculo
para un fin práctico, con el objeto de ir capacitando al estudiante para trasladar el
conocimiento a nuevos contextos; interpretar hechos; inferir causas; interpretar con-
secuencias; hacer uso de la información; utilizar métodos y conceptos en situaciones
nuevas; solucionar problemas usando habilidades o conocimientos; relacionar y jerar-
quizar conocimientos; seleccionar, transferir, utilizar datos y principios para completar
una tarea o solucionar un problema.
Se han estructurado los ejemplos de tal manera que el estudiante se percate con cla-
ridad del tipo de solución que se está proponiendo, de los procedimientos matemáti-
cos utilizados y de la presentación de éstos y del resultado. Al resolver los ejercicios
propuestos, el estudiante debe reproducir, de manera similar y general, las directrices
y metodologías propuestas en los ejercicios de ejemplo; lo que contribuirá, en el estu-
diante, a tener conciencia clara de las habilidades y conocimientos que va adquiriendo.
Es importante que el estudiante estudie con calma los ejercicios propuestos, ponga
atención, tanto en los procedimientos para resolverlos, como en la presentación de
éstos y de los resultados y los practique; para que vaya adquiriendo hábitos de orden,
limpieza y presentación.
Es conveniente que el estudiante complemente su conocimiento con la lectura, estu-
dio de otros textos relacionados con los temas aquí tratados y con la invaluable aseso-
rías de su profesor.
Grupo Editorial Patria ix
DEDICATORIA
A mi familia.Por todo el apoyo que me dedicaron en la realización de esta obra.
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a la Ingeniera Física María Isabel Flores Reyes el haber contribuido con su-
gerencias y reflexiones tanto en el contenido como en los ejercicios de aplicación que
fueron fundamentales para la didáctica de esta obra.
Agradezco a la Lic. Alma Sámano la oportunidad que me brindó al invitarme a trabajar
en la elaboración de esta obra y por su continuo y esperado apoyo para la presentación
de la misma.
También externo mi agradecimiento al Mtro. Alex Polo Velázquez por su notable apoyo.
Cálculo
x
CONTENIDO
PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
UNIDAD 1 Funciones 2
Concepción dinámica ........................................ 4
1 .1 Conceptualización de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 .1 .1 Contexto físico: movimiento de
un cuerpo cuando la dirección de
la fuerza es constante y la velocidad
es paralela a ésta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 .1 .2 Análisis de la solución del movimiento
de un cuerpo: Inducción a la
conceptualización de función . . . . . . . . . . . . 11
1 .2 Características de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 .2 .1 Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 .2 .2 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 .2 .3 Función creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 .2 .4 Función decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 .2 .5 Continuidad de una función . . . . . . . . . . . . . . 15
1 .3 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1 .4 Clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
UNIDAD 2 Límites 38
Límites ............................................................. 40
2 .1 Idea intuitiva de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 .1 .1 Descripción de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 .2 Teoremas de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 .2 .1 Límites: unilaterales, infinitos y en infinito . . . 51
Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
UNIDAD 3 La derivada 66
La derivada ...................................................... 68
3 .1 Discernimiento entre función y cálculo diferencial
mediante la continuidad de una función . . . . . . . . . 68
3 .2 Conceptualización de la derivada . . . . . . . . . . . . . . 69
3 .3 ¿Por qué es útil la razón de cambio? . . . . . . . . . . . . 70
3 .4 Relación entre la razón de cambio y la pendiente
de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 .5 Notación manejada para la derivada de
una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 .6 Reglas para obtener las derivadas de funciones . . . 84
3 .7 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 .8 Fórmulas esenciales para obtener derivadas
de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3 .9 Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 .10 Derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3 .11 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 .12 Máximos y mínimos de una función . . . . . . . . . . . 106
3 .13 Determinación de puntos mínimos, máximos
y de inflexión de una función
en un contexto gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 .14 Determinación de puntos mínimos, máximos
y de inflexión de una función en
un contexto analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
UNIDAD 4 Aplicaciones de la derivada 122
Ejemplos de aplicación de la derivada .......... 124
Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Grupo Editorial Patria 1
UNIDAD 5 La integral 154
La integral ...................................................... 156
5.1 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.1.1 Propiedades de la integral indefinida . . . . . 160
5.2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3 Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . 171
5.4 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . 176
5.4.1 Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.5 Técnicas de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5.1 Integración por cambio de variable
o sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5.2 Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.5.3 Integración por fracciones parciales . . . . . . 189
Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
UNIDAD 6 Aplicaciones de la integral 204
Aplicaciones de la integral ............................. 206
6.1 Concepto de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
BIBLIOGRAFÍA PARA ESTUDIANTES . . . . . . . . . . 262
Funciones1UNIDAD
Índice del capítulo
Estructuración del programa
Unidad 1: Funciones
Concepción dinámica
1.1 Conceptualización de función
1.1.1 Contexto físico: movimiento de un cuerpo cuando la dirección de la fuerza es constante y la velocidad es paralela a ésta
1.1.2 Análisis de la solución del movimiento de un cuerpo:Inducción a la conceptualización de función
1.2 Características de una función
1.2.1 Dominio
1.2.2 Rango
1.2.3 Función creciente
1.2.4 Función decreciente
1.2.5 Continuidad de una función
1.3 Operaciones con funciones
1.4 Clasificación de funciones
Cuestionario
Cálculo
4
CONCEPCIÓN DINÁMICAGracias a la comprensión de las leyes que rigen a la naturaleza, es posible producir dispositivos con una amplia gama de propósitos, que van desde simples utensilios como el tenedor, hasta las sofisticadas aeronaves controladas por medio de una computadora. Estas creaciones representan un tributo a la naturaleza. Muchas se deben al cálculo, pero no como el tipo de matemáticas que estamos acostumbrados a manejar, sino como una herramienta que cuantifica variables físicas, de forma analítica, en magnitudes matemáticas dinámicas. Es decir, que describen cambios de cantidades físicas que obedecen, de alguna manera, a los cambios de otras cantidades; por ejem-plo, la velocidad de un cuerpo obedece a qué tan rápido cambia o varía su posición de un punto a otro, en la unidad de tiempo (segundo), respecto de un sistema de referencia. En otras palabras, si la variación en la magnitud de la posición de un cuerpo en un segundo es grande; entonces, la magnitud de su velocidad será mayor que si la variación de su posición adquiere un valor más bajo en el mismo segundo o intervalo de tiempo.
Esta conceptualización dinámica, presente en muchos fenómenos de la naturaleza y aplicaciones, llevó, principalmente a los estudiosos de la física al concepto de función, que de manera sencilla se explica así: la variación continua de una cantidad física está dada por el cambio de otra. Su descripción gráfica puede ser lineal, resultado del movimiento continuo de sus puntos, bidimensional, debido al movimiento de sus líneas, describiendo superficies; también puede ser tridimensional por el mo-vimiento de sus superficies, describiendo sólidos; los ángulos pueden ser generados por la rotación de lados y, con incrementos en valores para el tiempo, podemos representar gráficamente el fluir constante de alguna variable.
Por tanto, las funciones y sus análisis contribuyen significativamente a la comprensión de los fenó-menos naturales, esto conlleva a la disponibilidad de una herramienta y a la capacidad de elaborar prácticas útiles que versan tanto en el ámbito tecnológico como en el económico-social.
Funciones
La finalidad primordial de este capítulo es que el estudiante sea capaz de interpretar el concepto de función a partir de paradigmas prácticos, a fin de relacionar de forma sencilla las causas y los efectos. Para ello, se transitará por cuatro diferentes contextos: descriptivo, numérico, analítico y gráfico.
1.1 Conceptualización de funciónCuando distintas cantidades variables están ligadas entre sí, de tal manera que dado el valor de una de ellas se puede deducir el valor de las otras, a la primera se le denomina variable indepen-diente y a las otras, variables dependientes o funciones, pues están expresadas por medio de la variable independiente.
Un método para comprender y apropiarse de la idea de función es conceptualizarla basándose en los resultados y las relaciones provenientes de experiencias y no en las basadas únicamente en la abstracción. Por ello, para conceptualizar función, es indispensable describir o representar la noción de variación de una variable.
La variación de una variable es la inspección y la determinación del comportamiento de sus va-lores a partir de los valores de otra. Existen varias posibilidades a través de las cuales se puede determinar la correspondencia entre estas dos variables; por ejemplo, a partir del análisis de datos estadísticos de indicadores como los económicos, educativos, energéticos, de mortalidad, etc.; o de la observación de un evento experimental o por la descripción de una situación que interese estudiar. En general, estas alternativas conllevan en un principio al registro de datos y, luego, a ordenarlos en forma tabular, graficarlos y definir su representación analítica. Sin embargo, existen diferencias en la metodología de análisis. Cuando se dispone de datos obtenidos como resultado de un experimento o de estadísticas, es necesario inspeccionar cuidadosamente su representación gráfica para proponer la función o representación analítica que mejor describa el comportamiento del fenómeno físico, situación social o económica de interés. Cuando es a partir de la descripción de una situación, es posible determinar en forma casi directa la función que describiría la corres-pondencia entre las variables. En ambos procedimientos la generación de la gráfica es donde se
UNIDAD 1 Funciones
Grupo Editorial Patria 5
Ejemplo 1.1
observa la tendencia del comportamiento. Estas representaciones: analítica, numérica y gráfica, revelan de qué manera una variable se rige respecto de la otra. Esto se simplifica si exclusivamen-te se estudia la variación del comportamiento de las variables en la representación gráfica; de tal manera que, en general, la variación de la variable dependiente (función) puede ser creciente, decreciente o constante; con la salvedad de que en los comportamientos crecientes o decrecientes puede haber una tendencia asintótica.
A partir de la adquisición de datos empíricos determina el comportamiento de la variación de la variable “mortalidad de niños (agonizantes de 0 a 5 años de edad por cada 1 000 nacimientos)” como función del tiempo, en México, a partir de 1959 a 1975.
Procedimiento de solución
Para determinar el comportamiento de la variación de la variable en cuestión, primero es nece-sario establecer los intervalos en los que se van a registrar los datos. Se solicita la adquisición de datos de 1959 a 1975, un buen criterio es tomar los datos por intervalos de tiempo anuales.
Después de apuntar los datos durante 16 años, se ordenan según la tabla 1.1.
Tabla 1.1 Datos tabulados de mortalidad de niños (agonizantes de 0 a 5 años de edad por cada 1 000 nacimientos) por año, desde 1959 hasta 1975.
AñoMortalidad de niños
(agonizantes de 0 a 5 años de edad por cada 1 000 nacimientos)
1959 139.4
1960 136.5
1961 133.7
1962 130.8
1963 128
1964 125.3
1965 122.6
1966 120.1
1967 117.4
1968 114.9
1969 112.5
1970 110
1971 107.6
1972 105.4
1973 102.8
1974 99.3
1975 96
Cálculo
6
Una vez tabulados los datos, se grafican en la figura 1.1.
195580
87
94
101
108
115
122
Mor
talid
ad d
e ni
ños
(ago
niza
ntes
0 a
5 a
ños
de e
dad
por c
ada
1000
nac
imie
ntos
)
129
136
143
1501959 1970
139.4
96
1957.5 1960 1962.5 1965 1967.5Tiempo (años)
1970 1972.5 1975 1977.5 1980
Como se observa en la figura 1.1, el comportamiento de la mortalidad de niños entre 1959 a 1975 tiene una tendencia lineal. Por tanto, se propondrá la función analítica que describe ese compor-tamiento. Para ello, tomaremos como punto de partida el modelo matemático de la relación de una función lineal definida en el sistema de ejes cartesianos:
f x mx b( ) = + (1)
donde: m Pendiente de la función.
b Ordenada al origen.
x Variable independiente.
Para obtener la pendiente utilizaremos la relación:
( )=
−−
=( ) ( )2 1
2 1
D
Dm
f x f x
x xf xx
(2)
La selección de x1 y x2 para los valores f(x1) f(x2), respectivamente, es a criterio, pues es recomen-dable hacer una aproximación. De manera que se eligieron los puntos mostrados en la tabla 1.2.
Tabla 1.2 Valores seleccionados para construir la representación analítica que describe el comportamiento de la mortalidad de niños como función del tiempo.
Valor seleccionado (año) Valor obtenido de mortalidad de niños
x1 5 1959 f(x1) 5 139.4
x2 5 1975 f(x2) 5 96
Sustituyendo en la ecuación 2 los valores de la tabla 1.2, m queda:
mf x f x
x x=
( ) −−
= −−
= −2 1
2 1
96 139 41975 1959
2 7( ) .
. Moortalidad de niños
Año
Para calcular la ordenada al origen, b se sustituye el valor de m en la ecuación 1 y se selecciona un par de valores para x y f(x); por ejemplo, 1959 y 139.4, respectivamente:
Gráfica que representa la tendencia: mortalidad de niños vs. tiempo.
Figura 1.1
UNIDAD 1 Funciones
Grupo Editorial Patria 7
f x mx b b( ) = + → = −( ) ( ) +139 4 2 7 1959. .
Despejando b, se obtiene:
b = + ( ) ≈139 4 2 7 1959 5 429. . ( )
y la función lineal buscada queda así:
f x x( ) = −( ) ( ) +2 7 5 429. (3)
Es interesante corroborar si realmente la función analítica expresada por la ecuación 3 detalla el comportamiento lineal grafico de la figura 1.1. Para ello, calcularemos el error porcentual de tres valores obtenidos con la ecuación 3, respecto de sus valores esperados. El error porcentual, en este caso, nos proporciona una medida de qué tan desviados están los valores obtenidos con la función, respecto a los valores de los datos adquiridos. Los valores que se seleccionaron para esta prueba son dos extremos y uno intermedio, dados en la tabla 1.3.
Tabla 1.3 Valores seleccionados para probar la validez de la función construida.
Valor seleccionado (año) Valor obtenido de mortalidad de niños
1959 139.4
1966 120.1
1975 96
Los valores obtenidos con la función de la ecuación 3 y su error porcentual se tabulan en la tabla 1.4.
Tabla 1.4 En la última columna de la tabla se muestra el error porcentual correspondiente a los valores obtenidos con la ecuación 3.
Valor seleccionado de x
Valor esperado de acuerdo con los datos
Valor obtenido con la ecuación
3
Error porcentual
Valor esperado Valor obtenido conValor es
2 fpperado
100%×
1959 139.4 139.7 0.21%
1966 120.1 120.8 0.58%
1975 96 96.5 0.52%
Como se observa, en la última columna de la tabla 1.4, el error porcentual correspondiente a los valores obtenidos con la función propuesta (ecuación 3), respecto a los valores de los datos, toma-dos como referencia, no sobrepasa 1%. Este resultado es bastante aceptable. Esto significa que la representación analítica propuesta describe adecuadamente la mortalidad de niños (agonizantes de 0 a 5 años de edad por cada 1 000 nacimientos) vs. tiempo.
Es importante observar que de las cuatro representaciones: descriptiva, numérica, analítica y grá-fica; la representación gráfica es esencial para el estudio de la variación del comportamiento de las variables, en este caso la referente a la mortalidad de niños vs. tiempo; de tal manera que, en general, el estudio concluye con la propuesta de la función que describe la variación de la variable dependiente. En este ejemplo la función resultó ser decreciente.
Ejemplo 1.2
Cuando se lanza una piedra a un lago, se forman ondas concéntricas alrededor del punto donde la piedra impactó en la superficie del agua (figura 1.2), de tal manera que su radio aumenta al transcurrir el tiempo.
Cálculo
8
De acuerdo con esta observación, el objetivo es proponer la función analítica que describa la variación del área de los círculos concéntricos formados como producto del impac-to de la piedra con la superficie del agua.
Procedimiento de solución
Nota que el enunciado del problema es la descripción de una situación. De acuerdo con lo ya explicado anterior-mente, es posible determinar la función que describirá la correspondencia entre las variables a definir.
Como se advierte, el radio de los círculos concéntricos au-menta al transcurrir el tiempo y como consecuencia tam-bién lo hacen sus áreas. En este punto se han identificado tres variables: radio, tiempo y área de los círculos concén-tricos. Hay que proponer o buscar una función que descri-ba la variación del área de los círculos concéntricos. Parece adecuado sugerir la función:
A( )r r= π 2 (4)
En otras palabras, se opta por una función analítica que describe la variación del área de los círcu-los concéntricos como función del incremento de su radio.
Por otro lado, es necesario proponer los intervalos de distancia en los cuales se registrarán los da-tos del radio. Esta propuesta es de 10 en 10 cm. Con la información disponible, es factible tabular el comportamiento de A(r) (tabla 1.5).
Tabla 1.5 Datos tabulados de r y A(r) de acuerdo con la ecuación 4.
r[m] A(r)[m2]
0 0
0.1 0.03
0.2 0.12
0.3 0.28
0.4 0.50
0.5...
0.78
0.8 2.01
0.9 2.54
0.99 3.08
1 3.1416 L p
En forma similar al ejemplo 1, con los datos tabulados se está en posibilidad de elaborar su repre-sentación gráfica (figura 1.3).
Una vez más, el estudio concluye con la representación gráfica de la función, la cual describe la variación de la variable dependiente, A(r). En este ejemplo la función resultó creciente.
En este punto es conveniente recordar que la intención de exponer los ejemplos 1 y 2 es visualizar que la metodología para la obtención de la función analítica obedece al origen de los datos. En el
Ondas concéntricas en la superficie del agua.
Figura 1.2
...
UNIDAD 1 Funciones
Grupo Editorial Patria 9
ejemplo 1 el origen de los datos es una fuente esta-dística, mientras que en el ejemplo 2 es a partir de la descripción de una situación.
Con lo anterior, se está en posibilidad de conceptua-lizar a la función. Para ello, se hará referencia a un ejemplo práctico; el análisis general y sencillo del mo-vimiento de los cuerpos producido por una fuerza con dirección constante y conocida. Éste es un ejemplo apropiado para conceptualizar lo que es una función, ya que permite transitar entre las representaciones: verbal, numérica, gráfica y analítica. Por ejemplo, del algebraico al gráfico, pues por ser un movimiento en dos dimensiones cumple con la condición de tener una variable independiente que posibilita la predic-ción del comportamiento del resto de las variables que definen el movimiento; por ejemplo, en una dimen-sión: la posición, x(t) la velocidad, vx(t) y la aceleración, ax(t) dependen de una sola variable independiente, en este caso del tiempo (t).
Antes de comenzar a introducir el manejo de las va-riables físicas del movimiento de un cuerpo con el fin de introducir la conceptualización de función, es necesario explicar las condiciones en las que se estu-diará el movimiento y el significado de las variables involucradas en éste.
1.1.1 Contexto físico: movimiento de un cuerpo cuando la dirección de la fuerza es constante y la velocidad es paralela a ésta
Todos los tipos de movimientos: en una, dos o tres dimensiones, están determinados por los va-lores de las variables r(t), v(t), a(t) y F(t); que describen respectivamente la posición del cuerpo, la velocidad, aceleración y fuerza que se ejercen sobre el mismo; todas ellas para cualquier instante de tiempo (t).
Sin embargo, son varios los casos en los que, con buena aproximación, la dirección y la magnitud de la fuerza es o se puede considerar constante; por ejemplo, la fuerza a la que está sometido un cuerpo que se mueve en una región pequeña, inmerso en el campo gravitacional de la Tierra, o la fuerza que actúa sobre un pequeño imán metido en un campo magnético intenso.
De acuerdo con la segunda ley de Newton
= = D
DF m a m
vt
(5)
Donde: ( )= − 0Dv v t v es la variación de la velocidad en ms
y = − 0Dt t t es el intervalo de tiempo de interés en segundos.
Despejando Dv de la ecuación 5 queda:
=DD
vt
mF (6)
Lo que implica que Dv es un múltiplo de F; en otras palabras, la magnitud de Dv es Dtm
veces la
magnitud de F. Es decir, si > 1Dtm
, Dv tiene una magnitud mayor a F, pero si < 1Dtm
, Dv tiene una
magnitud menor que F. Esto significa que la línea en la que se desplaza el cuerpo es la misma donde realiza los cambios de velocidad y en donde se ejerce la fuerza. Se dice entonces que, en ambos casos, tienen el mismo sentido.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6r [m]
A [m
2 ]0.7 0.8 0.9 1 1.1
A(r)
Gráfica que representa la variación del área de los círculos concéntricos como función del incremento de su radio.
Figura 1.3
Cálculo
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Hay que señalar que para una fuerza y una masa determinadas la variable Dv está ligada con el Dt de tal manera que la variación de Dv depende de Dt . Al final = − 0Dt t t se puede afirmar que realmen-te Dv depende de t, porque t0 es una condición inicial. La descrip-ción previa cumple precisamente con el concepto de función; esto es, Dv es función de ( )Dv t .
Lo anterior se puede ilustrar auxiliándose de una representación gráfica, utilizando flechas cuyo largo representa la magnitud de al-guna de las variables; en este caso el Dv o F y el ángulo de la línea de la flecha, respecto de la horizontal, representa su sentido, en este caso 0°, y la punta de la flecha su dirección. Esto representado en un sistema de ejes cartesiano y haciendo coincidir el eje x con el movimiento del cuerpo (figura 1.4).
En la figura 1.4 se observa que para los dos casos mostrados: >Dv F y Dv < F, las líneas que representan el sentido en el que se dirigen Dv y F son paralelas. Es decir, Dv y F tienen el mismo sentido. La dirección (punta de flecha), tanto de la fuerza como del cambio de velocidad, no necesariamente debe ser la misma, así que pueden tener direcciones contrarias.
Por otro lado, se debe observar que:
aFm
= (7)
y se puede argumentar de forma similar como se hizo para la ecua-ción 6. Como a también es un múltiplo de F es razonable pensar que a también tiene el mismo sentido que F. En otras palabras, los cambios de velocidad (Dv) y la aceleración a) del cuerpo dibujan trayectorias paralelas (figura 1.5).
Entonces, sólo por tener conocimiento de la fuerza que origina el mo-vimiento de un cuerpo se puede afirmar que Dv, a y F son paralelas.
Sin embargo, si se considera que la variación de Dv depende de t a través de
( ) ( )= − 0Dv t v t v (8)
Despejando v(t) y utilizando la ecuación 6:
( ) = + = +0 0D Dv t v v vFm
t (9)
Se puede apreciar en la ecuación 9 que nuevamente tenemos una variable ligada a t, en este caso v. Es decir, tenemos una represen-tación analítica para describir la dependencia de la variación de v con t. Además, aparece un nuevo término: v0 que define la velocidad inicial del movimiento del cuerpo, en el instante inicial t0, o sea, es necesario conocer las condiciones iniciales del movimiento para po-der conocer la función v(t). La interpretación de la oración “conocer la función v(t)” implica el poder predecir la velocidad que adquirirá el cuerpo a cualquier tiempo (t).
Se advierte aquí que la dirección de v(t) puede o no ser la misma que la de v0, dependiendo de si Dv está o no en el mismo sentido (colineal) que v0.
Si F y v0 son colineales, de acuerdo con lo anteriormente expuesto, también lo es Dv con ellos (figura 1.6).
y
x
Dv
Dv
Dv.F
Dv,F
Dv,F
F
F
y
0 x
Dv
a
y
0 x
Dv
v0
F
Relación que Dv F tanto en magnitud como en sentido.
Cambio de velocidad ( )Dv) y la aceleración a del cuerpo trazan trayectorias paralelas cuando éste es sometido a la acción de una fuerza conocida.
Esquema que ilustra v0 F y Dv son paralelos; es decir, son colineales.
Figura 1.4
Figura 1.5
Figura 1.6
