CM.2 ENRICH CARNICERO Nivel 1 · 2015-03-14 · ... hablemos de los números naturales (N), ... sobre la que los matemáticos no nos ponemos de acuerdo aún. ... mientras que los

Cátedra de Matemática Nº 2 “Enrich-Creus-Carnicero” FAU – UNLP 1

Para comenzar la resolución en clase y completarla para la clase siguiente, si fuera necesario. Son temas vistos en el Secundario. Si hay algún tema que no recordás, podés leerlo en el apunte. Actividad 1. Representá en la recta numérica, los números que se indican a continuación. Cuando sea necesario recurrí al teorema de Pitágoras:

a) - 5 ; 2 ; 0; 8 y 3. b)

; - 1,25 ; 0,8 ;

c) √ ; √ ; √

d) Con respecto a los números de los incisos anteriores, cuál de las siguientes afirmaciones es falsa y cuál verdadera. Si hay alguna falsa, reescribila para que sea verdadera. I.- Todos son números reales II.- Los números del inciso a) son todos naturales III.- Los números del inciso b) son todos racionales IV.- Al menos uno de los números del inciso c) es racional

Actividad 2. Graficá los siguientes puntos del plano, en un mismo sistema de coordenadas:

A (-4;5) ; R (0;-3) ; D (5/2;2) ;M (4;-1/2) ; S (-1;0) Actividad 3. Hallá la distancia entre los puntos:

a) (- 1;2) y (3;5) b) (-1;3) y (1/3;4) c) (-3;6) y (1;-1) Indicá en cada caso a qué subconjunto de los números reales pertenece el resultado. Actividad 4. Resolvé las siguientes ecuaciones e indicá su grado.

a) 14

23

x

x b) 3 (x + 1) = (1 + √ )

2

c) 2

12

2

37

x

x d) 4)12(221 yyy

Indicá, en cada caso, a qué subconjunto del conjunto de números reales pertenece el resultado. Plantea con una ecuación y resuelve los problemas que siguen

e) En 1650 aC, en el papiro de Rhind (Egipto) se propuso el siguiente problema: "Un montón más la séptima parte del montón es igual a 19. ¿Cuánto hay en el montón?"

f) En un terreno el largo es el triple del ancho, si su perímetro es 96 m. ¿cuáles son sus dimensiones?

Actividad 5. Algunas Cuestiones sobre los ángulos y sus medidas.

a) Indicá, en sistema circular y en sistema sexagesimal, la medida de un ángulo de un cuarto, medio, tres cuartos y un giro. Graficalos.

b) Expresa la medida de los siguientes ángulos en sistema circular o sexagesimal, según

corresponda:

π rad; 60°; 120°; 0,5 rad.

c) ¿Cuál es la medida de un giro antihorario de 2/3 de ¶, en grados sexagesimales?

d) ¿Cuál es la medida de un giro horario de 450° en sistema circular?

e) Si se dibujan consecutivamente tres ángulos de - 160°, + 145° y -100°, ¿cuál es la medida del ángulo resultante? y ¿cómo expresás el sentido de giro que implica?

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Unidad 1 │ Conocimientos previos Problemas


Actividad 6. Proporcionalidad:

A. Explicá cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.

a) El número de lados de un polígono regular, cuyos lados miden 5 cm, y su perímetro.

c) La longitud de una palabra y el número de vocales que tiene.

d) El radio de una circunferencia y su longitud.

En aquéllos casos en que lo sean, indica la expresión que define a la constante de

proporcionalidad.

B. Completá las siguientes tablas para que las magnitudes A y B sean directamente

proporcionales.

A 8 10 25

B 5 357

A 1 2.5

B 5 440 357

Proponé dos magnitudes que sean directamente proporcionales y verificalo con un ejemplo

numérico.

C. La cantidades de la siguiente tabla corresponden a longitudes en una escala 1:50.

Completala para que la relación entre la medida en la realidad y en el papel se correspondan

con dicha escala.

Realidad 50 10

Papel 1 5 21

Actividad 7.

Te proponemos resolver los siguientes problemas:

a. Calcular el perímetro (en cm y en m) y el área (en cm2 y en m

2) de las siguientes figuras:

Figura 1. Formada por una semicircunferencia cuyo radio mide 3 cm., por un rectángulo cuya base mide 8 cm y por un triángulo isósceles.

Figura 2. Formada por una semicircunferencia cuyo radio mide 10 cm.,

por un rectángulo cuya altura mide 4 3 y

por dos triángulos equiláteros

b) Calcular la medida de la superficie exterior de esta pieza. (Las longitudes están expresadas

en cm)


Actividad 8 Calcular lo que en cada ítem se solicita

a) La pelota mostrada tiene un

diámetro de 20cm. Hallar la distancia entre el punto P del piso y el centro de la pelota.

b) Al apoyar una escalera de 4 m. de largo sobre una de las paredes de un pasillo, la misma forma un ángulo de 30º con el piso. Apoyando la base de la escalera en el mismo lugar, se apoya ahora la misma en la otra pared, formando un ángulo de 45º con el piso. c.1. ¿Cuánto mide el ancho del pasillo? c.2. ¿A qué altura se apoya el extremo superior de la escalera en cada caso?

c) Desde el patio de una escuela, los ángulos de elevación para observar el pie y el

extremo superior de un mástil ubicado sobre el edificio son de 45º y 60º respectivamente.

Calcular la altura del edificio, si la longitud del mástil es de 3 m.

d) Calcular el área de la siguiente figura plana, sabiendo que: a = b = c = d = e = 10 cm y

α = β = 120º


Introducción En este texto presentamos brevemente una revisión de conceptos desarrollados durante tu formación previa, en matemática y/o en física. En cada uno de los apartados te indicamos en qué tema del programa serán necesarios, respondiendo, luego del título, a la pregunta ¿Para qué?

1. Conjuntos numéricos ¿Para qué? Es un tema muy básico pero olvidado. Todo desarrollo de un programa de matemática requiere que conozcas los conjuntos numéricos y su forma de representación. Comenzaremos con un breve repaso de los conjuntos numéricos que ya conocés. En primer lugar, hablemos de los números naturales (N), que son los números que nos sirven para contar y ordenar. Los elementos de este conjunto son:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} En algunas ocasiones, verás que se incluye al número “0” en el conjunto N. Esta es una cuestión sobre la que los matemáticos no nos ponemos de acuerdo aún. Para pensar:

Una operación con números se denomina cerrada cuando, al realizar el cálculo indicado entre los elementos de un conjunto, se obtiene como resultado un elemento que pertenece también al conjunto numérico en el que estoy trabajando. Entonces: ¿Cuáles son las operaciones cerradas en el conjunto N? ¿Cuáles no lo son?

Si a los naturales les agregamos sus opuestos y el “0”, surge otro conjunto de números, que son los números enteros (Z):

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Para pensar:

Mencioná tres o cuatro situaciones de nuestra vida cotidiana en los que utilizamos los números enteros.

¿Cuáles son las operaciones cerradas en Z? ¿Cuáles no lo son? Hay situaciones en las que los números enteros no nos alcanzan. Cuando cortamos una pizza por ejemplo, el total nos queda dividido en distintas partes. Si la cortamos en 6 porciones, por ejemplo, decimos que cada una de ellas es un sexto del total. Así aparecen entonces los números fraccionarios. En el caso de la pizza decimos que:

1 = 6

6 es el total ;

6

1 es una porción ;

6

2 =

3

1 equivale a dos porciones, etc.

Cuando unimos los números enteros y los fraccionarios, surge el conjunto de los números racionales (Q), se definen de la siguiente manera:

Q =

0b,Zb,Za,b

a

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Unidad 1 │ Conocimientos previos Apunte teórico


a es el numerador y b es el denominador, que no puede ser nulo. Una cuestión muy importante es que en una fracción, tanto el numerador como el denominador deben ser enteros. En definitiva, los números racionales son todos aquellos que pueden escribirse como fracción. Para pensar:

¿Hay números que no pueden escribirse como una fracción? ¿Todas las operaciones son cerradas en Q?

Cuando calculamos el perímetro de una circunferencia, cuando trabajamos con logaritmos, cuando calculamos raíces, etc. aparecen números que llamamos irracionales, porque no pueden expresarse como fracciones. Si llamamos I al conjunto de números irracionales, podemos definir por fin al conjunto de los números reales (R):

R = Q I Los reales son los racionales unidos a los irracionales. Veamos ahora un mapa conceptual sobre el conjunto de los números reales

Recta numérica real Es una representación geométrica del conjunto de números reales.


En ella, a cada uno de sus puntos le corresponde un número real y, recíprocamente, a cada número real le corresponde un punto de la Recta Numérica. Por eso se dice que la relación entre los números reales y una recta es BIUNÍVOCA.

Para establecer esa relación es necesario, elegir un punto como 0 (cero) y otro como 1 (uno) de ese modo se ha elegido la unidad y queda establecida una relación entre cada punto de la recta y cada número real. Para pensar:

¿Cuántos números reales hay entre 1 y 2? ¿Y entre 1 y 1,1?

Si, en cambio, graficamos los números naturales o los enteros, se obtienen puntos:

Naturales

Enteros

Estos dos conjuntos numéricos son conjuntos discretos, mientras que R, es un conjunto continuo de números.

2. Puntos del plano coordenado

¿Para qué? Es un tema básico pero no siempre presente. Todo desarrollo de un programa de

matemática requiere que conozcas los recursos para representar puntos y otros elementos geométricos, en el plano.

Sistema de coordenadas cartesianas (de ejes coordenados xy)

Trabajaremos con el sistema de ejes coordenados xy. Estos ejes, son rectas graduadas (rectas numéricas reales), perpendiculares entre sí, tales que una recta es horizontal y la otra vertical. El eje x es la recta horizontal y el eje y es la recta vertical. El punto de intersección entre ellas determina el origen del sistema: este es el punto donde x = 0 e y = 0. Recordarás que los valores de x van creciendo a medida que nos movemos hacia la derecha del origen y decrecen hacia la izquierda del mismo (región donde los valores de x son negativos), mientras que los valores de y crecen hacia arriba del origen y decrecen hacia abajo del mismo (donde los valores de y son negativos). Puntos del plano Los puntos se representan, en el plano coordenado, mediante pares ordenados (x;y). Es

fundamental tener presente el orden:

la primera coordenada es el valor de x

la segunda coordenada es el valor de y

A continuación, se muestra la gráfica de los puntos: (-2;1) ; (1;-1) ; (2;3)


3. Distancia entre puntos del plano Intentemos deducir la expresión que nos permite calcular la distancia entre dos puntos del plano. Tomemos para esto los puntos genéricos P1(x1;y1) y P2(x2;y2). La figura muestra los puntos P1, P2 y la distancia D entre ellos. Se han trazado, además, líneas verticales y horizontales que pasan por ambos puntos. Así, puede aplicarse el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que ha quedado dibujado. Los catetos miden (y2 – y1) y (x2 – x1) y la hipotenusa es justamente la distancia D. Entonces:

2

12

2

12

2 )yy()xx(D 2

12

2

12 )yy()xx(D

Esta es la expresión que buscábamos.

4. Ecuaciones ¿Para qué? Para que las recuerdes cuando necesites emplearlas en la resolución de problemas de diferentes temas del programa.

Haciendo un poco de historia, podemos contarte que uno de los documentos más antiguos en el que se presentan problemas que se resuelven con ecuaciones es el papiro Rhind de 1650 a.C. Una fracción del mismo se muestra en la figura.

Uno de los problemas dice: "Un montón más la séptima parte del montón es igual a 19. ¿Cuánto hay en el montón?" En aquella época aún no se utilizaba la “x” para resolver las ecuaciones. El lenguaje algebraico que ahora conocemos no existía y se necesitaron 3000 años para que sucediera (a principios del. En estas condiciones era muy complicado para plantear y buscar soluciones a los problemas recurriendo a ecuaciones


Las ecuaciones nos permiten traducir enunciados del lenguaje cotidiano al lenguaje simbólico y por eso nos ayudan a resolver problemas.

Una ecuación es una igualdad entre expresiones, en las que aparecen valores

desconocidos denominados incógnitas. Una cuestión fundamental a la hora de resolver ecuaciones, es el hecho de que, cualquier operación que se realiza en un miembro de la igualdad, debe realizarse también en el otro. Como ejemplo, despejemos m de la siguiente ecuación:

1154 3 m

15115154 3 m

164 3 m

41644 3// m

43 m

33 3 4m

3 4m

Ecuación racional Es aquella en la que la incógnita sólo tiene exponentes enteros y positivos. Únicamente trabajaremos con este tipo de ecuaciones. Grado de una ecuación: es el mayor exponente al que esté elevada la incógnita Las ecuaciones racionales presentan las siguientes características:

Denominación Grado Forma reducida (deben poder expresarse como se indica)

Lineal 1 a x + b = 0 con a , b ε R y a≠ 0

Cuadrática 2 a x2+ b x + c = 0 con a , b, c ε R y a≠ 0

Cúbica 3 a x3+ b x

2 + c x + d = 0 con a , b, cy d ε R y a≠ 0

Para verificar el grado de una ecuación es preciso llevarla a la forma reducida

Ejemplos:

a) Ecuación lineal: dada, 106)1( 22 xx puede expresarse: 2x + 17 = 0

b) Ecuación cuadrática: dada, 643 22 zzzz puede expresarse: z2 - 5 z + 6 = 0

c) Ecuación cúbica: dada, 4381 3434 yyyyy puede expresarse: 2y3 +81y -4 = 0

Recordá que:

- a las soluciones de una ecuación se las llama raíces o ceros de la ecuación - la cantidad de raíces reales es igual, a lo sumo, al grado de la ecuación.

Un mecanismo de resolución de ecuaciones: 1) Expresarla en forma reducida 2) a) si es lineal, despejar la incógnita.

a) si es cuadrática, una vez reducida a la forma ax 2

+ bx + c = 0, encontrar sus raíces aplicando la fórmula de Baskhara, según la cual:

a

acbbx

2

42

Aplicándola al ejemplo de la ecuación z2 - 5 z + 6 = 0 donde: a = 1, b = - 5 y c = 6:

12

61455 2

.

..)()(z

b) Si es de mayor grado los mecanismos son más complejos y por lo tanto no son objeto de este curso. En algunos casos especiales (la ecuación no contiene todas las potencias inferiores a

Es decir, tiene dos raíces reales que son: z1= 3 y z2 = 2.


su grado), como el ejemplo desarrollado en la pág anterior ( 1154 3 m ) pueden resolverse

con los recursos que hemos detallado.

5. Proporcionalidad. Para qué? Para poder vincular el concepto matemático de proporcionalidad con los referidos a la teoría de la proporción en arquitectura Comprender el concepto de proporcionalidad requiere comprender el concepto de razón Recordemos que una razón es el cociente indicado entre dos cantidades. El valor de la razón es el cociente entre esas cantidades.

Dadas las cantidades a y b su razón es:

Por ejemplo, la razón entre 8 y 4 es 2 porque:

En cambio la razón entre 4 y 8 es:

Valiéndonos de la definición de cociente entre dos números podemos concluir que la razón indica “cuantas veces cabe la segunda cantidad en la primera en el primera. Es decir, establece una relación de tamaño entre ellas. Aclarado ésto analicemos el concepto de proporcionalidad. La proporcionalidad implica la comparación de razones. Cuando dos razones son iguales, se

habla de proporcionalidad numérica

Cada razón es igual a 5.

Diremos que hay proporcionalidad entre dos o más razones, cuando son iguales. Así por

ejemplo:

y su valor es 2

Si las cantidades del numerador, representan a una magnitud, por ejemplo el costo de una compra y las del denominador a otra, por ejemplo la cantidad de productos que compro, la razón 2 a la que llamaremos constante de proporcionalidad, es el precio por unidad.

Cant. de alfajores (x) 4 2 1 5

8

Costo en $ (y) 8 4 2

40

El valor de la constante es, como ya dijimos:

. Cuando se cumple esta relación se

dice que las magnitudes son directamente proporcionales. Por lo tanto: “Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre dos cantidades correspondientes es constante y por eso se llama constante de proporcionalidad.”

Simbólicamente se expresa así:

siendo k la constante de proporcionalidad.

En este apartado nos referiremos, exclusivamente, a la proporcionalidad directa.

Veamos otro ejemplo:

Para construir un camino con ladrillo con junta se utilizan 18 ladrillos cada 2 m de camino

Longitud del camino (m) 2 5 10

Cantidad de ladrillos 18 45 90

La proporcionalidad es directa porque

9

¿La constante tiene unidad? Sí porque cada cantidad tiene la suya. El cociente entre esas unidades es la unidad de la constante

Para este ejemplo:


6. Sobre ángulos y sus sistemas de medida ´ ¿Te acordás? Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas de origen común. Esas dos semirrectas determinan, por lo tanto, dos ángulos. α ¿Podés marcar el otro ángulo y nombrarlo? Cuando se los dibuja en un sistema de ejes cartesianos “x y”, se dice que están en posición

normal cuando su vértice coincide con el origen de coordenadas y se considera que su lado inicial está apoyado sobre el semieje positivo de las x.

En este caso, los ángulos comienzan a medirse a partir de este semieje, en sentido anti-horario, que es considerado como el sentido “positivo” de medida.

A partir de esta última convención, definimos el concepto de ángulo orientado

Ángulos orientados

Muchas veces es necesario indicar un ángulo con su medida y su sentido de giro. Estos ángulos se llaman ángulos orientados Asignaremos al sentido antihorario de giro, signo positivo y al sentido horario de giro, signo negativo. Para indicarlo gráficamente se usan arcos orientados. Teniendo en cuenta lo dicho previamente.

Ángulo positivo Ángulo negativo Sistemas de medición

Generalmente estamos acostumbrados a medir ángulos en el sistema sexagesimal, es decir, en grados. Como recordarás, si damos una vuelta completa, habremos dibujado un ángulo de 360º, media vuelta equivale a 180º, etc., etc. Positivo. Además, un ángulo puede medirse en radianes. Recordemos la definición de radián: Tomemos una circunferencia centrada en el origen del sistema de coordenadas. Un radián es la

medida del ángulo cuyos lados inicial y terminal determinan sobre la circunferencia, un arco AB

de longitud r (radio de la circunferencia).

= 1 rad si ____

AB = r

β α


Para determinar cuántos radianes mide un ángulo se divide la longitud del arco que abarca por el radio de la circunferencia:

radio del longitud

arco del longitudrad

Como el cociente entre dos longitudes es un número abstracto, ¡resulta que la medida de un ángulo en radianes es un número! La palabra “radián” que acompaña a ese número nos indica la cantidad de veces que el radio está contenido en el arco respectivo. Ejemplos:

Si rad 2 rad, significa que el radio está contenido dos veces en el arco

Si rad 0,5 rad, significa que sólo la mitad del radio está contenido en el arco

Estas medidas podrían expresarse, simplemente como: rad 2 y rad 0,5

Como la medida de los ángulos en radianes es en realidad un número, se constituyen en la unidad adecuada para graficar las funciones trigonométricas.

Por lo dicho, resulta que un ángulo de un giro (es decir, una vuelta completa) es igual a 2

radianes (ó 6,2831… radián), porque la longitud del arco que abarca es, como ya dijimos, 2r. Entonces:

2 radianes equivale a 360º

Ejemplos de equivalencias entre un sistema y otro:

Siendo 1º y 1 radián las unidades de medidas de los sistemas mencionados: ¿cuál es el ángulo equivalente de las mismas en el otro sistema de medida?

En primer lugar, pasemos 1º a radianes con una regla de tres simple:

360º 2

1º 017,0º360

2º.1

radianes

Ahora, averigüemos cuánto vale 1 radián, en grados:

2 rad 360º

1 rad º296,572

º360.1

rad

rad

Conversión de un sistema a otro

Ya hemos visto que 1 giro = 2 = 360º por lo tanto:

2 360º

º

A partir de este razonamiento, si se conoce se calcula º y recíprocamente.

=


7. Perímetros y áreas de figuras planas. Recordemos su concepto por medio del siguiente mapa conceptual:

Disponible en: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica2/resumen_unidad_3.html

En el cuadro que sigue incluimos cómo se calculan el perímetro y el área de algunas figuras

geométricas planas que es necesario que recuerdes.

http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica2/resumen_unidad_3.html


8. Nociones básicas sobre trigonometría Esta rama de la matemática se inicia con el estudio de las relaciones entre la longitud de los lados y la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo. Ello implica definir las razones trigonométricas para ángulos agudos. Posteriormente, se generaliza a todo tipo de ángulos y las razones que ahora te recordaremos se trabajan como funciones. A los efectos de este curso, sólo nos interesa su definición en el triángulo rectángulo, sabiendo que es posible su utilización en ángulos de 0º a 360º e incluso mayores. Antes de empezar, te recordamos que en todo triángulo rectángulo:

El famoso Teorema de Pitágoras relaciona la medida de los tres

lados de un triángulo rectángulo mediante la expresión:

“en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”

Es decir: h2 = b2 + c2

Para el ángulo α las razones trigonométricas llamadas seno, coseno y tangente se expresan así:

Teorema fundamental de la trigonometría (asociado al teorema de Pitágoras)

Puede demostrarse que para todo ángulo se verifica: sen2ß + cos2 ß = 1

- hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (h)

- catetos son los lados que forman al ángulo recto (a y c)

Para cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo:

- cateto adyacente es el que lo forma.

- cateto opuesto es el que no lo forma.

En la figura, os nombres de los catetos son los correspondientes al ángulo α

hipotenusa

Cat. adyacente

Cat.opuesto


IMPORTANTE!!!! Si bien hemos definido las funciones trigonométricas para los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, como ya dijimos, estas definiciones tienen validez para cualquier ángulo plano. Pueden tomar valores positivos, negativos o cero.

Estas relaciones en el triángulo rectángulo son siempre positivas ya que expresan relación entre longitudes.

RECORDEMOS que los ejes coordenados dividen al plano en cuatro

regiones, denominadas cuadrantes, que se numeran como se muestra en la figura, siendo:

Primer cuadrante (0º; 90º).

Segundo cuadrante (90º; 180º)

Tercer cuadrante (180º; 270º

Cuarto cuadrante (270º; 360º)

El cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". A la hipotenusa la designaremos "r" y siempre es positiva. Entonces:

Estas expresiones son válidas para todos los cuadrantes, pero es preciso considerar, en cada uno de ellos, el signo de “x” y de “y” además de tener en cuenta que “r” es SIEMPRE positivo. Esto significa que el signo de las razones depende, solamente, del signo que tengan x e y. De ahí que las razones trigonométricas serán positivas o negativas, según a qué cuadrante pertenezca el ángulo.

1er cuadrante 2do cuadrante 3er cuadrante 4to cuadrante

Nota: los ángulos señalados son orientados, esto significa que tienen un lado inicial Ri y un lado final Rt.

Analizá los signos de las razones en equipo y con tu docente.

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