CM3 - Transformée de Fourier

Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 96

Novembre 2011.

Traitement Numérique du SignalCM3 : Transformée de Fourier

Université du Havre, IUT du Havre

Département GEII


PPN 2008: MC-II3

Traitement du signal

Applications en GEII

Mise en œuvre

Test

DSP

CAN/CNATF, compression, codage


Conversion Analogique-Numérique

Représentation d'un signal

Séries de Fourier

Transformée de Fourier

Temps-fréquence

Exemples

Transformée en Cosinus Discret

Plan


1. Représentation d’un signal


Dualité temps/fréquence : Transformée de Fourier (TF)

t

s(t)

0

00

1T

f=

Traitement du Signal

f

|S(f)|

0

00

1f

T=

( )0( ) sin 2s t A f tπ= ( )0( )S f f fδ= −Signal sinusoïdal : Signal Dirac: "Pic" à f = f0TF

TFI


2. Composantes d'un signal


0 20 40 60 80 100-2

0

2

4

6

8

t (ms)

x(t)

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

f (Hz)|x

(f)|

( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +

0T


0f

( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −

Composante continue :

Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0

0a

0 1a a+

0 1a a−

0a

1a

Composante continue

Composante fondamentale


0 20 40 60 80 100-8

-6

-4

-2

0

2

t (ms)

x(t)

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

f (Hz)|x

(f)|

( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +

0T



0a

0 1a a+

0 1a a−

0f

0a

1a

( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −

Composante continue :

Composante continue

Composante fondamentale


0 20 40 60 80 100-8

-6

-4

-2

0

2

t (ms)

x(t)

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

f (Hz)|x

(f)|

( )0 1 0( ) cos 2s t a a f tπ= +

0T


Dualité temps/fréquence : Influence de la phase


0a

0 1a a+

0 1a a−

0f

( )0 1 0( ) sin 2 / 2s t a a f tπ π= + +

Phase

0a

1a

( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −


3. Notion de phase


t

a

( )0 0sin 2a a f tπ=

t

a

( )0 0sin 2 ( )pa a f tπ τ= −

τ0

( )0 0sin 2pa a f tπ ϕ= −

Temps τ

de propagation

Déphasage temporel :

0

22 f

T

πϕ π τ τ ωτ= = =

00

1T

f=

Déphasage





0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x(t)

0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)|x

(f)|

( )( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2

s t a a f t

a f t

ππ

= +

+( ) ( )

( )0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

Déphasage



0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)|x

(f)|

( )( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2 / 2

s t a a f t

a f t

ππ π

= +

+ +( ) ( )

( )0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x(t)


Déphasage



0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)|x

(f)|

( )( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2

s t a a f t

a f t

ππ π

= +

+ +( ) ( )

( )0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x(t)


Déphasage



0 50 100 1500

1

2

3

4

5

f (Hz)|x

(f)|

( )( )

0 1 0

2 0

( ) sin 2

sin 2 2 3 / 2

s t a a f t

a f t

ππ π

= +

+ +( ) ( )

( )0 1 0

2 0

( )

2

S f a f a f f

a f f

δ δ

δ

= + −

+ −

0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10

t (ms)

x(t)


Déphasage


4. Séries de Fourier


Décomposition en séries de Fourier :

( ) ( )( )00 0

1

( ) cos 2 sin 22 n n

n

as t a nf t b nf tπ π

+∞

=

= + +∑

( )

( )

0

0

1/

0 0

0

1/

0 0

0

2 ( )cos 2

2 ( )sin 2

f

n

f

n

a f s t nf t dt

b f s t nf t dt

π

π

=

=

∫

∫

Coefficients de Fourier :

Décomposition en séries de Fourier

Autre notation :

( )0

( ) sin 2n

n n nn

s t c f tπ ϕ→+∞

=

= −∑

( )0

( ) sin 2 ( )N

n n n bruitn

s t c f t s tπ ϕ=

= − +∑

( )0

( ) sin 2N

n n nn

s t c nf tπ ϕ=

= −∑

Signal utile et bruit :

Signal utile :

Le bruit est le signal "non désiré".

Le signal utile contient N composantes harmoniques "utiles".


Signal carré :

Signal triangle :

Signal dent de scie :

Signal |Sinus| :

( )01

4 1( ) sin 2 (2 1)

2 1n

s t n f tn

ππ

+∞

=

= −−∑

( )( )022

1

8 1( ) sin 2 (2 1)

2 1n

s t n f tn

ππ

+∞

=

= −−

∑

( ) ( )1

01

12( ) sin 2

k

n

s t nf tn

ππ

++∞

=

−= ∑

( ) ( ) ( )01

2 4 1( ) sin 2 2

2 1 2 1n

s t nf tn n

ππ π

+∞

=

= −− +∑



( ) ( ) ( )0 0 0

4 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...

3 5s t f t f t f tπ π π

π = + + + ÷

( ) ( ) ( )0 0 02 2 2

8 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...


π = + + + ÷

( ) ( ) ( )0 0 0

2 1 1( ) sin 2 sin 2 2 sin 2 3 ...


π = − + − ÷

( ) ( )0 0

2 4 1 1( ) sin 2 2 sin 2 4 ...

1 3 3 5s t f t f tπ π

π π = − + + ÷× ×

Signal carré :

Signal triangle :


Signal |Sinus| :



Signal f = 0 f = f0 f = 2f0 f = 3f0

Sinus 0 1 0 0

Cosinus 0 1 0 0

Carré 0 4/π 0 4/(3π)

Triangle 0 8/π2 0 8/(3π)2

Dent de scie 0 2/π −1/π 2/(3π)

|Sinus| 2/π 0 −4/(3π) 0

Synthèse :



Fondamental

Signal carré :

h1 + h3


h1+h3+h5

h1+h3+h5+h7 h1+h3+…+h11 h1+h3+…+h15


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2

t (ms)

x(t)

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

f (kHz)

|x(f

)|

0 0.5 1 1.5 2-15

-10

-5

0

5

10

15

f (kHz)

φ (r

ad)

Décroissance des harmoniques impairs en 1/n



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (kHz)

|x(f

)|

0 0.5 1 1.5 2-20

-10

0

10

20

f (kHz)

φ (r

ad)

Décroissance des harmoniques impairs en 1/n2



Fondamental


Fondamental + h2

Fondamental + h2 et h3

Fondamental + h2 à h4

Fondamental + h2 à h5



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2

t (ms)

x(t)

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (kHz)

|x(f

)|

0 0.5 1 1.5 2

-20

-10

0

10

20

f (kHz)

φ (r

ad)

Décroissance des harmoniques pairs et impairs en 1/n



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (ms)

x(t)

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (kHz)

|x(f

)|

0 0.5 1 1.5 2

-20

-10

0

10

20

f (kHz)

φ (r

ad)

Décroissance des harmoniques pairs en 1/((n−1)(n+1)) ≈ 1/n2



0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

t (ms)

x(t)

Effet d’une troncature :

0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

|x(f

)|

Troncature à 90 % de l’amplitude





0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

t (ms)

x(t)

0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

|x(f

)|



0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

t (ms)

x(t)



0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

|x(f

)|





0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

f (Hz)

|x(f

)|

0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

t (ms)

x(t)



5. Transformée de Fourier


Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus et de cosinus.

( )00 0

1

( ) cos( ) sin( )2 n n

n

ax t a n t b n tω ω

∞

=

= + +∑

/ 2

0

/ 2

2( ).cos( ).

T

n

T

a x t n t dtT

ω−

= ∫

/ 2

0

/ 2

2( ).sin( ).

T

n

T

b x t n t dtT

ω−

= ∫

1 (4/π)

1+ 3 (4/3π)

a0 = 0

1+ 3+5 (4/5π)

1+ 3+ 5 + 7 (4/7π)

Continu / Fondamental / Harmoniques

Séries de Fourier


Sinusoïde

Rectangle périodique

Triangle périodique

Dent de scie

{ } { }( ) : 0,1, 2,... : 1,2,3...n nx t a n b n= = + =

Signaux périodiques


( ) ( ).exp( 2 ).X f x t j f t dtπ+∞

−∞

= −∫

( ) ( ).exp( 2 ).x t X f j f t dfπ+∞

−∞

= ∫

sin( / 2)( ) .

/ 2X A

ωτω τωτ

= ÷

Signal "porte"


Signal "porte"


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (Hz)

Am

plitu

de

Spectre

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

t (s)

Am

plitu

de

Signal temporel

Signal "porte"

( )x t

( )X f


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

t (s)

Am

plitu

de

Signal temporel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-30

-20

-10

0

10

f (Hz)

Éne

rgie

(dB

)

Spectre

Signal "porte"

( )x t

( )X fConservation de l’énergie


Signaux "classiques"

( )tδ

0cos(2 )f tπ

0sin(2 )f tπ

( )0 0

1( ) ( )

2f f f fδ δ− + +

( )0 0

1( ) ( )

2f f f f

jδ δ− − +

1

02j f te π0( )f fδ −

( )fδ1

0( )t tδ − 02j fte π−

{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=

( )H t1 1

( )2 2

fj f

δπ

+

( )H t− 1 1( )

2 2f

j fδ

π− +



0sin(2 ) ( )T

f t tπ ∏ ( ) ( )( )0 0sinc ( ) sinc ( )2

Tf f T f f T

jπ π− − +

{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=

( ) ( ) ( )sign t H t H t= − −1

j fπ

( ) tH t e α−1

2j fα π+

| |te α−2 2

2

(2 )f

αα π+

( )T

t∏ sin( ). .sinc( )

fTT T fT

fT

π ππ

= ÷

. ( ) tt H t e α−

( ) 2

1

2j fα π+



{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=

( )en

t nTδ −∑ 1

ne e

nf

T Tδ

− ÷

∑

( )d

tdt

δ 2j fπ

0sin(2 ) ( ) tf t H t e απ −

( ) ( )0

2 2

0

2

2 2

f

j f f

πα π π+ +

( )TtΛ ( )

22sin( )

. . sinc( )2 2

T fT TfT

fT

π ππ

= ÷

2

0

0 0

1

2 2 ( )1

2t

t t

j f t t

t

e eσ π

πσ

−− ÷ ÷ −

2

0

0 0

1

2 2f

f f

j f te eσ π

− ÷− ÷

1

2tf

σπσ

=

( ).t

t dtδ∫ 1

2j fπ


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

Am

pli

tud

e

Signal temporel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (Hz)

Am

pli

tud

e

Spectre

Signaux “sinus"

( )x t

( )X f



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

Am

plitu

de

Signal temporel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (Hz)

Am

plitu

de

Spectre

( )x t

( )X f


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

Am

plitu

de

Signal temporel

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (Hz)

Am

plitu

de

Spectre

0 5 10 15 20 25 30


( )x t

( )X f


6. Représentation temps-fréquence


Représentation temps-fréquence :

Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux

Temps-fréquence

Principe:

1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].

2) Transformée de Fourier rapide: FFT.

3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

-100

-50

0

50

100

Time (ms)

Amplitu

de (mV)

0 5 10 15 20 25 30

-100

-50

0

50

100

Time (ms)

Am

plitu

de (

mV

)

Fenêtre




Temps-fréquence

Principe:




0 5 10 15 20 25 30

-100

-50

0

50

100

Time (ms)

Am

plitu

de (

mV

)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

de (

dB)

Frequency (Hz)

Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)

280 Hzcf =

22 msit =

FFT




Temps-fréquence

Principe:




3140 Hzcf =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-100

-50

0

50

100

Time (ms)

Am

plitu

de (

mV

)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

de (

dB)

Frequency (Hz)


600 msit =

FFT




Temps-fréquence

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

de (

dB)

Frequency (Hz)


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

de (

dB)

Frequency (Hz)


2 600 msit =1 20 msit =

2 3140 Hzcf =

1 280 Hzcf =

Principe:






Application: Chirp (gazouillis, pépiement en anglais)

Temps-fréquence

Détection de la fréquence instantanée: Fondamental et harmoniques caractéristiques.

( ) ( ).sin(2 )i cx t A t f tπ=0

1( ) ( '). '

t

c if t f t dtt

= ∫avec

où Ai(t) est l'amplitude instantanée, fc(t) la pseudo-fréquence et fi(t) la fréquence instantanée.

Exemple: Chirp linéaire

( )1 2 1max

( )i

tf t f f f

t= + − ( )1 2 1

max

( )2c

tf t f f f

t= + −soit

2f

1f



Application: Fréquence variable dans le temps (FM)

Temps-fréquence

Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.

minf

maxf



Application: Analyse de la parole

Temps-fréquence

Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.


7. Illustrations temps-fréquence


Décomposition

Représentation temporelle et spectrale :

Spectre avec fondamental et harmonique 2

Spectre riche avec 12 fréquences harmoniques


La3 Diapason

Représentation temporelle :

0 500 1000 1500 2000 2500-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (ms)

x(t)

Décroissance exponentielle

0 2 4 6 8 10-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (ms)

x(t)

Pseudo période: T = 2,3 ms

T


La3 Diapason

Représentation spectrale :

0 200 400 600 800 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

f (Hz)

|x(f

)|

430 435 440 445 4500

0.05

0.1

0.15

0.2

f (Hz)

|x(f

)|

870 875 880 885 8900

0.005

0.01

0.015

0.02

f (Hz)

|x(f

)| Deux composantes "visibles":

1 440f Hz=

2 880f Hz=

Fondamental: f1 = 440 Hz

Harmonique 2: f2 = 880 Hz

Amplitudes relatives: a2 / a1 = 10


La3 Diapason


On parle de "dynamique" d’un signal:

Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.

Harmonique 3: f3 = 3×440 = 1320 Hz

Amplitudes relatives: a1 / a2 = 10 et a1 / a3 > 1000

0 1000 2000 3000 4000 5000-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

|x(f

)| (d

B) 20log

max( )dB

xx

x

= ÷ ÷

Echelle dB:

Cette échelle permet de visualiser les composantes de très grand rapport d’amplitude.

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120 106

105

104

103

102

101

100

f3


La3 Diapason

Représentation temps/fréquence :

Décroissance exponentielle en échelle linéaire:

⇔ Décroissance linéaire en échelle dB:

Harmoniques n: fn = n×440 Hz

1f

2f

3f


560 562 564 566 568 570-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

La3 Piano


Troncature du signal Pseudo période: T = 2,3 ms

T

500 1000 1500 2000-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)


430 435 440 445 4500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

f (Hz)

|x(f

)|

860 870 880 890 900 9100

0.01

0.02

0.03

0.04

f (Hz)

|x(f

)|

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

f (Hz)

|x(f

)|La3 Piano


Neuf composantes "visibles":

1 442f Hz=

2 886f Hz=



Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4


0 1000 2000 3000 4000 5000-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

|x(f

)| (d

B)

La3 Piano




Harmonique 9: f3 = 9×442 = 3980 Hz contre 4080 Hz mesurés.

Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4 et a1 / a9 = 50

20logmax( )dB

xx

x

= ÷ ÷

Echelle dB:


0

-20

-40

-60

-80

-100

-120 106

105

104

103

102

101

100

f9


La3 Piano


Harmoniques 1 à 7:nettement visibles.


1f

5f

3f

7f9f11f

Décroissance variable en amplitude, selon t et f.


450 452 454 456 458 460-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (ms)

x(t)

La3 Violon


Augmentation de l’amplitude du signal avec le temps

Pseudo période: T = 2,3 ms

T

0 500 1000 1500 2000-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (ms)

x(t)


0 1000 2000 3000 4000 50000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

|x(f

)|

430 435 440 445 4500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

|x(f

)|

860 870 880 890 900 9100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

f (Hz)

|x(f

)|

La3 Violon


Neuf composantes "visibles":

1 442f Hz=

2 884f Hz=



Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1


0 1000 2000 3000 4000 5000-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

|x(f

)| (d

B)

La3 Violon




Harmonique 11: f3 = 11×442 = 4860 Hz.

Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1 et a1 / a11 = 24

20logmax( )dB

xx

x

= ÷ ÷

Echelle dB:


0

-20

-40

-60

-80

-100

-120 106

105

104

103

102

101

100

f11


La3 Violon


Harmoniques 1 à 11 nettement visibles.


1f

5f

3f

7f9f11f



Recomposition temporelle et spectrale :

Extrait original en bleu Les 20 pics les plus importants ont été retenus

La3 Violon

500 600 700 800 900 1000

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

t (ms)

x(t)

Extrait recomposé en noir

0 1000 2000 3000 4000-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

|x(f

)| (d

B)


Recomposition temporelle et spectrale :

Extrait original en bleu Les 20 pics les plus importants ont été retenus

La3 Violon

Extrait recomposé en noir

600 602 604 606 608 610-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

t (ms)

x(t)

0 500 1000 1500 2000-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

|x(f

)| (d

B)


Notes Violon


Nombreux harmoniques nettement visibles.

Harmoniques n: fn = n× f0



gamme.wav


On distingue 8 paquets d’ondes distincts

On distingue 8 pics

0 500 1000 1500 2000-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

0 200 400 600 800-100

-80

-60

-40

-20

0

f (Hz)

|x(f

)| (d

B)

LADO


gamme.wav


Gamme complète.

Fréquences fondamentales seulement.

Dans l’ordre des fréquences croissantes.

DO RE MI FA SOL LA SI DO


SOUND1.wav


Rien de visible... Nombreux pics

0 1000 2000 3000 4000 5000-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

0 1000 2000 3000 40000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

|x(f

)|


SOUND1.wav


Le signal ne semble pas périodique Nombreux pics

0 200 400 600 8000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

f (Hz)

|x(f

)|

1000 1050 1100 1150 1200-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)


SOUND1.wav


Spectre large.

Harmoniques.

Croissance en fréquence.


SOUND68.wav


Rien de visible... Nombreux pics

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (ms)

x(t)

0 1000 2000 3000 40000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

f (Hz)

|x(f

)|



Nombreuses fréquences.

Nombreux harmoniques.

Décroissance en fréquence.

SOUND68.wav


0 100 200 300 400 500 600-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

SOUND999.wav


Décroissance en fréquence Décroissance exponentielle

0 1000 2000 3000 40000

0.05

0.1

0.15

f (Hz)

|x(f

)|


SOUND999.wav

Décroissance exponentielle

0 1000 2000 3000 40000

0.05

0.1

0.15

f (Hz)

|x(f

)|

150 200 250-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)


Troncature du signal de 150 à 250 ms



Une fréquence fondamentale.

Harmoniques 2 et 3 visibles de 150 à 250 ms.

Décroissance exponentielle en fréquence.

SOUND999.wav


LASER.wav


Décroissance en fréquence Spectre large

0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

0 1000 2000 3000 40000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

f (Hz)

|x(f

)|




Décroissance exponentielle en fréquence.

LASER.wav


Calcul de fréquence moyenne :


Décroissance exponentielle en fréquence.v

LASER.wav

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

1000

2000

3000

4000

5000

f mea

n (H

z)

Time (ms)

La fréquence décroît de 4700 à 450 Hz.


accel.wav


Croissance en fréquence Spectre large

0 200 400 600 800 1000-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.005

0.01

0.015

0.02

f (Hz)

|x(f

)|




Croissance linéaire en fréquence, de 310 à 4200 Hz.

accel.wav


Effet Doppler :

Décalage négatif lorsque la source s’approche :

accel.wav

Décalage de la fréquence d ’émission.

Décalage positif lorsque la source s’éloigne :

0v 0vθθ

0 02 cosD

air

f vf

c

θ=

0 Df f f= +

0 Df f f= −


sirene.wav


Rien de visible... Spectre large

0 1000 2000 3000 4000-1

-0.5

0

0.5

1

t (ms)

x(t)

0 200 400 600 800 10000

0.05

0.1

0.15

f (Hz)

|x(f

)|




Variation de fréquence, de 0 à 1000 Hz.

sirene.wav


8. Application: DCT


Transformée en cosinus discret

TCD (DCT): Contenu fréquentiel

Décomposition dans une base de cosinus: Coefficients réels; Regroupement de l'énergie.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète

Principe: La transformée en cosinus discrète (DCT) est une

transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT). Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficients réels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentielle complexe et qui crée donc des coefficients complexes.

La DCT [directe] la plus courante est la DCT type-II. La DCT [inverse] correspondante est la DCT type-III.

Applications: La DCT est très utilisée en traitement numérique du

signal et spécialement en compression. Coefficients non nuls retenus : JPEG et MPEG.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_en_cosinus_discr%C3%A8te






http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG

http://fr.wikipedia.org/wiki/MPEG




Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue; Harmoniques.

1 1

2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)

2 2

N N

Cm n

m nP i j C i C j p m n i j

N N Nπ π

= =

− − = − − ÷ ÷ ∑∑

1 1

2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)

2 2

N N

Ci j

m np m n C i C j P i j i j

N N Nπ π

= =

− − = − − ÷ ÷ ∑∑

2 si 1

( ) 21 si 1

kC k

k

==

>http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète

DCT [directe]:

IDCT [inverse]:

Coefficients:











1 1

2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)

2 2

N N

Cm n

m nP i j C i C j p m n i j

N N Nπ π

= =

− − = − − ÷ ÷ ∑∑


Application: DCT

DCT












DCT

8×8 = 64 pixels 1+4 = 5 pixels

Compression: !!! Négatif couleur !!! α = 5/64 = 7,8%.










Décomposition dans une base de cosinus: Quantification: La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appelée matrice de quantification, et qui contient les coefficients choisis pour atténuer les hautes fréquences, celles auxquelles l’œil est peu sensible.

Opération de quantification [et filtrage]:


( , )( , )

( , )C

CQFQ

P i jP i j fix

Q i j

= ÷ ÷

( , ) 1 ( 1)FQQ i j i j FQ= + + −

Facteur de qualité: FQ

Exemple: FQ = 5

5

6 11 16 21 26 31 36 41

11 16 21 26 31 36 41 46

16 21 26 31 36 41 46 51

21 26 31 36 41 46 51 56

26 31 36 41 46 51 56 61

31 36 41 46 51 56 61 66

36 41 46 51 56 61 66 71

41 46 51 56 61 66 71 76

Q

=









Décomposition dans une base de cosinus: Exemple:

Résultats:

5

6 11 16 21 26 31 36 41

11 16 21 26 31 36 41 46

16 21 26 31 36 41 46 51

21 26 31 36 41 46 51 56

26 31 36 41 46 51 56 61

31 36 41 46 51 56 61 66

36 41 46 51 56 61 66 71

41 46 51 56 61 66 71 76

Q

=

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

p

=

1020 184 0 217 0 325 0 924

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

CP

− − − − =

1020 176 0 210 0 310 0 902

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

CQ FQP Q

− − − − =




Décomposition dans une base de cosinus: Exemple:

Résultats:

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

0 255 0 255 0 255 0 255

p

=

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

5 251 3 253 2 252 4 250

QFQp

=

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8




Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Chen Le calcul de la DCT est optimisé pour le cas N = 8 (JPEG et MPEG)en réécrivant la transformée sous forme matricielle et en factorisant la décomposition, pour réduire le nombre de multiplications nécessaires.










Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Loeffler

L'algorithme de Chen (qui calcule la DCT 1D à 8 points avec 16 multiplications) est à la base des optimisations suivantes par factorisation des sous-matrices.

L'algorithme de Loeffler est actuellement le plus efficace ayant été publié:Loeffler :11 multiplications (DCT 1D à 8 points)Chen : 16 multiplications (DCT 1D à 8 points)

Ces algorithmes se différencient seulement en termes de stabilité et de précision.

Pour une DCT 2D 8×8:Loeffler :112 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)Chen : 256 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)

Plus de détails: normes de compression JPEG et MPEG.

http://www.vtvt.ece.vt.edu/research/references_video_DCT.php


http://fr.wikipedia.org/wiki/MPEG







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CM3 - Transformée de Fourier