CM4 - Transformée en z

Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 60

Novembre 2011.

Traitement Numérique du SignalCM4 : Transformée en z

Université du Havre, IUT du Havre

Département GEII


PPN 2008: MC-II3

Traitement du signal

Applications en GEII

Mise en œuvre

Test

DSP

CAN/CNATF, compression, codage


Conversion Analogique-Numérique

Principe

Propriétés

Tables

Filtrage numérique

Transformée en z

Filtres RII

Filtres RIF

Plan


1. Principe


Transformée en z

Principe: Description de système discrets

Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence de la forme:

0 0

( ) ( )k kk d k n

k kk kk k

d s t d e ta b

dt dt

Une fonction de transfert d’un système discret est donné par:

10 1

1 20 1 2

( )z

b b zT z

a a z a z

Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert:

0

0

( )

nk

kk

z dk

kk

b zT z

a z

0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N

Par exemple, pour n = 1 et d = 2, on obtient:

0 0

( ) ( )d n

k kk k

a s N k b e N k


Transformée en z


Dans le domaine de la transformée en z, on a:

0

( ) ( ). epkTL e

k

X p x kT e

Un signal discret xk est modélisé mathématiquement par pondération d’une distribution peigne de Dirac de période Te par les échantillons xk = x(k.Te):

0

( ) ( ). ( )d e ek

x t x kT t kT

Dans le domaine de Laplace, la transformée donne: ( ) pTL t e

( ) keTZ t kT z

0

( ) ( ). kz e

k

X z x kT z


Transformée en z


La transformée en z se calcule simplement pour certains signaux:

Pour la fonction Heavyside atténué x(t) = H(t > 0).et ( > 0), on obtient:

Pour la fonction échelon (Heavyside) H(t > 0) = 1, on obtient:

0 0

( ) ( ).1

k kz e

k k

zH z H kT z z

z

10

1( ) .

1e

e e

kT kz T T

k

zX z e z

e z z e

Pour la fonction cosinus x(t) = cos(t) = (e+jt +ejt)/2, on obtient:

2

21 10

cos( )1 1( ) .

2 2 cos( ) 11 1

e e

e e

j kT j kTk e

z j T j Tk e

z z Te eX z z

z z Te z e z


2. Propriétés


Transformée en z

Propriétés: Linéarité et translation temporelle

La transformée en z est une transformée linéaire:

Le retard temporel de nT (> 0) échantillons s’écrit:

Le principe de superposition est vérifié:

. ( ) . ( ) . ( ) . ( )TZ x t y t TZ x t TZ y t

( ) .TnT e eTZ x k n T z TZ x kT

L’avance temporelle de nT (< 0) échantillons s’écrit:

( ) .TnT e eTZ x k n T z TZ x kT


3. Tables


( )t 1

( )et kT kz

( ) ( )z dX z TZ x t 1( ) ( )d zx t TZ X z

( )H t

Transformée en z

1

z

z

( ). tH t e eT

z

z e

t 2( 1)

z

z

2t 3

( 1)

( 1)

z z

z

/ et Taz

z a


( ) cos( )tH t e t

Transformée en z

cos( )t

sin( )t

2

2

cos( )

2 cos( ) 1e

e

z z T

z z T

2

sin( )

2 cos( ) 1e

e

z T

z z T

( ) sin( )tH t e t

2

22

cos( )

2 cos( )

e

e e

Te

T Te

z ze T

z ze T e

22

sin( )

2 cos( )

e

e e

Te

T Te

ze T

z ze T e

2

( )T ek T

t

( ).(1 )tH t e (1 )

1 ( 1)( )

e

e e

T

T T

z z z e

z z e z z e

1 1 1

T e T e T e T ek T k T k T k Tz z zz z z z

z z z

( ) ( )z dX z TZ x t 1( ) ( )d zx t TZ X z


4. Transformée en z


Transformée en z

Filtrage numérique: Forme générale

Conception de filtre numérique dans le domaine de la transformée en z:

La fonction de transfert d’un filtre numérique s’écrit:

10 1

11

( )( )

( ) 1

nn

dd

b b z b zB zG z

A z a z a z

La formulation factorisée fait apparaître les zéros zk et les pôles pk du filtre:

1

1

1

1

(1 )( ) (0)

(1 )

n

kkd

kk

z zG z b

p z

Les coefficientsak et bk sont réels.

Les coefficients zk et pk sont réels ou en paires complexes conjuguées.


Transformée en z


La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie: n fini) s’écrit:

La formulation factorisée fait apparaître uniquement des zéros zk:

10 1

( )( )

( )n

n

B zG z b b z b z

A z

1

1

( ) (0) (1 )n

kk

G z b z z

Attention: G(z) possède n zéros et n pôles situés à l’origine, en z = 0.

Exemples: Filtre à moyenne mobile, ou filtre MA (Moving Average).

Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:


1 1

1 1 1 1( )

1 ( 1)

N N

N

z zG z

N Nz z z

Transformée en z


Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:

La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie : N fini) s’écrit:

La formulation factorisée fait apparaître des zéros zk et des pôles pk en z = 0.

1/ 0, 1( )

0

N k Ng k

ailleurs

1

0

1( )

Nk

k

G z zN

N zéros, N1 pôles en z=0,1 pôle en z=1

N zéros et 1 pôle

z = 1 est à la fois pôle et zéroIl reste N1 zéros et N1 pôles en z = 0.


Transformée en z


La TZ d’un filtre RII (Réponse Impulsionnelle de durée Infinie: n +) s’écrit:

La formulation factorisée fait apparaître uniquement le pole a:

1

1( )

1

zG z

z aaz

Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ:

( ) pour 0;kg k a k 0

( ) k k

k

G z a z

g(k)

k Attention: Série convergente pour |a| < 1.

Remarque: Cette TZ correspond à la RI d’une exponentielle.

Pôle en z = a Zéro en z = 0


Transformée en z


Exemple:


( ) 0,5. ( 1) 2. ( )y k y k x k 1

( ) 2( )

( ) 1 0,5.z

z

Y zG z

X z z

La formulation factorisée fait apparaître le pole a = 0,5:

1

2 2( )

1

zG z

z aaz

g(k)

k Attention: Série convergente car |a| < 1.

Pôle en z = a Zéro en z = 0

La table donne: ( ) 2.(0,5) . ( )kg k H k


Transformée en z


Exemple:


( ) ( 1) ( 1)y k x k x k 1 1( )( )

( )z

z

Y zG z z z

X z

La transposition dans le domaine de Fourier discrétisé avec z = e+jTe donne:

( ) 2cos( )e ej T j Te eG T e e T

G(Te)

Te/2 00

2

fe/4 fe/20 f

Filtre réjecteur defréquence en fc = fe/2


Caractéristique

Fonctionde transfert

Réponseen fréquence

Réponseen phase

Stabilité

Complexitéde la structure

Sensibilitéaux erreurs

d'arrondi

Transformée en z

Filtrage numérique: Comparaison

Filtre RIF

Ne contient que des zéros.

Aucune restriction.

Parfaitement linéaire sinécessaire.

Toujours stables.

Proportionnelle à la longueurde la réponse impulsionnelle.

Faible, sauf dans le cas d'uneréalisation récursive.

Filtre RII

Contient des pôleset des zéros.

Les méthodes limitéesaux filtres LP, HP, BP, RB.

Approximationd’une phase linéaire.

Pôles dans le cercle unité.

Plus faible qu'un filtre FIRpour la même sélectivité.

Les pôles peuvent passer àl'extérieur du cercle unité.


5. Filtrage numérique


Transformée en z

Filtrage: Forme générale

La TF permet de déterminer les spectres et le produit d’un filtre:

Intérêt de la TF: Signaux continus

x(t)

xf(t)

X(f)

Xf(f)

g(t) G(f)Filtre

Signal brut

Signal filtré

Convolution Produit

TF

TF1

( ) ( ). ( )fX f G f X f( ) ( ) ( )fx t g t x t


Transformée en z


La FFT permet de déterminer la FT (Fonction de Transfert) d’un filtre discret:

Intérêt de la FFT: Signaux discrets

x(k)

xf(k)

X(k)

Xf(k)

g(k) G(k)Filtre

Signal brut

Signal filtré

Convolution Produit

FFT

IFFT( ) ( ). ( )fX k G k X k( ) ( ) ( )fx k g k x k


Transformée en z


La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:

Intérêt de la TZ: Signaux discrets

x(k)

xf(k)

Xz(z)

Xz,f(z)

g(k) Gz(z)Filtre

Signal brut

Signal filtré

Convolution Produit

TZ

, ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z( ) ( ) ( )fx k g k x k TZ1


Transformée en z




, ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z( ) ( ) ( )fx k g k x k

Convolution: Produit de TZ:

0

( ) ( ). ( )k

fn

x k g k n x k

soit

Au total, le calcul d'une convolutionsur N points nécessite donc:

n(n+1)/2 additionset n(n+1)/2+1 multiplications

Illustration: Convolution d'une porte rectangle par elle-même:


6. Filtres RII


Transformée en z

Filtrage numérique: Filtres RII

Méthodologie:

Filtres de type RII:

Ressemblance avec les filtres analogiques:

Equation différentielle et fonction de transfert.

Filtres analogiques Filtres numériques RII.

1

1

1

1

(1 )( ) (0)

(1 )

n

kkd

kk

z zG z b

p z


Transformée en z


Forme générale:

Filtres de Butterworth:

Coefficients:

2

2

1( ) ( ). ( )

1 nH H H

Fonction de transfert:

Pour un filtre de Butterworth, on a :- Pas d’ondulation dans la bande passante.- Pour f >> fc, on retrouve les propriétés d’un filtre d’ordre n: 20.n dB/décade.- Pour tout ordre n, G(fc) = 3 dB.- Phase quasi linéaire.


Transformée en z


Forme générale:

Filtres de Chebyshev:

Coefficients:

2 2

1( )

1 ( )n

HC

Fonction de transfert:

210( ) 10log (1 )G

Pour un filtre de Chebyshev, on a :- Ondulation dans la bande passante.- Pour f >> fc, on retrouve les propriétés d’un filtre d’ordre n: 20.n dB/décade.- Coupure très raide pour f > fc.- Phase moins linéaire que Butterworth.

Ondulation:


Transformée en z


Filtres: Comparaison

Fonctions de transfert:


Transformée en z


Synthèse des filtres numériques RII:

Filtres de type RII:

Plan des z Plan des p

Spécifications surle cercle unité

Spécifications surl'axe imaginaire

Approximation

Synthèse

Fonction detransfert g(z)

Fonction detransfert G(p)

Filtre analogiqueFiltre discret

Méthodes d’optimisation numériques


7. Filtres RIF

http://z.oumnad.123.fr/Signal/TNS.pdf


Transformée en z


Passe-Bas:

Fonctions de transfert G(f) idéales de 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:

fc f0

1

fc f0

1

fc1 f0

1

f0

1

fc2 fc1 fc2

Pour les systèmes discrets, on cherche G(z) et non plus G(f).


Transformée en z


Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:

Filtres numérique: Fenêtrage

Fenêtres d'apodisation: Comparaison: [Harris, 1978]

http://www.utdallas.edu/~cpb021000/EE 4361/Great DSP Papers/Harris on Windows.pdf

sin

( ) .

sin

e

fj

ef

e

fN

fW f e

f

f


Transformée en z





http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function

http://www.bksv.com/doc/Bv0031.pdf

TF

TF1


Transformée en z





FFT

IFFT


Transformée en z




Fenêtres d'apodisation: Comparaison

13,3 dB31,5 dB

Rectangle

11 si

( ) 20 sinon

Nk

w k

Hanning

1 2 11 cos si

( ) 2 1 2

0 sinon

k Nk

w k N


Transformée en z




40,6 dB

31,5 dB

13,3 dB


Transformée en z


Le tracé de G(z) n’étant pas parlant, on préfère remplacer z par exp(j2f/fe) Filtre numérique Passe-Bas:

fe/2 f0

1

fc fe

Réponse impulsionnelle:

G(f)

2 2( ) sincc c

e e

f fg k k

f f

Spectre discret du filtre Passe-Bas: Périodisation du spectre

g(k)

k Cette RI n’est ni finie, ni causale.


Transformée en z




x(k)

xf(k)

Xz(z)

Xz,f(z)

g(k) Gz(z)Filtre

Signal brut

Signal filtré

Convolution Produit

TZ

, ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z( ) ( ) ( )fx k g k x k TZ1


Transformée en z


Comme g(k) décroît rapidement, on l’approxime par sa troncature gw(k) :

Filtre numérique Passe-Bas:

avec la fenêtre (signal porte):

sin

( )

sin

e

e

fN

fW f

f

f

g(k)

k La FT de cette porte échantillonnée est:

11 si

( ) 20 sinon

Nk

w k

0

1

w(k)

k+(N1)/2(N1)/2

( ) ( ). ( )wg k g k w k


Transformée en z


Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution () de leurs spectres:


sin

( ) ( )

sin

ew

e

fN

fG f G f

f

f

La fonction de transfert est alors:

( ) ( ) ( )wG f G f W f

fe f

ffe

G(f)

Gw(f)

Ondulation de la fonction de transfert, résultant de la troncature (RIF).

soit

( ) ( ). ( )wg k g k w k


Transformée en z


Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution () de leurs spectres:


( ) ( ). ( )wg k g k w k La réponse impulsionnelle initiale est non causale:

g(k)

k

g(k)

k

La réponse impulsionnelle initiale est causale:

Le module de la TF reste inchangé.

2 2( ) sincc c

we e

f fg k k

f f

2 2 1( ) sinc

2c c

ce e

f f Ng k k

f f

1

2

Nk

si


Transformée en z


D’après la fonction de transfert de la FT d’un déphaseur, on a:


Le module de la TF reste inchangé.

sin

( ) ( )

sin

ew

e

fN

fG f G f

f

f

( 1)sin

( ) ( ) .

sin

e

fj N

e fwc

e

fN

fG f G f e

f

f

La réponse impulsionnelle initiale est non causale:

La réponse impulsionnelle initiale est causale:

2 2 1( ) sinc

2c c

wce e

f f Ng k k

f f

( ) ( ). ( )wg k g k w k

2 2( ) sincc c

we e

f fg k k

f f

1

2

Nk

si


Transformée en z


Le filtre réalisable Gwc(f) n ’est qu’une approximation du filtre recherché G(f) :


( 1)sin

( ) ( ) .

sin

e

fj N

e fwc

e

fN

fG f G f e

f

f

0

1

k

1+1

11

Ondulation dans la Bande Passante: 21

Ondulation dans la Bande Coupée: 22

Transition de coupure da Bande: fT

fT


Transformée en z


Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:

Filtre numérique Passe-Haut:

2 2 1 1( ) sinc cos

2 2e c e c

wce e

f f f f N Ng k k k

f f

( )wcg k ( )wcG f

1

2

Nk

,


Transformée en z



Filtre numérique Passe-Bande:

,1

2

Nk

( )wcg k ( )wcG f

2 1 2 1 2 11 1( ) sinc 2cos

2 2wce e e

f f f f f fN Ng k k k

f f f


Transformée en z



Filtre numérique Coupe-Bande:

1 2, ( ) , ( )( ) ( ) ( )wc wc LP f wc HP fg k g k g k

Passe-Basfc = f1

Passe-Hautfc = f2

( )wcg k ( )wcG f


function h = myfirb(N,f1,f2,fe);fo=(f1+f2)/fe;B=(f2-f1)/fe;N2=(N-1)/2;n=0:N-1;h= 2 * B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*fo*(n-N2));

Transformée en z


Passe-Bas:

Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:function h = myfirs(N,f1,f2,fe);f1=f1/fe;f2=f2/fe;N2=(N-1)/2;B1=2*f1;B2=1-2*f2;n=0:N-1;h= B1 * sinc(B1*(n-N2)) + B2 * sinc(B2*(n-N2)) .* cos(%pi*(n-N2));

function h=myfirl(N,fc,fe)B=2*fc/fe;n=0:N-1;h=B*sinc(B*(n-(N-1)/2));

function h = myfirh(N,fc,fe)B=1-2*fc/fe;n=0:N-1;N2=(N-1)/2;h= B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*(n-N2));


Transformée en z



Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral

Echelle linéaire: Fenêtre rectangle Echelle dB: Fenêtre rectangle


Transformée en z




Echelle lin.: Fenêtre de Hamming Echelle dB: Fenêtre de Hamming


Transformée en z




Echelle lin.: Fenêtre de Blackman Echelle dB: Fenêtre de Blackman


Transformée en z




Echelle lin.: Fenêtre de Kaiser Echelle dB: Fenêtre de Kaiser


Transformée en z




Echelle lin.: Fenêtre de Hanning Echelle dB: Fenêtre de Hanning


Transformée en z


Exemple: Filtre Passe-Bas


Si la fréquence d'échantillonnage est fe = 8 kHz, déterminer la réponse impulsionnelle d'un filtre RIF d'ordre N = 21, de fréquence de coupure fc = 1 kHz, et tracer le module de la fonction de transfert dans les deux cas suivants :

1) Troncature par fenêtre carrée:

2) Troncature par fenêtre de Hamming:


Transformée en z




1) Troncature par fenêtre carrée:


Transformée en z




2) Troncature par fenêtre de Hamming:


8. Scripts RII et RIF

www.eeng.dcu.ie/~ee317/Matlab_Clones/signal.pdf


hz=iir(3,'bp','ellip',[.15 .25],[.08 .03]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);figure; plot2d(fr',hzm');

Transformée en z


Passe-Bas:

Scripts de calcul de filtres RII et causal pour les 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:

hz=iir(16,'sb','cheb2',[.2 .4],[0.1 .1]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);figure; plot2d(fr',hzm');

hz=iir(4,'lp','butt',[.2 0],[0 0]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);figure; plot2d(fr,hzm);

hz=iir(16,'hp','butt',[.2 0],[0 0]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);figure; plot2d(fr',hzm');


[h,hm,fr]=wfir('bp',8,[0.2 .3],'kr',[0.2 0.1]);figure; plot2d(fr,hm);

Transformée en z


Passe-Bas:

Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:

[h,hm,fr]=wfir('sb',64,[0.1 .3],'kr',[0.2 0.1]);figure; plot2d(fr,hm);

[h,hm,fr]=wfir('lp',33,[0.2 0],'hm',[0 0]);figure; plot2d(fr,hm);t = 0:200;x = sin(2*%pi*t/20)+sin(2*%pi*t/3);hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);yhz=flts(x,hz);figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');

[h,hm,fr]=wfir('hp',8,[0.1 0],'hn',[0 0]);figure; plot2d(fr,hm);t = 0:200;x = sin(2*%pi*t/40)+sin(2*%pi*t/3);hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);yhz=flts(x,hz);figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');

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