Calcul Numeric

Cursul 11

2015

Anca Ignat

1

Problema celor mai mici ptrate

, , ,m n m nA b Ax b x (1)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

==

=

=

n n

n n

i i in n i

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

2

Sistemul are soluii clasice dac:

rang A = rang [A | b] m < n - o infinitate de soluii m n

- dac rang A = rang [A | b] soluii clasice - dac rang A rang [A | b] soluii n sensul celor mai mici

ptrate Vectorul reziduu:

( ) mr x b Ax

3

Vectorul nx se numete soluie n sensul celor mai mici ptrate pentru sistemul (1) dac este soluia urmtoarei probleme de optimizare: 2 22 2min{ ( ) ; }

nr x b Ax x (LSP)

3 2

1 4 02 5 , 0 , 3, 23 6 1

A b m n

rang A = 2 rang [A | b] = 3

4

Sistemul:

1 2

1 2

1 2

4 02 5 03 6 1

x xx xx x

(2)

nu are soluie clasic (nu exist x1 , x2 care s satisfac toate cele 3 ecuaii simultan). Vectorul reziduu are forma:

1 2

11 2

21 2

0 1 4 4( ) 0 2 5 2 5

1 3 6 1 3 6

x xx

r x b Ax x xx

x x

Soluia n sensul celor mai mici ptrate a acestui sistem este definit ca soluia problemei de optimizare:

5

22 21 2 1 2 1 2 1 2min{( 4 ) ( 2 5 ) 1 3 6 ; , }x x x x x x x x

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2min{1 6 12 64 14 77 ; , }x x x x x x x x Aceast problem de minimizare are soluia:

1 213 2 1, , ( )18 9 6

x x r x

i este soluia n sensul celor mai mici ptrate a sistemului (2). 1 21 2range A { y ; , , 1, }m nn iy a A a A a A a i n

6

1 2 , sunt coloanele matricii n i mA A A A A A Teorem Fie ( ) ,m n mA m n b . Un vector nx minimizeaz norma euclidian a vectorului reziduu ||r(x)||2=||b-Ax||2, rezolvnd problema (LSP), dac i numai dac:

( ) range( ) ( ) 0Tr x A A r x sau echivalent T TA Ax A b (3)

7

Sistemul (3) poart numele de sistemul de ecuaii normale i

este un sistem ptratic de dimensiune n, matricea sistemului T n nA A este simetric. Sistemul de ecuaii normale (3) este

nesingular dac i numai dac rang A = n, n acest caz soluia x

a sistemului (3) este unic.

det 0 rangTA A A n

1 414 32 3

2 5 , ,32 77 6

3 6

T TA A A A b

8

1 21 2

1 2

14 32 3 13 2,32 77 6 18 9

x xx x

x x

Pseudo-inversa matricii A Presupunem c A are rang A = n. Atunci pseudo-inversa poate fi definit ca:

1T T n mA A A A ( ?)IA A

114 32 1 2 3*

32 77 4 5 6A

9

Rezolvarea sistemului de ecuaii normale

1) Folosind factorizarea Cholesky (descompunere LU) pentru

matrici simetrice:

, matrice inferior triunghiularT T n nA A LL L Se calculeaz matricea ATA i vectorul ATb; Se calculeaz factorizarea Cholesky a matricii ATA=LLT; Se rezolv sistemul inferior triunghiular Ly= ATb pentru y; Se rezolv sistemul superior triunghiular LTx= y pentru x;

10

2) Se calculeaz descompunerea QR (cu algoritmul lui

Householder adaptat) pentru matricea A:

( )

, matrice ortogonal , ,

, matrice superior triunghiular0

m m m n

n n

m n n

A QR Q R

RR R

Se calculeaz factorizarea QR modificat a matricii A; Se calculeaz vectorul QTb ; Se rezolv sistemul sup. triunghiular

1,

T

i nRx Q b ;

11

3) Se folosete desc. dup valori singulare a matricii A

, , ,T m n m m n nA U V U V Se calculeaz SVD pentru matricea A=UVT; Se calculeaz vectorul UTb; Se rezolv sistemul diagonal w = UTb pentru w; Soluia este x=Vw;

1), 2) sau 3) ? se recomand 2)

12

Rezolvarea ecuaiilor neliniare

Fie :[ , ]f a b o funcie continu pe intervalul [a,b] astfel ca f(a)f(b) < 0. n aceste condiii, exist x*(a,b) astfel ca f(x*)=0. n cele ce urmeaz ne propunem s aproximm soluia x*

a ecuaiei neliniare f(x)=0.

13

Metoda biseciei (a njumtirii intervalului)

Pp. f(a)f(b) < 0!!! Pentru a aproxima soluia x* cutat, vom

construi un ir de intervale {[ , ]; 0}k ka b k ce satsifac:

1 1

1 1

,

, ,

2

k k

k k k k

k kk k

x a b

a b a bb ab a

Pentru primul interval vom considera: 0 0, , 0a a b b k .

14

Considerm punctul c de mijloc al intervalului [ak,bk]:

k ka bc Avem urmtoarele 3 variante:

1. f(c)=0 - soluia cutat este x*=c, algoritmul se oprete;

2. f(ak)f(c) < 0 soluia se gsete n intervalul (ak,c), continum procedeul cu intervalul [ 1 1,k k ka a b c ];

3. f(bk)f(c) < 0 soluia se gsete n intervalul x*(c,bk) procedeul continu cu intervalul [ 1 1,k k ka c b b ].

15

Dat > 0 exist un interval ,k ka b astfel ca ,k kx a b i k kb a ( 2log b ak

). Pentru suficient de mic att ka ct i kb pot fi considerate aproximri ale soluiei x

* ( ka x prin

lips iar kb x prin adaos).

16

Metoda tangentei (Newton-Raphson) Vom presupune c funcia 1 ,f C a b este derivabil pe [a,b] cu derivata continu n acest interval i satisface relaia f(a)f(b) < 0. Pentru a aproxima soluia x* a ecuaiei f(x)=0 vom construi un ir kx care s convearg la x*,

pentru,kx x k . Primul element din ir, x0, considerm

c este dat. Urmtorul element din ir se construiete ca fiind punctul de intersecie al tangentei la graficul funciei f n punctul ( x0 , f(x0) ) cu axa absciselor. Procedeul se repet cu x1 pentru a-l obine pe x2, .a.m.d.

17

.

1 0 0

2 1 1

1

O tangenta la graficul func iei n punctul , ( )

O tangenta la graficul func iei n punctul , ( )

O tangenta la graficul fc n pt. , ( ) , 0,1,2,k k k

x x f x f x

x x f x f x

x x f x f x k

Ecuaia tangentei la graficul funciei f ntr-un punct (a, f(a)) este urmtoarea (pentru o funcie derivabil):

( ) ( )( )y f a f a x a

Pentru a calcula xk+1 din xk vom considera ecuaia tangentei:

( ) ( )( )k k ky f x f x x x

18

unde lum y = 0. Avem:

1 0( ) , 0,1,2, , dat( )

kk k

k

f xx x k xf x

Formula de mai sus poate fi folosit doar dac la fiecare pas

( ) 0kf x . Dac la un pas avem ( ) 0kf x putem calcula cteva iteraii xk (k k ) folosind 1( )kf x .

19

Teorem de convergen Fie 2 ,f C a b , cu ( ) ( ) 0f a f b , ( ) 0f x i ( ) 0f x

,x a b . Dac alegem 0

pentru ( ) ( ) 0pentru ( ) ( ) 0

a f a f ax

b f b f b

atunci irul ; 0kx k construit cu metoda tangentei este monoton, mrginit i convergent la unica soluie x* a ecuaiei

f(x)=0. Ordinul de convergen este mai mare dect 2.

20

Metoda falsei poziii (a coardei) Presupunem c funcia f este continu, ,f C a b i satisface relaia ( ) ( ) 0f a f b . Vom construi un ir kx care s convearg la soluia cutat x*, pentru,kx x k

. Considerm date primul element din ir, x0 i un alt punct x . Procedeul de construire a irului este urmtorul:

1 0 0

2 1 1

1

O dreapta ce une te punctele , ( ) , ( )

O dreapta ce une te punctele , ( ) , ( )

O dreapta ce une te pt. , ( ) , ( ) , 0,1,2,k k k

x x x f x x f x

x x x f x x f x

x x x f x x f x k

21

Ecuaia dreptei ce trece prin punctele (a, f(a)) cu (b, f(b)) este:

( )( ) ( )y f a x a

f a f b a b .

Pentru a-l obine pe 1kx din kx avem:

cu

dat

1

0

( ) 0( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )

0,1,2, ,

k k

k k

k k k kk k

k k

y f x x x yf x f x x x

f x x x xf x x f xx xf x f x f x f x

k x

22

Teorem de convergen Fie 2 ,f C a b , cu ( ) ( ) 0f a f b , ( ) 0f x i ( ) 0f x ,x a b . Dac alegem

i pentrui pentru

0

0

( ) ( ) 0( ) ( ) 0

x a x b f a f ax b x a f b f b

atunci irul ; 0kx k construit cu metoda falsei poziii este monoton, mrginit deci convergent la unica soluie x* a ecuaiei f(x)=0.

23

Metoda secantei

Presupunem c funcia f este continu, ,f C a b i satisface relaia ( ) ( ) 0f a f b . Vom construi un ir kx care s convearg la soluia cutat x*, pentru,kx x k

. Considerm date primele dou elemente din ir, x0 i x1. Procedeul de construire a irului este urmtorul:

2 0 0 1 1

3 1 1 2 2

1 1 1

O dreapta ce une te punctele , ( ) , , ( )

O dreapta ce une te punctele , ( ) , , ( )

O dreapta ce une te pct. , ( ) , ( ) ,k k k k k

x x x f x x f x

x x x f x x f x

x x x f x x f x

1,2,k

24

Obinem elementul xk+1 din xk i xk-1 astfel:

1 1

( ) cu 0( ) ( )

k k

k k k k

y f x x x yf x f x x x

11

1

1 1

1

0 1

( )( )( ) ( )

( ) ( ) ,( ) ( )

1,2, , , da i

k k kk k

k k

k k k k

k k

f x x xx xf x f x

x f x x f xf x f x

k x x

25

Teorem de convergen Fie x* o soluie a ecuiei f(x)=0. Pp. c 2 * *,f C x r x r ,

( ) 0f x i ( ) 0f x * *,x x r x r . Atunci exist 0 < r0 r pentru care, dac 0 1 0 0, [ , ]x x x r x r atunci

0 0[ , ], 2kx x r x r k i pentru,kx x k . Ordinul

de convergen este 1 5 1.618032

q .

26

Metoda lui Muller irul kx de aproximare a unei rdcini a ecuaiei neliniare f(x)=0 se construitete astfel:

- x0, x1, x2 date - urmtorul element din ir x3 se construiete astfel:

se construiete parabola care trece prin ultimele trei elemente calculate ale irului (x0,f (x0)), (x1, f(x1)) , (x2,f(x2))

22 2( ) ( ) ( )P x a x x b x x c .

Constantele a, b i c se gsesc rezolvnd sistemul de ecuaii:

27

20 0 2 0 2 0

21 1 2 1 2 1

22 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P x a x x b x x c f x

P x a x x b x x c f xP x a x x b x x c c f x

de unde obinem:

1 0

1 1 21 0

, , ( )a b ah c f xh h

0 1 0 1 2 1

1 0 2 10 1

0 1

, ,( ) ( ) ( ) ( ),

h x x h x xf x f x f x f x

h h

28

Pentru stabilitate numeric se consider urmtoarea formul de calcul a soluiei ecuaiei de gradul 2, 2 0az bz c

1,2 2

24

czb b ac

.

Rdcina cea mai apropiat de x2 a ecuaiei P(x)=0 este noul element x3 al irului. Obinem formula:

3 2 2 22max 4 , 4cx x b b ac b b ac

29

Sisteme de ecuaii neliniare Consider sistemul neliniar:

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2

( , , , ) 0( , , , ) 0

( ) 0 ,

( , , , ) 0

n

n

n nn n

f x x x f xf x x x f x

F X F X

f xf x x x

Fie matricea jacobian asociat funciei F (presupunem c funciile fi sunt difereniabile):

30

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 2

( ) ( , , , )

n

n n

n n n

n

f f fx x xf f fx x xF X x x x

f f fx x x

Pentru a gsi soluia X* a sistemului de ecuaii neliniare F(X)= 0 se construiete un ir de vectori ( )k nX astfel:

31

dat(0)1( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

( ) ( ) , 0,1,

k k k k k k

k k k n

X

X X F X F X X

F X F X k

Vectorul de corecie (k) poate fi calculat i ca soluie a sistemului liniar:

( ) ( )( ) ( )k kF X F X unde matricea sistemuui este matricea jacobian calculat n punctul ( )kX iar vectorul termenilor liberi este ( )( )kF X . Metoda descris mai sus poart numele de metoda Newton. Pentru n=1 metoda Newton este chiar metoda tangentei descris anterior.

32

Metoda lui Laguerre Fie polinomul:

0 1 2 0( ) ( )( ) ( ) , 0np x a x x x x x x a Metoda lui Laguerre propune construirea unui ir de numere care s convearg la una din rdcinile polinomului p. Considerm derivata polinomului p:

1 2

1 1 1'( ) ( )n

p x p xx x x x x x

Avem:

33

0 1 2ln | ( ) | ln | | ln | | ln | | ln | |np x a x x x x x x

dd 1 2

1 1 1 ( )ln | ( ) | ( )( )n

p xp x G xx x x x x x x p x

dd

2

2 2 2 21 2

2

2

1 1 1ln | ( ) |( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ''( )( )

( )

n

p xx x x x x x x

p x p x p xH x

p x

34

Fie x1 rdcina pe care vrem s-o aproximm i yk valoarea aproximativ curent. Notm cu a = yk - x1 i facem presupunerea c yk se afl la acceeai distan de toate celelalte rdcini, adic:

2, ,k iy x b i n . Prin urmare avem:

2

2 2 2

'( ) 1( )( )

'( ) ( ) ''( ) 1( )( )

kk

k

k k kk

k

p y nG yp y a b

p y p y p y nH ya bp y

35

Rezolvm acest sistem n raport cu a i obinem:

2max ( ) ( 1) ( ) ( )k k kna

G y n nH y G y

Semnul la numitor este ales astfel ca expresia s aib magnitudine maxim. Dac inem cont de expresiile pentru G i H obinem pentru a i urmtoarea expresie:

22

( )

max '( ) ( 1) '( ) ( 1) ( ) ''( )k

k k k k

n p yap y n p y n n p y p y

Urmtorul element din ir va fi:

36

1 2max ( ) ( 1) ( ) ( )k k k k k kny y a y

G y n nH y G y

1 22

( )

max '( ) ( 1) '( ) ( 1) ( ) ''( )k

k k

k k k k

n p yy yp y n p y n n p y p y

Procedeul se oprete cnd a devine suficient de mic. Metoda lui Laguerre se poate apl. i ptr. aprox. rd. complexe i de asemenea pentru polinoame cu coeficieni compleci. Pentru rdcini simple metoda lui Laguerre are ordinul de convergen 3.

37

Interpolare numeric Presupunem c despre o funcie f cunoatem doar valorile ntr-un numr finit de puncte. Pornind de la aceste date, dorim s aproximm funcia f ntr-un alt punct.

x x0 x1 x2 ... xn-1 xn

f y0 y1 y2 ... yn-1 yn

n tabelul de mai sus f(xi) = yi , i=0,1,,n i xi xj , i j. Dat un punct x xi, i=0,1,,n dorim s aproximm f(x) cunoscnd cele (n+1) perechi (xi ,yi ), i=0,,n. Punctele xi se numesc noduri de interpolare.

38

Polinomul de interpolare Lagrange Notm cu n mulimea polinoamelor de grad cel mult n. Dimensiunea acestui spaiu este n+1, baza uzual fiind dat de polinoamele 1, x, x2,, xn. Vom considera o alt baz n acest spaiu. Se consider polinoamele pi:

pentruastfel ca

pentru0

( ) 0, , , 0, ,1i n i j

j ip p x j n i n

j i

Din relaia pi ( xj )=0, j i i faptul c pi este de grad n rezult c x0, x1,,xi-1, xi+1,,xn sunt cele n rdcini ale polinomului pi.

39

Avem:

0 1 1( ) ( ) ( )( ) ( ),, 0, ,

i i i i n

i

p x c x x x x x x x xc i n

Constanta ci se determin din relaia pi ( xi ) = 1:

0 1 1

0 1 1

( ) 1 ( ) ( )( ) ( )1

( ) ( )( ) ( )

i i i i i i i i i n

ii i i i i i n

p x c x x x x x x x x

cx x x x x x x x

40

Polinoamele pi au forma:

0 1 1

00 1 1

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0, ,

nji i n

iji i i i i i n i jj i

x xx x x x x x x xp xx x x x x x x x x x

i n

Propoziie Polinoamele p0, p1,, pn formeaz o baz n n. Demonstraie: Vom arta c cele n+1 polinoame sunt liniar independente:

41

0 0 1 1

0 1

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,0

n n

n

q x a p x a p x a p x xa a a

Vom face pe rnd x = x0, x = x1,, x = xn n polinomul q:

0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0

n n

n

x x q x a p x a p x a p xa a a a a

1 1 1( 0x x q x a

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

k k k k k k n n k

k n k k

x x q x a p x a p x a p xa a a a a

( 0n n nx x q x a

42

Toate constantele ai sunt nule deci polinoamele ; 0, ,ip i n formeaz o baz n n. Pentru a aproxima funcia f pornind de la tabelul de mai sus, vom construi un polinom lnn a.. s satisfac condiiile de interpolare:

, ( ) , 0, ,n n n i il l x y i n (1) Odat construit acest polinom, vom aproxima f(x) prin ln(x).

( ) ( )nf x l x Vom scrie polinomul ln n raport cu noua baz ; 0, ,ip i n , deci exist constantele reale a0, a1,,an astfel ca:

0( ) ( )

n

n i ii

l x a p x

43

Constantele ak se determin astfel:

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0

k n k k k k k n n k

k n k k k

y l x a p x a p x a p x

a a a a a y

Prin urmare un polinom de grad n care ndeplinesc condiiile de interpolare (1) este:

0 1 1

0 0 0 1 1

0 0

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) (2)

n ni i n

n i i ii i i i i i i i n

n nj

ii j i j

j i

x x x x x x x xl x y p x yx x x x x x x x

x xy

x x

Polinomul in formula (2) se numete polinomul de interpolare Lagrange.

44

Propoziie Polinomul ln dat de formula (2) este unicul polinom de grad n care ndeplinete condiiile de interpolare (1). Demonstraie: Presupunem c mai exist un polinom qn care ndeplinete condiiile (1):

, ( ) , 0, ,n i iq q x y i n Fie polinomul p(x)=ln(x)-q(x) n.

( ) ( ) ( ) 0 , 0, ,k n k k k kp x l x q x y y k n Polinomul p are ca rdcini toate nodurile de interpolare.

45

Polinomul p este polinom de grad cel mult n i are (n+1) rdcini distincte (xi xj, i j). Acest polinom nu poate fi dect polinomul identic nul:

( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( )n np x l x q x x l x q x x Polinomul ln este unicul care satisface (2). Fie wn+1 polinomul de grand (n+1) care are ca rdcini nodurile de interpolare:

1 0 1 1( ) ( )( ) ( )n n nw x x x x x x x

46

Avem:

1 10 0 0

( ) ( ) ; ( ) ( )n n n

n j n k k ji j j

j i j k

w x x x w x x x

Putem rescrie polinomul ln i astfel:

1

0 1

( ) 1( ) [ ]( ( ))'

nn

n ii i n i

w xl x yx x w x

Fie a = min{x0, x1,, xn}, b = max{x0, x1,, xn}.

47

Teorema restului Fie 1 ,nf C a b i , , , 0, , .ix a b x x i n Atunci exist un punct 0 1, , ( , , , , )ny a b y y x x x x (punctul y depinde de nodurile de interpolare xi i de punctul x ) astfel c eroarea la interpolarea numeric este dat de:

( 1)

1( )( ) ( ) ( )

( 1)!

n

n nf yf x l x w xn

(3)

a = min{x0, x1,, xn}, b = max{x0, x1,, xn}. Demonstraie: Considerm funcia F:

1( ) : ( ) ( ) ( )n nF x f x l x cw x

48

Constanta real c este aleas astfel ca ( ) 0F x adic:

11

( ) ( ) , ) ( ) 0 )( )

ni n

n

f x l xc x x i w xw x

(4) Funcia f fiind de clas Cn+1 pe intervalul [a,b] rezult c i funcia F este din Cn+1[a,b]. Avem:

1( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , 0, ,i i n i n i i iF x f x l x cw x y y c i n

Funcia F are (n+2) zerouri, 0 1, , , ,nx x x x . Aplicnd succesiv Teorema lui Rolle rezult c F are (n+1) zerouri, F are n zerouri,, F(n+1) are 1 zero n intervalul [a,b]. Vom nota aceast

49

rdcin a lui F(n+1) cu y. Punctul y depinde de zerourile iniiale 0 1, , , ,nx x x x i:

a.. ( 1)0 1( , , , , ) , ( ) 0.nny y x x x x a b F y (5) Derivata de ordinul (n+1) a funciei F se calculeaz astfel:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1

( 1) ( 1)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0 ( 1)! ( ) ( 1)!

n n n nn n

n n

F x f x l x c w x

f x c n f x c n

(6)

(derivata de ordin (n+1) a polinomului de grad n ln este 0). Din relaiile (4), (5) i (6) rezult c:

50

( 1) ( 1)

11

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( 1)! ( ) ( 1)!

n nn

n nn

f x l xf y f yc f x l x w xn w x n

adic am obinut relaia (3).

Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange

Fie lk(x, x0, x1,, xk, f) polinomul de interpolare Lagrange

pentru funcia f pe sistemul de noduri distincte {x0, x1,, xk}.

Propoziie Fie lk-1(x, x0, x1,, xk-1, f), lk-1(x, x1, x2,, xk, f)k-1 polinoamele de interpolare Lagrange pentru funcia f pe sistemele de noduri {x0, x1,, xk-1} i respectiv {x1, x2,, xk}.

51

Atunci:

0 1

1 0 1 1 0 1 1 2

0

( , , , , , )( ) ( , , , , , ) ( ) ( , , , , , )

k k

k k k k k

k

l x x x x fx x l x x x x f x x l x x x x f

x x

(1) Demonstraie: Exerciiu. Considerm urmtoarele probleme de interpolare pentru f:

0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

0 0 1 1 0 1

( , ),( , ), ,( , ) ( , , , , , )

( , ),( , ), ,( , ) ( , , , , , )k k k k

k k k k

x y x y x y l x x x x f

x y x y x y l x x x x f

52

Ne intereseaz s gsim o formul de trecere rapid de la polinomul de interpolare pe k noduri la cel care are un nod n plus. Deoarece polinomul de grad cel mult k:

0 1 1 0 1 1( ) ( , , , , , ) ( , , , , , )k k k k kq x l x x x x f l x x x x f are ca rdcini punctele x0,x1,,xk-1 (q(xi) = yi - yi = 0, i=0,...,k-1) avem relaia:

1

0 1 1 0 1 10

( , , , , , ) ( , , , , , ) ( )k

k k k k jj

l x x x x f l x x x x f A x x

n care A este dat de relaia:

53

0 1 1 0 1 11

0

( , , , , , ) ( , , , , , )

( )

k k k k k kk

k jj

l x x x x f l x x x x fAx x

(3)

1 1

0 0

1 1

0 0

1

1 10

0 0

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

k kk j

ii j i j

j ikk k

k j k jj j

kk i

k ki

k j k i i jj j

j i

x xy

x xyAx x x x

y y

x x x x x x

54

0

0( )

ki

ki

i jjj i

yAx x

(4)

Considerm urmtoarele problemele de interpolare pentru f:

1 1 2 2 1 1 2

0 0 1 1 0 1

( , ),( , ), ,( , ) ( , , , , , )

( , ),( , ), ,( , ) ( , , , , , )

k k k k

k k k k

x y x y x y l x x x x f

x y x y x y l x x x x f

vom avea, analog ca mai sus

0 1 1 1 21

( , , , , , ) ( , , , , , ) ( )k

k k k k jj

l x x x x f l x x x x f B x x

(5)

55

Dac nmulim relaia (2) cu (x-xk) iar relaia (5) cu (x-x0) i scdem aceste relaii obinem:

0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 20

( ) ( , , , , , ) ( ) ( , , , , , )

( ) ( , , , , , ) ( ) ( )

k k k k k kk

k k jj

x x l x x x x f x x l x x x x f

x x l x x x x f A B x x

innd seama de relaia (1) rezult c:

adic0

( ) ( ) 0k

jj

A B x x A B

56

Vom nota n cele ce urmeaz:

0 1, , , k fA x x x numit diferen divizat de ordin k a funciei f pe nodurile 0 1, , , kx x x . Vom nlocui n formula (2) lk-1(x, x0,, xk-1, f) cu:

1 0 1 2 1 11

0 1 11

( , , , , ) ( , , , , )

, , , ( )

k k k kk

k jfj

l x x x f l x x x f

x x x x x

iar n formula (5) lk-1(x, x1 ,, xk , f ) cu:

1

1 1 2 1 1 1 21

( , , , , ) ( , , , , ) , , , ( )k

k k k k k lfl

l x x x f l x x x f x x x x x

i apoi scdem membru cu memebru cele dou relaii.

57

Obinem:

1 1

0 1 01 0

1

1 01 1

, , ( ) , , ( )

, , ( ) , , ( ) 0

k k

k j k jf fj j

k k

k l k lf fl l

x x x x x x x x

x x x x x x x x

Putem scrie:

1 0 1 11

1

0 00

( ) , , , ,

, , ( )

k

j k kf fj

k

k j nfj

x x x x x x

x x x x x x x x

58

relaie din care obinem: 1 2 0 1 1

0 10

, , , , , ,, , , k kf fk f

k

x x x x x xx x x

x x

(6)

Relaia (6) justific denumirea de diferen divizat. Se introduce i noiunea de diferen divizat de ordinul 0: ( ) ,k k kfx y f x (7) Diferenele divizate se pot obine folosind definiia direct (4) sau folosind definiia recursiv (7), (6). Cele 2 definiii sunt echivalente:

59

Propoziie

0 1 0 0 10

, , ,( ) '( )

k ki i

k kfi i n k

i jjj i

y yx x xw xx x

(8)

pentru orice sistem de noduri 0 1, , , kx x x i orice k. Demonstraie: Se face prin inducie. Pentru k=1 avem:

1 00 10 1

0 1 1 0 1 0

, f ff

x xy yx xx x x x x x

Presupunem c relaia (8) este valabil pentru orice k i pentru orice sistem de noduri 0 1, , , kx x x . Pentru k+1 folosim relaia de recuren i apoi aplicm ipoteza inductiv:

60

1 1 1 0 20 1 1

1 0

1

11 01 0

1 0

, , , , , ,, , ,

( )( ) ( )

k kf fk f

k

k ki i

k ki ik

i j i jj jj i j i

x x x x x xx x x

x x

y yx x x x x x

0 11

1 00 1

0 10 1

1 1 0

1

( ) ( )

1 1[ ( )] }( )

kk k

kj k j

j jj j k

ki

ki i k i

i jjj i

y yx x x x x x

yx x x xx x

61

0 11 1 1

10 1

0 0 00 1

1

10

0

( ) ( ) ( )

( )

kk i

k k ki

j k j i jj j jj j k j i

ki

ki

i jjj i

y y y

x x x x x x

y

x x

Inducia este complet. Din definiie se observ c diferena divizat 0 1, , , k fx x x nu depinde de ordinea nodurilor 0 1, , , kx x x .

62

Vom nota n continuare cu lk(x) polinomul de interpolare

Lagrange pe nodurile 0 1, , , kx x x pentru funcia f. Avem:

0 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( )] ( ) ( )]

, ( ) , , , ( ) ( )

, , , ( ) ( )

n k k n n

k kf f

n nf

l x l x l x l x l x l x l x l x

y x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

Am obinut forma Newton a pol. de interpolare Lagrange:

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 0 1

( ) , ( ) , , ( )( )

, , , ( ) ( )

n f f

n nf

l x y x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

63

Schema lui Aitken de calcul a diferenelor divizate Ne propunem s calculm diferenele divizate

0 1, fx x , 0 1 2, , fx x x , , 0 1, , , n fx x x necesare construirii polinomului de interpolare Lagrange n forma Newton. Procedeul folosete definiia recursiv a diferenelor divizate i se desfoar n n pai. La pasul 1 se calculeaz numai diferene divizate de ordinul 1:

0 1, fx x , 1 2, fx x ,, 1 ,n n fx x . n general, la pasul k se calc. diferene divizate de ordin k:

0 1, , , k fx x x , 1 2 1, , , k fx x x ,, 1, , ,n k n k n fx x x . La pasul n se calculeaz o singur diferen divizat de ordin n i anume 0 1, , , n fx x x .

64

0 0

1 1 0 1

2 2 1 2

1

Pas 1 Pas Pas

,

,

,

f

f

k k k k f

k nx y

x y x x

x y x x

x y x x

0 1

1 1 2 1 1 1

1

, , ,

, , ,

,

k f

n n n n n k nf f

n n n n f

x x x

x y x x x x

x y x x

1 0 1, , , ,n k n nf fx x x x x

65

Notm dd[i,k]= 1, , ,i i i k fx x x diferena divizat de ordin k, pe nodurile consecutive 1, , ,i i i kx x x i=0,,n-k, k=1,,n, cu dd[i,0]=yi, i=0,,n. Schema lui Aitken se implementeaz astfel:

[ ,0] , 0, , ;for 1, ,

for 0, ,[ 1, 1] [ , 1][ , ]

i

i k i

dd i y i nk n

i n kdd i k dd i kdd i k

x x

Putem face aceleai calcule folosind un singur vector, de exemplu rescriind vectorul y astfel:

66

1

for 1, ,for , ,

i ii

i i k

k ni n k

y yyx x

La finalul acestei secvene de program, vectorul y va conine elementele:

y0 , 0 1, fx x , 0 1 2, , fx x x ,, 0 1, , , n fx x x ( 0 1, , ,k k fy x x x , k=0,...,n).

67

Interpolare Newton pe noduri echidistante Pp. c nodurile de interpolare sunt echidistante:

0 , 0,1, ...,ix x i h i n n relaia de mai sus fie se d h distana ntre 2 noduri succesive, fie se precizeaz primul i ultimul nod, x0 i xn i h se calculeaz:

0( )nx xhn

. 1 1

11

( ) ( ),( )

i i i ii i f

i i

f x f x y yx xx x h

Se introduce noiunea de diferen finit de ordinul 1:

( ) ( ) ( )f x f x h f x

68

Pornind de la aceast definiie se pot introduce i diferene finite de ordin superior:

2 ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))( 2 ) 2 ( ) ( )

f x f x f x h f xf x h f x h f x

i n general se pot introduce recursiv diferenele finite de ordin k:

1 1 1( ) ( ( )) ( ) ( )k k k kf x f x f x h f x . Prin inducie dup k, se poate deduce formula de calcul a diferenelor finite de ordin k folosind doar valorile funciei f:

0( ) ( 1) ( )

kk k i i

ki

f x C f x i h

.

69

Observaie: Dac funcia f este polinom de grad m atunci ( )f x este polinom de grad m-1, 2 ( )f x este polinom de grad m-2, .a.m.d. Prin urmare:

( ) 0 , pentru , polinom de grad k f x k m f m . Legtura ntre diferenele divizate i cele finite:

11

1

( ) ( ) ( ),( )

i i ii i f

i i

f x f x f xx xx x h

2

1 2 11 2 2

2

, , ( ), ,( ) 2

i i i if f ii i i f

i i

x x x x f xx x xx x h

70

Prin inducie se poate arta urmtoarea legtur ntre diferenele divizate de ordin k i cele finite:

1( ), , , .

!

ki

i i i k kf

f xx x xk h

Polinoame de interpolare pe noduri echidistante

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 0 1 1

0 1 0 1 1

( ) , ( ) , , ( )( )

, , ..., ( )( ) ( )

, , ..., ( )( ) ( )

n f f

k kf

n nf

l x y x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

71

Consider c punctul de interpolare este de forma: 0x x t h

i nlocuim diferenele divizate cu diferene finite n forma Newton a polinomului de interpolare:

0 1 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ( 1) )

( 1) ( 1)k

k

x x x x x t h x x t h x k h

h t t t k

20 0 0 0

0

0

( 1)( ) ( ) ( ) ( )2

( 1) ( 1)( )!

( 1) ( 1)( )!

n n

k

n

t tl x l x th y f x t f x

t t t kf xk

t t t nf xn

72

Aceast relaie poart numele de formula lui Newton progresiv pe noduri echidistante. Considerm polinomul de interpolare Lagrange pe nodurile n ordine invers 1 0{ , , ..., }n nx x x :

1 1 2 1

1 0 1 0

( ) , ( ) , , ( )( )

, , ..., ( )( ) ( )

n n n n n n n n n nf f

n n n nf

l x y x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

Dac punctul de interpolare este de forma:

nx x th analog ca mai sus obine formula lui Newton regresiv pe noduri echidistante:

73

2

1 2

0

( 1)( ) ( ) ( ) ( )2

( 1) ( 1)( )!

( 1) ( 1)( )!

n n n n n n

kn k

n

t tl x l x th y f x t f x

t t t kf xk

t t t nf xn