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Calcule Juros, Descontos e Prestaes
COLEO
Como usar a matemtica financeira
GESTO EMPRESARIALEficincia e Sucesso para seus Negcios
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SUMRIO
Apresentao ............................................................................. 5
Captulo 1Tempo dinheiro ....................................................................... 6
Captulo 2Planejamento financeiro ........................................................... 26
Captulo 3Valor dos fluxos no tempo ....................................................... 30
Captulo 4Juros simples e compostos ..................................................... 60
Captulo 5Estudo de casos prticos ........................................................ 78
Captulo 6Mundo de possibilidades ......................................................... 84
Sobre o autor ........................................................................... 94Referncias .............................................................................. 95
a
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Coleo Gesto EmpresarialComo motivar sua equipe Publicado
Como garantir a eficincia Publicado
Como deixar as contas em dia Publicado
Como cuidar de seu dinheiro Publicado
Como gerenciar pessoas Publicado
Como vender seu peixe Publicado
Como planejar o prximo passo Publicado
Como entender o mercado Publicado
Como usar a matemtica financeira Publicado
Como ser um empreendedor de sucesso Prximo
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APRESENTAO
Ter um mnimo de conhecimento sobre matemtica financeira
imprescindvel a qualquer empreendedor. A diferena entre fazer
bons e maus negcios pode residir justamente na capacidade de
interpretar as informaes que o mercado oferece e, dentre tantos
caminhos a escolher, optar pelo melhor para sua empresa.
Como usar a matemtica financeira Calcule Juros,
Descontos e Prestaes traduz um universo que permeia os
negcios, mas que muita gente considera difcil ou mesmo
intransponvel. Aqui voc vai encontrar a sntese do que h de
mais importante no universo da matemtica financeira.
Tudo de uma forma clara, com uma linguagem simples e, ao
mesmo tempo, envolvente.
A Coleo Gesto Empresarial foi especialmente desenvolvida
para auxili-lo a aprimorar a gesto de seus negcios. Elaborados
e supervisionados por especialistas, os livros visam proporcionar
conhecimento em Finanas, Contabilidade, Marketing, Recursos
Humanos, Planejamento Estratgico e em muitos outros temas
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TEMPO DINHEIRO
Qual a funo dos juros na
economia? Por que o valor do
dinheiro muda com o tempo?
Como a empresa pode tirar
proveito da taxa de juros?
1
6
Ateno, leitores-passageiros:
apertem os cintos, porque vamos
entrar na mquina do tempo do
mundo financeiro.
Pode parecer brincadeira, mas no
. De fato, a matemtica nos per-
mite participar de uma dimenso
mgica, extrapolar as barreiras
do mundo real e viajar no univer-
so das possibilidades, no qual a
criatividade e a imaginao no
encontram fronteiras.
Esse mecanismo pode parecer, em
princpio, um tanto abstrato e
irreal, desconectado do dia-a-dia.
Porm, uma ferramenta funda-
mental para analisar, por diversos
pontos de vista, o cotidiano finan-
ceiro e principalmente pegar
uma carona na mquina do
tempo da matemtica com o obje-
tivo de planejar a vida financeira
futura tanto de uma empresa
como de um indivduo.
Neste momento, voc deve estar
se perguntando: Qual a relao
entre essa histria aparentemente
fantasiosa com o tema central
deste livro?.
Resposta: tudo. Na realidade, a
relao entre o mundo imaginrio
da matemtica e o estudo da
matemtica financeira funda-
mental para a anlise de como o
dinheiro se comporta com o trans-
correr do tempo.
A relao entre o mundoimaginrio da matemtica e o estudo da matemticafinanceira fundamentalpara a anlise de como odinheiro se comporta com otranscorrer do tempo.
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7J sei, agora voc deve estar pen-
sando: Xiii... Complicou de vez.
Quer dizer que o dinheiro muda
de comportamento com o passar
do tempo?.
Taxa de juros
Antes que voc tenha mais dvi-
das, vamos entender o porqu da
frase Tempo dinheiro.
Para isso, primeiramente devemos
compreender o conceito de taxa
de juros. Como sabemos, o juro
tem papel preponderante no
equilbrio do mundo financeiro,
uma vez que representa o elo
entre os indivduos que tm
dinheiro disposio e aqueles
que no o possuem e precisam
dele para determinado fim.
Em outras palavras, os juros repre-
sentam o corao do custo do
capital ou do custo do dinheiro.
Desde os primrdios, a essncia
do conceito do custo do capital
reside na noo de que o dinheiro
assim como qualquer mercado-
ria apresenta determinado valor.
Esse valor ser expresso pelo
resultado entre uma negociao
daqueles que possuem o capital
disponvel com aqueles que neces-
sitam do mesmo capital para o
fim determinado da decorre a
queda-de-brao entre a oferta e a
demanda de dinheiro.
livro09_06-25 03.09.06 17:46 Page 7
8Taxa de uso
O indivduo que dispe do dinhei-
ro pode emprest-lo quele que
no o possui. Para isso, ter de se
privar dele por determinado
tempo. Ou seja, o detentor do
dinheiro ficar momentaneamente
sem o valor emprestado.
Como precisa se privar por um
tempo de algo que lhe pertence, o
proprietrio do capital obviamen-
te ir cobrar uma taxa pelo uso do
valor emprestado daquele que for
us-lo, como se fosse um aluguel.
Custo do dinheiro
Essa taxa exatamente o custo
do dinheiro no tempo. Seu valor
deve variar de acordo com dois
fatores essenciais:
O tempo em que o capital
for disponibilizado.
O risco de o devedor perder o
capital e no conseguir devolv-lo.
De modo similar, o indivduo que
no possui dinheiro e necessita de
certa quantia para determinado
fim imediato deve estar disposto
a pagar um prmio a quem lhe
emprestar os recursos naquele
momento to importante. Com o
dinheiro emprestado, ele poder
realizar seus planos, como com-
prar um imvel, abrir uma empre-
sa, pagar dvidas etc.
Recursos na hora
Pode-se concluir, portanto, que
o dinheiro disposio instanta-
neamente vale um prmio.
E, estendendo o raciocnio, quan-
to mais tempo esse mesmo
dinheiro estiver a sua disposio,
maior ser o prmio ou o aluguel
por seu uso.
Torna-se evidente tambm que o
dinheiro disposio amanh no
Um emprstimo futuro no to importante quanto umemprstimo obtido na hora.Ou seja, quem precisa dedinheiro paga um prmiopara no ter de esperar otempo passar.
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9tem o mesmo valor que o dinhei-
ro disposio hoje.
Para quem necessita de recursos,
um emprstimo futuro no to
importante quanto um emprsti-
mo obtido na hora. Ou seja, quem
precisa de dinheiro paga um pr-
mio para no ter de esperar o
tempo passar.
Por sua vez, aquele que empresta
determinado valor tambm ir
cobrar por ter de ficar sem dinhei-
ro por tanto tempo.
Exemplo
Meire descobriu que seu vizinho
Roberto estava vendendo o carro
usado dele na data de hoje, porque
necessitava pagar urgentemente
uma dvida no valor de 25 mil reais
a vencer hoje mesmo no banco.
Era de conhecimento de todos
que Meire queria justamente com-
prar um automvel. To logo
soube da histria, ela no perdeu
tempo. Ligou para sua prima
Ftima que, por sua vez, tinha
acabado de receber uma herana.
Meire, ento, explicou prima
que necessitava pedir emprestado
o dinheiro para comprar o veculo.
Ftima no ia mesmo precisar do
valor da herana que havia ganha-
do inesperadamente. Porm, ela
imaginou que, em vez de empres-
tar o dinheiro a Meire, poderia
finalmente realizar o sonho de
viajar com a famlia para Fortaleza
e visitar os parentes.
Assim, Ftima telefonou para
Meire e explicou-lhe o desconfor-
to em emprestar o dinheiro e a
inteno de utiliz-lo para viajar.
Meire contra-argumentou, dizen-
do que, se ela no comprasse o
carro naquele momento, Roberto
venderia a outra pessoa.
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10
As duas primas, ento, estabelece-
ram um acordo: Meire ofereceu
a Ftima 27 mil reais a serem
pagos no prazo de um ms em
troca do emprstimo naquela
data de 25 mil reais.
Ftima aceitou a oferta, porque,
apesar de ter de esperar um ms
para realizar a viagem dos sonhos,
ela poderia, com o dinheiro extra
de 2 mil reais, renovar o guarda-
roupa e comprar presentes para a
famlia e a prima.
Vantagem mtua
Tanto para Meire como para
Ftima, 25 mil reais hoje equiva-
lem a 27 mil reais ao final de um
ms. De um lado, Meire mostrou-
se disposta a pagar um prmio de
2 mil reais para ter o dinheiro dis-
ponvel no ato e poder devolv-lo
apenas em 30 dias.
De outro, Ftima se satisfez com
um aluguel de 2 mil reais para
compensar o desprazer de adiar
sua viagem.
Concluso
Percebe-se pelo exemplo acima que
o passaporte para essa viagem
no tempo expresso pela quantia
de 2 mil reais a serem pagos por
Meire a Ftima ao fim de um ms.
Esse foi o preo estabelecido em
comum acordo para que ambas
pudessem ultrapassar a barreira do
tempo satisfeitas.
Os 2 mil reais representam o custo
do capital ou os juros da operao.
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O raciocnio demonstra que a dis-
ponibilidade de 25 mil reais hoje
equivale disponibilidade de 27
mil reais dentro de determinado
tempo de acordo com as necessi-
dades dos participantes desse
mercado restrito.
Muito bem. Deu para entender
porque tempo dinheiro, uma vez
que o valor do dinheiro muda con-
forme sua disponibilidade com o
decorrer do tempo.
Mas, espere um pouco... Por que,
ento, as taxas de juros tambm
mudam de uma hora para outra?
Juros de mercado
At o momento, vimos que os
juros correspondem ao custo
cobrado para dispor de dinheiro
por determinado tempo. Tambm
aprendemos que o valor da taxa
de juros depende da quantidade
de tempo e do risco de no paga-
mento do emprstimo.
1. Efeito do tempo
O primeiro componente dessa
equao, o tempo, uma medida
relativa que afeta as pessoas de
forma diferente, conforme suas
demandas financeiras.
Uns necessitam de dinheiro hoje,
outros amanh; alguns vo preci-
sar de recursos daqui um ano,
enquanto outros so superavit-
rios, cujas necessidades de caixa
esto supridas por toda a vida.
O primeiro componentedessa equao, o tempo, uma medida relativa que afeta as pessoas deforma diferente.
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Oferta e necessidade
Com o passar do tempo, essas
caractersticas de oferta e necessi-
dade de dinheiro iro afetar pes-
soas fsicas e jurdicas, fundos de
investimentos, empresas e gover-
nos de cidades, estados e pases.
Esse conjunto de indivduos, dis-
postos a emprestar dinheiro ou a
tom-lo emprestado, espalham-se
pelo mundo e compem o merca-
do financeiro internacional. Desse
modo, o resultado da soma dos
indivduos credores e devedores
ao longo do tempo, conseqente-
mente, ir afetar o valor das taxas
de juros nos diversos mercados
financeiros internacionais.
Sobe e desce dos juros
Acompanhe o raciocnio: se a
quantidade de indivduos interes-
sados em tomar dinheiro empres-
tado for maior do que a de inte-
ressados em emprestar, qual ser a
tendncia das taxas de juros?
Dica: lembre que as taxas repre-
sentam o preo do aluguel do
dinheiro por determinado tempo.
Ento, se voc respondeu que a
tendncia das taxas de juros
subir, acertou!
Afinal, pela lei da oferta e da
demanda, com mais pessoas inte-
ressadas em emprstimos, ocorre
aumento das taxas de juros.
Com o mesmo raciocnio, fcil
compreender o efeito inverso.
Ou seja, quando existem mais
indivduos superavitrios, dispos-
tos a emprestar, do que indivduos
deficitrios, carentes de recursos,
h reduo nas taxas de juros.
Lei de mercado
Quer dizer que as taxas de juros
so ditadas pelo mercado e pela
oferta e necessidade de dinheiro
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disponvel? Ento, por que leio no
jornal que o Banco Central do
Brasil definiu as taxas de juros
bsicas da economia? Quem, afi-
nal, determina essas taxas: o
governo ou o mercado?
Na realidade, o mercado sempre
ser soberano. A oferta e necessi-
dade de dinheiro de todos os par-
ticipantes do mercado financeiro
mundial iro afetar o valor das
taxas de juros em qualquer pas.
Em muitos casos do passado,
alguns Bancos Centrais de pases
como Inglaterra, Coria do Sul,
Indonsia, Argentina, Rssia,
Mxico e at do Brasil tentaram
conduzir as taxas de juros em dire-
o oposta das tendncias apre-
sentadas pelos mercados.
O resultado dessa medida foi a
deflagrao de ataques especulati-
vos de investidores internacionais
com graves conseqncias para a
estabilidade econmica desses pa-
ses. Muitas vezes, os governos
foram forados a desvalorizar suas
moedas ao mesmo tempo em que
a economia entrou em recesso,
entre outros fatores negativos.
Funo do Banco Central
Os Bancos Centrais (BCs) represen-
tam o rgo regulador e fiscaliza-
dor dos mercados financeiros de
seus respectivos pases e tambm
atuam no mercado de ttulos
pblicos e de moedas.
Com o decorrer do tempo, os BCs
passaram a utilizar as leis do mer-
cado e suas tendncias para orien-
tar a economia de acordo com a
estratgia da poltica econmica
adotada por qualquer pas.
Qual a tcnica utilizada pelos
BCs? Os Bancos Centrais e o
Tesouro Nacional so os respons-
veis pela emisso e negociao
dos papis (ttulos de investimen-
to) representativos da dvida
pblica de cada pas.
Os Bancos Centrais (BCs)representam o rgo regulador e fiscalizador dosmercados financeiros deseus respectivos pases.
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Definio da taxa de juros
Veja, passo a passo, como o Banco
Central define a taxa de juros:
1. O governo federal precisa de
recursos para financiar o pagamento
das dvidas passadas e dos gastos
pblicos correntes e que so supe-
riores arrecadao de impostos.
2. Para isso, emite papis de dvida
para indivduos presentes
na economia.
3. Esses indivduos esto dispostos a
emprestar ao governo em troca do
pagamento de certo juro.
4. exatamente esse juro que
definido pelo Banco Central.
Menos dinheiro em circulao
Agora, acompanhe o procedimento
para retirar dinheiro de circulao a
fim de desaquecer o nvel de ativi-
dade econmica:
1. O governo oferece uma taxa de
juros para a remunerao dos papis
de sua dvida superior praticada
no mercado naquele momento com
a finalidade de diminuir a quantida-
de de dinheiro em circulao.
2. Com essa medida, boa parte dos
indivduos com recursos disponveis
optam por emprestar dinheiro ao
governo em vez de emprest-lo a
terceiros ou mesmo a gast-lo.
3. Desse modo, o dinheiro sai de
circulao e passa para os cofres
do governo.
4. Como resultado, provoca reduo
na atividade econmica.
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Mais dinheiro em circulao
De modo inverso, facilmente
compreensvel a atuao do
governo no intuito de aumentar
a quantidade de dinheiro em
circulao e, conseqentemente,
aquecer a economia.
1. O governo oferece uma taxa de
juros para a remunerao dos
papis de sua dvida inferior pra-
ticada no mercado com o objetivo
de elevar a quantidade de dinhei-
ro em circulao.
2. Com essa medida, os indivduos
que possuem papis do governo
percebem o momento vantajoso
para vend-los.
3. A venda de papis transforma
os recursos de cada indivduo em
dinheiro disponvel para ele
mesmo gastar ou, ento, empres-
tar a terceiros.
4. Desse modo, o dinheiro entra
em circulao e aquece a ativida-
de econmica.
2. Efeito do risco de crdito
O segundo componente da equa-
o dos juros o risco de crdito,
ou seja, a possibilidade de o deve-
dor no pagar o emprstimo.
Esse fator varia de indivduo para
indivduo, dependendo da caracte-
rstica financeira, do moral de
cada devedor e, eventualmente,
de fatores externos ao devedor
como riscos de fora maior e
risco soberano.
Os juros de mercado seriam,
ento, uma mdia entre a oferta e
a procura por dinheiro e crdito,
apresentada por todos os partici-
pantes do mercado financeiro,
adicionada ao fator de risco de
crdito mdio do mercado?
O segundo componente da equao dos juros o risco de crdito, ou seja, a possibilidade de o devedor no pagar oemprstimo. Esse fator varia de indivduo para indivduo.
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Vo para a qualidade
Na verdade, um fator conse-
qncia do outro: se o risco de
crdito de mercado for baixo,
haver mais indivduos dispostos a
emprestar, aumentando a oferta
de crdito; por outro lado, se o
risco se elevar em virtude de um
efeito macroeconmico qualquer,
os indivduos dispostos a empres-
tar iro se retrair e no mais
emprestaro dinheiro, preferindo
destinar seu capital a formas mais
seguras de investimento.
Esse movimento conhecido no
mercado internacional como flight
to quality, que significa vo para
a qualidade.
Tempo e operaes
O que os efeitos do tempo e do
risco de crdito tm a ver com a
matemtica financeira?
Basicamente tudo. de funda-
mental importncia ter clareza do
conceito das taxas de juros prati-
cadas pelo mercado.
Afinal, as taxas de juros afetam
diretamente o valor do dinheiro
no tempo e a viso de como inter-
pretamos operaes financeiras
realizadas e a realizar.
Para isso, vamos analisar a seguir
duas situaes:
Como mudanas nas taxas de
juros afetam o valor do dinheiro
no tempo
Como avaliar operaes realiza-
das e a realizar
Como mudanas nas taxas de juros
afetam o valor do dinheiro no tempo
Antes que voc comece a pensar
que tudo est complicado demais,
vamos s prerrogativas do ttulo
acima. Primeira: os juros mudam.
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17
Segunda: o valor da disponibilida-
de de dinheiro com o passar do
tempo muda.
Quer dizer que o valor do dinhei-
ro, alm de depender do tempo,
tambm depende das mudanas
nas taxas de juros?
Exatamente! Com base no exem-
plo das primas Meire e Ftima,
acrescido de novos acontecimen-
tos, vamos desvendar essa relao.
At o momento em que havamos
acompanhado a histria, Ftima
tinha emprestado 25 mil reais a
Meire para que esta pudesse com-
prar o carro de Roberto. Em troca,
Meire se comprometeu a devolver
o dinheiro em um ms acrescido
de 2 mil reais.
Pois bem. Meire, porm, estava
contando com o pagamento de
um emprstimo que ela havia
feito a Jnior, que tambm vencia
no fim do ms, para pagar sua
prima Ftima.
Precavida, Meire perguntou ante-
cipadamente a Jnior se o paga-
mento dele seria realizado na
data combinada. Jnior desconver-
sou e tentou adiar o pagamento
para o ms seguinte, justificando
imprevistos e coisa e tal...
E agora? Meire ficou preocupada,
porque ela prezava muito sua
prima e no deixaria de fazer o
pagamento de 27 mil reais.
Dentre as alternativas, Meire pen-
sou em recorrer ao banco, cuja
gerente Isadora era sua amiga. A
idia era contrair um emprstimo
para levantar recursos que seriam
destinados quitao de sua dvi-
da com Ftima.
Aparentemente seria a soluo
ideal, uma vez que o emprstimo
junto ao banco seria quitado no
prximo ms, assim que Jnior
finalmente quitasse sua dvida
com Meire.
Mas a situao iria ficar um pouco
mais enrolada...
Quer dizer que o valor dodinheiro, alm de dependerdo tempo, tambm dependedas mudanas nas taxas dejuros? Exatamente!
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18
Proposta de emprstimo bancrio
O banco enumerava diversas
demandas por emprstimos de
vrios clientes. A gerente Isadora
realizou a devida anlise de crdito
da situao de Meire e descobriu
que sua capacidade de pagamento
dependia da quitao do emprsti-
mo feito a Jnior, indivduo que j
era bastante conhecido na praa
como mau pagador.
Ao avaliar a situao, Isadora con-
cluiu que o emprstimo a Meire
envolvia um certo risco de crdito,
ou seja, o no pagamento.
Combinado escassez de recursos
disponveis no banco, em virtude
da concorrncia das ofertas de
emprstimos de outros clientes, a
gerente apresentou a seguinte pro-
posta a Meire: o banco emprestaria
os 27 mil reais solicitados desde
que Meire se comprometesse a
pagar 30 mil reais ao banco no
prazo de um ms.
Vamos comparar as situaes apre-
sentadas a Meire at agora:
Exemplo 1 Exemplo 2
Perodo da operao Primeiro ms Segundo ms
Devedor Meire Meire
Credor Ftima Banco
Prazo do emprstimo 1 ms 1 ms
Valor do emprstimo R$ 25.000,00 R$ 27.000,00
Juro do emprstimo R$ 2.000,00 R$ 3.000,00
Valor do juro como percentual do emprstimo
8% 11%
Valor de quitao aps um ms R$ 27.000,00 R$ 30.000,00
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19
Anlise da situao
Como podemos perceber na com-
parao entre os exemplos 1 e 2, a
situao de Meire se complicou
bastante. No primeiro ms, ela ir
pagar 27 mil reais, 2 mil reais rela-
tivos aos juros cobrados sobre 25
mil reais, equivalentes ao perodo
de um ms, o que corresponde a
8% do valor emprestado.
J no segundo ms, o valor devido
aumentou para 30 mil reais. Nesse
caso, ela ir pagar 3 mil reais de
juros pelo uso do emprstimo de
27 mil reais por um perodo de um
ms. Notamos que o juro corres-
ponde a aproximadamente 11% do
valor emprestado.
Dois eventos importantes
Note a ocorrncia de dois eventos
relevantes na operao financeira:
1. A taxa de juros para o emprsti-
mo subiu proporcionalmente de
um perodo para outro: 8% no
primeiro ms e 11% no segundo.
A taxa foi afetada pela maior
demanda por emprstimos na eco-
nomia e pelo aumento do risco de
crdito da operao.
2. A importncia do tempo sobre o
valor da disponibilidade de dinhei-
ro mudou. No primeiro exemplo,
os investidores, representados por
Ftima, satisfaziam-se com um juro
correspondente a 8% do valor
emprestado para se privar dos
recursos pelo perodo de um ms.
J no segundo exemplo, os investi-
dores, representados pelo banco,
requerem juro de 11% para satisfa-
zer o desprazer causado pela priva-
o de dinheiro ao longo do
mesmo perodo de um ms.
A taxa de juros para oemprstimo subiu proporcionalmente de umperodo para outro: 8% no primeiro ms e 11% nosegundo. A taxa foi afetadapela maior demanda poremprstimos na economia epelo aumento do risco de crdito da operao.
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20
Dinheiro no tempo
Perceba que mudou a equivalncia
do dinheiro no tempo. No primeiro
exemplo, 25 mil reais disponveis
hoje equivaliam a 27 mil reais em
um ms. Ou seja, a viagem no
tempo custa 8% do valor empres-
tado. J no segundo exemplo, ima-
ginando que transcorreu um ms e
o dia de pagar a Ftima hoje, 27
mil reais hoje, disponveis para qui-
tar o emprstimo adquirido com
Ftima, equivalem a 30 mil reais
aps um ms, demonstrando que a
viagem no tempo por um ms
aumentou seu custo para 11%.
Para ficar mais clara a diferena,
vamos assumir um novo exemplo
em que os emprstimos adquiridos
so iguais: 25 mil reais no primeiro
ms e 25 mil reais no segundo ms.
Se o juro do primeiro emprstimo
de 8% ou 2 mil reais, o juro do
segundo emprstimo, se este tam-
bm for de 25 mil reais, ser de
11% ou 2,75 mil reais.
Desse modo, a equivalncia do
dinheiro no tempo por um perodo
de um ms seria:
1. R$ 25.000,00 hoje = R$ 27.000,00
aps um ms
Viagem no tempo = R$ 2.000,00
2. R$ 25.000,00 hoje = R$ 27.750,00
aps um ms
Viagem no tempo = R$ 2.750,00
Concluso
Tempo vale dinheiro. O valor do
tempo muda com o risco de crdito
e com a oferta de demanda por
recursos, modificando tambm o
valor do dinheiro com o tempo.
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21
Como avaliar operaes realizadas
e a realizar
Como analisamos no exemplo ante-
rior, as taxas de juros variam ao
longo do tempo. Tanto o investidor
quanto o devedor devem estar
atentos a essas variaes porque
elas afetam a situao financeira.
Aps efetuada uma operao
financeira, cujas variveis esto ple-
namente pactuadas o valor do
emprstimo, os juros a serem
cobrados, o prazo do emprstimo e
o valor a ser pago na quitao ,
percebemos que as oscilaes das
condies de mercado e principal-
mente das taxas de juros praticadas
na economia podem afetar direta-
mente as operaes em andamento
e mesmo as j pactuadas.
Empresas, profissionais e a prpria
legislao contbil de bancos e ins-
tituies financeiras obrigam as ins-
tituies a reconhecerem em seus
relatrios financeiros os impactos
proporcionados por perdas e
ganhos causados pelas oscilaes
nas condies de mercado sobre
operaes j pactuadas ou em
andamento. Esse o efeito do
custo de oportunidade.
Para entender os efeitos do custo
de oportunidade ou as oscilaes
de mercado sobre operaes reali-
zadas e a realizar , vamos verificar
o seguinte exemplo:
Negociao de uma operao antes
do vencimento
Denise, Carol e Cristina decidiram
formar uma cooperativa de costu-
reiras. Para bancar os investimentos
iniciais, precisavam de um emprs-
timo de 100 mil reais.
Depois de serem muito bem aten-
didas no banco Dinheirinho Amigo,
dos banqueiros Eduardo e Roberto,
as trs costureiras acabaram por
contrair o emprstimo.
As oscilaes das condiesde mercado e principalmentedas taxas de juros praticadasna economia podem afetardiretamente as operaes em andamento e mesmo asj pactuadas.
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22
O emprstimo foi firmado por
meio de um ttulo de crdito para
pagamento em dois anos, com a
condio de pagarem 10 mil reais
de juros ao ano e de quitarem o
emprstimo no final do perodo.
Assim, os juros da operao corres-
pondem a 10% do emprstimo a
ser pago anualmente at a quita-
o do valor emprestado.
Passado o primeiro ano, a coopera-
tiva j havia pago os juros de 10
mil reais correspondentes ao pri-
meiro perodo. Porm, o banco
Dinheirinho Amigo apresentava
grave falta de caixa para pagar
seus funcionrios e suas contas em
virtude da falta de pagamentos de
outros clientes.
Hbeis negociadores, os banquei-
ros Eduardo e Roberto analisaram
a situao e traaram uma estrat-
gia para fazer caixa rapidamente.
Decidiram vender os ttulos de cr-
dito do emprstimo que tinham
feito cooperativa para o banco
Vem Que Tem.
Uma vez de posse desse ttulo de
crdito, o Vem Que Tem poderia
receber da cooperativa os 100 mil
reais e mais os juros de 10 mil reais
correspondentes ao perodo de um
ano restante para o vencimento da
operao original.
No entanto, as coisas no so to
simples assim...
No momento da operao de
venda dos crditos do banco
Dinheirinho Amigo ao banco Vem
Que Tem, as condies financeiras
do mercado haviam mudado.
Todos os emprstimos do mercado
estavam sendo realizados com a
utilizao de juros de 20% para um
perodo de um ano.
A mudana nas taxas dejuros no mercado causou um prejuzo ao bancoDinheirinho Amigo, que acabou recebendo em um ano88 mil reais pela venda dottulo, acrescidos dos jurospagos no primeiro ano de 10mil reais, totalizando 98 milreais, valor inferior aos 100mil reais emprestados.
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23
Prejuzo vista
Portanto, o banco Vem Que Tem
teve de analisar com cautela o ttu-
lo que estava comprando. De acor-
do com o contrato, aquele ttulo
dava direito ao recebimento de
100 mil reais referentes ao emprs-
timo e 10 mil reais de juros da coo-
perativa de costureiras. Ou seja,
receber 110 mil reais em um pero-
do de um ano.
Porm, o valor da disponibilidade
do dinheiro para um emprstimo
de um ano de 20%, e o banco
Vem Que Tem s realizaria essa
operao se tivesse um lucro de
20% no perodo.
Caso o retorno dessa operao seja
inferior, a melhor alternativa ser
emprestar a outra empresa no mer-
cado recebendo os juros de 20%
que todos os participantes esto
dispostos a pagar.
Para que o banco Vem Que Tem
tenha um ganho de 20% compran-
do um ttulo que garanta o paga-
mento de 110 mil reais no final de
um ano, ele dever pagar hoje o
equivalente a:
R$ 110.000,00 20% =
R$ 110.000,00 22.000,00 =
R$ 88.000,00, aproximadamente.
Nos prximos captulos, ao estudar
as frmulas de clculo de juros
compostos e simples, notaremos
exatamente como incorporar o
efeito dos juros acumulados numa
operao como essa.
Por hora, percebemos que a
mudana nas taxas de juros no
mercado causou um prejuzo ao
banco Dinheirinho Amigo, que aca-
bou recebendo em um ano 88 mil
reais pela venda do ttulo, acresci-
dos dos juros pagos no primeiro
ano de 10 mil reais, totalizando 98
mil reais, valor inferior aos 100 mil
reais emprestados no incio do ano
cooperativa.
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24
Reduo das taxas de juros
Agora, vamos imaginar a situao
em que as taxas de juros de
mercado apresentam reduo.
Nesse caso, a cooperativa de cos-
tureiras realizou o emprstimo
de 100 mil reais com juros de
10 mil reais pagos anualmente
por um perodo de dois anos e o
pagamento do emprstimo no
final do perodo.
Suponha que, passado um ano,
os juros praticados pela economia
caram para 5% pagos ao ano. Nessa
situao, as costureiras se pergun-
tam qual a melhor alternativa?
O consultor de investimentos
Eduardo avaliou o cenrio e fez
uma recomendao s costureiras:
Se os juros correspondem a
5% do valor emprestado, um
emprstimo de 100 mil reais cor-
responderia ao pagamento de um
juro de 5 mil reais ao ano.
Portanto, a melhor alternativa
renegociar com o banco, pro-
pondo o pagamento antecipado
do emprstimo.
As costureiras perguntaram:
Onde arrumaremos o dinheiro
para o pagamento antecipado
do emprstimo?
A melhor alternativa, no momento,
seria levantar novo emprstimo
com o banco Vem que Tem no
valor de 100 mil reais por um
perodo de um ano, mas agora com
juros de 5 mil reais ao ano.
Vamos analisar a situao, compa-
rando-a situao original:
Situao original
Emprstimo: R$ 100.000,00
Prazo: 2 anos
Juros: R$ 10.000,00 (primeiro ano)
+ R$ 10.000,00 (segundo ano)
Juro equivalente: 10% ao ano
Nova situao
Emprstimo: R$ 100.000,00
Prazo: 2 anos
Juros: R$ 10.000,00 (primeiro ano)
+ R$ 5.000,00 (segundo ano)
Juro equivalente: 10% no primeiro
ano e 5% no segundo ano
livro09_06-25 03.09.06 17:46 Page 24
25
O que voc viu no captulo 1
> O conceito de taxa de juros e seu com-portamento no mercado financeiro.1
> Os efeitos do tempo e do risco de cr-dito na taxa de juros.2
> Como ocorre a mudana de valor dodinheiro no tempo.3
> A importncia de ficar atento aoimpacto das mudanas na taxa de juros.4
Mdia do juro pago ao ano: 7,5%
pago por ano nos dois anos.
O clculo aproximado da mdia ,
por hora, meramente ilustrativo.
Nos prximos captulos, iremos
aprender a calcul-la utilizando os
conceitos dos juros compostos.
Na situao original, pagou-se um
juro de 10% do valor do emprsti-
mo a cada ano. Com a reduo das
taxas de juros do mercado e a pol-
tica de renegociao utilizada pela
cooperativa, podem-se reduzir os
encargos financeiros da empresa
para uma mdia no perodo de
dois anos de 7,5% ao ano.
Concluso
As empresas devem ser conservado-
ras e calcular o impacto das
mudanas da taxa de juros sobre as
operaes j realizadas. Em
momentos inesperados, tero de
vender ttulos a receber ou, em
momentos oportunos, podero
pagar dvidas em andamento.
livro09_06-25 03.09.06 17:46 Page 25
PLANEJAMENTO FINANCEIRO
De que modo a matemtica
financeira pode me auxiliar
no planejamento do uso do
dinheiro na vida pessoal e
na empresa?
2
26
Agora que demos os primeiros pas-
sos, hora de saber que matemtica
financeira o campo das finanas
que utiliza ferramentas da matem-
tica para interpretar as relaes
entre os componentes do mundo
financeiro. Ou seja, a matemtica
procura explicar de modo prtico e
exato situaes da vida financeira.
Valor principal e juros
Vamos conhecer os principais obje-
tos da vida financeira estudados
pela matemtica.
O corao da matemtica financei-
ra se baseia na relao entre o
valor principal e os juros que sero
apropriados ao principal.
Como os juros influenciam o
valor principal?
Valor principal
O valor principal o marco
zero de qualquer operao ou
situao financeira.
Entre outros, pode ser:
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27
O preo de um produto a
ser adquirido.
O valor de uma dvida a ser
paga em um perodo futuro.
O saldo de recursos disponveis
no caixa da empresa ou na conta
corrente de uma pessoa fsica.
O estudo da matemtica financei-
ra est baseado na anlise de
como podemos interpretar o valor
principal e o respectivo impacto
dos juros sobre esse valor.
Juros
Matematicamente, os juros corres-
pondem a uma frao do valor
principal expressa de forma per-
centual do valor principal.
Podem ser adicionados ou deduzi-
dos do valor principal na forma
de desconto.
Exemplo 1
Se a empresria Andria tem uma
dvida de 100 reais e os juros cor-
respondentes dessa dvida so de
15%, o valor monetrio dos juros
de 15 reais.
Principal: R$ 100,00
Juros: 15%
R$ 100,00 x 0,15 = R$ 15,00
Os 100 reais so multiplicados por
0,15, que corresponde a 15% de 1
inteiro. Ou seja, a frao 15/100
de 100 reais.
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28
Exemplo 2
Imagine que a empresria Maria
Anita pretenda pr venda um
vestido por 90 reais com desconto
de 10% para pagamento em
dinheiro. Qual o valor do vestido
com desconto?
Principal: R$ 90,00
Juros: 10% (desconto)
Se 100% corresponde totalidade
ou a um nmero inteiro, 10% de 1
corresponde a 0,1. Portanto:
1 10% = 1 0,1 = 0,9
Dessa forma, 0,9 corresponde a
1 inteiro menos 10%.
Assim, em termos percentuais,
quando se multiplica qualquer
nmero por 0,9, significa o mesmo
que retirar 10% desse nmero.
Concluso: o valor principal corres-
ponde a um nmero inteiro.
J os juros (ou descontos) corres-
pondem a um valor percentual
desse nmero.
Valor com desconto:
R$ 90,00 10% = R$ 90,00 x 0,9 =
R$ 81,00
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29
Qual o valor do desconto no exem-
plo anterior?
Valor principal = R$ 90,00
Juros = 10%
Se 10% de 90 reais igual a:
R$ 90,00 x 0,9 = R$ 9,00
Como os juros so negativos, tem-
se um valor monetrio para os
juros de R$ 9,00, que equivalen-
te a um desconto de 9 reais.
O que voc viu no captulo 2
> A relao entre valor principal e juroscomo base da matemtica financeira.1
> As definies de valor principal e jurose sua aplicao prtica.2
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VALOR DOS FLUXOS NO TEMPO
Qual a mgica da venda com
taxa de juros zero? Como
calcular o valor presente, as
prestaes e o valor futuro?
Como descobrir o juro real?
3
30
A interpretao de qualquer ope-
rao financeira com o objetivo de
avaliar o dinheiro no tempo leva
em considerao componentes
bsicos, os quais analisaremos
detalhadamente neste captulo.
Estrutura bsica
Como mostra o grfico abaixo, a
estrutura de qualquer fluxo de
recursos ao longo de um perodo
de tempo basicamente formada
pelos seguintes elementos:
Valor presente (VP).
Prestaes.
Valor futuro (VF).
Nmeros de perodos.
Taxa de juros.
Taxa interna de retorno.
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
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31
O que diz o diagrama
O grfico anterior mostra os com-
ponentes do fluxo de caixa, repre-
sentados conforme sua ordem cro-
nolgica de acontecimento.
O eixo vertical (representado pelo
smbolo $) indica o valor dos
recursos financeiros correspon-
dentes a cada fluxo.
O eixo horizontal (nmeros de
perodos) representa o tempo,
dividido em perodos que baseiam
toda a anlise do fluxo de recur-
sos a ser estudado.
O diagrama de fluxo de caixa
compe a base para o processo da
anlise da matemtica financeira.
utilizado para a avaliao dos
mais diversos processos, como de
projetos complexos, dos resulta-
dos consolidados de empresas ou
do resultado de um departamento
especfico, do lanamento de uma
linha de produto ou da aquisio
de bens, como mquinas e fbri-
cas, entre outros.
Portanto, qualquer operao
financeira que tome por base
uma troca de recursos financeiros
em perodos diferentes ao longo
do tempo pode ser representada
pelo diagrama de fluxo de caixa.
O diagrama de fluxo decaixa compe a base para o processo da anlise damatemtica financeira.
livro09_30-59 03.09.06 17:59 Page 31
32
Trs grupos
No diagrama tradicional completo,
os fluxos de recursos so represen-
tados por trs grupos bsicos, que,
por sua vez, podem assumir valores
positivos e negativos. So eles:
Valor presente.
Conjunto de pagamentos
e recebimentos.
Valor residual futuro, que indica
a concluso da operao.
A matemtica financeira, por meio
do diagrama financeiro, possibilita
utilizar instrumentos para viajar no
tempo e transportar os valores ao
longo dos grupos.
Por exemplo, a matemtica finan-
ceira permite descobrir o valor pre-
sente equivalente a um fluxo de
recurso que acontecer no futuro e
que inicialmente est representado
como valor residual ou futuro.
Tambm se pode saber o valor
equivalente no futuro da soma de
uma srie de pagamentos e recebi-
mentos que acontecem ao longo
da vida til do fluxo de caixa.
Ou seja, a representao inicial do
fluxo de caixa uma representao
grfica que orienta quando os flu-
xos de recursos acontecem na ope-
rao financeira analisada.
Tempo x dinheiro
Aps formatado o fluxo de caixa-
base, que representa a agenda real
do fluxo de caixa, o administrador
financeiro poder utilizar a mate-
mtica financeira para transportar
esses recursos ao longo do tempo.
Desse modo, o administrador
capaz de analis-los, considerando
a regra bsica de que tempo vale
dinheiro. Em outras palavras, o
valor do dinheiro disponvel varia
com o transcorrer do tempo.
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33
A partir de agora, vamos conhecer
em detalhes cada um dos princi-
pais componentes que integram o
tpico em questo:
Valor presente.
Prestaes.
Valor futuro.
Nmero de perodos.
Taxa de juros.
VVaalloorr pprreesseennttee ((VVPP))
Nesse caso, o que realmente
importa o dia de hoje, porque,
como afirmou Keynes, no longo
prazo, estaremos mortos.
O valor presente de um fluxo
financeiro representa o dia de
hoje, ou seja, o momento exato
em que a avaliao da operao,
do projeto ou da empresa reali-
zada. Pode corresponder a valores
positivos e negativos.
Com o valor presente, podem-se
encontrar os recursos recebidos ou
pagos no momento presente, bem
como os recursos recebidos ou
pagos no futuro, traduzidos pelos
respectivos valores equivalentes no
momento presente.
Exemplo
Para entender o valor presente,
vamos utilizar o exemplo da opera-
o de emprstimo de 25 mil reais
contrado por Meire com Ftima.
Do ponto de vista de Meire, a
representao grfica do fluxo de
caixa ser:
Observe que na operao acima o
valor presente (VP) do fluxo de
caixa representado pelo recebi-
mento de 25 mil reais, por parte de
Meire, referentes ao emprstimo
que equivale ao valor futuro (VF)
de 27 mil reais a serem pagos a
Ftima no futuro.
J, do ponto de vista de Ftima, o
diagrama do fluxo financeiro ser:
1 ms
VP R$ 25.000,00
VF R$ 27.000,00
VP R$ 25.000,00
VF R$ 27.000,00
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34
Da perspectiva de Ftima, o valor
presente do fluxo de caixa
negativo, uma vez que o recurso
do emprstimo saiu de seu caixa
para ser cedido a Meire e s
retornar no fim do ms, repre-
sentado pelo valor futuro equiva-
lente a 27 mil reais.
Tudo para o presente
De modo geral, os administradores
financeiros utilizam um padro
para avaliar qualquer fluxo de
caixa referente a uma operao
financeira. O padro baseia-se na
anlise do diagrama financeiro e
dos respectivos fluxos interpreta-
dos pelo valor equivalente desses
mesmos fluxos em valor presente.
Assim, o administrador financeiro
calcula o valor no momento pre-
sente equivalente a todos os movi-
mentos futuros do fluxo de caixa
da operao em anlise, utilizando
como base para o clculo a taxa de
juros de mercado praticada no
momento da anlise. Conforme
vimos no captulo 2, as alteraes
da taxa de juros de mercado
podem causar fortes impactos
sobre o fluxo de operaes realiza-
das e a realizar.
De posse do valor equivalente no
momento presente de todos os flu-
xos, positivos e negativos, o admi-
nistrador efetua a consolidao do
fluxo, subtraindo dos valores positi-
vos os valores negativos e concluin-
do a avaliao da operao com o
resultado da soma, chamada valor
presente lquido (VPL). O VPL
demonstra se o fluxo de entradas e
sadas ocorridas nos momentos pre-
sente e futuro, traduzidos por seus
valores equivalentes no presente,
resultam em fluxo de caixa positivo
ou negativo do ponto de vista de
quem avalia o projeto.
O VPL demonstra se o fluxo de entradas e sadas ocorridas nos momentos presente e futuro, traduzidospor seus valores equivalentesno presente, resultam emfluxo de caixa positivo ou negativo.
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35
Prestaes
No diagrama do fluxo de caixa,
visualizamos no segmento interme-
dirio um conjunto de fluxos carac-
terizados como pagamentos.
Esses pagamentos ou prestaes
podem representar valores positi-
vos ou negativos de acordo com o
ponto de vista daquele que efetua
a anlise da operao financeira.
Em alguns fluxos financeiros
como nos de compra de produtos
parcelados, financiamentos de im-
veis, carros, mquinas etc. , esses
fluxos so formatados e represen-
tados por valores idnticos, pagos
ou recebidos, em perodos idnti-
cos ao longo do tempo.
Prestaes infinitas
A matemtica financeira permite
calcular situaes inacreditveis
uma delas relacionada ao concei-
to de perpetuidade, em que o
diagrama do fluxo de caixa apre-
senta pagamentos ou prestaes
infinitas ao longo do tempo! Com
o mtodo de clculo da perpetui-
dade, possvel calcular o valor
equivalente no presente da soma
de todas essas prestaes infinitas.
importante lembrar que a ava-
liao das prestaes em um fluxo
de caixa est diretamente relacio-
nada freqncia dos perodos
em que esse fluxo de caixa com-
posto. Afinal, s ser possvel cal-
cular os valores equivalentes de
prestaes no presente ou em
determinado momento no futuro
quando as prestaes estiverem
organizadas conforme a freqn-
cia dos perodos que fundamenta
todo o movimento financeiro.
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36
Anlise de fluxo
Quando o diagrama do fluxo de
caixa se baseia em perodos mensais
para calcular a taxa de juros do pro-
jeto, bem como seu tempo de dura-
o, as prestaes devem ser organi-
zadas em meses ou mltiplos dessa
medida-base, como bimestres, tri-
mestres, semestres e ano, ou at
mesmo em fraes ideais de um
ms, como quinzenas (1/2 de um
ms), semanas (1/4 de um ms) e
dias (1/30 de um ms). Se o diagra-
ma apresentar prestaes com valo-
res diferentes entre si e tambm fre-
qncia diferenciada de perodos,
esses fluxos devem ser analisados
individualmente, como se fosse um
fluxo individual ocorrido no futuro
ou um valor futuro por si prprio.
Valor futuro (VF)
Com a matemtica financeira, o
futuro est em nossas mos. Agora,
s marcar a data e iniciar a via-
gem no tempo!
As movimentaes financeiras de
uma operao, uma empresa ou um
projeto, entre outros, referentes a
entradas e sadas de caixa, podem
apresentar diversos valores corres-
pondentes a pagamentos e recebi-
mentos ocorridos no futuro.
Quando a matemtica financeira
trata de valor futuro, ela se refere a
um evento financeiro que ocorrer
em determinado momento que no
no passado. O valor futuro uma
data representativa para a operao
financeira correspondente a um
evento marcante para o fluxo.
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37
Por meio da matemtica financeira
e do mesmo modo que se sucede
com o valor presente, todos os flu-
xos de um projeto podem ser trans-
portados para seus valores equiva-
lentes em determinada data futu-
ra, que ir representar a avaliao
do valor futuro do projeto.
Na operao efetuada entre Meire
e Ftima, enquanto o valor presen-
te de 25 mil reais (positivo para
Meire e negativo para Ftima), o
valor futuro da operao de 27
mil reais (positivo para Ftima e
negativo para Meire).
Nmero de perodos
Como vimos, o nmero de perodos
de um diagrama do fluxo de caixa
faz parte da organizao funda-
mental que norteia todo o proces-
so de avaliao. A freqncia dos
perodos determina a cadncia do
fluxo, ou seja, quo longo ser o
horizonte de tempo.
Os perodos de um fluxo de caixa
representam a unidade bsica de
tempo. Pode ser organizada em
dias, meses, bimestres, anos, scu-
los etc. Fundamentalmente, porm,
o fluxo de recursos deve ser organi-
zado e estruturado em uma fre-
qncia-base de perodos ou em
seus respectivos mltiplos e fra-
es. Partindo-se da determinao
da estrutura de perodos de um
fluxo, podemos organizar todas as
demais variveis da anlise propor-
cionada pela matemtica financei-
ra, como taxa de juros, prestaes,
valores presentes e futuros.
Por outro lado, como a matemtica
financeira permite utilizar os limi-
tes da imaginao para viajarmos
no tempo, tambm podemos reor-
ganizar um fluxo mudando sua
estrutura bsica de perodos.
O nmero de perodos de umdiagrama do fluxo de caixafaz parte da organizao fundamental que norteia todo o processo de avaliao.A freqncia dos perodosdetermina a cadncia dofluxo, ou seja, quo longo ser o horizonte de tempo.
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38
Exemplo
Se um fluxo de caixa estrutura-se
sobre eventos mensais com corres-
pondentes taxas de juros mensais,
podemos agrupar o fluxo em
perodos semestrais e anuais desde
que seja de nosso interesse. A par-
tir da, possvel calcular os res-
pectivos valores anuais e semes-
trais por meio da viagem no
tempo proporcionada pelas taxas
de juros equivalentes, que vamos
estudar no item a seguir.
Taxa de juros
Como vimos, as taxas de juros
representam a remunerao paga
pela disponibilidade de dinheiro
por um perodo de tempo.
Porm, preciso estar atento aos
componentes econmicos que
influenciam o valor da taxa de
juros para avaliar sua real capaci-
dade de acompanhar a velocidade
de valorizao do tempo.
Taxa real e nominal
Por vezes, as taxas de juros pare-
cem guardar mistrios. Por isso,
bom aprender a identificar seus
componentes para desvendar
essas caractersticas mais ocultas.
Na maioria das vezes, as taxas de
juros de financiamentos, projetos
de investimento ou operaes
financeiras em geral so apresen-
tadas de forma bastante simplifi-
cada e direta.
Porm, existe uma srie de com-
ponentes macroeconmicos capa-
zes de influenciar a anlise corre-
ta da taxa de juros e, correspon-
dentemente, a remunerao do
investimento para o investidor ou
o custo deste para o devedor.
A taxa de juros exatamente o
componente financeiro da mate-
mtica que nos permite realizar
Devemos avaliar as taxas de juros com muito cuidado,comparando-as com asdiversas taxas de juros presentes no mercado e comos indicadores da polticamonetria que apresentamimpacto direto sobre elas.
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39
viagens no tempo dentro do uni-
verso do planejamento financeiro.
Portanto, devemos estar atentos a
dois fatores:
Comparao
As taxas de juros presentes no
mercado representam diversos
atalhos para a realizao dessa
viagem no tempo. Portanto,
devem ser analisados sempre
de forma comparativa, possibili-
tando aos agentes do mundo
financeiro sejam devedores,
sejam credores tomar o caminho
mais eficiente dessa viagem.
Relao entre indicadores
Todos os indicadores financeiros
de uma economia so interligados
e apresentam diversas relaes
diretas e indiretas. No caso das
taxas de juros, esses componentes
fazem parte de um universo cha-
mado poltica monetria, que
define o comportamento dos indi-
cadores e instrumentos financeiros
relacionados oferta e demanda
de dinheiro de uma economia.
Desse modo, devemos avaliar as
taxas de juros com muito cuidado,
comparando-as com as diversas
taxas de juros presentes no mer-
cado e com os indicadores da pol-
tica monetria que apresentam
impacto direto sobre elas.
Entre as taxas-referncias de
juros, destacam-se a Taxa de
Juros de Longo Prazo (TJLP), o
Sistema Especial de Liquidao e
Custdia (Selic) e os Certificados
de Depsito Interbancrio (CDI),
entre outras.
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40
TJLP
A Taxa de Juros de Longo Prazo
utilizada pelo Banco Nacional de
Desenvolvimento Econmico e
Social (BNDES), Banco do Brasil,
entre outros, para o financiamen-
to de projetos de investimento de
longo prazo.
Selic
a taxa referencial de juros defi-
nida pelo Comit de Poltica
Monetria (Copom) do Banco
Central do Brasil para definir os
juros pagos pelos ttulos do
Tesouro Nacional.
CDI
A taxa dos Certificados de
Depsito Interbancrio a que
remunera os ttulos emitidos por
bancos para outros bancos. Os
CDIs so utilizados para igualar as
captaes com as aplicaes de
recursos, equilibrando o caixa no
fechamento do dia.
Preos domsticos e internacionais
Em uma economia aberta, os prin-
cipais componentes que afetam o
valor do dinheiro no tempo e, cor-
respondentemente, a eficincia
das taxas de juros nessa viagem
temporal so aqueles relacionados
aos indicadores de preos domsti-
cos e internacionais.
Inflao
Como a inflao afeta o valor do
dinheiro no tempo?
Para responder essa questo, pri-
meiramente devemos compreen-
der que a inflao um fenmeno
da economia caracterizado pelo
aumento de preos dos produtos
transacionados.
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41
Diversos economistas at chegam
a classificar a inflao como uma
anomalia caracterstica de uma
economia em desequilbrio.
Na realidade, esse comportamento
social acaba desencadeando um
efeito domin, uma vez que, ini-
ciado o processo, o aumento de
preos repetido pelos diversos
participantes. a chamada mem-
ria inflacionria ou inflao iner-
cial. Ou seja, os preos no presen-
te sobem porque subiram no pas-
sado, e assim por diante.
Esse processo geralmente ocorre
porque participantes de uma
cadeia de produtos tentam repor
as perdas geradas pelo aumento
dos produtos pertencentes
cadeia como um todo.
Em outras palavras, se o fornece-
dor eleva o preo de determinado
produto, o negociante que o com-
pra procura repassar o aumento
para seu cliente, que, por sua vez,
tenta repassar a alta do preo
adiante at que chegue ao ltimo
intermedirio da cadeia produtiva
e, finalmente, ao consumidor
final. Este, muitas vezes, o traba-
lhador que vai tentar repassar esse
aumento nos preos dos produtos
em geral a seu patro por meio do
pedido de aumento de salrio.
Esse jogo de foras gera uma espi-
ral em que todos os participantes
perdem em determinado momen-
to. Geralmente, a ponta mais
fraca da economia, formada por
aqueles indivduos com menor
poder de negociao, acaba no
acompanhando esse aumento e
perde a capacidade de compra dos
produtos transacionados o
chamado imposto inflacionrio.
Esse jogo de foras gera umaespiral em que todos os participantes perdem emdeterminado momento.Geralmente, a ponta maisfraca da economia, formadapor aqueles indivduos commenor poder de negociao,acaba no acompanhandoesse aumento e perde acapacidade de compra.
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Com o processo inflacionrio, os
preos dos produtos tambm via-
jam no tempo. Assim, o preo de
um produto hoje pode ser diferen-
te de seu preo amanh.
Como o dinheiro a mercadoria
que serve de referncia para a
compra e venda de todos os produ-
tos da economia, a inflao ir con-
sumir o valor do dinheiro ao longo
do tempo quanto maior o preo
de uma mercadoria, mais moedas
so necessrias para compr-la.
Efeito cambial
Agora, vamos verificar o efeito da
valorizao e da desvalorizao
cambial. Como vimos, a inflao
determina o valor do dinheiro con-
tra uma referncia de preos para
os produtos transacionados domes-
ticamente, ou seja, dentro das
fronteiras de um pas, e influi no
poder de compra com a moeda
local. De modo semelhante, a
variao cambial o parmetro
utilizado para precificar as relaes
de trocas entre produtos e moedas
em mbito internacional.
O cmbio o preo de uma moeda
ante s outras moedas. determi-
nado pela inter-relao entre pa-
ses, definindo um parmetro para
a exportao e importao de pro-
dutos, bem como o fluxo de capi-
tais financeiros entre as fronteiras.
Exemplo
Suponha que 1 dlar seja equiva-
lente a 2 reais e que 1 euro cor-
responda a 1,20 dlar. Logo,
o valor de 1 euro ser igual a
2,40 reais. Agora, se imaginarmos
que o valor do dlar apresentou
alta de 10% e o valor do real
perante s demais moedas perma-
neceu constante, teremos o
seguinte resultado:
A variao cambial o parmetro utilizado para precificar as relaes de trocas entre produtos e moedas em mbito internacional.
US$ 1,00 = R$ 2,00 + 10% = R$ 2,20
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43
Portanto, com a alta do dlar, pre-
cisaremos de mais reais para com-
prar a mesma quantidade de dla-
res ou produtos importados cujos
preos estejam cotados em dlar.
Juros reais
At agora, tudo bem. Mas, se esta-
mos falando de taxa de juros, por
que abordamos os temas inflao e
cmbio? H relao entre eles?
Sim, como veremos a seguir, para
definir juros reais.
Para entender essa relao, vamos
analis-la separadamente, de in-
cio, tratando de uma operao
financeira domstica, em que deve-
dor e credor firmam um financia-
mento em reais.
Efeito da inflao
Vamos retomar a transao realiza-
da entre Meire e Ftima.
Relembrando, na operao origi-
nal, Meire receberia de Ftima 25
mil reais e quitaria o emprstimo
ao final de um ms com juro acres-
cido de 2 mil reais, totalizando
27 mil reais.
O juro foi combinado de modo a
remunerar Ftima pela privao de
no poder gastar o dinheiro naque-
le momento da forma que melhor
lhe conviesse.
Imagine agora que, nessa operao
entre Meire e Ftima, a inflao do
perodo fosse de 10%. O que isso
pode significar?
Para facilitar o entendimento,
vamos supor que Ftima tivesse o
interesse de utilizar o dinheiro para
comprar tecido.
Se no dia da realizao da operao
de emprstimo o metro do tecido
custasse mil reais, Ftima estaria se
privando de comprar 25 metros de
tecido naquele momento para com-
prar 27 metros ao final de um ms.
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44
Se a inflao foi de 10%, o preo
do tecido subiu para R$ 1.100,00
(R$1.000,00 + 10% = R$ 1.100,00).
Portanto, a inflao reduziu a velo-
cidade de valorizao de dinheiro
com o passar do tempo. Em outras
palavras, parte da remunerao
que Ftima recebeu por esperar
um ms para comprar o tecido foi
consumida pela inflao.
Dinheiro disponvel no dia da operao: R$ 25.000,00
= 25 metrosR$ 1.000,00
R$ 25.000,00
Dinheiro a receber no final da operao: R$ 27.000,00
= 27 metrosR$ 1.000,00
R$ 27.000,00
Dinheiro disponvel no final da operao: R$ 27.000,00
= 24,54 metrosR$ 1.100,00
R$ 27.000,00
Concluso
Como observamos no exemplo
acima, o efeito do aumento de pre-
os diminuiu a capacidade de com-
pra de tecido, por parte de Ftima,
em aproximadamente 2,5 metros
no final daquele ms.
Efeito da variao cambial
A mesma situao pode ocorrer em
uma operao internacional quan-
do a referncia de preos for dada
pela relao entre a moeda local e
a moeda estrangeira. Para ilustrar
a situao, vamos adaptar o exem-
plo anterior incluso de uma
operao internacional, adicionan-
do o fator cambial.
Se o tecido que Ftima pretendia
comprar fosse importado e custasse
no momento da operao mil dla-
res por metro, sendo que a cotao
do dlar fosse de 2 reais naquele
dia, a situao de Ftima seria:
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Dinheiro disponvel no dia da operao: R$ 25.000,00 (ou US$ 12.500,00)
= 12,5 metrosUS$ 1.000,00US$ 12.500,00
= 13,5 metrosUS$ 1.000,00US$ 13.500,00
Dinheiro a receber no final da operao: R$ 27.000,00 (US$ 13.500,00)
= US$ 11.250,00R$ 2,40
R$ 27.000,00
Dinheiro a receber ao final de um ms: R$ 27.000,00
= 11,25 metrosUS$ 1.000,00US$ 11.250,00
Dinheiro disponvel ao final de um ms: US$ 11.250,00
No entanto, se o dlar apresentar
variao de 20%, subindo de
2 reais para 2,40 reais, e o preo do
tecido em dlares permanecer est-
vel no perodo, qual o impacto
sobre a operao de Ftima?
Concluso
Portanto, a valorizao do dlar
naquele perodo consumiu o valor
do real com o passar do tempo.
Como o parmetro da operao
realizada entre Ftima e Meire era
o real, o efeito proporcionado pela
remunerao dos juros foi consumi-
do pela variao cambial.
Em conseqncia, Ftima pde
comprar menos dlares ao final do
ms comparado com o que ela
poderia ter comprado no momento
original da operao.
Vamos verificar o que aconteceu
com a quantidade de tecidos que
Ftima conseguiu comprar com a
alta do dlar:
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Menos tecido
Como comprovado no ltimo clcu-
lo, mesmo com a manuteno do
preo do produto em dlares,
Ftima s conseguiu comprar 11,25
metros de tecido.
Antes da valorizao do dlar em
relao ao real ou seja, na data
da operao , ela poderia ter com-
prado 12,5 metros.
Clculo do juro real
Portanto, ao realizar uma operao
financeira para liquidao futura,
devemos estar muito atentos para
os efeitos da inflao e da variao
entre o valor cambial para calcular
a taxa de juros a ser cobrada pelo
investimento realizado.
O resultado do clculo da taxa de
juros deduzido dos efeitos da infla-
o e das variaes cambiais se
chama juro real, que calculado
conforme a frmula a ser apresen-
tada na seqncia. Confira:
Abreviaes:
i = inflao
J = juros
Se a inflao for de 10% (i = 0,10)
e se os juros so de 10% (J = 0,10),
ento, o juro real ser:
x 100 = juro real1 + i1 + J[( ) 1]
x 100 = 2%1 + 0,101 + 0,08[( ) 1]
Portanto, pelo exemplo anterior, a
inflao de 10%, e os juros de 2 mil
reais sobre a operao de 25 mil
reais ou o correspondente a:
= 8% ou 0,08R$ 25.000,00R$ 2.000,00
O juro real ser:
Repare que o juro real da operao
foi negativo em 2%. Ou seja, a
velocidade da inflao foi superior
do juros, causando um prejuzo a
Ftima. O mesmo raciocnio pode
ser utilizado para as operaes
internacionais. Nesse caso, deve-se
substituir na frmula o valor da
inflao pelo da variao cambial.
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47
Por exemplo, se a variao cambial
foi de 20%, o divisor ser: 1 + 0,2.
Concluso
Muitas vezes, quando analisamos
operaes financeiras nas situaes
do dia-a-dia seja para a realizao
de investimentos, seja para a realiza-
o de emprstimos , os juros so
apresentados como um nmero fixo.
Significa que os juros no demons-
tram sua composio quando com-
parados inflao ou aos efeitos da
variao cambial, os quais so cha-
mados de juros nominais pelos
administradores financeiros.
E se expurgarmos dos juros nominais
os efeitos da variao do valor no
dinheiro com o passar do tempo,
causada pela inflao, ou das varia-
es cambiais?
Resposta: tem-se uma viso mais
clara da capacidade de a operao
remunerar o investidor, por ele dis-
ponibilizar seu dinheiro por deter-
minado tempo sem que este seja
consumido por esses efeitos parale-
los a chamada anlise do juro
real da operao.
Taxas equivalentes e
nmeros-ndice
At agora acompanhamos exem-
plos de operaes financeiras bem
restritas, com apenas um evento
financeiro e um perodo de tempo.
A versatilidade da matemtica
financeira, porm, possibilita traba-
lhar com a taxa de juros em pero-
dos diferentes de tempo.
Assim, possvel comparar taxas de
juros utilizadas em uma operao
de um dia e determinar qual taxa
de juros seria empregada se o
prazo da mesma operao fosse
um ms, um semestre, um ano ou
at mesmo um sculo.
Essa comparao de taxas de juros
em perodos diferentes de tempo
chamada de taxas equivalentes.
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O processo de clculo das taxas
equivalentes o mesmo do de uma
operao de dilatao ou de con-
trao das taxas de juros com o
intuito de o investidor obter um
retorno proporcionalmente equiva-
lente, independentemente do
perodo da operao.
Do mesmo modo, o devedor ter
um custo financeiro proporcional-
mente equivalente de forma inde-
pendente do prazo da operao.
Nmeros-ndice
Esse o mecanismo mais eficiente
para a dilatao e a contrao das
taxas de juros em perodos diferen-
tes de tempo.
Como vimos, as taxas de juros
aplicadas nas operaes financei-
ras nada mais so do que fraes
do valor principal sobre o qual
incidiro os juros.
Portanto, os juros representam
um percentual do valor financeiro
da operao de investimento ou
de emprstimo.
Ou seja, um investimento de 100
reais, com juros de 10%, equivale a
uma receita de juros de 10 reais,
proporcionando um valor de inves-
timento corrigido de 110 reais.
De acordo com esse exemplo, para
calcular o valor do principal ou o
valor do investimento acrescido
de juros, efetua-se a seguinte ope-
rao matemtica:
Valor do principal = R$ 100,00
Percentual de juros = 10%
Valor financeiro de juros = R$ 10,00
Ou, ento:
R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00
O nmero 0,10 representa uma fra-
o ou um dcimo do valor do
principal de 100 reais.
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49
Posteriormente, para calcular o
valor do investimento corrigido,
soma-se o prprio valor do princi-
pal aos juros:
R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
Somamos o nmero inteiro, que
equivale a 100% do principal, a sua
dcima frao, que a parte cor-
respondente aos juros de 10%.
Ou seja, 1 + 0,1 representa a unida-
de ou o nmero inteiro uma vez
que qualquer nmero multiplicado
por 1 igual ao prprio nmero
somado a sua frao, cujo resulta-
do igual a 1,1.
Esse o nmero-ndice que repre-
senta o valor do principal acresci-
do de 10%.
Conforme o exemplo anterior, ao
utilizar o valor do investimento (R$
100,00) e multiplic-lo pelo ndice
que representa o acrscimo de
juros de 10%, obtemos:
Valor corrigido = Valor principal x
(1 + frao correspondente ao juro)
R$ 100,00 x 1,1 = R$ 110,00 (equivale
ao valor do principal corrigido)
Dilatao e contrao
Vamos ver agora como dilatar
e contrair as taxas de juros para
perodos diferentes de tempo.
Uma vez definido o nmero-
ndice correspondente a uma
operao financeira para um
perodo de tempo especfico, o
processo de dilatao e contrao
das taxas de juros se torna bas-
tante simples, dependendo do
modelo de juros (simples ou com-
postos) a ser empregado.
Lembrete: no prximo captulo,
vamos aprender a diferena mate-
mtica entre a utilizao de juros
compostos e juros simples, que
implica a forma de como utilizar os
nmeros-ndice para o clculo de
taxas equivalentes em perodos
diferentes de tempo.
As taxas de juros aplicadasnas operaes financeirasnada mais so do que fraes do valor principalsobre o qual incidiro os juros.
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Para efetuar a anlise de taxa de
juros equivalente, necessrio ini-
cialmente identificar uma taxa de
juros bsica e determinar o perodo
de tempo equivalente a essa taxa.
Exemplo
Os 10% utilizados como referncia
dos clculos do exemplo anterior
poderiam se referir a uma opera-
o de um ms, um ano etc.
Agora, ao utilizar a base do exem-
plo anterior de 10% e estabelecer
um perodo de tempo de um ms
para essa operao, j estamos
aptos a calcular as taxas de juros
proporcionais para qualquer inter-
valo de tempo estabelecido.
Vamos avaliar a seguinte situao:
qual seria a taxa de juros equiva-
lente para um perodo bimestral?
Observe que, em um investimento
bimestral, estaramos primeiramen-
te investindo os 100 reais pelo
perodo de um ms.
Posteriormente, repetiramos o
investimento no ms seguinte.
Portanto, o clculo matemtico
deve ser:
Valor do Investimento = R$ 100,00
Perodo-base = 1 ms
Taxa de juros = 10% ao ms
Nmero-ndice equivalente =
1 + 0,10 = 1,1
Clculo do investimento corrigido
no primeiro ms:
R$ 100,00 x 1,1 = R$ 110,00
Clculo do investimento corrigido
no segundo ms:
R$ 110,00 x 1,1 = R$ 121,00
Portanto, o clculo do valor corrigi-
do no bimestre foi de:
R$ 100,00 x 1,1 x 1,1 = R$ 121,00
Potncia equivalente
Considerando que 1,1 o nmero-
ndice equivalente, temos:
Nmero-ndice equivalente a um
ms de operao = 1,1.
Nmero-ndice equivalente a dois
meses de operao = 1,1 x 1,1. Isso
equivalente a 1,12.
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Para dilatar a taxa de juros para
perodos mais longos, basta elevar
a potncia equivalente ao mltiplo
do perodo dilatado.
Portanto, para uma taxa de juros
bsica mensal de 10%, tem-se a
seguinte regra de dilatao:
1,1n
n = nmero de perodos
Nmeros-ndice equivalentes
Juros mensais: 1,11 = 1,1
Juros bimestrais: 1,12 = 1,21
Juros trimestrais: 1,13 = 1,331
Taxa equivalente
Para calcular a taxa equivalente
para os respectivos nmeros-ndice,
basta subtrair o nmero 11, corres-
pondente ao inteiro, e multiplicar
a frao por 100.
1,1 equivale a juros de =
(1,1 1) x 100 = 10%
1,21 equivale a juros de =
(1,21 1) x 100 = 21%
1,331 equivale a juros de =
(1,331 1) x 100 = 33,1%
Portanto, uma remunerao de
21% por bimestre equivale a um
retorno de 10% proporcional a um
perodo de um ms ou 33,1% por
um perodo de um trimestre.
Perodos inferiores base
Na operao inversa, para contrair
a taxa de juros para perodos infe-
riores ao perodo-base, representa-
dos por fraes do perodo-base,
basta seguir o mesmo raciocnio.
Por exemplo, se o perodo-base da
operao fosse o trimestre, seria
usada a taxa de juros de 33,1%
como referncia da operao de
investimento por trs meses. Para
calcular a taxa de juros para um
perodo inferior um ms, por
exemplo , basta elevar a potncia
referente frao do perodo-base.
Portanto, para um nmero-ndice
de 1,331 correspondente a uma
taxa de juros trimestral de 33,1%,
tem-se o nmero-ndice mensal de
1,3311/3 = 1,1, que corresponde
raiz cbica de 1,331.
1 ms = 1/3 de um trimestre
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Fraes no exatas
Agora, como utilizar o mesmo cl-
culo para determinar a equivaln-
cia em perodos que no apresen-
tem fraes exatas? Por exemplo,
partindo-se de uma taxa de juros
trimestral de 33,1%, qual seria a
taxa de juros equivalente para um
perodo de sete meses?
Nesse caso, basta utilizar os artif-
cios da matemtica para definir o
clculo desejado. Quando o nme-
ro no apresenta uma frao ideal,
basta definir um denominador
comum para basear o clculo.
Partindo de uma taxa trimestral,
podemos contra-la, calculando a
taxa equivalente de um ms (que
uma frao ideal, 1/3 de um trimes-
tre) e, posteriormente, alongando-
a para calcular a taxa de sete
meses (mltiplo de um ms).
1,3311/3 = 1,1
1,17 = 1,9487
Matematicamente, seria o mesmo
que apresentar o nmero 11,,33331177//33.
Ou seja, a taxa equivalente a um
juro trimestral de 33,1% para um
perodo de sete meses seria de
aproximadamente 94,87%.
Assim, podemos brincar com os
nmeros, alongando e contraindo
as taxas de juros, para operar com
qualquer tipo de perodo necess-
rio para uma avaliao de projeto.
Caso 1
Qual a taxa de juros mensal equi-
valente a taxa Selic anual apresen-
tada pelo Banco Central de 15%?
Note que 15% equivale a um
nmero-ndice de 1,15. O ms cor-
responde a 1/12 de um ano.
Portanto: 1,151/12 = 1,0117.
Resposta: a taxa de juros de
1,17% ao ms.
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Caso 2
Agora, qual seria o juro real se a
inflao mensal fosse de 1%?
A partir dos nmeros-ndice, a an-
lise torna-se mais prtica. Para cal-
cular o juro real, basta dividir o
nmero-ndice correspondente ao
juro do perodo pelo nmero-ndi-
ce correspondente variao per-
centual da inflao.
Portanto, se em nosso exemplo o
juro mensal foi de 1,17% (nmero-
ndice de 1,0117) e a inflao foi
de 1% (nmero-ndice de 1,01), cal-
cula-se o juro real assim:
entre transferncias de recursos
financeiros futuros e presentes,
ajustando entre eles o custo da
remunerao referente utiliza-
o do dinheiro disponvel por
determinado tempo.
Em muitas situaes, as operaes
financeiras principalmente de
emprstimos, compras parceladas e
financiamentos no apresentam a
taxa de juros. Em alguns casos,
especialmente aqueles relacionados
venda financiada de produtos no
varejo, as empresas usam estrat-
gias mercadolgicas baseadas em
operaes de financiamento ditas
sem juros.
nesse momento que a matemti-
ca financeira se torna um potente
parceiro, possibilitando desvendar
mistrios de operaes que supos-
tamente no tm lgica financeira.
Lembre que, por mais que o
mundo financeiro seja capaz de
apresentar operaes fantsticas,
complexas e que podem parecer
ilgicas, as leis da matemtica so
universais e se baseiam em estrutu-
ras lgicas inquestionveis...
= 1,0016831,01
1,0117
Resposta: o juro real ser de cerca
de 0,1683% ao ms, bastante infe-
rior ao juro nominal de 1,17%,
aps os efeitos da corroso de
resultados provocada pela inflao.
Taxa interna de retorno
Como vimos, a taxa de juros o
caminho apresentado pela mate-
mtica financeira para transitar
pelo tempo, formando uma ponte
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54
Taxa de juros oculta
Portanto, fundamental ter bem
claro o conceito de que toda ope-
rao financeira que envolva troca
de um valor presente por um valor
futuro dever ter uma taxa de
juros, mesmo que eventualmente
ela no seja apresentada. Certa-
mente, a taxa oculta-se na base da
relao entre os fluxos financeiros.
A estratgia para calcular a taxa de
juros que equilibra a relao entre
o valor no presente e os valores no
futuro de um fluxo de caixa
expressa pela taxa interna de retor-
no matematicamente, ela a
taxa pela qual todos os fluxos da
empresa descontados de seu res-
pectivo valor no momento presen-
te representam soma zero.
Ou seja, os valores a receber, sub-
trados dos valores a pagar, inde-
pendentemente do momento em
que ocorrem, quando traduzidos
para o valor presente (como mo-
mento de referncia no tempo
para todos os fluxos), so equiva-
lentes. Esse exatamente o retor-
no implcito da operao.
Exemplo
Uma grande rede varejista de ele-
trodomsticos chamada Casa da
Me Joana anunciou em janeiro a
venda de TVs de plasma por 15
mil reais para pagamento apenas
no Natal, afirmando se tratar de
uma operao sem juros. Como
desvendar esse mistrio?
Por que ser que a empresa est
disposta a praticar a filantropia
de abdicar dos recursos necess-
rios para pagar seus custos, den-
tre eles o prprio fornecedor de
televisores, financiando a compra
do cliente por um perodo de um
ano sem cobrar juros?
Eduardo, cliente atento e interes-
sado em adquirir uma TV de plas-
Toda operao financeira que envolva troca de umvalor presente por um valor futuro dever ter uma taxa de juros, mesmoque eventualmente ela no seja apresentada.
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55
ma, ficou bastante interessado na
promoo e resolveu fazer uma
pesquisa no mercado. Ele perce-
beu que os televisores com a
mesma caracterstica daquele
anunciado pela Casa da Me
Joana eram oferecidos pelas lojas
concorrentes nas mais diversas
promoes. Uma caracterstica, no
entanto, chamou a ateno de
Eduardo: dentre as opes do
mercado, as propostas de aquisi-
o da TV para pagamento
vista, em dinheiro, apresentavam
mdia de preo de 10 mil reais.
Eduardo checou suas economias e,
ao conferir suas aplicaes finan-
ceiras no Banco Dinheirinho
Amigo, constatou que possua 10
mil reais aplicados em um fundo
que lhe renderia uma taxa de
juros de 15% ao ano.
Entre tantas alternativas, ele con-
cluiu que a melhor soluo para
analisar a situao seria comparar
duas possibilidades:
Resgatar sua aplicao e com-
prar a TV vista por 10 mil reais.
Manter o dinheiro aplicado,
rendendo os juros da aplicao,
e comprar a TV na Casa da Me
Joana por 15 mil reais no final
do ano.
Assim, a proposta apresentada
pela Casa da Me Joana nada
mais era do que a possibilidade
de ter hoje uma TV que valia 10
mil reais valor que no seria
sacado da aplicao, pagando em
troca 15 mil reais no fim do ano.
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56
Anlise da situao
Como vimos, a taxa interna de
retorno aquela que equaliza os
fluxos positivos e negativos a valor
presente, de forma que o valor
presente lquido da equao seja
igual a zero.
No grfico acima, tem-se, de um
lado, um fluxo positivo de 10 mil
reais que representa a disponibili-
dade de Eduardo possuir uma TV
hoje sem que tenha de sacar
dinheiro de sua aplicao. De
outro, h um valor negativo de 15
mil reais no final do ano, quando
Eduardo ter de arrumar dinheiro
para pagar a Casa da Me Joana.
Para que esse fluxo apresente soma
zero no presente, preciso saber
que taxa descontar do pagamento
de 15 mil reais para que, no mo-
mento presente, esse valor seja
equivalente a 10 mil reais e iguale
ao fluxo positivo dos mesmos 10
mil reais da televiso.
Assim:
Graficamente, o fluxo financeiro
do exemplo das condies de com-
pra da TV pode ser representado
deste modo:
Taxa interna de retorno => Soma dos fluxos no momento presente = 0
Se a taxa de juros anual e o
perodo de um ano, ento n = 1.
Logo, o nmero-ndice da equao
ser: 1 + j.
Clculo da taxa de juros
Que taxa de juros de desconto faz
com que 15 mil reais no fim do ano
sejam iguais a 10 mil reais hoje?
Televiso deR$10.000,00
Pagamento deR$15.000,00
perodo de 1 ano
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Se:
R$ 10.000,00 x (1 + j)n = R$ 15.000,00
R$ 10.000,00 x (1+j)1 = R$ 15.000,00
j = 0,5 ou 50%
Concluso
A taxa de juros utilizada para des-
contar os 15 mil reais de modo a
equivaler a 10 mil reais no presen-
te de 50% exatamente a taxa
interna de retorno desse fluxo.
Aps essa constatao, Eduardo
concluiu que, se sacasse o dinheiro
da aplicao, deixaria de ganhar
1,5 mil reais ou 15% dos 10 mil
reais que esto aplicados.
Ao mesmo tempo, teria de pagar
os 5 mil reais de juros Casa da
Me Joana um custo financeiro
de 50% equivalente taxa interna
de retorno desse investimento.
Por outro lado, ao imaginar que a
Casa da Me Joana precisa pagar
ao fornecedor das TVs vista 10
mil reais, a loja estaria fazendo
esse investimento para financiar
seu cliente com ganho implcito de
50% um timo investimento.
Obviamente, essa operao foi bas-
tante simplificada, contando ape-
nas com dois fluxos e apenas um
perodo. Na prtica, deparamo-nos
com operaes de diversos pero-
dos, taxas equivalentes de perodos
diferentes e pagamentos e recebi-
mentos diversificados em momen-
tos variados de tempo.
Eduardo concluiu que, sesacasse o dinheiro da aplicao, deixaria de ganhar 1,5 mil reais ou15% dos 10 mil reais queesto aplicados.
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Nestes casos, devemos utilizar cal-
culadora financeira ou planilhas
eletrnicas, que apresentam fun-
es especficas para calcular a taxa
interna de retorno (TIR).
Para fluxos complexos, a taxa inter-
na de retorno calculada por apro-
ximao. Para isso, calculadoras e
planilhas eletrnicas realizam
diversas tentativas de clculos at
obter a taxa mais prxima possvel
para zerar a soma dos fluxos, quan-
do descontados seu valor equiva-
lente no presente.
Taxa interna de retorno e taxa de
desconto do fluxo financeiro
importante diferenciar o conceito
da taxa de juros utilizada para des-
contar um fluxo qualquer e a res-
pectiva taxa interna de retorno de
um fluxo especfico.
Taxas de desconto
So aquelas escolhidas arbitraria-
mente pelo indivduo que efetua a
anlise de um fluxo financeiro de
pagamentos e recebimentos em
diversos perodos de tempo, de
modo a avaliar o valor presente ou
futuro do fluxo. Toma por base
parmetros de mercado, compa-
rando-os s alternativas existentes.
A utilizao de taxas de desconto
arbitrrias, muitas vezes baseadas
em parmetros no mercado finan-
ceiro, no significa o equilbrio do
fluxo, mas uma expectativa de
retorno ou custo financeiro apre-
sentado pelo mercado sobre o qual
se est avaliando o fluxo de caixa.
Uma vez calculada a taxainterna de retorno, pode-secompar-la s oportunidadespresentes no mercado paraavaliar sua atratividade.
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O que voc viu no captulo 3
> O diagrama do fluxo de caixa comobase da matemtica financeira.1
> Valor presente, prestaes, valor futu-ro, nmero de perodos e taxa de juros.2
> A relao entre inflao, variao cam-bial e juro real.3
> Taxas equivalentes, nmero-ndice etaxa interna de retorno.4
Taxa interna de retorno
uma taxa de juros inerente ao
fluxo financeiro, independente dos
parmetros de mercado e direta-
mente relacionada aos valores posi-
tivos e negativos (entradas e sadas
de caixa) dos fluxos espalhados em
variados momentos de tempo.
A taxa interna de retorno equilibra
os fluxos de forma que, desconta-
dos por essa taxa, se anulam no
momento presente. De posse dela,
sabe-se a rentabilidade ou o custo
financeiro do fluxo, independente-
mente dos parmetros de mercado.