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Commande Numérique des Systèmes
Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg2ème année
Michel de Mathelin, Iulia Bara
et Jacques Gangloff
Cours 2ème partie
Programme de la deuxième par tie (1)
• Chapitre VII : Synthèse des correcteurs numériques– Objectifs– Synthèse par transposition à partir du continu– Prise en compte du bloqueur – PID numériques– Auto-réglage des PID– Placement des pôles dominants– Prédicteur de Smith– Commande avec modèle interne– Synthèse algébrique : correcteurs RST– Analyse de la robustesse et des performances
Programme de la deuxième par tie (2)
• Chapitre VIII : Représentations d’état– Représentation d’état des systèmes échantil lonnés– Obtention des équations d’état et fonctions de transfert– Résolution des équations d’état– Stabilit é– Commandabili té, observabilit é et minimali té– Formes canoniques– Placement des pôles par retour d’état
• Chapitre IX: Aspects pratiques– Définition du cahier des charges– Choix de la période d’échantil lonnage– Prise en compte des saturations– Prise en compte de la quantification– Conditionnement numérique du correcteur
• E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes.
Elli pses, Collection Technosup, Paris, 2003.
• R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques.
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.
• E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus.
Elli pses, Collection Technosup, Paris, 2004.
• M. Rivoireet J.-L. Ferrier, Commande par calculateur et identification.
Eyrolles, Paris, 1997.
Bibliographie – ouvrages en français
• K. Aström andB. Wittenmark, Computer controlled systems : theory anddesign.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1984, 1990.
• G. Franklin, J. Powell , and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamicsystems.Addison Wesley, Wokingham, 1988.
• G. Franklin, J. Powell , and L. Workman, Digital control of dynamic systems.Addison Wesley, Wokingham, 1989.
• T. Kailath, Linear Systems.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1980.
• B. Kuo, Automatic control systems.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1991.
• B. Kuo, Digital control systems.Harcourt Brace& Jovanovich, Orlando, 1992.
• K. Ogata, Modern control engineering.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1990.
Bibliographie – ouvrages en anglais
VII .1 Objectifs (1)
• Asservissement numérique d’un système continu
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
C(z) G(s)r(k)
v(t)
u(k) y(t)
ym(k)
δu(t) δy(t)ε(k)
- BOZ
H(s)Te
G(s) Fonction de transfert du système
H(s) Fonction de transfert du capteur
r Signal de consigne ou de référence
u Signal de commande
y Signal de sortie (grandeur à réguler)
ym Mesure de la sortie
F(z)
δu Perturbation d’entréeδy Perturbation de sortiev Bruit de mesure
C(z) Correcteur
F(z) Préfilt reε Erreur d’asservissement
Régulateur numériqueCapteur
Système
VII .1 Objectifs (2)
• Objectifs de la synthèse:Stabilit é:
– Le système en boucle fermée est stable
Performance: – Suivre les variations de la consigne– Comportement en boucle fermée conforme à un
modèle – Rejeter les perturbations et le bruit
Robustesse:– Conservation de la stabilité et des performances
malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques non modélisées, non linéarités, incertitudes paramétriques, …)
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
VII .1 Objectifs (3)
• Outils pour la synthèse:Stabilit é:
– Critère de Jury– Critère de Nyquist
Performance: – Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle
fermée) – Calcul des erreurs en régime permanent– Simulation (vérification a posteriori)
Robustesse:– Marges de stabilit é (diagramme de Nyquist)– Simulation (vérification a posteriori)
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
VII .1 Objectifs (4)
• Méthodes simples pour la synthèse (monovariable):– Transposition de correcteurs continus– Utili sation de PID– Autoréglage– Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état)– Modèle interne– Méthodes algébriques (RST)
• Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable):– Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur
l’erreur d’asservissement et la commande– Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les
incertitudes pour la stabilit é et la performance – Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéairesdu
système à asservir
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
VII .2 Transposition à par tir du continu (1)
• Principe:
1. Synthèse d’un correcteur continu
2. Le correcteur numérique est obtenu par approximation de la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide d’équations aux différences de différentes manières :
– Echantil lonnage-blocage
– Approximation d’Euler (différence vers l’arrière)
– Approximation d’Euler (différence vers l’avant)
– Transformation bili néaire (ou homographique)
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
VII .2 Transposition à par tir du continu (2)
A. Echantill onnage-blocage :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Cc(s) u(t)e(t)
Se comporte approximativement comme:
Cc(s) u(t)e(t) BOZ BOZ
TeTe ε(k)
C(z)u(k)
−= −
s
(s)CzzC cZ)1()( 1
si la période d’échantil lonnage est suff isamment petite
Conserve la stabilit é
VII .2 Transposition à par tir du continu (3)
B. Approximation d’Euler (différence vers l’arrière):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Conserve la stabilit é
Approximation de la dérivée:
e
e
T
Ttxtx
dt
dx )()( −−≈zT
z
T
zs
ee
11 1 −=−→−
•
Plan s Plan z
•1
)1
()(1
ec T
zsCzC
−−==
VII .2 Transposition à par tir du continu (4)
B. Approximation d’Euler (différence vers l’arrière):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Remarque:
−+=−⇒
−=⇔−=
−
sT
sTz
sTz
T
zs
e
e
ee
1
1
2
1
2
1
1
11 1
si s est sur l’axe imaginaire alors
++
−==
+
+−=
−+=−
2222
22
22
22
1
2,
1
12arctanavec
2
1
1
21
2
1
1
1
2
1
2
1
ωω
ωωϕ
ωωω
ωω
ϕ
e
e
e
ej
e
ee
e
e
T
T
T
Te
T
jTT
jT
jTz
VII .2 Transposition à par tir du continu (5)
B. Approximation d’Euler (différence vers l’arrière):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Approximation de l’ intégrale:
∑∫
=+==→
+−=→=n
keee
e
t
e
kTxTInTtI
txTTtItIdxtI
1
0
)()0()(
)()()()()( ττ11
1−−
→z
T
se
x(t)
t0 Te 2Te 3Te 4Te
Approximation du retard:
sTz
ez
e
sTe
−=→
=−
−−
11
1
VII .2 Transposition à par tir du continu (6)
C. Approximation d’Euler (différence vers l’avant):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Ne conserve pas la stabilité
Approximation de la dérivée:
e
e
T
txTtx
dt
dx )()( −+≈eT
zs
1−→
•
Plan s Plan z
•1
)1
()(e
c T
zsCzC
−==
VII .2 Transposition à par tir du continu (7)
C. Approximation d’Euler (différence vers l’avant):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Approximation de l’ intégrale:
∑∫
−
=+==→
−+−=→=1
0
0
)()0()(
)()()()()(
n
keee
ee
t
e
kTxTInTtI
TtxTTtItIdxtI ττ
1
1
−→
z
T
se
x(t)
t0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te
Approximation du retard:
sTz
ez
e
sTe
+=→
=
−
−−
1
11
1
VII .2 Transposition à par tir du continu (8)
D. Approximation bili néaire (homographique):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Conserve la stabilit é et la forme de la réponse en fréquence
Dans la lit térature anglo-saxonne: Tustin’s approximation
1
12
+−→
z
z
Ts
e
•
Plan s Plan z
•1
)1
12()(
+−==
z
z
TsCzC
ec
VII .2 Transposition à par tir du continu (9)
D. Approximation bili néaire (homographique):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Remarque:
sT
sT
zz
z
Ts
e
e
e
21
21
1
12
−
+=⇔
+−=
si s est sur l’axe imaginaire alors
++
−==
+
+−=
−
+=
22
22
22
22
22
41
,
41
41
2arctanavec
41
41
21
21
ω
ω
ω
ωϕ
ω
ωω
ω
ω
ϕ
e
e
e
e
j
e
ee
e
e
T
T
T
T
e
T
jTT
jT
jT
z
VII .2 Transposition à par tir du continu (10)
D. Approximation bili néaire (homographique):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Approximation de l’ intégrale: approximation trapézoïdale
( )
( )∑
∫
=
−++==
−++−=→
=
n
kee
ee
ee
e
t
TkxkTxT
InTtI
TtxtxT
TtItI
dxtI
1
0
))1(()(2
)0()(
)()(2
)()(
)()( ττ
1
1
2
1
−+→
z
zT
se
x(t)
t0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te
Approximation du retard:
sT
sT
z
e
eez
e
e
sT
sTsT
e
e
e
21
21
1
2/
2/1
+
−=→
==
−
−−−
VII .2 Transposition à par tir du continu (11)
• Conclusions:
1. La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de correcteur analogique sur la base du modèle du système qui est également continu.
2. La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le déphasage introduit par celui-ci dans la boucle d’asservissement.
3. Les performances du correcteur numériques seront au mieux celles du correcteur analogique.
4. Les performances du correcteur numérique se rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur analogique que la période d’échantill onnage est petite.
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
VII .3 Pr ise en compte du bloqueur (1)
• Principe:
1. La transmittance échantill onnée du système ouvert avec le bloqueur est calculée (fonction de transfert en z ).
2. Une transformation bil inéaire (transformation en w ) est appliquée à cette transmittance échantil lonnée pour obtenir une fonction transfert continue du système ouvert avec bloqueur.
3. Une synthèse de correcteur analogique est réalisée sur cette fonction de transfert continue.
4. Une transformation bil inéaire est appliquée au correcteur analogique synthétisé pour obtenir le correcteur numérique.
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
VII .3 Pr ise en compte du bloqueur (2)
1. Calcul de la transmittance échantil lonnée du système ouvert :
2. Transformation bili néaire :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
G(s)u(t)
BOZ
Te
G(z)
u(k) y(k)
1
12
21
21
+−=⇔
−
+=
z
z
Tw
wT
wT
zee
e
)
21
21
()(w
T
wT
zGwGe
e
c
−
+==
Conservation de la stabilité
VII .3 Pr ise en compte du bloqueur (3)
2. Transformation bili néaire (suite) :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
')2
tan(22
1
12
22
22
ωωωω
ωω
ω
ω
jT
Tj
ee
ee
Te
e
Tw e
eT
jT
j
Tj
Tj
eTj
Tj
eee
ee
e
e
==+
−=+−=
−
−
•
Plan wPlan z
•1
si z est sur le cercle unité alors
••
Conservation de la forme de la réponse en fréquence
)()'( eTjc eGjG ωω =
eTje ω
'ωj
VII .3 Pr ise en compte du bloqueur (4)
3. Synthèse d’un correcteur analogique :
4. Transformation bili néaire :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
wT
wT
zz
z
Tw
e
e
e
21
21
1
12
−
+=⇔
+−=
)1
12()(
+−==
z
z
TwCzC
ec
Conservation de la stabilité et de la forme de la réponse en fréquence
Cc(w) Gc(w)La réponse en fréquence désirée doit prendre en compte la transformation des abscisses
VII .4 PID numériques (1)
A. Forme analogique (rappel) :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
]1
1[)( sTsT
KsC di
pc ++=
Cc(s)e(t) u(t)
∫ ++=t
di
p dt
tdeTde
TteKtu
0]
)()(
1)([)( ττ
PID idéal
PID réel]1
11[)(
sN
TsT
sTKsC
d
d
ipc
+++=
avec 5≥N
VII .4 PID numériques (2)
B. Formes numériques (transposition du continu) :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
1. Echantil lonnage-blocage: ])1(
1
11[)(
d
e
T
NTe
ip
ez
zN
z
T
TKzC
−−
−+−
+=
2. Différences vers l’arrière: ]1)1(
)1(
1
11[)(
−+
−+−
+=z
T
NTzN
z
zT
TKzC
d
e
e
ip
3. Différences vers l’avant: ])1(
)1(
1
11[)(
d
e
e
ip
T
NTz
zN
z
T
TKzC
−−
−+−
+=
4. Transformation bili néaire: ])
21()
21(
)1(
1
1
21[)(
d
e
d
ei
ep
T
NTz
T
NTzN
z
z
T
TKzC
−−+
−+−++=
VII .4 PID numériques (3)
C. Formes standards :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Correcteur P: pKzC =)(
Correcteur PI: ]1
11[)(
−+=
z
T
TKzC e
ip
Correcteur PD: ]1)1(
)1(1[)(
−+
−+=z
TNT
zNKzC
d
ep
]1)1(
)1(1
11[)(
−+
−+−
+=z
TNT
zN
z
T
TKzC
d
e
e
ipCorrecteur PID:
VII .4 PID numériques (4)
D. Schéma forme standard :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
1)1(
)1(
−+
−
zT
NTzN
d
e
Kpr(k) u(k)
ym(k)
ε(k)
- BOZ
Te
PID numérique
)1( −zT
T
i
eui(k)
ud(k)
VII .4 PID numériques (5)
D. Schéma forme standard (suite):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
1)1(
)1(
−+
−
zT
NTzN
d
e
Kpr(k) u(k)
ym(k)
ε(k)
- BOZ
Te
PID numérique sans dérivation de l’entrée
)1( −zT
T
i
eui(k)
ud(k)-Kp
VII .4 PID numériques (6)
E. Equations aux différences :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Correcteur PID sans dérivation de l’entrée:
)]1()([1
)1(1
1)(
)1()1()(
)()()()(
)()()(
−−+
−−+
=
−+−=
++=−=
kyky
T
NT
NKku
T
NTku
kT
TKkuku
kukukKku
kykrk
mm
d
e
pd
d
ed
i
epii
dip
m
ε
εε
VII .4 PID numériques (7)
E. Equations aux différences (suite) :
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Forme incrémentale du correcteur PID:
)]1()([1
)1(1
1)(
)1()()1()]1()([)1()(
)()()(
−−+
−−+
=
−−+−+−−+−=
−=
kyky
T
NT
NKku
T
NTku
kukukT
TKkkKkuku
kykrk
mm
d
e
pd
d
ed
ddi
epp
m
εεε
ε
)1()()1()1()()1()( −−+−−−+−= kukukT
TKkKkuku dd
i
epp εε
VII .4 PID numériques (8)
F. Anti-saturation du terme intégral (anti-windup):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Saturation (CNA, actionneur)
U
U
U
U
U
−<≤>
−=
)(
)(
si
si
si
)()(
ku
u(k)
ku
kukus
us(k)u(k)U
-U
Commandecalculée
Commandeappliquée
Risque d’emballement du terme intégral en cas de saturation
VII .4 PID numériques (9)
F. Anti-saturation du terme intégral (suite):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
1. Intégration conditionnelle: Principe : bloquer l’ intégration quand la commande sature
)()()()(
)(
)(
si
si
)1(
)1()1()(
)()1()1()()(
)()()(
0
0
0
kukukKku
ku
ku
ku
kT
TKku
ku
kukT
TKkukKku
kykrk
dip
i
i
epi
i
di
epip
m
++=
>≤
−
−+−=
+−+−+=
−=
ε
ε
εε
ε
U
U
VII .4 PID numériques (10)
F. Anti-saturation du terme intégral (suite):
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
2. Anti-saturation standard: Principe : recalculer le terme intégral pour ne pas saturer
)()()()()(
)(si))()((
)(si)1()1(
)(si))()((
)(
)()1()1()()(
)()()(
0
0
0
0
kukukukKku
kukukK
kukT
TKku
kukukK
ku
kukT
TKkukKku
kykrk
sdip
dp
i
epi
dp
i
di
epip
m
=++=
−<+−−
≤−+−
>+−
=
+−+−+=
−=
ε
ε
ε
ε
εε
ε
UU
U
UU
VII .5 Auto-réglage des PID (1)
A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
y(t)
t
Tu TgCorrecteur P:
eu
gp TT
TK
+=
Correcteur PI:
Tangente au point d’ inflexion
2
2
135,0
2
9,0
+
−+
=e
u
eg
eu
gp
TT
TT
TT
TK 2
2
27,0
+
=e
u
eg
i
p
TT
TT
T
K
VII .5 Auto-réglage des PID (2)
A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle (suite)
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
Correcteur PID:2
2
3,02,1
+
−+
=e
u
eg
eu
gp
TT
TT
TT
TK
2
2
6,0
+
=e
u
eg
i
p
TT
TT
T
K
e
gdp T
TTK
2=
VII .5 Auto-réglage des PID (3)
B. Méthode de Takahashi en boucle fermée:
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
−=
c
ecp T
TKK 16,0
c
c
i
p
T
K
T
K 2,1=
Principe : augmenter le gain en boucle fermée avec une correction proportionnelle jusqu’à la mise en oscill ation
Gain critique : Kc
Période des oscil lations : Tc
Correcteur PID:
4
3,0 ccdp
TKTK =
VII .6 Placement des pôles dominants
Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants
de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
enen TjTnn eezjs ωξξωωξξω
212,1
22,1 1 −±−=→−±−=Pôles dominants:
pôles dominés
constantenξω
constanteξ
pôles dominants
VII .7 Le prédicteur de Smith (1)
Synthèse particulière dans le cas des systèmes avec un retard important
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
)(
)()1( 1
zGz
s
sGZzz
d
d
−
−−
=
−=
Nombre de pôles important et déphasage important
Correcteur e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)
ym(k)
ε(k)
- BOZ
Te
Fonction de transfert du système (boucle ouverte):
avec eT
Td =
VII .7 Le prédicteur de Smith (2)
Principe: Asservir la sortie d’un modèle sans retard (prédicteur)
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
C(z) e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)
em(k)
- BOZ
Te
-
G(z) z-d-
yp(k)
)(kyp est la prédiction de la sortie future : ))(( eTdky +
correcteur numérique
)(kem est renvoyé sur l’entrée pour compenser les perturbations et les erreurs de modèle
VII .7 Le prédicteur de Smith (3)
Schéma équivalent:
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
C(z) e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)
- BOZ-
(1-z-d)G(z)
)()()1(1
)(
)(
)(
zGzCz
zC
zE
zUd−−+
=
Le correcteur C(z) est synthétisé sur le système sans retard
Te
e(k)
)()(1
)()(
)(
)(
zGzC
zGzCz
zR
zY d
+=
−
)()(1
)()(
)(
)(
zGzC
zGzC
zR
zYp
+=
VII .8 Commande avec modèle interne (1)
Principe: Rétroaction de l’écart entre le système et un modèle
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
CorrecteurSystèmestable
r(k) u(k) y(t)
em(k)
BOZ
Te
-
Modèle -
Si le modèle est parfait et s’ il n’y a aucune perturbation, le signal de contre-réaction est nul
correcteur numérique
ym(k)
Si le correcteur est stable le système bouclé est stable
VII .8 Commande avec modèle interne (2)
Schéma-bloc:
VII . Synthèse des cor recteurs numériques
C(z) G(s)r(k)u(k) y(t)
em(k)
BOZ
Te
-
Gm(z) -
Soit stable et
correcteur numérique
ym(k)
p(t)
−= −−
s
sGZzzzG d )(
)1()( 1 { })()( sPZzP =
e(k)
( )( ))()()()()(1
1)( zPzR
zGzGzCzE
m
−−+
=
VII .8 Commande avec modèle interne (3)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
)()(1
)()(
)()(1
)()(
zGzC
zCzF
zGzF
zFzC
mm −=⇔
+=
( ) ( ) )()()()(1
)()(1)(
)()()(1
)()()( zP
zGzGzC
zGzCzR
zGzGzC
zGzCzY
m
m
m −+−+
−+=
)()()()()( zPzEzGzCzY +=
Equivalence avec un correcteur série classique:
Hypothèse du modèle parfait:
)()()(1
1)(
)()(1
)()()( zP
zGzFzR
zGzF
zGzFzY
++
+=
Soit
)()( zGzGm = )())()(1()()()()( zPzGzCzRzGzCzY −+=
Si le correcteur est stable le système bouclé est stable
VII .8 Commande avec modèle interne (4)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC
Principes pour la synthèse du correcteur:
A. Hypothèse du modèle parfait
où GI(z) est la partie inversible de G(z)
et GNI(z) est la partie non inversible contenant les retards et les zéros non compensables
)()()()( zGzGzGzG NIIm ==
)())()(1()()()()( zPzGzQzRzGzQzY NINI −+=
Le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées
VII .8 Commande avec modèle interne (5)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC
Principes pour la synthèse du correcteur (suite):
B. Cas général du modèle imparfait
où GI(z) est la partie inversible de Gm(z)
et GNI(z) est la partie non inversible)()()()( zGzGzGzG NIIm ≠=
( ) ( ) )()()()()(1
)()(1)(
)()()()(1
)()()(
11
1
zPzGzGzGzQ
zGzQzR
zGzGzGzQ
zGGzQzY
NII
NI
NII
I
−+−+
−+= −−
−
En pratique, si Q(z) est un filt re passe-bas, de fréquence de coupure suff isamment petite alors le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées
VII .8 Commande avec modèle interne (6)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
Règles standards pour la synthèse du correcteur:
Soit
avec zi les zéros à partie réelle positive à l’ intérieur du cercle unité
zj les zéros à partie réelle positive à l’extérieur du cercle unité
zk les zéros à partie réelle négative
nrqpmpzz
zzzzzzg
zGn
ii
r
q
kk
p
jj
m
ii
m +<++−
−−−=
∏
∏∏∏
=
=== avec)(
)()()(
)(
1
111
∏ ∏
∏
= =
=
−−
−=
m
i
p
j ji
q
n
iic
zzzzz
pzgzQzC
1 1
1
)1
()(
)()()( avec
10
1
)1()(
)1()1( 1
<<−−=
= −
ααα
z
zzQ
GC m
VII .9 Synthèse algébr ique (1)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.1 Le correcteur RST:
A. Schéma
avec 1−z
yr(k) u(k) y(k)
δu(k) δy(k)ε(k)
-)( 1−zT
)(
11−zS
)( 1−zR
)(zG
)(),(),( 111 −−− zTzSzR polynômes en
et )( 1−zS monique 1)0( =S
Soit
1
)(
)()(
1
1
≥
= −
−−
d
zA
zBzzG
d
avec 1−z)(),( 11 −− zAzB polynômes en
premiers et )( 1−zA monique 1)0( =A
VII .9 Synthèse algébr ique (2)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
B. Equations du système bouclé
)()(
)()(
)(
)()(
)())()(()(
)()(
1
1
1
1
1
1
zYzS
zRzY
zS
zTzU
zYzUzUzA
zBzzY
r
d
−
−
−
−
−
−−
−=
++= δδ (1)
(2)
)()()()(
)()()()(
zYBRzAS
ARzU
BRzAS
BRzzY
BRzAS
ATzU
zYBRzAS
ASzU
BRzAS
BSzzY
BRzAS
BTzzY
dd
d
rd
dd
d
rd
d
δδ
δδ
−−
−
−
−−
−
−
−
+−
+−
+=
++
++
+= (3)
(4)
VII .9 Synthèse algébr ique (3)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
C. Objectifs de la synthèse
1. Le suivi de consigne obéit au modèle suivant:
)(
)()(
1
1
−
−−
=zA
zBzzM
m
md
τααeT
m ezzA−−− =−= avec1)( 11
avec 1)1( =M )1()1( mm AB =
l’erreur de position est nulle
Exemples de modèle:
Modèle d’ordre 1 de constante de temps τ:
Modèle d’ordre 2 de pulsation naturelle ωn et de facteur d’amortissement ξ:
22211 1avec)cos(21)( ξωβααβα ξω −==+−= −−−−en
Tm TezzzA en
)()()()( zYA
BzzMYzY
BRzAS
BTzzY r
m
md
rrd
d −
−
−
==+
= (5)
et )( 1−zAm monique 1)0( =mA
VII .9 Synthèse algébr ique (4)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
C. Objectifs de la synthèse (suite)
2. Rejet des perturbations d’entrée:
3. Rejet des perturbations de sortie:
Rejet des perturbations:
11
1)( −−
=z
zUδ )()1()( 11
11 −−− −= zSzzSPerturbation constante:
)()( zUBRzAS
BSzzY
d
d
δ−
−
+=
21
1
)1()( −
−
−=
z
zTzU eδ )()1()( 1
1211 −−− −= zSzzSPerturbation rampe:
)()( zYBRzAS
ASzY
dδ−+
=
Perturbation constante:
Perturbation rampe:
)()()1()()( 11
11
111 −−−−− −= zSzAzzSzA
)()()1()()( 11
11
2111 −−−−− −= zSzAzzSzA
)()1()(que tel 11
11 −−− −=∃ zSzzSp p (6)
VII .9 Synthèse algébr ique (5)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
D. Compensation des pôles et des zéros
1. Compensation des zéros:
)()()( 111 −−−+− = zBzBzB
m
md A
B
BRzAS
BT =+ −
)( 1−+ zB
)()()1()()()( 12
1110
11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p
cf. (5)
Soit
avec moniquecontient les zéros que l’on souhaite compenser
1)0( =+B
)( 1−− zB contient les zéros que l’on ne souhaite pas compenser(zéros en dehors du cercle unité, zéros à partie réelle négative, …)
(7)
)()()()(0
0
0
0
0
zYRBzAS
ASzU
RBzAS
BSzzY
RBzAS
TBzzY
dd
d
rd
d
δδ −−−−
−
−−
−−
++
++
+=
VII .9 Synthèse algébr ique (6)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
D. Compensation des pôles et des zéros (suite)
2. Compensation des pôles:
)()()( 111 −−−+− = zAzAzA
m
md A
B
RBzAS
TB =+ −−
−
0
)( 1−+ zA
)()()()()()( 10
1110
11 −−+−−−+− == zTzAzTzRzAzR
cf. (5) et (7)Soit
avec moniquecontient les pôles que l’on souhaite compenser
)( 1−− zA moniquecontient les pôles que l’on ne souhaite pas compenser(pôles en dehors du cercle unité, pôles sur le cercle unité, …)
(8)
)()()(
)()(00
0
00
0
00
0 zYRBzSA
SAzU
RBzSAA
BSzzY
RBzSA
TBzzY dd
d
rd
d
δδ −−−
−
−−−+
−
−−−
−−
++
++
+=
et
VII .9 Synthèse algébr ique (7)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
E. Calcul du correcteur RST
m
md A
B
RBzSA
TB =+ −−−
−
00
0
)()()( 10
110
−−+− = zAzBzT m
cf. (5), (6), (7) et (8)
mB
(10)
doit contenir −B +−= mm BBB (9)
m
md A
B
RBzSA
T +
−−− =+ 00
0
)()()()()()()1( 10
110
112
11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp (11)
Equations diophantiennes
avec moniqueet stable, ajouté pour le filt rage des perturbations0A
)()1()( 12
110
−−− −= zSzzS p
Suivi de consigne Rejet de perturbation
VII .9 Synthèse algébr ique (8)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
F. Résolution des équations diophantiennes
)()()()()()()1( 10
110
112
11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp
020 ,, TSR
{ } 1)(deg 12 −=− mzS
{ }{ }{ })()(deg
)(deg
)()1(deg
10
1
1
11
−−
−−−
−−−
==
−=
zAzAq
zBzm
zAzn
m
d
p
mnq +<• Si alors il existe une solution unique d’ordre minimal
telle que et
Soit
{ } 1)(deg 10 −=− nzR
Cf. (11)
(11) est une équation polynomiale d’ordre n+m-1avec n+mcoeff icients inconnus
système de n+m équations à n+m inconnues
VII .9 Synthèse algébr ique (9)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
F. Résolution des équations diophantiennes (suite)
{ } 1)(deg 12 −=− mzS
mnq +≥• Si alors il existe deux solutions d’ordre minimal
telles que :
1. et
2. et
{ } mqzR −=− )(deg 10
(11) est une équation polynomiale d’ordre qavec q+1 coeff icients inconnus
système de q+1 équations à q+1 inconnues
{ } nqzS −=− )(deg 12 { } 1)(deg 1
0 −=− nzR
VII .9 Synthèse algébr ique (10)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
F. Résolution des équations diophantiennes (suite)
)( 12
−zS
0,, AAA m−• Comme sont moniques, en posant
dans (11), on obtient
est monique
1)0(2 =S
02, RS• Si est une solution particulière de l’équation
diophantienne (11), alors
est également une solution de cette équation quelque soit
−−−−−− −−+ AzzQRBzzQS pd )1)((,)( 110
12
)( 1−zQ
01 =−z
il existe une infinité de solutions d’ordre supérieur
VII .9 Synthèse algébr ique (11)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
G. Fonctions de transfert en boucle fermée résultantes
)()()()(0
0
0
0 zYAA
SAzU
AAA
BSzzY
A
BBzzY
mm
d
rm
md
δδ−
+
−+−−
++=
+A doit être stable et de préférence amorti
)()()()(0
0
0
0 zYAAB
ARzU
AA
RBzzY
AB
ABzU
mm
d
rm
m δδ +
−−
+
+
−−=
+B doit être stable et de préférence amorti
(12)
(13)
(14)
)()()()()()(0
0
0
0 zYAA
SAzU
AAA
BSzzY
A
BBzAzYzYzE
mm
d
rm
md
mr δδ
−
+
−+−−
−−−=−=
VII .9 Synthèse algébr ique (12)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
H. Objectifs supplémentaires pour la synthèse1. Erreur de vitesse (erreur d’ordre 1) nulle:
2. Erreur d’accélération (erreur d’ordre 2) nulle:
3. Erreur d’ordre r nulle :
avec
)(),( 10
1 −−+ zBzBm
Cf. (13)
(15)
)()()()( zYA
BBzAzYzYzE r
m
md
mr
+−−−=−=
21
1
)1()( −
−
−=
z
zTzY e
r )()1( 10
21 −−+−− −=− zBzBBzA md
m
Equation diophantienne
)()1( 10
31 −−+−− −=− zBzBBzA md
m
)()1( 10
)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm
dm
VII .9 Synthèse algébr ique (13)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
I. Récapitulatif
1. Définition des pôles et des zéros à compenser
2. Définition du modèle de suivi de consigne
)()(
)()(
)(
)()(
11
11
1
1
−−−+
−−−+−
−
−−
==zAzA
zBzBz
zA
zBzzG
dd
)( 1−+ zBavec moniqueet contenant les zéros que l’on souhaite compenser
)( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
)( 1−+ zA moniqueet contenant les pôles que l’on souhaite compenser
)( 1−− zA moniqueet contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
)(
)()(
)(
)()(
1
11
1
1
−
−+−−−
−
−−
==zA
zBzBz
zA
zBzzM
m
md
m
md
avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==)()1( 1
0)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA r
md
m
VII .9 Synthèse algébr ique (14)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
I. Récapitulatif (suite)
3. Ajout d’ intégrateurs pour le rejet de perturbation
4. Choix d’un filt re supplémentaire pour les perturbations
5. Résolution des équations diophantiennes
)( 10
−zA
)()1()( 11
11 −−− −= zSzzS p
1)( 10 =−zA
)()()()()()()1( 10
110
112
11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp
)()()( 10
110
−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10
12
10
−−− zTzSzR
stable et monique par défaut
avec )( 12
−zS monique
VII .9 Synthèse algébr ique (15)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
I. Récapitulatif (suite)
6. Calcul du correcteur RST
7. Réalisation du correcteur
�+++== −−−−+− 22
110
10
11 )()()( ztzttzTzAzT
�+++== −−−−+− 22
110
10
11 )()()( zrzrrzRzAzR
�+++=−= −−−−+−− 22
11
12
111 1)()()1()( zszszSzBzzS p
�
��
−−−−+−++−−−−−=⇒
−= −
−
−
−
)1()(
)1()()2()1()(
)()(
)()(
)(
)()(
10
1021
1
1
1
1
kyrkyr
kytkytkuskusku
zYzS
zRzY
zS
zTzU
rr
r
VII .9 Synthèse algébr ique (16)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.2 Correcteur à temps d’établissement fini:
A. Système :
Soit
B. Modèle de suivi de consigne particulier:
)()(
)()(
)(
)()(
11
11
1
1
−−−+
−−−+−
−
−−
==zAzA
zBzBz
zA
zBzzG
dd
)( 1−+ zBavec moniqueet contenant les zéros que l’on souhaite compenser
)( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
)( 1−+ zA moniqueet contenant les pôles que l’on souhaite compenser
)( 1−− zA moniqueet contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
)()()(
)()( 11
1
1−+−−−
−
−−
== zBzBzzA
zBzzM m
d
m
md
avec 1)1()1( =+−mBB
)()1()()(1 10
)1(111 −+−−+−−− −+= zBzzBzBz rm
d
1)( 1 =−zAm
et (erreur d’ordre r nulle)
VII .9 Synthèse algébr ique (17)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite):
C. Résolution des équations diophantiennes:
D. Calcul du correcteur à temps d’établissement fini:
)()()()()()1( 10
10
112
11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz dp
)()()( 10
110
−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10
12
10
−−− zTzSzR
avec )( 12
−zS monique
)()()( 10
11 −−+− = zTzAzT
)()()( 10
11 −−+− = zRzAzR
)()()1()( 12
111 −−+−− −= zSzBzzS p
VII .9 Synthèse algébr ique (18)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite):
E. Fonctions de transfert en boucle fermée:
)()()()(0
0
0
0 zYA
SAzU
AA
BSzzYBBzzY
d
rmd δδ
−
+
−+−− ++= Cf. (12)
Cf. (13))()()()()1()()()(0
0
0
010
)1(1 zYA
SAzU
AA
BSzzYzBzzYzYzE
d
rr
r δδ−
+
−−+− −−−=−=
Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Υ= )()(
11
1
)1(
)()( +−
−
−=
nr z
zPzY )()()1()( 11
0)(1 −−−−−= zPzBzzE nr
Temps d’établissement fini minimal si est minimal )( 10
−zB
{ })()()1(deg0)( 110
)(10
−−−−−=>∀= zPzBzkkk nrε
VII .9 Synthèse algébr ique (19)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite):
F. Correcteur à réponse pile (« dead beat control »)
Cf. (14)
Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Υ= )()(
11
1
)1(
)()( +−
−
−=
nr z
zPzY
1111
1)(1
1
1)()()()1()( −
−−+−−−
−−=
zzPzBzAzzU m
nr
{ })()()()1(degconstante)( 1111
)(10
−−+−−−−=>∀= zPzBzAzkkku mnr
Temps d’établissement fini et réponse pile
)()()()(0
0
0
0 zYAB
ARzU
A
RBzzY
B
ABzU
d
rm δδ +
−−
+
+
−−=
Cas particulier : si et si le système contient r intégrateurs 1)( 1 =−+ zB
)()1()( 11
11 −−− −= zAzzA r
VII .9 Synthèse algébr ique (20)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.3 Correcteur série:
A. Schéma
avec 1−z
yr(k) u(k) y(k)
δu(k) δy(k)ε(k)
- )(
)(1
1
−
−
zS
zR )(zG
)(),( 11 −− zSzR polynômes en et )( 1−zS monique
)()( 11 −− = zTzRCorrecteur RST avec
Moins de degrés de liberté dans la synthèse du correcteur
VII .9 Synthèse algébr ique (21)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.3 Correcteur série (suite):
B. Système :
Soit
C. Modèle de suivi de consigne:
)()(
)()(
)(
)()(
11
11
1
1
−−−+
−−−+−
−
−−
==zAzA
zBzBz
zA
zBzzG
dd
)( 1−+ zBavec moniqueet contenant les zéros que l’on souhaite compenser
)( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
)( 1−+ zA moniqueet contenant les pôles que l’on souhaite compenser
)( 1−− zA moniqueet contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
et (erreur d’ordre r nulle)
)(
)()(
)(
)()(
1
11
1
1
−
−+−−−
−
−−
==zA
zBzBz
zA
zBzzM
m
md
m
md
avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==
)()1( 10
)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm
dm
VII .9 Synthèse algébr ique (22)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
9.3 Correcteur série (suite):D. Ajout d’ intégrateurs pour le rejet de perturbation et le suivi de
consigne :
E. Compensation des pôles et des zéros:
F. Résolution des équations diophantiennes (sans filt re supplémentaire)
)()1()( 11
11 −−− −= zSzzS p
)()()1()()()( 12
1110
11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p
)()()( 10
11 −−+− = zRzAzR
)()( 10
1 −−+ = zRzBm
)()()()()()1( 110
112
11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz mdp
20,SR
Le choix de est imposé+mB
)1()1()1( 0 mARB =−
0)1(1)1( BzBBzA r
md
m+−+−− −+= si p+m>rsoit )()1()( 1
111 −−−−− −= zAzzA m
Marges de stabilit é
••
CG(ejωTe)
1-1•
cω
ϕδ
g1−
g′−1
•
Diagramme de Nyquist
Critère de Nyquist:Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejωΤe)encercle le point -1 dans le sens anti-horlogiqueun nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte
VII .10 Robustesse (1)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
eT
πω =
0=ω
Marges de stabilit é (suite)
B. Marge de retard ττ
= retard qui entraîne l’ instabilit é
{ } ( )( )
eci
i
i
Tji
Tjci
T
eCG
eCG
eci
eci
ωϕτ
πϕ
ωω
ω
min
argsoit
1que tellespulsations lessoit
=⇒
+=
=
A. Marge de phase ϕϕ
= déphasage qui entraîne l’ instabilit é (retard de phase)
VII .10 Robustesse (2)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques
Marges de stabilit é (suite)
D. Marge de module δδ
= distance minimale entre CG(ejωΤe) et -1
{ }∞
∈
∈=⇒
+
=+=S
eCG
eCG
e
e
Tj
Tj 1
)(11
sup
1)(1inf δδ
ωω
ω
ω
R
R
∞∞∞= LH ou norme
C. Marges de gain g et g’ < 1
= gain qui entraîne l’ instabili té
VII .10 Robustesse (3)
VI I . Synthèse des cor recteurs numériques