1CPV ESPMJUN2013

MATEMÁTICA

21. O valor numérico da expressão (x2 + 4x + 4) . (x2 – 2x)

x2 – 4

para x = 48 é:

a) 4800 b) 1200 c) 2400 d) 3500 e) 1800

Resolução:

Fatorando a expressão, temos:

(x2 + 4x + 4) . (x2 – 2x)

(x2 – 4) =

(x + 2)2 . x (x – 2)(x + 2) . (x – 2)

= (x + 2) . x

Para x = 48,

(x + 2) . x = 50 . 48 = 2400Alternativa C

22. Um número natural N, quando dividido por 18 ou por 15, deixa o mesmo resto R. Se R é o maior possível e N o menor possível, o valor de N + R é:

a) 98 b) 121 c) 100 d) 105 e) 118

Resolução:

N = 18 q + R (0 ≤ R ≤ 17) N = 15 q' + R (0 ≤ R ≤ 14)

Como R é o maior valor possível, temos R = 14. Assim,

N = 18 q + 14, N – 14 = 18 q N = 15 q' + 14, N – 14 = 15 q'

Como N tem que ser o menor valor possível e N – 14 tem que ser múltiplo de 18 e 15, temos que:

N – 14 = mmc (18; 15) Þ N – 14 = 90 Þ N = 104

Portanto, N + R = 104 + 14 = 118Alternativa E

Þ

ESPM Resolvida – PRova e – 23/junho/2013

CPV – esPecializado na ESPM

ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM2

CPV ESPMJUN2013

23. As soluções inteiras da equação x2 – y2 = 7 formam 4 pares ordenados. Esses pares representam, no plano cartesiano, os vértices de um quadrilátero cuja área vale:

a) 30 b) 48 c) 24 d) 32 e) 36

Resolução:

x2 – y2 = 7 Û (x + y) . (x – y) = 7

Para soluções inteiras, temos:

x + y = 7 Þ (x = 4 e y = 3) ou x – y = 1

x + y = 1 Þ (x = 4 e y = –3) ou x – y = 7

x + y = –7 Þ (x = – 4 e y = –3) ou x – y = –1

x + y = –1 Þ (x = – 4 e y = 3) x – y = –7

Então, o quadrilátero em questão pode ser representado no plano cartesiano:

A área do quadrilátero é 8 . 6 = 48 Alternativa B

y

3

4

–3

–4 x

24. Na função f (x) = 2x – x, o valor de fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3) é:

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32

Resolução:

Pelo enunciado temos:

fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3)

f(f (0)) + f(f (1)) + f(f (2)) + f(f (3)) f (0) = 20 – 0 = 1

f (1) = 21 – 1 = 1

f (2) = 22 – 2 = 2

f (3) = 23 – 3 = 5

f (1) + f (1) + f (2) + f (5) f (5) = 25 – 5 = 27

Portanto, 1 + 1 + 2 + 27 = 31Alternativa D

25. O valor máximo que a função f (x) = 1( )2

x2 – 4x pode

asumir é:

a) 16 b) 32 c) 8 d) 1 e) 4

Resolução:

Como a função f (x) = 1( )2

x2 – 4x é uma função exponencial

decrescente, ela será máxima quando seu expoente (x2 – 4x) for

mínimo; como o expoente é dado por uma função quadrática, seu

valor mínimo será:

yv = – Δ4a

= – ((–4)2 – 4 . 1 . 0)

4 . 1 = – 4

Portanto, o valor máximo de f (x) é:

1( )2

–4 = 16

Alternativa A

3CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 23/06/2013

ESPMJUN2013 CPV

26. O mais amplo domínio da função real f (x) = log2x–2 (x2 – 3x + 2) é o conjunto D = {x Î | x > k}. O valor de f (k + 1) é:

a) –1 b) 0

c) 14

d) 2

e) 12

Resolução:

Analisando o domínio da função logarítmica, temos:

x2 – 3x + 2 > 0 x < 1 ou x > 2 2x – 2 > 0 Þ x > 1 Þ x > 2 2x – 2 ≠ 1 x ≠ 1,5

Ou seja: D = {x Î | x > 2} e k = 2. f (2 + 1) = f (3) = log2 . 3 – 2 (32 – 3 . 3 + 2) = log4(2) =

12

Alternativa E

27. Sabe-se que as raízes da equação x2 + kx + 6 = 0 são dois números naturais primos. O valor de k pertence ao intervalo:

a) [–8; –6] b) [–6; –3] c) [–3; 0] d) [0; 4] e) [4; 7]

Resolução:

Analisando a soma e o produto das raízes da equação

x2 + kx + 6 = 0 temos:

soma = – k produto = 6

Como as raízes são dois números naturais primos e de produto 6, elas só podem ser os números 2 e 3.

Soma = 2 + 3 = – k Þ k = – 5 Portanto, k pertence ao intervalo [– 6; –3].

Alternativa B

28. Uma agência de turismo fez uma consulta a um grupo de clientes. 40% dos consultados disseram que tinham viajado nas últimas férias, sendo que, destes, 60% viajaram pelo Brasil, 30% para a América do Norte e as outras 12 pessoas foram para a Europa.

O número de entrevistados que disseram não ter viajado nessas férias foi:

a) 240 b) 180 c) 120 d) 90 e) 200

Resolução:

Chamado de T o total das pessoas consultadas, temos que: 40% T → viajou 60% T → não viajou

Dos que viajaram temos:

40% T . 60 % → viajaram pelo Brasil 40% T . 30 % → viajaram pela América do Norte 40% T . 10 % → viajaram pela Europa.

Como 40 % . T . 10% = 12 T = 300

Logo, o número de entrevistados que disseram não ter viajado é dado por:

60% . 300 = 180Alternativa B

ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM4

CPV ESPMJUN2013

29. Um produto que custou R$ 1300,00 foi vendido com lucro de 20% sobre o preço de custo. Depois disso, foi vendido novamente, mas com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Podemos afirmar que este último preço de venda foi de:

a) R$ 1870,00 b) R$ 1980,00 c) R$ 2105,00 d) R$ 1950,00 e) R$ 1890,00

Resolução:

Na primeira venda temos:

v1 → preço de venda

c1 = 1300 → custo

L1 = 0,2 . c1 → lucro

Como L1 = v1 – c1 0,2 . 1300 = v1 – 1300 v1 = 1560

Como o produto foi vendido novamente, para o revendedor, 1560 é o preço de custo, preço pelo qual ele comprou o produto na primeira venda.

Na segunda venda temos:

v2 → preço de venda

c2 = 1560

L2 = 0,2 v2

Como L2 = v2 – c2 Þ 0,2 v2 = v2 – 1560

v2 = 1950,00Alternativa D

30. Um tanque abastecido por duas torneiras de mesma vazão fica completamente cheio em 4 horas. Ao meio-dia iniciou-se o enchimento desse tanque com as duas torneiras abertas, mas duas horas depois uma delas foi fechada, completando-se o processo com uma só torneira.

Podemos concluir que o tanque ficou totalmente cheio às:

a) 17 h b) 17 h30 min c) 18 h d) 18 h30 min e) 19 h

Resolução:

Como as duas torneiras possuem a mesma vazão, uma torneira sozinha enche o tanque em 8 horas. Após duas horas em que as torneiras estão abertas, metade do tanque foi cheio, sobrando a outra metade para uma torneira sozinha. Como ela leva 8 horas para encher o tanque todo, em 4 horas ela encherá metade.

Sendo assim:

2 horas + 4 horas = 6 horas duas uma torneiras torneira juntas sozinha

Como o trabalho iniciou-se ao meio dia, terminou às 18 h (6 horas depois.)

Alternativa C

5CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 23/06/2013

ESPMJUN2013 CPV

31. Duas matrizes quadradas de mesma ordem são inversas se o seu produto é igual à matriz identidade daquela ordem.

Sendo A = 2 1[ ] 0 –1 e B = x y[ ] z w matrizes inversas, o

valor de x + y + z + w é:

a) 0 b) 1 c) –2 d) 3 e) – 4

Resolução:

2 1[ ] 0 –1 . x y[ ] z w

= 1 0[ ] 0 1

2x + z 2y + w[ ] –z –w = 1 0[ ] 0 1

Assim:

2x + z = 1 x = 1/2 2y + w = 0 y = 1/2 – z = 0 z = 0 – w = 1 w = – 1 Logo, x + y + z + w = 0

Alternativa A

32. Sabendo-se que a b| | m n = 2, podemos afirmar que:

a) 2a 2b| | 2m 2n = 4

b) a m| | b n = –2

c) 2m 2n| | a b = –4

d) –a –b| | –m –n = –2

e) a a + b| | m m + n = 4

Resolução:

a b| | m n = 2 Þ –

m n| | a b = 2 Þ m n| | a b = – 2

Logo, 2m 2n| | a b = 2 . m n| | a b = – 4

Alternativa C

Þ

33. O campeonato de futsal de uma faculdade será disputado por 6 equipes. Na primeira fase de classificação, todas as equipes jogam entre si, uma única vez. Das 4 melhores colocadas, a primeira joga com a quarta e a segunda joga com a terceira e os vencedores dessas partidas jogam entre si, resultando daí a equipe campeã.

O número total de jogos realizados será igual a:

a) 15 b) 20 c) 18 d) 16 e) 21

Resolução:

Na primeira fase temos: C6,2 = 15 jogos

Na fase seguinte temos: 1a x 4a e 2a x 3a Þ 2 jogos

Na fase final: 1 jogo

Assim, o número total de jogos será igual a 18. Alternativa C

34. No curso de Administração de uma faculdade, 80% dos alunos são homens, mas no curso de Propaganda esse percentual cai para 60%. Escolhendo-se, ao acaso, um aluno de cada curso, a probabilidade de que sejam duas mulheres é igual a:

a) 20% b) 16% c) 12% d) 8% e) 6%

Resolução:

No curso de Administração, 80% são homens e 20% mulheres.

No curso de Propaganda, 60% são homens e 40% mulheres. Assim, escolhendo-se ao acaso um aluno de cada curso, a

probabilidade de que sejam mulheres é dada por:

20% . 40% = 8%Alternativa D

ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM6

CPV ESPMJUN2013

35. Um polinômio P(x) dividido por x – 1 tem como quociente Q(x) e resto 2. Quando esse polinômio é dividido por x – 2 tem o mesmo quociente Q(x) e resto 3.

Podemos afirmar que o valor de Q(1) + Q(2) é:

a) 1 b) 0 c) –2 d) –1 e) 2

Resolução:

P(x) = (x – 1) . Q(x) + 2 P(1) = 2 P(x) = (x – 2) . Q(x) + 3 P(2) = 3

Assim,

P(2) = (2 – 1) . Q(2) + 2 3 = Q(2) + 2 Q(1) = 1 P(1) = (1 – 2) . Q(1) + 3 2 = – Q(1) + 3 Q(2) = 1

Logo, Q(1) + Q(2) = 2Alternativa E

e

ÞÞ

36. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. BCE e EBF são triângulos isósceles de bases BE e BF, respectivamente. Sabendo-se que A, C e E estão alinhados e que A, B e F também estão alinhados, a medida do ângulo x é:

a) 22º30' b) 30º c) 15º d) 45º e) 60º

Resolução:

Da figura, temos:

2α = 45º α + β = 90º Þ α = 22º30', β = 67º30' e x = 45º x + 2β = 180º

Alternativa D

45º

45ºα

α

β β

7CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 23/06/2013

ESPMJUN2013 CPV

37. Na progressão aritmética finita (–5, ..., 15), sabe-se que o último termo é igual à soma de todos os anteriores. O produto da razão pelo número de termos dessa PA é igual a:

a) 24 b) 18 c) 12 d) 30 e) 15

Resolução:

Na PA finita (–5, ..., 15), temos:

Sn – 15 = 15 Þ Sn = 30

Þ (–5 + 15) . n2

= 30 Þ n = 6

Assim,

a6 = a1 + 5r Þ 15 = –5 + 5r Þ r = 4

Portanto, n . r = 6 . 4 = 24Alternativa A

38. Uma reta do plano cartesiano tem equações paramétricas dadas por x = 2t + 1 e y = t – 1, com t Î . O coeficiente angular (ou declividade) dessa reta é igual a:

a) –2 b) 2 c) – 1

2 d) –1

e) 12

Resolução:

x = 2t + 1 x = 2t + 1

y = t – 1 –2y = –2t + 2

Somando membro a membro as duas equações, temos:

x – 2y = 3 Þ y = 12

x – 32

Portanto, o coeficiente angular da reta é 12

.Alternativa E

Þ

39. A parábola de equação x2 = 2y + 4 e a circunferência de equação x2 + y2 = 4 interceptam-se nos pontos A, B e C.

A área do triângulo ABC é igual a:

a) 4 b) 12 c) 8 d) 2 e) 16

Resolução:

x2 = 2y + 4 x2 + y2 = 4

No plano cartesiano, temos:

y

xAB

C

(2;0)(–2;0)

(0;–2)

A área do triângulo ABC é 4 . 2

2 = 4

Alternativa A

Þ (x = 2 e y = 0) ou (x = –2 e y = 0) ou (x = 0 e y = –2)

ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM8

CPV ESPMJUN2013

40. A base de um prisma reto é um triângulo retângulo que possui um ângulo interno de 30º e a hipotenusa medindo 8 cm.

Se a altura desse prisma é igual ao maior cateto da base, seu volume é igual a:

a) 108 cm3

b) 96 cm3

c) 218 cm3

d) 154 cm3

e) 84 cm3

Resolução:

Chamemos de x o valor do maior cateto do triângulo retângulo. Assim:

cos 30º = x8

Þ x = 4 3 cm

A área da base é AB = 12

. 4 3 . 8 . sen 30º = 8 3 cm2

O volume do prisma é V = AB . x = 8 3 . 4 3 = 96 cm3

Alternativa B

x

8

30º

COMENTÁRIO DO CPV

A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM (junho de 2013) premiou os vestibulandos com uma avaliação primorosa, de enunciados claros e precisos, escolha adequada de assuntos e apesar de sua simplicidade, muita criatividade.

Acreditamos que os candidatos mais preparados puderam deliciar-se em meio a estas questões, mostrando o seu potencial.

Parabenizamos a Banca examinadora por esta excepcional demonstração de competência.