Como Os Professores Usam Materiais Manipulativos Para Ensinar Matematica

7/17/2019 Como Os Professores Usam Materiais Manipulativos Para Ensinar Matematica

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Ainda estamos nos divertindo?

Como os professores usam materiais manipulativos para ensinar matemática

Texto adaptado de MOYER, Patricia S. Are we having fun yet? ow teacher! u!e

"anipu#ative! to teach "athe"atic!. Educational Studies in Mathematics $%& '%()'*%,

+'.

-o" u"a con!iderve# pe!/ui!a apoiando o u!o de "ateriai! "anipu#ativo! e

a"p#a! oportunidade! de de!envo#vi"ento profi!!iona# de profe!!ore! foca#i0ando !eu u!o,

o! "ateriai! "anipu#ativo! !1o co"un! na! !a#a! de au#a do En!ino 2unda"enta#. -o"o

pode !er verificado e" propo!ta! curricu#are!, #ivro!)texto !o3re "etodo#ogia, cur!o! de

for"a41o continuada, peri5dico! profi!!ionai! e cat#ogo! co"erciai!, o u!o de "ateriai!

"anipu#ativo! e!t 3e" !ituado na! atuai! tend6ncia! para o en!ino da "ate"tica.

Por que os materiais manipulativos se tornaram populares?

7o !8cu#o pa!!ado, diver!o! fatore! contri3u9ra" para a popu#aridade do! "ateriai!

"anipu#ativo! no en!ino da "ate"tica. Muito! pe!/ui!adore! e te5rico! de!afiara"

cren4a! anterior"ente co"un! !o3re a aprendi0age", co" 3a!e e" !ua! cren4a! de /ue a!

crian4a! preci!a" entender o /ue e!t1o aprendendo para /ue a aprendi0age" !e:a

per"anente. O tra3a#ho de ;o#tan <iene! ='*>* convenceu o! pe!/ui!adore! de /ue o u!o

de vria! repre!enta4@e! de u" conceito ou incorpora4@e! "B#tip#a!C era nece!!rio para

apoiar a co"preen!1o do! e!tudante!. Piaget ='*(+ !ugeriu /ue a! crian4a! n1o t6"

"aturidade "enta# para apreender conceito! "ate"tico! a3!trato! apre!entado! !o"ente

por "eio de pa#avra! ou !9"3o#o! e preci!a" de "uita! experi6ncia! co" "ateriai!

concreto! e de!enho! para /ue a aprendi0age" ocorra. Druner ='*>, '*> conc#uiu /ue a!

crian4a! pode" de"on!trar !ua co"preen!1o e" tr6! e!tgio! de repre!enta41o& #ega#

=enactive, !ugerindo o pape# de o3:eto! f9!ico!F icGnico e !i"35#ico. A! teoria! de SHe"p

='*% !u!tentara" a cren4a de /ue a! experi6ncia! e intera4@e! do! e!tudante! co" o3:eto!

f9!ico! for"ava" a 3a!e para a aprendi0age" po!terior no n9ve# a3!trato. -o" 3a!e e"

teoria! da cogni41o e da con!tru41o !ocia# do conheci"ento =Iigot!Hy, '*%, u"a pe!/ui!a

"ai! recente de -o33 ='**( di!cute ferra"enta! cu#turai! co"o ta3u#eiro! de centena

=hundred! 3oard!, "o!trando a re#a41o co"p#icada entre "ateriai! "anipu#ativo! e

'



per!pectiva! !ociocu#turai!. A pe!/ui!a atua# e" educa41o "ate"tica v6 o! e!tudante!

co"o participante! ativo! /ue con!troe" conheci"ento por "eio da reorgani0a41o de !eu!

"odo! pre!ente! de conhecer e da extra41o de coer6ncia e !ignificado a partir de !ua!

experi6ncia! =J#over, Ronning e Druning, '**F Re!nicH, '*KF Si"on, '**(F von

J#a!er!fe#d, '**, '**(. O i"pacto de teoria! e pe!/ui!a! /ue conecta" a! a4@e! do!

e!tudante! !o3re o3:eto! f9!ico! L aprendi0age" "ate"tica teve u"a inf#u6ncia i"portante

na e"erg6ncia e no u!o de "ateriai! "anipu#ativo! e" !a#a! de au#a do En!ino

2unda"enta#.

Materiai! "anipu#ativo! !1o o3:eto! pro:etado! para repre!entar exp#9cita e

concreta"ente id8ia! "ate"tica! /ue !1o a3!trata!. E#e! t6" ape#o vi!ua# e tcti# e pode"

!er "anipu#ado! pe#o! a#uno!. O! fa3ricante! anuncia" e!!e! "ateriai! co"o "ateriai! /ue

tornar1o o en!ino e a aprendi0age" de "ate"tica divertido!C e pro"ove" !eu! produto!co"o cata#i!adore! para enga:ar o! e!tudante! na aprendi0age" "ate"tica. -o"o o

pen!a"ento a3!trato do! e!tudante! e!t ancorado forte"ente e" !ua! percep4@e! concreta!

do "undo =Tho"p!on, '**+, "anipu#ar ativa"ente tai! "ateriai! per"ite /ue o! a#uno!

de!envo#va" u" repert5rio de i"agen! /ue pode" !er u!ada! na "anipu#a41o "enta# de

conceito! a3!trato!.

Os materiais manipulativos não são mágicos

Entretanto, o! "ateriai! "anipu#ativo! n1o !1o "gico! =Da##, '**+. E#e! n1o !1o,

e" !i "e!"o!, portadore! de !ignificado ou in!ight. E"3ora experi6ncia! cine!t8!ica!

po!!a" a"p#iar a percep41o e o pen!a"ento, a co"preen!1o n1o via:a da! ponta! do! dedo!

3ra4o aci"aC =Da##, '**+, p. $%. atrav8! de !eu u!o co"o ferra"enta! /ue o! e!tudante!

t6" a oportunidade de ganhar in!ight e" !ua experi6ncia co" e#e!. A pe!/ui!a te"

"o!trado /ue, para /ue a! crian4a! u!e" repre!enta4@e! concreta! efetiva"ente !e"

"aiore! de"anda! !o3re !ua capacidade de proce!!a"ento, e#a! preci!a" conhecer o!

"ateriai! de for"a !uficiente para u!)#o! auto"atica"ente =Dou#ton)Newi!, '**. Se o

u!urio e!tiver con!tante"ente con!ciente do artefato, ent1o e#e n1o 8 u"a ferra"enta, poi!

n1o e!t !ervindo ao prop5!ito de po!!i3i#itar a#gu"a atividade de!e:ada /ue #eve a u"

o3:etivo de!e:ado =inograd e 2#ore!, '*>. "a coi!a i"portante a !er con!iderada 8 a

+



!ignifica41o do! "ateriai! "anipu#ativo! co"o ferra"enta! potenciai! e !ua !ignifica41o

co"o u"a fun41o da tarefa para a /ua# u" profe!!or conce3e /ue e#e! !e:a" u!ado!.

O! a#uno!, a#gu"a! ve0e!, aprende" a u!ar o! "ateriai! "anipu#ativo! de "aneira

"ecQnica, co" pouca ou nenhu"a aprendi0age" do! conceito! "ate"tico! por tr! do!

procedi"ento! =ie3ert e earne, '**+ e fa#ta de ha3i#idade e" #igar !ua! a4@e! co"

e!!e! "ateriai! a !9"3o#o! a3!trato! =Tho"p!on e Tho"p!on, '**. !!o acontece por/ue

o "ateria# 8 !i"p#e!"ente a repre!enta41o, por parte do fa3ricante, de u" conceito

"ate"tico /ue pode !er u!ado para diferente! prop5!ito!, e" vrio! contexto!, co" grau!

variado! de tran!par6nciaC. Meira ='** define o conceito de tran!par6ncia de

di!po!itivo! in!trucionai! co"o u" 9ndice de ace!!o a conheci"ento! e atividade! "ai! do

/ue co"o u"a caracter9!tica inerente do! o3:eto!... u" proce!!o "ediado por atividade!

/ue !e de!do3ra" e participa41o do! u!urio! e" prtica! !ociocu#turai! e" anda"entoC =p.'+'. A co"preen!1o ou !ignificado de "ateriai! "anipu#ativo! particu#are! !e torna

conhecida ao! u!urio! no proce!!o de u!)#o! e" a"3iente! co"parti#hado!. O! "ateriai!

"anipu#ativo! n1o !1o nece!!aria"ente tran!parente!. <eve"o! exa"inar co"o !1o u!ado!

pe#o! e!tudante! ante! de poder"o! :u#gar !e a tran!par6ncia e"erge ou n1o. Se a

tran!par6ncia e"erge, i!!o acontece cada ve0 /ue u" "ateria# 8 u!ado para o en!ino da

"ate"tica no contexto e prop5!ito de cada au#a e" particu#ar. a "edia41o por

e!tudante! e profe!!ore! e" prtica! co"parti#hada! e !ignificativa! /ue deter"ina a

uti#idade do! "ateriai! "anipu#ativo!. Portanto, o a!pecto f9!ico de "ateriai! "anipu#ativo!

concreto! n1o carrega o !ignificado da! id8ia! "ate"tica! por tr! de#e!. O! e!tudante!

deve" ref#etir !o3re !ua! a4@e! co" o! "ateriai! "anipu#ativo! para con!truir !ignificado!.

Pesquisas sobre materiais manipulativos

Muita! pe!/ui!a! t6" "o!trado /ue o! a#uno! /ue u!a" "ateriai! "anipu#ativo! na!

au#a! de "ate"tica t6" de!e"penho "e#hor do /ue o! /ue n1o o fa0e" =<ri!co##, '*KF

Jra3e##, '*%F Raphae# e ah#!tro", '**F Sowe##, '**F Suyda", '*>. Entretanto,

a#gun! e!tudo! "o!trara" /ue o! n9vei! de !uce!!o do! a#uno! e!t1o re#acionado! L

experi6ncia do! profe!!ore! no u!o do! "ateriai! =Sowe##, '**F Raphae# e ah#!tro",

'**. Outra! pe!/ui!a! foca#i0ara" o! efeito! do u!o do! "ateriai! !o3re e!tudante! de

diferente! n9vei! de ha3i#idade =Prigge, '*%F Threadgi##)!owder and ui#f!, '* , !o3re a

K



fre/6ncia da! intera4@e! ver3ai! =Stig#er e Darane!, '* e !o3re a! atitude! do! a#uno!

e" re#a41o L "ate"tica =Sowe##, '**. A#8" di!!o, diver!o! e!tudo! =por exe"p#o,

Ji#3ert e Du!h, '*F Scott, '*KF ei!!, '**$ foca#i0ara" o treina"ento prtico de

profe!!ore! no u!o do! "ateriai! e docu"entara" a fre/6ncia do u!o, 3e" co"o cren4a!

!e#ecionada! do! profe!!ore!. E"3ora "eta)an#i!e! e revi!@e! de tra3a#ho! de pe!/ui!a

!o3re "ateriai! "anipu#ativo! tenha" docu"entado co"o e!!e! "ateriai! !1o u!ado! e"

!itua4@e! "ate"tica! pre!crita! =-#e"ent!, '***F Parha", '*KF Sowe##, '**F Suyda",

'*(, fa#ta" o3!erva4@e! e entrevi!ta! de profe!!ore! /ue u!a" o! "ateriai! e" !a#a! de

au#a t9pica! para !eu! pr5prio! prop5!ito!.

O! profe!!ore! de!e"penha" u" pape# i"portante na cria41o de a"3iente!

"ate"tico! /ue forne4a" ao! a#uno! repre!enta4@e! /ue a"p#ie" !eu pen!a"ento.

Entretanto, "e!"o /ue o! profe!!ore! tenha" aprendido e!trat8gia! apropriada! para u!ar "ateriai! "anipu#ativo!, !ua! cren4a! !o3re co"o o! a#uno! aprende" "ate"tica pode"

inf#uenciar co"o e por /ue u!a" o! "ateriai! da for"a co"o o fa0e". O! profe!!ore!

deve" ref#etir !o3re a! repre!enta4@e! do! a#uno! !o3re a! id8ia! "ate"tica! e a:ud)#o! a

de!envo#ver co"preen!@e! cada ve0 "ai! a3!trata! e !ofi!ticada! =-#e"ent!, '***. E!!e 8

u" de!afio no en!ino de "ate"tica, por/ue "uito! profe!!ore! carece" da! co"pet6ncia!

"ate"tica! para tran!for"ar id8ia! "ate"tica! e" repre!enta4@e! =Da##, '**F '**+F

Orton, '*. A#gun! profe!!ore! u!a" "ateriai! "anipu#ativo! e" u" e!for4o para

refor"u#ar !eu en!ino de "ate"tica !e" ref#etir !o3re co"o o u!o de repre!enta4@e! pode

"udar o en!ino de "ate"tica =Jrant, Peter!on e Sho:green)<owner, '**>.

Ainda /ue a pe!/ui!a gera#"ente ap5ie o u!o do! "ateriai! "anipu#ativo!, h

evid6ncia! =Da##, '**+F Meira, '** de /ue a "era pre!en4a de!!e! "ateriai! n1o garante a

a/ui!i41o de co"preen!1o conceitua# =Daroody, '**. Muito! de!!e! tra3a#ho! anteriore!,

entretanto, u!ara" t8cnica! de survey e fa#hara" e" inc#uir o3!erva4@e! direta! na !a#a de

au#a. E!te e!tudo repre!enta u"a i"portante exten!1o da pe!/ui!a /ue exi!tia ante!, i!to 8,

e#e u!a dado! de o3!erva4@e!, entrevi!ta! e auto)re#ato! para exp#icar co"o e por /ue o!

profe!!ore! u!a" o! "ateriai! da for"a co"o o fa0e".

$



Métodos

Participantes

Participara" de!te e!tudo ' profe!!ora! de "ate"tica /ue vo#untaria"ente !e

"atricu#ara" nu" cur!o !o3re o u!o de "ateriai! "anipu#ativo!, in!tru"ento! de "edida,

ca#cu#adora! e co"putadore! no en!ino de "ate"tica. Era" tr6! afro)a"ericana! e !ete

euro)a"ericana! de e!co#a! pB3#ica! de /uatro !i!te"a! e!co#are! do "e!"o e!tado do!

E!tado! nido!. E!!a! profe!!ora! !ou3era" /ue !eria" o3!ervada!, entrevi!tada! e

!o#icitada! a fornecer dado! de !eu! pr5prio! re#ato! !o3re o !eu u!o de "ateriai!

"anipu#ativo! no en!ino de "ate"tica.

Materiais

A! profe!!ora! participante! do e!tudo fi0era" u" cur!o de dua! !e"ana! erece3era" u" Hit /ue inc#u9a "ateriai! "anipu#ativo! tai! co"o 3#oco! de 3a!e ',

#adri#ho! co#orido!, !5#ido! geo"8trico!, geop#ano!, dado!, 3arra! de fra4@e! e tangra"!.

Rece3era" ta"38" in!tru"ento! de "edida co"o ter"G"etro!, fita! "8trica! e trena!.

A#8" di!!o, toda! e#a! tinha" ca#cu#adora! e "ateriai! de "ate"tica feito! por profe!!ore!

e" !ua! !a#a! de au#a, 3e" co"o ace!!o a co"putadore! e" !ua! e!co#a!.

Análise

O! !eguinte! dado! fora" u!ado! co"o fonte! para a! an#i!e!& entrevi!ta! da!

profe!!ora!, grava4@e! e" udio de a#uno! e profe!!ora! durante a! o3!erva4@e! de !a#a de

au#a e cart@e! po!tai! e!crito! pe#a! profe!!ora! re#atando !ua! au#a!. O! p!eudGni"o! da!

profe!!ora! !1o& Ann, Detty, -atherine, <eni!e, Edith, 2rance!, Jena, e#en, ne0 e oan.

Resultados

ue materiais manipulativos estão sendo usados?

O nB"ero de ve0e! e" /ue u" "ateria# "anipu#ativo foi u!ado variou de 0ero

=ne0 a toda! a! au#a! =Detty, tendo a "aioria da! profe!!ora! ficado e" a#gu" #ugar entre

e!!e! doi! extre"o!. O! "ateriai! "ai! u!ado! fora" cu3o! de encaixar = snap cubes, >

au#a! e #adri#ho! co#orido! =color tiles, ( au#a!F o! outro! "ateriai!, tai! co"o 3#oco!

(



geo"8trico! = pattern blocks), dado!, geop#ano!, tangra"!, ta3u#eiro! nu"erado! de ' a '

=hundreds boards, fora" u!ado! e" u"a, dua! ou tr6! au#a!.

Como os materiais manipulativos estão sendo usados?

7a! au#a! e" /ue u" "ateria# "ate"tico foi u!ado /ue fora" re#atada! pe#a!

profe!!ora!, e#a! di!!era" t6)#o u!ado para tra3a#har o! !eguinte! conceito!& va#or

po!iciona#, "9ni"o "B#tip#o co"u", nB"ero! pri"o!, fra4@e! e/uiva#ente!, !o"a e

!u3tra41o de fra4@e!, deci"ai!, porcentage", "edi41o de co"pri"ento!, rea, per9"etro,

geo"etria !5#ida, congru6ncia, !i"etria!, circunfer6ncia, "edi41o de Qngu#o!, e!tat9!tica,

pro3a3i#idade, e!3o4o de grfico!, padr@e!, re!o#u41o de pro3#e"a! e inteiro! po!itivo! e

e#a! di!!era" t6)#o u!ado para tra3a#har o! !eguinte! conceito!& va#or po!iciona#, "9ni"o"B#tip#o co"u", nB"ero! pri"o!, fra4@e! e/uiva#ente!, !o"a e !u3tra41o de fra4@e!,

deci"ai!, porcentage", "edi41o de co"pri"ento!, rea, per9"etro, geo"etria !5#ida,

congru6ncia, !i"etria!, circunfer6ncia, "edi41o de Qngu#o!, e!tat9!tica, pro3a3i#idade,

e!3o4o de grfico!, padr@e!, re!o#u41o de pro3#e"a! e inteiro! po!itivo! e negativo!.

O! "ateriai! "anipu#ativo! fora" u!ado! para vrio! conceito! "ate"tico! e

prop5!ito!, !endo o "ai! co"u" a exp#ora41o de conceito! de geo"etria =% e" + au#a!

o3!ervada! e para :ogar u" :ogo => e" + au#a! o3!ervada!.

7a "aior parte do! ca!o!, a! au#a! era" dirigida! pe#a! profe!!ora!& o! a#uno! ou

u!ava" o! "ateriai! !eguindo !ua! in!tru4@e! ou o! "ateriai! era" u"a atividade de

enri/ueci"ento /uando havia te"po no fina# da au#a. E" dua! au#a!, a! profe!!ora! u!ara"

o! "ateriai! apena! co"o de"on!tra41oF por exe"p#o, Edith u!ou u" c9rcu#o e a#gun!

#adri#ho! /uadrado! para propor u"a pergunta ao! a#uno! !o3re co"o u!ar o! #adri#ho! para

"edir a rea de u" c9rcu#o, "a! e#e! "e!"o! n1o u!ara" o! "ateriai! durante a au#a.

A! profe!!ora! expre!!ara" diferente! cren4a! !o3re o! prop5!ito! de !e u!ar

"ateriai! "anipu#ativo!. Edith, ne0 e <eni!e di!!era" /ue o! u!ava" para re!o#ver

pro3#e"a! e para enri/ueci"ento. Por exe"p#o, <eni!e, e" u"a entrevi!ta, di!!e /ue u!ava

o! "ateriai! apena! para variar o rit"o da au#a de "ate"tica... e" ve0 de au#a expo!itiva

todo dia, o "ateria# d u" tipo de /ue3ra na rotinaC. Ann de!creveu o! "ateriai! co"o u"a

reco"pen!a e u" privi#8gio. 2rance!, -atherine e e#en fa#ara" de vrio! o3:etivo! para o!

>



"ateriai! e" !ua! entrevi!ta!, co"o& fornecer u" "ode#o vi!ua# na introdu41o de

conceito!F para u!o do! a#uno! na re!o#u41o de pro3#e"a!F para refor4ar e oferecer

enri/ueci"ento de conceito!. Jena viu o u!o do! "ateriai! co"o u"a outra ferra"enta

para a:udar o! a#uno! a re!o#ver pro3#e"a!, co"o /ua#/uer outra e!trat8giaC, en/uanto

Detty fa#ou de#e! co"o u"a "aneira concreta de "o!trar a e#e! Uo! a#uno!V e depoi! e#e!

pode" pro!!eguir !e" preci!ar do! "ateriai! para ver o padr1oC. O prop5!ito de oan no

u!o de "ateriai! "anipu#ativo! e" "ate"tica era torn)#a "ai! divertidaC.

!o"#es não e$aminadas sobre o uso dos materiais manipulativos

A pe!/ui!a identificou dua! grande! categoria! de an#i!e do u!o do! "ateriai!

"anipu#ativo!& "ate"tica divertidaC e verdadeira "ate"ticaC. Atrav8! de !eu!co"entrio!, a! profe!!ora! definira" "ate"tica divertidaC co"o :ogo!C,

enri/ueci"entoC, atividade extraC e reco"pen!a por 3o" co"porta"entoC. Wuando

co"entara" !o3re procedi"ento! e a#gorit"o!C, fato! 3!ico!C, preparar para prova!C,

#ivro! didtico!C e tra3a#har co" #pi! e pape#C, e#a! di0ia" e!tar fa#ando da verdadeira

"ate"ticaC.

E" "uito! ca!o!, a! profe!!ora! di!!era" /ue o u!o do! "ateriai! "anipu#ativo! era

divertidoC. nicia#"ente, e!!e ter"o parecia indicar /ue profe!!ora! e a#uno! tinha" pra0er

e" u!ar o! "ateriai! ao en!inar e aprender "ate"tica. "a an#i!e po!terior do! dado!

!ugeriu /ue, e"3utida! no u!o da pa#avra divertidoC pe#a! profe!!ora!, havia a#gu"a!

no4@e! n1o exa"inada! /ue ini3e" o u!o do! "ateriai! "anipu#ativo! no en!ino de

"ate"tica. A! profe!!ora! fa0ia" di!tin4@e! !uti! entre verdadeira "ate"ticaC e

"ate"tica divertidaC, u!ando o ter"o verdadeira "ate"ticaC para !e referir L! parte!

da au#a e" /ue en!inava" regra!, procedi"ento! e a#gorit"o! u!ando o #ivro didtico,

caderno!, fo#ha! e tarefa! co" #pi! e pape#. O ter"o "ate"tica divertidaC era u!ado

/uando a! profe!!ora! de!crevia" parte! da au#a e" /ue o! a#uno! e!tava" !e divertindo

co" o! "ateriai!. A an#i!e reve#a vria! de!!a! no4@e! !o3re o u!o do! "ateriai! e !o3re

co"o e!!a! di!tin4@e! pode" !e ref#etir na! prtica! de !a#a de au#a.

Pra%er na aprendi%agem

%



Muita! da! profe!!ora! exp#icara" /ue en!inar "ate"tica co" o! "ateriai!

"anipu#ativo! tornava a aprendi0age" "ai! divertida no !entido de /ue havia pra0er

intr9n!eco para o! a#uno!. -o"o -atherine e oan re#atara"& "eu! o3:etivo! pe!!oai! para

en!inar "ate"tica !1o torn)#a divertidaC =-atherine e 8 "ai! intere!!ante fa0er

atividade! divertida!... eu !e"pre adorei p#ane:ar atividade! divertida!C =oan. E#a!

de!crevera" a! re!po!ta! do! a#uno! /uando o! "ateriai! era" u!ado! X o! a#uno! adora".

E#e! acha" /ue 8 u"a coi!a divertidaC =ne0 X e exp#icara" /ue o diverti"ento gerado

pe#o u!o do! "ateriai! e!tava pro"ovendo a aprendi0age". Eu acho /ue e#e! rea#"ente

e!t1o aprendendo pe#a diver!1oC =e#en.

<urante a! au#a! e" /ue o! "ateriai! era" u!ado!, o! a#uno! parecia" intere!!ado!,

ativo! e envo#vido!. "a da! profe!!ora! o3!ervou& a /ua#/uer hora e" /ue fa0er"o!

tra3a#ho e" grupo ou /ua#/uer coi!a /ue te" a ver co" o! "ateriai!, e#e! acha" /ue 8 horade diver!1oC =-atherine. Wuando o! a#uno! entrava" na !a#a de au#a, oca!iona#"ente

perguntava" L! profe!!ora! !e iria" u!ar o #ivro de "ate"tica na/ue#e diaF durante u"a

o3!erva41o, a profe!!ora re!pondeu& n1o, ho:e n5! va"o! no! divertirC =oan.

O! a#uno! ta"38" fa0ia" co"entrio! durante a! au#a! !o3re a#gu"a! de#a! !ere"

divertida!C ou co"o :ogar u" :ogoC. "a profe!!ora "encionou /ue o! a#uno! todo dia

"e pergunta" !e ho:e va"o! :ogar u" :ogo ou 3rincar co" o! 3#oco! =<eni!e. A!

profe!!ora! fre/ente"ente de!crevia" :ogo! /ue refor4ava" o! conceito! "ate"tico!

/ue e!tava" en!inando =oga"o! u" :ogo u!ando K #adri#ho! para rever o! fato! da

"u#tip#ica41o e divi!1oC =e#en e o! a#uno! via" a "ate"tica co"o divertida no !entido

de !er 3a!eada e" atividade!.

&$peri'ncias recompensadoras

E" virtude de o u!o de "ateriai! "anipu#ativo! !er t1o fre/ente"ente con!iderado

pra0ero!o por profe!!ora! e a#uno!, "uita! da! profe!!ora! u!ava" o! "ateriai! co"o u"

pr6"io para u" co"porta"ento apropriado. u" pr6"io para e#e!, por/ue : houve ve0e!

e" /ue eu to"ei o! "ateriai!C, di!!e Ann. E#a exp#icou /ue o co"porta"ento deter"inava

!e o! a#uno! u!aria" o! "ateriai! ou o #ivro didtico. Se e#e! n1o e!tivere" tra3a#hando ou

n1o !eguire" a! "inha! in!tru4@e!... eu tenho de deix)#o! tra3a#har e" outra coi!a

referente ao "e!"o conceito, "a! !e" poder u!ar o! "ateriai!. E#e! pode" fa0er a#gu"a



tarefa do #ivroC, fa#ou Ann. ne0 co"parti#hava e!!a cren4a& a pri"eira ve0 /ue u"a

crian4a !e co"porta "a#, o "ateria# 8 tirado de#a! e e#a! !1o !eparada! da c#a!!e. 71o a!

deixo continuar a atividade u!ando o "ateria# na/ue#e diaC. En/uanto u!ava o! 3#oco!

geo"8trico!, -atherine co"unicou ao! a#uno! /ue u!ar o! "ateriai! era u" privi#8gio,

o3!ervando& e!tou e!perando voc6! ficare" /uieto! para /ue a gente n1o tenha /ue vo#tar

para o! #ivro!.C

Para "uita! profe!!ora!, a! deci!@e! !o3re u!ar "ateriai! "anipu#ativo! co" certo!

grupo! de a#uno! n1o !e 3a!eava" na ade/ua41o de u"a repre!enta41o para u" conceito

"ate"tico particu#ar, "a! !i" na "aneira co"o o! a#uno! tinha" !e co"portado durante

au#a! anteriore! e" /ue e!!e! "ateriai! tinha" !ido u!ado!. E" ca!o de co"porta"ento

apropriado, o! a#uno! podia" !e divertirC co" o! "ateriai!. -atherine a!!ina#ou /ue o

co"porta"ento tinha u" pape# crucia# e" !ua! deci!@e! !o3re u!ar o! "ateriai!& O ano pa!!ado eu n1o u!ei "uito por cau!a da tur"a /ue tinha. Eu tentei "uito u!ar o! "ateriai!

durante a! nove pri"eira! !e"ana!, "a! co"o o! a#uno! !i"p#e!"ente n1o con!eguia"

tra3a#har :unto!, corta"o! parte do u!o.C O! co"entrio! da! profe!!ora! "o!trara"

preocupa41o co" a "anuten41o do contro#e en/uanto o! "ateriai! era" u!ado!.

(istin"#es que emergem

)Matemática divertida* versus )matemática verdadeira*

"edida /ue a! o3!erva4@e! de !a#a de au#a e entrevi!ta! co" a! profe!!ora!

continuava", parecia /ue e#a! de!crevia" o u!o /ue fa0ia" do! "ateriai! "anipu#ativo!

co"o u"a diver!1o, diferente do en!ino regu#ar de "ate"tica /ue fa0ia". E"3ora e!!a!

di!tin4@e! e"ergi!!e" !uti#"ente, u"a indica41o "uito c#ara de#a! ocorreu no decorrer do

ano. <e!crevendo u"a au#a co" "ateriai! "anipu#ativo!, oan di!!e& L! ve0e! eu acho /ue

e#e! e!t1o !5 !e divertindo, "a! n1o "e i"porto, por/ue no fina# da! conta! chegare"o! L

parte da verdadeira matemáticaC =it#ico! no!!o!. Mai! adiante, na "e!"a entrevi!ta, oan

afir"ou& /uando e!ta"o! u!ando o! "ateriai!, e#e! !e diverte" "ai!, de "odo /ue n1o

pen!a" /ue 8 "ate"ticaC. E!!e! co"entrio! !urpreendera" a o3!ervadora, na 8poca da

pe!/ui!a, e parecia" capturar o fenG"eno e"ergente de a! profe!!ora! u!are" o ter"o

diver!1oC !e"pre /ue de!crevia" a! au#a! na! /uai! o! "ateriai! era" u!ado!,

di!tinguindo)a! da au#a da verdadeira "ate"ticaC. 71o !o"ente a! profe!!ora! parecia"

*



di!tinguir entre au#a! de "ate"tica divertidaC, e" /ue o! "ateriai! era" u!ado!, e au#a!

de verdadeira "ate"ticaC, e" /ue era" u!ado! "8todo! tradicionai! de #pi! e pape#,

"a! ta"38" fa0ia" di!tin4@e! entre parte! de au#a! individuai!. Por exe"p#o, o! "ateriai!

podia" !er u!ado! para exp#ora41o, no in9cio ou na parte de "ate"tica divertidaC de u"a

au#a, ou podia" !er u!ado! e" u"a atividade ou u" :ogo depoi! /ue o conteBdo

"ate"tico era en!inado. 7o entanto, durante o en!ino de ha3i#idade! e!pec9fica! ou

conteBdo, o! "8todo! co" #pi! e pape# era" u!ado! para en!inar e praticar a verdadeira

"ate"ticaC.

Outra! profe!!ora! ta"38" co"unicara" e!!a! di!tin4@e! artificiai!. <eni!e re#atou

/ue era capa0 de en!inar a verdadeira "ate"ticaC todo! o! dia!, "a! n1o podia fa0er o

"e!"o co" a "ate"tica divertidaC& n1o po!!o u!ar "ateriai! "anipu#ativo! todo dia...

a! crian4a! L! ve0e! preci!a" de!!e tipo de e!trutura e" /ue fico na frente da tur"a e e#e!fica" !entado! tra3a#handoC. <eni!e parece fa0er diver!a! afir"ativa! podero!a! !o3re o!

"ateriai!& e#e! n1o !1o e!!enciai! para a au#a de verdadeira "ate"ticaF !ignifica" 3rincar

e n1o tra3a#harF n1o !e pre!ta" a !er u"a parte da e!trutura de u"a au#a de "ate"tica.

ne0 fe0 a di!tin41o u!ando atividade! co" o! "ateriai! para dar ao! a#uno! e a !i "e!"a

u"a /ue3ra na rotina . Procuro atividade! de enri/ueci"ento e atividade! co" "ateriai!

/ue co"3ine" co" o! conceito!... 8 u"a 3oa /ue3ra para a! crian4a! e para "i". Onte"

n5! u!a"o! o ta3u#eiro de centena =hundreds boards... foi u" 3o" de!can!o da! atividade!

diria! /ue fa0e"o! na !a#a de au#aC.

Os materiais manipulativos são mesmo importantes?

E!!a! profe!!ora! via" o u!o /ue fa0ia" do! "ateriai! para en!inar "ate"tica

co"o 3rincar, exp#orar ou "udar o rit"o. -o" e!!a vi!1o, o! "ateriai! "anipu#ativo!

podia" funcionar co"o parte do !i!te"a de reco"pen!a! para ad"ini!trar a !a#a de au#a.

Ao a#iar "ateriai! "anipu#ativo! e "ate"tica divertidaC, a! profe!!ora! e!tava",

e!!encia#"ente, fa0endo u"a di!tin41o entre o u!o do! "ateriai! e !eu en!ino regu#ar de

"ate"tica. O u!o do! "ateriai! era fre/ente"ente deixado para o fina# da au#a, o fi" da

!e"ana, L! !exta!)feira!, ou o fi" do ano e!co#ar, /uando o! o3:etivo! propo!to! pe#o

!i!te"a ad"ini!trativo e!co#ar havia" !ido cu"prido!. E" !ua! au#a!, <eni!e en!inava

pri"eiro a verdadeira "ate"ticaC e depoi! arran:ava te"po para u!ar o! "ateriai!. 7a

'



"aior parte do te"po, eu en!ino o conceito e depoi! 3rinca"o! u" pouco ou fa0e"o! u"a

atividade... /uando e#e! ter"ina" !ua! atividade!, !e u" grupo e!tiver na frente do! outro!,

deixo)o! !entar, 3rincar, con!truir torre! ou o /ue /ui!ere"C. Sua de!cri41o "o!tra a

diferen4a /ue e#a fa0 durante a! au#a!& en!inar o conceitoC 8 a parte da verdadeira

"ate"ticaC, e 3rincar e con!truir torre!C 8 a parte da "ate"tica divertida.

Outra! profe!!ora! en!inava" a verdadeira "ate"ticaC durante a pri"eira parte

da !e"ana, e depoi! arran:ava" te"po para a "ate"tica divertidaC na! !exta!)feira!.

Tenta"o! !e"pre u!ar o! "ateriai! "anipu#ativo! na! !exta!)feira!, por/ue na! /uinta!

fa0e"o! no!!a! prova! de "ate"tica. oan exp#icou /ue !exta)feira 8 dia de te"po #ivre...

8 /uando e#e! pode" exp#orar o /ue pudere" fa0er co" o! 3#oco!. Eu dou o te"po para

e#e! u!are"... /uando te"o! te"po #ivre na! !exta!, ou o! B#ti"o! '( "inuto! da au#a, !e

e#e! tivere" ter"inado !ua! tarefa!. o incentivo para tra3a#hare".C "a profe!!orae!tava preocupada e" co3rir o conteBdo /ue o! a#uno! preci!ava" para a! prova!. Se eu

n1o tive!!e a pre!!1o de!!a! prova!, poderia aproveitar "ai! o u!o do!

"ateriai!...fe#i0"ente, na !egunda "etade do ano, a! coi!a! v1o !er "eno! apre!!ada! e

podere"o! fa0er "ai! coi!a! divertida!C =Edith. O! "ateriai! parecia" !er u!ado! apena!

!e havia te"po extra.

Ao !e#ecionar dia! e horrio! e!pec9fico! para u!ar o! "ateriai!, a! profe!!ora!

enviava" u"a "en!age" c#ara a !eu! a#uno! !o3re a i"portQncia de!!e! "ateriai! no

en!ino de "ate"tica. <urante a! o3!erva4@e!, diver!o! co"entrio! indicava" a

in!ati!fa41o da! profe!!ora! co" o u!o do! "ateriai!. <urante u"a o3!erva41o e" /ue o!

#adri#ho! co#orido! e!tava" !endo u!ado!, <eni!e co"entou& voc6! pode" dar a re!po!ta

u!ando o! 3#oco!, "a! preci!a" achar u" deno"inador co"u"C. E" outra au#a, u"a a#una

perguntou !e podia u!ar a! 3arra! de fra4@e! para a:ud)#a a co"p#etar u"a tarefa, e ne0

re!pondeu& !e voc6 acha /ue a:uda, v e" frente. "ai! fci# fa0er "ate"atica"ente.

Re!o#va pri"eiro !e" e#a!.C A u" outro a#uno a profe!!ora di!!e& !e !eu pai tiver /ue

"edir u"a chapa, e#e n1o vai carregar e!!a! coi!a! U3arra! de fra4@e!V. "uito "ai! fci#

!a3er !o"ar o! nB"ero! de ci"a Ude fra4@e!V =ne0. <urante u"a entrevi!ta, Ann exp#icou

/ue, e"3ora !eu! a#uno! preferi!!e" co#ocar a! "1o! no! "ateriai!, e" ve0 de tra3a#har

co" #pi! e pape#C, e#a tinha /ue u!ar "8todo! de #pi! e pape# por/ue !into /ue e#e! t6"

/ue chegar ao conceitoC. O3!erva4@e! na !a#a de au#a de ne0 e !eu! co"entrio! ref#ete"

''



c#ara"ente !ua! cren4a!& O "eu o3:etivo para o en!ino de "ate"tica 8 /ue toda! a!

crian4a! co" /ue" eu tra3a#ho do"ine" o! fato! 3!ico!... u"a da! ha3i#idade! de /ue e#e!

preci!a" pri"eiro 8 a "e"ori0a41o de rotina. Exi!te" !5 a#gu"a! coi!a! e" "ate"tica

/ue n1o d para en!inar de outro :eitoC =ne0. ne0 continuou a exp#icar& eu rea#"ente n1o

go!to de u!ar tanto o! "ateriai! "anipu#ativo!, "a! !ei /ue preci!o fa0er i!!oC. E!!a!

dec#ara4@e! i"p#ica" /ue, para co"preender conceito! "ate"tico!, o! a#uno! t6" /ue

u!ar a#gorit"o! do #ivro didtico, con!e/ente"ente ignorando a po!!i3i#idade de /ue,

atrav8! de experi6ncia! !ignificativa! co" repre!enta4@e!, co"o o! "ateriai!

"anipu#ativo!, o! a#uno! po!!a" inventar !eu! pr5prio! a#gorit"o!. Me!"o /ue o cur!o

rea#i0ado pe#a! profe!!ora! oferece!!e "uita! experi6ncia! no u!o de repre!enta4@e! para a

con!tru41o do conceito "ate"tico, "uita! profe!!ora! n1o interna#i0ara" e!!a id8ia.

(iscussão

+eguindo o roteiro

O en!ino de "ate"tica ne!!a! !a#a! de au#a !eguia o t9pico roteiro ou padr1o de

au#a do! E!tado! nido!& =' revi!1o de conteBdo anteriorF =+ de"on!trar co"o re!o#ver

pro3#e"a! para a/ue#e diaF =K treinar pro3#e"a!F =$ corrigir o! tra3a#ho! feito! e" !a#a ou

e" ca!a =Stig#er e ie3ert, '***, p. '. O dever de ca!a era reco#hido ou corrigido no!

pri"eiro! ( a K "inuto! da au#aF a#gu"a! ve0e!, o! a#uno! e!crevia" no /uadro e!!e!

pro3#e"a! e !o#u4@e!. A! profe!!ora! pedia" ao! a#uno! /ue a3ri!!e" o #ivro didtico e"

certa pgina ou di!tri3u9a" u"a fo#ha, e a #i41o era introdu0ida. A! profe!!ora! "o!trava"

procedi"ento! para re!o#ver pro3#e"a! co" pouca ou nenhu"a oportunidade para

di!cu!!1o do! a#uno!. O! pro3#e"a! /ue fa0ia" parte da introdu41o era" todo! do "e!"o

padr1o gera#. O! a#uno! tinha" te"po da au#a para re!o#ver pro3#e"a! !e#ecionado! do!

#ivro! ou de fo#ha! e depoi! rece3ia" u"a tarefa e" /ue pro3#e"a! !e"e#hante! deveria"

!er re!o#vido! individua#"ente. E!!e! roteiro! ref#ete" a atividade cu#tura# do en!ino de

"ate"tica a"ericano, e" /ue o! a#uno! pa!!a" a "aior parte do te"po ad/uirindo

ha3i#idade! i!o#ada! por "eio de prtica! de repeti41o =Sig#er e ie3ert, '***. E!!e!

roteiro! cu#turai! !1o aprendido! i"p#icita"ente, atrav8! da o3!erva41o e da participa41o.

A#can4ar o! o3:etivo! do curr9cu#o e!tadua# era u" o3:etivo i"portante para a!

profe!!ora! envo#vida! ne!!e e!tudo, e e#a! n1o via" de "aneira c#ara co"o o! "ateriai!

'+



"anipu#ativo! podia" !er u!ado! para en!inar e!!e! o3:etivo! de for"a t1o eficiente co"o

e#a! tinha" en!inado o! o3:etivo! co" #pi! e pape#. 7o! E!tado! nido!, "uito!

profe!!ore! !1o inf#uenciado!, pe#a! pre!!@e! da ava#ia41o, a preparar a#uno! co"petente!

e" procedi"ento! para te!te! padroni0ado! !o3re procedi"ento! ap#icado! e" #arga e!ca#a.

71o h "uito e!pa4o para "ateriai! "anipu#ativo! ne!!e! roteiro! dirigido! por

procedi"ento!F a!!i", a! profe!!ora! introdu0e" o u!o de!!e! "ateriai! e" rotina! :

exi!tente! para o en!ino de "ate"tica. A pre!!1o /ue a! profe!!ora! !ente" para dar o

conteBdo durante a! au#a! pode encora:ar o u!o do! "ateriai! para atividade! divertida! de

"ate"tica tai! co"o :ogo! e enri/ueci"ento, "ai! do /ue para apoiar contexto! de !a#a de

au#a no! /uai! o! a#uno! produ0a" !ignificado a partir de !ua! experi6ncia! co" e!!e!

"ateriai!.

A prefer6ncia por !eguir o roteiro t9pico de en!ino de "ate"tica no! E!tado!nido! pode !er ta"38" u"a i#u!tra41o da o3!erva41o de E#3ow ='*> de /ue grande

parte do co"porta"ento do! profe!!ore! te" orige" e" u" "edo in:u!tificado da! coi!a!

!e di!per!are"C =p. %')%+. !ar o! "ateriai! "anipu#ativo! 8 de!viar)!e do roteiro de

en!ino do! E!tado! nido!, ta#ve0 tanto /ue e!ti"u#e a di!cu!!1o do! a#uno! e a intera41o

co" pare! e "ateriai!, dando orige" a u" a"3iente de!organi0ado e" opo!i41o a u"

a"3iente no /ua# o! a#uno! tra3a#ha" co" #pi! e pape# e" u"a rotina ordenada. E"3ora

a! profe!!ora! expre!!a!!e" ver3a#"ente a id8ia de /ue o! "ateriai! podia" !er u!ado!

para en!inar conceito! "ate"tico!, !ua! au#a! ref#etia" a! rotina! de en!ino tradicionai!,

co" o! "ateriai! !endo u!ado! principa#"ente co"o u" !up#e"ento do roteiro da au#a.

O cur!o !o3re o! "ateriai! /ue a! profe!!ora! fi0era" foi Bti# no !entido de /ue e#a!

u!ara" "ai! o! "ateriai! do /ue o! profe!!ore! e" gera# o teria" feito. -ontudo, a

experi6ncia n1o foi a#8" de au"entar a fre/6ncia de u!o do! "ateriai!. A! profe!!ora! n1o

tivera" !uce!!o no u!o do! "ateriai! para ocupar o! a#uno! e" co"preender "ate"ticaF o

u!o do! "ateriai! foca#i0ou "ai! o refor4o de conteBdo ou atividade! : aprendido! /ue

era" divertido!C. E!!e! dado! d1o !ignificado concreto L! id8ia! de S"ith ='**> de /ue

o! profe!!ore! n1o adere" a u" enfo/ue "ai! con!trutivi!ta por/ue pode" ter a !en!a41o

de u"a perda da eficcia !e fi0ere" i!!o. Ta#ve0 o! profe!!ore! re!i!ta" a u"a

epi!te"o#ogia con!trutiva e interprete" e/uivocada"ente o pape# do! "ateriai! e"

"ate"tica, ou ta#ve0 e#e! n1o ve:a" o potencia# do! "ateriai! para criar experi6ncia! na!

'K



/uai! o! a#uno! con!trua" !ua! pr5pria! repre!enta4@e! !e o! "ateriai! fore" u!ado!

ade/uada"ente.

As concep"#es dos professores sobre matemática e os materiais manipulativos

" con!truto centra# de!te e!tudo 8 a re#a41o entre a! concep4@e! do! profe!!ore!

!o3re "ate"tica, !o3re o! "ateriai! "anipu#ativo! e !o3re o! prop5!ito! de u!ar e!!e!

"ateriai! =Zhoury e ;a0Hi!, '**$F Tho"p!on, '*(F Tiro!h, +. A! cren4a! de u"a

profe!!or ou profe!!ora e!t1o "i!turada! co" !ua! a4@e!. 71o exi!te !o"ente a#gu"a

corre#a41o& a! cren4a! orienta" a! a4@e! e a! a4@e! condiciona" a! cren4a!. A#terar o

roteiro da au#a re/uer ref#ex1o !o3re o pr5prio en!ino de "ate"tica co"o u" prtica

cu#tura# =Sig#er e ie3ert, '*** e vontade de adotar prtica! /ue e!ti"u#e" "ai! u"a

co"preen!1o conceitua# e" #ugar de u"a co"preen!1o !i"p#e!"ente "ecQnica da"ate"tica. 7o entanto, e!te 8 u" o3:etivo de!afiador, por/ue, co"o Stig#er e ie3ert

='*** o3!erva", e" co"para41o co" outro! pa9!e!, o! E!tado! nido! c#ara"ente

carece" de u" !i!te"a para de!envo#ver o conheci"ento profi!!iona# do! profe!!ore! e

#he! dar u"a oportunidade de aprender !o3re o en!inoC =p. '+)'K.

A! profe!!ora!, no e!tudo a/ui apre!entado, co"unica" "uito! pre!!upo!to!

!u3:acente! !o3re co"o e por/ue u!a" "ateriai! "anipu#ativo! na !a#a de au#a. -o"o

"o!tra e!te tra3a#ho, deve"o! reconhecer e!!e! pre!!upo!to! e exa"inar co"o e por/ue o

u!o do! "ateriai! pode ini3ir o! profe!!ore! no !entido de u!ar efetiva"ente e!!a!

repre!enta4@e! concreta!. A co"pra de!!e! "ateriai! pe#o! profe!!ore! e !i!te"a! e!co#are!

e oficina! de de!envo#vi"ento profi!!iona# !o3re o !eu u!o !1o de pouco va#or !e n1o

#evar"o! e" conta a! cren4a! do! profe!!ore! !o3re o u!o do! "ateriai! e !eu! efeito! e"

!itua4@e! de !a#a de au#a.

A#gun! profe!!ore! acha" /ue o prop5!ito principa# do u!o do! "ateriai! 8 a

"ate"tica divertidaC. Ao u!ar o! "ateriai! para i!!o, o! profe!!ore! e!ta3e#ece"

artificia#"ente u"a !itua41o de !a#a de au#a na /ua# o! "ateriai! pode" n1o !er uti#i0ado!

efetiva"ente. Se o! profe!!ore! agire" co"o !e o intere!!e do a#uno !5 po!!a !er

de!pertado por diver!@e! fora da "ate"ticaC =Stig#er e ie3ert, '***, p. *, e!t1o

pa!!ando ao! a#uno! a "en!age" de /ue exp#ora4@e! e con:ectura! co" repre!enta4@e! n1o

e!t1o #igada! L verdadeira aprendi0age" de "ate"tica. -o"entrio! ao! e!tudante! /ue

'$



3ana#i0e" o u!o do! "ateriai! de "aneira i"p#9cita ou exp#9cita de!va#ori0a" o potencia#

de!!e! "ateriai! co"o repre!enta4@e! para a aprendi0age" de conceito! "ate"tico!.

2oca#i0ar o !eu u!o na diver!1o #i"ita a! po!!i3i#idade! de /ue o! a#uno! fa4a" exp#ora4@e!

de conteBdo "ate"tico !ignificativo de for"a co"pro"i!!ada e intere!!ante.

A! concep4@e! do! profe!!ore! !o3re "ate"tica !1o funda"entada! na

co"preen!1o /ue e#e! t6" do conteBdo de "ate"tica. A! pe!/ui!a! enfati0a" o i"pacto

i"portante e !ignificativo da! co"preen!@e! de "ate"tica /ue o! profe!!ore! t6" !o3re o

pen!a"ento "ate"tico /ue te" #ugar na !a#a de au#a =Ma, '***. O e!tudo internaciona#

de Ma ='*** "o!trou /ue, e"3ora o! profe!!ore! a"ericano! da e!co#a e#e"entar

de"on!tra!!e" conheci"ento procedi"enta# correto de pro3#e"a! !o3re a !u3tra41o e

"u#tip#ica41o de nB"ero! inteiro!, tinha" "eno! ha3i#idade! /ue o! profe!!ore! chine!e!

e" t5pico! "ai! avan4ado!. Por exe"p#o, apena! u" do! +K profe!!ore! a"ericano! deuu"a repre!enta41o conceitua#"ente correta, "a! pedagogica"ente pro3#e"tica para u"

pro3#e"a /ue envo#via a divi!1o por fra4@e! =+

'K

+

'&

$

K' = . E!!a pe!/ui!a i#u"ina a

i"portQncia de o! profe!!ore! tere" a"p#itude e profundidade e" !ua co"preen!1o da

"ate"tica. Profe!!ore! co" e!!a co"preen!1o va!ta e profunda n1o inventa" conex@e!

entre id8ia! "ate"tica!, "a! a! reve#a" e repre!enta" e" ter"o! do en!ino e

aprendi0age" de "ate"ticaC =Ma, '***, P. '++. 71o ficou c#aro /ue a! profe!!ora! do

e!tudo a/ui apre!entado fo!!e" capa0e! de fa0er conex@e! ou repre!entar id8ia!

"ate"tica! de "aneira !ignificativa en/uanto u!ava" o! "ateriai!.

,sando representa"#es efetivamente

O u!o de "ateriai! "anipu#ativo! no en!ino de "ate"tica 8 "ai! co"p#icado do

/ue poderia parecer. Re#a4@e! "ate"tica! deve" !er i"po!ta! !o3re o! "ateriai!. A

pr5pria repre!enta41o interna da! id8ia! pe#o a#uno deve, de a#gu" "odo, #igar)!e L

repre!enta41o externa ou "anipu#ativa. Entretanto, o! "ateriai! "anipu#ativo! !1o gerado!

externa"ente co"o repre!enta4@e! de id8ia! "ate"tica! do! fa3ricante!F portanto, o

!ignificado a!!ociado ao! "ateriai! pe#o! fa3ricante! n1o 8 nece!!aria"ente tran!parente

para o! profe!!ore! e a#uno! =Meira, '**. Por exe"p#o, #adri#ho! de fra4@e! !1o a

tentativa da pe!!oa /ue o! pro:etou de repre!entar !ua id8ia de fra4@e! u!ando o3:eto!

'(



concreto!. u"a !upo!i41o fa#!a acreditar /ue re#a4@e! "ate"tica! !1o a3!tra9da! de

o3:eto! e"p9rico!.

Jo#din e Shteingo#d =+' define" u"a repre!enta41o co"o u" !igno ou u"a

configura41o de !igno!, caractere! ou o3:eto!C /ue pode" ficar no #ugar =!i"3o#i0ar,

!ignificar, codificar ou repre!entar de a#gu"a coi!aC =p. K. E"3ora indiv9duo! po!!a"

co"parti#har a! ferra"enta! u!ada! para a repre!enta41o X símbolos =tai! co"o figura! ou

enta#he! e signos =co"o pa#avra! fa#ada! ou nu"erai! e!crito! =Za"ii, ZirH#and e Newi!,

+'F Piaget, '*(', para Piaget ='*(', a repre!enta41o 8 o /ue cada indiv9duo fa0. E"

outra! pa#avra!, o conheci"ento de u" indiv9duo !e 3a!eia na e#a3ora41o de re#a4@e! e ve"

da! a4@e! "entai! do pr5prio aprendi0. O racioc9nio "ate"tico 8 e!ti"u#ado /uando o!

profe!!ore! foca#i0a" "ai! a a3!tra41o con!trutiva da! crian4a! =pen!a"ento da! crian4a!

do /ue a repre!enta41o =Za"i, ZirH#and e Newi!, +'. Por exe"p#o, para u"a crian4a pe/uena, o nu"era# C pode n1o repre!entar nada, en/uanto para u" adu#to repre!enta

"uita! coi!a!. A!!i", o! indiv9duo! pode" repre!entar a! "e!"a! id8ia! ou id8ia!

diferente! !o3re o nu"era# . E!!e proce!!o n1o 8 o3!ervve# e"pirica"ente& e#e ve" do

pr5prio pen!a"ento e co"preen!1o do indiv9duo e de !ua co"preen!1o da! conex@e!

for"ada! atrav8! de a4@e! "entai! =Za"ii e arrington, '***F Piaget, nhe#der e

S0e"in!Ha, '*$['*>. E"3ora o u!o de repre!enta4@e! po!!a apoiar o proce!!o de

con!tru41o do conheci"ento, grande parte da repre!enta41o deve vir do a#uno.

E!tudo! /ue inve!tiga" o conheci"ento do! profe!!ore! !o3re repre!enta4@e! t6"

de"on!trado /ue "uito! profe!!ore! n1o t6" o conheci"ento !o3re co"o id8ia!

"ate"tica! !1o tran!for"ada! e" repre!enta4@e! =Da##, '**F Orton, '*. Para

co"p#icar ainda "ai! a /ue!t1o de u!ar "ateriai! "anipu#ativo! para repre!entar re#a4@e!

a3!trata!, a! interpreta4@e! de u"a repre!enta41o pe#o! a#uno! pode" ta"38" !er

diferente! da/ue#a introdu0ida! pe#o profe!!or =Da##, '**+. E" u" re#ato =Daroody, '**,

u" profe!!or e!tava u!ando 3arra! de -ui!enaire para repre!entar u" conceito e o! a#uno!

con!tru9ra" u" "ode#o para a! 3arra! co#orida! /ue fa0ia !entido para e#e!, "a! era

diferente do conceito /ue o profe!!or /ueria /ue aprende!!e". O! a#uno! tinha" con!tru9do

!eu! pr5prio! !ignificado! "ate"tico! a partir da atividade, "a! n1o tinha" aprendido o

conceito)a#vo da au#a. E" outro e!tudo, /uando o! a#uno! tivera" #ivre ace!!o ao!

"ateriai!, e!pontanea"ente e !e#etiva"ente u!ara")no! para "ediar !ua pr5pria

'>



aprendi0age" =Moyer, '**. -ontudo, a#gun! do! profe!!ore! no e!tudo tinha"

dificu#dade! e" aco"panhar o pen!a"ento do! a#uno! e !eu! u!o! da! repre!enta4@e!. O

u!o de "ateriai! "anipu#ativo! para :ogo! L! !exta!)feira! n1o oferece oportunidade!

"ate"tica! /ue !u!tente" a a3!tra41o con!trutiva do! a#uno!.

A#8" di!!o, o! profe!!ore! deveria" !e con!cienti0ar de /ue a#gun! "ateriai!

pode" !er inBtei!. E"3ora a apar6ncia co#orida de!!e! "ateriai! o! torne e!tetica"ente

agradvei!, a#gun! de#e! t6" pouca re#a41o co" conceito! "ate"tico!. fci# entender

por/ue o! profe!!ore! t6" dificu#dade! e" conectar o! "ateriai! L "ate"tica /uando

u!a" "ateriai! cu:o pro:eto n1o 8 3a!eado e" id8ia! "ate"tica! correta!.

Comentários finais

-o"o e por/ue o! "ateriai! "anipu#ativo! !1o u!ado! pe#o! profe!!ore! 8 u"a/ue!t1o co"p#exa. E" e!tudo! anteriore! e" /ue o! "ateriai! fora" u!ado!, vi"o! o

!i"p#e! u!o co"o u" !ina# po!itivo. Ma! !i"p#e!"ente u!ar o! "ateriai! n1o 8 !uficiente

!e n1o con!iderar"o! co"o o! profe!!ore! o! e!t1o u!ando e" !a#a de au#a. Se o en!ino 8

u" !i!te"a, ent1o cada caracter9!tica, por !i "e!"a, n1o di0 "uito !o3re o tipo de en!ino

/ue e!t acontecendo. O i"portante 8 co"o a! caracter9!tica! !e co"3ina" para for"ar u"

todoC =Stig#er e ie3ert, '***, p. %(. -aracter9!tica! individuai! de u"a au#a, co"o o u!o

de "ateriai! "anipu#ativo!, !5 pode" !er ava#iada! co"o efetiva! e" ter"o! de co"o e#a!

!e #iga" e re#aciona" a outra! caracter9!tica! e !e co"3ina" na au#a g#o3a#"ente. O u!o

do! "ateriai! "anipu#ativo! pe#a! profe!!ora! ne!te e!tudo e!t entre#a4ado a /ue!t@e!

!o3re o conheci"ento do conteBdo "ate"tico, !o3re a con!ci6ncia da! profe!!ora! /uanto

L e!trutura conceitua# da "ate"tica e !o3re a ha3i#idade para en!inar e!!e conteBdo ao!

a#uno! #an4ando "1o de u"a a"p#a variedade de rea! conceituai! para a:udar o! a#uno! a

entendere" nova! id8ia!. !!o inc#ui a ha3i#idade de u!ar u"a grande variedade de

repre!enta4@e! e ta"38" de incentivar o u!o da! repre!enta4@e! pe#o! a#uno!.

O de!envo#vi"ento da repre!enta41o interna de id8ia! pe#o a#uno, te!tada! !o3re a!

repre!enta4@e! externa! do! "ateriai!, e!t no cora41o do /ue !ignifica aprender

"ate"tica. -onectar a! a4@e! "entai! do a#uno L! ferra"enta! co"parti#hada! u!ada! para

repre!enta41o 8 o de!afio para o! profe!!ore! de "ate"tica. E"3ora o u!o da

repre!enta41o ap5ie a con!tru41o do conheci"ento, a repre!enta41o de id8ia! ve" de /ue"

'%



e!t aprendendo. O! "ateriai! "anipu#ativo! pode" !ervir co"o ferra"enta! para /ue o!

profe!!ore! tradu0a" a3!tra4@e! para u"a for"a /ue capacite o! a#uno! a re#acionar o

conheci"ento novo ao anterior. !!o re/uer /ue o! profe!!ore! condu0a" o! a#uno! a

tran!itar entre repre!enta4@e! na for"a de o3:eto!, a4@e! e conceito! a3!trato! "ate"tico!

de "odo /ue o! a#uno! po!!a" ver a re#a41o entre o !eu conheci"ento e o novo

conheci"ento. Ainda /ue !e po!!a !upor /ue i!!o 8 a#go fci# para o! profe!!ore! fa0ere",

na verdade n1o o 8. u" de!afio para o! profe!!ore!& =' interpretar a! repre!enta4@e! do!

a#uno! !o3re !eu pen!a"ento "ate"ticoF =+ reve#ar e repre!entar conex@e! entre id8ia!

"ate"tica!F =K de!envo#ver contexto! concreto! apropriado! para a aprendi0age" de

"ate"tica.

E!te e!tudo i#u"ina cren4a! !u3:acente! /ue o! profe!!ore! u!a" co"o fi#tro! para

interpretar infor"a4@e! !o3re o u!o de "ateriai! "anipu#ativo! e fa0er :u90o! de va#or !o3rea uti#idade de!!e! "ateriai! para en!inar "ate"tica. Por exe"p#o, a! pe!/ui!a! "o!tra"

c#ara"ente /ue certo! tipo! de u!o do "ateria# a:uda" a aprendi0age" =ou, pe#o "eno!, a

a#can4ar rea#i0a4@e! /ue pode" !er "edida!F por8", o! profe!!ore! fre/ente"ente

ignora" tai! pe!/ui!a!. Ta#ve0 n1o !e:a"o! c#aro! a re!peito do! re!u#tado!, ou ta#ve0 n1o

no! funda"ente"o! !i!te"atica"ente !o3re e#e! para oferecer a#ternativa! de prtica /ue

!e:a" Btei! e !e torne" parte de no!!o progra"a de for"a41o de profe!!ore!. E!te e!tudo

ta"38" oferece u" feed3acH i"portante !o3re a efetividade do! e!for4o! de

de!envo#vi"ento profi!!iona# /uanto ao u!o de "ateriai! "anipu#ativo! para o en!ino de

"ate"tica. Para a! profe!!ora! envo#vida!, o! "ateriai! !ervira" a u" prop5!ito #i"itado,

"a! Bti#. Ta#ve0, ao p#ane:ar atividade! para o de!envo#vi"ento profi!!iona#, n1o #eve"o!

e" conta a! conting6ncia! !o3 a! /uai! o! profe!!ore! tra3a#ha" e a! crian4a! aprende"F

ta#ve0 !e:a u" de!afio de"a!iado grande in!erir "ateriai! "anipu#ativo! no roteiroC norte)

a"ericano. O p#ane:a"ento de de!envo#vi"ento profi!!iona# /ue d6 ao! profe!!ore!

co"preen!@e! "ai! profunda! de conceito! tai! co"o repre!enta41o e !eu pape# no en!ino e

aprendi0age" de "ate"tica pode "ode#ar n1o apena! co"o o! "ateriai! !1o u!ado!, "a!

ta"38" a! cren4a! /ue "otiva" o! profe!!ore! a u!)#o!.

'

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