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* Bolsistas de Iniciação Científica UFERSA
Comparativo entre fatoração LU tradicional e através das fórmulas de
Crout e Doolitlle
Valciano C. Gurgel* [email protected]
Thais R. G. Martins* [email protected]
Carlos C. X. S.Lima* [email protected]
Matheus da Silva Menezes [email protected]
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
59015-000, Campus Angicos, RN
www.ufersa.edu.br
Palavras-chave: Métodos diretos, resolução de sistemas de equações lineares, Fatoração LU,
Doolitlle, Crout
Resumo: O presente artigo visa é referente à resolução de sistemas de equações lineares, por meio de
métodos diretos que realizam uma decomposição da matriz A dos coeficientes. Mostraremos a
diferença entre método da Fatoração LU Tradicional e os método de Doolittle e Crout. Serão
levantados aspectos básicos que possibilitarão uma compreensão mais completa sobre os métodos.
Esta pesquisa contém as quatro fórmulas fundamentais para obtenção dos elementos das novas
matrizes L e U, utilizadas nos métodos de Doolittle e de Crout, porém, não é realizada nenhuma
demonstração matemática extensa. Ao final proporcionamos uma pequena discussão sobre os fatos
relevantes de cada método.
1. Introdução
Na ciência, muitos problemas podem ser modelados matematicamente em termos de sistemas de
equações lineares. Para estes sistemas existem vários métodos de resolução já bastante utilizados,
principalmente no que diz respeito a matrizes quadradas [1]. Muitos exemplos podem ser citados sobre
sua vasta aplicação prática em diversas áreas do conhecimento entre muitas outras aplicações na
ciência e na engenharia [6,7]. Devido ao vasto campo de aplicação para sistemas de equações
lineares, o estudo de métodos numéricos mais eficientes é necessário [6].
Considere a “i-ésima” equação pertencente a um sistema de equações lineares, de dimensão n x m:
(1) ,
em que, Ai,j e bi são constantes e xj é uma das “n” variáveis pertencentes à solução do sistema, i n.
O processo de fatoração para sistemas de equações lineares, do tipo (1), consiste em decompor a
matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores, e em seguida, resolver uma
sequência de sistemas triangulares que conduzirão à solução geral do sistema [6].
Há inúmeras situações nas quais é mais adequado resolver os sistemas lineares utilizando técnicas
de fatoração da matriz A. Em diversas situações, os vetores constantes não são conhecidos desde o
início, por exemplo, ao se resolver Ax1=b1 e Ax2=b2, onde b2 é alguma função de x1 [7].
Outra vantagem que pode ser ressaltada é a seguinte: uma vez que a matriz A está decomposta,
podemos encontrar diferentes vetores solução, x, do sistema Ax=b para diferentes valores de b com
grande facilidade [3,7]. Para cada solução adicional se realizariam as etapas de retrossubstituições que,
são processos relativamente simples
2. Métodos de Fatoração da Matriz A
Na fatoração LU tradicional, a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é
triangular superior. O método da Fatoração LU Tradicional utiliza-se do método da Eliminação de
Gauss, através do qual se obtém os elementos de L, composta pelos multiplicadores, e U, composta
pelos elementos restantes da eliminação. Este processo de decomposição em L e U é um dos mais
empregados porque apresenta mais facilidade caso seja necessário o uso de estratégias de
pivoteamento [6].
,1
,
n
j
ijji bxA
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Para calcular, inicialmente chama-se de pivô o elemento da diagonal principal da coluna que se
pretende encontrar o multiplicador.
Pivô = akk ; k = 1,...,n (2)
Seguindo, calcula-se o multiplicador que irá ocupar a matriz . através da fórmula:
jia
am
kk
ikik ; (3)
Conhecendo estes dois componentes, os elementos para cada posição da matriz podem ser
atualizados pela seguinte fórmula, na qual Lpivô é o elemento da linha do pivô, na coluna da posição
que será atualizada através da fórmula:
(4)
Vale lembrar que o multiplicador é encontrado apenas para i > j. Ao se calcular o multiplicador de
uma posição, não é necessário aplicar a equação (4) para esta posição. Deve-se aplicá-la apenas para
as colunas seguintes.
Já a fatoração através das fórmulas de Doolitlle e Crout inicialmente, aparentam ser mais práticos
na obtenção dos elementos de L e U, pois são calculados de forma direta, através de fórmulas simples
de serem aplicadas. Sem longas demonstrações matemáticas tem-se que da equação matricial A=LU,
temos de [7]:
(5)
Para o passo , pode-se escrever:
(6)
(7)
No método de Doolittle, L é uma matriz triangular inferior unitária, mkk=1. Lembramos que o vetor
constante, B, não é inserido na fórmula a seguir, porém, é preciso ter cuidado para não se esquecer de
utilizá-lo caso seja aplicado alguma estratégia de pivoteamento.
Então para o passo k e mkk=1; k=1,2,...,n. Combinam-se as equações (6) e (7), e os elementos das
matrizes U e L podem ser obtidos respectivamente de [6]:
(8)
(9)
O método de Crout é semelhante ao de Doolittle e sua determinação advém do mesmo princípio.
Basta fazer ukk=1; k=1,2,...,n. Neste método, U é uma matriz triangular superior unitária. De forma
similar ao visto anteriormente, as fórmulas que permitem calcular os elementos de L e U são,
respectivamente [6]:
(10)
(11)
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Os três métodos para fatoração da matriz dos coeficientes A possuem restrições contidas em suas
fórmulas, relacionadas aos elementos da diagonal principal [2,7]. Para o método da Fatoração LU, em
sua formulação Tradicional, o elemento pivô de (2) é necessário para calcular o multiplicador em (3),
exigindo que akk ≠ 0, devido ao fato de não poder ocorrer uma divisão por zero; sendo impossível
prosseguir com as etapas do método [3]. De maneira análoga para os métodos de Doolittle e de Crout,
respectivamente, é preciso que o elemento ukk ≠ 0, na equação (11) e o elemento mkk ≠ 0, na equação
(9) para que os métodos possam prosseguir [7].
Erros de arredondamento é um ponto sensível dos métodos diretos [6]. Tendo em mente as
propriedades dos sistemas de equações lineares e das matrizes [2], procede-se trocando linhas e/ou
colunas trazendo outro elemento para ser pivô. Essas estratégias são indicadas não somente quando o
pivô é nulo, mas também quando ele é próximo de zero [7]. Em qualquer calculadora ou computador
os cálculos são efetuados com aritmética de precisão finita, e pivôs próximos de zero dão origem a
multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, originam uma ampliação dos erros de
arredondamento [6]. É importante saber que estas estratégias aceleram os cálculos [1] e asseguram a
estabilidade numérica dos métodos [7].
Os métodos de Doolittle e Crout utilizam fórmulas para os elementos lij e u ij e demonstram mais
facilidade para serem aplicados manualmente. As fórmulas são aplicadas diretamente, apenas uma vez
para cada posição da matriz. Diferentemente, o método da Fatoração LU Tradicional que aplica suas
equações repetidas vezes durante o processo, até chegar definitivamente nos elementos finais. Se uma
linha da matriz possui uma determinada quantidade de multiplicadores, a equação (4) é aplicada nesta
linha um número igual de vezes. Isso significa que os elementos nos quais i e j estão se aproximando
de n sofrem mais alterações e, portanto, são mais vulneráveis à propagação de erros de
arredondamento.
Nos métodos diretos é possível saber inicialmente quantas operações serão efetuadas para encontrar
o vetor solução [6]. Assim é possível analisar de antemão o custo computacional que o método
apresentará, baseado no tempo de processamento gasto pelo computador para realizar as operações. A
equação (4n3+9n
2-7n)/6 fornece o número de operações que o método da Eliminação de Gauss realiza
[7]. Por analogia, o método da Fatoração LU Tradicional, considerando que ele utiliza os princípios
básicos da eliminação de Gauss sem modificações, envolve o mesmo número de operações dado pela
fórmula. O número de operações envolvidas nos métodos de Doolittle e Crout é equivalente ao método
da eliminação de Gauss [7], não havendo vantagens computacionais em relação a complexidade.
Referências
[1] R. Burian, A. C de Lima; A. H. Junior. “Fundamentos de Informática”, Cálculo Numérico. LTC,
Rio de janeiro, 2011.
[2] L. C. Barroso, M. M. A. Barroso; F.F.F. Campos; M. L. B. Carvalho; M. L. Maria. “Cálculo
Numérico com Aplicações”. HARBRA, São Paulo, 1987.
[3] D. C. Fé. “Métodos Numéricos Para Resolução de Sistemas de Equações Lineares”. Trabalho de
Conclusão de Curso. UFERSA-Angicos, 2011.
[4] N.B. Franco. “Cálculo Numérico” Pearson, São Paulo, 2006.
[5] L. C. Galvão; L. F. Nunes. Notas de Aula, Cálculo Numérico. Universidade Federal Tecnológica
do Paraná - UFTPR.
[6] M. A. G Ruggiero; V. L. R. Lopes. “Cálculo numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais”. 2.
ed. Makron Books, São Paulo, 1996.
[7] D. Sperandio; J. T. Mendes; L. H. M. Silva. “Cálculo Numérico: Características Matemáticas e
Computacionais dos Métodos Numéricos”. Pearson Prentice Hall, São Paulo:, 2003.
[8] B. Tonet; C. Koliver. “Introdução aos Algoritmos. Núcleo de Apoio á Aprendizagem de
Programação – NAPRO”. Universidade de Caxias do Sul – UCS,2010.
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ISSN 2317-3297
