COMPETÈNCIES BÀSIQUES EN MATEMÀTIQUES ...dues parts. En la primera s’estableix un diagnòstic de la situació de l’ensenyament-aprenentatge de la Geometria en un ampli espectre

COMPETÈNCIES BÀSIQUES EN

MATEMÀTIQUES: ITINERARI

GEOMÈTRIC PER RUBÍ

Elaboració d’un itinerari geomètric aprofitant l’urbanisme de Rubí per desenvolupar les

competències bàsiques en l’àmbit de mesura i estudi de l’espai en l’alumnat de 12 a 14 anys.

Montse Castell Escuer

Curs 2004-05

Competències bàsiques en Matemàtiques: Itinerari geomètric per Rubí

2

ÍNDEX Presentació ....................................................................................... 3 I Part ................................................................................................. 4 1. Introducció .................................................................................... 4 1.1. Antecedents del tema objecte de treball............................... 4 1.2. Explicació del tema............................................................... 5 1.3. Objectius................................................................................ 6 1.4. Descripció i metodologia ...................................................... 6 1.5. Disseny del pla de treball ..................................................... 7 2. Apunts teòrics .............................................................................. 9 3. Alumnat ......................................................................................... 13 3.1. Investigació .......................................................................... 13 3.2. Dificultats ............................................................................. 18 3.3. Conclusions ......................................................................... 20 3.4. Estratègies per aprendre .................................................... 22 4. Professorat ................................................................................. 29 4.1. Investigació ........................................................................ 29 4.2. Resultats ............................................................................ 29 4.2.1. Generals .............................................................. 29 4.2.2. Dificultats d’aprenentatge .................................... 31 4.2.3. Causes ................................................................. 31 5. Competències bàsiques .............................................................. 33 5.1. Introducció .......................................................................... 33 5.2. Resultats ............................................................................ 37 5.3. Punts febles ....................................................................... 38 5.4. Subcompetències .............................................................. 40 6. Llibres de text ............................................................................. 43 6.1. Investigació ........................................................................ 43 6.2. Resultats ............................................................................. 43 6.3. Conclusions ......................................................................... 52 7. Algunes conclusions i suggerències ........................................... 53 8. Bibliografia ................................................................................... 54 II Part: L’itinerari geomètric per Rubí ........................................... 62 1. Introducció .................................................................................. 62 2. Activitats introductòries ............................................................... 66 3. Plaça Catalunya .......................................................................... 80 4. Plaça Dr. Guardiet ....................................................................... 93 5. Plaça Salvador Allende ............................................................... 104 6. Avinguda de Barcelona ............................................................... 112 7. Plaça Dr. Pearson i estació FGC ................................................ 113 8. Altres activitats ............................................................................ 125 9. Taula resum ................................................................................ 130


3

PRESENTACIÓ DEL TREBALL El treball “Competències bàsiques en Matemàtiques; itinerari geomètric per Rubí” consta de

dues parts. En la primera s’estableix un diagnòstic de la situació de l’ensenyament-

aprenentatge de la Geometria en un ampli espectre de la població escolar de Rubí. En la

segona es presenta un itinerari geomètric per la ciutat pensat per contribuir a superar les

deficiències detectades.

L’itinerari conté 30 activitats flexibles que permeten una gran varietat d’adaptacions --

ampliacions, modificacions, reduccions, etc.-- i necessiten verificar-se abans de proposar-

les als alumnes perquè alguns dels elements que inclouen poden haver sofert variacions --

mobiliari urbà, arbres, fanals, enrajolat, disposició de les places, etc.--. També s’inclouen 6

activitats per treballar el plànol, que es poden realitzar prèviament a la sortida i unes altres 5

desvinculades de l’itinerari pròpiament dit, però relacionades amb altres llocs de la ciutat.

Quan parlem de Geometria en majúscula ens referirem a la part de la Matemàtica que tracta

del coneixement de l’espai i engloba, en el currículum de primària, els apartats de mesura i

de geometria. Pel que fa al de secundària, es correspon amb l’àmbit de mesura i estudi de

l’espai. En minúscula destaquem el tracte diferenciat dels apartats. S’entén que la mesura

és una part tant de la Matemàtica com d’altres ciències i, a més, està relacionada amb altres

àmbits, principalment, el del càlcul.

En un altre nivell d’observacions, desitjo fer notar que quan en aquesta memòria, per no fer

pesada la seva lectura, s’utilitza vocabulari masculí –com per exemple, alumne, professor,

etc.— s’ha d’entendre que es fa referència tant al gènere femení com al masculí.

D’altra banda, vull deixar constància que aquest treball es deutor de l’ajuda i aportacions

d’un seguit de persones: el professor Jordi Deulofeu, del departament de Didàctica de la

Matemàtica i de les Ciències Experimentals de la Universitat Autònoma de Barcelona; de

tots els alumnes i del professorat dels centres que han participat en l’estudi, i en especial

d’un grup d’alumnes de 3r d’ESO de l’institut J. V. Foix que, en el seu temps lliure han

experimentat els exercicis que aquí es proposen. També han estat de gran ajuda, pels

documents, llibres i altre material que m’han facilitat, les persones dels CRPs de Rubí, Sant

Cugat, Cerdanyola i Sabadell, el CEDECT, la regidora d’ensenyament de Reus, i en Martí

de l’oficina del plànol de la ciutat. A tots ells vull expressar el meu agraïment.


4

I PART 1. INTRODUCCIÓ 1.1. ANTECEDENTS DEL TEMA OBJECTE DEL TREBALL

Els pobres resultats en les proves de les competències bàsiques de matemàtiques

(iniciades el curs 2000-01 a primària i el 2001-02 a secundària), la possible optimització del

material didàctic existent i la necessitat d’aplicabilitat a la vida quotidiana dels aprenentatges

em van suggerir el treball que es presenta a continuació que consisteix sintèticament en

l’elaboració d’un itinerari geomètric a Rubí.

Rubí és una ciutat d’uns 68 000 habitants situada a la part meridional de la comarca del

Vallès Occidental. En aquests moments té 9 escoles públiques de primària i 4 instituts, a

més dels centres concertats. A l’institut J. V. Foix, situat a 5 quilòmetres del casc urbà, prop

del turó de can Sant Pere i enmig d’urbanitzacions en creixement com Castellnou i can Mir,

més d’un 50% de l’alumnat procedeix de les escoles públiques Maragall (situada també en

el que fou el turó de can Sant Pere) i Maria Montessori (en el nucli urbà).

El curs 97-98 vaig començar a treballar a l’institut a 1r d’ESO impartint exclusivament

matemàtiques i utilitzant uns llibres de text que jo no havia escollit. La meva primera idea va

ser obtenir un bon coneixement del currículum per deixar el llibre quan fos possible i

treballar amb material d’elaboració pròpia.

La participació en diversos cursets, en el grup de treball “Atenció a la diversitat social i

cultural a l’aula de matemàtiques a secundària” i en el primer congrés d’Educació

matemàtica de l’any 2000, em van animar a fer canvis en la meva feina i a la gestació

d’aquesta proposta de treball.

Els contactes amb mestres de 6è de quatre de les escoles adscrites al Foix (CEIP Maragall,

CEIP Torre de la llebre, CEIP 25 de setembre i CEIP Montessori) van començar el curs

2002-03. La finalitat era conèixer els materials didàctics utilitzats, quins i com es treballen

alguns aspectes del currículum a cavall entre el cicle superior de primària i el primer cicle de

l’ESO i millorar la prova de nivell que es passa a l’institut quan arriben els alumnes.


5

En el propi institut vam iniciar contactes entre els departaments de visual i plàstica,

tecnologia i matemàtiques per tal de tenir una programació conjunta de geometria a 1r

d’ESO, però encara ha de cristal·litzar en resultats concrets.

El conjunt d’aquests antecedents m’ha impulsat a demanar la llicència d’estudis per

desembussar tot el material i l’experiència recollits en aquests darrers anys.

Entenc que per a la millora del procés d’ensenyament-aprenentatge de les matemàtiques

cal, d’una banda, elaborar uns materials de treball per l’alumnat que siguin propers a la seva

realitat i, de l’altra, dissenyar experiències de gestió d’aquests materials a l’aula, per tal de

poder tractar aspectes com la diversitat, l’avaluació, la responsabilitat dels nois i les noies

en el seu procés d’aprenentatge, etc.

1.2. EXPLICACIÓ DEL TEMA

El treball consta de dues grans parts. En la primera s’analitzen mancances en els

coneixements de l’alumnat pel que fa a geometria i mesura, es recopila material existent i

s’estableix un diagnòstic de la situació; i en la segona, s’elabora i experimenta un breu

itinerari geomètric per Rubí a partir del material que s’utilitza en els nostres centres i del

currículum vigent.

Per estudiar les mancances s’ha triat alumnat de cinc escoles de primària (CEIP Maragall,

CEIP Montessori, CEIP 25 de setembre, CEIP Torre de la Llebre i CEIP Ramon Llull) i d’un

centre de secundària (IES J.V. Foix). S’han realitzat entrevistes amb professorat de set

centres (els esmentats i de l’lES Duc de Montblanc). S’han tingut en compte els resultats de

les proves de competències bàsiques en els sis centres i s’han estudiat una sèrie de llibres

de 5è i 6è de primària i de 1r i 2n d’ESO. A partir d’aquest conjunt d’elements es va elaborar

un itinerari geomètric pel centre de la ciutat.

En un primer moment també es va pensar en elaborar un protocol per a la transmissió

d’informació entre el professorat de primària i el de secundària. Atès, però, que tots els

entrevistats es mostren favorables a un intercanvi verbal i presencial, no s’ha estimat

adequat fer-lo. Sembla molt més apropiat, almenys de moment, esperar a l’evolució del

contactes per afinar el tipus d’informació a transmetre i veure si veritablement algun tipus de

protocol o de guia és necessària.


6

1.3. OBJECTIUS DEL TREBALL

Els objectius específics que ens hem marcat han estat:

1.3.1. Detectar en l’alumnat de 10 a 14 anys dels centres escollits quines dificultats

troben en l’aprenentatge dels continguts geomètrics.

1.3.2. Detectar en l’alumnat de 10 a 14 anys dels centres escollits quines estratègies

desenvolupen per afavorir l’aprenentatge dels continguts geomètrics.

1.3.3 Recollir i analitzar els resultats de les proves de competències bàsiques

iniciades el curs 2000-01 a primària i el 2001-02 a secundària i més en profunditat

els punts febles de les proves del primer any en un centre de primària i en un de

secundària.

1.3.4. Recopilar i catalogar els exercicis i materials utilitzats en els nostres centres

per aconseguir els objectius prescriptius en l’àmbit de la geometria.

1.3.5. Analitzar la mostra recollida en base a les categories establertes. Estudiar

similituds i diferències.

1.3.6. Elaborar i experimentar un itinerari geomètric per Rubí.

1.4. DESCRIPCIÓ I METODOLOGIA DEL TREBALL

Recordem que el treball consta de dues grans parts. En la primera s’estableix el diagnòstic

de la situació i en la segona s’elabora i experimenta un itinerari geomètric. Així doncs hem

procedit de la forma que s’exposa a continuació.

En primer lloc, s’ha elaborat un registre d’informació específica de l’àmbit de mesura i estudi

de l’espai a partir de la detecció de les principals dificultats que troben els nois i les noies de

10 a 14 anys. S’ha d’entendre que s’escull aquestes edats perquè és als 12 anys quan

l’alumnat canvia d’etapa educativa i de centre (a la xarxa pública) i perquè és el període

comprès entre les dues fases d’avaluació de les competències bàsiques. No es tracta pas

de cap reivindicació del cicle superior de l’antiga EGB.


7

S’ha fet mitjançant entrevistes amb nois i noies, amb un rendiment alt, mig i baix en

l’assignatura de matemàtiques, escollits de les diferents aules dels sis centres. La mostra

d’alumnes ha estat de 55, dels quals 30 són de primària de les cinc escoles esmentades i

25 de secundària de l’IES Foix.

També s’han fet entrevistes al professorat de cicle superior de les escoles de primària i al de

primer cicle d’institut fins a un total de setze persones.

I s’han analitzat els resultats de les proves de competències bàsiques dutes a terme des

que es fan. I, de forma particular, ho he fet amb més detall en el primer cop que es van fer

en un centre de primària (2000-2001) i en un de secundària (2001-2002).

En segon lloc ―encara dins de la primera part―, pel que fa a llibres de text s’ha

confeccionat una graella d’observació per avaluar el tipus d’exercicis que tracten els

aspectes geomètrics i els de mesura. A partir d’aquestes observacions s’han comparat els

llibres de les diferents editorials i s’han extret conclusions. Se n’han analitzat 22, dels quals

14 són del cicle superior de primària i 8 del primer cicle de secundària. Pel que fa a material

didàctic s’ha constatat el poc que s’utilitza en la mostra de centres escollits.

En tercer lloc ―ja som al segon bloc―, s’ha elaborat i experimentat una part de l’itinerari

geomètric per Rubí adaptant al nostre entorn més proper una sèrie de continguts curriculars

que s’haurien de tenir assolits en acabar el primer cicle de l’ESO.

1.5. DISSENY DEL PLA DE TREBALL

El treball ha comprès les següents fases:

o Lectura de bibliografia sobre l’ensenyament i l’aprenentatge de la geometria i

mesura en general, i especialment d’altres treballs dedicats a itineraris

matemàtics.

o Llistat de punts febles i catalogació dels errors més habituals a partir

d’entrevistes a alumnes i mestres dels centres de la mostra.

o Llistat de punts febles i catalogació dels errors més habituals a partir dels

resultats de les proves de competències bàsiques.

o Revisió d’una sèrie d’exercicis proposats pels llibres de text i dels materials

utilitzats en els centres per l’aprenentatge dels continguts geomètrics.


8

o Elaboració d’un breu itinerari geomètric per Rubí, a partir de quatre places

importants de la ciutat que permeten treballar diversos continguts de

geometria del primer cicle de l’ESO.


9

2. APUNTS TEÒRICS

El nostre punt de partida serà considerar la Geometria com la Matemàtica de l’espai. Els

coneixements geomètrics tenen com a objectiu analitzar, organitzar i sistematitzar les

relacions espacials. L’espai s’ha d’entendre com a multidimensional i en ell cada part es pot

analitzar geomètricament. Des de petits, per una part, les nostres primeres experiències

tenen a veure directament amb les formes dels objectes i, per una altra part, en moure’ns

d’un lloc a un altre, prenem possessió de l’espai que ens envolta i que ens incita a ampliar-

lo fent nous descobriments, i així intuïtivament es va adquirint el primer coneixement

geomètric.

M’agradaria transcriure unes definicions que van fer uns alumnes de 1r d’ESO sobre la

Geometria:

“És aprendre el que és l’espai, el volum i aprendre com són els angles, quines

classes d’angles hi ha”.

“La Geometria és una part de les matemàtiques, que no es fan servir tant els

nombres i més el dibuix”.

“La Geometria són línies o formes representades al paper però que s’apliquen a la

realitat. És una sèrie de punts, línies,... formes amb un nom”.

“Són moltes figures amb diferents noms, mides i colors”.

Els alumnes quan comencen la secundària ja fa temps que s’han format una idea del que és

la matemàtica escolar i del que s’ensenya a les classes. En la primera definició l’estudiant

barreja la idea d’espai amb conceptes que sap que es treballen a classe. En la segona es

denota una percepció específica de la geometria que la diferencia del càlcul. A les dues

últimes es reflecteix la sensació que tenen la majoria d’alumnes segons la qual a la

geometria hi ha molts noms a recordar i conceptes com punts, línies, figures, etc. a estudiar.

La tercera definició té l’encert de reverberar el que es pensa: el que es fa a l’escola de

vegades es pot aplicar a la realitat, però no a l’inrevés com hauria de ser el cas.

D’entre els diferents àmbits matemàtics, la geometria és el que millor permet experimentar,

per mitjà de materials adequats, els seus conceptes i les seves propietats. En un primer

estadi, el tacte, la vista, el dibuix i la manipulació permetran familiaritzar a l’alumne amb tot

un món de formes, figures i moviments sobre els quals s’assentaran posteriorment els

models abstractes (Alsina, Burgués i Fortuny, 1988).


10

Els mateixos autors, conjuntament amb Jiménez i Torra (1995), diuen que “el treball de les

matemàtiques podria pivotar sobre el plantejament de problemes, experiències i projectes

basats en situacions i objectes reals que invitin l’escolar a treballar activament i a anar fent

el seu propi procés formatiu de manera gradual, seguint seqüències conceptuals

adequades”. Més endavant parlen d’activitats singulars: “L’entorn que ens envolta és un

gran medi o laboratori que podem aprofitar. El paisatge urbà, els centres comercials, el

camp, els edificis, els museus, etc. tota una realitat rica i plural, viva i propera que ofereix

innombrables possibilitats imaginatives per treballar activitats matemàtiques”. És en aquesta

línia que he elaborat un itinerari geomètric, que consta d’un seguit d’activitats a partir de,

principalment, mobiliari urbà, enrajolats, fonts, l’església, etc. Per suposat, l’itinerari

dissenyat aquí és un primer model que no esgota les possibilitats de la ciutat i que cal

ampliar i polir en el propers cursos.

Pierre i Dina Van Hiele (1984) [citats a Alsina, Burgués i Fortuny (1987); Denis (1994) i

Pérez (1994)] proposen un model d’aprenentatge estratificat en cinc nivells que permeten

categoritzar els diferents graus de representació de l’espai. Per a ells, l’estudiant no pot

arribar a un nivell de pensament alt si no ha passat pels nivells anteriors.

Els cinc nivells de coneixement de la Geometria pels Van Hiele són:

- Nivell 0 o bàsic: les figures es perceben com un tot global. No es reconeixen les

parts i els components de les figures, ni les seves propietats. En aquesta etapa es

veuen iguals un quadrat i un rombe, però es poden reproduir figures o reconèixer-

les.

- Nivell 1 o d’anàlisi: ja s’analitzen, experimentalment, parts i propietats particulars de

les figures. Es pot veure que les dues diagonals d’un rectangle són iguals, però no

es reconeixen les relacions entre diferents famílies de figures (el rectangle i el rombe

són paral·lelograms).

- Nivell 2 o de deducció informal: es determinen les figures per les seves propietats,

per exemple cada quadrat és un rectangle, però no es sap raonar l’observació.

- Nivell 3 o de deducció: es desenvolupen seqüències de proposicions per deduir

una propietat d’una altra, sense mostrar la necessitat de rigor en els raonaments.

- Nivell 4 o de rigor: es té la capacitat per analitzar el grau de rigor de diversos

sistemes deductius. Requereix un alt grau d’abstracció i es pot considerar una

categoria a part.

Aquest model d’estratificació del coneixement ha estat validat per estudis de psicòlegs

soviètics que han demostrat, igual que els Van Hiele, que el pas d’un nivell a un altre és


11

independent de l’edat. A l’escola, el mestre a través dels continguts i mètodes

d’ensenyament ha de provocar el pas d’un nivell a un altre.

Els Van Hiele proposen una sèrie de fases d’aprenentatge per fomentar aquests passos que

són comparables amb les proposades per Dienes (1971) [citat a Alsina, Burgués i Fortuny

(1987)] que deixarem expressades entre parèntesi:

• Fase 1 = informació (joc lliure)

Es presenten als alumnes situacions d’aprenentatge donant el vocabulari i les

observacions necessàries per al treball.

• Fase 2 = orientació dirigida (joc estructurat)

Es proposen seqüències graduades d’activitats a realitzar i a explorar.

• Fase 3 = explicitació (representació)

Després de realitzar les activitats els alumnes han de comentar els seus resultats.

• Fase 4 = orientació lliure (predicció)

Els estudiants apliquen els seus coneixements de forma significativa a altres situacions

diferents, però comparables.

• Fase 5 = integració (joc formal)

S’interioritza l’aprenentatge i per tant s’ha adquirit un nou coneixement.

Amb aquestes idees i afegint les expressades sovint per Mª Antònia Canals i altres autors,

sobre l’ús del material manipulable en l’aprenentatge de les matemàtiques, considero que

en el moment d’introduir nous conceptes, ja sigui a l’etapa infantil o al primer cicle de

secundària, no hem d’oblidar que l’activitat manipulativa i l’experimentació seran una part

fonamental en la construcció del “saber matemàtic” de cada persona.

Per poder realitzar les activitats de l’itinerari no cal, però, que tot l’alumnat es trobi en un

nivell alt de Van Hiele sinó que, tenint en compte els diversos nivells de l’alumnat, cal que es

treballin prèviament una sèrie de conceptes geomètrics a l’aula. Més tard, les activitats fetes

a l’itinerari han de permetre avançar en els nivells de coneixement de cadascun, un cop es

verbalitzi a l’aula tot el que s’ha treballat.

Per acabar, també em baso en ell treball del National Council of Teachers of Mathematics

(NCTM) sobre els principis i estàndards per a l’Educació Matemàtica (2000) que poden

jugar un paper fonamental en la millora de la qualitat de l’ensenyament matemàtic.

Els sis Principis són enunciats que reflecteixen preceptes bàsics fonamentals:


12

- Igualtat: matemàtiques per a tots

- Currículum: ben estructurat i coherent

- Ensenyament: requereix conèixer el que els alumnes saben i el que necessiten

aprendre i estimular-los amb professors competents i compromesos.

- Aprenentatge: les matemàtiques s’han de comprendre i la construcció activa de

nous coneixements s’ha de fer a partir de l’experiència.

- Avaluació: com a suport a l’aprenentatge i per proporcionar informació útil al

professorat i a l’alumnat.

- Tecnologia: influeix sobre les matemàtiques que s’ensenyen i potencia

l’aprenentatge.

Els Estàndards són descripcions sobre el que l’ensenyament de les matemàtiques hauria de

capacitar als estudiants a saber i fer. Són deu, els cinc primers descriuen els objectius

relatius a continguts en els àmbits de Nombres i operacions, Àlgebra, geometria, Mesura i

Anàlisi de dades i probabilitat i els altres cinc tracten dels processos de resolució de

problemes, raonament i prova, connexions, comunicació i representació.

L’estàndard de geometria diu que els programes d’ensenyament de totes les etapes haurien

de capacitar tots els estudiants per:

- analitzar les característiques i propietats de figures de dues i tres dimensions i

desenvolupar raonaments matemàtics sobre relacions geomètriques;

- localitzar i descriure relacions espacials mitjançant coordenades geomètriques i

altres sistemes de representació;

- aplicar transformacions i usar la simetria per analitzar situacions matemàtiques;

- utilitzar la visualització, el raonament matemàtic i la modelització geomètrica per

resoldre problemes.

I els de mesura:

- comprendre els atributs mesurables dels objectes, i les unitats, sistemes i processos

de mesura:

- aplicar tècniques, instruments i fórmules apropiades per obtenir mesures.


13

3. ALUMNAT

3.1. INVESTIGACIÓ

L’estudi s’ha fet amb 55 alumnes distribuïts de la següent manera:

- 15 nois i noies de 5è de primària

- 15 nois i noies de 6è de primària

- 12 nois i noies de 1r d’ESO

- 13 nois i noies de 2n d’ESO

L’alumnat de primària s’ha escollit de les 5 escoles que, encara que amb diferent proporció

d’estudiants, segueixen la secundària en el meu institut. L’alumnat de 1r i 2n d’ESO és

exclusivament del Foix. Hi ha 25 noies i 30 nois (aquesta diferència d’alguna manera

reflecteix el que hi ha a les aules estudiades: majoria de nois). De cada nivell, hi ha un terç

que té facilitat en l’assignatura; un altre terç a qui li costa força, i l’últim terç dels que tenen

dificultats, però van superant-les.

Majoritàriament en cap centre s’han treballat ni repassat conceptes geomètrics en el primer

trimestre. Es segueix l’ordre establert pels llibres de text, cada escola de primària utilitza una

editorial diferent, i només dos són els que intercalen temes de geometria i no la deixen pel

final. Tampoc s’ha treballat ni a 1r ni a 2n d’ESO.

S’ha passat individualment i de forma oral i manipulativa (excepte una activitat), un

qüestionari que consta dels següents apartats:

1. Situació en el temps: veure si saben quin dia és avui, quants mesos té l’any,

quants dies té l’any, quants dies falten per...., quanta estona falta pel pati, per

sortir, etc.

2. Mesura de longitud (I): estimar la distància entre on estan i la paret més

propera i després mesurar amb la cinta mètrica.

3. Identificació de rectes paral·leles i de rectes perpendiculars: en el geoplà i en

el plànol del centre de Rubí.

4. Recorregut en un plànol esquemàtic (quadrícula): buscar el camí més curt

per anar d’un lloc a un altre.

5. Classificació de figures: amb un cercle, 7 polígons diferents (triangle

equilàter, triangle rectangle, quadrat, rectangle, rombe, trapezi rectangle i


14

hexàgon regular) i 4 cossos geomètrics (cilindre, con, prisma rectangular i

piràmide quadrada) fer una classificació amb alguna propietat senzilla que

trobin en les figures. Descriure aquesta propietat.

6. Amb les 8 figures planes anteriors: assenyalar el cercle, els angles rectes,

identificar els quadrilàters i la figura que té 2 angles aguts i 2 angles obtusos.

7. Mesura de longitud (II): mesurar amb el regle els costats del rectangle.

8. Mesura de superfície: calcular l’àrea del rectangle anterior.

9. Canvi d’unitats (prova escrita): amb les fotocòpies de 2 fulls d’un llibre de 5è

de primària resoldre 2 exercicis.

10. Construcció d’un cos amb 10 cubs donada la planta, l’alçada i un perfil.

Es disposa de fulls blancs, regle, llapis, goma i calculadora a més del material específic per

les preguntes que ho requereixen: cinta mètrica, plànol, geoplà, figures planes, cossos

geomètrics, cubs encaixables i fitxes pertinents.

Normalment amb la presentació de l’estudi al noi o a la noia preguntava les qüestions

relatives al temps. Abans d’abordar el plànol i les rectes paral·leles i perpendiculars,

parlàvem del carrer on vivien i del barri de l’escola. Un cop acabades les qüestions de

mesura de temps, longitud i la situació en el plànol i el recorregut en la quadrícula,

presentava les figures planes i de volum. En primer lloc havien de fer la classificació i

després venien les preguntes. Si mostraven confusió amb el concepte d’angle recte, ja no

els preguntava pel rombe. Dels 55 alumnes 4 no van voler fer l’activitat escrita de canvi

d’unitats. Amb la construcció amb cubs s’acabava el qüestionari. Mentre durava tot el

procés els feia preguntes sobre què els costava més de matemàtiques en general, de

geometria i mesura en particular i com estudiaven l’assignatura. En conceptes com paral·lel,

perpendicular, angle, quadrilàter, ... si hi havia error ho rectificàvem. També els donava la

solució de la construcció quan desistien o els faltava poc per resoldre-ho correctament.

El temps necessari ha estat entre mitja hora i una hora. Normalment ha estat més llarg amb

els alumnes més joves, però també s’ha notat que costava més temps en els casos dels

que tenen més dificultats, encara que a priori desconeixia el tipus d’alumne que tenia al

davant. Amb alguns alumnes ha quedat pendent aprofundir més en les respostes que

donaven, per poder esbrinar el raonament que feien, però no vaig voler estar més d’una

hora per no distorsionar massa el ritme de l’escola.


15

Amb el qüestionari es pretenia estudiar:

- El coneixement que tenen de les mesures de temps i longitud i les estratègies

que utilitzen per fer els càlculs.

- Les estimacions que fan amb mesures de temps i longitud.

- Les dificultats que troben davant d’una activitat de canvi d’unitats de mesura.

- Si recorden la fórmula de l’àrea del rectangle.

- El coneixement i la utilització dels conceptes de rectes paral·leles i

perpendiculars.

- Les idees relatives a situació, direcció i distància desplaçant-se en una

quadrícula.

- El coneixement dels conceptes d’angle recte i els d’angle agut i angle obtús,

com a angles diferents del recte.

- El reconeixement del cercle i dels quadrilàters.

- Com classifiquen un conjunt de figures de 2 i 3 dimensions.

- Si saben fer una construcció tridimensional amb 10 cubs a partir de les vistes:

alçada, planta i un perfil.

El qüestionari, en un primer moment de concepció de la recerca, pretenia obtenir més

informació sobre altres mesures (capacitat, pes i amplitud de l’angle) i sobre altres

continguts de geometria (elements i càlculs a la circumferència i al cercle, els polígons i les

seves característiques, els cossos geomètrics i les seves característiques, volum, escala,

coordenades cartesianes). Però era necessari acotar els ítems a estudiar i organitzar-ho de

forma factible.

En primer lloc, es va decidir reduir les mesures al temps i a la longitud, principalment, a més

d’incidir en la fórmula de l’àrea del rectangle. Per pròpia experiència ja sabia que la qüestió

del temps es fa molt de passada i costa més del que ens sembla. D’altra banda, atesa la

importància de la mesura de longitud, no podia obviar-la perquè és bàsica per la vida

quotidiana i perquè un cop s’ha fet un bon aprenentatge del sistema mètric decimal ens

permet transferir-lo a les altres mesures. I, a més, encara a 1r d’ESO hi ha alumnes que els

costa prendre mesures amb el regle.

Tampoc volia deixar de veure que passava quan els poses davant de dues activitats de

canvi d’unitats extretes d’un llibre de 5è de primària (tot i que sabia que l‘alumnat de 5è

encara no ho havia fet). Per fer l’activitat disposàvem de la fotocòpia de les pàgines del

llibre, una calculadora i paper suficient per resoldre les transformacions de la forma amb què

ells se sentissin més còmodes o més segurs. També, un cop els feia mesurar amb el regle

els costats del rectangle, els preguntava si sabien calcular la seva àrea.


16

En l’apartat de situació en un sistema de coordenades i en un plànol vaig decidir simplificar

a:

- fer un recorregut en una quadrícula

- localitzar carrers paral·lels i perpendiculars en el plànol del centre de Rubí

(previ recordatori en el geoplà de rectes paral·leles i perpendiculars).

En l’apartat de propietats geomètriques, pretenia que es distingissin figures de 2 i 3

dimensions. Les 8 figures planes eren de paper i estaven pintades de diferents colors. Els 4

cossos eren de fusta: un prisma rectangular, un cilindre, una piràmide i un con. La idea va

partir d’una activitat, adaptada d’una proposta de control del material de Matemàtiques per a

la diversitat de l’editorial Divermat, inclosa en la prova inicial d’entrada a l’institut i a partir de

l’EAP de Rubí estesa a altres proves que es fan a les escoles. Amb les 12 figures sobre la

taula els demanava que fessin una classificació senzilla a partir d’alguna propietat de les

figures, és a dir, s’havien de fer diferents grups segons la característica que volguessin. La

característica escollida havia de ser geomètrica (no podia ser pel color o pel material en que

s’havien fabricat) i amb dos grups ja ni havia prou. L’expectativa era que als alumnes més

brillants acadèmicament parlant els fos fàcil diferenciar les figures planes i els cossos

geomètrics.

Amb les figures planes havien de:

- identificar el cercle

- assenyalar els angles rectes

- identificar els quadrilàters

- trobar una figura que tingués 2 angles aguts i 2 angles obtusos


17

L’exercici a la prova inicial és el següent:

I finalment, tot i ser conscient que no s’acostuma a treballar a les aules de matemàtiques,

havien de fer una construcció de cubs encaixables a partir de l’alçada, la planta i un perfil.

Fes una construcció de 10 cubs a partir dels 3 dibuixos següents:

Vista de davant Vista de dalt Vista del perfil dret


18

3.2. DIFICULTATS

A partir del qüestionari i les preguntes que s’han fet als alumnes mentre el resolien s’han

constatat les següents dificultats:

- fer càlculs de mesura de temps (quants dies han passat des de ...., quants

dies falten per...., quants minuts van de .... a ....)

- situar-se en el plànol (alguns alumnes deien que no havien vist mai el plànol

de Rubí)

- confondre angle i costat

- considerar angle recte a qualsevol angle

- recordar els noms de les figures i els cossos (expliquen que són molt

confosos)

- confondre perímetre i àrea

- dibuixar, construir (retallar i muntar), dividir segments en parts iguals, traçar

bisectrius, ...

- resoldre un exercici de canvi d’unitats

- calcular l’àrea d’un rectangle

- assolir el concepte de rectes perpendiculars

- diferenciar les figures bidimensionals i les tridimensionals

Alguns alumnes de 2n d’ESO reconeixen que cada curs fan angles, rectes, paral·leles...,

però no aprenen el significat d’aquests conceptes. Diuen que són molts noms per aprendre.

A la pàgina següent es mostren els resultats en percentatges d’alumnes que contesten o

resolen correctament cada una de les qüestions:


19

5è primària

6è primària

1r d'ESO

2n d'ESO

Situació en el temps 53,3 60,0 70,0 85,0

Càlcul amb mesures de temps 40,0 53,0 60,0 70,0

Estimació longitud 60,0 80,0 83,0 84,6

Ús i lectura cinta mètrica 80,0 93,3 100,0 100,0

Ús i lectura regle 93,3 100,0 100,0 100,0

Àrea rectangle 0,0 13,3 25,0 38,5

Exercicis canvi d'unitats 6,7 40,0 58,3 69,2

Reconeixement de rectes paral·leles 53,3 73,3 91,7 84,6

Reconeixement de rectes perpendiculars 40,0 13,3 41,7 46,1

Recorregut en un plànol esquemàtic 46,7 40,0 58,3 76,9

Identificació de l'angle recte 27,0 33,0 50,0 76,9

Identificació del cercle 100,0 100,0 76,9 100,0

Reconeixement dels quadrilàters 47,0 67,0 58,3 53,8

Identificació figura amb 2 angles aguts i 2 obtusos 26,7 33,3 50,0 53,8

Construcció 10 cubs donades planta, alçada i perfil

13,3 13,3 33,3 69,2

Classificació de figures bidimensionals i tridimensionals

13,3 20,0 8,3 7,7


20

3.3. CONCLUSIONS

Enumerarem les principals conclusions que es poden extreure de l’estudi empíric i ens

entretindrem en comentar-ne especialment les dues últimes:

- El tret més significatiu és l’augment d’encerts en augmentar l’edat (amb alguna

excepció sense importància: rectes perpendiculars o cercle i, cas apart la

classificació 2D/3D).

- Les mesures de longitud amb regle han sortit força bé, millor que l’expectativa

pronosticava. Amb la cinta mètrica costa una mica més.

- Els exercicis de canvi d’unitats adreçats a 5è costen a 6è i a 1r d’ESO.

- El concepte de paral·lel costa menys que el de perpendicular. Aquest, encara està

poc assolit a l’ESO.

- A 5è i 6è s’obtenen percentatges per sota del 50% en el reconeixement de l’angle

recte, en els quadrilàters (excepte 6è) i en el rombe com a figura amb dos angles

aguts i 2 angles obtusos.

- La construcció del cos format amb 10 cubs donades les vistes no és fins a 2n d’ESO

que s’obtenen bons resultats (quasi un 70%).

- L’àrea del rectangle no es recorda significativament ni a 2n d’ESO

- La classificació de les figures en 2 i 3 dimensions no s’ha resolt satisfactòriament.

Àrea del rectangle

Molts conceptes geomètrics tenen un record limitat, s’aprenen mentre es treballa el tema,

sense que es doni un aprenentatge significatiu. L’àrea del rectangle es recorda per fer els

exercicis, però com no s’acaba d’entendre el significat, s’oblida.

A 6è de primària un noi diu: “es multiplica 2 vegades la base per 2 vegades l’altura” i ho fa.

Una noia explica ”es fa el triangle i es talla per la meitat i s’enganxa i fas l’altura i després hi

ha la base”. Una altra noia diu “sé que s’ha de fer una operació, però no sé si multiplicar o

dividir”.

Un altre noi fa les següents operacions:


21

I un altre que recorda perfectament la fórmula, l’aplica correctament, però, tot i que posa bé

les unitats de mesura, fa una suma per la multiplicació.

A 1r d’ESO un noi diu: “sumant costats i multiplicant per π”, encara que de seguida rectifica.

A 2n d’ESO hi ha que confon amb l’àrea del triangle o amb la del cercle (torna a sortir π)

Només dues persones calculen el perímetre i una posa cm2. Una altra suma la base més

l’altura.

Classificació 2D/3D

Tot i que vaig assajar diferents maneres de plantejar la resolució, els cossos geomètrics els

veuen com una sèrie de figures planes situades a l’espai. La classificació “estàndard” ha

estat fer un grup amb el cercle, el cilindre i el con, un altre amb el prisma i els quadrilàters i

el tercer amb la piràmide i els triangles. L’hexàgon el podien situar amb les “rodones”

perquè “s’assemblava una mica” o com a element únic d’un altre grup. El rombe i el con

també els han situat en el conjunt dels “que tenen punta”. Una noia de 5è fa el grup dels

que tenen 6 cares: el prisma i l’hexàgon.

Les característiques o propietats geomètriques destacades han estat pel primer grup: les

rodones o els rodons o tenen la base rodona. Una noia diu són circulars.

Pel segon:

- els de 4 costats

- els rectangles

- els quadrats

- tenen la mateixa forma

- tenen la base quadrada

- tenen línies paral·leles

- tenen 4 vèrtexs

Pel tercer:

- els triangles

- són més amples a baix que a dalt


22

- tenen punta

- tenen 3 costats

- triangles amb volum (per la piràmide) i sense

- de gros passa a punxegut

- tenen angles semblants

Un alumne de 2n d’ESO demostra tenir assolit el concepte d’angle distribuint les figures

segons les següents propietats:

- tenir més de dos angles rectes: prisma, quadrat, rectangle i trapezi (!).

- tenir puntes: piràmide, triangles i rombe

- no tenir cap angle recte: hexàgon, cercle, con i cilindre.

En els alumnes a qui vaig insistir en què fessin només dos grups el que feien era reunir en

un grup el cercle, el con i el cilindre (són rodons, no tenen costats rectes, són corbades o

tenen la base rodona) i la resta de figures formava l’altre grup (quadrades i rectes, tenen

línies rectes, tenen vèrtexs).

Dels 55 nois i noies són 7 els que fan la classificació esperada. Una noia de 5è de primària

diu “els que no tenen dimensió i els que sí”. Un noi de 6è, el millor de tota la mostra

acadèmicament parlant (només deixa sense resoldre la construcció amb cubs, després de

cinc minuts d’intentar-ho, es cansa) explica que els de dues dimensions també es poden

classificar en quadrilàters, triangles, cercle i hexàgon. Un altre noi de 2n d’ESO, que

destaca per la resolució correcta i ràpida de tots els ítems, separa les figures bidimensionals

i diu que són les figures planes i a les tridimensionals les anomena “polígons”.

3.4. ESTRATÈGIES PER APRENDRE

No s’ha aprofundit en el tema, però intercalades amb les preguntes del qüestionari també

parlàvem sobre com estudiaven les matemàtiques.

Aquestes són algunes de les conclusions:

- És una assignatura que no s’acostuma a estudiar (fins i tot hi ha un alumne que diu

que les matemàtiques no es poden estudiar).

- Normalment es fan els deures i prou.

- S’estudia una mica abans dels controls.

- S’identifiquen les matemàtiques amb el càlcul: practiquen les operacions.

- A primària encara estudien amb l’ajuda i vigilància de la família, però de vegades

només fan càlcul.


23

- Una petita part de l’alumnat de l’estudi diu que de vegades llegeix el llibre o els

apunts:

o dos alumnes diuen que repassen els exercicis ja fets

o una alumna diu que llegeix el llibre i després escriu el que recorda.

Com anècdota curiosa, una alumna de 5è de primària del nivell bo en matemàtiques quan

mesura amb la cinta mètrica li dóna 69 cm i diu 1m i 9 cm. Està estudiant la mesura del

temps i el sistema sexagesimal i ha aplicat a la mesura de longitud el mateix raonament.

Aquesta noia sembla que té el sistema decimal ben assimilat, però ara en procés d’assolir el

sistema sexagesimal, ha generalitzat aquest per a la mesura de longitud. Segur que un cop

treballi més les diferències entre les unitats de mesura aprendrà a distingir perfectament el

funcionament dels dos sistemes.

Un exercici que dóna per comentar abastament i introduir les operacions amb el sistema

sexagesimal és un senzill problema d’horari del trajecte en tren de Rubí a Barcelona. A

l’institut es demana a la prova inicial en començar primer d’ESO i algun any s’ha tornat a

repetir en acabar el curs. Permet comparar les diferents estratègies que han utilitzat els

estudiants per resoldre’l i trobar entre tots el perquè dels errors. A continuació s’exposen

diferents respostes donades per alumnes de 1r d’ESO a final d’un curs on no es va treballar

el sistema sexagesimal, però si la resolució de problemes.

Transcripció: “Ha trigat 32, mín. La solució es, que cada pal es un mín, he anat descontant, i m’ha donat

32 mín.”


24

Transcripció: “sumes quant va de 6:46 a les 7:18 i dan 32 minuts”

Resposta: Transcripció: “Ha trigat 32 minuts. Perquè si fem de les 6:50 a les 7.15 són 25 minuts, més 3 de 18 i 4 de 46 són 32.”

Transcripció: “Ha trigat 32 minuts perque son 2 quarts d’hora + 3 i – 1.”

Transcripció: “Ha trigat 32 minuts.”


25

Transcripció: “Perque desde les 6:46 a les 7:00 van 14 minuts i fins les 7:00 fins a les 7:18 van 18

minuts i sumen 14 i 18 i dona 32.”

Transcripció: “ Ha trigat 32 minuts perque agafo el que falta per arribar a les 7 que son 14 i despres

desde las 7 fins al que falta per arribar a les 7:18 son 18 i despres es suma”

Transcripció: “Doncs he trigat mitja hora i 2 minuts perque si desde 6,46 fins a 7,18. Contes desde 46

min fin 18 i et dona 32.”


26

Transcripció: “ Ha trigat 32 minuts perque un rejotge cambia d’hora (de 6:00 a 7:00) 60 minuts.”

Tots els resultats anteriors són correctes i tots ells s’han solucionat mitjançant una suma o

comptant els minuts. Els alumnes han raonat correctament sabent que una hora són 60

minuts. En les respostes s’utilitza la mitja hora i els dos quarts d’hora.

A continuació tenim les respostes de tres alumnes que tot i anar ben encaminades tenen

algun petit error:

Transcripció: “De 6:45 a 7:15 van 30 min. De 7:15 a 7:18 van 3 i el minut d’abans li sumem.”

Transcripció: “Ha trigat 34 minuts. El que he fet ha sigut treure el 6 i el 8 i deixar-lo en 6:50 i 7:10 i he

sumat els 20 amb els 6 i 8.”


27

Transcripció: “Tarda 0,32 h en arribar”

Amb les respostes d’estudiants que van pensar en fer una resta es van detectar diferents

errors que ens van servir per explicar la resta en el sistema sexagesimal:

Transcripció: Ha trigat 72 m. Doncs perque si tu li restes 7:18 a 6:46 et dona aixó es com si ho fessis

normal set cents divuit menys sis cents quaranta-sis”

Transcripció: “Ha trigat 72 minuts.. La solució es que si fas la resta de l’hora que arriba i de l’hora que

surt, llavorans et dona el que ha trigat.”


28

Transcripció: “Ha tardat 1h i 12 minuts. He restat l’hora de sortida i la de arribada i despres he fet 72-

60= i m’ha donat 12 que son els minuts i 60 una hora sencera.”

Transcripció: “El tren ha trigat una hora i vintivuit segons. He restat desde l’hora que surt, a l’hora que

arriba el tren a la plaça.

Transcripció: “A trigat 1:32 Perque si s’anat a les 6:46 i arriba a les 7:18 vol dir que el que n’hi ha de

6:46 a 7:18 es el que a trigat.”

Transcripció: “Perquè si resto la hora que he sortit per la hora que arribo doncs entre mig queda el

que és. Ha trigat 1 minut i 28 segons (1:28)”.


29

4. PROFESSORAT 4.1. INVESTIGACIÓ

Les entrevistes es van fer a setze mestres de cicle superior i d’educació especial de les 5

escoles de primària i a dues ensenyants de secundària (una del meu institut i l’altra d’un

altre institut). Els contactes iniciats amb una escola concertada on hi ha primària i

secundària no van fructificar.

Vam revisar els llibres que s’utilitzen a cada centre i es va constatar que tots fan servir un

llibre diferent. L’única coincidència és que una editorial utilitzada en un centre de primària es

torna a trobar en un altre centre de secundària. A primària, també s’utilitzen diferents

quadernets per problemes, càlcul mental o deures. Sobre els llibres, s’ha observat el grau

de seguiment que se’n fa a les classes i si es tracten tots els temes.

Un altre punt estudiat va ser l’organització dels grups-classe i les hores setmanals

dedicades a l’assignatura.

També s’ha recollit informació sobre què, quan i com es treballa la geometria i la mesura,

quines dificultats es troben, si s’utilitza material de suport i si es fan activitats fora de l’aula.

Vaig estudiar amb els ensenyants sobre quina seria una forma ràpida i precisa de

traspassar a l’institut la informació del què i com s’ha treballat a l’escola. I, en el cas de

secundària, sobre quina informació necessiten i com els agradaria rebre-la.

Finalment, a primària comentàvem com es treballen els resultats de les proves de les

competències bàsiques de 4t curs i si es tenien en compte en iniciar 5è.

4.2. RESULTATS

4.2.1. Generals

La discussió sobre el traspàs d’informació de primària a secundària m’havia de permetre

esbossar uns protocols adequats, que era el primer propòsit del meu treball. Però, tot i que

per a la majoria de centres el que es fa ara no agrada, prefereixen per unanimitat la


30

transmissió oral d’informació al començament de curs. Per una altra banda, l’EAP de Rubí ja

està treballant aquest tema i, per tant, vaig decidir no incloure aquest punt en el meu treball.

En la següent taula hi ha una ressenya de les entrevistes realitzades:

C.S de primària (5 escoles)

1r cicle de secundària (2 instituts)

Dedicació setmanal de matemàtiques

4 sessions, excepte a 1 escola que en fan 3. Surt una mitjana de 3h ¾.

3 sessions. Surt una mitjana de 2h ¾.

Organització de grups Quasi totes les escoles poden fer

una sessió amb mig grup.

No hi ha possibilitat de desdoblament, però es fa el reforç paral·lelament.

Reforços Reforç dins o fora l’aula. Grups de reforç fora de l’aula.

Llibre de text Es segueix el llibre de text. Es segueix el llibre de text.

Temari Una meitat de les escoles pot acabar tot el llibre (depèn de la promoció).

Mai s’acaba tot el llibre.

Activitats de geometria fora de l’aula

No es fan activitats fora del centre (com a molt al pati- 2 escoles). No se’n fan.

Suport S’utilitza poc material de suport. No s’utilitza material de suport

Informàtica Només a dues escoles es treballa amb material informàtic (CLIC)

Normalment no es fa matemàtiques a informàtica.

Competències bàsiques Poc profit dels resultats de les

proves de CCBB ( algun canvi a nivell claustre)

Poc profit dels resultats de les proves de CCBB (s’afegeix activitat tipus CCBB)

En una escola de primària hi ha i s’utilitza material manipulatiu de geometria: geoplans,

dominós, pentominós, cubs encaixables i no encaixables, cossos geomètrics,

trencaclosques, mosaics, etc. Dediquen una hora a la setmana a fer geometria i, a més, a la

programació de plàstica contemplen reforçar conceptes geomètrics. A cicle superior,

treballen amb els alumnes distribuïts per nivell acadèmic i amb una ràtio de 12-18 alumnes


31

per mestre. Arran dels baixos resultats en les proves de competències bàsiques del primer

any han dedicat esforços en el tema de geometria i mesura.

A la resta de centres hi ha poc material geomètric o s’utilitza poc. Per la mesura sí que es

fan servir el metre, el rellotge, cintes, balances, vasos, ampolles, etc.

A secundària, els alumnes construeixen amb paper els cossos geomètrics i això els permet

manipular i descobrir les seves propietats. També hi ha la possibilitat d’aprofitar

l’assignatura de Tecnologia per a l’elaboració de materials com el tangram i practicar les

mesures. És a l’institut on es treballen més les estimacions, principalment les de longitud i

es fan servir els objectes de la classe.

4.2.2. Dificultats d’aprenentatge

Sobre les dificultats en l’àmbit de la mesura i la geometria s’han detectat les següents:

- No dominen l’ús dels instruments de mesura (regle, compàs, transportador)

- No comprenen el concepte d’angle

- Els costa construir figures

- No estan segurs sobre les unitats de mesura que han d’utilitzar

- Els costa calcular amb mesures de temps

- Sovint confonen perímetre i superfície

- Els costa molt diferenciar circumferència/cercle/esfera, quadrat/cub, etc. És a dir, no

tenen clar quan treballen amb 1, 2 o 3 dimensions. Correlativament no saben si han

de calcular longitud, superfície o volum.

- Pocs saben transformar unitats de superfície o de volum.

- Confonen les classificacions de les figures planes i dels cossos geomètrics tal com

estan plantejades en els llibres de text.

- També confonen termes de vocabulari matemàtic (per exemple, fraccions i

potències).

- La informació del llibre de text és massa complexa i extensa (una editorial proposa

18 temes diferents a 5è de primària)

4.2.3. Causes

Les possibles causes d’aquestes dificultats, segons el professorat:

- manca de temps,

- manca de manipulació (entenen més si practiquen amb el cos, amb objectes...),


32

- no saber com fer memoritzar i què cal memoritzar,

- manca de relació d’un tema amb un altre,

- la geometria és un tema que es treballa menys (sobretot si està al final del llibre),

- es pretén que aprenguin unitats de mesura que no s’utilitzen normalment, i

- hi ha inseguretat per part de les mestres en aquest tema.


33

5. COMPETÈNCIES BÀSIQUES 5.1 INTRODUCCIÓ

El Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya en la presentació de les proves

de competències per secundària l’any 2001 explicava:

“Per competència s’entén la capacitat de posar en pràctica de forma integrada, en contextos

i situacions diferents, els coneixements, les habilitats i els trets de la personalitat adquirits.

El concepte de competència inclou tant els sabers (coneixements teòrics) com les habilitats

(coneixements pràctics o aplicatius) i les actituds (compromisos personals) i va més enllà

del “saber” i “saber fer o aplicar” perquè inclou també el “saber ser o estar”.

Competència vol dir capacitat d’usar funcionalment els coneixements i habilitats que tenim

en contextos diferents i implica comprensió, reflexió i discerniment.”

En el document-síntesi de resultats del curs 2003-2004 ho resumeix així:

“S’entén per competència bàsica la capacitat de l’alumnat per posar en pràctica d’una

manera integrada, coneixements, habilitats i actituds de caràcter transversal, és a dir, que

integren sabers i aprenentatges de diferents àrees, que sovint s’aprenen no sols a l’escola i

que serveixen per resoldre problemes diversos de la vida real”.

Ser competent vol dir, doncs, conèixer, saber fer i estar amb els altres. Aquesta seria

l’última interpretació que s’ha fet dels tres tipus de continguts a aprendre: conceptes,

procediments i valors, actituds i normes, presents en el currículum vigent. L’assoliment tant

dels objectius generals d’etapa, com dels objectius generals de les àrees, que es concreten

en els continguts curriculars, necessàriament requereixen l’adquisició de competències

bàsiques, moltes d’elles transversals, és a dir, que seran útils tant per a uns objectius com

per a uns altres.

En l’adquisició de les competències hi han d’intervenir tots els àmbits educatius: escola.

família, comunitat, etc. A més, en la identificació de les competències bàsiques (CCBB), que

en la societat actual haurien de tenir els alumnes en acabar l’escolaritat obligatòria, han

participat tots els estaments: alumnat, professorat, famílies i representants del col·lectiu

sociolaboral. L’any 1997 el Departament d’Educació de la Generalitat va impulsar l’estudi,

que recollint els continguts establerts en el currículum de l’ensenyament obligatori, va


34

distribuir en cinc grans àmbits: matemàtic, social, lingüístic, tecnocientífic i laboral,

formulant-los com a competències bàsiques.

L’àmbit matemàtic, al seu torn, es divideix en sis dimensions: càlcul, resolució de

problemes, mesura, geometria, tractament de la informació i atzar. Val a dir que les

competències que queden en un primer nivell d’importància són majoritàriament de càlcul i

de resolució de problemes. La competència més important, d’entre les dues-centes

quaranta-cinc plantejades de tots els àmbits, és conèixer les quatre regles del càlcul (suma, resta, multiplicació i divisió). Les de geometria i mesura estan en un segon nivell

d’importància, excepte: conèixer les unitats de mesura més freqüents (massa, pes, volum, espai, temps, capacitat, velocitat, longitud, superfície, densitat...) i aplicar les unitats de mesura a la vida quotidiana.

Aquesta nova formulació en competències costa diferenciar-la dels objectius mínims. Si ens

fixem en les competències bàsiques que va seqüenciar la secció VII de la Conferència

Nacional d’Educació (2000-02) per primària i secundària, veurem que coincideixen amb el

que fins ara s’ha anomenat objectius mínims.

Paral·lelament, sense haver superat o paït aquest concepte de CCBB, des del curs 2000-01

per 4t de primària i del 2001-02 per 2n d’ESO, es continuen realitzant cada any les proves

estandarditzades per avaluar-ne l’adquisició. Es fan durant tres dies seguits del mes de

maig (a part de les proves de llengua oral i Tecnologies de la informació i la comunicació

que es fan en altres dies). Les proves es presenten en diferents quaderns per cada àrea

(Ciències socials, Llengua catalana i literatura, Matemàtiques, Llengua castellana i literatura,

Ciències de la naturalesa, Anglès, i TIC). En cada prova s’avaluen un seguit de

competències, la majoria d’elles de les escollides del seu propi àmbit (matemàtic, lingüístic o

social i científic). Els resultats d’aquestes proves tenen una doble finalitat, perquè serveixen

tant a nivell d’avaluació interna dels centres com a nivell d’avaluació externa.

Des del primer any les seleccionades per l’àmbit matemàtic són les mateixes. A primària:

M1: Aplicar el coneixement del sistema de numeració decimal i de les operacions

per comparar, relacionar nombres i operar amb rapidesa, buscant segons la

situació un resultat exacte o aproximat.

- Càlcul exacte amb temps controlat.

- Càlcul exacte amb temps no controlat.

- Càlcul aproximat.


35

M2: Utilitzar les tècniques i convencions de la representació geomètrica

bidimensional, en particular compondre i descompondre formes geomètriques

complexes a partir de formes simples.

M3: Emprar amb criteri les unitats de mesura.

M4: Usar amb propietat instruments i tècniques per dibuixar, mesurar i calcular,

quan sigui necessari.

M5: Planificar i seguir alguna estratègia per resoldre un problema i modificar-la si

no és prou eficaç.

M6: Usar i interpretar llenguatge matemàtic, com ara xifres, signes i altres

representacions gràfiques o dibuixos per descriure fenòmens quotidians.

- M6a: Dibuix

- M6b: Gràfic

- M6c: Xifres

M7: Interpretar la funció que fan els nombres quan apareixen en un context real

(expressar quantitat, identificació, temps, mesura, intervals) i usar-los d’acord

amb les seves característiques.

La selecció per a secundària prioritza la continuïtat de les avaluades a primària:

M1: Aplicar el coneixement del sistema de numeració decimal i de les operacions

per comparar, relacionar nombres i operar amb rapidesa, buscant segons la

situació un resultat exacte o aproximat.

M2: Utilitzar les tècniques i convencions i el llenguatge de la representació

geomètrica per compondre i descompondre formes geomètriques complexes a

partir de formes simples.

M3: Emprar amb precisió i criteri les unitats de mesura.

M4: Usar amb propietat instruments i tècniques per dibuixar, mesurar i calcular.

M5: Planificar i seguir estratègies de resolució de problemes i modificar-les si no

es mostren prou eficaces.

M6: Usar i interpretar llenguatge matemàtic, com ara xifres, signes i altres

representacions gràfiques o dibuixos per descriure fenòmens habituals.

- M6a: Dibuix

- M6b: Gràfic

- M6c: Xifres i signes

M7: Interpretar la funció que fan els nombres quan apareixen en un context real

(expressar quantitat, identificació, temps, mesura, intervals) i usar-los d’acord

amb les seves característiques.


36

M8: Reconèixer i interpretar gràficament relacions senzilles de dependència

funcional existents entre conjunts de dades d’ús quotidià, en particular en casos

de proporcionalitat directa.

M9: Comparar la factibilitat de fets aleatoris en situacions simples.

A la taula següent queden reflectides les competències més específiques de l’àmbit de

mesura i estudi de l’espai per a cada nivell i les seves diferències:

PRIMÀRIA SECUNDÀRIA DIFERÈNCIES M2: Utilitzar les tècniques i convencions de la representació geomètrica bidimensional, en particular compondre i descompondre formes geomètriques complexes a partir de formes simples.

M2: Utilitzar les tècniques i convencions i el llenguatge de la representació geomètrica per compondre i descompondre formes geomètriques complexes a partir de formes simples.

A Secundària s’afegeix utilitzar llenguatge i la representació tridimensional.

M3: Emprar amb criteri les unitats de mesura.

M3: Emprar amb precisió i criteri les unitats de mesura.

A Secundària s’afegeix la precisió.

M4: Usar amb propietat instruments i tècniques per dibuixar, mesurar i calcular, quan sigui necessari.


A Primària condiciona a quan sigui necessari.

M6: Usar i interpretar llenguatge matemàtic com ara xifres, signes i altres representacions gràfiques o dibuixos per descriure fenòmens quotidians. M6a: Dibuix M6b: Gràfic M6c: Xifres

M6: Usar i interpretar llenguatge matemàtic com ara xifres, signes i altres representacions gràfiques o dibuixos per descriure fenòmens habituals. M6a: Dibuix M6b: Gràfic M6c: Xifres i signes

A Primària parla de fenòmens quotidians i a Secundària de fenòmens habituals. A Secundària s’afegeixen signes.


37

5.2. RESULTATS

El percentatge d’alumnes que van assolir d’una manera consistent* les proves de l’àmbit

matemàtic a Catalunya la primera vegada que es van fer (el curs 2000-01 a primària i el

curs 2001-02 a secundària) és el següent:

Primària Curs 2000-01

Secundària Curs 2001-02

M1 64 49 M2 75 ** M3 77 54 M4 68 60 M5 60 50 M6 76 69 M7 77 50 M8 - 67 M9 - ** Mitjana global 71 57

* Es considera que un alumne té una competència assolida si supera el 65% dels ítems que mesuren la

competència.

** A les competències M2 i M9 de 2n d’ESO no hi consten les dades en la síntesi de resultats del curs 2001-02

publicat pel Departament d’Educació en el seu moment.

L’anàlisi feta pel Departament (2002) assenyala que als 14 anys es mantenen les dificultats

observades als 10 tant en el càlcul, com en les representacions geomètriques i en la

utilització d’instruments i d’unitats de mesura.

A Rubí la mitjana de les set competències de primària en el curs 2000-01 va ser d’un 65%,

per tant, 6 punts per sota la de Catalunya. Pel que fa a les nou de secundària, en el curs

següent, la mitjana va ser d’un 44%, 13 punts per sota de la de Catalunya.

En els centres de Rubí la mitjana entre les competències M2, M3 i M5, que podríem

considerar directament relacionades amb el nostre estudi, és d’un 67% a 4t de primària i

d’un 43% a 2n d’ESO. Una part de la competència M6a també incideix en l’àmbit de

geometria i mesura perquè l’activitat per avaluar-la sorgeix de la interpretació d’un plànol a

escala, del dibuix d’un camp, o de l’esquema d’una piscina, però no hi ha dades

desglossades entre els tres apartats a, b i c a nivell de Catalunya per poder comparar.

En els cursos següents, en els resultats de 4t de primària s’aprecia un augment del

percentatge d’alumnes que assoleixen les competències, però no així en els de 2n d’ESO.


38

La mitjana global d’un 57% del curs 2001-02 baixa a un 52% (fent el càlcul excloent les

competències M2 i M9, per poder comparar) en el curs 2003-04. Centrant-nos en les més

específiques de mesura i geometria l’assoliment ha estat baix a la M6a, amb un nivell

intermedi a la M2 i la M4, i només s’aprecia un augment respecte el curs 2001-02 a la M3.

5.3. PUNTS FEBLES

Un estudi detallat de les respostes donades pels alumnes d’una escola de primària i d’un

institut de secundària en el primer any que es van passar les proves, han permès recollir

una sèrie de punts febles en l’aprenentatge de la geometria i la mesura.

A 4t de primària més de la meitat de les activitats de les proves són de mesura i geometria.

Tenint en compte els resultats, els alumnes no resolen satisfactòriament les següents

activitats —ordenades de més a menys dificultat—:

- El càlcul de mesures de temps a partir d’una informació horària de trens.

- Fraccionar (per una pizza) els 50 grams de tomàquet i un pot d’olives.

- Distingir entre 20 g i 200 kg.

- El reconeixement de la igualtat entre 750 g i ¾ de kg.

- Comptar el nombre de cares del cilindre i d’un prisma hexagonal. Pot haver-hi

dificultat en el concepte de cara del cos geomètric.

- Esbrinar quants polígons de quatre costats hi ha en un dibuix.

- Calcular aproximadament quants dies té un nen de 10 anys.

- Saber quants minuts són una hora i mitja.

- Reconèixer línies paral·leles.

- Comparar mesures de capacitat (5 llaunes de mig litre amb 2 ampolles de litre i mig).

A 2n d’ESO, on les activitats específiques de geometria i mesura ocupen un 38%

aproximadament del total de les proves, s’han detectat dificultats en les següents:

- Transformar metres cúbics en litres.

- Comprensió i conversió de mesures en un dibuix a escala.

- Càlcul de l’àrea d’un rectangle.

- Càlcul del volum d’un ortoedre en metres cúbics

- Càlcul de diferències horàries expressades en forma complexa d’hores i minuts quan

hi ha més minuts en el “subtrahend”. Hi ha manca d’estratègies adequades per fer el

càlcul.


39

- Reconeixement de quines cares són a l’exterior i quines a l’interior en un cos

geomètric construït per cubs.

La majoria d’activitats sembla que es poden realitzar correctament si l’alumne ha assolit els

diferents continguts que es troben repetidament en els llibres de text del cicle superior de

primària i de primer cicle de secundària. La dificultat ha d’estar, per una banda, en la forma

de presentar l’activitat en algunes d’elles, i per l’altra, que no es fa un aprenentatge prou

significatiu que permeti recordar conceptes geomètrics com es recorda fer una suma o una

resta.

Als 10 anys hi ha dues activitats que, analitzant el conjunt d’escoles en diversos cursos,

sembla que any rera any, promoció rera promoció, no es resolen satisfactòriament. La

primera és la 3.2:

La dificultat podria estar en expressar una vegada i mitja les quantitats com 1 litre i 2

cullerades de mel, més que en conèixer la proporcionalitat.


40

I la segona és la 8:

Per fer aquesta activitat s’han d’entendre correctament les unitats de longitud més usuals:

quilòmetre, metre, centímetre i mil·límetre. Això ens porta a considerar, com veurem a les

conclusions, que es necessari treballar abastament el concepte de mesura de longitud en

l’últim cicle de primària abans d’introduir altres canvis de mesures. A més, per la seva

importància, òbviament no és un contingut restringit a les matemàtiques.

5.4. SUBCOMPETÈNCIES

Per poder treballar les competències més específiques de l’àmbit de mesura i geometria es

podrien desglossar en les següents subcompetències a assolir en finalitzar el primer cicle de

l’ESO:

M2: Utilitzar les tècniques i convencions i el llenguatge de la representació geomètrica per compondre i descompondre formes geomètriques complexes a partir de formes simples.

a. Reconèixer en l’espai diferents tipus de figures tridimensionals i bidimensionals. b. Reconèixer les figures bidimensionals com a part de les tridimensionals. c. Descobrir els diferents tipus de figures tridimensionals i bidimensionals. d. Descobrir, comparar i analitzar les propietats de les figures tridimensionals i

bidimensionals. e. Descobrir la relació entre les figures de l’espai tridimensional i les seves

representacions planes.


41

f. Reconèixer les figures en una representació no estàtica, sinó a través de transformacions senzilles (translacions, rotacions, simetries)

g. Identificar i classificar correctament les figures segons les seves propietats. h. Construir i dibuixar figures geomètriques. i. Desenvolupar les definicions d’algunes classes de figures, utilitzant llenguatge comú

i geomètric. j. Investigar els resultats de transformar figures subdividint-les i combinant les diferents

parts o bé combinant diverses figures. k. Descriure els resultats de transformar figures subdividint-les i combinant les diferents

parts o bé combinant diverses figures. M3: Emprar amb precisió i criteri les unitats de mesura.

a. Identificar les unitats estàndard de mesura de longitud, superfície, volum, pes, temperatura, temps i amplitud d’angles.

b. Identificar cada atribut mesurable amb la correcta unitat de mesura. c. Utilitzar les unitats més usuals de mesura de longitud, pes, amplitud d’angles,

superfície, volum/capacitat i temps. d. Relacionar cada atribut mesurable amb l’adequada unitat de mesura segons la seva

grandària. e. Seleccionar i utilitzar referències per estimar mesures. f. Comprendre el sistema decimal de mesura i la relació de cada unitat amb les altres. g. Aprendre a fer conversions d’una unitat a una altra, prioritzant les més usuals a la

vida quotidiana. h. Comprendre el sistema sexagesimal per les mesures d’angles i de temps. i. Aprendre a fer conversions amb unitats del sistema sexagesimal. j. Aprendre a fer conversions amb unitats de temps com dies, setmanes, mesos i anys.


a. Utilitzar correctament el regle, el compàs, l’escaire, el cartabò, el transportador d’angles, el rellotge, el calendari, la balança i el termòmetre.

b. Reconèixer els atributs mesurables d’un objecte. c. Comparar diferents objectes segons la longitud, l’àrea o el volum. d. Aprendre tècniques per construir rectes paral·leles, rectes perpendiculars, figures

poligonals i figures corbes. e. Dibuixar angles i dividir-los en parts iguals, mitjançant l’escaire i el cartabò. f. Mesurar longituds en objectes tant directa com indirectament utilitzant les eines

apropiades. g. Mesurar àrees utilitzant diferents tècniques (cobrir amb paper quadriculat, omplir la

superfície amb unitats de superfície conegudes,...) h. Calcular perímetres, àrees i volums utilitzant fórmules precises. i. Desenvolupar estratègies per calcular el perímetre, l’àrea i el volum de figures

irregulars.


42

M6a: Usar i interpretar llenguatge matemàtic com representacions gràfiques o dibuixos per

descriure fenòmens habituals.

a. Localitzar i descriure relacions espacials per mitjà de coordenades geomètriques. b. Utilitzar els sistemes de coordenades per localitzar i descriure camins. c. Calcular distàncies entre punts situats en un sistema de coordenades. d. Interpretar fotos, maquetes i plànols d’espais propers (aula, centre escolar, barri,

ciutat). e. Interpretar representacions a escala (plànols, mapes,...) i fer les mesures

necessàries per poder extreure’n les dades que calguin.


43

6. LLIBRES DE TEXT 6.1 INVESTIGACIÓ

A la majoria d’escoles i instituts, no només a Rubí, s’utilitzen els llibres de text que ofereixen

diferents editorials com a principal recurs a les classes de matemàtiques.

Abans d’intentar aprofitar els llibres de text a l’ús en exercicis particulars d’un itinerari

geomètric de Rubí, he procedit a una anàlisi dels seus continguts que exposo a continuació.

S’han analitzat set editorials diferents de primària (A, B, C, D, E, F i G) i quatre per

secundària (A, B, C i F). Les editorials A, B, C, D i F són les cinc que s’utilitzen en els sis

centres estudiats de Rubí.

De cada llibre s’han comptat la quantitat de pàgines en total i les dedicades específicament

a temes de geometria i de mesura, per obtenir quin percentatge s’hi dedica. També

s’han comptabilitzat els exercicis bàsics dels temes dedicats a geometria i mesura distribuïts

en les següents categories: experimentació, càlcul, específics de canvi d’unitats, problemes,

preguntes tancades i preguntes obertes. En l’apartat d’experimentació s’inclouen exercicis

consistents en observar, dibuixar, mesurar, relacionar, construir, classificar i investigar. En

els llibres de secundària no s’han comptat les activitats incloses al final dels temes o entre

temes, com projectes, autoavaluacions, matemàtiques aplicades, jocs i enigmes,... perquè

tot i que alguna editorial presenta tipus de problemes interessants, no s’acostumen a fer mai

perquè només hi ha temps per fer el bàsics.

Veiem alguns exemples de cada categoria:

- EXPERIMENTACIÓ:

“Dibuixa tants quadrats, iguals com aquest, com tu vulguis [n’hi ha un de dibuixat], i

construeix un cos geomètric amb l’ajuda de cinta adhesiva. Explica com és el cos

geomètric que has construït, quantes cares té, quantes arestes, quants vèrtexs, a què

s’assembla.”


44

- CÀLCUL:

“Resol les expressions següents:

a) 3 x (51

52+ ) b) ( )

47

43+ x 2 c) ( )

93

97− x 5 d) 7 x (

138

139− ) “

- CANVI D’UNITATS:

“Completa aquestes igualtats:

2 kg = .............. g 13 g = .................. kg 7,32 kg = .......... g 32 dag = .......... g

8 hg = .............. g 250 g = ................ kg 1,8 hg = ............ g 500 g = ............ kg”

- PROBLEMES:

“Volem fer una maqueta d’un bloc de pisos en què totes les façanes siguin de vidre a

escala 1:30. El bloc de pisos serà un prisma les dimensions del qual són:

• Longitud → 48 m; amplada → 18 m; altura → 18 m. Calcula:

a) Quines seran les dimensions de la maqueta?

b) Quant de vidre caldrà per fer la maqueta?

c) Quin serà el volum de la maqueta?”

- PREGUNTES TANCADES:

“Quin és el polígon regular que té l’angle més petit? Depèn del nombre de costats del

polígon?”

- PREGUNTES OBERTES:

“En la teva vida de cada dia, en les activitats de la classe, en els desplaçaments... pots

trobar-hi angles?

Et fixes si són aguts o obtusos, i si són més grans o més petits?

Pensa exemples de coses que fem servir en les quals hi hagi angles rectes.”


45

6.2 RESULTATS A la taula següent s’indica el recompte de pàgines totals de cada llibre, les pàgines

específiques de geometria i mesura i el percentatge que ocupen aquestes últimes en la

totalitat del llibre:

EDITORIAL CURS PÀGINES LLIBREPÀGINES GEOM.

I MESURA % GEOMETRIA I

MESURA

A 5 185 85 45,9

B 5 185 82 44,3

C 5 210 78 37,1

D 5 202 85 42,1

E 5 426 120 28,2

F 5 234 63 26,9

G 5 213 68 32,0

A 6 185 60 32,4

B 6 195 66 33,8

C 6 210 76 36,2

D 6 192 71 37,0

E 6 387 154 39,8

F 6 258 58 22,5

G 6 220 82 37,3

A 1 ESO 266 100 37,6

B 1 ESO 280 108 38,4

C 1 ESO 294 118 40,1

F 1 ESO 213 84 39,4

A 2 ESO 274 86 31,4

B 2 ESO 262 110 42,0

C 2 ESO 296 94 31,8

F 2 ESO 238 95 39,9 La dedicació a la geometria i a la mesura varia substancialment d’un llibre a un altre. Les

diferències van d’un 22,5 % en el llibre per 6è de l’editorial F al 45,9 en el llibre per 5è de

l’editorial A.


46

S’han analitzat els llibres de quatre editorials (A, B, C i F) i s’han comparat els percentatges

de les pàgines dedicades a geometria i mesura en cada un dels nivells estudiats:

Editorial A

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

5è primària 6è primària 1r ESO 2n ESO

Nivell

% G

eom

etria

i m

esur

a

Editorial B

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Nivell

% G

eom

etria

i m

esur

a

Editorial C

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Nivell

% G

eom

etria

i m

esur

a

Editorial F

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Nivell

% G

eom

etria

i m

esur

a

Sobta el fet que, malgrat que totes les editorials, presumiblement, es basen en el mateix

currículum vigent, el resultat de l’estudi mostra que cada autor o equip d’autors n’han fet una

interpretació molt diferent. Així, les editorials A i B donen la mateixa quantitat relativa a 5è i

6è de primària, però mentre que A dóna més geometria i mesura a 1r d’ESO que a 2n,

l’editorial B, dóna més a segon que a primer.

Per altra part, a 5è de primària, l’Editorial C en dóna menys que A i B; i l’editorial F encara

en dóna menys que C. Pel que fa a 6è, A, B i C són equiparables i F està, aquí també, força

per sota de les altres.

La diversitat que mostren aquests resultats fan pertinent que plantegem dues preguntes

encara que no puguin ser respostes aquí. ¿Quin és el grau de coordinació entre els equips

que elaboren els llibres de primària i els de secundària? ¿És té prou en compte que als


47

centres públics de secundària, la pluralitat de procedència dels alumnes impedeix de facto

que tots puguin seguir amb la mateixa editorial que van fer servir a la primària?

Malgrat les diferències i les preocupacions apuntades, si es considera globalment l’atenció

dedicada a la geometria i la mesura en el conjunt de les quatre editorials ― tal com mostra

la taula següent ― queda una mitjana no menyspreable d’entre el 30 i el 40%.

Percentatge dedicat a geometria i mesura (en els 4 cursos conjuntament)

0% 5%

10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45%

36,40% 39,70% 36,20% 31,80%

Editorial A Editorial B Editorial C Editorial F


48

La taula següent indica la quantitat de tipus d’exercicis de cada categoria. S’han

comptabilitzat tots els exercicis dels temes específics de geometria i mesura dels llibres de

la mostra escollida per 5è i 6è de primària i els bàsics dels temes esmentats, per la mostra

de 1r i 2n d’ESO.

EDITORIAL CURS EXPER. CÀLCUL CANVI UNIT PROBLEMES PREGUNTES TANCADES

PREGUNTES OBERTES TOTAL

A 5 58 16 36 41 69 2 222

B 5 48 12 39 18 18 2 137

C 5 49 54 31 26 46 0 206

D 5 66 50 36 1 45 0 198

E 5 78 22 48 18 48 5 219

F 5 39 9 5 5 26 7 91

G 5 84 15 9 2 47 11 168

A 6 16 31 24 27 40 5 143

B 6 35 26 30 21 24 4 140

C 6 50 92 54 58 12 0 266

D 6 55 47 17 0 26 1 146

E 6 51 11 15 38 25 10 150

F 6 37 13 2 7 14 4 77

G 6 38 20 8 1 96 9 172

A 1 ESO 81 38 34 59 53 0 265

B 1 ESO 42 33 19 11 35 2 142

C 1 ESO 85 35 12 60 26 0 218

F 1 ESO 140 41 35 51 70 0 337

A 2 ESO 58 79 1 59 26 0 223

B 2 ESO 47 63 8 22 14 0 154

C 2 ESO 32 27 7 54 18 5 143

F 2 ESO 85 112 24 65 31 0 317

En aquesta taula també s’aprecien diferències entre els llibres tant en la quantitat total

d’exercicis com pel nombre d’exercicis de les diferents categories.


49

Per tal d’establir més comparacions i extreure conclusions s’han analitzat més

detalladament les editorials A, B, C i F:

TIPUS D’EXERCICIS

CICLE SUPERIOR PRIMÀRIA

PRIMER CICLE SECUNDÀRIA

Experimentació 332 25,90% 570 31,68%Càlcul 253 19,73 % 428 23,79%Canvi unitats 221 17,24 % 140 7,78%Problemes 203 15,83 % 381 21,18%Preguntes tancades 249 19,42 % 273 15,18%Preguntes obertes 24 1,87 % 7 0,39%Total 1282 1799

0

100

200

300

400

500

600

Experim

entac

ióCàlcu

l

Canvi u

nitats

Problemes

Pregun

tes ta

ncad

es

Pregun

tes ob

ertes

Cicle superior primàriaPrimer cicle secundària

Aquí s’aprecien les diferències entre el tipus d’exercicis que predominen en els llibres de la

mostra. Pel que fa a primària trobem: una quarta part dedicada a experimentació,

aproximadament una cinquena a càlcul, a canvi d’unitats i a preguntes tancades,

respectivament i una part més petita a problemes. A secundària, quasi una tercera part són

exercicis de tipus experimentació, una quarta part càlcul, una cinquena es dediquen a

problemes, un 15% a preguntes tancades i no arriba a un 8% els exercicis de canvi

d’unitats.

Comparant els dos cicles educatius sobta que el percentatge d’exercicis tipus

experimentació i els exercicis específics de canvi d’unitats sigui més alt al primer cicle de

secundària. Pel que fa al càlcul sembla normal que sigui a secundària on hi hagi més

exercicis d’aquest tipus.


50

En els dos gràfics següents es poden veure més clarament els percentatges de cada tipus

d’exercicis que proposa cada editorial per a 5ê i 6è de primària.

Tipus d'exercicis de geometria i mesura (5è primària)

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

A B C D E F G

Editorials

Preguntes obertesProblemes Preguntes tancadesCanvi unitatsCàlculExperimentació

Tipus d'exercicis de geometria i mesura (6è primària)

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

A B C D E F G

Editorials

Preguntes obertesProblemes Preguntes tancadesCanvi unitatsCàlculExperimentació

Els problemes i les preguntes obertes són activitats que ocupen molt poc espai en l’àmbit de

geometria i mesura en els llibres de cicle superior de primària.


51

Finalment, també s’ha investigat com s’aborda en el cicle superior de primària el tema de la

mesura de superfície i en concret quines fórmules d’àrees es plantegen en aquests cursos:

RECTANGLE

QUADRAT

TRIANGLE

ROMBOIDE

ROMBE

TRAPEZI

POLIGON REGULAR

CERCLE

Editorial A-5 X X X

Editorial A-6 X X X X X X

Editorial B-5 X X

Editorial B-6 X X X X X

Editorial C-5 X X X X

Editorial C-6 X X X X X X

Editorial D-5 X X X X X

Editorial D-6 X X X X X X X

Editorial E-5 X

Editorial E-6 X X

Editorial F-5 X

Editorial F-6 X X X X

Editorial G-5 X X X

Editorial G-6 X X X X X X

Una vegada més les diferències entre les diverses editorials es fa palès en aquesta taula. A

5è excloent editorials E i F, les cinc restants ja plantegen l’aprenentatge de l’àrea de tres

figures planes. Per 6è, la mitjana de fórmules a aprendre són cinc., d’elles la del rectangle i

el triangle les trobem a totes les editorials.


52

6.3. CONCLUSIONS

Amb una lectura acurada de tots els exercicis de l’àmbit que ens ocupa dels 22 llibres

consultats i a partir dels resultats exposats podem concloure que:

- La majoria dels exercicis són mecànics i repetitius. Quan al final d’un tema s’inclouen

activitats d‘ampliació solen ser del mateix tipus que les activitats bàsiques

proposades anteriorment. Falten activitats contextualitzades que puguin tenir més

sentit per l’alumnat i plantejades des de diferents enfocaments .

- La majoria dels exercicis estan pensats per treballar-los individualment. Es proposen

poques activitats a resoldre en grup.

- Hi ha pocs exercicis que requereixin manipulació de material. A la categoria que s’ha

anomenat d’experimentació s’han trobat més exercicis de dibuixar, relacionar i

classificar, que d’investigar o observar a partir de la manipulació de material.

- Hi ha poques propostes de fer descobriments o conjectures abans d’abordar nous

conceptes.

- Els exercicis que segueixen immediatament a la introducció d’alguns temes

presenten una gran dificultat perquè abans de permetre entendre bé els conceptes ja

requereixen efectuar activitats complexes (per exemple: canvi d’unitats, càlcul

d’àrees i de volums).

- Hi ha pocs problemes a resoldre. A primària, acostumen a estar redactats en un

context familiar (presenten situacions amb noms de persones, fàcilment imaginables,

però no vol dir que sempre siguin situacions reals). A secundària, la meitat dels

problemes no estan contextualitzats, són simplement exercicis de càlcul.

- Hi ha editorials que pràcticament doblen el nombre de pàgines i d’exercicis en

començar la secundària [quan en aquesta etapa hi ha menys hores de classe].

- Hi ha una manca aclaparadora de preguntes obertes: que demanin raonaments,

imaginar-se situacions, fer valoracions personals, etc.


53

7. ALGUNES CONCLUSIONS I SUGGERIMENTS Per regla general una de les assignatures que més costa alliberar de rutines habituals de

l’aprenentatge escolar són les matemàtiques. Els alumnes davant d’un problema es limiten

a pensar quines operacions creuen que se’ls demana. Si no es treballen problemes més

oberts i més aplicats, els costarà resoldre activitats com les de les proves de les CCBB. Això

no vol dir que s’hagi de preparar els estudiants estrictament per superar les proves, com es

fa per preparar per a la selectivitat. El departament d’Educació en la síntesi de resultats de

primer cicle d’ESO del curs 2003/04 suggereix que “cal potenciar un enfocament de la

matemàtica més enllà de la realització d’exercicis d’aplicació mecànica de procediments, i

una metodologia que impliqui una immersió de l’alumnat en situacions diverses, complexes,

coordinades amb altres àrees (i, si cal, treballades des d’altres àrees): l’aprenentatge

matemàtic serà més significatiu com més s’acosti a situacions de la vida quotidiana.”

(GCDE, 2005).

De vegades la gran quantitat de termes específics (angle agut, obtús, còncau, convex,

polígon, base x altura dividit per dos, prisma, poliedre, aresta, generatriu, inscrit, circumscrit,

bisectriu, mediatriu, 2πr, diàmetre, diagonal, etc.) afavoreix que la matemàtica, o en aquest

cas la Geometria, només es relacioni amb el llibre de text i els continguts impartits a la

classe. A més s’ha de tenir present que és una assignatura a la qual no es dediquen hores

d’estudi, en part perquè no se sap com estudiar-la.

Sembla difícil que els alumnes a l’hora de resoldre algun problema deixin de pensar en

forma restrictiva en el que ells entenen que són les matemàtiques, en particular, perquè és

normal que busquin una resposta que lligui amb l’aprenentatge del tema que acaben de fer.

Caldria, però, canviar aquesta rutina mentalitzant-los que els problemes es poden resoldre

de moltes maneres i tot raonament és vàlid. Com exemple es pot trobar una mostra de

respostes diferents al mateix problema (trajecte del tren) vist en el capítol 3.

Les mateixes proves de les competències bàsiques es presenten en quadernets diferenciats

per a cada àrea i això predisposa a l’alumnat a pensar en els coneixements que ha adquirit

en aquella determinada assignatura i de quina manera s’espera que ho resolgui segons ha

après en aquella àrea. Una forma de fer que tendencialment és contradictòria amb el que es

pretén: “posar en pràctica de manera integrada els coneixements adquirits” i avaluar la

“capacitat d’aplicar-los de manera pràctica i transversal” (GCDE, 2005). A més els

problemes en la vida real no són exclusius d’una àrea de coneixement, sinó que aglutinen

coneixements de diferents àrees, per tant seria més convenient presentar una única prova


54

on es puguin avaluar el seguit de competències seleccionades en un moment determinat.

Una única prova no implica necessàriament passar-la tota en un mateix dia, tal com es fa

ara podria fer-se en dues parts dos dies seguits a primera hora del matí.

Si el sentit de les proves és millorar la formació del alumnes, llavors cal donar més temps

als claustres per fer una discussió seriosa de l’anàlisi dels resultats, establir propostes de

millora i fer-ne el seguiment. Per tant, les proves potser s’haurien d’espaiar en el temps –

emulant el projecte PISA es podrien fer cada tres anys—. A més, així s’evitarien

explicacions conjucturals dels resultats basades en les característiques de la promoció de

cada any.

La manera d’avaluar les competències seleccionades de matemàtiques també hauria de

millorar. Tal com està ara, la prova C (Matemàtiques) és una de les proves més difícils de

totes les que es passen, en el sentit que demana molts coneixements específics de l’àrea.

Si ens atenem a les proves que s’apliquen als 14 anys, podem constatar que per assolir

bons resultats a les proves A (Ciències Socials), B (Llengua catalana i literatura), D (Llengua

castellana i literatura), E (Ciències de la naturalesa) i G (Expressió oral), l’alumne ha de

comprendre i interpretar la informació d’un text oral o escrit, sabent buscar, seleccionar,

organitzar i analitzar aquesta informació. En resum, el saber llegir i escriure (amb tot el que

significa), ens permet resoldre una quantitat molt important de les activitats de les proves

esmentades, però no permet obtenir resultats satisfactoris a matemàtiques, anglès i TIC

(Tecnologies de la informació i la comunicació) sinó es tenen també suficients coneixements

específics d’aquestes àrees.

En concret pel que fa a la prova C de matemàtiques, després de saber llegir i escriure (per

descomptat) i a més de conèixer les quatre regles del càlcul (recordem que aquesta última

va ser considerada pels diferents sectors de la societat la competència més important com

s’explica en la Identificació de les competències bàsiques en l’ensenyament obligatori),

l’alumne ha de mostrar suficient capacitat per resoldre mitjanes, perímetres, àrees, volums,

fraccions i proporcions i tenir coneixements de probabilitat, atzar i estadística.

Un altre fet sobtant el trobem en les conclusions extretes dels resultats globals presentats

en l’estudi realitzat per a l’Identificació de les competències bàsiques en l’ensenyament

obligatori (GCDE, 2001). L’àmbit matemàtic és el menys valorat i hi ha diferències

significatives, en aquest àmbit, entre l’alumnat i el col·lectiu socio-laboral (que presenten

homogeneïtat quant a la importància donada) i, per l’altra banda, el professorat i les

famílies.


55

Aquestes pobres valoracions i les diferències entre uns i altres –particularment entre

professorat i alumnat, els dos sectors que han de conviure durant cursos en una mateixa

aula i que haurien de perseguir els mateixos objectius-- ens haurien de fer plantejar quines

matemàtiques hem de fer i com les hem de fer.

Encara que els resultats de les proves de les CCBB als 14 anys són pitjors que als 10,

segons el nostre estudi, els alumnes han après força, al menys en la majoria dels continguts

de Geometria que havíem establert. Això ha estat comprovat en els següents ítems: situació

i càlcul de mesures de temps, estimació d’una longitud, àrea del rectangle, rectes

paral·leles, rectes perpendiculars, angle recte, reconeixement de quadrilàters, descripció

d’un recorregut, canvis d’unitats i fer una construcció donades la planta, l’alçada i el perfil.

Per tant, com hi ha diferències substancials en coneixements entre 5è de primària i 2n

d’ESO, les classes de matemàtiques i els llibres de text utilitzats han servit per alguna cosa.

Però, podrien fer més? Es podrien ensenyar unes matemàtiques més ben valorades pels

nois i noies i més connectades a la vida quotidiana?

El llibre de text hauria de ser una eina d’ajuda per al professor. Hauria de ser un pilar,

encara que no el més important, en l’estructuració de la classe. Trobar un llibre de text que

vagi bé per a tot l’alumnat i on tots els temes i totes les activitats ens serveixin

satisfactòriament, és difícil. En alguns centres, amb un llibre de text de referència, es

fotocopien activitats i/o materials d’altres editorials per completar temes.

Les editorials s’adapten poc a les innovacions i canvis del sistema educatiu. De vegades els

llibres semblen poc dirigits a l’alumnat, no atreuen el seu interès, costa entendre les

explicacions i s’acaba pensant que les matemàtiques són difícils i que és l’assignatura que

menys agrada. En l’últim canvi de currículum a l’ESO (curs 2002-03), en ampliar-se els

continguts prescriptius a primer, la majoria d’editorials només van saber afegir temes i

exercicis copiats literalment dels que tenien en el llibre de segon. Segons la visió de Mª

Ángeles Ortíz (CEM, 2000) els llibres els elaboren pensant en el model educatiu dominant,

tractant d’adaptar-se a les necessitats i interessos immediats del professorat, més que en

les innovacions del sistema educatiu.

Els exercicis d’alguns temes quan s’introdueixen en un nivell escolar presenten moltes

dificultats perquè abans de permetre entendre bé els conceptes ja s’introdueixen activitats

complexes. Així per exemple a 5è es hi ha una gran quantitat d’exercicis de canvi d’unitats i

als alumnes els costa molt entendre què han de fer. A 6è i 1r d’ESO s’insisteix amb el


56

mateix tipus d’exercicis i no es fins a 2n d’ESO que semblem ja més hàbils en resoldre’ls. El

mateix passa amb les activitats de càlcul d’àrees i volums. A 5è, com s’ha vist en el capítol

6, tot just quan es comença a treballar el concepte de superfície, es pretén la memorització i

la utilització de diverses fórmules per al càlcul d’àrees. És a dir, no s’ha deixat prou temps

per experimentar i fer una bona comprensió del concepte abans de memoritzar fórmules.

Un altre fet que obstaculitza l’aprenentatge de les matemàtiques és la reducció del nombre

de sessions de classe quan s’arriba a secundària. Perquè a més hi ha editorials que doblen

el nombre de pàgines i d’exercicis en començar la secundària, i això suggereix implícitament

que cal fer-ne una gran quantitat (a veure si aprenen mecànicament i repetidament) i es

deixa de banda, per tant, la qualitat (entendre bé els conceptes).

En l’organització de la classe també s’hauria de comptar amb un altre mitjà, la utilització de

material en tots els nivells i sobretot en la introducció de nous conceptes. Una classe de

Geometria requereix des d’eines com paper quadriculat, regles, paper transparent de colors,

compàs, tisores, llapis de colors, palletes, plastilina, gomes elàstiques, cordill, etc., fins a

material fàcilment assequible en distribuïdores de material didàctic (fins i tot per internet),

passant per un programa informàtic de geometria dinàmica.

Una dotació bàsica de material manipulable consistiria en: blocs, geoplans, tangrams,

sòlids geomètrics, creator (polígons regulars per construir poliedres), multilink (cubs

encaixables), pentominos, etc. A més, a les classes de tecnologia o plàstica poden ajudar a

augmentar el material construint trencaclosques de figures, rodes compta metres,

goniòmetres, escalímetres, pantògrafs, etc.

Actualment també hi ha molts recursos informàtics per treballar la Geometria. Un programa

informàtic fàcilment assequible és el Winlogo, encara que més pensat per primària, es pot

utilitzar al primer cicle de l’ESO per treballar angles i polígons. Com a programa de

geometria dinàmica existeix el Cabri Géomètre, el Cinderella o, en aquests moments en

fase de traducció, el GeoGebra que tracta la geometria amb connexions amb l’àlgebra i el

càlcul. A les webs de l’xtec, l’edu365 i d’associacions matemàtiques es poden fer troballes

molt interessants.

A l’etapa infantil es treballa a partir de la manipulació de material i el joc en totes les àrees.

A més l’ensenyament es fa de forma global, els continguts no són específics d’una àrea o

d’una altra. És a mida que es va pujant en l’escala acadèmica que es va perdent aquesta

forma d’ensenyar i s’acaba lamentablement en una parcel·lació forta de continguts a

secundària. Als alumnes, en les proves de les competències bàsiques, se’ls demana que


57

utilitzin el que han après combinant diferents continguts, però el professorat moltes vegades

no sap què s’ensenya als seus alumnes en una assignatura que no sigui la seva. Així com

en els centres de primària hi ha més tradició d’innovar aplicant el treball per racons o per

projectes, cosa que permet transversalitat i possibilita l’adquisició de competències

bàsiques, a secundària només es treballa interdisciplinàriament els dies del crèdit de síntesi.

S’hauria d’estudiar la possibilitat d’introduir canvis en l’organització dels centres de

secundària que permetessin incrementar les activitats com les que estem proposant.

Alumnes de P-4 d’una escola de Rubí aprenent els noms dels cossos geomètrics a partir de capses de cartró i altres objectes

quotidians.

Finalment, hauríem de fer una reinterpretació del currículum vigent que permeti assolir al

nostre alumnat un màxim de competències, tant si s’ha d’enfrontar al món laboral en acabar

l’ensenyament obligatori com si continua amb estudis superiors.

Els alumnes a primària haurien d’utilitzar conceptes i instruments de mesura per recollir

dades i quantificar aspectes de la realitat quotidiana (mesurar objectes i espais de l’aula i

altres entorns propers, estimar el temps que porta realitzar una determinada tasca, mesurar

i representar canvis que experimenten com l’alçada, el pes, etc.). S’hauria de disposar d’un

nombre ampli d’instruments de mesura, s’hauria d’aprendre a idear tècniques per fer

mesures indirectes o amidar objectes complexos i s’haurien d’utilitzar només les unitats de

mesura més entenedores i usuals. Si a primària han tingut moltes experiències amb les

mesures de longitud, els serà més fàcil a l’ESO el treball d’altres atributs com l’àrea i el

volum. També s’hauria de treballar més la mesura del temps, tant com a càlcul mental, com

a nivell escrit. I s’haurien d’haver explorat formes de mesura de volum de líquids, de pes i

d’amplitud d’angles.


58

Els estudiants, individualment o en grups petits, també haurien de desenvolupar estratègies

d’estimació de mesures i un cop posades en comú, la classe les ha de poder comparar i

avaluar-ne els diferents enfocaments. Així s’agafa experiència en conèixer el grau de

precisió que requereix cada situació.

Amb la sistematització i buscant patrons en els resultats de les seves mesures, arribaran a

adonar-se que per calcular l’àrea i el volum d’alguns objectes es poden generalitzar en

fórmules. Abans, però, és fonamental l’experimentació, descobrir, fer conjectures. Amb això

no vull dir que a primària només s’hagi d’experimentar i a secundària, només calcular.

Els diferents àmbits matemàtics s’han d’anar connectant, defugint la sistematització per

blocs o temes com si no hi hagués cap relació d’uns amb els altres. Prendre mesures pot

ajudar a connectar idees entre diferents àrees de les matemàtiques i entre aquestes i altres

disciplines. L’àmbit de la Geometria hauria d’estar molt ben relacionat amb les àrees de

Visual i Plàstica i Tecnologia. A més, els conceptes de mesura es poden anar relacionant

amb la resolució de problemes --un altre pilar fonamental en l’aprenentatge de les

matemàtiques-- i amb el càlcul --el sistema mètric decimal es més comprensible si s’entén la

seva estructura multiplicativa--.

A primària s’ha de seleccionar la terminologia adient i acurada en la introducció de nous

conceptes. Es poden aprendre diferents noms per les longituds: perímetre, llargada,

amplada, circumferència...; es poden explorar situacions per veure la relació entre àrea i

perímetre; als vèrtexs d’un quadrat, se’ls pot anomenar angles rectes i prendre’ls com a

referència de mesura per a altres angles...; però cal sempre treballar intuïtivament deixant

els càlculs i l’aprenentatge de fórmules per l’ESO.

I en acabar la primària l’alumnat també hauria d’haver adquirit certa claredat i precisió per

descriure les propietats de les figures geomètriques bidimensionals i tridimensionals i saber

classificar-les en categories. També hauria de ser capaç d’aplicar les transformacions de

figures i usar la simetria per analitzar situacions geomètriques. Una vegada més per

desenvolupar la capacitat de visualitzar les propietats i les relacions geomètriques han

d’haver experimentat fent classificacions, construint, dibuixant, modelitzant, etc. Així com

també s’han d’anar desenvolupant i consolidant la localització i descripció de relacions

espacials usant coordenades geomètriques i altres sistemes de representació.

Amb aquestes bases s’ha ideat l’itinerari geomètric per Rubí que exposaré a la segona part

d’aquesta memòria.


59

8. BIBLIOGRAFIA ALSINA, C, BURGUÉS, C, FORTUNY, J. Ma., GIMÉNEZ, J i TORRA, M. 1995. Ensenyar

matemàtiques. Barcelona: GRAÓ.

ALSINA, C, BURGUÉS, C i FORTUNY, J. Ma. 1988. Materiales para construir la geometría.

Madrid: Editorial Síntesis.

ALSINA, C, BURGUÉS, C i FORTUNY, J. Ma. 1987. Invitación a la didáctica de la

geometría. Madrid: Editorial Síntesis.

BOQUERAS, Ma. Rosa et al.1990. El pi de la plaça de Prim. Activitats matemàtiques als

carrers de Reus. Ajuntament de Reus. Ensenyament.

CAPSADA, Ramon i ESTAUN, Ma. Antònia. 1981. Ciutat i Matemàtica. Materials

pedagògics per a la recerca no. 9. Sabadell: Col·legi de Doctors i Llicenciats.

CASTELNUOVO, Emma. 1981. La matemática. La geometría. Barcelona: KETRES.

COMES, Pilar i MOYA, Ma. Creu. 1997. “Construcció de la maqueta de la ciutat de Rubí”.

Guix no. 233 (març): 63-66. Barcelona: GRAÓ.

DENIS, Livia P. 1994. “Relaciones entre la etapa de desarrollo cognoscitivo del adolescente

y sus niveles Van Hiele de pensamiento geométrico”. Uno no. 2: 5-13. Barcelona: Graó.

DOGC núm. 3670 - 04/07/2002. DECRET 179/2002, de 25 de juny, pel qual es modifiquen

el Decret 75/1992, de 9 de març, pel qual s'estableix l'ordenació general dels ensenyaments

de l'educació infantil, l'educació primària i l'educació secundària obligatòria a Catalunya, el

Decret 96/1992, de 28 d'abril, pel qual s'estableix l'ordenació dels ensenyaments d'educació

secundària obligatòria i el Decret 75/1996, de 5 de març, pel qual s'estableix l'ordenació dels

crèdits variables de l'educació secundària obligatòria.

DOMÍNGUEZ, Marisa et al. 1995. “Transversalidad en una unidad didáctica: la Plaza de las

Glorias Catalanas”. UNO no. 6 (octubre). Barcelona: GRAÓ.


60

GENERALITAT DE CATALUNYA, DEPARTAMENT D’ENSENYAMENT (GCDE). 1987. La

geometria a la plaça dels Països Catalans [Videocasset VHS]. Programa de mitjans

audiovisuals. Centre de producció experimental de Barcelona i Caixa de Barcelona.

GENERALITAT DE CATALUNYA, DEPARTAMENT D’ENSENYAMENT (GCDE).. 1993.

Currículum Educació Primària. Servei de difusió i Publicacions.

GENERALITAT DE CATALUNYA, DEPARTAMENT D’ENSENYAMENT (GCDE). 1993.

Currículum Educació Secundària Obligatòria. Àrea de Matemàtiques. Servei de difusió i

Publicacions.


Identificació de les competències bàsiques en l’ensenyament obligatori. (CD) MPO Ibérica.


“Proves d’avaluació de les competències bàsiques. Síntesi de resultats” Curs 2001-2002.


“Estudi PISA 2003. Avançament de resultats. Quaderns d’Avaluació.1.


“Proves d’avaluació de les competències bàsiques. Primer cicle d’educació secundària

obligatòria. Síntesi de resultats” Curs 2003-2004.

ISTITUTO REGIONALIE DI RICERCA, SPERIMENTAZIONE AD AGGIONARMENTO

EDUCATIVI (IRRSAE). 1995. Geometria A [Videocasset VHS]. Barcelona: Departament

d’Ensenyament. SGFP.


EDUCATIVI (IRRSAE). 1995. Geometria B [Videocasset VHS]. Barcelona: Departament

d’Ensenyament. SGFP.


EDUCATIVI (IRRSAE). 1993. Matemàtiques propostes didàctiques. Barcelona: EUMO

Editorial.


61

LÁNGUIZ, Juan Carlos. 1996. “Geometria una experiència urbana”. Guix no. 224 (juny): 21-

27. Barcelona: GRAÓ

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE. 2001. La medida de los

conocimientos y destrezas de los alumnos. La evaluación de la lectura, las matemáticas y

las ciencias en el proyecto PISA 2000. Madrid: Secretaría general técnica.

NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. 2003. Principios y Estándares

para la Educación Matemática. Sevilla: Sociedad Andaluza de Educación Matemática

Thales.

OECD. 2003. The Pisa 2003 Assessment Framework-Mathematics, Reading, Science and

Problem Solving Knowledge and Skills. [http://www.pisa.oecd.org].

PÉREZ, Rafael. 1994. “Construir la Geometría”. Uno no. 2: 65-80. Barcelona: Graó.

Primeres Jornades d’Educació Matemàtica a Catalunya (2000) [Disc CD Rom]. Barcelona:

Feemcat i ICE-UAB. 2002.

Projecte curricular de l’àrea de “Coneixement del Medi Natural”. 1994. Ciència 6-12. Cicle

mitjà. BLOC 4. 3ª edició. Barcelona: TAUVI-Tècniques audiovisuals.

TORRA, Montserrat. 2002. Vies per conduir l’àrea de matemàtiques dels continguts a les

competències. Un estudi des de les matemàtiques a primària. Memòria de la llicència

d’estudis curs 2001-2002.


62

II PART 1. INTRODUCCIÓ L’itinerari geomètric per Rubí està pensat per realitzar-se amb grups d’alumnes de primer

cicle de l’ESO, però es pot adequar també per a l’últim cicle de primària.

Les activitats de l’itinerari s’han de resoldre en tres parts. La primera, per realitzar en el

centre, consta d’una sèrie d’exercicis per fer sobre el plànol de la ciutat i preparar la sortida.

La segona consisteix en recórrer durant un matí quatre places del centre de la ciutat,

observant, prenent mesures, dibuixant i recollint dades per resoldre una sèrie d’activitats.

Aquesta part està pensada amb l’objectiu que es treballi en grups de 3 o 4 alumnes i que

cada grup realitzi una activitat diferent tot fent el mateix recorregut. Com que l’horari és

limitat, s’ha de repartir el temps disponible entre les quatre places, i com que el ritme de

treball no és el mateix per a cada grup, s’ha previst que no es podran acabar totes les

activitats in situ.

La tercera part és per realitzar-se a l’aula. Aquesta etapa pot desenvolupar-se amb el temps

que es cregui necessari. Cada grup ha d’acabar els seus problemes i exposar a la resta de

grups el seu treball.

Òbviament hi ha la possibilitat que els grups intercanviïn els problemes si es vol cobrir la

programació de Geometria fent més activitats de l’itinerari. I encara hi hauria una quarta part

que consistiria en utilitzar els altres problemes pensats per a llocs de la ciutat fora del

recorregut de les quatre places.

Les quatre places són:

- Plaça Catalunya

- Plaça del Dr. Guardiet (o de l’església)

- Plaça Salvador Allende

- Plaça del Dr. Pearson i de l’estació

Entre la plaça de Salvador Allende i la del Dr. Pearson es passa per l’avinguda de

Barcelona per poder observar l’enrajolat de la vorera i trobar la sanefa que hi havia

inicialment (hi ha rajoles fetes malbé, però es poden trobar seqüències amb el dibuix


63

complet). Les simetries d’aquesta sanefa es poden treballar a classe i es pot comparar amb

el dibuix de l’avinguda de Can Cabanyes. El recorregut és senzill i curt (uns 650 metres en

total).

Alguns dels problemes de l’itinerari també es poden fer a classe sense fer la sortida, això

suposarà donar les mesures que haurien de trobar directament i les fotos, plànols i

qualsevol altre tipus d’informació que sigui necessària.

Una altra oportunitat per realitzar aquest itinerari geomètric és incloure part del mateix en

alguna gimcana matemàtica, en una ‘recerca de tresor’ o altres jocs de ciutat per Rubí i/o

per celebrar el dia escolar de les matemàtiques el 12 de maig. Si ens centrem en les dues

primeres places ens crida l’atenció la quantitat de polígons de vuit costats que podríem

trobar: les bases dels fanals i dels arbres, la disposició dels arbres que envolten la plaça

Catalunya, la rosassa de l’Església de Sant Pere, la pica d’aigua beneita, les finestres de les

portes interiors de l’església i altres. Aprofitant el curiós dibuix dels cinc cercles al terra de la

plaça Catalunya es podrien idear alguns jocs com els que alguns nois i noies havien

inventat de petits.

La majoria de les activitats han estat validades amb alumnes de 2n i de 3r d’ESO de l’institut

Foix durant aquest curs escolar, però a mesura que es vagin practicant es podran polir,

modificar i/o renovar. Aquí es presenta una bateria d’exercicis oberts, que depenen també

dels canvis que es puguin introduir en les places implicades.

Així mateix el conjunt d’activitats podrà anar ampliant-se. La varietat de carrers, edificis,

senyals de trànsit, logotips, cartells, voreres, places, mobiliari urbà, etc. ens poden suggerir

moltes més propostes.


64

En el conjunt de les activitats que es proposen a l’itinerari es permetrà donar una

aproximació en la lectura de la mesura que faciliti el càlcul atès que el procés és ja de per si

poc acurat a causa dels instruments utilitzats i de la inexacte percepció humana.

Si l’itinerari es realitza amb alumnes del CS de primària, on és més factible la coordinació

amb Plàstica, es pot construir la maqueta de la ciutat.

El paper que serveix de base de la maqueta s’ha de quadricular i els objectes fabricats

(edificis emblemàtics, cases, ponts, tren, arbres, etc.) col·locats respectant la situació que

els correspon. La ciutat de Rubí té dues línies de referència bàsiques: la riera i la via del

tren, que ens facilita l’orientació.

Dues vistes de la maqueta realitzada per alumnes de 3er de Primària del CEIP Mossèn Cinto (curs 94-95)

En els materials multimèdia de l’IRRSAE de Torí (Istituto Regionale per la Ricerca,

Sperimentazione ad Aggiornamento Educativi) publicats pel departament d’educació podem

trobar idees interessants per treballar sobre la maqueta.

El material bàsic que cada grup ha de portar a la sortida consisteix en una carpeta,

fotocòpies de les activitats, fulls quadriculats, estris per escriure, calculadora, regle i

compàs. A més del material específic per a cada plaça.

Les activitats que a continuació es presenten estan agrupades en diversos apartats i cada

un segueix aquest esquema:

• Fitxes per a l’alumnat

• Guia per al professorat:

Realització

Material específic

Aspectes didàctics generals:


65

o Objectiu principal i continguts

o Condicions prèvies

o Relació amb les competències bàsiques

o Avaluació (per algunes activitats hi ha el solucionari)

o Relació amb altres propostes de treball

o Observacions (quan s’escau)

Al final d’aquesta segona part hi ha una taula-resum de totes les activitats de l’itinerari

geomètric.


66

2. ACTIVITATS INTRODUCTÒRIES Fitxes per a l’alumnat 0.1

Activitats

1. Localitzeu i escriviu el nom de dos carrers que es trobin en posició de línies

paral·leles. 2. Localitzeu i escriviu el nom de dos carrers que es trobin en posició de línies

perpendiculars. 3. Localitzeu i escriviu el nom de dos carrers que es creuin formant angles diferents de

90º. 4. Prorrogueu els carrers de Calderón de la Barca i de la Plana de Can Bertran i

mesureu l’angle que formen.


67

0.2

Activitats Observeu el plànol del barri del Castell i responeu les següents qüestions:

1. Sabem que el carrer de Santa Teresa i el carrer del Molí són perpendiculars entre

ells i que el primer és paral·lel al carrer de la Parellada. Escriviu els seus noms en el

plànol.

2. Escriviu altres parelles de carrers que es trobin en posició paral·lela.

3. Escriviu altres parelles de carrers que es trobin en posició perpendicular.

4. Quina forma tenen les illes de cases en aquest barri?


68

0.3

Activitats

1. Marqueu amb un punt les cruïlles del carrer Cervantes amb el de Joan Maragall, la

del carrer Joan Maragall amb el de Bartrina i el del carrer de Bartrina amb el de Juan

Ramon Jiménez, de manera que en unir-los amb una línia recta es formi un triangle.

2. Pinteu amb un color l’interior del triangle i prorrogueu totes les rectes dels seus

costats.

3. Mesureu amb el transportador els angles interiors del triangle. Quant sumen tots tres

junts?

4. Imagineu-vos que esteu caminant pel carrer de Bartrina venint del carrer Joan

Maragall. Quin angle heu de girar per continuar pel carrer Milà i Fontanals?

5. Situeu-vos a la rotonda creuada pels carrers de Bartrina, Milà i Fontanals i Juan

Ramon Jiménez i expliqueu com aniríeu a la plaça del Progrés per dos camins

diferents. Quin és el més curt?


69

0.4

Activitats

1. Marqueu amb un punt les següents cruïlles de carrer:

- Pintor Coello/ General Prim

- General Prim/Cal Princep

- Cal Princep/Pintor Murillo

- Pintor Murillo/Pintor Coello

2. Uniu amb línies rectes els punts i obtindreu un polígon. Quin és el nom d’aquest

polígon? Quants costats té? Quants vèrtexs? Quants angles?

3. Pinteu amb un color l’interior del polígon i prorrogueu totes les rectes dels seus

costats. 4. Mesureu els angles interiors del polígon. Quant sumen tots junts? 5. Expliqueu com aniríeu pel camí més curt des de la cruïlla dels carrers Can

Princep/PintorMurillo fins la cantonada del carrer de Cal Gerrer amb el de

Llobateras. Indiqueu la mesura de l’angle que feu quan canvieu de direcció.


70

0.5

Activitats

1. Situeu en el plànol l’escola Maria Montessori. Per quins carrers es pot entrar a

l’escola?

2. Des de la plaça de la Constitució com aniríeu fins a l’escola?

3. La Maria viu a la cantonada del carrer del Pintor Murillo amb Garcia Lorca. Expliqueu

per quin camí anirà a l’escola.

4. Com aniríeu de l’escola a l’estació?


71

0.6 En aquesta graella polar amb centre al mig de la plaça Catalunya s’han situat una sèrie

d’edificis singulars de Rubí. Localitzeu les seves coordenades: graus i unitats. A 0º hi ha el

nord i seguint el sentit de les agulles del rellotge les línies de direcció augmenten de 10 en

10 graus fins a 360 (= 0º). Des del centre també hi ha indicades les unitats: del 0 al 10.


72

............................................. ........................................ ................................

(300º, 10 unitats) .................................. ............................................... .........................................

.............................................. ..............................................


73

9

8

7

6

5

4

3

2

1

A B C D E F G


74

(ACTIVITAT PLÀNOL) n-1 Contesteu en un full a les següents preguntes:

1. Observeu el plànol i localitzeu el Castell, l’Escardívol, l’Església de Sant Pere,

l’Ajuntament, l’Ateneu i la Torre Bassas.

2. En un plànol els diferents carrers i edificis es poden localitzar amb l’ajut d’una

quadrícula. Quina lletra correspon a la columna on està situat cada edifici? I a quin

número de fila?

3. Uniu amb una línia recte i amb el següent ordre, el Castell, l’Església, l’Ateneu i la

Torre Bassas i el Castell. Quina figura s’obté?

4. Situeu-vos a l’Ateneu. Què heu de fer per anar a l’Església de Sant Pere?

5. Des de l’Església, quin és el camí més curt per anar a l’Ajuntament?

6. Imagineu-vos que es pot caminar per sobre un plànol de dimensions reals, quin seria

el camí més curt per anar del Castell a l’Ajuntament? Traceu el camí en el vostre

plànol.

7. I seguint amb aquest plànol imaginari, des de l’Ajuntament quin angle hauríem de

girar per anar recta fins la Torre Bassas? Traceu el camí en el vostre plànol.

8. Quina figura queda traçada en el plànol després de traçar el camí des del Castell a

l’Ajuntament i des d’aquest a la Torre Bassas?

9. Compareu aquesta nova figura amb l’obtinguda anteriorment.

10. Mesureu amb el regle la distància que hi ha en el plànol entre el Castell i

l’Ajuntament en línia recta. Després mesureu el camí més recte que es pot fer anant

pel carrer entre el Castell i l’Ajuntament. Si cada centímetre del plànol correspon a

30 metres en la realitat, quants metres caminareu des del Castell a l’Ajuntament?


75

Guia per al professorat ACTIVITATS INTRODUCTÒRIES

1. REALITZACIÓ

Totes les activitats prèvies a la sortida, que es fan sobre el plànol, són per fer a l’aula. Seria

recomanable fer-ne com a mínim un parell o tres de diferents. En aquesta fase, cada

alumne tindrà una còpia de la fitxa de l’activitat que es disposi a realitzar.

Són activitats que permeten treballar diversos continguts de Geometria i estendre’s tant com

es vulgui, per tant, de durada variable.

L’activitat n-1 està pensada perquè la facin individualment i un cop comentada i corregida a

la classe ens serveixi per explicar la sortida. Per a la realització de la n-1 i la preparació de

la sortida s’han de preveure dues sessions.

2. MATERIAL ESPECÍFIC Cal un plànol de Rubí en DIN A-3 per grup i a l’aula es pot penjar un plànol gran. Es poden

fer servir també transparències de la graella polar i quadrícules de diverses grandàries.

3. ASPECTES DIDÀCTICS GENERALS

OBJECTIU PRINCIPAL I CONTINGUTS

El conjunt de les activitats prèvies permeten treballar i cobrir diferents continguts i objectius

del currículum de Geometria tant del cicle superior de primària com del primer cicle de

secundària.

Els continguts que es treballen són:

- Identificació de punts en el plànol.

- Identificació de les coordenades d’uns punts determinats.

- Traçat i mesura de longituds.

- Reconeixement i característiques de polígons.

- Identificació i explicació d’uns determinats recorreguts.

- Mesura d’angles.

- Iniciació al concepte d’escala. Conversió de la distància en el mapa en distància real.


76

CONDICIONS PRÈVIES

Es pot partir d’un nivell molt bàsic en l’àmbit de la mesura i la geometria. Segons els

coneixements de l’alumnat, es poden variar les activitats, simplificant-les, ampliant-les o

dividint-les.

RELACIÓ AMB LES COMPETÈNCIES BÀSIQUES

En abastar una gran quantitat de continguts es poden relacionar amb un bon nombre de

subcompetències que havíem determinat:

M2c Descobrir els diferents tipus de figures tridimensionals i bidimensionals.

M2d Descobrir, comparar i analitzar les propietats de les figures tridimensionals i

bidimensionals.

M2g Identificar i classificar correctament les figures segons les seves propietats.

M2i Desenvolupar les definicions d’algunes classes de figures, utilitzant llenguatge comú

i geomètric.

M3b Identificar cada atribut mesurable amb la correcta unitat de mesura.

M3c Utilitzar les unitats més usuals de mesura de longitud, pes, amplitud d’angles,

superfície, volum/capacitat i temps.

M3h Comprendre el sistema sexagesimal per les mesures d’angles i de temps.

M4a Utilitzar correctament el regle, el compàs, l’escaire, el cartabò, el transportador

d’angles, el rellotge, el calendari, la balança i el termòmetre.

I totes les de la competència M6a.

AVALUACIÓ

Depenent del nivell de l’alumnat es podrà valorar la resolució de les activitats amb més o

menys exigència. Les mesures dels costats i angles dels polígons que cada alumne

dibuixarà en els seus plànols variaran, per tant caldrà valorar l’assoliment dels continguts

procedimentals, especialment l’ús correcte del regle i del transportador d’angles.

Una part important de l’avaluació d’aquestes activitats serà la precisió en les explicacions

dels recorreguts proposats.

A l’activitat 0.6 es poden posar les coordenades d’algun edifici com a exemple. Hi ha punts

que no estan situats exactament en els eixos marcats:

- Torre Bassas (40º, 7 unitats)

- Ateneu (80º, 3 unitats)

- Mercat Municipal (135º, 9 unitats)


77

- Jutjat (190º, 5,5 unitats)

- Església (250º, 2 unitats)

- Castell (300º, 10 unitats)

- Escardívol (320º, 5 unitats)

- Ajuntament (350º, 3 unitats)

Les solucions per l’activitat n-1 són les següents:

2. Les coordenades:

Castell → G-9

Escardívol → E-5 i E-6. També podrien situar-lo a les caselles E-6 i E-7.

Església → C-5

Ajuntament → F-4

Ateneu → D-2

Torre Bassas→ G-1

3. Queda un polígon de quatre costats. Segons el nivell, l’anomenaran quadrilàter o

trapezoide.

4. Si sortim de l’Ateneu hem de girar a la dreta i anar pel carrer de Xile fina a la plaça

Catalunya, creuar la plaça, travessar el carrer i per Mossèn Cinto s’arriba a la plaça del

Dr. Guardiet on es troba l’Església de sant Pere.

5. Pels carrers Mossèn Cinto i Dr. Robert.

7. 35º

8. Un pentàgon.

9. El pentàgon té una superfície menor que el quadrilàter. Tenen tres costats i dos

angles en comú. El quadrilàter és convex, però el pentàgon és còncau perquè té un

angle de 215º (l’angle pla + els 35º que girem per anar cap a Torre Bassas). Segons el

nivell, es pot demanar aprofundir més en les amplituds dels diferents angles.

Els apartats 1, 6 i els traçats de línies que es demanen es poden veure en el plànol

adjunt.

RELACIÓ AMB ALTRES PROPOSTES DE TREBALL

Tant les activitats amb quadrícula com amb la graella polar poden ampliar-se i adaptar-se a

diferents nivells d’aprenentatge. Si es pot construir un geoplà de 10 x 10 claus, es poden

representar les coordenades i ens serveix perquè els alumnes agafin habilitat en aquesta

mena d’exercicis.


78

Amb la transparència de la graella polar sobre el plànol es poden fer diversos exercicis:

canviant el punt (0º, 0 unitats) a altres llocs característics de la ciutat –sempre situant els 0º

en direcció nord–, donades les coordenades buscar a quin edifici o lloc correspon, fent

hipotètics viatges amb helicòpter trobar els graus i les unitats del desplaçament, etc.

L’activitat n-1 s’hauria de fer amb quadrícula més petita i utilitzant els quatre quadrants un

cop s’han introduït els nombres positius i negatius.

Amb el plànol del centre de la ciutat o per barris també es poden treballar propostes de

recorreguts que podrien fer treballadors com els carters, repartidors o missatgers.

El treball de la majoria de subcompetències determinades per aquest conjunt d’activitats es

poden relacionar amb les matèries de Visual i Plàstica, Ciències Naturals i Ciències Socials.

OBSERVACIONS

Les activitats proposades en aquest bloc es poden realitzar desvinculades totalment de

l’itinerari geomètric. A més el plànol de la pròpia ciutat o barri és un recurs ben assequible

per al professorat i engrescador per a l’alumnat; amb una mica de dedicació permet

dissenyar activitats per treballar més enllà de la mesura i la geometria. L’àmbit del càlcul, la

proporcionalitat i l’estadística es poden abordar amb exercicis plantejats sobre el plànol i la

pròpia ciutat.


79


80

3. PLAÇA CATALUNYA Fitxes per a l’alumnat NIVELL BÀSIC n-2

Activitat inicial Quina forma té la plaça? Situeu-vos en un dels quatre vèrtex i camineu al voltant del seu

contorn. Un cop tingueu clara la seva forma situeu-vos en un punt al mig de la plaça mirant cap a la

paret on està situat l’edifici del Casino, us trobareu mirant al nord. Observeu i anoteu els

elements urbans i naturals que hi ha col·locats a l’interior de la plaça. Gireu 90º cap a la vostra esquerra i repetiu el mateix que heu fet anteriorment: observeu i

anoteu els elements urbans i naturals que hi ha col·locats a la plaça. Torneu a girar 90º cap a la vostra esquerra dos cops més seguint el mateix procés.

Què passa quan heu fet quatre girs de 90º sempre en el mateix sentit?

Feu un recompte ordenat de tots els elements que heu trobat. Quin és l’element que més es

repeteix?

Activitat principal Situeu en un full DIN A-4 la posició aproximada de tots els arbres. Uniu mitjançant línies els

arbres que es troben en el contorn de la plaça. Quina figura obteniu?

Uniu també els que trobeu al voltant de la font del sortidor. Quina figura obteniu?

Després, uniu-los de 3 en 3 de manera que es formin triangles de tot tipus. És possible

formar triangles rectangles? I acutangles? I obtusangles? I equilàters? I isòsceles?

Imagineu-vos que l’ajuntament decideix plantar-ne quatre més. Feu diferents propostes d’on

es podrien col·locar.


81

NIVELL AVANÇAT n-3 (PLAÇA CATALUNYA)


contorn. Un cop tingueu clara la seva forma situeu-vos en un punt al mig de la plaça mirant

cap a la paret on està situat l’edifici del Casino, us trobareu mirant al nord. Observeu i

anoteu els elements urbans i naturals que hi ha col·locats a l’interior de la plaça.

Gireu 90º cap a la vostra esquerra i repetiu el mateix que heu fet anteriorment: observeu i

anoteu els elements urbans i naturals que hi ha col·locats a la plaça.

Torneu a girar 90º cap a la vostra esquerra dos cops més seguint el mateix procés.


Feu un recompte ordenat de tots els elements que heu trobat.

Activitat principal Observeu l’enrajolat de la plaça. Hi ha un dibuix curiós fet amb 5 cercles. Preneu les

mesures necessàries per poder dibuixar-lo esquemàticament en un full.


82








Torneu a girar 90º cap a la vostra esquerra dos cops més seguint el mateix procés.



Activitat principal Volem fer un dibuix a escala de la planta de la plaça Catalunya.

Mesureu l’amplada i la llargada de la plaça. Decidiu quantes vegades haureu de reduir les

longituds perquè es pugui dibuixar en un full DIN A-3. Un cop decidida l’escala totes les

altres mesures hauran d’empetitir-se de la mateixa manera.

S’ha de dibuixar la base d’un parell o tres dels elements urbans trobats a la plaça (font,

banc, peu de l’arbre, paperera, jardinera, ...)


83

NIVELL BÀSIC n-5 (PLAÇA CATALUNYA)

FOTO 1

FOTO 2

FOTO 3


84

Activitat principal Observeu atentament la font del sortidor. Quina forma té? Com està situada respecte

l’orientació de la plaça?

Situeu en el plànol següent el punts de d’on s’han fet les tres fotos anteriors i expliqueu on

s’han plantat les quatre palmeres.


85








Torneu a girar 90º cap a la vostra esquerra dos cops més seguint el mateix procés. Què

passa quan heu fet quatre girs de 90º sempre en el mateix sentit?


Activitat principal Observeu els fanals exteriors de l’edifici del casino. Quins cossos geomètrics els formen?

Feu-vos un dibuix en perspectiva i preneu nota de tots els detalls observats.

Construïu en cartolina un petit fanal semblant als del Casino.


86


Activitat principal

1. Situeu-vos en un dels quatre vèrtex i camineu al voltant del seu contorn. Quina forma

té aproximadament la plaça?

2. Situeu-vos en un punt al mig de la plaça mirant cap a la paret on està situat l’edifici

del Casino, us trobareu mirant al nord.

3. Gireu 90º cap a la vostra esquerra. On teniu el Casino? Cap a quin punt cardinal

esteu mirant?

4. Torneu a girar 90º cap a la vostra esquerra. On teniu ara el Casino? Cap a quin punt

cardinal esteu mirant?

5. Un cop més torneu a girar 90º cap a la vostra esquerra. On teniu ara el Casino? Cap

a quin punt cardinal esteu mirant?

6. Repetiu el mateix que heu fet anteriorment una vegada més.

7. Què passa quan heu fet quatre girs de 90º sempre en el mateix sentit?

8. Observeu i anoteu els elements urbans i naturals que hi ha col·locats a l’interior de la

plaça. Feu un recompte i expresseu els resultats en una taula.


87










Feu un recompte ordenat de tots els elements que heu trobat. Activitat principal S’ha de buidar la font del sortidor. Hi ha una avaria en el desguàs i s’haurà de treure omplint

garrafes ja que es vol aprofitar per regar les plantes dels jardins. Un cop buida es procedirà

a arreglar el desguàs i a netejar la font.

Quantes garrafes de 20 litres penseu que es podran omplir amb l’aigua de la font?

Com podreu fer un càlcul el més exacte possible? Fixeu-vos quina forma té l’interior de la

font i a quin políedre s’assembla. Penseu quin càlcul heu de fer i quines mides serà

necessari prendre.


88











Activitat principal Quants cartells de 70 cm x 1 metre es necessitarien per empaperar tot el pirulí?


89

Guia per al professorat ACTIVITATS A LA PLAÇA CATALUNYA 1. REALITZACIÓ Sis de les activitats comencen amb unes observacions inicials que permeten situar-se en el

lloc i, clar, s’han de fer a la plaça. Per a l’activitat principal es poden prendre les mesures

necessàries per acabar de fer els dibuixos, les construccions o els càlculs pertinents més

tard a l’aula. Les activitats de nivell bàsic n-5 i n-7 són per realitzar-se a la mateixa plaça.

La durada màxima hauria de ser d’uns tres quarts d’hora.

2. MATERIAL ESPECÍFIC Cordill, cinta mètrica, escaire o quadrat de fusta de 20 cm per comprovar els angles rectes i

transportador d’angles o goniòmetre. Es pot portar una brúixola.

3. ASPECTES DIDÀCTICS GENERALS OBJECTIU PRINCIPAL I CONTINGUTS

Els objectius que es pretenen amb el conjunt d’activitats dissenyades per aquesta plaça són

diversos:

- Saber situar uns punts en l’espai i conèixer les relacions entre ells.

- Identificar figures geomètriques de dues i tres dimensions.

- Aplicar fórmules per al càlcul de superfícies planes i volums.

- Utilitzar correctament aparells de dibuix i mesura i les unitats corresponents.

Es treballen els següents continguts generals de Geometria:

- Diferents elements geomètrics: punt, línia, angle.

- Diferents figures i cossos geomètrics: polígons, cilindre, prisma i tronc de piràmide.

- Càlcul de perímetre, superfície i volum.

- Proporcionalitat.

CONDICIONS PRÈVIES

Per les activitats de nivell avançat es requereix un bon nivell de coneixements geomètrics.

De totes maneres es pot orientar als grups sobre les mesures que seran necessàries per fer

els càlculs a l’aula posteriorment, i continuar amb l’ajuda del llibre de text o apunts.


90


Aquestes activitats ajuden a assolir les següents subcompetències:

M2a Reconèixer en l’espai diferents tipus de figures tridimensionals i bidimensionals.

M2b Reconèixer les figures bidimensionals com a part de les tridimensionals.

M2e Descobrir la relació entre les figures de l’espai tridimensional i les seves


M2g Identificar i classificar correctament les figures segons les seves propietats.

M2h Construir i dibuixar figures geomètriques.

M3a Identificar les unitats estàndard de mesura de longitud, superfície, volum, pes,

temperatura, temps i amplitud d’angles.




M3d Relacionar cada atribut mesurable amb l’adequada unitat de mesura segons la seva

grandària.

M3f Comprendre el sistema decimal de mesura i la relació de cada unitat amb les altres.

M3g Aprendre a fer conversions d’una unitat a una altra, prioritzant les més usuals a la vida

quotidiana.




M4f Mesurar longituds en objectes tant directa com indirectament utilitzant les eines

apropiades.

M4h Calcular perímetres, àrees i volums utilitzant fórmules precises.

AVALUACIÓ

Cada activitat té un grau de dificultat diferent. El primer repte és determinar la forma de la

plaça. Demanem als alumnes que caminin al voltant de les rajoles que delimiten la plaça i

es pot donar per bona la resposta que és un rectangle, perquè els angles dels 4 vèrtex són

de 90º. Hi ha un afegit en un costat i si se’l té en consideració la forma seria d’un trapezi. La

longitud de cada costat és fàcilment calculable: cal sumar dues quantitats. Per a obtenir la

primera es poden comptar les rajoles rectangulars que envolten la plaça, mesurar-ne les

senceres i multiplicar el nombre d’elles. Per a la segona quantitat, cal mesurar cada una de

les rajoles incompletes i sumar les mesures. Aproximadament els dos costats llargs fan 47,5

m i els curts 25,5 m.


91

Els arbres, els fanals de la plaça i els exteriors del casino, els bancs, la font del sortidor, el

pirulí i el dibuix dels cinc cercles són elements centrals per a les activitats principals. Les

bases dels arbres, fanals, la font del sortidor i de les jardineres són polígons. Al voltant de la

font de beure podem veure un sector circular i el clavegueró de la font i la base del pirulí són

cercles. Els alumnes hauran de demostrar que coneixen els noms de les diferents figures i

distingeixen les circulars de les poligonals.

L’element més “repetit” és l’arbre, n’hi ha 4 al voltant de la font del sortidor; 16, sobre el

contorn de la plaça; un, al costat de la font de beure (supervivent de l’última remodelació de

la plaça), i hi ha arbusts a la jardinera situada a l’est. Els 4 del voltant de la font (són

palmeres) es permetrà considerar-los equidistants i els alumnes hauran de determinar

l’angle que formen per identificar si units formen un quadrat o un rombe. Els 16 arbres del

contorn formen un octàgon.

S’avaluarà correctament el dibuix dels cinc

cercles si han conservat la proporcionalitat de

cada una de les parts (és fàcilment reduïble a

escala 1:100) i entre el cercle gran i els petits.

L’activitat més complicada és calcular el volum

d’aigua que hi ha a la font del sortidor un cop

s’han adonat que té forma de tronc de piràmide

invertida. Els costats de la base gran els poden

mesurar fàcilment perquè és el contorn de la

font (es considerarà un quadrat de 3,8 m de

costat, encara que tenen algun centímetre de diferència). Per obtenir la longitud del costat

del quadrat interior, han de mesurar una rajola i comptar les que hi ha (10 rajoles de 30 cm).

A 2n d’ESO ja es pot determinar l’alçada de la piràmide pel teorema de Tales. L’alçada del

tronc és de 38 cm i el volum aproximat és de 4 420 litres. Es pot simplificar donant una

mesura arbitrària a partir del volum del prisma quadrangular que queda inscrit en el tronc de

la piràmide (3 x 3 x 0,38 = 3,42 m3 = 3 420 litres).


92


El dibuix dels cinc cercles ens permet també treballar fraccions i proporcionalitat entre les

àrees dels cercles o entre les seves parts. Altres possibilitats: inventar algun joc aprofitant

l’estructura de diferents colors, proposar un problema sobre el cost de les pintures roses del

tauler d’escacs i els altres sectors que ara estan descolorits, dissenyar un dibuix diferent per

l’interior dels cercles, etc.

En aquesta plaça hi ha tres papereres que es poden comparar amb les que trobaran a la

plaça del Dr. Pearson, on són totalment cilíndriques.

També es podria investigar si els octàgons que delimiten la base dels arbres i fanals són

regulars, mesurar els seus costats i angles i calcular el perímetre i la superfície.

OBSERVACIONS

Es podria elaborar prou material per passar tot un matí a aquesta plaça, no obstant

l’inconvenient és que és molt de pas per al veïnat i no és massa àmplia.


93

4. PLAÇA Dr. GUARDIET Fitxes per a l’alumnat NIVELL BÀSIC n-10

Activitat inicial La plaça del Dr Guardiet està ben preparada per fer espectacles. L’escenari és

normalment la pista circular i els espectadors seuen a les grades que hi ha al voltant. Avui

es fa un petit recital de poesia i s’ha pensat posar els espectadors damunt l’escenari amb

les persones que recitaran. Per això es volen col·locar 5 files de cadires formant

semicircumferències concèntriques. Es considera que cada cadira ocupa 50 cm d’amplada i

cada fila 1 metre (és el que ocupa la cadira i el passadís per seure i poder passar).

Feu un dibuix que representi la planta de l’escenari amb les cadires col·locades.

Quantes cadires penseu que hi poden cabre?

Activitat principal Pinteu, en el vostre dibuix, l’espai que queda per les persones que recitaran les

poesies. Quina forma té? Com podríeu calcular la seva superfície? Quina mesura

necessiteu?


94

NIVELL AVANÇAT n-11 (PLAÇA Dr. GUARDIET)

Activitat inicial La plaça del Dr Guardiet està ben preparada per fer espectacles. L’escenari és

normalment la pista circular i els espectadors seuen a les grades que hi ha al voltant. Avui

es fa un petit recital de poesia i s’ha pensat posar els espectadors damunt l’escenari amb

les persones que recitaran. Per això es volen col·locar 5 files de cadires formant

semicircumferències concèntriques. Es considera que cada cadira ocupa 50 cm d’amplada i

cada fila 1 metre (és el que ocupa la cadira i el passadís per seure i passar).

Feu un dibuix que representi la planta de l’escenari amb les cadires col·locades.

Quantes cadires penseu que hi cabran?

Pinteu l’espai que queda per les persones que recitaran les poesies. Quina forma té

aquest espai?

Activitat principal Calculeu:

a) La quantitat de cadires que es necessitaran.

b) La superfície de l’escenari que quedarà sense cadires.


95


Activitat inicial

Aquest és el plànol de l’Església de Sant Pere actual. Situeu-vos a l’exterior davant

la porta principal i feu un dibuix esquemàtic de la façana. - Quines formes poligonals heu utilitzat? I no poligonals?

- Quant deuen mesurar l’amplada i l’alçada de la porta?

- Quina forma té la torre del campanar?

- Quant deu mesurar l’alçada de la torre del campanar?

Activitat principal

Busqueu i raoneu un mètode que us ajudi a calcular l’alçada de la torre.


96

NIVELL BÀSIC n-13 (PLAÇA Dr. GUARDIET)

Activitat inicial

Aquest és el plànol de l’Església de Sant Pere actual. Situeu-vos a l’exterior davant

la porta principal i feu un dibuix esquemàtic de la façana. - Quines formes poligonals heu utilitzat? I no poligonals?

- Quant deuen mesurar l’amplada i l’alçada de la porta?

Activitat principal

Mesureu l’amplada de la porta i a partir d’aquesta dada feu un càlcul aproximat de la

superfície de la planta de l’Església. Amb quina unitat de longitud teniu la mesura de

la porta? Quina unitat de superfície serà convenient utilitzar per la planta de

l’Església?


97


Activitat inicial A l’oficina del plànol de la ciutat ens han proporcionat aquest esquema de la plaça

del Dr. Guardiet. Què us sembla? Que hi ha representat?

Feu una descripció ben detallada dels elements que descobriu (forma, situació,...)

Activitat principal Quantes persones com a màxim penseu que poden assistir assegudes a un

espectacle?

Busqueu i raoneu un mètode per calcular-ho el més exacte possible.

Si un determinat dia es fa un espectacle que costa 20 euros. Quants diners es

recolliran com a màxim?


98


Activitat inicial

Fixeu-vos en la foto: és la cúpula de l’Església de Sant Pere. Va ser construïda entre els

anys 1883 i 1884.

- Quina forma té?

- Quina forma tenen les finestres?

- Quants anys fa que es va acabar de construir?

Fixeu-vos en el plànol: la cúpula es troba en l’encreuament de les dues naus.

- Amb quina figura geomètrica està representada? Per què?

- Quines deuen ser les seves dimensions?

- I les dimensions de les finestres? Quantes finestres hi ha? Quina deu ser la

distància entre dues finestres consecutives?

Activitat principal

A partir d’una mesura real feta a l’exterior de l’Església calculeu el diàmetre i la longitud de

la circumferència de la base de la cúpula. Compareu aquest càlcul amb les estimacions fetes per vosaltres anteriorment.


99


Activitat inicial Observeu la jardinera que han construït al voltant de l’arbre:

- Quina forma té? Dibuixeu l’alçada, la planta i el perfil.

- Amb quines peces l’han fet?

- Com estan col·locades aquestes peces?

- Quina superfície ocupen les flors?

Activitat principal A l’hivern es decideix plantar herbes aromàtiques. Quants planters faran falta si necessiten

un espai d’uns 40 cm2 ?


100

Guia per al professorat ACTIVITATS A LA PLAÇA Dr. GUARDIET 1. REALITZACIÓ Per aquesta plaça es proposen quatre activitats de nivell bàsic i tres de nivell avançat. Cada

una d’elles té la seva pròpia activitat inicial i cada grup d’alumnes es repartirà en diferents

punts de la plaça a excepció de l’escenari i davant de l’església on es poden trobar dos

grups de nivells diferents.

Els alumnes han de prendre mides i realitzar l’activitat corresponent a la mateixa plaça. La

durada prevista és al voltant de mitja hora.

Aquestes activitats podrien fer-se a l’aula desvinculades de l’itinerari si es donen les fotos, el

plànol ampliat de la planta de l’església i les mesures oportunes (longitud del diàmetre de

l’escenari circular, longitud del tram inferior de les escales de l’església, etc.).

2. MATERIAL ESPECÍFIC Cordill i cinta mètrica o una roda compta metres.


Un dels objectius que es pretén amb aquestes activitats (n-10, n-11, n-13 i n-14) és que

l’alumnat repassi el concepte de longitud d’una circumferència, la relació de la longitud amb

el diàmetre i la utilització del nombre π.

Es treballen els següents continguts generals de Geometria:

- La mesura de la longitud del diàmetre.

- El càlcul de la longitud de la semicircumferència.

- El càlcul de l’àrea del semicercle.

- La utilització correcta de les unitats de mesura apropiades en cada cas.

Les activitats n-13 i n-16 treballen el càlcul de superfícies i la n-12 proporcionalitat. En un

nivell molt avançat es pot demanar el càlcul de l’alçada del campanar utilitzant el teorema

de Tales, sempre que es faci en una època de l’any i en un moment del dia en què sigui

segur que la projecció de l’ombra del campanar cau sobre la plaça.


101

CONDICIONS PRÈVIES

En aquest cas els grups poden preguntar els dubtes mentre es fa l’activitat pràctica. Si es fa

a l’aula haurien de consultar el llibre de text o els apunts.


Aquestes activitats impliquen exercir les següents subcompetències:



M2j Investigar els resultats de transformar figures subdividint-les i combinant les diferents

parts o bé combinant diverses figures.






M3d Relacionar cada atribut mesurable amb l’adequada unitat de mesura segons la seva

grandària.

M3e Seleccionar i utilitzar referències per estimar mesures.

M3f Comprendre el sistema decimal de mesura i la relació de cada unitat amb les altres.

M3g Aprendre a fer conversions d’una unitat a una altra, prioritzant les més usuals a la vida

quotidiana.




apropiades.


M4i Desenvolupar estratègies per calcular el perímetre, l’àrea i el volum de figures

irregulars.

AVALUACIÓ

Per avaluar les activitats n-10 i n-11 s’hauria de tenir en compte:

- Quin diàmetre han decidit utilitzar per calcular la longitud de la semicircumferència

de la darrera fila i posteriorment les següents.

- Si han recordat les diferents fórmules utilitzades.

- Si han arrodonit per truncament a la unitat a l’hora d’establir el nombre de cadires

de cada fila.


102

- Si han tingut en compte quina forma té l’espai buit de l’escenari. Poden pensar

només en el semicercle gran o ― l’exercici serà més complert ― si han vist que les

cadires deixen també un semicercle més petit i han deduït quin és el radi d’aquest

semicercle.

Establint un radi de 6,8 m pel semicercle exterior i anant restant 1 m per les següents files,

la quantitat de cadires que hi caben són:

Radi Longitud

semicircumferència Longitud

semicircumferència/0,5 Nombre cadires

6,8 21,36 42,72 42

5,8 19,79 39,58 39

4,8 18,22 36,44 36

3,8 16,65 33,3 33

2,8 15,08 30,16 30

Σ =180

La superfície de l’escenari que quedarà sense cadires serà:

6,82 π / 2 + 1,82 π / 2 = 72,63 m2 + 5,09 m2 = 77,72 m2

Per l’activitat n-14 s’avaluarà el mètode que han utilitzat per esbrinar la longitud de cada

grada i quin espai estimen que ocupa una persona asseguda.

Per les altres activitats s’avaluarà el dibuix acurat del que es demana i les estimacions de

les mesures que han fet per realitzar els càlculs pertinents.


103


Ampliació de l’activitat n-11:

- Completar una taula on es relacioni: diàmetre, longitud circumferència, longitud

semicircumferència, quocient entre la longitud i 0,5 i la quantitat de cadires.

- És possible fer una generalització del nombre de cadires per a cada fila segons el

diàmetre? Serà sempre certa?

Longitud

diàmetre

Longitud

circumferència

Longitud

semicircumferència

Longitud

semicircum/0,5

Quantitat

cadires

L’activitat n-14 es pot ampliar afegint exercicis amb canvis de preu o diferent preu segons la

fila, demanar quant es guanya amb mig aforament, construir una taula per relacionar el radi

de la semicircumferència i la gent que hi cap, etc.

OBSERVACIONS

Si la quantitat d’alumnes ho permet, les activitats en aquesta plaça es podrien concentrar en

l’aprenentatge de tots els continguts prescriptius del curs pel que fa a la circumferència i el

cercle.


104

5. PLAÇA SALVADOR ALLENDE Fitxes per a l’alumnat NIVELL BÀSIC n-17

Activitat inicial

- Quina forma té la plaça?

- Quins són els seus elements més característics i on estan situats?

- A quin cos geomètric correspon tota la construcció de la porta del pàrquing?

- Quins altres elements podeu trobar a la plaça que recordin cossos geomètrics?

Activitat principal

- Estudieu els diferents bancs col·locats a la plaça i observeu els diferents models.

- Quins us semblen més còmodes? Quins us semblen més fàcils de construir?

- Quantes persones adultes hi poden seure a cada banc? I en tota la plaça?


105

NIVELL AVANÇAT n-18 (PLAÇA SALVADOR ALLENDE)

Activitat inicial





Activitat principal L’ajuntament ha decidit fer un altre cobert aprofitant l’estructura malmesa que hi ha a

l’interior de la plaça. Fixeu-vos en els diferents tipus de rajoles que hi ha ara i proposeu un

disseny d’enrajolat de diferents colors i mesures. Calculeu quantes rajoles seran

necessàries de cada tipus.


106

NIVELL BÀSIC n-19 (PLAÇA SALVADOR ALLENDE)

Activitat inicial





Activitat principal Feu un llistat d’elements de la plaça que puguem posar d’exemples de:

- línies paral·leles

- línies perpendiculars

- eix de simetria

- angle entre dos o més plans


107


Activitat inicial





Activitat principal

- Feu una descripció detallada del passadís cobert. - Quins materials han utilitzat en la seva construcció? Com han estat col·locats? - Podeu trobar eixos de simetria en aquesta construcció? - Quines deuen ser les seves dimensions: amplada, llargada i alçada? - Busqueu i expliqueu una manera ràpida de calcular la llargada del passadís. - Quina part de la superfície de la plaça ocupa el terra del cobert?


108

NIVELL BÀSIC n-21 (PLAÇA SALVADOR ALLENDE)

Activitat inicial

- Situeu-vos al mig de la plaça i observeu els elements més característics que veieu.

- Observeu les diferents parts que té la plaça. Quina forma tenen?

- Classifiqueu tots els elements que trobeu en cada una de les parts segons el cos

geomètric al que més s’assembla.

Activitat principal Feu una descripció del terra de fusta que travessa la plaça. Expliqueu:

- Quantes peces hi ha en el terra.

- La forma que té cada peça.

- Com estan col·locades.

Feu un dibuix esquemàtic de les primeres 10 peces. Quant mesura cada peça? Quina

distància hi ha entre peça i peça? Quant mesura el conjunt de les 10 peces?


109


Activitat inicial





Activitat principal

- Observeu i feu una descripció de totes les peces necessàries per construir l’entrada

del pàrquing.

- Quantes formes geomètriques diferents es poden trobar entre tots els elements i les

diferents construccions? (vidres, bigues,...).

- Calculeu la superfície de vidre que s’ha utilitzat en aquesta construcció. Amb la

mateixa quantitat de vidre quines mesures tindria una construcció en forma de cub?


110

Guia per al professorat ACTIVITATS A LA PLAÇA SALVADOR ALLENDE 1. REALITZACIÓ Totes les activitats a excepció de la n-22, que per la seva complexitat s’haurà d’acabar a

l’aula, són per realitzar a la plaça.

S’ha de preveure una durada d’entre 30 i 45 minuts.

2. MATERIAL ESPECÍFIC Cordill i cinta mètrica.


Els diversos grups realitzaran activitats amb objectius diferents. Dins del recinte de la plaça

trobem quatre elements ben diferenciats ―les estructures polièdriques de les entrades i del

respirador del pàrquing, el passadís cobert, el passadís de fusta que travessa la plaça i la

part deteriorada de l’interior― que permeten dissenyar diverses activitats.

Els continguts generals de geometria i mesura que es poden treballar són:

- angles diedres

- rectes paral·leles

- rectes perpendiculars

- eixos de simetria

- longitud, superfície, volum.

- els cossos geomètrics

- la perspectiva: per què es veuen més petites les columnes més allunyades?

CONDICIONS PRÈVIES

Dependrà de l’activitat, però per a totes elles excepte la n-22 només cal haver assolit els

continguts bàsics de Geometria estudiats a primària.


111


Subcompetències relacionades amb les activitats de la plaça Salvador Allende:



M2c Descobrir els diferents tipus de figures tridimensionals i bidimensionals.


bidimensionals.







apropiades.


AVALUACIÓ

S’avaluarà positivament la utilització correcte del vocabulari específic geomètric dels

aspectes involucrats.


Una part important de les activitats poden coordinar-se amb l’àrea de Visual i Plàstica.

A la plaça trobem dues fonts de beure on el clavegueró té una forma diferent del de la font

de la plaça Catalunya que ja han vist i del que veuran a la plaça del Dr. Pearson. Es podria

dibuixar per fer un estudi comparatiu.


112

6. AVINGUDA DE BARCELONA Fitxa per a l’alumnat n-23

Activitat inicial (La fitxa dels alumnes no tindrà la foto)

Observeu les rajoles de la vorera de l’avinguda de Barcelona i feu una descripció el més

detallada possible dels elements geomètrics que hi podeu veure. Dibuixeu el motiu mínim que genera la sanefa. Quants eixos de simetria té?

Quina forma té cada rajola?

Per què es pot enrajolar el terra amb rajoles d’aquesta forma?

Es podrien utilitzar rajoles en forma de triangle rectangle? I de triangle equilàter? I de

pentàgon? Per què?

Activitat principal Dissenyeu a partir d’un quadrilàter un dibuix que pugui ser utilitzat per enrajolar un terra.

Expliqueu on té els eixos de simetria.

Activitat d’ampliació (Per fer a l’aula)

- Quina superfície ocupa el dibuix?

- Quina superfície ocuparien les rajoles vermelles totes juntes?

- I les blanques?

- Quina part de rajoles vermelles hi ha respecte el total?

- I de blanques?


113

7. PLAÇA Dr. PEARSON I ESTACIÓ FGC Fitxes per a l’alumnat NIVELL BÀSIC n-24

Activitat inicial En aquesta plaça trobareu elements urbans de formes diverses. Classifiqueu-los en una

taula segons el nom del cos geomètric que ens recorden.

Us agrada la plaça tal com està?

Activitat principal Preneu les mides oportunes per fer el dibuix de la planta, l’alçada i un perfil de la cabina

telefònica el més proporcionat possible.


114

NIVELL AVANÇAT n-25 (PLAÇA Dr PEARSON)

Activitat inicial Els jardins i les fonts d’aquesta plaça estan ben limitats per unes vorades de pedra

disposades de manera que formen dibuixos diferents. Passegeu per la plaça estudiant la

diversitat d’aquests dibuixos:

- Quantes formes diferents hi podeu trobar?

- Quina ocupa una superfície més gran?

- Quina té un perímetre més petit?

- S’hi han format polígons? De quants costats?

- Us agrada la plaça tal com està?

Activitat principal Mesureu la superfície de tot el recinte que ocupa una de les dues fonts.

- Quina forma té?

- Com es calcula la superfície?

- Quines mesures necessiteu per fer el càlcul?


115

NIVELL BÀSIC n-26 (PLAÇA Dr PEARSON)

Activitat inicial En aquesta plaça trobareu elements urbans de formes diverses. Classifiqueu-los en una

taula segons el nom del cos geomètric que ens recorden.

Us agrada la plaça tal com està?

Activitat principal Preneu les mides oportunes per fer el dibuix de la planta, l’alçada i un perfil de la font de

beure el més proporcionat possible.


116










Activitat principal L’ajuntament ha decidit acabar de tancar l’espai de jocs infantils. Calculeu la

quantitat de peces (estaques i tanques) com les que hi ha posades faran falta i penseu

quantes portes posaríeu per entrar i a quins llocs les situaríeu.


117










Activitat principal L’ajuntament ha decidit fer dos sorrals quadrats a cada un dels extrems de la zona

de jocs. El limitarà amb peces de fusta de 10 cm d’amplada i l’alçada del sorral serà de 30

cm. Calculeu el volum de sorra que necessitarà per omplir els dos sorrals.


118

Guia per al professorat ACTIVITATS A LA PLAÇA DEL Dr. PEARSON 1. REALITZACIÓ Les cinc activitats s’han de fer a la plaça, tot i que els càlculs i els dibuixos es poden acabar

a l’aula. Si el nombre total d’alumnes que portem ho permet pot ser interessant realitzar

només l’activitat n-25.

2. MATERIAL ESPECÍFIC Cordill, cinta mètrica, dos bastons d’un metre com a mínim.


El principal objectiu a assolir amb l’activitat n-25 és comprendre com un polígon de molts

costats s’aproxima al cercle.

El conjunt de les cinc activitats treballen els següents continguts generals de Geometria:

- Perímetre i àrea del polígon regular.

- Longitud i àrea del cercle.

- Vistes diferents d’un cos geomètric.

- Volum de l’ortoedre.

CONDICIONS PRÈVIES

Repassar les fórmules del càlcul de la longitud de la circumferència, d’àrees dels polígons

regulars i el cercle i el volum de l‘ortoedre.


Aquestes activitats treballen les següents subcompetències:



bidimensionals.

M2e Descobrir la relació entre les figures de l’espai tridimensional i les seves



119


M2j Investigar els resultats de transformar figures subdividint-les i combinant les diferents

parts o bé combinant diverses figures.







M4c Comparar diferents objectes segons la longitud, l’àrea o el volum.

M4d Aprendre tècniques per construir rectes paral·leles, rectes perpendiculars, figures

poligonals i figures corbes.


apropiades.


AVALUACIÓ

Segurament l’activitat n-25 és la que demanarà més orientació per part del professorat. Les

dues fonts amb sortidor de la plaça estan delimitades per les mateixes vorades de pedra

que els jardinets on hi ha els arbres i el seu contorn forma els dos únics polígons que

podem trobar (de 36 i 42 costats).

Alumnes de 2n d’ESO determinant la distància entre el punt mig d’un costat i el del seu oposat en una de les fonts.

La superfície del recinte on es troba la font més petita la calculem un cop mesurada la

distància entre el punt mig d’un costat i el del seu oposat. Per obtenir aquesta longitud es

pot utilitzar el cordill i els dos bastons que es col·locaran recolzats en els dos punts


120

mencionats. Aproximadament fa 11,45 m i amb aquesta dada (és el doble de l’apotema del

polígon) i el metre que mesura el costat del polígon podran calcular l’àrea.

A l’aula podrem comprovar com considerant un hipotètic cercle de 11,45 m de diàmetre, tant

la superfície d’aquest cercle com la longitud de la seva circumferència són pràcticament

iguals a la superfície i el perímetre del polígon que envolta la font.

El rectangle de la zona de jocs mesura 80 m per 3,78 m i per tancar-lo exactament amb

peces com la que hi ha col·locada que fa 1,94 m hauran de proposar diverses separacions

on hi haurà l’espai per entrar.


Es poden ampliar amb exercicis de càlcul: preu de les tanques, de la sorra, analitzar

diferents pressupostos o ofertes, etc.

A partir dels edificis com la Casa Ymbert d’estil neogòtic, com l’antiga estació de principis de

segle (es troba al davant de la plaça Pearson), com el de l’estació nova i com els moderns

que s’han edificat recentment es podrien dissenyar altres activitats.

També es podrien relacionar amb activitats de Visual i Plàstica, Tecnologia i Ciències

Socials.

OBSERVACIONS

El diàmetre de la font del nord de la plaça es pot mesurar tot i estar en funcionament. Serà

més complicat fer la mesura a la font gran si el sortidor està en funcionament (poques

vegades l’hem vist en marxa).


121

NIVELL BÀSIC n-29 (ESTACIÓ)

Activitat inicial

Entreu a l’estació i agafeu un horari per cada grup. Amb l’horari a la mà contesteu les

següents preguntes:

1. A quina hora passa el primer tren cap a Barcelona en un dia laborable?

2. A quina hora passa el primer tren cap a Terrassa en un dia festiu?

3. A quina hora he d’agafar el tren si hem d’estar un dijous a les 10 del matí a la plaça

de Catalunya de Barcelona?

4. Quants minuts triga el tren de Rubí a Terrassa?

5. I de Rubí a Sarrià ?

6. I de Rubí a plaça Catalunya?

7. Quants trens surten de Rubí cap a Terrassa entre les 2 i les 3 de la tarda en un dia

laborable?

8. I en un dia festiu?

Activitat principal

Planifiqueu l’horari d’una tarda de dissabte que heu d’anar al centre de Barcelona a

mirar botigues i fer unes compres.

Penseu a quina hora agafaríeu el tren, si voleu disposar de 2 hores i mitja per passejar

per Barcelona i a 2/4 de 10 heu de tornar a estar a casa.

Com ho podríeu fer per anar a comprar i al cinema la mateixa tarda?


122

NIVELL AVANÇAT n-30 (ESTACIÓ)

Activitat inicial

Entreu a l’estació i agafeu un horari per cada grup. Amb l’horari a la mà contesteu les

següents preguntes:

9. A quina hora passa el primer tren cap a Barcelona en un dia laborable?

10. A quina hora passa el primer tren cap a Terrassa en un dia laborable?

11. Quants trens surten de Rubí cap a Barcelona entre les 8 del matí i les 12 del migdia

en un dia laborable?

12. Quants trens surten de Rubí cap a Terrassa entre les 10 del matí i les 2 del migdia

en un dia festiu?

13. A quantes estacions diferents puc anar des de Rubí sense fer transbordament?

14. A quina hora surt l’últim tren de Barcelona cap a Rubí en un dia laborable?

15. Quant triga el tren de Rubí a Barcelona?

16. Quant triga el tren de Rubí a Terrassa?

17. Què he de fer per anar de Rubí a Sabadell?

18. I de Rubí a la plaça Molina?

Activitat principal

Imagineu-vos que teniu una prova mèdica a les 10 del matí a Terrassa (a l’Hospital

Mútua de Terrassa al carrer sant Antoni), després necessiteu fer unes compres a la plaça

Catalunya de Barcelona i a 2/4 de 5 de la tarda heu d’estar a la mútua de Terrassa de Rubí

amb els resultats de la prova del matí. Planifiqueu el vostre horari d’aquest dia, calculant

correctament el temps necessari per arribar als llocs puntualment, la previsió de la durada

de cada activitat, si passareu per casa a dinar, etc.


123

Guia per al professorat ACTIVITATS A L’ESTACIÓ DELS FGC 1. REALITZACIÓ Aquesta activitat es pot fer a la classe i podria desvincular-se totalment de l’itinerari

geomètric. La durada prevista és d’una hora.

2. MATERIAL ESPECÍFIC Es necessita un horari dels Ferrocarrils de la Generalitat per grup. Pel nivell bàsic poden

utilitzar també la cartellera dels cinemes del centre de Barcelona. Pel nivell avançat pot anar

bé un plànol de Terrassa o una guia del Vallès Occidental. A més del plànol del centre de

Rubí que ja hauran treballat.


L’objectiu que es pretén amb aquesta activitat és que l’alumnat aprengui a llegir i a

interpretar una taula horària i a fer càlculs amb el sistema sexagesimal.

Treballa:

- La lectura de l’horari per distingir entre el dels dies laborals i el dels dies festius.

- La interpretació de les abreviacions que fa l’horari en determinats intervals de temps.

- El càlcul del temps que triga el tren a fer un recorregut.

- El sistema horari català.

CONDICIONS PRÈVIES

Ens haurem d’assegurar que l’alumnat comprèn i utilitza l’escriptura digital de les hores i la

nomenclatura correcta per les 24 hores d’un dia.


Aquesta activitat està relacionada amb les subcompetències següents:



M3c Identificar les unitats estàndard de mesura de longitud, superfície, volum, pes,


M3e Seleccionar i utilitzar referències per estimar mesures.


124


M3 i Aprendre a fer conversions amb unitats del sistema sexagesimal.

AVALUACIÓ

A l’activitat inicial es comprovarà que hagin resolt totes les qüestions correctament. La

solució a les preguntes variarà segons els canvis de l’horari que fan anualment. En el càlcul

del temps que triga el tren a fer un determinat recorregut es pot preguntar com ho han

resolt.

A l’activitat principal es valoraran positivament els següents aspectes:

- comptar amb un marge raonable de temps des de que surten de casa fins arribar a

l’estació, comprar i validar el bitllet i baixar a l’andana.

- deixar clar a quina hora agafaran cada un dels trens necessaris. Si volen anar al cinema i

a comprar (nivell bàsic) hauran de sortir a primera hora de la tarda. Pot ajudar tenir la

cartellera d’algun diari per conèixer l’hora aproximada de les sessions de tarda i la durada

orientativa de les pel·lícules.

- l’explicació acurada de la seva planificació horària.


Les preguntes de l’activitat inicial poden ampliar-se tant com es vulgui en sessions

posteriors. Es poden escollir hores diferents de sortida i arribada dels trens per calcular

quan triga i veure diferents estratègies per solucionar-lo. Ens pot servir, escollint els horaris

adequats, per fer restes en el sistema sexagesimal.

Una activitat del mateix tipus es pot fer aprofitant alguna sortida que es faci amb transport

públic (tren i/o autobús). O es pot fer molt similar amb els horaris dels autobusos urbans que

ens permeten, al mateix temps, treballar més amb el plànol.


125

8. ALTRES ACTIVITATS Fitxes per a l’alumnat NIVELL AVANÇAT n-31 (PORTES CASTELL I ESGLÉSIA)

Activitat inicial Observeu les dues portes. Sabeu de quins edificis són?

Sabríeu dir en quina època han estat construïts?

Situeu l’estil arquitectònic corresponent.

En què s’assemblen ? En què es diferencien ?

Activitat principal En aquest exercici es tracta que dibuixeu les dues portes guardant la proporcionalitat

corresponent. Penseu primer quins instruments són necessaris per fer el dibuix.

Quines figures geomètriques heu dibuixat?

Quina relació hi ha entre l’amplada de la porta i la longitud de l’arc?

Quants eixos de simetria es poden trobar en cada figura?

Fixeu-vos ara en els marcs de les portes. Feu també el dibuix. En què s’assemblen? En què

es diferencien?


126

(AVINGUDA DE CAN CABANYES) n-32

Activitat inicial Observeu les rajoles de la vorera de l’avinguda de Can Cabanyes (sortint de l’estació pel

darrera cap a la dreta) i feu una descripció el més detallada possible dels elements

geomètrics que hi podeu veure.

- Quina forma té cada rajola?

- Quantes rajoles diferents s’hi poden veure? Com estan col·locades?

- Quin és el motiu mínim (diferent a una rajola) que ens permet dibuixar el mosaic?

Activitat principal

Dibuixeu polígons que permetin dissenyar diferents mosaics per enrajolar un terra.


127

NIVELL BÀSIC n-33 (CASA EN CONSTRUCCIÓ)

Activitats

1. Observeu aquesta construcció. Descriviu com és (forma, plantes, teulada...).

2. Quantes parets exteriors han construït? Quantes se’n poden veure a la foto?

3. Quines formes tenen les finestres? Imagineu-vos com hauran de ser els vidres que

posaran (penseu que les finestres s’han de poder obrir). Dibuixeu-les en el full.

4. Construïu en cartolina un poliedre que tingui la mateixa forma que la casa sense la

teulada.

5. Observant la foto detallada busqueu quins cossos geomètrics necessiteu construir

per fer la teulada.


128

NIVELL AVANÇAT n-34 (MONUMENT SIRENA)

Activitat inicial - Quina forma té aquest monument?

- Com està realitzat? S’ha de descriure la forma i els colors que tenen les peces del mosaic.

- Quantes peces creieu que han necessitat per fer el monument? (Primer doneu una

quantitat a cop d’ull i després penseu si es pot realitzar un càlcul aproximat).

- Quina alçada deu fer? Com podem mesurar exactament l’alçada?

Activitat principal Per canvis a la plaça on està ubicada s’ha d’emmagatzemar durant un cert temps en una

nau industrial. Per poder-ho fer s’ha d’embolicar amb un plàstic protector de 2 cm de gruix,

es tallarà per la base amb la maquinària corresponent i s’ha de construir una caixa en forma

de prisma quadrangular on encaixi perfectament sense malversar espai.

Calculeu les dimensions de la caixa i la quantitat de plàstic protector necessari per

embolicar el monument.


129

NIVELL AVANÇAT n-35 (TERME MUNICIPAL)

Activitats

- Aquest és el terme municipal de Rubí. Considerant que les parts en color són les

urbanitzades, calculeu aproximadament el percentatge del territori no urbanitzat.

- Esbrineu la superfície de Rubí i el nombre d’habitants censats. Calculeu la densitat

de població.

- Com podríem saber el perímetre del terme municipal?

Passos necessaris:

- Quadricular el territori per poder distingir quantes parts estan en color i quantes en

blanc.

- Segmentar el contorn per obtenir una aproximació a la mesura del perímetre.


130

Taula-resum de les activitats de l’itinerari geomètric per Rubí:

NIVELL BÀSIC NIVELL AVANÇAT

ACTIVITATS INTRODUCTÒRIES

0.1. Paral·leles i perpendiculars 0.2. Barri Castell 0.3. Triangle 0.4. Quadrilàter 0.5. CEIP Montessori 0.6. Graella polar n-1 Plànol centre

PLAÇA CATALUNYA

n-2 Arbres n-5 Vistes font n-6 Fanal casino n-7 Punts cardinals

n-3 Dibuix cercles n-4 Dibuix a escala n-8 Volum font n-9 Pirulí

PLAÇA Dr GUARDIET

n-10 Escenari n-13 Façana Església n-14 Grades n-16 Jardinera flors

n-11 Escenari n-12 Campanar n-15 Cúpula

PLAÇA SALVADOR

ALLENDE

n-17 Bancs n-19 Diversos conceptes n-21 Terra fusta

n-18 Enrajolat n-20 Cobert n-22 Porta pàrquing

PLAÇA Dr PEARSON i ESTACIÓ

n-24 Cabina telefònica n-26 Font de beure n-29 Horari

n-25 Font sortidor n-27 Tanca zona jocs n-28 Sorrals n-30 Horari

VORERES

n-23 Avinguda Barcelona

n-32 Avinguda de Can Cabanyes

ALTRES ACTIVITATS

n-33 Casa en construcció

n-31 Portes n-34 Monument sirena n-35 Terme municipal


131

Documents

COMPETÈNCIES BÀSIQUES EN MATEMÀTIQUES ...dues parts. En la primera s’estableix un diagnòstic de la situació de l’ensenyament-aprenentatge de la Geometria en un ampli espectre