Upload
thinkiit
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/12/2019 Complex Number Theory_E
1/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 6
Hlkpjcx Eukocrs
Pnc h lkpj cx euko cr sy stckDe`dfe kftnckftdhdfe Kfnfvdrf (>32 F.@.) wfs idrst tl kcetdle de nds wlra 'Gfedtfsfrf Xfegrfnf'1 'Fs de
efturc li tndegs f ecgftdvc (qufetdty) ds elt f squfrc (qufetdty), dt nfs, tncrcilrc, el squfrc rllt'. Ncehc
tncrc ds el rcfj eukocr x wndhn sftdsidcs tnc pljyelkdfj cquftdle x? + 6 ; 2.
F syk olj 6 , `celtc` oy jcttcr d wfs detr`luhc` oy Xwdss Kftnckftdhdfe, Jclenfr` Cujcr
(6727-67>8) de 670> tl prlvd`c sljutdles li cquftdle x ? + 6 ; 2. d wfs rcgfr`c` fs f idhtdtdlus lr
dkfgdefry eukocr wndhn hluj` oc kfedpujftc` fjgcordhfjjy jdac fe lr`defry rcfj eukocr, cxhcpt tnft dts
squfrc wfs 6. Pnc jcttcr d wfs usc` tl `celtc 6 , plssdojy ochfusc d ds tnc idrst jcttcr li tnc Jftde
wlr` 'dkfgdefrdus'.
Pl pcrkdt sljutdles li suhn pljyelkdfj cquftdles, tnc sct li hlkpjcx eukocrs ds detrl`uhc`. Wc hfe
hlesd`cr f hlkpjcx eukocr fs nfvdeg tnc ilrk f + od wncrc f fe` o frc rcfj eukocr. Dt ds `celtc` oy
z d.c. z ; f + do. f ds hfjjc` fs rcfj pfrt li z wndhn ds `celtc` oy (_c z) fe` o ds hfjjc` fs dkfgdefrypfrt li z, wndhn ds `celtc` oy (Dk z).
Fey hlk pjcx eukocr ds =
(d) Rurcjy rcfj, di o ; 2 1
( dd) Dkfgdefry, di o 2.(ddd) Rurcjy dkfgdefry, di f ; 2
Eltc = (f) Pnc sct _ li rcfj eukocrs ds f prlpcr suosct li tnc Hlkpjcx Eukocrs. Ncehc tnc hlkpjctc
eukocr systck ds E W D V _ H.(o) ]crl ds purcjy rcfj fs wcjj fs purcjy dkfgdefry out elt dkfgdefry.
(h) d ; 6 ds hfjjc` tnc dkfgdefry uedt.
Fjsl d ; 61 d8 ; d 1 d0 ; 6 cth.
(`) f o ; f o lejy di ftjcfst lec li f lr o ds ele - ecgftdvc.
(c) Di z ; f + do, tnce f do ds hfjjc` hlkpjcx hlemugftc li z fe` wrdttce fs z ; f do
(i) _cfj eukocrs sftdsiy lr`cr rcjftdles wncrc fs dkfgdefry eukocrs `l elt sftdsiy lr`cr rcjftdles
d.c. d 5 2, 8 + d : ? frc kcfedegjcss.
Xcji Rrfhtdhc Rrlojcks
(6) Wrdtc tnc iljjlwdeg fs hlkpjcx eukocr
(d) 69 (dd) x , (x 5 2) (ddd) o + fh0 , (f, h5 2)
(?) Wrdtc tnc iljjlwdeg fs hlkpjcx eukocr
(d) x (x : 2) (dd) rllts li x? (? hls) x + 6 ; 2
Feswcrs = (6) (d) 2 + 0d (dd) x + 2d (ddd) o + d fh0
(?) (d) 2 + d x (dd) hls + d sde , hls d sde
8/12/2019 Complex Number Theory_E
2/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" ?
Fjgcorfdh Lpcrftdles=Iue`fkcetfj lpcrftdles wdtn hlkpjcx eukocrs
De pcrilrkdeg lpcrftdles wdtn hlkpjcx eukocrs wc hfe prlhcc` fs de tnc fjgcorf li rcfj eukocrs,
rcpjfhdeg d? oy 6 wnce dt lhhurs.
6. F``dtdle (f + od) + (h + `d) ; f + od + h + `d ; (f + h) + (o + `) d
?. Xuotrfhtdle (f + od ) (h + `d) ; f + od h `d ; (f h ) + (o `) d
8. Kujtdpj dhftdle (f + od) (h + `d) ; fh + f`d + ohd + o`d? ; (fh o`) + (f`+ oh)d
0. @dvdsdle`dh
odf
;`dh
odf
.`dh
`dh
; ???
?
d`h
o`dohdf`dfh
; ?? `h
d)f`oh(o`fh
; ?? `h
o`fh
+ d
`h
f`oh??
Decqufjdtdcs de dkfgdefry eukocrs frc elt `cidec`. Pncrc ds el vfjd`dty di wc sfy tnft dkfgdefry eukocr
ds plsdtdvc lr ecgftdvc.
c.g. z 5 2, 0 + ?d : ? + 0 d frc kcfedegjcss.
De rcfj eukocrs di f? + o? ; 2 tnce f ; 2 ; o nlwcvcr de hlkpjcx eukocrs,
z6
? + z?
? ; 2 `lcs elt dkpjy z6
; z?
; 2.
Cxfkpjc # 6 = Ide` kujtdpjdhftdvc devcrsc li 8 + ?d.
Xljutdle = Jct z oc tnc kujtdpjdhftdvc devcrsc li 8 + ?d. tnce
z . (8 + ?d) ; 6
z ;d?8
6
; d?8d?8
d?8
z ;68
8
68
?d
d68
?
68
8Fes.
Xcji Rrfhtdhc Rrlojck =
(8) Xdk pjdiy de+622 + de+32 + de+0> + de+09 , e .
Feswcr = 2
Cqufjdty De Hlkpjcx Eukocr =Pwl hlkpjcx eukocrs z6; f6 + do6& z?; f? + do?frc cqufj di fe` lejy di tncdr rcfj fe` dkfgdefry pfrts
frc cqufj rcspchtdvcjy
d.c. z6 ; z? _c(z6) ; _c(z?) fe` k( z6) ;k (z?).
Cxfkpjc # ? = Ide` tnc vfjuc li x fe` y ilr wndhn (? + 8d) x? (8 ?d) y ; ?x 8y + 3d wncrc x, y _ .Xljutdle (? + 8d)x? (8 ?d)y ; ?x 8y + 3d
?x? 8y ; ?x 8y x? x ; 2 x ; 2, 6 fe` 8x? + ?y ; 3
di x ; 2,y ;?
3fe` di x ; 6, y ; 6
x ; 2, y ;?
3fe` x ; 6, y ; 6
frc twl sljutdles li tnc gdvce cquftdle wndhn hfe fjsl oc rcprcscetc` fs
?
3,2 & (6, 6)
?
3,2 , (6, 6)
8/12/2019 Complex Number Theory_E
3/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 8
Cxfkpjc # 8 = Ide` tnc vfjuc li cxprcssdle x0 0x8 + 8x? ?x + 6 wnce x ; 6 + d ds f ifh tlr li cxpr cssdle.
Xljutdle = x ; 6 + d
x 6 ; d (x 6)? ; 6 x? ?x + ? ; 2Elw x0 0x8 + 8x? ?x + 6
; (x? ?x + ?) (x? 8x 8) 0x + 7
wnce x ; 6 + d d.c. x? ?x + ? ; 2x0 0x8 + 8x? ?x + 6 ; 2 0 (6 + d) + 7 ; 0 + 7 0d ; 8 0d
Cxfkpjc # 0 = Xljvc ilr z di z? + |z| ; 2
Xljutdle = Jct z; x + dy
(x + dy)? + ?? yx ; 2
x? y? + ?? yx ; 2 fe` ?xy ; 2
x ; 2 lr y ; 2wnce x ; 2 y? + | y | ; 2
y ; 2, 6, 6
z ; 2, d , dwnce y ; 2 x? + | x | ; 2
x ; 2 z ; 2Fes. z ; 2, z ; d , z ; d
Cxfkpjc # 3 = Ide` squfrc rllt li 4 + 02d
Xljutdle = Jct x + dy ; d024 (x + dy)? ; 4 + 02d
x? y? ; 4 ...............(d)fe` xy ; ?2 ...............(dd)
squfrdeg (d) fe` f``deg wdtn 0 tdkcs tnc squfrc li (dd)
wc gct x0 + y0 ?x? y? + 0x? y? ; >6 + 6922
(x? + y?)? ; 69>6 x? + y? ; 06 ...............(ddd)irlk (d) + (dd d) wc gct x? ; ?3 x ; 3
fe` y? ; 69 y ; 0irlk cquftdle (dd) wc hfe scc tnft
x & y frc li sfkc sdge
x + dy ; (3 + 0d) lr (3 + 0d) sq. rllts li f + 02d ; (3 + 0d)Fes. (3 + 0d)
Xcji Rrfhtdhc Rrlojck
(0) Xljvc ilr z = z ; d z?
(3) Gdvce tnft x, y _, sljvc = 0x + 8xy + (?xy 8x)d ; 0y (x?/?) + (8xy ?y)d
Feswcrs = (0) ?
8
?
6d, 2, d (3) x ; A, y ;
8
?
AA _
_cprcscetftdle li f h lkp jcx euk ocr =Cfrjy de tnc 64 tn hcetury, Afrj Irdc`rdhn Gfuss (6777 6>33) fe` Wdjjdfk _lwfe Nfkdjtle(6>23 6>93) de`cpce`cetjy fe` fjklst sdkujtfeclusjy prlplsc` d`cf li `cidedeg hlkpjcx eukocr fs
lr`crc` pfdr li rcfj eukocrs. d.c. f + do ; (f, o)
8/12/2019 Complex Number Theory_E
4/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 0
Pl cfhn hlkpjcx eukocr tncrc hlrrcsple`s lec fe` lejy lec pldet de pjfec, fe` hlevcrscjy tl cfhn
pldet de tnc pjfec tncrc hlrrcsple`s lec fe` lejy lec hlkpjcx eukocr. Ochfusc li tnds wc litce rcicr
tl tnc hlkpjcx eukocr z fs tnc pldet z.
(f) H fr tc sd fe I lr k G cl kc t rd h _ cp rc sc et ft dl e) =Cvcry hlkpjcx eukocr z ; x + d y hfe oc rcprcscetc` oy f pldet le tnc Hfrtcsdfe pjfec
aelwe fs hlkpjcx pjfec (Frgfe` `dfgrfk) oy tnc lr`crc` pfdr (x, y).
Jcegtn LR ds hfjjc` kl`ujus li tnc hlkpjcx eukocr wndhn ds `celtc` oy z & ds hfjjc` tncfrgukcet lr fkpjdtu`c.
z; x y? ? fe` tfe ;
x
y(fegjc kf`c oy LR wdtn plsdtdvc xfxds)
Eltc = (d) Frgukcet li f hlkpjcx eukocr ds f kfey vfjuc` iuehtdle. Di ds tnc frgukcet li f hlkpjcx
eukocr tnce ?e +1 e D wdjj fjsl oc tnc frgukcet li tnft hlkpjcx eukocr. Fey twlfrgukcets li f hlkpjcx eukocr `diicr oy ?e
(dd) Pnc uedquc vfjuc lisuhn tnft : ds hfjjc` tnc prdehdpfj vfjuc li tnc frgukcet.
Sejcss ltncrwdsc stftc`, fkp z dkpjdcs prdehdpfj vfjuc li tnc frgukcet.
(ddd) Oy spchdiydeg tnc kl`ujus & frgukcet f hlkpjcx eukocr ds cidec` hlkpjctcjy. Ilr tnc hlkpjcx
eukocr 2 + 2 d tnc frgukcet ds elt `cidec` fe` tnds ds tnc lejy hlkpjcx eukocr wndhn ds lejy
gdvce oy dts kl`ujus.
(o) Pr d gelkc tr dh/Rlj fr _ cprcsc etft dle =z ; r (hls + d sde) wncrcz; r1 frg z ; 1z ; r (hls d sde)
Eltc = h ls + d sde ds fjsl wrdttce fs HdX
(h) Cujcr s Ilrkujf =z ; rcd, |z| ; r, frg z ;
z ; drc
Rrlli li tnds ilrkujf ds ocyle` shlpc li prcscet `dshussdle.F ncurdstdh prlli scrvdeg fs kltdvftdle
ilr tnds ilrkujf ds oy hlesd`crdeg cxpfesdle.
cx ; 6 +!6
x+
!?
x?
+!8
x8
+ ..........
put x ; d
cd
.......
!0!?6
0?
+ d
.......
!3!8
38
; hls + d sde.
Eltc= Di ds rcfj tnce
hls ;?
cc dd
sde ;d?
cc dd
8/12/2019 Complex Number Theory_E
5/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 3
(`) Y ch t lr df j _ cp rc sc et ft dl e =Cvcry hlkpjcx eukocr hfe oc hlesd`crc` fs tnc plsdtdle vchtlr li f pldet. Di tnc pldet R
rcprcscets tnc hlkpjcx eukocr z tnce, LR
; z & LR
;z
Fgrukcet li f Hlkpjcx Eukocr =Frgukcet li f ele-zcrl hlkpjcx euk ocr R(z) ds `celtc` fe` `ci dec` oy frg(z) ; fegjc wndhn LR
kfacs wdtn tnc plsdtdvc `drchtdle li rcfj fxds.
Di LR ; |z| ; r fe` frg(z) ;, tnce lovdlusjy z ; r(hls+ dsde), hfjjc` tnc pljfr ilrk li z. 'Frgukcet liz' wluj` kcfe prdehdpfj frgukcet li z(d.c. frgukcet jydeg de ( , [ uejcss tnc hletcxt rcqudrcsltncrwdsc. Pnus frgukcet li f hlkpjcx eukocr z ; f + do ; r(hls + dsde) ds tnc vfjuc li sftdsiydegrhls; f fe` rsde; o.
Jct ; tfe6f
o
(d) f 5 2, o 5 2 p.v. frg z ;
(dd) f ; 2, o 5 2 p.v. frg z ;?
(ddd) f : 2, o 5 2 p.v. frg z ;
(dv) f : 2, o ; 2 p.v. frg z ;
(v) f : 2, o : 2 p.v. frg z ; ()
8/12/2019 Complex Number Theory_E
6/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 9
(vd) f ; 2, o : 2 p.v. frg z ; ?
(vdd) f 5 2, o : 2 p.v. frg z ;
(vddd) f 5 2, o ; 2 p.v. frg z ; 2
Cxfkpjc # 9 = Cxprcss tnc hlkpjcx eukocr z ; 6 + ?d de pljfr ilrk.
Xljutdle. z ; 6 + d ?
| z | ; ?? ?)6( ; ?6 ; 8
Frg z ; tfe6
6
?
; tfe6 )?( ; (sfy)
z ; 8 (hls + d sde ) wncrc ; tfe6 ?
Xcji Rrfhtdhc Rrlojcks
(9) Ide` tnc prdehdpfj frgukcet fe` |z|. Di z ;d?
)d4(d
(7) Ide` tnc |z| fe` prdehdpfj frgukcet li tnc hlkpjcx eukocr z ; 9(hls 862 d sde 862)
Feswcrs = (9) tfe666
67,
3
>?(7) 9, 32
G cl kc tr dhfj _ cp rc sc etft dl e l i Iu e` fkcetfj L pc rftd les =(d) G clkctr dhfj rc prc sc etft dle li f``d t dle.
8/12/2019 Complex Number Theory_E
7/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 7
Di twl pldets R fe` V rcprcscet hlkpjcx eukocrs z6fe` z?rcspchtdvcjy de tnc Frgfe` pjfec, tnce tnc
suk z6 + z? ds rcprcscetc` oy tnc cxtrckdty _ li tnc `dfglefj L_ li pfrfjjcjlgrfk LR_V nfvdeg
LR fe` LV fs twl f`mfhcet sd`cs.
(dd) G clkctr dh rc prc sc etft dle li suostrfhtd le.
(ddd) K l` ujus f e` fr guk cet l i k ujt dp jd hf tdl e l i t wl h lkp jc x e uko cr s.Pnclrck = Ilr fey twl hlkpjcx eukocrs z6, z? wc nfvc |z6z?| ; |z6| |z?| fe`
frg (z6z?) ; frg (z6) + frg (z?).
Rrlli = z6 ; r6 6d
c
, z? ; r? ?d
c
z6z?; r?r?)(d ?6c
|z6z?| ; |z6| |z?|frg (z6z?) ; frg (z6) + frg (z?)
d.c. tl kujtdpjy twl hlkpjcx eukocrs, wc kujtdpjy tncdr fosljutc vfjucs fe` f`` tncdr
frgukcets.
Eltc = (d) R.Y. frg (z6z?) R.Y. frg (z6) + R.Y. frg (z?)(dd) |z6 z? .... ze| ; |z6| |z?| ..... |ze|
(ddd) frg (z6z? .... ze) ; frg z6 + frg z? + ..... + frg ze
(dv) G cl kc tr dh fj r cp rc sc et ft dl e l i k uj td pj dh ft dl e l i h lk pj cx e uk oc rs .Jct R, V oc rcprcscetc` oy z6 ; r6 6dc , z? ; r? ?dc rcpchtdvcjy. Pl ide` pldet _ rcprcscetdeghlkpjcx eukocr z6z?, wc tfac f pldet J le rcfj fxds suhn tnft LJ ; 6 fe` `rfw trdfegjc LV_
sdkdjfr tl trdfegjc LJR. Pncrcilrc
LV
L_
; LJ
LR
L_ ; LR.LV d.c. L_ ; r 6r? fe` _L
V ;6
_LJ ; RLJ + VLR + _LV ;6+ ? 6 + 6 ; 6 + ?Ncehc, _ ds rcprcscetc` oy z6z?; r6r?
)(d ?6c
(v) Kl`ujus fe` fr gukcet li `dvdsdle li twl hlkpjcx eukocrs .
Pnclrck = Di z6 f e ` z? (2) frc tw l h lkpj cx eukocrs , tnce?
6
z
z;
|z|
|z|
?
6fe `
frg
?
6
z
z; frg (z6) frg (z?)
Eltc = R.Y. frg
?
6
z
z R.Y. frg (z6) R.Y. frg (z?)
8/12/2019 Complex Number Theory_E
8/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" >
(vd) G cl kct rdh fj r cp rcs cet ft dl e l i t nc ` dv ds dl e l i h lk pjc x e uko cr s.
Jct R, V oc rcprcscetc` oy z6 ; 6d
6cr , z? ;
?d?cr
rcspchtdvcjy. Pl ide` pldet _ rcprcscetdeg
hlkpjcx eukocr?
6
z
z, wc tfac f pldet J le rcfj fxds suhn tnft LJ ; 6 fe` `rfw f trdfegjc LR_
sdkdjfr tl LVJ. PncrcilrcLVLR ;
LJL_ L_ ;
?
6rr
fe` _LJ ; RLJ RL_ ;6 ?
Ncehc, _ ds rcprcscetc` oy?
6
z
z;
?
6
r
r )(d ?6c .
Hlemugftc li f hlkpjcx Eukocr =
Hlemugftc li f hlkpjcx eukocr z ; f + do ds `celtc` fe` `cidec` oy z ; f do.De f hlkpjcx eukocr di wc rcpjfhc d oy d, wc gct hlemugftc li tnc hlkpjcx eukocr. z ds tnc kdrrlr
dkfgc li z folut rcfj fxds le Frgfe`'s Rjfec.
G cl kc tr dh fj r cp rc sc et ft dl e l i h le mu gf tc l i h lk pj cx e uk oc r.|z| ; |z|
frg )z( ; frg (z)
Gcecrfj vfjuc li frg )z( ; ?e R.Y. frg (z)
Rrlpcrtdcs(d) Di z ; x + dy, tnce x ;
?
zz , y ;
d?
zz
(dd) z ; z z ds purcjy rcfj
(ddd) z + z ; 2 z ds purcjy dkfgdefry
(dv) _cjftdle octwcce kl`ujus fe` hlemugftc. |z|? ; z z
(v) zz
(vd) )zz( ?6 ; 6z ?z
(vdd) )zz( ?6 ; 6z ?z
(vddd)
?
6
z
z;
)z(
)z(
?
6(z? 2)
Pnclrck = Dkfgdefry rllts li pljyelkdfj cquftdles wdtn rcfj hlciidhdcets lhhur de hlemugftc
pfdrs
Rrlli = Di z2 ds f rllt li f2ze + f6z
e6 + ...... + fe6 z + fe; 2,
f2, f6, ....... fe _, tnce e
22zf + 6e
26zf + ....... + fe6 z2 + fe ; 2
Oy usdeg prlpcrty (vd) fe` (vdd) wc nfvc e22zf + 6e
26zf + ....... + 26e zf + fe; 2
2z ds fjsl f rllt.
8/12/2019 Complex Number Theory_E
9/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 4
Eltc = Di w ; i(z), tnce w ; i( z )
Pnclrck = |z6 z?|? ; |z6|
? + |z?|? (z6 ?z + 6z z?)
; |z6|? + |z?|
? ? _c(z6 ?z )
; |z6|? + |z?|
? ? |z6| |z?| hls (6 ?)
Cxfkpjc # 7 = Di6z6z ds purcjy dkfgdefry, tnce prlvc tnft | z | ; 6
Xljutdle = _c
6z
6z; 2
6z
6z
+
6z
6z; 2
6z
6z
+6z
6z
; 2
z z z + z 6 + z z z + z 6 ; 2
z z ; 6
| z |? ; 6 | z | ; 6 Ncehc prlvc`
Xcji Rrfhtdhc Rrlojck
(>) Di ?6
?6
zz?
z?z
ds uedkl`ujus fe` z?ds elt uedkl`ujus tnce ide` |z6|.
(4) Di z ; x + dy fe` i( z) ; x? y? ?y + d(?x ?xy), tnce snlw tnft i(z) ; ?z + ?dz
(62) Di x + dy ;d`hdof
prlvc tnft (x? + y?)? ; ??
??
`hof
Feswcr = (>) |z6| ; ?
@ dstfehc, Pr d feg uj fr Decqu fj d tyDi z6 ; x6 + dy6, z? ; x? + dy? , tnce `dstfehc octwcce pldets z6, z? de frgfe` pjfec ds
|z6 z?| ; ?
?6?
?6 )yy()xx(
De trdfegjc LFH
LH LF + FHLFFH + LHFH LF + LH
usdeg tncsc de cqufjdtdcs wc nfvc ||z 6| |z?|| |z6+ z?| |z6| + |z?|Xdkdjfrjy irlk trdfegjc LFO
wc nfvc ||z6| |z?|| |z6 z?| |z6| + |z?|
Eltc = (f) ||z6| |z?|| ; |z6 + z?|, |z6 z?| ; |z6| + |z?| dii lrdgde, z6 fe` z? frc hljjdecfr fe` lrdgde jdcs
octwcce z6fe` z?.
(o) |z6 + z?| ; |z6| + |z?|, ||z6| |z?|| ; |z6 z?| dii lrdgde, z6 fe` z? frc hljjdecfr fe` z6 fe` z? jdcs
le tnc sfkc sd`c li lrdgde.
8/12/2019 Complex Number Theory_E
10/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 62
Cxfkpjc # > = Di |z 3 7d| ; 4, tnce ide` tnc grcftcst fe` jcfst vfjucs li |z ? 8d|.
Xljutdle = Wc nfvc 4 ; |z (3 + 7d)| ; `dstfehc octwcce z fe` 3 + 7d.
Pnus jlhus li z ds tnc hdrhjc li rf`dus 4 fe` hcetrc ft 3 + 7d. Ilr suhn f z (le tnc hdrhjc), wc
nfvc tl ide` dts grcftcst fe` jcfst `dstfehc fs irlk ? + 8d, wndhn lovdlusjy 60 fe` 0.
Cxfkpjc # 4 = Ide` tnc kdedkuk vfjuc li |6 + z| + |6 z|.
Xljutdle |6 + z| + |6 z| |6 + z + 6 z| ( tr dfegjc d ecqufjdty) |6 + z | + |6 z| ? kdedkuk vfjuc li (|6 + z| + |6 z|) ; ?Gclkctrdhfjjy |z + 6| + |6 z| ; |z + 6| + |z 6|
wndhn rcprcscets suk li `dstfehcs li z irlk 6 fe` 6
dt hfe oc scce cfsdjy tnft kdedkuk (RF + RO) ; FO ; ?
Cxfkpjc # 62 =z
?z ; 6 tnce ide` tnc kfxdkuk fe` kdedkuk vfjuc li |z|
Xljutdle =z
?z ; 6
z
?|z|
?
?z | z | +
z
?
Jct | z | ; r
r
?r 6 r +
r
?
r +r
?6 r _+ ..............(d)
fe`r
?r 6 6 r
r
?6
r Q6, ?[ ..............(dd) irlk (d) fe` (dd) r Q6, ?[r Q6, ?[
Fes. |z|kfx ; ?, |z|kde ;6
Xcji Rrfhtdhc Rrlojck
(66) |z 8| : 6 fe` |z 0d| 5 K tnce ide` tnc plsdtdvc rcfj vfjuc li K ilr wndhn tncsc cxdst ft jcfst
lec hlkpjcx eukocr z sftdsiy oltn tnc cquftdle.
(6?) Di z jdcs le hdrhjc |z| ; ?, tnce snlw tnft 8z0z
6
?0 8
6
Feswcr = (66) K (2, 9)
_ltftdleD kp lr tfe t r cs ujt s =(d) frg z ; rcprcsects pldets (ele-zcrl) le rfy ckdeftdeg irlk lrdgde kfadeg fe fegjc wdtn
plsdtdvc `drchtdle li rcfj fxds
8/12/2019 Complex Number Theory_E
11/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 66
(dd) frg (z z6) ;rcprcscets pldets (z6) le rfy ckdeftdeg irlk z6kfadeg fe fegjcwdtn plsdtdvc`drchtdle li rcfj fxds
Cxfkpjc # 66 = Xljvc ilr z, wndhn sftdsiy Frg (z 8 ?d) ;9
fe` Frg (z 8 0d) ;
8
?.
Xljutdle = Irlk tnc idgurc, dt ds hjcfr tnft tncrc ds el z, wndhn sftdsiy oltn rfy
Cxfkpjc # 6? =Xacthn tnc rcgdle gdvce oy
(d) Frg (z 6 d) /8(dd) |z| 3 & Frg (z d 6) 5/9
Xljutdle =
(d)
(dd)
Xcji Rrfhtdhc Rrlojcks
(68) Xacthn tnc rcgdle gdvce oy
(d) |Frg (z d ?)| :/0 (dd) Frg (z + 6 d) /9
(60) Hlesd`cr tnc rcgdle |z 63d| 62. Ide` tnc pldet de tnc rcgdle wndhn nfs(d) kfx |z| (dd) kde |z|
(ddd) kfx frg (z) (dv) kde frg (z)
Feswcrs = (68) (d) (dd)
(60) (d) ?3d (dd) 3 d (ddd) tfe6?
3(dv) tfe6
?
3
8/12/2019 Complex Number Theory_E
12/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 6?
_ltftdle tnclrck =
(d) Di R(z6) fe` V(zz) frc twl hlkpjcx eukocrs suhn tnft |z6| ; |z?|, tnce z?; z6cd wncrc ; RLV
(dd) Di R(z6), V(z?) fe` _(z8) frc tnrcc hlkpjcx eukocrs fe` RV_ ;, tnce
?6
?8
zz
zz;
?6
?8
zz
zz
cd
(ddd) Di R(z6), V(z?), _(z8) fe` X(z0) frc ilur hlkpjcx eukocrs fe`XPV ;, tnce?6
08
zz
zz
;?6
08
zz
zz
cd
Cxfkpjc # 68 =Di frg
6z
6z;
8
tnce detcrprct tnc jlhus.
Xljutdle = frg
6z
6z;
8
frg
z6
z6
; 8
Ncrc frg
z6
z6rcprcscets tnc fegjc octwcce jdecs mldedeg 6 fe` z, fe` 6 fe` z. Fs tnds
fegjc ds hlestfet, tnc jlhus li z wdjj oc f jfrgcr scgkcet li hdrhjc. (fegjc de f scgkcet ds
hlestfet).
Cxfkpjc # 60 =Di F(? + 8d) fe` O(8 + 0d) frc twl vcrtdhcs li f squfrc FOH@ (tfac de fetdhjlha wdsc lr`cr) tnce
ide` H fe` @.
Xljutdle = Jct fiidx li H fe` @ frc z8fe` z0rcspchtdvcjy.
Hlesd`crdeg@FO ; 42 fe` F@ ; FO
wc gct)d8?()d08(
)d8?(z0
; ?d
cFO
F@
z0 (? + 8d) ; (6 + d) d z0 ; ? + 8d + d 6 ; 6 + 0d
fe`)d08()d8?(
)d08(z8
; ?d
c
FO
HO
z8 ; 8 + 0d (6 + d) (d)z8 ; 8 + 0d + d 6 ; ? + 3d
8/12/2019 Complex Number Theory_E
13/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 68
Xcji Rrfhtdhc Rrlojcks
(63) z6, z?, z8, z0frc tnc vcrtdhcs li f squfrc tface de fetdhjlhawdsc lr`cr tnce prlvc tnft
?z? ; (6 + d) z6 + (6 d) z8
(69) Hncha tnft z6z?fe` z8z0frc pfrfjjcj lr, elt
wncrc, z6 ; 6 + d z8 ; 0 + ?d
z? ; ? d z0 ; 6 d
(67) R ds f pldet le tnc frgfe` `dfgrfk le tnc hdrhjc wdtn LR fs `dfkctcr, twl pldet V fe` _ frc
tface suhn tnft RLV ;VL_ ; Di L ds tnc lrdgde fe` R, V, _ frc rcprcscetc` oy hlkpjcxz6, z?, z8 rcspchtdvcjy tnce snlw tnft z?
? hls ? ; z6z8hls ?
(6>) Di f, o, h 1 u, v, w frc hlkpjcx eukocrs rcprcscetdeg tnc vcrtdhcs li twl trdfegjcs suhn tnft
h ; (6 r) f + ro, w ; (6 r) u + rv wncrc r ds f hlkpjcx eukocr snlw tnft tnc twl trdfegjcs frc
sdkdjdfr.
Feswcrs = (69) z6z?fe` z8z0frc elt pfrfjjcj.
@ckldvrcs Pnclrck=HfscXtftckcet =
Di e ds fey detcgcr tnce
(d) (hls + d sde ) e ; hls e + d sde e(dd) (hls6 + d sde6) (hls? + d sde?) (hls8 + d sde?) (hls8 + d sde8) .....(hlse + d sdee)
; hls (6 + ? + 8 + .........e) + d sde (6 + ? + 8 + ....... +e)
HfscXtftckcet = Di p, q ] fe` q 2 tnce
(hls + d sde)p/q ; hls
q
pa?+ d sde
q
pa?
wncrc a ; 2, 6, ?, 8, ......, q 6
Eltc = Hletdeuc` prl`uht li tnc rllts li f hlkpjcx qufetdty snluj` oc `ctcrkdec` usdeg tnclry li cquftdles.
Xcji prfhtdhc prlojcks =
(64) Rrlvc tnc d`cetdtdcs =
(f) hls 3; 69 hls3 ?2 hls8 + 3 hls1 (o) (sde 3) / (sde) ; 69 hls0 6? hls? + 6,di 2, , ?.........
(?2) Rrlvc tnft de`ctdtdcs (f) sde8;0
8sde
0
6sde 8, (o) hls0;
>
6hls 0+
?
6hls ? +
>
8
Huoc _llt li Sedty =
(d) Pnc huoc rllts li uedty frc 6, 6 8
?
d, 6 8
?
d.
(dd) Di ds lec li tnc dkfgdefry huoc rllts li uedty tnce 6 + + ; 2. De gcecrfj 6 + r +?r ; 21wncrc r out ds elt tnc kujtdpjc li 8.
(ddd) De pljfr ilrk tnc huoc rllts li uedty frc =
hls 2 + d sde 21 hls?
8
+ d sde
?
8
, hls
0
8
+ d sde
0
8
8/12/2019 Complex Number Theory_E
14/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 60
(dv) Pnc tnrcc huoc rllts li uedty wnce pjlttc` le tnc frgfe` pjfec hlestdtutc tnc vcrtdcs li fe
cqudjftcrfj trdfegjc.
(v) Pnc iljjlwdeg ifhtlrdsftdle snluj` oc rckckocrc` =
(f, o, h _ & ds tnc huoc rllt li uedty)f8 o8 ; (fo) (f o) (f o) 1 x? + x + 6 ; (x ) (x ?) 1f8 + o8 ; (f + o) (f +o) (f +?o) 1 f? + fo + o? ; (f o) (f o?)f8 + o8 + h8 8foh ; (f + o + h) (f +o +h) (f +o +h)
Cxfkpjc # 63 =Ide` tnc vfjuc li64? +640
Xljutdle = 64? +640
; 6 +? ;
Cxfkpjc#69= Di 6,,? frc huoc rllts li uedty, tnce prlvc tnft(d) (6 + ?) (6 + ?) ; 0(dd) (6 + ?)3 + (6 + ?)3 ; 8?(ddd) (6 ) (6 ?) (6 0) (6 >) ; 4(dv) (6 + ?) (6 ? +0) (6 0 +>) .......... tl ?e ifhtlrs ; ??e
Xljutdle = (d) (6 + ?
) (6 + ?
) ; ( ?) ( ??
) ; 0
Xcji Rrfhtdhc Rrlojck
(?6) Ide`
62
2r
r?r )6(
(??) Dt ds gdvce tnft e ds fe l`` detcgcr grcftcr tnfe tnrcc, out e ds elt f kujtdpjc li 8. Rrlvc tnft
x8 + x? + x ds f ifhtlr li (x + 6) e xe 6
(?8) D i x ; f + o, y ; f+ o , z ; f + owncrc, frc dkfgdefry huoc rllts li uedty snlw tnftxyz ; f8 + o8
(?0) Di x? x + 6 ; 2, tnce ide` tnc vfjuc li
?3
6ee
e
x
6x
Feswcrs = (?6) 6? (?0) >
etn _llts li Sedty =Di 6,6,?,8.....e6 frc tnc e, etn rllt li uedty tnce =
(d) Pncy frc de G.R. wdtn hlkkle rftdl cd(?/e)
(dd) 6p + 6p
+ ?p
+.... + ep
6 ; 2 di p ds elt fe detcgrfj kujtdpjc li e
; e di p ds fe detcgrfj kujtdpjc li e
(ddd) (6 6) (6 ?)...... (6 e6) ; e &(6 +6) (6 +?)....... (6 +e6) ; 2 di e ds cvce fe` 6 di e ds l``.
(dv) 6.6.?.8.........e6 ; 6 lr6 fhhlr`deg fs e ds l`` lr cvce.
8/12/2019 Complex Number Theory_E
15/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 63
Cxfkpjc # 67 =Ide` tnc rllts li tnc cquftdle z9 + 90 ; 2 wncrc rcfj pfrt ds plsdtdvc.
Xljutdle = z9 ; 90
z9 ; ?9 . c d(?e + 6) e ; 2, 6, ?, 8, 0, 3
z ; ? 9)6e?(d
c
z ; ? 9d
c
, ? ?d
c
, ? 93
d
c
, ? 97
d
c
, ? ?8
d
c
, ? 966
d
c
rllts wdtn +vc rcfj pfrt frc ; ? 9d
c
, ? 966d
c
Cxfkpjc # 6> =Ide` tnc vfjuc
9
6a 7
a?hls
7
a?sde
Xljutdle =
9
6a 7
a?sde
9
6a 7
a?hls
;
9
2a 7
a?sde
9
2a 7
a?hls + 6
;
9
2a
(Xuk li dkfgdefry pfrt li scvce scvcetn rllts li uedty)
9
2a
(Xuk li rcfj pfrt li scvce scvcetn rllts li uedty) + 6
; 2 2 + 6 ; 6
Xcji Rrfhtdhc Rrlojcks
(?3) _ cs lj vc z7 6 detl jdecfr fe` quf`rftdh ifhtlr wdtn rcfj hlciidhdcet.
(?9) Ide` tnc vfjuc li hls7
?+ hls
7
0+ hls
7
9.
(?7) Ide` fjj vfjucs li (?39)6/0. Detcrprct tnc rcsujt gclkctrdhfjjy.
Feswcrs = (?3) (z 6)
6z
7
?hls?z? .
6z
7
0hls?z? .
6z
7
9hls?z?
(?9) ?
6
(?7)
06r?sded
06r?hls0 , r ; 2, 6, ?, 81 vcrtdhcs li f squfrc de f
hdrhjc li rf dus 0 & hcetrc (2, 2)
Pnc Xuk Li Pnc Iljjlwdeg Xcrdcs Xnluj` Oc _ckckocrc` =
(d) hls + hls ? + hls 8 +..... + hls e ;
sde /
sde /
e
?
? hls
e
6
?
(dd) sde + sde ? + sde 8 +..... + sde e ;
sde /
sde /
e
?
? sde
e
6
?
8/12/2019 Complex Number Theory_E
16/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 69
Eltc = Di; (?/e) tnce tnc suk li tnc folvc scrdcs vfedsncs.
Jlgfrdtnk Li F Hlkpjcx Vufetdty =
Jlgc ( + d) ;6
?Jlgc ( +) + d ?
6e
tfe wncrc e.
Cxfkpjc#64= Ide` tnc vfjuc li
(d) jlg (6 + 8 d) Fes. jlg? + d(?e+ 8
)
(dd) jlg(6) Fes. d(ddd) ?d Fes. hls(je?) + d sde(je?) ; cd(je?)
(dv) dd Fes. ?).6e0(
c
(v) |(6 + d)d | Fes. 0).6e>(
c
(vd) frg ((6 + d)d) Fes.?6 e(?).
Xljutdle = (d) jlg (6 + 8 d) ; jlg
e?
8d
c? ; jlg ? + d
e?8
(ddd) ?d ; cde ? ; Qhls (e ?) + d sde (e ?)[
Xcji Rrfhtdhc Rrlojck
(?>) Ide` tnc rcfj pfrt li hls (6 + d)
Feswcr = 6hlsc?
c6 ?
G cl kc tr dhfj R rl pc rt dc s =Xc ht d le ilrkujfDi z6 fe` z? frc fiidxcs li tnc twl pldets R fe` V rcspchtdvcjy fe` pldet H `dvd`cs tnc jdec scgkcet
mldedeg R fe` V detcrefj jy de tnc rftdl k = e tnce fii dx z li H ds gdvce oy
z ;ek
ezkz 6?
wncrc k, e 5 2
Di H `cvd cs RV de tnc rftdl k = e cxtcrefjjy tnce z ;ek
ezkz 6?
Eltc = Di f, o, h frc tnrcc rcfj eukocrs suhn tnft fz6 + oz?+ hz8; 2 1 wncrc f + o + h ; 2 fe` f,o,h frc elt
fjj sdkujtfeclusjy zcrl, tnce tnc hlkpjcx eukocrs z6, z? & z8frc hljjdecfr.
(6) Di tnc vcrtdhcs F, O, H li f frc rcprcscetc` oy hlkpjcx eukocrs z6, z?, z8rcspchtdvcjy fe`f, o, h frc tnc jcegtn li sd`cs tnce,
(d) Hcetrld` li tncFOH ;z z z6 ? 8
8
=
(dd) Lrtnlhcetrc li tncFOH ;
8/12/2019 Complex Number Theory_E
17/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 67
HschhOschoFschf
zHschhzOschozFschf 8?6
lrHtfeOtfeFtfe
HtfezOtfezFtfez 8?6
(ddd) Dehcetrc li tnc FOH ; (fz6+ oz? + hz8) (f + o + h).
(dv) Hdrhukhcetrc li tncFOH ; =(]6 sde ?F + ]? sde ?O + ]8 sde ?H) (sde ?F + sde ?O + sde ?H).
(?) fkp(z) ; ds f rfy ckfeftdeg irlk tnc lrdgde dehjdec` ft fe fegjc tl tnc plsdtdvc x fxds.
(8) z f; z o ds tnc pcrpce`dhujfr odschtlr li tnc jdec mldedeg f tl o.
(0) Pnc cquftdle li f jdec mldedeg z6& z?ds gdvce oy, z ; z6+ t (z6 z?) wncrc t ds f rcfj pfrfkctcr.
(3) z ; z6(6 + dt) wncrc t ds f rcfj pfrfkctcr ds f jdec tnrlugn tnc pldet z6& pcrpce`dhujfr tl tnc
jdec mldedeg z6 tl tnc lrdgde.
(9) Pnc cquftdle li f jdec pfssdeg tnrlugn z6& z? hfe oc cxprcssc` de tnc `ctcrkdefet ilrk fs
z z
z z
z z
6
6
6
6 6
? ?
; 2. Pnds ds fjsl tnc hle`dtdle ilr tnrcc hlkpjcx eukocrs z, z 6, z?tl oc hljjdecfr..
Pnc folvc cquftdle le kfedpujftdeg, tfacs tnc ilrk z z r ; 2 wncrc r ds rcfj fe` dsf ele zcrl hlkpjcx hlestfet.
Eltc = Di wc rcpjfhc z oy zcd fe` z oy dcz tnce wc gct cquftdle li f strfdgnt jdec wndhn kfacs fe fegjc
wdtn tnc gdvce strfdgntj jdec.
(7) Pnc cquftdle li hdrhjc nfvdeg hcetrc z2& rf`dus ds =zz2;lr z z z2z z2z + z2z2 ; 2 wndhn ds li tnc ilrk
z z z z + a ; 2, a ds rcfj. Hcetrc ds & rf`dus ; a?|| .
Hdrhjc wdjj oc rcfj di a?|| 2..
(>) Pnc cquftdle li tnc hdrhjc `cshrdoc` le tnc jdec scgkcet mldedeg z6& z?fs `dfkctcr ds
frgz z
z z
?
6
; ?
lr (zz 6) (z z ?) + (zz?) ( z z 6) ; 2.
(4) Hle`dtdle ilr ilur gdvce pldets z6, z?, z8& z0tl oc hlehyhjdh ds tnc eukocr
z z
z z
z z
z z
8 6
8 ?
0 ?
0 6
. snluj` oc rcfj. Ncehc tnc cquftdle li f hdrhjc tnrlugn 8 ele hljjdecfr
pldets z6, z? & z8 hfe oc tface fs
z z z z
z z z z
? 8 6
6 8 ?
ds rcfj
z z z z
z z z z
? 8 6
6 8 ?
;
z z z z
z z z z
? 8 6
6 8 ?
.
(62) Frg
?
6
zz
zz; rcprcscet (d) f jdec scgkcet di ;
(dd) Rfdr li rfy di ; 2 (ddd) f pfrt li hdrhjc, di 2 : :
8/12/2019 Complex Number Theory_E
18/21
8/12/2019 Complex Number Theory_E
19/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 64
Kfthn tnc iljjlwdeg hljukes =
Hljuke - Hljuke -
(d) Di | z 8+?d | | z + d | ; 2, (d) hdrhjc
tnce jlhus li z rcprcscets ..........
(dd) Di frg
6z
6z;
0
, (dd) Xtrfdgnt jdec
tnce jlhus li z rcprcscets...
(ddd) di | z > ?d | + | z 3 9d | ; 3 (ddd) Cjjdpsc
tnce jlhus li z rcprcscets .......
(dv) Di frg
d3?z
d08z;
9
3, (dv) Nypcroljf
tnce jlhus li z rcprcscets .......
(v) Di | z 6 | + | z + d | ; 62 (v) Kfmlr Frh
tnce jlhus li z rcprcscets ........
(vd) | z 8 + d | | z + ? d | ; 6 (vd) Kdelr frh
tnce jlhus li z rcprcscets .....
(vdd) | z 8d | ; ?3 (vdd) Rcrpce`dhujfr odschtlr li f jdec scgkcet
(vddd) frg
dz
d38z; (vddd) Jdec scgkcet
Fes. (d) (dd) (ddd) (dv) (v) (vd) (vdd) (vddd) (vdd) (v) (vddd) (vd) (ddd) (dv) (d) (vddd)
(f) _cijcht dle pldet s ilr f strfdgnt jde c =Pwl gdvce pldets R & V frc tnc rcijchtdle pldets ilr f gdvce strfdgnt jdec di tnc gdvce jdec ds tnc
rdgnt odschtlr li tnc scgkcet RV. Eltc tnft tnc twl pldets `celtc` oy tnc hlkpjcx
eukocrs z6& z?wdjj oc tnc rcijchtdle pldets ilr tnc strfdgnt jdec z z r 2 di fe` lejy di1
z z r6 ? 2 , wncrc r ds rcfj fe` ds ele zcrl hlkpjcx hlestfet.
(o) Devc rsc pldet s w.r.t . f hdrh jc =Pwl pldets R & V frc sfd` tl oc devcrsc w.r.t. f hdrhjc wdtn hcetrc 'L' fe` rf`dus, di=(d) tnc pldet L, R, V frc hljjdecfr fe` R, V frc le tnc sfkc sd`c li L.
(dd) LR. LV ;?.
Eltc = tnft tnc twl pldets z6& z?wdjj oc tnc devcrsc pldets w.r.t. tnc hdrhjc z z z z r 2 di fe` lejy
diz z z z r 6 ? 6 ? 2 .
Rt lj ck y s P nc lr ck =Dt stftcs tnft tnc prl`uht li tnc jcegtns li tnc `dfglefjs li f hlevcx quf`rdjftcrfj deshrdoc` de f hdrhjc
ds cqufj tl tnc suk li tnc prl`uhts li jcegtns li tnc twl pfdrs li dts lpplsdtc sd`cs.
d.c. z6 z8 z? z0;z6 z? z8 z0+z6 z0 z? z8
8/12/2019 Complex Number Theory_E
20/21
KFPNX
"kfedsnaukfrpnysdhs.de" ?2
KDXHCJJFECLSX C^FKRJCX
Cxfkpjc # ?2 =Di z6fe` z
?frc twl hlkpjcx eukocrs fe` h 5 2, tnce prlvc tnft
|z6
+ z?|? (6 + h) |z
6|? + (6 + h6) |z
?|?
Xljutdle = Wc nfvc tl prlvc =
|z6
+ z?|? (6 + h) |z
6|? + (6 + h6) |z
?|?
d.c. |z6|? + |z
?|? + z
6 z ?+ z 6z? (6 + h) |z6|? + (6 +h6) |z
?|8
lr z6
z?
+ z6z
? h |z6|? + h6|z
?|? lr h|z
6|? +
h6 |z
?|? z
6z
? z
6z
? 2
(usdeg _c (z6
z?) |z
6z
?|)
lr
?
?6 |z|h
6zh
2 wndhn ds fjwfys truc.
Cxfkpjc # ?6 =DidQ/9,/8[, d ; 6, ?, 8, 0, 3, fe` z 0 hls
6+ z8 hls
?+ z? hls
8. + z hls
0+ hls
3; 8? ,
tnce snlw tnft |z| 50
8
Xljutdle = Gdvce tnft
hls6 . z0 + h ls? . z8 + hls8 . z? + hls0 . z + hls3 ; ?8lr |hls
6. z0 + hls
?. z8 + hls
8. z? + hls
0. z + hls
3| ; ?8
?8 |hls6
. z0 | + |hls?. z8 | + |hls
8. z? | + hls
0. z| + |hls
3|
d Q/9, /8[
?
6hls
d
?
8
8? ?
8|z|0 +
?
8|z|8 +
?
8|z|? +
?
8|z| +
?
8
8 |z|0 + |z|8 + |z|? + |z|HfscD =Di |z| 5 6, tnce folvc rcsujt ds futlkftdhfjjy truc
HfscDD =D i |z| : 6, tnce8 : |z| + |z|? + |z|8 + |z|0 +|z|3 + .........
8 :|z|6
|z|
8 8 |z| : |z| |z| 5 08
Ncehc oy oltn hfscs, |z| 50
8
Cxfkpjc#??= Pwl `diicrcet ele pfrfjjcj jdecs hut tnc hdrhjc |z| ; r de pldet f, o, h, ` rcspchtdvcjy. Rrlvc tnft
tncsc jdecs kcct de tnc pldet z gdvce oy z ; 6666
6666
`hof
`hof
Xljutdle = Xdehc pldet R, F, O frc hljjdecfr
6oo
6ff
6zz
; 2 z of z (f o) + ofof ; 2 (d)
Xdkdjfrjy, pldets R, H, @ frc hljjdecfr, sl
8/12/2019 Complex Number Theory_E
21/21
KFPNX
z `h z (h `) + `h`h ; 2 (dd)Le fppjydeg (d) (h `) (dd) (f o), wc gct
z of (h `) z `h (f o) ; `h`h (f o) ofof (h ) (ddd)
zz ; r? ; a (sfy) f ;
f
a, o ; o
a, h ;
h
acth.
Irlk cquftdle (ddd) wc gct
z
o
a
f
a(h `) z
`
a
h
a(f o) ;
h
a`
`
ha(f o)
f
oa
o
fa(h `)
z ; 66666666
`hof
`hof
Cxfkpjc#?8= Di z6; f + do fe` z
?; h + d` frc hlkpjcx eukocr suhn tnft |z
6| ; |z
?| ; 6 fe` _c )zz( ?6 ; 2, tnce
snlw tnft tnc pfdr li hlkpjcx eukocrs w6
; f + dh fe` w?; o + d` sftdsidcs tnc iljjlwdeg
(d) |w6| ; 6 (dd) |w
?| ; 6 (ddd) _c )ww( ?6 ; 2
Xljutdle = f ; hls , o ; sde
h ; hls , ` ; sde _c )zz( ?6 ; 2 ; ?
ee ; 6 h ; sde, ` ; hls
w6
; hls + d sdew
?; sde d hls
|w6| ; 6, |w
?| ; 6
w6 ?
w ; hlssde sde hls+ d(sde? hls?) ; d hls ?
_c )ww( ?6 ; 2
Cxfkpjc#?0= Jct z6fe` z
?oc hlkpjcx eukocrs suhn tnft z
6z
?fe` |z
6| ; |z
?|. Di z
6nfs plsdtdvc rcfj pfrt fe`
z?nfs ecgftdvc dkfgdefry pfrt, tnce snlw tnft?6?6
zz
zz
ds purcjy dkfgdefry..
Xljutdle = z6
; r (hls + d sde), ?
: :
?
z?
; r (hls + d sde ), : : 2
?6
?6
zz
zz
; d hlt
?
, 0
:
?
:
0
8
Ncehc purcjy dkfgdefry
Cxfkpjc # ?3 =Di z6, z? & z8 frc tnc fiidxcs li tnrcc pldets F, O & H rcspchtdvcjy fe` sftdsiy tnc hle`dtdle
|z6
z?
| ; |z6
| + |z?
| fe` |(? - d) z6
+ dz8
| ; |z6
| + |(6 d) z6
+ dz8
| tnce prlvc tnft FOH de f rdgntfegjc`.
Xljutdle = |z6 z?| ; |z6| + |z?|
z6, z?fe` lrdgde wdjj oc hljjdecfr fe` z6, z?wdjj oc lpplsdtc sd`c li lrdgdeXdkdjfrjy |(? - d) z6 + dz8 | ; |z6| + |(6 d) z6 + dz8|
z6fe` (6 d) z6+ dz8 ; z0sfy, frc hljjdecfr wdtn lrdgde fe` jdcs le sfkc sd`c li lrdgde.Jct z0 ; z6 , rcfjtnce (6 d) z6 + dz8;z6
d (z8 z6) ; ( 6) z6
6
68
z
)zz(
; ( 6) d 6
68
z2
zz
; kc d/? , k ; 6
z8 z6ds pcrpce`dhujfr tl tnc vchtlr 2 z6.
d.c. fjsl z? ds le jdec mldedeg lrdgde fe` z6sl wc hfe sfy tnc trdfegjc ilrkc` oy z6 , z?fe` z8 ds rdgnt fegjc`.