Bucureti, Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti

Facutatea de Geodezie

Specializarea: Msurtori Terestre i Cadastru STUDENI PARTICIPANI: BENEDIC Codru Georg, BENCIU Siviu tefan i PTULEA Adrian Dan

COMPARAIE: Modelul GAUSS MARKOV vs. Modelul HELMERT

concurs de proiecte la disciplina Compensarea Msurtorilor i Statistic

Profesor ndrumtor : ef lucrri ing. Valentin DANCIU

BUCURETI 2012

ii

iii

REZUMAT n lucrare se prezint dou metode de determinare a unei urmriri de nivelment geometric pe baza msurtorilor indirecte locale i a msurtorilor condiionate. Aceast metod este tratat teoretic i verificat practic (matriceal), una din contribuiile acestui proiect fiind determinarea cotelor reperilor de urmrire (puncte noi n reea). De asemenea, au fost prezentate comparativ aspectele cantitative i calitative ale modelelor utilizate n procesul de compensare i dereminare a noilor puncte.

ABSTRACT The thesis presents two methods for tracking geometric leveling network determination using indirect measurements (observations are weighted) and constraints measurements. This method is covered from both theoretical and practical (matriceal) aspects, one of the major contributions of this thesis being the computation of the tracking markers. Also, the aspects regarding the quantitative and qualitative comparison have been shown about the used models in the proces of adjustment and computation of the new points. Cuvinte cheie: geodezie fizic, geodezie matematic, anomalie gravimetric, co-geoid, geoid, geoid geometric, reele de nivelment, reele de urmrire, Gauss Markov, nivelment geometric, GPS, GNSS

iv

v

CUPRINS

pagina

REZUMAT ........................................................................................................................................................................................................ .............. iii

CUPRINS ............................................................................................................................................................................................................ ............... v

INTRODUCERE ................................................................................................................................................................................................ .............. 1

PARTE TEORETIC ......................................................................................................................................................................................... ............. 2

Consideraii generale. ............................................................................................................................................................................... .............. 3

Princiul nivelmentului geometric. ............................................................................................................................................................ .............. 9

Compensarea reelelor de nivelment geometric geodezic prin metoda Gauss - Markov (metoda msurtorilor indirecte). ......................... ............ 11

Compensarea reelelor de nivelment geometric geodezic prin metoda Helmert (metoda msurtorilor condiionate). ................................ ............ 16

APLICAIE PRACTIC .................................................................................................................................................................................... ............ 21

1. Calcule preliminarii. ............................................................................................................................................................................... ............ 23

2. Compensarea releei utiliznd modelul Gauss Markov. .................................................................................................................... ............ 25

3. Compensarea releei utiliznd modelul Helmert. ............................................................................................................................... ............ 41

4. Reprezentarea grafic a reelei de nivelment. ........................................................................................................................................ ............ 65

5. Tabel comparativ cu indicatorii cantitativi i calitativi. ........................................................................................................................ ............ 67

6. Concluzii .................................................................................................................................................................................................. ............ 69

Bibliografie selectiv ....................................................................................................................................................................................... ............ 71

Siteografie ......................................................................................................................................................................................................... ............ 72

vi

1

INTRODUCERE Prezenta lucrare i propune s scoat n eviden principalele caracteristici privind modelele Gauss - Markov (msurtorilor indirecte) i Helmert (msurtorilor condiionate). Lucrarea este structurat pe dou pri: o parte teoretic, n care se face o succint trecere n revist a celor dou modele din punct de vedere teoretic i o parte practic, cu exemplu concret de calcul pentru fiecare model avnd la baza o reea de nivelment geometric geodezic. Tot n partea practic se prezint i principalii indicatori calitativi i cantitativi obinui n urma compensrii, precum i concluzii privind metodele de compensare folosite.

Autorii

2

PARTE TEORETIC

3

Consideraii generale. Princiul nivelmentului geometric. CONSIDERAII GENERALE.

EXECUIA NIVELMENTULUI GEOMETRIC N

REELELE GEODEZICE DE STAT.

Dupa cum tim, n ara noastr nivelmentul de stat de ordinele I, II, III si IV se execut conform cu Instruciunile elaborate de Direcia topografic militar n anul 1965, precum i cu cele elaborate de Institutul de geodezie, fotogrammetrie, cartografie i organizarea teritonului n anul 1976 pentru nivelmentul de ordinul zero. Unele dintre prescripiile acestor instruciuni (cum ar fi, de exemplu, posibilitatea utilizrii mirelor de lemn de ord. III, lungimile mari ale porteelor, toleranele prevzute .a.m.d.) s-au modicat n ultimii 50 de ani de de la dezvolatrea celor cunoscute anterior. Totui se va prezenta tehnologia actual a nivelmentului geometric geodezic

cu atenionarea asupra unor posibile modificari n viitor, la o nou elaborare a instruciunilor corespondente.

Aparatura necesara este selecat n funcie de precizia care trebuie asigurat n cadrul fiecarui ordin, potrivit principiilor i clasificirilor prezentate la cursurile topografie i geodezie matematic (1/2).

Lungimea porteelor difer de la un ordin la altul. Pe fiecare niveleu se lucreaz cu portei ct mai egale posibil, instruciunile permind abaterile prezentate n tabelul de mai jos. La ordinul 0 i 1 lungimile porteelor se msoar cu un fir gabarit, urmrindu-se pstrarea constant, pe ct posibil, a lungimii porteelor n cadrul tuturor niveleurilor. Desigur, sinuozitatea efectiv a traseului liniei de nivelment mpiedic respectarea fr abateri a acestui deziderat.

Operaiunile de nivelment se efectueaza sub protecia umbrelor solare (temperatura nu trebuie s depeasc 38 40 oC la cele electonica respectiv optice).

Ordinul reelei de nivelment

Lungimea maxim a porteelor

[ m ]

Inegaliti admise ntre portee

[ m ]

Tolerana pentru diferenele de nivel determinate dus i ntors

[ mm ]

20 30 < 0,5 0,5 [ ] 50 < 0,5 3 [ ] 50 65 1 5 [ ] 75 85 3 4 10 [ ] 100 125 3 4 20 [ ]

4

Modalitatea de efectuare a unei lecturi (pe mira i pe tamburul micrometrului cu plci plane i paralele ELECTRO-OPTIC sau cu aparatura ELECTONIC-DIGITAL (nivelele electronice, aparatura degravimetrie, GPS sau GNSS ) ) a fost prezentat la cursurile de instrumente i metode de msurare (1/2) i msurtori geodezice prin unde (pn acum).

Tehnologia nivelmentului geometric geodezic permite s se obin mai multe determinari pentru diferenele de nivel pe fiecare interval (ntre dou marci sau repere de nivelment (fixe) vecine), respectiv pentru fiecare seciune (ntre dou repere de nivelment fundamentale) i n consecin pentru ntreaga linie de nivelment:

- nivelmentul geometric de ord. IV se execut numai ntr-un singur sens. n fiecare staie se fac obligatoriu doua determinari: fie cu un singur orizont, pe cele dou fee ale mirei de lemn sau pe cele dou iruri de gradaii ale mirei de invar, fie cu dou orizonturi ale aparatului, atunci cnd mirele folosite au un singur ir de gradaii. Rezult astfel dou determinari pentru intervalele i respectiv liniile de nivelment. Reeaua de ordinul IV ndesete reeaua de ordinul I, II i III; ea se dezvolt astfel nct s formeze poligoane nchise cu perimetrul de 100 km sau traverse avnd lungimi de 100 sau 50 km. Nivelmentul de ordinul IV se execut numai dus, cu medii din dou valori, cu o precizie care s asigure o nenchidere ce nu depete = 20 [ ] ;

- nivelmentul geometric de ordinele III i II se execut n dou sensuri: dus" i ntors". Tehnologia din fiecare staie este cea menionat la ord. IV, astfel ncit rezult patru determinri pentru intervalele, seciunile i liniile de nivelment corespondente. Deosebirile dintre lucrrile efectuate n cadrul celor dou ordine deriv din aparatura diferit folosit (instrumente de nalta precizie pentru ord. II i respectiv instrumente de precizie pentru ord. III), precum i n faptul c la ord. II se lucreaz numai cu mire de invar, la ord. III admiindu-se i utilizarea mirelor de lemn. Reeaua de ordinul III se

dezvolt n interiorul poligoanelor de ordinul I i II, aa nct s formeze poligoane sau traverse cu perimetre de 150 - 200 km, recomandndu-se ca ntrun poligon de ordinul II s existe 6 - 9 poligoane de ordinul III. Reeaua de ordinul III se execut dus - ntors, cu medii de 4 valori, cu o precizie care s asigure obinerea unei nenchideri n poligon nchis sau drumuiri cu dou capete, care s nu depeasc tolerana total = 10 [ ]. Reeaua de ordinul II se compune din liniile nivelitice sprijinite pe puncte de nivelment de ordinul I, formnd poligoane cu perimetrul de 500 - 600 km. Reeaua de ordinul II se desfoar n lungul cilor ferate, oselelor, fluviilor i rurilor mari i se execut dus - ntors, cu medii din 4 valori. Tolerana total admis este de = 5 [ ], iar eroarea sistematic trebuie sa fie mai mic, de 0,2 / ;

- nivelmentul geometric de ordinele I i 0 se execut simultan pe doua trasee paralele (distanate la circa 0,5 m) dupa tehnologia descrisa la ord. II. Prin urmare, pe fiecare interval, seciune sau linie de nivelment vor rezulta opt determinari. Reeaua de nivelment de ordinul I cuprinde liniile de nivelment, care se leag cu liniile de nivelment similar al rilor vecine, legnd punctele fundamentale altimetrice. Reeaua de ordinul I formeaz poligoane nchise, cu lungimi de 1200 - 1500 km, ce se dezvolt, n general, n lungul cilor ferate. Drumuirile de nivelment de ordinul I se execut pe tronsoane dus - ntors, astfel ca fiecare diferen de nivel pe tronson s rezulte ca media a 8 valori. Se admite la 1 km de drumuire o eroare medie patratic ntampltoare = 0,5 mm i una sistematic de = 0,05 mm. Tolerana pentru eroarea medie patratic este de = 3 [ ]

Pentru eliminarea unor posibile erori sistematice (vezi note de curs I.M.M. 2 sau G.M. 2) este necesar ca citirile pe mir s se efectueze ntr-o anumit ordine. Astfel, pentru sensul ,dus"

5

i n ipoteza utilizrii mirelor cu dou iruri de gradaii, ordinea de efectuare a determinrilor este urmatoarea:

Staie cu numr impar: - citirea distanei pe mira din urm;

- citirea pe irul de gradaii din stinga al mirei din urm; - citirea distanei pe mira din fa; - citiri pe cele dou iruri de gradaii ale mirei din fa; - citirea pe irul de gradaii din dreapta al mirei din urm.

Staie cu numr par:

- ordinea citirilor este analoag cu cea prezentat n detaliu la staia cu numar par, deosebirea constnd n faptul c determinrile se ncep pe mira din fa.

La ordinele 0 i I succesiunea determinarilor este aceeai pentru cele dou trasee de nivelment.

Determinrile pe sensul ntors" decurg ntr-o succesiune analoaga, cu deosebirea c operaiunile n staile cu numar impar

ncep pe mira din fa i, n consecin, n staiile cu numr par pe mira din urm.

La msuratorile din reelele de ordinele 0, I i II se determin i temperatura aerului, la naltimea axei de vizare, pentru a se putea calcula coreciile datorate dilatrii benzii de invar n timpul lucrului.

Lucrrile executate trebuie s se ncadreze n anumite tolerane referitoare la intervalele, apoi la seciunile i respectiv la liniile de

nivelment tabelul de mai sus. Aceste tolerane se refer la nepotrivirile rezultate ntre determinrea diferenelor de nivel pentru sensul dus" i respectiv ntors". La ordinele 0 i I se calculeaz aceste nepotriviri separat i pentru cele doua trasee de nivelment.

Observaie: Precauii deosebite intervin n tehnologia de transmitere a nivelmentului de ordinele 0, I i II peste obstacole late de 100 1500 m. Prin consens ntre titularii cursurilor de

specialitate din cadrul secfic de geodezie, aceast problematic este abordat de mai muli ani n cadru1 cursului de topografie inginereasc.

Nivelmentul geometric geodezic intravilan servete la rezolvarea unor probleme speciale, de ordin tehnico - ingineresc. El corespunde ca precizie cu ordinul II, III i IV i se execut sub form de poligoane sau traverse, legndu-se obligatoriu de reeaua de stat.

DATUMUL GEODEZIC VERTICAL (NAP).

n general, un datum vertical poate fi definit astfel:

Fr un datum comun, aceleai msurtorile s-ar calcula de ctre topografi sau geodezi la valori diferite.

sau:

Definiie 1 : Datumul geodezic vertical este o cantitate (mrime) care servete ca referin pentru a defini cu acuratee (precizie) poziia pe vertical a unui punct sub forma unui set ce coordonate n cazul EVRS cota care, implicit, definesc poziionarea pe vertical.

Definiie : Datumul vertical este o baz (sau referin) de mrat punct (sau un set de astfel de puncte) din care toate cotele sunt determinate.

6

Cmpul REAL

(REAL)

GEOID

W

Cmpul NORNAL

(MODEL)

ELIP. ECHIPOTENIAL

U=U0

cu ce

nlocuim realitatea

Datumurile geodezice verticale se refer, mai exact, la legatura dintre gravitate (greutate sau cmpul gravific al Pmntului) i altitudine sau cot.

Figura nr. 1: Definirea datumului vertical fa de elispoidul WGS84.

ALEGEREA DATUMUL VERTICAL (partea fizic a CRS ului).

De regul, atunci cnd se vorbete despre altitudine (cot), se face referire la naltimea deasupra nivelului mrii.

Una din ntrebrile majore care s-au pus este dac acest nivel al mrii poate fi consiterat ca nivel de refetin pentru altitudini, atunci rezult problema datorit variaiilor cmpului gravific al Pmntului din cauza structurii interne a Pmntului (aa aprnd anomaliile gravitii).

Se vorbete (n geodezi fizic, dar i n geodezia matematic sau geometric) de spaiul cu o singur dimensiune, dar i de potenialul greutii ( ) gravitate, fora centrifug, gravitaie etc. (prezentat schematic mai jos).

Definiie 2 : Datumul geodezic vertical este acela n care altitudinea definit printr-o suprafa de nivel particular, de regul suprafaa medie (liniit) a mrii.

7

Acest nivel mediu de determina prin msurtori ale mareelor pe lungi perioade de timp. Exist un serviciu interaninal care se ocup cu determinarea nivelului mediu al oceanului planetar i se msoar cu 290 de staii n mod continuu.

Oceanul planetar este definit ca fiind o suprafaa nchis care este aproximat cu o alt suprafa nchis, numit geoid, sau suprafaa de nivel zero (de la care de msoar alte puncte n legtur cu fora gravific a Pmntului).

Procesul prin care un datum este formulat, n principiu, const n trei etape:

Prima problem: stabilirea sau alegerea unei suprafee de referin (exemplu: pentru sistemul de altitudini dinamice datumul vertical l constituie geoidul n timp ce pentru sistemul de altitudini normale datumul vertical este cvasigeoidul sau co-geoidul teoria lui M. S. Molodensky (1960) );

Figura nr. 2: Cantiti implicate n spaiul

real i n spaiul Helmert (model).

A doua problem: trebuie s se adopte o definiie care poate avea o semnificaie fizic sau o semnificaie geometric prin care se stabilete legatura dintre poziia punctului pe suprafaa terestr si proiecia lui pe suprafaa aleas ca referin la prima problem;

Figura nr. 3: Proiecia pe suprafaa de referin.

A treia problem: stabilirea unui reper de referin,

numit i punct fundamental zero, a carei nlime deasupra suprafeei aleas ca referin este bine cunoscut si care se constituie baza pentru toate lucrrile de nivelment care utilizeaz datumul vertical astfel definit.

Figura nr. 4: Ansamblu staii utilizate

la msurarea continu a mareelor.

8

Problema localizrii poziiei verticale fa de geoid a unui reper de reforin situat pe rmul mrii se reduce la determina poziia nivelului mediu al mrii. Peutru aceasta trebuie s se nregistreze variaia nivelului local instantaneu al mrii (fa de o poziie zero a unui instrument de msurare a mareelor). Nivelul local al mrii poate fi determinat ca i altitudinea reperului de referin deasupra mrii, dup cum se poate observa i din figura nr. 5. Altitudinile celorlalte puncte care alctuiesc reeaua geodezic de nivelment se determin plecnd de la altitudinea acestui reper de referin. nlimile deasupra nivelului mediu a1 mrilor sunt utilizate n ntreaga lume dei se tie c aceasta este numai o aproximaie a nlimilor deasupra geoidului (cvasigeoidului) datorit suprafeei topografice a mrii care variaz cu civa decimetrii (8 90 cm./an). Fornd altitudinea nivelului mrii la zero, adic neglijnd suprafaa topografic a mrii, toate altitudinile punctelor reelei considerate vor fi afectate de acest fapt.

Figura nr. 5: Stabilirea altitudinii unui reper de referin.

Variaiile nivelului mrii pe perioade lungi au mai multe cauze: variaii ale presiunii atmosferice, efectele dinamice cauzate de schimbarea curenilor marini, variaii ale vnturilor

din zon, schimbri in temperatura i salinitatea apei mrii, fluctuaii n cantitile de ap care provin din rurile care curg n mare, schimbiri n configuraia batimetric etc.

Dintre principalele probleme care se pun n cazul poziionrii altimertice: suprafaa topografic a mrii, variaa n timp a nivelului mediu a1 mrii, variaia n timp a geoidului, prima este cea mai important i nu poate nc fi rezolvat corespunztor cu actualele cunotine. Exist mai multe solui determinare a suprafeei topografice a mrii dar, dup cum s-a precizat, niciuna satisfctoare.

Toi specialitii sunt de acord ca pentru anumite perioade de timp nivelul mediu a1 mrii i datumul vertical trebuie s fie considerate constante (n timp).

Cota acestui punct se determin fa de nivelul mediu al mrilor i oceanelor, determinat din observarea acestui nivel pe o perioad de circa 30 - 50 ani.

Dupa cum se poate observa, stabilirea si utilizarea punctului origine pentru altitudini sau a punctului fundamental sau a punctului zero fundamental, punct de care sunt legate retele de nivelment, implica rezolvarea a doua probleme:

Prima problem: amplasarea punctului zero fundamental (zone costiere Capela militar din Constana i zone stabile la 53 de km. de Constana);

A doua problem: verificarea stabilitii punctului zero fundamental.

ntruct nivelul mediu al mrilor difer de la un loc la altul, a fost necesar legarea tuturor punctelor altimetrice fundamentale la nivel european i s-a adoptat, n 1958, ca punct de plecare, punctul zero (Kronstadt) de la Marea Baltic.

n decursul timpului s-au utilizat ca puncte fundamentale: zero Sulina (1857), n Ardeal zero Marea Adriatic (1923), zero Marea Neagr, cu punct fundamental o plac de bronz, cu

9

nlimea de 2,48 m fa de zero mir maregraf Constana, zero Marea Baltic (1951 - 1975), iar la ora actual sistemul de altitudini este denumit : Sistem Marea Neagr zero 1975, cu punctul fundamental plasat n Capela militar Constana. Atunci nu este o diferen constant ntre aceste puncte, iar ca i cauz este neparalelismul suprafeelor de nivel.

Odat cu apariia sateliilor artificiali n scopuri geodezice (G.P.S., G.N.S.S. etc) s-a ncercat o monitorizare a punctelor zero prin msurtori contunuee (microunde, radio sau prin interferometrie) determinate cu o precizie de circa 1 cm. (10 mm.).

PRINCIPIUL NIVELMENTULUI

GEOMETRIC.

Principiul de baz al nivelmentului geometric const din determinarea direct a diferenei de nivel a unui punct fa de un alt punct situat n apropiere, cu ajutorul vizelor (aproximativ) orizontale, care se realizeaz cu instrumente de nivelment geometric sau nivele, pe mirele inute vertical n punctele respective (figura nr. 6), nivela poziiont la distane aprozimativ agale prin porteele descrise n desen ( ). Diferena de nivel dintre cele dou puncte A i B din teren , se obine n funcie de nlimea vizei orizontale (acesta nu nainte de calarea i rectificarea sau calibrarea lunetei implicit a instrumentului), de deasupra celor dou puncte, ce se msoar pe mirele verticale din punctele respective. Se consider, n mod convenional, punctul A, ca punct napoi i punctul B,ca punct nainte, pe care se efectueaz citirile a i b de pe cele dou mire. Deci, cele dou citiri a i b efectuate pe mirele din punctele A i B suntegale cu nlimea liniei de vizare deasupra celor dou puncte. n baza

citirilor a i b, se poate obine diferena de nivel: = = =

Figura nr. 6: Principiul nivelmentului geometric.

Din punct de vedere practic, nivelmentul geometric se

folosete n cazul terenurilor relativ plane sau cu o nclinare redus. Acest nivelment este cel mai precis, iar cu ajutorul lui se determin reeaua de nivelment geometric, pe care se sprijin att ridicrile nivelitice ct i lucrrile detrasare pe teren a proiectelor de execuie.

NOIUNI I CONCEPTE DE BAZ.

Pentru orice lucrare de nivelment geometric trebuie stabilite:

un punct; un sistem de coordonate; un datum.

din ultimele dou definindu-se sistemul de coordnate de referin vertical pentru teritoriul lucrat (sau cel al Romaniei sau Europei).

(l1 ) (l2)

10

Conceptul de baz al nivelmentului geometric geodezic este prezentat comprimat n figura nr. 7 sub forma schematic:

Figura nr. 7: Principiul nivelmentului geometric geodezic.

Msurtorile efectuate prin nivelment geometric nu sunt infuienate de refracia atmosferic in aceeai msur ca i n cazul distanelor zenitale (unghiurile zenitale nivelmentul trigonometric), dar cmpul gravitii terestre are un efect important.

Reducerea la orizont a distanelor se face fa de staia din care se msoar, mai exact orizontul staiei.

La drumuiri lungi, n domeniul topografiei, trebuie inut cont i de curbura Pmntului astfel:

Figura nr. 8: Reducerea distanelor la planul

de proiecie (STEREOGRAFIC 1970).

Elementele fa de care se ine cont n msurtorile de nivelment geometric sunt curbura i refracia, dar i cmpurile generate electric sau magnetic ale Pamantului (gravimetrie geodezic).

Daca se masoara un circut, deci o linie de nivelment geometric sau un pligon, atunci suma algebrica a tuturor diferentelor de nivel masurate nu va fi, in general, egala cu zero, chiar daca se presupune ca masuratorile efectuate nu sunt afectate de erori, ceea ce, evident, practic nu este posibil. Se obtin deci, in poligonul format, o neinchidere cunoscuta sub denumirea de eroarea de principiu a nivelmentului geometric , care arata ca determinarea altitudinilor prin metoda

Definiie : Suprfaa de nivel este o suprafa echipotenial care are proprietatea c n orice punct al ei fora greutii este ndreptat dup normala la aceast suprafa.

Definiie : Linia orizontal este linia tangent la suprafaa de nivel considerat.

Definiie : Refracia (terestr este : vertical, lateral (sau n azimut) i astronomic) atmosferic este deplasarea unghiular a obiectelor cereti sau pmntene de la poziia lor geometric, din cauza curbrii razelor n atmosfera Pmtului. Sau mai este definit ca fiind abaterea de la propagarea rectilinie, a undei electromagnetice, la trecerea prin medii cu indici de refracie diferii.

11

nivelmentului geometric este mult complicata decat pare la prima vedere.

Pentru a urmari cateva dintre consecintele neparalelismului suprafetelor de nivel se considera sistemul de altitudini ortometrice in care geoidul este suprafata de referinta, iar altitudinea ortometrica este definita ca fiind segmentul de linie de forta cuprins intre pozitia punctului pe suprafata terestra si pe geoid.

Se considera doua trasee posibile de nivelment geometric de la B situat la nivelul marii la punctul A situat pe varful unui munte, unul din trasee pe versantul din stanga si altul pe

versantul din dreapta (figura nr. 7), prin care se poate determina altitudinea punctului A.

O posibilitate de rezolvare a problemei aparuta este aceea de a utiliza potentialul gravitatii terestre. Diferenta de potential dintre doua suprafete echipotentiale (de nivel) infinit apropiate se poate determina cu relatia: = , unde g este gravitatea (reala) la nivelul instrumentului de nivelment, iar diferenta denivel pe linia intreaga de nivelment (intre B si A) se poate scrie: = si scris mai riguros ar fi urmatoarea relatie: = , atunci pe un traseu inchis, in mod general, se poate scrie ca: = .

Compensarea reelelor de nivelment geometric geodezic prin metoda Gauss - Markov (metoda msurtorilor indirecte)

Figura nr. 9: Reea de nivelment geometric.

O retea de nivelment geometric este alctuit din reperele de nivelment ntre care se efectueaz msuratori n vederea determinrii diferenelor de nivel i a lungimii traseelor pe care se efectueaz observaiile.

Pentru a se efectua calculele de compensare, trebuie s se cunosc sau s se determine:

- Diferenele de nivel msurate h0ij prin metoda nivelmentului geometric i reduse unitar la unul din sistemele de altitudini cunoscut (funcie de cerinele lucrrii);

- Lungimile traseelor urmate pentru determinarea diferenelor de nivel se determin concomitent cu efectuarea observaiilor i ele sunt necesare pentru determinarea ponderilor msuratorilor. Pentru unele reele poate fi considerat ca element de calcul al ponderii numrul staiilor efectuate pentru determinarea diferenei de nivel dintre dou repere;

12

- Altitudinea (Hi) a unuia sau a mai multor repere de nivelment din reeaua considerat;

- Informaii cu privire la matricea ponderilor observaiilor necesare la construirea modelului funcional stochastic;

Modelul funcional-stohastic al prelucrrii este reprezentat de relaiile:

(1)

(2)

Notaii: v- vectorul coreciilor; A- matricea coeficienilor; x- vectorul parametrilor (necunoscutelor); l- vectorul termenilor liberi; Cm- matricea de varian-covarian a msurtorilor; o2 - variana unitii de pondere sau factor de varian; Qm - matricea cofactorilor msurtorilor.

- Altitudinile provizorii (H0i) pentru toate reperele de urmarire (noi) din reteaua considerata. Acestea se deteremina cu ajutorul diferentelor de nivel masurate, plecand de la altitudinea cunoscuta a unuia sau mai multor repere dein retea.

Pentru o prelucrare prin metoda observaiilor indirecte este necesar ca numrul msurtorilor s fie mai mare dect numrul necunoscutelor implicate n model.

Aceast metod de compensare mai poart numele de metoda nodurilor deoarece ecuaiile coreciilor se scriu n jurul

fiecrui punct nou, denumit i nod. Metoda se utilizeaz, n general, la reelele de nivelment de ordinul III i IV.

Pentru prelucrare se vor deduce corecii pentru msuratori i, respectiv, pentru altitudinile provizorii:

(3)

Figura nr. 10: Reea dependent de nivelment.

Ecuaiile coreciilor au forme diferite, n funcie de tipul

punctelor ntre care se scriu, i anume:

- ntre dou puncte vechi nu se execut o nou msuratoare direct, fr puncte intermediare. Aceasta se observ i pe Figura nr. 10 de care se va ine seama la deducerea formulelor folosite n prelucrare;

- ntre un punct vechi A i un punct nou 1 se poate scrie:

13

(4)

de unde rezult:

(5)

- ntre dou puncte noi:

(6)

de unde rezult:

(7)

Considernd reeaua neconstrans din Figura nr. 1, n care se cunoate cota punctului A, se msoar diferenele de nivel ntre puncte, pe baza crora se determin cotele provizorii ale punctelor nodale 1, 2, 3 i 4.

Pentru scrierea ecuatiilor de corecie se introduc notaiile:

- (H1), (H2), (H3),(H4) cotele cele mai probabile ale

punctelor nodale;

- cotele aproximative ale punctelor nodale;

- dx1, dx2, dx3, dx4 coreciile probabile ale cotelor

aproximative;

- h1, h1, h8 diferenele de nivel msurate.

Conform acestor notaii se poate scrie:

(8) Cotele provizorii se obin pornind de la cota cunoscut a

punctului A, adunnd algebric (n funcie se sensul de cretere a declivitii), pe diferite trasee, diferenele de nivel msurate.

(9)

Ecuaiile coreciilor se pot stabili cu uurin, direct de pe figur, n jurul fiecrui nod, innd seama de ecuaiile stabilite anterior, i de faptul c pentru fiecare diferen de nivel msurat ntre nodurle existente se va scrie o ecuaie de corecie.

Ecuatiile coreciilor pentru reeaua de nivelment

neconstrans (Figura nr. 10) se prezint sub forma:

14

(10)

n care:

(11)

Sistemul de erori se rezolv dup metoda msurtorilor indirecte, de precizii diferite, punnd condiia [pvv] = minim. Se obine sistemul ecuaiilor normale:

(12) O scriere direct a ecuaiilor normale se realizeaz n

functie de ponderile ecuaiilor. Astfel, pentru prima ecuaie normal se poate scrie:

(13)

Se observ c sistemul ecuaiilor normale poate fi format de pe schia reelei, indiferent de complexitatea sa, fiecrui punct nou corespunzndu-i o ecuaie normal, constituit din urmtorii termeni:

- coeficientul necunoscutei de pe diagonala principal Pi, corespunztor nodului i, pentru care se scrie ecuaia, este egal cu suma ponderilor liniilor care converg n nodul menionat;

- n ecuaie mai intervin necunoscutele corespunztoare nodurilor cu care punctul i este n legtur, cu coeficienii respectivi egali cu pij;

- termenul liber, notat n continuare cu L, este format dintr-o sum de produse, ntre ponderi i termenii liberi ai ecuaiilor de erori scrise pentru punctul i, n care semnul plus se ia pentru liniile care intr n punct, iar semnul minus pentru liniile care pleac din punct.

n acest fel, ecuaia normal pentru reeaua considerat se prezint sub forma:

(14) Prin rezolvarea sistemului cu una din metodele cunoscute

de la teoria de prelucrare a mrimilor geodezice, se obin coreciile: dx1, dx2,.. dx4, cu ajutorul crora se calculeaz valorile probabile ale cotelor:

15

(15)

Eroarea medie ptratic se calculeaz cu formula:

(16)

n care:

n numrul ecuaiilor de erori (n cazul exemplului considerat n = 8);

k numarul de necunoscute ce se calculeaz (n cazul exemplului considerat k = 4).

Dup scrierea sistemului liniar al ecuaiilor coreciilor urmeaz normalizarea i rezolvarea sistemului normal, proces n urma cruia rezult coreciile pentru altitudinile punctelor noi i coreciile pentru diferenele de nivel msurate (totul in cazul tratarii matriceale).

(17)

(18)

Notaii:

N - matricea sistemului normal de ecuaii; A - matricea coeficienilor sistemului de ecuaii ale coreciilor; P - matricea ponderilor; x - vectorul necunoscutelor;

l - vectorul termenilor liberi. Aceste valori adugate elementelor provizorii, respectiv, msurate vor conduce la obinerea valorilor cele mai probabile (compensate) pentru cele dou tipuri de mrimi: relaiile (4) i (5).

Ca la orice prelucrare, n final trebuie s se calculeze elementele de precizie.

Abaterea standard a unitii de pondere se poate determina cu relaia:

(19) n aceste relaii m reprezint numrul diferenelor de nivel msurate n reea, iar n numrul reperilor noi din reeaua considerat. n continuare se poate determina abaterea standard a unei diferene de nivel individuale compensate cu relaia:

(20) i abaterea standard a necunoscutelor (a mrimilor determinate indirect) cu relaia:

(21)

n final se poate determina i o valoare medie pe reea a abaterilor standard a necunoscutelor care prezint o informaie global asupra preciziei de determinare a altitudinilor reperelor.

(22)

, unde n reprezint numrul reperilor noi.

16

Compensarea reelelor de nivelment geometric geodezic prin metoda Helmert (metoda msurtorilor condiionate)

Metoda observaiilor condiionate utilizat la rezolvarea reelelor de nivelment este cunoscut sub denumirea de metoda poligoanelor, ntruct numrul condiiilor geometrice este dat de numrul poligoanelor reale i fictive existente n retea.

Numrul total de condiii geometrice r , dintr-o reea de nivelment se stabilete cu relaia:

(1)

unde:

npr numrul poligoanelor reale; npf numrul poligoanelor fictive; NV numrul punctelor vechi.

Metoda observaiilor condiionate este mai avantajoas dect metoda observaiilor indirecte, n cazul cnd numrul punctelor noi este mai mare dect numrul condiiilor geometrice.

Metoda observaiilor condiionate se aplic la reelele nivelitice independente sau dependente de ordinul I i II.

Fie, spre exemplu, reeaua nivelitic independent, format din poligoanele nchise I, II, III, IV (Figura nr. 2).

Introducem notaiile:

h1, h2, h8 diferenele de nivel msurate; (h1), (h2), (h8) diferenele de nivel probabile; v1, v2, v8 coreciile probabile ale diferenelor de nivel msurate;

S1, S2, S8 lungimile traverselor ce formeaz cele patru poligoane nchise; p1, p2, p8 ponderile mrimilor msurate.

Conform relaiei (1), se calculeaz numrul condiiilor geometrice:

(2)

Figura nr. 11: Reea de nivelment neconstrans.

Dac se respect sensul de cretere a declivitiilor indicat pe figur prin sgei, atunci n baza unui sens general de parcurgere (sensul orar), pot fi formate condiiile:

(3) dar:

(4)

17

i astfel cele patru condiii geometrice conduc la patru ecuaii de corecie de forma:

(5) unde:

(6) se numesc nenchideri nivelitice.

pi ponderile tronsoanelor de nivelment.

Pentru nivelmentul geometric ponderea unui tronson este dat de inversul lungimii traseului:

(7)

Sistemul de corecii obinut este nedeterminat i prin aplicarea condiiei [pvv] = minim, poate fi transformat ntrun sistem determinat, de forma:

(8)

Coeficienii ecuaiilor normale se pot exprima, n mod

direct, n funcie de lungimea traseelor de nivelment.

Pentru aceasta se pleac de la matricea coeficienilor, corespunztoare sistemului ecuaiilor de corecii:

(9) n funcie de care se culeaz:

18

(10)

= S1 seciunea comun poligoanelor I - II;

= 0 seciunea comun poligoanelor I - III;

= S4 seciunea comun poligoanelor I - IV, .a.m.d..

Cu aceti coeficieni sistemul ecuaiilor normale are o form simpl i poate fi scris direct dup schia traseelor, respectiv:

(11)

Rezolvnd acest sistem obinem corelatele k1, k2, k3, k4, cu ajutorul crora determinm coreciile, folosind relaiile:

(12)

innd seama de valoarea coeficienilor ecuaiilor de corecie, se obine:

(13)

Coreciile diferenelor de nivel, date de relaiile (13), pot fi scrise direct folosind urmtoarele reguli:

- corecia unei diferene de nivel, msurat pe o seciune interioar reelei, este dat de lungimea seciunii nmulit cu diferena dintre corelatele poligoanelor adiacente (sensul diferenei coincide cu sensul general de scriere a condiiilor);

19

- corecia unei diferene de nivel, msurat pe o seciune de contur a reelei, este dat de lungimea seciunii nmulit cu corelata poligonului din care face parte seciunea.

Diferenele de nivel compensate se obin cu relaia:

(14)

Eroarea medie patratic a unitii de pondere se calculeaz cu formula:

(15)

unde:

r este numrul ecuaiilor de condiie.

Dup obinerea diferenei de nivel compensate se calculeaz cotele punctelor nodale (pornind de la un punct de cot cunoscut, sau luat arbitrar) i apoi cotele punctelor de pe seciuni.

Compensarea reelelor de nivelment va fi tratat i pentru cazul reelelor de nivelment dependente, reele care conin dou sau mai multe puncte de cote cunoscute.

Fie, spre exemplu, reeaua nivelitic format din 4 poligoane nchise i dou puncte A, B ale caror cote sunt cunoscute (Figura nr. 2). Acest caz corespunde reelelor nivelitice de ordinul II i III. Dac traseul de nivelment ce se sprijin pe punctele date A, B se consider nchis, dup traseul imaginar, reprezentat punctat, formnd poligonul V, atunci ecuaiile de corecie se prezint sub forma:

(16)

Conform figurii, se poate scrie direct sistemul ecuaiilor normale:

(17)

unde lungimea poligonului fictiv V este:

(18) Din relaiile (17) se observ c sistemul ecuaiilor normale

poate fi scris direct de pe schia reelei. Indiferent de configuraia sa, fiecrui poligon (real sau fictiv) i corespunde o ecuaie normal constituit din:

- coeficientul corelatei de pe diagonala principal, cruia i corespunde lungimea (n km) a perimetrului poligonului considerat;

- coeficienii corelatelor poligoanelor adiacente, care sunt egali cu lungimea laturilor adiacente, luai cu semn schimbat;

- corelatele poligoanelor adiacente, reale sau fictive; - termenul liber, egal cu nenchiderea n poligon.

n afar de metodele prezentate, compensarea reelelor de nivelment geometric de ordinul III i IV se poate realiza prin metoda aproximaiilor succesive.

20

n principiu, metoda const n exprimarea corelatelor poligoanelor (ki) n funcie de nenchiderea diferenelor de nivel (wi), raportate la perimetrele poligoanelor Si, plus corectiile .

Prin introducerea acestor expresii n sistemul iniial al corelatelor, se obine un nou sistem normal de corelate , cu neinchiderile , dup care se exprim n functie de raportate la perimetrele poligoanelor Si plus corectiile , .a.m.d.. Operaiile se repet pn cnd nenchiderile diferenelor de nivel pe poligoane tind spre zero.

CONCLUZII :

Relaii uzuale descrie n procesul decompensare prin metoda observaiilor condiionate:

ecuaia de condiie: = = ;

unde r este numrul de msurtori excedentare, n este numrul de msurtori efectuate n reea i h sau u este numrul de msurtori strict necesare .

ecuaiile liniarizate de condiie ale coreciilor v : + = ;

ecuaiile normale ale corelatelor: + = ;

ecuaiile de determinare a coreciilor v : = ;

verificarea specific a observaiilor condiionate: = .

21

APLICAIE PRACTIC

22

Pentru uurina calculelor se redenumesc punctele i se numeroteaz diferenele de nivel conform figurii de mai jos:

Figura nr. 12: Schia reteei de urmrire de nivelment geometric (iniial).

23

Tronson . Tronson [ ] RF1 BV4 (RF1 4) 3 h1 3,75473

BV5 BV4 (5 4) 1 h2 0,15743

BV1 BV5 (1 5) 4 h3 4,87451

BV1 RF1 (1 RF1) 1 h4 1,29546

BV4 BV12 (4 12) 3 h5 4,70622

BV6 BV12 (6 12) 7 h6 4,61250

BV5 BV6 (5 6) 1 h7 0,26905

RF4 BV6 (RF4 6) 4 h8 2,76604

RF4 BV5 (RF4 5) 4 h9 2,49711

BV1 BV6 (1 6) 4 h10 5,13598

BV3 RF4 (3 RF4) 2 h11 2,36668

BV2 BV3 (2 3) 1 h12 0,11860

BV2 BV1 (2 1) 1 h12 0,10807

1. Calcule preliminarii Depistarea i eliminarea msurtorilor greite (se va realiza prin verificarea pe poligoane independente a nenchiderilor. Pentru calculul toleranei se va folosi relaia = , ( . ) ).

Verificarea pe poligoane independente a nenchiderilor: Poligonul I: + = 3,75474 0,17543 4,87451 + 1,29546 = 0,00025 = 0,25 = Poligonul II:

24

+ = 0,17543 + 4,70622 4,61250 0,26905 = 0,00010 = 0,10 = Poligonul III: + = 0,26905 2,76604 + 2,49711 = 0,00012 = 0,12 = Poligonul IV: + = 4,87451 + 0,26905 5,13598 = 0,00758 = 7,58 = Poligonul V: + = 4,87451 2,49711 2,36668 0,11860 + 0,10807 = 0,00019 = 0,19 = Calculul toleranelor: = 0,7 (3 + 1 + 4 + 1) = 0,07 (9) = 2,1 = 0,7 (1 + 3 + 7 + 1) = 0,07 (12) = 2,4 = 0,7 (4 + 1 + 4) = 0,07 (9) = 2,1 = 0,7 (4 + 1 + 4) = 0,07 (9) = 2,1 = 0,7 (4 + 4 + 2 + 1 + 1) = 0,07 (12) = 2,4

Din calculele efectuate, se observ c nenchiderea este mai mare dect tolerana pe Poligonul IV, deci se va elimina din calcule msurtoarea h10 (diferena de nivel de la punctul BV1 1 la BV6 6).

Nu se elimin alte msurtori (diferene de nivel), cu ajutorul crora s-a calculat nenchiderea n Poligonul IV, deoarece acestea intervin n calculul nenchiderilor din alte poligoane, nenchideri care se ncadreaz n toleran.

25

2. Compensarea releei utiliznd modelul Gauss Markov.

Ecuaia Suma

RF1 BV4 (RF1 4) 0 0 0 1 0 0 0 677,44867 676,449BV5 BV4 (5 4) 0 0 0 1 1 0 0 0,17543 0,175BV1 BV5 (1 5) 1 0 0 0 1 0 0 4,87451 4,875

BV1 RF1 (1 RF1) 1 0 0 0 0 0 0 672,39848 671,398BV4 BV12 (4 12) 0 0 0 1 0 0 1 4,70622 4,706BV6 BV12 (6 12) 0 0 0 0 0 1 1 4,61250 4,613BV5 BV6 (5 6) 0 0 0 0 1 1 0 0,26905 0,269

RF4 BV6 (RF4 6) 0 0 0 0 0 1 0 677,54242 676,542RF4 BV5 (RF4 5) 0 0 0 0 1 0 0 677,27349 676,273BV3 RF4 (3 RF4) 0 0 1 0 0 0 0 672,40970 671,410

BV2 BV3 (2 3) 0 1 1 0 0 0 0 0,11860 0,119BV2 BV1 (2 1) 1 1 0 0 0 0 0 0,10807 0,108

Suma 1 2 0 1 0 1 2 702,321 702,321

702,321

MODELUL FUNCIONAL MATRICEAL (SATATISTIC): = +

26

Matricea de design (Matricea coeficienilor parametrilor necunoscui):

=001100000001

000000000011

000000000110

110010000000

011000101000

000001110000000011000000

; dim = = 12 7

= 12 ecuaii = 7 necunoscute Vectorul parametrilor necunoscui:

= ; dim = 1 = 7 1

27

Vectorul termenilor liberi:

=677,448670,175434,87451672,398484,706224,612500,26905677,54242677,27349672,409700,118600,10807

; dim = 1 = 12 1

Vectorul coreciilor:

= ; dim = 1 = 12 1

28

MODELUL STOHASTIC MATRICEAL (DETERMINIST): = + ( + ) ( + ) = 0 > 0

= ( + ) + ( + ) = 0 + + + = 0 2 + 2 = 0 ( ) + = 0 = =

= ( ) + = = =2,2500001,0000000,0000000,0000000,2500000,0000000,000000

1,0000002,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,6666671,0000000,0000000,333333

0,2500000,0000000,0000001,0000002,5000001,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000001,3928570,142857

0,0000000,0000000,0000000,3333330,0000000,1428570,476190

29

=0001000

00011001000100

1000000

0001001

0000011

000011000000100000100

0010000

0110000

1100000; =

001100000001

000000000011

000000000110

110010000000

011000101000

000001110000000011000000

Calculul ponderilor: = 13 = 0,333; = 11 = 1,000 = 11 = 1,000; = 13 = 0,333 = 14 = 0,250; = 17 = 0,143

= 11 = 1,000; = 12 = 0,500 = 14 = 0,250; = 11 = 1,000 = 14 = 0,250; = 11 = 1,000

=0,33300000000000

01,0000000000000

000,250000000000

0001,00000000000

00000,3330000000

000000,143000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000000,250000

0000000000,50000

00000000001,0000

000000000001,000

;dim = = 12 12

30

=0,0000000,0000000,0000000,3333330,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,0000001,0000000,0000000,000000

0,2500000,0000000,0000000,0000000,2500000,0000000,000000

1,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,3333330,0000000,0000000,333333

0,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,1428570,142857

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000001,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,2500000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000000,2500000,0000000,000000

0,0000000,0000000,5000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,000001,000000,0000000,0000000,0000000,000000

1,000001,000000,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

Matricea sistemului normal:

= =2,2500001,0000000,0000000,0000000,2500000,0000000,000000

1,0000002,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,6666671,0000000,0000000,333333

0,2500000,0000000,0000001,0000002,5000001,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000001,3928570,142857

0,0000000,0000000,0000000,3333330,0000000,1428570,476190

Proprietile matricii sistemului normal:

a) este o matrice ptratic (numrul de linii este egal cu numrul de coloane n cazul acestei probleme: 7 7); b) este o matrice simetric fa de diagonala principal; c) este o matrice pozitiv definit (toi minorii caracteristici sunt mai mari ca zero (0)).

= 2,250 > 0; = 2,2500001,0000001,0000002,000000 = 3,500 > 0; = 2,2500001,0000000,000000 1,0000002,0000001,000000 0,0000001,0000001,500000 = 3,000 > 0;

= 2,2500001,0000000,0000000,000000 1,0000002,0000001,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,000000 0,0000000,0000000,0000001,666667 = 5,000 > 0;

31

= 2,2500001,0000000,0000000,0000000,2500001,0000002,0000001,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,0000000,000000 0,0000000,0000000,0000001,6666671,000000

0,2500000,0000000,0000001,0000002,500000 = 9,292 > 0;

=2,2500001,0000000,0000000,0000000,2500000,000000

1,0000002,0000001,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,6666671,0000000,000000

0,2500000,0000000,0000001,0000002,5000001,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000001,392857

= 7,942 > 0;

=2,2500001,0000000,0000000,0000000,2500000,0000000,000000

1,0000002,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,6666671,0000000,0000000,333333

0,2500000,0000000,0000001,0000002,5000001,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000001,3928570,142857

0,0000000,0000000,0000000,3333330,0000000,1428570,476190

= 2,499 > 0 dim = dim dim dim == ( )( )( ) = ( ) = (7 12)(12 12)(12 7) = (7 7)rang =min rang , rang , rang == min , , = = min 7, 12, 7 = 7 ( ) =

det =2,2500001,0000000,0000000,0000000,2500000,0000000,000000

1,0000002,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,6666671,0000000,0000000,333333

0,2500000,0000000,0000001,0000002,5000001,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000001,3928570,142857

0,0000000,0000000,0000000,3333330,0000000,1428570,476190

= 2,499

32

=2,2500001,0000000,0000000,0000000,2500000,0000000,000000

1,0000002,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000001,5000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,6666671,0000000,0000000,333333

0,2500000,0000000,0000001,0000002,5000001,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000001,3928570,142857

0,0000000,0000000,0000000,3333330,0000000,1428570,476190

=0,6972400,5229300,3486200,1381770,1834430,1461190,140560

0,5229301,1421980,7614650,1036330,1375820,1095890,105420

0,3486200,7614651,1743100,0690890,0917210,0730590,070280

0,1381770,1036330,0690891,3257890,8290650,7123291,141751

0,1834430,1375820,0917210,8290651,1006550,8767120,843359

0,1461190,1095890,0730590,7123290,8767121,4429220,931507

0,1405600,1054200,0702801,1417510,8433590,9315073,178678

=1,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000001,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000000,0000001,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000001,000000

=0001000

00011001000100

1000000

0001001

0000011

000011000000100000100

0010000

0110000

1100000

33

=0,1381770,1036330,0690891,3257890,8290650,7123291,141751

0,0452650,0339490,0226330,4967240,2715900,1643840,298392

0,5137980,3853480,2568990,6908870,9172130,7305940,702799

0,6972400,5229300,3486200,1381770,1834430,1461190,140560

0,0023820,0017870,0011910,1840380,0142940,2191782,036927

0,0055590,0041690,0027790,4294220,0333530,5114162,247171

0,0373240,0279930,0186620,1167360,2239430,5662100,088148

0,1461190,1095890,0730590,7123290,8767121,4429220,931507

0,1834430,1375820,0917210,8290651,1006550,8767120.843359

0,3486200,7614651,1743100,0690890,0917210,0730590,070280

0,1743100,3807330,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

0,1743100,6192670,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

=0,6972400,5229300,3486200,1381770,1834430,1461190,140560

0,5229301,1421980,7614650,1036330,1375820,1095890,105420

0,3486200,7614651,1743100,0690890,0917210,0730590,070280

0,1381770,1036330,0690891,3257890,8290650,7123291,141751

0,1834430,1375820,0917210,8290651,1006550,8767120,843359

0,1461190,1095890,0730590,7123290,8767121,4429220,931507

0,1405600,1054200,0702801,1417510,8433590,9315073,178678

=0001000

00011001000100

1000000

0001001

0000011

000011000000100000100

0010000

0110000

1100000

=0,33300000000000

01,0000000000000

000,250000000000

0001,00000000000

00000,3330000000

000000,143000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000000,250000

0000000000,50000

00000000001,0000

000000000001,000

34

=0,0460590,0345440,0230300,4419300,2763550,2374430,380584

0,0452650,0339490,0226330,4967240,2715900,1643840,298392

0,1284490,0963370,0642250,1727220,2293030,1826480,175700

0,6972400,5229300,3486200,1381770,1834430,1461190,140560

0,0007940,0005960,0003970,0613460,0047650,0730590,678976

0,0007940,0005960,0003970,0613460,0047650,0730590,321024

0,0373240,0279930,0186620,1167360,2239430,5662100,088148

0,0365300,0273970,0182650,1780820,2191780,3607310,232877

0, 0458610,0343950,0229300,2072660,2751640,2191780,210840

0,1743100,3807330,5871550,0345440,0458610,0365300,035140

0,1743100,3807330,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

0,1743100,6192670,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

=677,448670,175434,87451672,398484,706224,612500,26905677,54242677,27349672,409700,118600,10807

= 672,398649672,290709672,409439677,448719677,273312677,542379682,154921

Vectorul parametrilor necunoscui:

= = 672,398649672,290709672,409439677,448719677,273312677,542379682,154921

35

=001100000001

000000000011

000000000110

110010000000

011000101000

000001110000000011000000

; =677,4487190,1754074,874663672,3986494,7062024,6125430,269066677,542379677,273312672,4094390,1187300,107940

; =677,448670,175434,87451672,398484,706224,612500,26905677,54242677,27349672,409700,118600,10807

Vectorul coreciilor:

= = + = +0,0000490,000023+0,0001530,0001690,000018+0,000043+0,0000160,0000410,000178+0,000261+0,0001300,000130

= (0,000049 0,000023 0,000153 0,000169 0,000018 0,000043 0,000016 0,000041 0,000178 0,000261 0,000130 0,000130) = (0,000016 0,000023 0,000038 0,000169 0,000006 0,000006 0,000016 0,000010 0,000044 0,000130 0,000130 0,000130) = 1,126 107

36

Calculul (mrimilor compensate) diferenelor de nivel compensate: = + = + = 3,75473 + 0,00005 = 3,75478 = + = 0,17543 0,00002 = 0,17541 = + = 4,87451 + 0,00015 = 4,87466 = + = 1,29546 0,00017 = 1,29529 = + = 4,70622 0,00002 = 4,70620 = + = 4,61250 + 0,00004 = 4,61254

= + = 0,26905 + 0,00002 = 0,26907 = + = 2,76604 0,00004 = 2,76600 = + = 2,49711 0,00018 = 2,49693 = + = 2,36668 + 0,00026 = 2,36694 = + = 0,11860 + 0,00013 = 0,11873 = + = 0,10807 0,00013 = 0,10794

Tronson . Tronson [ ] [ ] [ ] RF1 BV4 (RF1 4) 3 h1 3,75473 0,00005 3,75478

BV5 BV4 (5 4) 1 h2 0,15743 0,00002 0,17541

BV1 BV5 (1 5) 4 h3 4,87451 0,00015 4,87466

BV1 RF1 (1 RF1) 1 h4 1,29546 0,00017 1,29529

BV4 BV12 (4 12) 3 h5 4,70622 0,00002 4.70620

BV6 BV12 (6 12) 7 h6 4,61250 0,00004 4,61254

BV5 BV6 (5 6) 1 h7 0,26905 0,00002 0,26907

RF4 BV6 (RF4 6) 4 h8 2,76604 0,00004 2,76600

RF4 BV5 (RF4 5) 4 h9 2,49711 0,00018 2,49693

BV1 BV6 (1 6) 4 h10 5,13598

BV3 RF4 (3 RF4) 2 h11 2,36668 0,00026 2,36694

BV2 BV3 (2 3) 1 h12 0,11860 0,00013 0,11873

BV2 BV1 (2 1) 1 h13 0,10807 0,00013 0,10794

37

Verificare:

Mrimile compensate (Diferenele de nivel compensate) se introduc n sistemul iniial al ecuaiilor de condiie: + = 3,75478 0,17541 4,87466 + 1,29529 = 0 + = 0,17541 + 4,70620 4,61254 0,26907 = 0 + = 0,26907 2,76600 + 2,49693 = 0 + = 4,87466 2,49693 2,36694 0,11873 + 0,10794 = 0

Calculul cotelor punctelor noi pe mai multe trasee: = 672,39865 din compensare = = 673,69394 1,29529 = 672,39865 = + = 674,77638 2,36694 0,11873 + 0,10794 = 672,39865 = + = 674,77638 + 2,76600 0,26907 4,87466 = 672,39865 = + + = 674,77638 + 2,76600 + 4,61254 4,70620 3,75478 1,29529 = 672,39865 = 672,29071 din compensare = = 673,69394 1,29529 0,10794 = 672,29071 = 11 12 = 674,77638 2,36694 0,11873 = 672,29071 = 4 + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,17541 3,75478 1,29529 0,10794 = 672,29071 = 672,40944 din compensare = + = 673,69394 1,29529 0,10794 + 0,11873 = 672,40944 = = 674,77638 2,36694 = 672,40944 = + + + + = = 674,77638 + 2,76600 + 4,61254 4,70620 3,75478 1,29529 0,10794 + 0,11873 + 2,36694 = 672,40944

38

= 677,44872 din compensare = + = 673,69394 + 3,75478 = 677,44872 = + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,17541 = 677,44872 = + + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 + 0,17541 = 677,44872 = + + = 674,77638 + 2,76600 0,26907 + 0,17541 = 677,44872 = 677,27331 din compensare = + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 = 677,27331 = + = 674,77638 + 2,49693 = 677,27331 = + = 673,69394 + 3,75478 0,17541 = 677,27331 = + = 674,77638 + 2,76600 0,26907 = 677,27331 = 677,54238 din compensare = + + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 + 0,26907 = 677,54238 = + = 674,77638 + 2,76600 = 677,54238 = + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,26907 = 677,54238 = + + + = 673,69394 1,29529 0,10794 + 0,11873 + 2,36694 + 2,76600 = 677,54238 = + + = 673,69394 + 3,75478 + 4,70620 4,61254 = 677,54238 = 682,15492 din compensare = + + = 673,69394 + 3,75478 + 4,70620 = 682,15492 = + + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,17541 + 4,70620 = 682,15492 = + + = 674,77638 + 2,76600 + 4,61254 = 682,15492 = + + + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 + 0,26907 + 4,61254 = 682,15492

39

Estimarea preciziilor:

= = + = 0,0000490,0000230,0001530,0001690,0000180,0000430,0000160,0000410,0001780,0002610,0001300,000130

= (0,000049 0,000023 0,000153 0,000169 0,000018 0,000043 0,000016 0,000041 0,000178 0,000261 0,000130 0,000130)

=0,33300000000000

01,0000000000000

000,250000000000

0001,00000000000

00000,3330000000

000000,143000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000000,250000

0000000000,50000

00000000001,0000

000000000001,000

= (0,000016 0,000023 0,000038 0,000169 0,000006 0,000006 0,000016 0,000010 0,000044 0,000130 0,000130 0,000130) = 1,126 10

40

Abaterea standard de selecie a unitii de pondere: = ; unde: reprezint numrul de msurtori = 12; reprezint numrul de necunoscute = 7 (cotele celor apte (7) puncte noi). = 1,126 10 12 7 = 1,126 10 5 = 0,000345 = 0,000342,236 = , . Estimarea preciziei parametrilor necunoscui: = ( )11 = 0,00034 0,697240 = 0,00015 0,835009 = , = ( )22 = 0,00034 1,142198 = 0,00015 1,068737 = , = ( )33 = 0,00034 1,174310 = 0,00015 1,083656 = , = ( ) = 0,00034 1,325789 = 0,00015 1,151429 = , = ( )55 = 0,00034 1,100655 = 0,00015 1,049121 = , = ( )66 = 0,00034 1,442922 = 0,00015 1,201217 = , = ( )77 = 0,00034 3,178678 = 0,00015 1,782885 = ,

41

3. Compensarea reelei utiliznd modelul Helmert.

Deoarece s-a eliminat din calcule msurtoarea h10 (diferena de nivel de la punctul BV1 1 la BV6 6), depistat la punctul 1 al problemei ca

fiind greit, Poligonul IV dispare i pentru rezolvarea problemei se introduce Poligonul VI, conform figurii de mai jos:

Figura nr. 13: Schia reteei de urmrire de nivelment geometric (final)

42

Stabilirea numrului ecuaiilor de condiie: = = 12 7 = 5, unde: reprezint numrul de msurtori = 12; reprezint numrul de necunoscute = 7 (cotele celor treiapte (7) puncte noi); reprezint numrul ecuaiilor de condiie = 5. ntocmirea ecuaiilor de condiie: + = 0 + = 0 + = 0 + = 0 + = 0 = + + + + = 0+ + + = 0 + + + = 0 + + + = 0+ + + = 0

Cu forma general a ecuaiei de corecie urmtoarea: = 1 + 2 ++ . : reprezint nenchiderile sau discordanele i obin introducnd n sistemul ecuaiilor de condiie valoarea msurat ( ) .

43

+ = 3,75474 0,17543 4,87451 + 1,29546 = 0,00025 = 0,25 = + = 0,17543 + 4,70622 4,61250 0,26905 = 0,00010 = 0,10 = + = 0,26905 2,76604 + 2,49711 = 0,00012 = 0,12 = + = 4,87451 2,49711 2,36668 0,11860 + 0,10807 = 0,00019 = 0,19 = + = 2,36668 + 0,11860 0,10807 1,29546 (674,77638 673,69394) = = 2,36668 + 0,11860 0,10807 1,29546 1,08244 = 0,00069 = + + = 0+ + = 0 + + = 0 + + = 0+ + = 0

+ + 0,00025 = 0+ + 0,00010 = 0 + + 0,00012 = 0 + + 0,00019 = 0+ 0,00069 = 0 Matricea coeficienilor coreciilor:

= 1000011000

10010 10001

0100001000

01100 00100

00110 00011

00011 00011 ; dim = = 5 12

44

Ecuaia Suma

1 1 0 0 0 0 1

2 1 1 0 0 0 0

3 1 0 0 1 0 0

4 1 0 0 0 1 0

5 0 1 0 0 0 1

6 0 1 0 0 0 1

7 0 1 1 0 0 0

8 0 0 1 0 0 1

9 0 0 1 1 0 0

10 0 0 0 1 1 0

11 0 0 0 1 1 0

12 0 0 0 1 1 0

Suma 0 0 1 1 0 0 0 Vectorul nenchiderilor (discordanelor):

= = 0,000250,000100,000120,000190,00069 ; dim = 1 = 5 1 Vectorul corelatelor (multiplicatorilor Lagrange):

45

= ; dim = 1 = 5 1 Vectorul coreciilor:

= ; dim = 1 = 12 1

MODELUL FUNCIONAL MATRICEAL (SATATISTIC): + = 0 MODELUL STOHASTIC MATRICEAL (DETERMINIST):

46

= =00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

Calculul ponderilor: = 13 = 0,333; = 11 = 1,000 = 11 = 1,000; = 13 = 0,333 = 14 = 0,250; = 17 = 0,143 = 11 = 1,000; = 12 = 0,500 = 14 = 0,250; = 11 = 1,000 = 14 = 0,250; = 11 = 1,000

47

Matricea ponderilor:

=0,33300000000000

01,0000000000000

000,250000000000

0001,00000000000

00000,3330000000

000000,143000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000000,250000

0000000000,50000

00000000001,0000

000000000001,000

;dim = = 12 12

: = 2 ( + ) ; = ( , ) = 0; = 0 0; 0 = + 2 = 0 = 0 = 1 = 1

48

= 2 ( + ) = 0 + = 0 = 1 + = 0 + = 0 ( ) = + = 0 ( )

= 1000011000

10010 10001

0100001000

01100 00100

00110 00011

00011 00011

=3,00000000000000

01,0000000000000

004,000000000000

0001,00000000000

00003,0000000000

000007,000000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000004,000000

0000000002,00000

00000000001,0000

000000000001,000

49

= 1000011000

10010 10001

0100001000

01100 00100

00110 00011

00011 00011 ; =

111100000000

010011100000

000000111000

001000001111

000100000111

= 3000011000

40040 10001

0300007000

01100 00400

00440 00022

00011 00011

Matricea sistemului normal al corelatelor:

= = 91041112100

01940 404124

10045 Proprietile matricii sistemului normal:

a) este o matrice ptratic (numrul de linii este egal cu numrul de coloane n cazul acestei probleme: 5 5);

b) este o matrice simetric fa de diagonala principal;

50

c) este o matrice pozitiv definit (toi minorii caracteristici sunt mai mari ca zero (0)). = 9 > 0; = 91112 = 107 > 0; = 910 1121 019 = 954 > 0;

= 910411210

01944004 = 7992 > 0; =

91041112100

01940 404124

10045 = 20148 > 0 dim = dim dim dim == ( )( )( ) = ( ) = (5 12)(12 12)(12 5) = (5 5)rang =min rang , rang , rang == min , , = = min 5, 12, 5 = 5 ( ) =

= 91041112100

01940 404124

10045

det = 91041112100

01940 404124

10045 = 20148

51

= 0,1860230,0204490,0593610,1284490,1399640,0204490,0865590,0182650,0194560,019655

0,0593610,0182650,1598170,1050230,0958900,1284490,0194560,1050230,2314370,210840

0,1399640,0196550,0958900,2108400,396665 ; =1,0000000,0000000,0000000,0000000,000000

0,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000001,0000000,0000000,000000

0,0000000,0000000,0000001,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000001,000000

+ = 0| =

= 0,1860230,0204490,0593610,1284490,1399640,0204490,0865590,0182650,0194560,019655

0,0593610,0182650,1598170,1050230,0958900,1284490,0194560,1050230,2314370,210840

0,1399640,0196550,0958900,2108400,396665 = = 0,1860230,0204490,0593610,1284490,139964

0,0204490,0865590,0182650,0194560,0196550,0593610,0182650,1598170,1050230,095890

0,1284490,0194560,1050230,2314370,2108400,1399640,0196550,0958900,2108400,396665

Vectorul corelatelor (multiplicatorilor Lagrange):

= = 0,0000160,0000060,0000100,0000550,000185 = 1

52

=3,00000000000000

01,0000000000000

004,000000000000

0001,00000000000

00003,0000000000

000007,000000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000004,000000

0000000002,00000

00000000001,0000

000000000001,000

=111100000000

010011100000

000000111000

001000001111

000100000111;

= 0,0000160,0000060,0000100,0000550,000185

53

=314100000000

010037100000

000000144000

004000004211

000100000211

Vectorul coreciilor:

= = 0,0000490,0000230,0001530,0001690,0000180,0000430,0000160,0000410,0001780,0002610,0001300,000130

54

Calculul (mrimilor compensate) diferenelor de nivel compensate: = + = + = 3,75473 + 0,00005 = 3,75478 = + = 0,17543 0,00002 = 0,17541 = + = 4,87451 + 0,00015 = 4,87466 = + = 1,29546 0,00017 = 1,29529 = + = 4,70622 0,00002 = 4,70620 = + = 4,61250 + 0,00004 = 4,61254

= + = 0,26905 + 0,00002 = 0,26907 = + = 2,76604 0,00004 = 2,76600 = + = 2,49711 0,00018 = 2,49693 = + = 2,36668 + 0,00026 = 2,36694 = + = 0,11860 + 0,00013 = 0,11873 = + = 0,10807 0,00013 = 0,10794

Tronson . Tronson [ ] [ ] [ ] RF1 BV4 (RF1 4) 3 h1 3,75473 0,00005 3,75478

BV5 BV4 (5 4) 1 h2 0,15743 0,00002 0,17541

BV1 BV5 (1 5) 4 h3 4,87451 0,00015 4,87466

BV1 RF1 (1 RF1) 1 h4 1,29546 0,00017 1,29529

BV4 BV12 (4 12) 3 h5 4,70622 0,00002 4.70620

BV6 BV12 (6 12) 7 h6 4,61250 0,00004 4,61254

BV5 BV6 (5 6) 1 h7 0,26905 0,00002 0,26907

RF4 BV6 (RF4 6) 4 h8 2,76604 0,00004 2,76600

RF4 BV5 (RF4 5) 4 h9 2,49711 0,00018 2,49693

BV1 BV6 (1 6) 4 h10 5,13598

BV3 RF4 (3 RF4) 2 h11 2,36668 0,00026 2,36694

BV2 BV3 (2 3) 1 h12 0,11860 0,00013 0,11873

BV2 BV1 (2 1) 1 h13 0,10807 0,00013 0,10794

55

Verificare: Mrimile compensate (Diferenele de nivel compensate) se introduc n sistemul iniial al ecuaiilor de condiie: + = 3,75478 0,17541 4,87466 + 1,29529 = 0 + = 0,17541 + 4,70620 4,61254 0,26907 = 0 + = 0,26907 2,76600 + 2,49693 = 0 + = 4,87466 2,49693 2,36694 0,11873 + 0,10794 = 0 + = 2,36694 + 0,11873 0,10794 1,29529 (674,77638 673,69394) = = 2,36694 + 0,11873 0,10794 1,29529 1,08244 = 0

Calculul cotelor punctelor noi pe mai multe trasee: = = 673,69394 1,29529 = 672,39865 = + = 674,77638 2,36694 0,11873 + 0,10794 = 672,39865 = + = 674,77638 + 2,76600 0,26907 4,87466 = 672,39865 = + + = 674,77638 + 2,76600 + 4,61254 4,70620 3,75478 1,29529 = 672,39865 = = 673,69394 1,29529 0,10794 = 672,29071 = 11 12 = 674,77638 2,36694 0,11873 = 672,29071 = 4 + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,17541 3,75478 1,29529 0,10794 = 672,29071 = + = 673,69394 1,29529 0,10794 + 0,11873 = 672,40944 = = 674,77638 2,36694 = 672,40944 = + + + + = = 674,77638 + 2,76600 + 4,61254 4,70620 3,75478 1,29529 0,10794 + 0,11873 + 2,36694 = 672,40944

56

= + = 673,69394 + 3,75478 = 677,44872 = + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,17541 = 677,44872 = + + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 + 0,17541 = 677,44872 = + + = 674,77638 + 2,76600 0,26907 + 0,17541 = 677,44872 = + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 = 677,27331 = + = 674,77638 + 2,49693 = 677,27331 = + = 673,69394 + 3,75478 0,17541 = 677,27331 = + = 674,77638 + 2,76600 0,26907 = 677,27331 = + + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 + 0,26907 = 677,54238 = + = 674,77638 + 2,76600 = 677,54238 = + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,26907 = 677,54238 = + + + = 673,69394 1,29529 0,10794 + 0,11873 + 2,36694 + 2,76600 = 677,54238 = + + = 673,69394 + 3,75478 + 4,70620 4,61254 = 677,54238 = + + = 673,69394 + 3,75478 + 4,70620 = 682,15492 = + + + = 674,77638 + 2,49693 + 0,17541 + 4,70620 = 682,15492 = + + = 674,77638 + 2,76600 + 4,61254 = 682,15492 = + + + = 673,69394 1,29529 + 4,87466 + 0,26907 + 4,61254 = 682,15492

57

Estimarea preciziilor: = 1 = 1| = 1 = | = + = 0 = = = (0,000049 0,000023 0,000153 0,000169 0,000018 0,000043 0,000016 0,000041 0,000178 0,000261 0,000130 0,000130)

=0,33300000000000

01,0000000000000

000,250000000000

0001,00000000000

00000,3330000000

000000,143000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000000,250000

0000000000,50000

00000000001,0000

000000000001,000

= (0,000016 0,000023 0,000038 0,000169 0,000006 0,000006 0,000016 0,000010 0,000044 0,000130 0,000130 0,000130) = 1,126 10

58

= (0,000016 0,000006 0,000010 0,000055 0,000185) = (0,000016 0,000006 0,000010 0,000055 0,000185)

= 0,000250,000100,000120,000190,00069 = 1,126 10 Abaterea standard de selecie a unitii de pondere: = = = = ; unde: reprezint numrul de msurtori = 12; reprezint numrul de msurtori strict necesare = 7; reprezint numrul ecuaiilor de condiie = 5. = 1,126 10 12 7 = 1,126 10 5 = 0,000345 = 0,000342,236 = , . Estimarea preciziei parametrilor necunoscui: = + = 11 12 = = + +

59

= + = + = + + +

=000000000111

; =000000000110

; =000000000100

; =010000001000

; =000000001000

; =000000010000

; =010010001000

;

=000000000111

000000000110

000000000100010000001000000000001000000000010000010010001000

; =0000000000100100000000000000000000100000000000000000001000011011110000

1100000

1000000

60

=3,00000000000000

01,0000000000000

004,000000000000

0001,00000000000

00003,0000000000

000007,000000000

0000001,00000000

00000000,2500000

000000004,000000

0000000002,00000

00000000001,0000

000000000001,000

=0000000000100100000000000000000000300000000000000000004000044042220000

1100000

1000000

=4320000332100022200000005405000440400000400005408

61

=0000000000100100000000000000000000300000000000000000004000044042220000

1100000

1000000

; =111100000000

010011100000

000000111000

001000001111

000100000111

=00010010001004

0004444

43244044320000

= 0,1860230,0204490,0593610,1284490,1399640,0204490,0865590,0182650,0194560,019655

0,0593610,0182650,1598170,1050230,0958900,1284490,0194560,1050230,2314370,210840

0,1399640,0196550,0958900,2108400,396665

=0,0460590,0345440,0230300,4419300,2763550,2374430,380584

0,0007940,0005960,0003970,0613460,0047650,0730590,321024

0,0365300,0273970,0182650,1780820,2191780,6392690,232877

0,0823900,0617930,0411950,6146520,5056580,4200910,556284

0,7433000,5574750,3716500,5801070,4597970,3835620,521144

62

= 1000011000

10010 10001

0100001000

01100 00100

00110 00011

00011 00011

=

=0,0460590,0345440,0230300,4419300,2763550,2374430,380584

0,0452650,0339490,0226330,5032760,2715900,1643840,701608

0,1284490,0963370,0642250,1727220,2293030,1826480,175700

0,6972400,5229300,3486200,1381770,1834430,1461190,140560

0,0007940,0005960,0003970,0613460,0047650,0730590,321024

0,0007940,0005960,0003970,0613460,0047650,0730590,321024

0,0373240,0279930,0186620,1167360,2239430,5662100,088148

0,0365300,0273970,0182650,1780820,2191780,6392690,232877

0,0458610,0343950,0229300,7927340,7248360,2191780,789160

0,8256900,6192670,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

0,8256900,6192670,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

0,8256900,6192670,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

=

=0,1381770,1036330,0690891,3257890,8290650,7123291,141751

0,0452650,0339490,0226330,5032760,2715900,1643840,701608

0,5137980,3853480,2568990,6908870,9172130,7305940,702799

0,6972400,5229300,3486200,1381770,1834430,1461190,140560

0,0023820,0017870,0011910,1840380,0142940,2191780,963073

0,0055590,0041690,0027790,4294220,0333530,5114162,247171

0,0373240,0279930,0186620,1167360,2239430,5662100,088148

0,1461190,1095890,0730590,7123290,8767122,5570780,931507

0,1834430,1375820,0917213,1709352,8993450,8767123,156641

1,6513801,2385350,8256900,0690890,0917210,0730590,070280

0,8256900,6192670,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

0,8256900,6192670,4128450,0345440,0458610,0365300,035140

63

=000000000111

000000000110

000000000100010000001000000000001000000000010000010010001000

=3,3027602,4770701,6513800,1381770,1834430,1461190,140560

2,4770701,8578021,2385350,1036330,1375820,1095890,105420

1,6513801,2385350,8256900,0690890,0917210,0730590,070280

0,1381770,1036330,0690893,6742113,1709350,7123293,858249

0,18344300,1375820,0917213,1709352,8993450,8767123,156641

0,1461190,1095890,0730590,7123290,8767122,5570780,931507

0,1405600,1054200,0702803,8582493,1566410,9315074,821322

=4320000332100022200000005405000440400000400005408

64

= =0,6972400,5229300,3486200,1381770,1834430,1461190,140560

0,5229301,1421980,7614650,1036330,1375820,1095890,105420

0,3486200,7614651,1743100,0690890,0917210,0730590,070280

0,1381770,1036330,0690891,3257890,8290650,7123291,141751

0,1834430,1375820,0917210,8290651,1006550,8767120,843359

0,1461190,1095890,0730590,7123290,8767121,4429220,931507

0,1405600,1054200,0702801,1417510,8433590,9315073,178678

= = 0,00015 0,697240 = 0,00015 0,835009 = ,

= = 0,00015 1,142198 = 0,00015 1,068737 = , = = 0,00015 1,174310 = 0,00015 1,083656 = , = = 0,00015 1,325789 = 0,00015 1,151429 = , = = 0,00015 1,100655 = 0,00015 1,049121 = , = = 0,00015 1,442922 = 0,00015 1,201217 = , = = 0,00015 3,178678 = 0,00015 1,782885 = ,

65

4. Reprezentarea grafic a reelei de nivelment, cu indicatorii calitativi obinui prin cele dou metode.

66

67

5. Tabel comparativ cu indicatorii cantitativi i calitativi obinui n urma compensrii.

Modelul Gauss Markov Modelul Helmert Indicator cantitativ Coordonatele punctelor noi Indicator cantitativ Coordonatele punctelor noi

= 672,39865 = 672,29071 = 672,40944 = 677,44872 = 677,27331 = 677,54238 = 682,15492

= 672,39865 = 672,29071 = 672,40944 = 677,44872 = 677,27331 = 677,54238 = 682,15492

Indicator cantitativ Abaterea standard de

selecie a unitii de pondere Indicator cantitativ Abaterea standard de

selecie a unitii de pondere = 0,00015 .

= 0,00015 .

68

Modelul Gauss Markov Modelul Helmert Indicator calitativ Estimarea preciziei

parametrilor necunoscuiIndicator calitativ Estimarea preciziei

parametrilor necunoscui = 0,00013

= 0,00016 = 0,00016 = 0,00017 = 0,00016 = 0,00018 = 0,00027

= 0,00013 = 0,00016 = 0,00016 = 0,00017 = 0,00016 = 0,00018 = 0,00027

69

6. CONCLUZII.

A. REFERITOR LA ANALIZA DIRECT A DATELOR

1) n urma compensrii de nivelment geometric

geodezic prin cele dou metode: modelul Gauss - Markov

(msurtorilor indirecte), respectiv modelul Helmert

(msurtorilor condiionate) se poate observa c se obin aceleai

rezultate, att pentru indicatorii cantitativi (cotele punctelor noi

i abaterea standard a unitii de pondere), ct i pentru

indicatorii calitativi (precizia parametrilor necunoscui).

2) Se observ c n cazul ambelor modele, coreciile

(aplicate diferenelor de nivel provizorii pentru a obine

diferenele de nivel compensate) sunt aceleai (vectorul

coreciilor este acelai), ceea ce duce la obinerea acelorai cote

pentru punctele noi n cazul ambelor modele de compensare.

3) De asemenea, se poate observa c inversa matricii

sistemului normal n cazul modelului Gauss - Markov este

aceeai cu matricea cofactorilor funciei n cazul modelului

Helmert. Acest lucru explic de ce se obin i aceleai precizii

pentru cotele noilor puncte n cazul ambelor modele de

compensare supuse analizei comparative n cadrul acestei lucrri.

4) Orice compensare geodezic de nivelment este

dirijat prin modelul funcioanal (liniarizat sau nu) sau

determinist i respectiv stochastic sau statistic.

Mode lu l func i on a l aplicat, n ambele cazuri de

compensri, ofer descrierea geometric fizic a situaiei avute

spre rezolvare, prin intermediul unor funciuni, mrimi constante

sau variabile.

M o d e l u l s t o c h a s t i c pune n eviden caracteristicile

stochastice (bazat pe calculul matematic al probabilitilor) si

legaturile de interdependen stohastic existente ntre

elementele cu care s-a alcatuit modelul funcional. n mod

deosebit trebuie menionate aici condiia de minim i matricea de

corelaie sau varian covarian a observaiilor efectuate.

5) Modelul funcional statistic acceptat (adoptat)

iniial poate fi mbunatatit pe baza unor rezultate ortinue

(eventual, compensri pariale sau chiar o compensare global

preliminar). n acest sens putem meiona: analiza ponderilor

grupelor (ncrederilor) de msuratori, examinarea semnificaiei

statistice (stochastice) a unor necunoscute folosite .a.m.d.

70

B. REFERITOR LA ANALIZA INDIRECT A DATELOR VIITOARELE CARACTERISTICI ALE

REELEI DE URMRIRE

Scopul msurtorilor geodezice repetate este acela de a

determina dac punctele reelei geodezice de urmari considerate

au micari reale sau sunt stabile.Dac se pleac de la premisa c

aceste puncte sunt materializate cu grija necesar, midificriile

n coordonatele punctelor geodezice pot fi asimilate cu

modificrile suportului pe care acestea sunt amplasate:

construcii masive (poduri, baraje etc.), terenuri supuse

alunecrilor, micri crustale recente n zone seismice active

s.a.m.d.

Prelucrarea msurtorilor n vederea determinrii

deplasrilor i deformaiilor prezint un grad ridicat de

complexitate i un volum mare de calcule. n funcie de metoda

aleas pentru analiza deplasrilor i deformaiilor, se impune

efectuarea compensrii mrimilor msurate, individual, pentru

fiecare epoc (etapa) de msurare, sau n bloc.

Este necesar efectuarea analizei deplasrilor i

deformaiilor prin metode specifice statisticii matematice,

deoarece pe aceast cale nu se determin doar nite simple

diferene ntre altitudinile punctelor reelei geodezice de

urmrire la diferite epoci de msurare, ci se analizeaz

semnificaia lor din punct de vedere statistic. Astfel, dac aceste

diferene conin doar informaii n legtur cu erorile de

msurare, atunci acestea nu vor fi considerate a fi semnificative

si sunt afirmative d.p.d.v. statistic, ns dac diferenele conin

informaii att cu privire la erorile de msurare, ct i deplasrile

pe care le-au suferit punctele, atunci aceste diferene vor fi

considerate semnificative (se poate aplica testul Student ).

71

Bibliografie selectiv: [1.] Charles, D. Ghilani, Wolf, Paul R., Adjustment Computations: Space Data Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, printed

in United States of America, March 9, 2006. [2.] Fotescu, N., Teoria erorilor de msurare i teoria celor mai mici ptrate, EICB, Bucureti, 1978. [3.] Fotescu, N., Svulescu, C., ndrumtor pentru lucrri practice la teoria erorilor, EICB, Bucureti, 1988. [4.] Ghiu, D., Geodezie i gravimetrie geodezic, EDP, Bucureti, 1983. [5.] Ghiu, D., Geodezie: Triagulaie, EDP, Buscureti, 1972. [6.] Krakiwsky, E., J., A synthesis of recent advances in the method of least squares Lecture Notes 42, Third

Corected Edition, UNB - Geodesy & Geomatics Engineering, Department of Surveying Engineering University of New Brunswick, October, 1994.

[7.] Moldoveanu, C., Muat, C., Grecea, C., David, V., Dumitrache, M., G.,

Revista de Geodezie, Cartografie i Cadastru Volumul 15 Numerele 1 i 2 , Bucureti, 2006.

[8.] Moldoveanu, C., Geodezie: Noiuni de Geodezie fizic i elipsoidal, poziionare, Editura Matrix, Bucureti, 2002.

[9.] Moritz, H., Yurkina, M., S., M.S. Molodensky: In Memoriam Lecture Notes NO. 23, Mitteilungen der geodtischen Institute der Technischen Universitt Graz, Graz, 2000.

[10.] Popa, S., A., Contribuii privind automatizarea procesului de prelucrare i interpretare a datelor n vederea determinrii deplasrilor i deformaiilor, Taz de doctorat, UTCB, Bucureti, 2012.

[11.] Rusu, A., Bo, N., Kiss, A. Geodezie topografie, EDP, Bucureti, 2006. [12.] Tomoiag, T., S., Contribuii privind determinarea ondulaiilor geoidului folosind modelele geopoteniale

globale i date gravimetrice locale, Taz de doctorat, ATM, Bucureti, 2007. [13.] Vanicek, P., Brief outline of the Molodenskij theory: the determination of the figure of the earth Lecture

Notes 23, Second Printing, UNB - Geodesy & Geomatics Engineering, Department of Surveying Engineering University of New Brunswick, June, 1993.

72

[14.] Vanicek, P., Introduction to adjustment calculus Lecture Notes 35, Third Corected Edition, UNB - Geodesy & Geomatics Engineering, Department of Surveying Engineering University of New Brunswick, October, 1995.

[15.] Wolf, Paul R., Charles, D. Ghilani, Elementary Surveying, 11th ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2006. [16.] * * * Note de curs la disciplina Geodezie matematic 2, UTCB, Bucureti, 2012. [17.] * * * Note de curs la disciplina Compensarea msurtorilor i statistic 2, UTCB, Bucureti,

2011/2012. Siteografie (link-uri):

[1.] http://www.scrigroup.com/geografie/geologie/NIVELMENTUL-GEODEZIC23999.php

[2.] http://www.geod.nrcan.gc.ca/images/wgs84geoid_e.jpg

[3.] http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0264370706000706

[4.] http://www.osi.ie/Services/GPS-Services/Reference-Information/Geodetic-%28Ellipsoidal%29-Co-ordinates.aspx

[5.] http://www.scritube.com/stiinta/arhitectura-constructii/Nivelmentul-geometric1137231115.php

[6.] http://www.topo-online.ro/p_numerice/compensare_1D/descriere.html

Contact: BENEDIC Codru George, student Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti, facultatea de Geodezie, codrutbendic81@yahoo.ro

BENCIU Siviu tefan, student Universitatea Tehnic de Construc i i Bucureti, facultatea de Geodezie, benciusilviu@yahoo.com

PTULEA Adrian Dan, student Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti, facultatea de Geodezie, adrian.patulea@yahoo.com

RF1

RF4

12

3

45

6

7

90 140190

240290

EST

672.00672.0

0

674.00674.00

676.00

676.00

678.00

678.00

680.00

680.00

90 140

190

240

290

150

200

250

NORD

150

200

250

UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTIFACULTATEA DE GEODEZIE

Specializarea: MASURATORI TERESTRE SI CADASTRUCONCURS DE PROIECTE LA DISCIPLINA

COMPENSAREA MASURATORILOR SI STATISTICAPlansa nr

1

ECHIPA:INTOCMIT: BENCIU Silviu - Stefan

BENDIC CodrutPATULEA Adrian - Dan

SCARA1:500

DATAIUNIE 2012

REPREZENTAREA CURBELOR DE NIVEL

Echidistanta curbelor de nivel : E = 0.50 m

0 50 100 150

SACRA GRAFICA SIMPLA

UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTIFACULTATEA DE GEODEZIE

Specializarea: MASURATORI TERESTRE SI CADASTRUCONCURS DE PROIECTE LA DISCIPLINA

COMPENSAREA MASURATORILOR SI STATISTICAPlansa

nr 2

ECHIPA:INTOCMIT: BENCIU Silviu - Stefan

BENDIC CodrutPATULEA Adrian - Dan

SCARA 2D1:500

SCARA 1D1:100

DATAIUNIE 2012

REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALAA TERENULUI

Echidistanta curbelor de nivel : E = 0.50 m

100

150

200

250

300

EST

160

210

NORD

672

674

676

678

680

682

CO

TA

Interpolare: Kriging / Tip: Punct / Densitate grid (celula): 100 X 46

Concurs compensari finat.pdfREPREZENTAREA 2D - A2.pdf