Conjuntos

Laura Dávalos

Concepto

• Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros de un conjunto– La colección de plumas azules– Mujeres mexicanas entre 20 y 30 años– Los mejores alumnos de redes– Las chicas más guapas de redes

Representación

• El identificador del conjunto se representa po una letra del alfabeto en mayúsculas

• Los elementos del conjunto por minúsculas, números o ambos

• Los elementos se muestran entre llaves { } separados por comas

Representación de un conjunto

• El conjunto B tiene como elementos las letras de la palabra mandarina

B ={ m,a,n,d,a,r,i,n,a} ={m,a,n,d,r,i} ={n,r,a,i,m,d}

Se pueden eliminar los repetidos y el orden no importa

Pertenencia

• Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto C si se verifica que el elemento está dentro del conjunto

x ϵ C• Si el elemento x no pertenece al conjunto C

x ϵ C

A={1,3,5,7,9}3 ϵ A pero 6 ϵ A

Notación abstracta

• Se usa cuando no es posible o resulta inconveniente listar los elementos del conjunto

A={x | P(x)}A es el conjunto de las x, tal que cumple con la

condición P(x)

• Sea B el conjunto que tiene como elementos a todas las palabras del idioma español que inician con la letra E

B={x|x es una palabra del idioma español que comienza con e}

• Sea C el conjunto que tiene a todos los números reales comprendidos entre 2 y 3

• C={x|x es un número real entre 2 y 3}

Conjuntos definidos

N Conjunto de los números naturalesN={0,1,2,3,…}

Z+ Conjunto de los números enteros no negativosZ+={1,2,3,…}

Z Conjunto de los números enterosZ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Q Conjunto de números racionalesQ={a/b | a,b ϵ Z; b ≠0}

R Conjunto de los números realesU = conjunto universoØ = conjunto vacío

Subconjuntos

• Si todos los elementos de A también son elementos de B, se dice que A es subconjunto de B, o que A está contenido en B

Si A no es subconjunto de BBA

BA

CB

CA

BA

AB

AC

BC

C

B

xZxxA

}45,15,12{

}82,45,30,21,15,12,11,5,3,2{

}10010;|{

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismoEl conjunto vacío es subconjunto de todos y de sí mismoTodos los conjuntos son subconjuntos del conjunto universo U

Conjunto Potencia

• Si A es un conjunto entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se llama potencia de A y se indica como P(A)

El número de subconjuntos de A está dado porDonde n es el número de elementos de A

}},,{},,{},,{},,{},{},{},{,{)(

},,{

cbacbcabacbaAP

cbaA

n2

Ejercicios 1

1. ¿cuáles son los elementos de los siguientes conjuntos?

a) A={x|x es una letra de la palabra hola}b) B={x|x es un dígito del número 103836}c) C={x|xϵ Z+; x-4 ≤3}d) D={x|x es un dígito válido en el sistema

hexadecimal}e) E={x|x ϵ Z; es divisible entre 3; -4<x<17}f) A={x|x ϵ Z+; x es primo; x es par}

• B={x|x ϵ Z+;5>x-2}• C={x|x es una letra de la palabra America

diferente de vocal}• D={x|x Z+; xes múltiplo de 7; x <100;x es

impar}

Diagrama de Venn

A

C B

Operaciones con conjuntos

• Union (A U B)• La unión del conjunto A y el conjunto B es el

conjunto que contiene todos los elementos de A y de B

A B

A U B

Unión

• Sean los conjuntos:A={1,2,3,6,7,8}B={x|x ϵ Z+; x≤12; x es par}

La unión de los conjuntos sería:A U B ={1,2,3,4,6,7,8,9,10,12}

Leyes para la unión

Ley conmutativa A U B= B U ALey de idempotencia A U A = A y A=BA U U = U

Intersección

• La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B

};|{ BxAxxBA

A B

Intersección

A={1,2,3,6,7,8}B={x|x ϵ Z+; x≤12; x es par}Aplicando la intersección se tiene:

}8,6,2{BA

Leyes para la intersección

• Si A y B son conjuntos disjuntos (no tienen elementos comunes) entonces

• Si A=B entonces• También• y

BAAAABA

A

AA

Ley Distributiva CABACBA

B C

CB

UB C

CBA

U

A

B

AB

U

A

C

CA

A

B CU

A

CABA

Complemento

El complemento de un conjunto A se denota A’ y es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen al conjunto A

};|{' AxxxA

A

U

A’

Sean los conjuntos

U={x|x ϵ Z} A={1,3,5,8}

}8;5;3;1;|{'

}}8,5,3,1{;|{'

xxxxZxxA

xZxxA

Propiedades del complemento

'

'

'

'

''

AA

AA

AA

Ejercicios

Operaciones con conjuntos

Ley de Morgan

'''

'''

BABA

BABA

Todas las operaciones se pueden extender a más de dos conjuntos. Por ejemplo:

''''

''''

CBACBA

CBACBA

Difrencia (A-B)

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B

};|{ BxAxxBA

A B}8,6,5{

}10,9,2,1{

}8,7,6,5,4,3{

}10,9,7,4,3,2,1{

AB

BA

B

A

Diferencia simétrica B A

Todo lo que está en A que no está en B y también todo lo que está en B y no está en A

};;|{ AxBxoBxAxxBA

A B}10,9,8,6,5,2,1{

}10,9,2,1{

}8,7,6,5,4,3{

}10,9,7,4,3,2,1{

BA

BA

B

A

Leyes

Ejercicios